第七章 定积分的应用
一、本章提要
1. 基本概念
微元法，面积微元，体积微元，弧微元，功微元，转动惯量微元，总量函数．
2． 基本公式
平面曲线弧微元分式．
3. 基本方法
(1) 用定积分的微元法求平面图形的面积，
(2) 求平行截面面积已知的立体的体积，
(3) 求曲线的弧长，
(4) 求变力所作的功，
(5) 求液体的侧压力，
(6) 求转动惯量，
(7) 求连续函数f (x )在[]b a ,区间上的平均值，
(8) 求平面薄片的质心，也称重心．
二、要点解析
问题1 什么样的量可以考虑用定积分求解？应用微元法解决这些问题的具体步骤如何？
解析 具有可加性的几何量或物理量可以考虑用定分求解，即所求量Q 必须满足条件：
（1）Q 与变量x 和x 的变化区间[]b a ,以及定义在该区间上某一函数f (x )有关；（2）
Q 在[]b a ,上具有可加性，微元法是“从分割取近似，求和取极限”的定积分基本思想方法中概括出来的，具体步骤如下：
（1）选变量定区间：根据实际问题的具体情况先作草图，然后选取适当的坐标系及适当的变量（如x ），并确定积分变量的变化区间[]b a ,；
（2）取近似找微分：在[]b a ,内任取一代表性区间[]x x x d ,+，当x d 很小时运用“以 直代曲，以不变代变”的辩证思想，获取微元表达式d =()d Q f x x ≈Q ?（Q ?为量Q 在小区间[]x x x d ,+上所分布的部分量的近似值）；
（3）对微元进行积分得 =d ()d b b
a a Q Q f x x =??． 下面举例说明．
例1 用定积分求半径为R 的圆的面积．
解一 选取如图所示的坐标系，取x 为积分变量，其变化区间为[]R R ,-，分割区间[]R R ,-成若干个小区间，其代表性小区间[]x x x d ,+所对应的面积微元 x x R x x R x R A d 2d ))((d 222222-=----=，
于是
??---==R R R R x x R A A d 2d 22=2πR ．
解二 选取如图所示的坐标系，
取θ 为积分变量，其变化区间为[]π2,0．分割区间[]π2,0成若干个小区间，其代表性小区 间[]θθθd ,+所对应的面积微元θd 2
1d 2R A =，于是 22π202π20ππ22
1d 21d R R R A A =?===??θ． 解三 选取r 为积分变量， 其变化区间为[]R ,0，如图，分割[]R ,0成若干个小区间，其代表性小区间[]r r r d ,+所对应的面积微元r r A d π2d =，于是 20
20π2π2d π2R r r r A R R
=?==?．
问题2 如何理解连续函数f (x ) 在闭区间[]b a ,上的平均值?-=b a
x x f a b u d )(1是有限个数的算术平均值的推广．
解析 首先，我们知道几个数 y y y n 12,,,???的算术平均值为
y y y y n n y n k k n
=++???+==∑()/121
1， 对于函数)(x f ，我们把区间[]b a , n 等分，设分点为a =x x x b n 01<