第一章 多项式
§1 基本知识
§1. 1 基本概念
1、数域：由复数构成并含有数1,0的集合P 称为数域，如果P 关于数的加、减、乘、除（除数不为零）封闭。
2、多项式：形式表达式
n n x a x a a ++10 （1.1）
或
01a x a x a n n ++ （1.2）
其中n 是一个非负整数，n a a a ,,,10 全是数域P 中的数，（1.1）或（1.2）就称为系数在数域P 中的一元多项式，或简称为数域P 中的一元多项式。
（1.1）是多项式的升幂书写，（1.2）是降幂书写；i i x a 称为多项式的i 次项，i a 称为i 次项的系数；x 是一个文字。
3、零多项式：系数全部为零的多项式称为零多项式。
4、多项式的相等：设
∑==n
i i i x a x f 0)(
∑==m
i i i x b x g 0
)(
是数域P 上的两个一元多项式，如果当n m <时必有：01===+n m a a ，当m n <时必有：01===+m n b b 且 },min{,,1,0,n m i b a i i ==。
一个多项式可以任意去掉或添加一些系数为零的项。
5、多项式的次数：形为（1.1）或（1.2）的多项式中，若0≠n a ，则n n x a 称为多项式的最高次项或首项，n a 称为多项式的最高次项系数或首项系数，而非负整数n 就称为多项式的次数，零多项式没有次数。
6、多项式的和、差、积：设
∑==n
i i i x a x f 0)(
∑==m
i i i x b x g 0
)(
是数域P 上的两个一元多项式，不妨设n m ≤，且n m <时：01===+n m b b ，则
∑=+n
i i i i
x b a
0)(
∑=-n
i i i i
x b a
)(
∑+=n
n k k k
x c
称为多项式)(x f 和)(x g 的和、差、积，并记为)()(x g x f +、)()(x g x f -、)()(x g x f ，
其中n m k b
a b a c k
i i
k i k
j i j
i k +===
∑∑=-=+,,1,0,0
。
7、一元多项式环：数域P 上的一元多项式全体连同多项式的加法、减法、乘法，称为数域
P 上的一元多项式环，记为][x P 。
8、商式与余式：在带余除法中，)0)()((≠x g x g 除)(x f 所得到的唯一的满足
)()()()(x r x g x q x f +=， 0)(=x r 或))(())((x g x r ?
的多项式)(),(x r x q 称为)(x g 除)(x f 所得到的商式，余式。
9、整除性、因式、倍式：设)(x f 和)(x g 都是][x P 中的多项式，如果存在][)(x P x q ∈，使得)()()(x g x q x f =，则称)(x g 整除)(x f ，记为)(|)(x f x g ，否则称)(x g 不整除)(x f ，
记为)(|)(x f x g /
，若)(x g 整除)(x f ，则称)(x g 是)(x f 的因式，)(x f 是)(x g 的倍式。 10、公因式、最大公因式：两个或两个以上的多项式的公共的因式，称为这些多项式的公因式；若这些多项式的所有公因式都是某一个公因式)(x d 的因式，则称)(x d 是这些多项式的最大公因式。
)(x d 是)(,),(),(21x f x f x f s 的公因式，当且仅当s i x f x d i ,,2,1),(|)( =；
)(x d 是)(,),(),(21x f x f x f s 的最大公因式，当且仅当
（1）s i x f x d i ,,2,1),(|)( =；
（2）若s i x f x g i ,,2,1),(|)( =，则)(|)(x d x g 。
11、多项式的互素：如果多项式)(,),(),(21x f x f x f s 的最大公因式是零次因式，则称
)(,),(),(21x f x f x f s 为互素的多项式。
12、相伴多项式，平凡因式：)0)((为常数≠c x cf 称为多项式)(x f 的相伴多项式 ；零次因式和相伴因式称为多项式)(x f 的平凡因式。
13、可约与不可约多项式：能够分解为两个次数低于自己的多项式的乘积的多项式，称为可约多项式；不能分解为两个次数低于自己的多项式的乘积的次数大于零的多项式，称为不可约多项式。
14、多项式的标准分解式：设)(x f 是一个次数大于零的多项式，
)()()()(2121x p x p x ap x f s t
s t
t
= （1.3） （)(,),(),(21x p x p x p s 是两两不同的首1不可约多项式，s t i ,是正整数，s i ,2,1=，
a 是)(x f 的首项系数）称为多项式)(x f 的标准分解式。
15、多项式的重因式（单因式、重因式）：不可约多项式)(x p 称为多项式)(x f 的k 重因式，如果)(|)(),(|)(1
x f x p
x f x p k k
/+；若1>k ，)(x p 称为多项式)(x f 的重因式；若1=k ，
)(x p 称为多项式)(x f 的单因式。
16、多项式的导数（微商）：设∑==n
i i
i x
a x f 0
)(，则
∑=-n
i i i
x
ia 1
1
称为多项式)(x f 的导数（微
商）。
17、多项式函数：设][)(0
x P x
a x f n
i i
i ∈=
∑=，若将文字x 视为数域P 上取值的量，则多项
式)(x f 定义了一个定义在P 上且取值也在P 上的函数，称为由多项式)(x f 确定的多项式
函数。对于P c ∈，P c
a c f n
i i
i ∈=
∑=0
)(称为c x =时，多项式函数)(x f 的值。
18、多项式的根（单根与重根）：P c ∈称为多项式)(x f 在数域P 上的根，如果0)(=c f ；
当c x -是多项式)(x f 的单因式时，c 称为多项式)(x f 的单根；当c x -是多项式)(x f 的重因式时，c 称为多项式)(x f 的重根；当c x -是多项式)(x f 的k 重因式时，c 称为多项式)(x f 的k 重根。
19、多项式的恒等：数域P 上的两个多项式称为恒等，如果它们作为数域P 上的两个多项式函数相等。
20、本原多项式：整系数多项式∑==n
i i
i x
a x f 0
)(称为本原多项式，如果1),,,(10=n a a a 。
§1.2 基本定理
定理 1.1（带余除法定理）设][)(),(x P x g x f ∈，且0)(≠x g ，则存在唯一的多项式
][)(),(x P x r x q ∈，使得
)()()()(x r x g x q x f +=
其中0)(=x r 或))(())((x g x r ?
定理1.2（次数定理）设][)(),(x P x g x f ∈，且0)(,0)(≠≠x g x f ，则 （1）0)()(≠x g x f ，且))(())(())()((x g x f x g x f ?+?=?；
（2）若0)()(≠±x g x f ，则))}(()),((max{
))()((x g x f x g x f ??≤±?。 定理1.3 设)()()()(x r x g x q x f +=，则)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个最大公因式的充分必要条件是：)(x d 是)(x g 与)(x r 的一个最大公因式。
定理1.4 （最大公因式的存在性与个数定理）数域P 上任意两个多项式)(),(x g x f 的最大公因式一定存在，且若][)(x P x d ∈是多项式)(),(x g x f 的一个最大公因式，则
{}0,|)(≠∈c P c x cd
是多项式)(),(x g x f 在数域P 上的最大公因式全体构成的集合。
若)(),(x g x f 都是零多项式，则它们的最大公因式是零多项式；若)(),(x g x f 不都是零多项式，则它们的最大公因式一定不是零多项式，因而首项系数为1的最大公因式存在并且唯一，记为：))(),((x g x f 。
定理 1.5（最大公因式的性质定理）若][)(x P x d ∈是数域P 上的多项式
)1(,,,21>m f f f m 的一个最大公因式，则存在][,,,21x P u u u m ∈ ，使得
d u f u f u f m m =++ 2211
定理1.6（互素的判定定理）数域P 上的多项式)1(,,,21>m f f f m 互素的充分必要条件是，存在][,,,21x P u u u m ∈ ，使得
12211=++m m u f u f u f
定理1.7（因式分解定理）数域P 上任何)0(>n 次多项式)(x f 都可以分解为不可约多项式的乘积，且不计零次因式的差异，分解式是唯一的，即若
)()()()()()()(2121x q x q x q x p x p x p x f s r ==
其中),,2,1;,,2,1)((),(s j r i x q x p j i ==都是不可约多项式，则s r =，且
r i c P c x p c x q i i i i i ,,2,1,0,),()( =≠∈=。
定理1.8（重因式的性质定理）如果不可约多项式)(x p 是)(x f 的k 重因式，则)(x p 一定是)(x f '的1-k 重因式。
（1）如果不可约多项式)(x p 是)(x f 的k 重因式，则)(x p 一定是)
(,),(),()
1(x f x f x f k -' 的因式，但不是)(x f k
的因式；
（2）不可约多项式)(x p 是)(x f 的重因式))(),((|)(x f x f x p '?； （3）多项式)(x f 没有重因式1))(),((='?x f x f 。
定理1.9（余数定理）设P x P x f ∈∈α],[)(，则α-x 除)(x f 的余式是一个常数c ，这个常数就是)(x f 在α=x 时的函数值，即)(αf c =。
定理1.10（根的判定定理）P ∈α是][)(x P x f ∈的一个根)(|x f x α-?。 定理1.11（根的存在性与个数定理）数域P 上任意一个n 次多项式在数域P 上至多有n 个根。
定理 1.12 设n g n f x P x g x f ≤?≤?∈)(,)(],[)(),(，如果存在数域P 上1+n 个两两不等的数121,,,+n a a a ，满足
,1,,2,1),()(+==n i a g a f i i
则)()(x g x f =。
定理1.13 设][)(),(x P x g x f ∈，则)()(,)()(αααg f P x g x f =∈??=。 定理1.14（代数基本定理）)0(>n 次复系数多项式在复数域上至少有一个根。 定理1.15（复系数多项式的因式分解定理）)0(>n 次复系数多项式在复数域上可以分解为n 个一次因式的乘积，即复数域上的不可约多项式只有一次因式。
定理1.16（实系数多项式根的性质定理）如果实系数多项式)(x f 有一个非实的复根α，则α的共轭复数__
α也是)(x f 的一个根，且α与__
α的重数相等。
定理1.17（实系数多项式的因式分解定理）)0(>n 次实系数多项式在实数域上可以分解为一次或二次不可约因式的乘积，即实数域上的不可约多项式除一次多项式外，只有含一对共轭复根的二次实系数多项式。
定理 1.18 设)(],[)(x g x Z x f ∈为一个本原多项式，如果)()()(x h x g x f =，则
][)(x Z x h ∈。
定理1.19 整系数多项式在有理数域上不可约的一个充分条件（艾森斯坦判别法）：设
][)(01x Z a x a x a x f n n ∈+++= ，
如果存在一个素数p ，满足
（1）n a p |/；
（2）1,,1,0,|-=n i a p i ； （3）02|a p /；
则)(x f 在有理数域上不可约。
§1.3 基本性质
性质1.1 （数域的基本性质）任何数域都包含有理数域。 性质1.2 （多项式的运算性质）
（1）交换律 )()()()(),()()()(x f x g x g x f x f x g x g x f =+=+；
（2）结合律
)]
()()[()()]()([)]
()([)()()]()([x h x g x f x h x g x f x h x g x f x h x g x f =++=++；
（3）分配律 )()()()()]()()[(x h x f x g x f x h x g x f +=+；
（4）消去律 0
)(0)(0)()(0)(0)(0)()()
()(0)(),()()()(≠≠?≠==?==?≠=x g and x f x g x f x g or x f x g x f x h x g x f x h x f x g x f 。
性质1.3 （多项式的整除性质）
（1）)(|)()(|)(),(|)(x h x f x h x g x g x f ?；
（2）
]
[)(),()(|)()()(|)(]
[)(),()(|)()(|)(x P x h x h x g x h x f x g x f x P x h x h x g x f x g x f ∈??∈??；
（3）)()(|)()(|)(),(|)(x h x g x f x h x f x g x f ±?；
（4）
]
[)(),()()()()()(|)(),,2,1)((|)(2211x P x h x h x g x h x g x h x g x f m i x g x f i m m i ∈?+++?
= ；
（5）零次多项式整除任何多项式； （6）))(())((0
)(0)(),(|)(x g x f or x g x f x g x f ?≤?=?≠；
（7）P c x cf x g x f x g x g x f ∈≠=?)0(),()()(|)()(|)(且，特别，两个首1多项式相互整除的充分必要条件是：这两个多项式相等。
性质1.4 多项式的整除性不会因为数域的扩大而发生变化。 性质1.5（互素多项式的性质）
（1）1),(1),(,1),(=?==g fh g h g f ； （2）h f g f gh f |1),(,|?=； （3）h fg g f h g h f |1),(,|,|?=。
性质1.6（不可约多项式的性质）
（1）不可约多项式的相伴多项式也是不可约多项式；
（2）设)(x p 是不可约多项式，则对][)(x P x f ∈?，有1))(),(()(|)(=x f x p x f x p 或； （3）设)(x p 是不可约多项式，则若)(|)()(|)()()(|)(x g x p x f x p x g x f x p 或?。 性质1.7（本原多项式的性质）两个本原多项式的乘积还是本原多项式。
性质1.8（整系数多项式在有理数域上可约的一个性质）)0(>n 次整系数多项式在有理数域上可约的充分必要条件是，这个多项式可以表示成两个次数n <的整系数多项式的乘积。
性质1.9（有理根的性质）若),(Z s r r
s
∈=
α是整系数多项式
01)(a x a x a x f n n +++=
的一个有理根，则
（1）0|,|a s a r n ； （2）α-1)1(f 与α
+-1)
1(f 均为整数。
§1.4 基本运算
1、 求多项式的和、差、积：
2、 求商式与余式：
例 1.1 设123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f ，求)(x g 除)(x f 所得的商式
和余式.
3、 求最大公因式（最小公倍式）：
例1.2 设1)(,143)(23234--+=---+=x x x x g x x x x x f ，求
],[)),(),((g f x g x f 。
4、 求v u ,，使得：),(g f gv fu =+；
例 1.3 设123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f ，求v u ,，使得：
),(g f gv fu =+。
5、 综合除法：
例1.4 设3)(,852)(35+=--=x x g x x x x f ，求)(x g 除)(x f 所得的商式和余式
6、 求整系数多项式的有理根：
例1.5 设14156)(23-+-=x x x x f ，求)(x f 的有理根
7、 Lagrange 插值公式：
例1.6 求一个次数尽可能低的多项式)(x f ， 使得：
10)3(,5)2(,2)1(,1)0(====f f f f 。
§2 典型题型及其常用解题方法
§2.1 整除性的判定及其证明
1、利用定义
例1.7 若)(|)(),(|)(x h x g x g x f ，则)(|)(x h x f 。
2、利用带余除法
例1.8 q p m ,,满足什么条件时，q px x mx x ++-+32|1。
3、利用整除性的性质
例1.9证明：1|1--n d x x 成立的充分必要条件是：n d |。 4、利用多项式的典型分解式
设
)()()()(2121x p x p x p x f r l
r l l = )()()()(2121x p x p x p x g r m
r m
m
=
则r i m l x g x f i i ,,2,1,)(|)( =≤?。
例1.10证明：)(|)(x g x f 成立的充分必要条件是：)(|)(x g x f n n ，其中n 是正整数。 5、利用多项式互素的性质
例1.11 设][)(),(x R x g x f ∈，若有][)(x R x h ∈，使
)()()()()()(2
x h k x x g n x x f m x +=+++ （1） )()()()()()(2
x h k x x g n x x f m x +=-+- （2）
则)(),(x g x f 都能被k x +2
整除。这里n m k R k n m 与,0,,,≠∈不全为零。
6、利用不可约多项式的性质
例1.12（北师大P 38，2）证明：)(|)]([|x f x x f x k ?。 7、利用根的性质
设}[)(,x P x f P ∈∈α，则0)()(|=?-ααf x f x 。
例1.13 若)(|1n x f x -，则)(|1x f x -。
§2.2 最大公因式的判定及其证明
1、利用定义
例1.14 若)(|)(),(|)(x g x d x f x d ，且)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个组合，那么)(x d 是
)(x f 与)(x g 的一个最大公因式。
2、利用例11的结论
例 1.15设)(],[)(),(),(x h x P x h x g x f ∈是首项系数为1的多项式，证明：
h g f gh fh ),(),(=。
例1.16求)1,1(--n m x x 。
§2.3 互素的判定及其证明
1、利用定义
例1.17 证明：1))(),((=x g x f ，其中13)(,14)(2334+-=+-=x x x g x x x f 。 2、利用互素的判定定理
例1.18（北大P 45，11）证明：如果)(),(x g x f 不全为零，且
))(),(()()()()(x g x f x g x v x f x u =+，
那么1))(),((=x v x u 。
例1.19（北大P 45，12）证明：如果1))(),((,1))(),((==x h x f x g x f ，那么
1))()(),((=x h x g x f 。
3、利用反证法
例1.20 （北大P 45，14）证明：如果1))(),((=x g x f ，那么
1))()(),()((=+x g x f x g x f 。
§2.4 可约与不可约多项式的判定及其证明
1、利用定义
例1.21 证明：次数大于零的多项式?可约)(x f 0(),()(≠+=a b ax f x g 是常数）可
约。
2、利用爱森斯坦判别法
例1.22（北师大P 79，2）证明：如果t p p p ,,,21 是两两不同的素数而n 是一个大
于1
的整数，那么n t p p p 21是一个无理数。
3、利用反证法
例 1.23 （北大P 48，6）设)(x p 是次数大于零的多项式，如果对于任何多项式
)(),(x g x f ，由)()(|)(x g x f x p 可以推出)(|)(x f x p 或者)(|)(x g x p ，那么)(x p 是不可
约多项式。
4、利用求有理根
1）若P ∈α是1≥n 次多项式][)(x P x f ∈的一个根，则)(x f 在P 上可约；
2）若三次多项式][)(x P x f ∈在P 上没有根，则)(x f 在P 上不可约。 例1.24讨论：623)(23+++=x x x x f 在有理数域上的可约性。
§2.5 重因式（重根）及其重数的计算与判定
1、利用定义
例1.25 证明：如果不可约多项式)(x p 是多项式)(x f 的k 重因式，则)(x p 是)(x f '的
1-k 重因式。
例1.26判断：5是不是多项式 5057422243)(235+++-=x x x x x f 的根，如果是
的话，是几重根？
2、利用重因式的性质定理
例1.27（北大P 46，21）证明：!
!212n x x x n
++++ 不能有重根。
§3 例题选讲
§3.1 整除性的例题
例1.28（北大P 46，25）证明：如果)()(|)1(32312x xf x f x x +++，那么
)(|)1(),(|)1(21x f x x f x --。
例1.29（北师大P 58，5）证明：数域P 上的一个)0(>n 次多项式)(x f 能被它的导
数整除的充分必要条件是n
b x a x f )()(-=，这里b a ,0≠是数域P 中的数。
例1.30 设p n m ,,是任意非负整数，证明：
)(|)1(231332++++++p n m x x x x x 。
例1.31要使)(|)1(231332+++++-p n m x x x x x ，其中p n m ,,要满足什么条件？ 例1.32设)(),(x g x f 是][x P 中的非零多项式且)()()(1x g x s x g m =，这里1≥m ，
)(|)(,1))(),((1x f x s x g x s =，证明：
不存在][)(),(1x P x r x f ∈且))(())((,0)(x s x r x r ?
)
()()()()
()()()
(111
x g x s x f x s x r x g x f x f m m -+=。
§3.2 最大公因式的例题
例1.33（北大P 47，2）证明：只要
))
(),(()
(,
))(),(()(x g x f x g x g x f x f 的次数都大于零，就可以适当选择适合等式
))(),(()()()()(x g x f x g x v x f x u =+
的)(),(x v x u ，使
???? ???
())((x g x f x g x u ，
???
? ???
)()()()(x g x v x f x u +
的非零多项式所成的集合，这里)(),(x g x f 是给定的][x P 中的多项式，
)(),(x v x u 是][x P 中任意两个多项式。证明：M 非空，且M 中次数最低的多项式都是)(),(x g x f 的最大公因式。
例1.35（北师大P 47，4）证明：),,,(),)(,(212121212211g g f g g f f f g f g f =，此处
2121,,,g g f f 都是][x P 中的多项式。
§3.3 互素的例题
例1.36（北师大P 48，11）证明：如果1))(),((=x g x f ，那么对于任意正整数m ，
1))(),((=m m x g x f 。
例1.37（北大P 45，13）设：),2,1;,,2,1(,n j m i g f j i ==都是][x P 中的多项
式，而且),2,1;,,2,1(1),(n j m i g f j i ===，求证：1),(2121=n m g g g f f f 。
§3.4 可约与不可约的例题
例1.38（北师大P 64，8）令c 是一个复数，并且是][x Q 中一个非零多项式的根。令
{}0)(|][)(=∈=c f x Q x f J ，
证明：（1）在J 中存在唯一的首项系数是1的多项式)(x p ，使得J 中每一多项式)(x f 都可以写成)()(x q x p 的形式，这里][)(x Q x q ∈； （2）)(x p 在][x Q 中不可约。若32+=
c ，求上述的)(x p 。
例1.39设c bx ax x x f +++=23)(是整系数多项式，证明：若bc ac +是奇数，则)
(x f 在有理数域上不可约。
例1.40 设：011)(a x a x a x f n n n n +++=-- 是整系数多项式，k n ≥，证明：若有素
数p 使得02021|,|,|,|,|a p a p a p a p a p k k n //-- ，则)(x f 有一个次数不小于k 的不可约因式。
§3.5 重因式与重根的例题
例1.41（北大P 48，9）证明：b ax x m n n ++-不能有不为零的重数大于2的根。 例1.42（北大P 48，10）证明：如果)(|)(n x f x f ，那么)(x f 的根只能是零或单位
根。
例1.43设α是)(x f 的)1(>k 重根，证明：α也是)()()()(x f x x f x g '-+=α的k 重
根。
例1.44设b ax x x f ++=35)(，问b a ,满足什么条件时，)(x f 有重根，并求出它的重
根及其重数。
§3.6 其它例题
例1.45（北师大P 31，1，2）设)(),(),(x h x g x f 都是实数域上的多项式，证明：
若)()()(2
22x xh x xg x f +=，则0)()()(===x h x g x f ；此结论对于复数域上的多项式
)(),(),(x h x g x f 是否还成立？
例1.46数域P 上的多项式)(x f 如果对于任何P c ∈都有)()(c x f x f -=，则)(x f 是
一个常数。
例1.47应用余数定理计算行列式：
x
a a a a a x a a a a a x a a a a a x a a a a a x x f n
n n
n n n n n
3
2
1
321121
121
121)(---=
。
§4 练习题
§4.1 北大教材题目
P44-P47 习题 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、 15、 16、 17、 18、 19、 20、 21、 22、 23、 24、 25、 26、 27、 28、
P47-P49 补充题 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、
§4.2 北师大教材题目
1、 证明：!)
()1()1(!)1()1()1(!2)1(1n n x x n n x x x x x x n n ---=+---+--+- 。 2、 令)(),(),(),(2121x g x g x f x f 都是数域P 上的多项式，其中0)(1≠x f 且
)(|)(),()(|)()(112121x g x f x f x f x g x g ，证明：)(|)(22x f x g 。 3、 考虑有理数域上的多项式
n k n k n k x x x x x x f )1()2()1)(2()1()()1++++++=-++ ，
这里k 和n 都是非负整数，证明：11
)1()()1(|+++++-n k k x x f x x
。
4、 b a ,应该满足什么条件，下列的有理系数多项式才能有重因式：
（1）b ax x ++33
； （2）b ax x ++44。
5、 设1532)(3
45+--=x x x x f ，求)2(),3(-f f 。
6、 设n 次多项式n n n n a x a x a x a x f +++=--1110)(的根是n ααα,,,21 ，求
（1）以n c c c ααα,,,21 为根的多项式，这里c 是一个数； （2）以
n
ααα1
,
,1
,
1
2
1 （假定n ααα,,,21 都不等于零）为根的多项式。
7、 设)(x f 是一个多项式，用)(x f 表示把)(x f 的系数分别换成它们的共轭复数后所得多
项式，证明：
（1） 若)(|)(x f x g ，那么)(|)(__
__
x f x g ；
（2） 若是)(x d 是)(x f 和)(x f 的一个最大公因式，并且)(x d 的最高次项系数是1，
那么)(x d 是一个实系数多项式。
8、 给出实系数四次多项式在实数域上所有不同类型的典型分解式。
9、 在复数和实数域上，分解2-n x 为不可约多项式的乘积。
10、证明数域P 上任意一个不可约多项式在复数域内没有重根。
§4.3 补充题目
1、设1))(),((),1(0)()()(11=≥≠=x g x p k x g x p x g k ，那么对于任意多项式)(x f ，有
)()()()()(11x p x f x g x r x f +=， 其中0)(=x r 或))(())((x p x r ?
2、设][)(x P x f ∈，若对于任意的P b a ∈,，都有)()()(b f a f b a f +=+，则
P c cx x f ∈=,)(。
3、设0≠c ，证明：存在多项式][)(x Q x g ∈使0)(=c g 的充分必要条件是：存在
多项式][)(x Q x f ∈使c c f /1)(=。
4、证明：多项式n n n a x a x a x f +++=- 110)(能被1)1(+-k x 整除的充分必要条件是下列等式同时成立： 010=+++n a a a
0221=++n na a a
04221=++n a n a a
…
0221=++n k k a n a a
5、证明：多项式k p k p p x a x a x a x f ++=2121)(不可能有不等于零而重数大于1-k 的
根，其中k p p p ,,,21 各不相同，且021≠k a a a 。
6、在][x Z 中，若b ax x x f ++=2)(与d cx x x g ++=2)(有公因式m x +，则
)(c a m d b -=-。
7、若整系数多项式)(x f 有根q p /，这里q p ,是互素的整数，则
)1(|)(),1(|)(-+-f p q f p q ，且对任意整数m ，)(|)(m f p mq -。
8、设121210)(+++++=n n x a x a a x f 是整系数多项式，若有素数p 使得
12|),2,,1(|+/+=n k a p n n k a p ，
032|),,1,0(|a p n r a p r /= ，
证明：)(x f 在][x Q 中不可约。
9、设整系数多项式)(x f 的次数是m n 2=或12+=m n 。证明：如果有)12(+≥m k 个不
同的整数k a a a ,,,21 ，使)(i a f 取值1或1-，则)(x f 在][x Q 中不可约。
10、设1)()()()(22221+---=n a x a x a x x f ，其中n a a a ,,,21 是各不相同的整数，
证明：)(x f 在][x Q 中不可约。
11、设n a a a ,,,21 是有理系数多项式)(x f 的根。证明：对任意一个有理系数多项式)(x g ，
只要0)(≠x g ，)()()(21n a g a g a g 必是有理数。
12、设n a a a ,,,21 是有理系数多项式)(x f 的根。证明：对任意一个有理系数多项式)(x g ，
只要),,2,1(0)(n i a g i =≠，分数)(/1i a g 的分母必可有理化。
13、证明：1)(234++++=x x x x x f 没有实根。
14、设1)(234++++=x x x x x f ，b 是大于零的实数，求方程0)(=x ?，使得它的根
恰是)(x f 的根减去b 。
15、设n i a i ≤≤1,是n 个非负整数，试求多项式∑=n
i a i x 1
被12++x x 整除的条件。
16、确定)(|)1(2313324++++++p n m x x x x x 的条件。
17、应用余数定理计算行列式：
x
n x
x x g )1(1111
21111111111)(---=
。
第一章多项式习题解答1.用g( x)除f ( x)，求商q( x)与余式r ( x) . 1）f ( x) x3 3x2 x 1, g (x) 3x2 2x 1 3x 2 2x 1 x3 3x 2 x 1 1 x 7 x3 2 x2 1 x 3 9 3 3 7 x2 4 x 1 3 3 7 x2 14 x 7 3 9 9 26 x 2 9 9 1 x 7 , r ( x) 26 x 2 q( x) 9 9 . 3 9 2）f ( x) x4 2x 5, g(x) x2 x 2 x2 x 2 x 4 0x3 0 x2 2 x 5 x2 x 1 x4 x3 2x2 x3 2x2 2x x3 x2 2x x2 4x 5 x2 x 2 5x 7 q( x) x2 x 1, r ( x) 5x 7 . 2.m, p, q 适合什么条件时，有 1）x2 mx 1| x3 px q x 2 mx 1 x3 0 x2 px q x m x3 mx2 x mx2 ( p 1) x q m x2 m2 x m (m2 p 1) x ( q m) 当且仅当 m2 m 时x2 1| x3 px q .
本题也可用待定系数法求解.当x2 mx 1| x3 px q 时，用 x2 mx 1 去除x3 px q ，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商为x q .于是有x3 px q ( x q)( x2 mx 1) x3 (m q)x2 (mq 1) x q . 因此有 m2 p 1 0, q m . 2）x2 mx 1| x4 px2 q 由带余除法可得 x4 px2 q ( x2 mx 1)( x2 mx p 1 m2 ) m(2 p m2 ) x (q 1 p m2 ) 当且仅当 r ( x) m(2 p m2 ) x (q 1 p m2 ) 0 时 x2 mx 1 | x4 px2 q .即 m(2 p m2 ) 0 ，即m 0, 或 p m2 2, q 1 p m2 0 q 1 p, q 1. 本题也可用待定系数法求解 .当x2 mx 1| x4 px2 q 时，用 x2 mx 1 去除x4 px2 q ，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商可设为x2 ax q .于是有 x4 px2 q (x 2 ax q)( x2 mx 1) x4 (m a) x3 (ma q 1) x2 (a mq) x q. 比较系数可得 m a 0, ma q 1 p, a mq 0. 消去 a 可得 m 0, 或p m2 2, q 1 q 1. p, 3.求g( x)除f ( x)的商q( x)与余式r ( x) . 1）f ( x) 2x5 5x3 8x , g (x) x 3; 解：运用综合除法可得 3 2 0 5 0 8 0 6 18 39 11 7 327 2 6 1 3 39 109 327 商为 q(x) 2x4 6x3 13x2 39 x 109 ，余式为 r (x) 327.
第一章：整式的运算 单项式 整 式 多项式 同底数幂的乘法 幂的乘方 积的乘方 幂运算 同底数幂的除法 零指数幂 负指数幂 整式的加减 单项式与单项式相乘 单项式与多项式相乘 整式的乘法 多项式与多项式相乘 整式运算 平方差公式 完全平方公式 单项式除以单项式 整式的除法 多项式除以单项式 一、单项式 1、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。 2、单项式的数字因数叫做单项式的系数。 3、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。 4、单独一个数或一个字母也是单项式。 5、只含有字母因式的单项式的系数是1或―1。 6、单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身。 7、单独的一个非零常数的次数是0。 8、单项式中只能含有乘法或乘方运算，而不能含有加、减等其他运算。 9、单项式的系数包括它前面的符号。 10、单项式的系数是带分数时，应化成假分数。 11、单项式的系数是1或―1时，通常省略数字“1”。 12、单项式的次数仅与字母有关，与单项式的系数无关。 二、多项式 1、几个单项式的和叫做多项式。 2、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。 3、多项式中不含字母的项叫做常数项。 4、一个多项式有几项，就叫做几项式。 5、多项式的每一项都包括项前面的符号。 6、多项式没有系数的概念，但有次数的概念。 7、多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。 三、整式 1、单项式和多项式统称为整式。 2、单项式或多项式都是整式。 3、整式不一定是单项式。 整 式 的 运 算
4、整式不一定是多项式。 5、分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。 四、整式的加减 1、整式加减的理论根据是：去括号法则，合并同类项法则，以及乘法分配率。 2、几个整式相加减，关键是正确地运用去括号法则，然后准确合并同类项。 3、几个整式相加减的一般步骤： （1）列出代数式：用括号把每个整式括起来，再用加减号连接。 （2）按去括号法则去括号。 （3）合并同类项。 4、代数式求值的一般步骤： （1）代数式化简。 （2）代入计算 （3）对于某些特殊的代数式，可采用“整体代入”进行计算。 五、同底数幂的乘法 1、n 个相同因式（或因数）a 相乘，记作a n ，读作a 的n 次方（幂），其中a 为底数，n 为指数，a n 的结果 叫做幂。 2、底数相同的幂叫做同底数幂。 3、同底数幂乘法的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即：a m ﹒a n =a m+n 。 4、此法则也可以逆用，即：a m+n = a m ﹒a n 。 5、开始底数不相同的幂的乘法，如果可以化成底数相同的幂的乘法，先化成同底数幂再运用法则。 六、幂的乘方 1、幂的乘方是指几个相同的幂相乘。（a m ）n 表示n 个a m 相乘。 2、幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。（a m ）n =a mn 。 3、此法则也可以逆用，即：a mn =（a m ）n =（a n ）m 。 七、积的乘方 1、积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。 2、积的乘方运算法则：积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，然后把所得的幂相乘。即（ab ）n =a n b n 。 3、此法则也可以逆用，即：a n b n =（ab ）n 。 八、三种“幂的运算法则”异同点 1、共同点： （1）法则中的底数不变，只对指数做运算。 （2）法则中的底数（不为零）和指数具有普遍性，即可以是数，也可以是式（单项式或多项式）。 （3）对于含有3个或3个以上的运算，法则仍然成立。 2、不同点： （1）同底数幂相乘是指数相加。 （2）幂的乘方是指数相乘。 （3）积的乘方是每个因式分别乘方，再将结果相乘。 九、同底数幂的除法 1、同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即：a m ÷a n =a m-n （a ≠0）。 2、此法则也可以逆用，即：a m-n = a m ÷a n （a ≠0）。 十、零指数幂 1、零指数幂的意义：任何不等于0的数的0次幂都等于1，即：a 0=1（a ≠0）。 十一、负指数幂 1、任何不等于零的数的―p 次幂，等于这个数的p 次幂的倒数，即： 1(0)p p a a a -=≠ 注：在同底数幂的除法、零指数幂、负指数幂中底数不为0。
第一章 多项式习题解答 1.用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r . 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f 9731929269 791437134373 132131232223232 ----+----+----+-x x x x x x x x x x x x x x 9 2926)(,9731)(--=-=x x r x x q . 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 1 752 5 422225200222223232 342342-++--+-+--+---+-+-+++-x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q . 2.q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1 m x m q x p m m x m x m q x p mx x mx x q px x x mx x --++++--+++--++++-+) ()1()1(01 222223232 当且仅当m q p m ==++,012时q px x mx x ++-+32|1.
本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++-+32|1时，用12-+mx x 去除q px x ++3，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商为q x -.于是有 q x mq x q m x mx x q x q px x ++--+=-+-=++)1()()1)((2323. 因此有m q p m ==++,012. 2）q px x mx x ++++242|1 由带余除法可得 )1()2()1)(1(2222224m p q x m p m m p mx x mx x q px x --++--++-+-++=++ 当且仅当0)1()2()(22=--++--=m p q x m p m x r 时q px x mx x ++++242|1.即 ???=--+=--0 10)2(22m p q m p m ，即???=+=,1,0p q m 或???==+.1,22q m p 本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++++242|1时，用12++mx x 去除q px x ++24，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商可设为q ax x ++2.于是有 )1)((2224++++=++mx x q ax x q px x .)()1()(234q x mq a x q ma x a m x ++++++++= 比较系数可得.0,1,0=+=++=+mq a p q ma a m 消去a 可得 ???=+=,1,0p q m 或???==+. 1,22q m p 3.求)(x g 除)(x f 的商)(x q 与余式)(x r . 1）;3)(,852)(35+=--=x x g x x x x f 解：运用综合除法可得 327 1093913623271170 83918605023--------- 商为109391362)(234+-+-=x x x x x q ，余式为.327)(-=x r
第一章 多项式 习题精解 1． 用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ： 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 解 1）由带余除法，可得92926)(,9731)(--=-= x x r x x q 2）同理可得75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q 2．q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+3 2|1 2）q px x mx x ++++242|1 解 1) 由假设，所得余式为0，即 0)()1(2=-+++m q x m p 所以当 ? ??=-=++0012m q m p 时有 q px x mx x ++-+32|1 2）类似可得 ? ??=--+=--010)2(22m p q m p m 于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022 =--m p 时，代入（2）可得1=q 。 综上所诉，当 ???+==10q p m 或? ??=+=212m p q 时，皆有 q px x mx x ++++242|1
3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式():r x 1）53()258,()3f x x x x g x x =--=+ 2）32(),()12f x x x x g x x i =--=-+ 解 1）432()261339109 ()327 q x x x x x r x =-+-+=-； 2） 2()2(52) ()98q x x ix i r x i =--+=-+ 4．把()f x 表示成0x x -的方幂和，即表成 2010200()()...()...n n c c x x c x x c x x +-+-++-+ 的形式： 1）50(),1f x x x == 2）420()23,2f x x x x =-+=- 3）4320()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+-+-++=- 解 1）由综合除法，可得 2345()15(1)10(1)10(1)5(1)(1)f x x x x x x =+-+-+-+-+- 2）由综合除法，可得 42234231124(2)22(2)8(2)(2)x x x x x x -+=-+++-+++ 3） 由综合除法，可得 4322(1)3(7)x ix i x x i +-+-++ 234(75)5()(1)()2()()i x i i x i i x i x i =+-++--+-+++ 5．求()f x 与()g x 的最大公因式： 1）43232()341,()1f x x x x x g x x x x =+---=+-- 2）4332 ()41,()31f x x x g x x x =-+=-+ 3）42432()101,()61f x x x g x x x =-+=-+++
第一章 多项式习题解答 1.用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r . 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f 9 2926)(,9731)(--=-=x x r x x q . 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q . 2.q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1 当且仅当m q p m ==++,012时q px x mx x ++-+32|1. 本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++-+32|1时，用12-+mx x 去除q px x ++3，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商为q x -.于是有 q x mq x q m x mx x q x q px x ++--+=-+-=++)1()()1)((2323. 因此有m q p m ==++,012. 2）q px x mx x ++++242|1 由带余除法可得 当且仅当0)1()2()(22=--++--=m p q x m p m x r 时q px x mx x ++++242|1.即 ???=--+=--010)2(22m p q m p m ，即???=+=,1,0p q m 或? ??==+.1,22q m p 本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++++242|1时，用12++mx x 去除q px x ++24，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商可设为q ax x ++2.于是有 比较系数可得.0,1,0=+=++=+mq a p q ma a m 消去a 可得 ???=+=,1,0p q m 或???==+. 1,22q m p
高等代数第一次作业 第一章 多项式 §1—§3 一、填空题 1. 如果()|()f x g x ,()|()g x h x ，则 。()|()f x h x 2. 若()|()()f x g x h x +,()|()f x g x ，则 。()|()f x h x 3. 若()|()f x g x ,()|()/f x h x ，则 。()|()()/f x g x h x + 二、判断题 1. 数集}{1,,|2-=+i b a bi a 是有理数是数域（ ）√ 2. 数集}{1,,|2-=+i b a bi a 是整数是数域 （ ）× 3. 若()|()()f x g x h x ,()|()/f x g x ,则()|()f x h x ( ) × 4. 若()|()()f x g x h x +,()|()f x g x ,则()|()f x h x （ ）√ 5. 数集}{ 是有理数b a b a ,|2+是数域 （ ）√ 6. 数集}{为整数n n |2是数域 （ ）× 除法不封闭 7. 若()|()()f x g x h x ，则()|()f x g x 或()|()f x h x ( ) × 当()f x 是不可约时才成立 8. 若()|()/f x g x ,()|()/f x h x ，则()|()()/f x g x h x ( ) × 如2()f x x =，()()g x h x x ==时不成立 9. 若()|()()f x g x h x +,()|()()f x g x h x -，则()|()f x g x 且()|()f x h x ( ) √ 三、选择题 1. 以下数集不是数域的是（ ）B A 、{是有理数b a bi a ,|+，21i =-} B 、{是整数b a bi a ,|+，21i =-} C 、{ }是有理数b a b a ,|2+ D 、{}全体有理数 2. 关于多项式的整除，以下命题正确的是 （ ）C A 、若()|()()f x g x h x 且()|()/f x g x ,则()|()f x h x B 、若()|()g x f x ,()|()h x f x ,则()()|()g x h x f x C 、若()|()()f x g x h x +，且()|()f x g x ，则()|()f x h x D 、若()|()/f x g x ,()|()/f x h x ，则()|()()/f x g x h x 四、计算题 数域P 中的数q p m ,,适合什么条件时, 多项式q px x mx x ++-+32|1? 解：由假设，所得余式为0，即 0)()1(2=-+++m q x m p 所以当???=-=++0 012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1 五、证明题 试证用21x -除()f x 所得余式为 2 )1()1(2)1(1-++--f f x f f ）（。 证明：设余式为ax b +，则有2()(1)()f x x q x ax b =-++ (1),(1)f a b f a b =+-=-+ 求得a =2)1()1(,2)1()1(-+=--f f b f f 高等代数第二次作业 第一章 多项式 §4—§6 一、填空题
第一章多项式 一．填空题 1、当p(x)是多项式时，由p(x)| f(x)g(x)可推出p(x)|f(x)或p(x)|g(x)。 2、当f(x)与g(x) 时，由f(x)|g(x)h(x)可推出f(x)|h(x)。 32+ax+b 用x+1除余数为3，用x-1除余数为5，那么a= 、设f(x)=x +3x b= 。3 42-kx+2用x-1除余数为3，则k= 4、设f(x)=x +3x 。22432+ax+b，则a= b= -3x +6x 5、如果(x。-1) |x6、f(x)没有重根的充分必要条件是。 3-3x+k有重根，那么k= 7、如果f(x)=x 。 (k?1)(xf))p(xp(x)f(x)k的8．若不可约多项式是是的因式重因式，则 9、a是f(x)的根的充分必要条件是。 10、以l为二重根，2，1+i为单根的次数最低的实系数多项式为f(x)= 。11．艾森施坦因判别法是判断多项式在有理数域上不可约的一个条件。 答案 1、不可约 2、互素 3、a=0,b=1 4、k=3 5、a=3,b=-7 6、(f(x),f'(x))=1 7、k=±2 5432+14x-4 11. 充分-20x x-a|f(x) 9、10、x -6x +15x8. 单因式 二．判断并说明理由 1、若f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x),则f(x)|h(x) （） 2、若f(x)|g(x)h(x)，则f(x)|g(x)或f(x)|h(x) ( ) 2?1f(xx)0]f(??f(1)1)?Pf(x)?[x．，则 3. 设（，且） ?(xf)的k-1重因式。则k重因式，p(x)是）（f(x)上不可约多项式，设4、p(x)是数域p 如果p(x)是的5．任何两个多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变。)xf(f(x)．若一整系数多项式6在有理数域上可约。有有理根，则Qf(x)xf()）在7.若上不可约。（无有理根，则在实数域上所有次数大于或等于8. 3的多项式都是可约的.）（34（f(x)=x9、-2x+8x-10在有理数域上不可约。） 1 答案√8. 时成立7. × 5. √ 6. ×次数≥24√1、2、×当f(x)是不可约时才成立 3. √、√ 、√9三．选择题）1、以下数集不是数域的是（ ??2是有理数bbi|a,a? A、= -1，i??2是整数|a,b?abi，i = -1B、 ??是有理数,bb2|aa?、C??全体有理数D、2、关于多项式的整除，以下命题正确的是（） |g(x)则f(x)|h(x) f(x)|g(x)h(x),且f(x) A、若?B、若g(x)|f(x),h(x)|f(x),则g(x)h(x)|f(x)
§1 数域[达标训练题] 一 填空题 1．数集{0}对 运算封闭. 2．自然数集N 对 运算封闭. 3．数集},{Z b a bi a ∈+对 封闭. 二 判断题 1. 数域必含有无穷多个数. 2. 所有无理数构成的集合是数域. 三 证明 1. 证明},{)(Q b a n b a n Q ∈+=是数域,这里n 不是完全平方数. 2. 证明},2{3 Q b a b a ∈+不是数域. 3. 若21,P P 是数域,证明21P P 也是数域,而21P P 不一定是数域. §1 数域[达标训练题解答] 一 填空题 1．加法、 减法、 乘法；2.加法、乘法 ；3.加法、减法、乘法. 二 判断题 1. ( T)； 2. ( F) 三、解答题 1．证明显然n Q ∈1,0. 对任意的)(,2211n Q n b a n b a ∈++, )()(2211n b a n b a +±+=)(21a a ±+n b b )(21±)(n Q ∈; )()(2211n b a n b a +?+ n b a b a bn b a a )()(12212121+++=)(n Q ∈. 当011≠+n b a 时, n b a n b a 1122++ ) (21212 12121212121n Q n n b a a b b a n b a n b b a a ∈?--+--= .故},{)(Q b a n b a n Q ∈+=对加法减法乘法除法 封闭.即},{)(Q b a n b a n Q ∈+=是数域. 2．证明 因为 ∈3 2},2{3 Q b a b a ∈+, ?=?333 422},2{3 Q b a b a ∈+. 即} ,2{3Q b a b a ∈+对乘法不封闭.所以 } ,2{3Q b a b a ∈+不是数域. 3．证明 由于任意数域都包含有理数, 故21,P P 也包含有理数域, 从而2 1P P 包含有理数域.令21,P P b a ∈, 则1,P b a ∈, 2,P b a ∈.由于21,P P 是数域,故
若()()()x m x l x h +=，且()()x m x p |，()()x l x p |/，则()()x h x p |/。 证法1： 由()()x m x p |/有 ()()()x p x m x m 1=。 由()()x l x p |/有()()()()()0,1≠+=x r x r x p x l x l 。 于是 ()()()()()()()()x r x p x l x m x m x l x h ++=+=11。 因()0≠x r ，故()()x h x p |/。 证明2：用反证法。若()()x h x p |，即()()()()x m x l x p +|， 又()()x m x p |，故()()()()()x m x m x l x p -+|，即()()x l x p |，矛盾。 问：若()()()()x g x h x f x h |,|//， 则()()()()x g x f x h +|成立吗？试举例说明。 答：不一定。 例如 ()()()1,1,+=-==x x g x x f x x h ，则()()()()x g x h x f x h |,|//，但 ()()()()x g x f x h +|。 例如 ()()()2,1,+=-==x x g x x f x x h ， 则()()()()x g x h x f x h |,|//，且()()()()x g x f x h +/|。 例 求m l ,， 使()2523+++=x lx x x f 能被()12++=mx x x g 整除。 解法1：因()()3=?x f ，()()2=?x g ，故商()x q 满足 ()()1=?x q ，且设()p x x q +=，则由 ()()()x g x q x f =，可得 ()()p x pm x p m x x lx x +++++=+++1252323， l m p pm p =+=+=,51,2，从而 4,2,2===l m p 。
高等代数例题 第一章 多项式 1．44P 2 （1）m 、p 、q 适合什么条件时，有2 3 1x mx x px q +-++ 2．45P 7 设3 2 ()(1)22f x x t x x u =++++，3 ()g x x tx u =++的最大公因式是一个二次多项式，求t 、 u 的值。 3．45P 14 证明：如果((),())1f x g x =，那么(()(),()())1f x g x f x g x += 4．45P 18 求多项式3 x px q ++有重根的条件。 5．46P 24 证明：如果(1)()n x f x -，那么(1)()n n x f x - 6．46P 25 证明：如果233 12(1)()()x x f x xf x +++，那么1(1)()x f x -，2(1)()x f x - 7．46P 26 求多项式1n x -在复数域内和实数域内的因式分解。 8．46P 28 （4）多项式1p x px ++ （p 为奇素数）在有理数域上是否可约？ 9．47P 1 设1()()()f x af x bg x =+，1()()()g x cf x dg x =+，且0ad bc -≠。求证： 11((),())((),())f x g x f x g x =。 10．48P 5 多项式()m x 称为多项式()f x ，()g x 的一个最小公倍式，如果（1）()()f x m x ，()()g x m x ； （2）()f x ，()g x 的任意一个公倍式都是()m x 的倍式。我们以[(),()]f x g x 表示首项系数为1的那个最 小公倍式。证明：如果()f x ，()g x 的首项系数都为1，那么()() [(),()]((),()) f x g x f x g x f x g x = 。 11．设 m 、n 为整数，2()1g x x x =++除33()2m n f x x x =+-所得余式为 。 12． 求证：如果()d x |()f x ，()d x |()g x ，且()d x 是()f x 与()g x 的一个组合，那么()d x 是()f x 与 ()g x 的一个最大公因式。 13． 14 3 4141)g( , 21212321)(23423456 -+--=+--+-- =x x x x x x x x x x x x f 求())(),(x g x f 。 14． 设22()(1) 21m n f x x x x =+--- (m ,n 是正整数),2()g x x x =+ 。证：()g x |()f x 。
第一章 多项式 1、（清华２000—20分）试求7次多项式()f x ，使()1f x +能被4 (1)X -整除,而()1f x -能 被4(1)X +整除。 2、（南航2001—20分） （1）设x 2-2px+2∣x 4+3x 2 +px+q ，求p,q 之值。 （2）设f(x)，g(x)，h(x)∈R[x]，而满足以下等式 （x 2 +1)h(x)+(x -1) f(x)+ (x -2) g(x)=0 （x 2+1)h(x)+(x+1) f(x)+ (x+2) g(x)=0 证明：x 2 +1∣f(x)，x 2 +1∣g(x) 3、（北邮2002—12分）证明：x d -1∣x n -1的充分必要条件是d ∣n （这里里记号d ∣n 表 示正整数d 整除正整数n ）。 4、、（北邮2003—15分）设在数域P 上的多项式g 1(x)，g 2(x )，g 3(x )，f(x),已知g 1(x)∣f(x)， g 2(x)∣f(x)， g 3(x)∣f(x)，试问下列命题是否成立，并说明理由： （1）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)两两互素，则一定有g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)∣f(x) （2）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)互素，则一定有g 1(x)g 2(x)g 3(x)∣f(x) 5、（北师大2003—25分）一个大于1的整数若和其因子只有1和本身，则称之为素数。证 明P 是素数当且仅当任取正整数a ，b 若p ∣ab 则p ∣a 或p ∣b 。 6、（大连理工2003—12分）证明：次数>0且首项系数为1的多项式f(x)是某一不可约多项 式的方幂主充分必要条件是，对任意的多项式g(x)，h(x) ，由f(x)∣g(x) h(x)可以推出 f(x)∣g(x)，或者对某一正整数m ，f(x)∣h m (x)。 7、（厦门2004—16分）设f(x)，g(x)是有理数域上的多项式，且f(x)在有理数域上不可约。 若存在数α使得f(α)=g(α)=0，则f(x)∣g(x)。 8、（南航2004—30分）（1）设f(x)=x 7+2x 6 -6x 5-8 x 4 +19x 3+9x 2-22x+8，g(x)=x 2+x -2， 将f(x)表示成g(x)的方幂和，即将f(x)表示成 f(x)=C k (x)g(x)k + C k-1(x)g(x)k-1+ … + C 1(x)g(x)+C 0(x) 其中次（C i (x)）<次（g(x)）或C i (x)=0，i=0,1, …,k。（15分 ） （2）设d(x)=( f(x)，g(x))，f(x)∣g(x)和g(x)∣h(x)。证明：f(x)g(x)∣d(x)h(x)。（15分） 9、（北京化工大2005—20分）设f 1(x)≠0，f 2(x)，g 1(x)，g 2(x)是多项式，且g 1(x)g 2(x)∣f 1(x) f 2(x)，证明：若f 1(x)∣g 1(x), 则g 2(x)∣f 2(x)。
第一章 多项式 §1多项式的整除 一、含单位根多项式的整除 问多项式12++x x 能否整除1717++x x ? 若∑=++++305234)(|1i i i x x f x x x x ，则)(|1x f x i -，3,2,1,0=i 设n 为非负整数，则1222)1(1++++++n n x x x x 122)1()(+++-=n n n x x x f ，证明1))(,1(2=++x f x x n 设i a 为非负整数，问∑=++n i a i x x x 1 21的充要条件是什么？ 设m 为大于1的整数，∑-== 10)(m i i x x f ，且c x f x f m +)(|)(，试求常数c 。 设∑-==1 0)(n i i x x g ，n n x x x g x f -+=2))(()(，则)(|)(x f x g （苏州大学2002）设,,,k m r s 都是非负整数。 设23()1,f x x x x =+++4414243()k m r s g x x x x x +++=+++。 证明： ()f x 整除()g x 。 苏州大学（2000）设多项式)(),(),(x h x g x f 满足 0)()2()()1()()1(4=-+-++x h x x g x x f x ， 0)()2()()1()()1(4=+++++x h x x g x x f x 证明：)(|14 x g x +
§2最大公因式与互素 如果)(x d 是)(x f 与)(x g 的公因式，且)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个组合，那么)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个最大公因式。 如果1))(),((=x g x f ，证明1))()(),()((=+x g x f x g x f （南京大学2001）设1F ,2F 是数域,且1F F ?,f (x),g (x)F ∈[x]. (1) 证明:如果在1F [x]中有g (x)| f (x),则在F [x],也有g (x)| f (x) (2) 证明: f (x)与g (x)在F [x]中互素当且仅当f (x) 与g (x)在1F [x]中互素. (3) 证明:设f (x)是数域F 的不可约多项式,则f (x)全是单根. 证明n n n x g x f x g x f ))(),(())(),((= （大连理工2005 ）设)(x f ，)(x g 是数域P 上的多项式，若33)]([)]([x g x f ，证明)()(x g x f 。 1))(),((=m m x g x f 当且仅当1))(),((=x g x f 设)()()(1x g x p x g k =,1))(),((1=x g x p .证明： ) ()()()()()()(111x g x p x f x p x r x g x f k k -+= 存在)(x u ，)(x v 适合))(),(()()()()(x g x f x g x v x f x u =+，且 ???? ???，证明1))(),((=x g x f 假设1))(),((21=x f x f ，证明：对任意)(),(21x g x g ，必存在)(x g ，使得 )()(|)(x g x g x f i i -，2,1=i
第一章 多项式 一．填空题 1、当p(x)是 多项式时，由p(x)| f(x)g(x)可推出p(x)|f(x)或p(x)|g(x)。 2、当f(x)与g(x) 时，由f(x)|g(x)h(x)可推出f(x)|h(x)。 3、设f(x)=x 3+3x 2+ax+b 用x+1除余数为3，用x-1除余数为5，那么a= b= 。 4、设f(x)=x 4+3x 2-kx+2用x-1除余数为3，则k= 。 5、如果(x 2-1)2|x 4-3x 3+6x 2+ax+b ，则a= b= 。 6、f(x)没有重根的充分必要条件是 。 7、如果f(x)=x 3-3x+k 有重根，那么k= 。 8．若不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式，则()p x 是(1)()k f x -的 因式 9、a 是f(x)的根的充分必要条件是 。 10、以l 为二重根，2，1+i 为单根的次数最低的实系数多项式为f(x)= 。 11．艾森施坦因判别法是判断多项式在有理数域上不可约的一个 条件。 答案 1、不可约 2、互素 3、a=0,b=1 4、k=3 5、a=3,b=-7 6、(f(x),f’(x))=1 7、k=±2 8. 单因式 9、x-a|f(x) 10、x 5-6x 4+15x 3-20x 2+14x-4 11. 充分 二．判断并说明理由 1、若f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x),则f(x)|h(x) （ ） 2、若f(x)|g(x)h(x)，则f(x)|g(x)或f(x)|h(x) ( ) 3. 设()[]f x P x ∈，且(1)(1)0f f -==，则21()x f x -． （ ） 4、设p(x)是数域p 上不可约多项式，如果p(x)是f(x)的k 重因式，则p(x)是()f x '的k-1重因式。 （ ） 5．任何两个多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变。 6．若一整系数多项式()f x 有有理根，则()f x 在有理数域上可约。 7.若()f x 无有理根，则()f x 在Q 上不可约。（ ） 8. 在实数域上所有次数大于或等于3的多项式都是可约的. （ ） 9、f(x)=x 4-2x 3+8x-10在有理数域上不可约。（ ）
---------------------------------------------------------------------------------------------------高等代数第一次作业 第一章 多项式 §1—§3 一、填空题 1. 如果()|()f x g x ,()|()g x h x ，则 。()|()f x h x 2. 若()|()()f x g x h x +,()|()f x g x ，则 。()|()f x h x 3. 若()|()f x g x ,()|()/f x h x ，则 。()|()()/f x g x h x + 二、判断题 1. 数集}{1,,|2-=+i b a bi a 是有理数是数域（ ）√ 2. 数集}{1,,|2-=+i b a bi a 是整数是数域 （ ）× 3. 若()|()()f x g x h x ,()|()/f x g x ,则()|()f x h x ( ) × 4. 若()|()()f x g x h x +,()|()f x g x ,则()|()f x h x （ ）√ 5. 数集}{ 是有理数b a b a ,|2+是数域 （ ）√ 6. 数集}{为整数n n |2是数域 （ ）× 除法不封闭 7. 若()|()()f x g x h x ，则()|()f x g x 或()|()f x h x ( ) × 当()f x 是不可约时才成立 8. 若()|()/f x g x ,()|()/f x h x ，则()|()()/f x g x h x ( ) × 如2()f x x =，()()g x h x x ==时不成立 9. 若()|()()f x g x h x +,()|()()f x g x h x -，则()|()f x g x 且()|()f x h x ( ) √ 三、选择题 1. 以下数集不是数域的是（ ）B A 、{是有理数b a bi a ,|+，21i =-} B 、{是整数b a bi a ,|+，21i =-} C 、{ }是有理数b a b a ,|2+ D 、{}全体有理数 2. 关于多项式的整除，以下命题正确的是 （ ）C A 、若()|()()f x g x h x 且()|()/f x g x ,则()|()f x h x B 、若()|()g x f x ,()|()h x f x ,则()()|()g x h x f x C 、若()|()()f x g x h x +，且()|()f x g x ，则()|()f x h x D 、若()|()/f x g x ,()|()/f x h x ，则()|()()/f x g x h x 四、计算题 数域P 中的数q p m ,,适合什么条件时, 多项式q px x mx x ++-+32|1? 解：由假设，所得余式为0，即 0)()1(2=-+++m q x m p 所以当???=-=++0 012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1 五、证明题 试证用21x -除()f x 所得余式为2 )1()1(2)1(1-++--f f x f f ）（。 证明：设余式为ax b +，则有2()(1)()f x x q x ax b =-++
第一章 多项式 §1—§3 一、填空题 1. 如果()|()f x g x ,()|()g x h x ，则 。()|()f x h x 2. 若()|()()f x g x h x +,()|()f x g x ，则 。()|()f x h x 3. 若()|()f x g x ,()|()/f x h x ，则 。()|()()/f x g x h x + 二、判断题 1. 数集}{1,,|2-=+i b a bi a 是有理数是数域（ ）√ 2. 数集}{1,,|2-=+i b a bi a 是整数是数域 （ ）× 3. 若()|()()f x g x h x ,()|()/f x g x ,则()|()f x h x ( ) × 4. 若()|()()f x g x h x +,()|()f x g x ,则()|()f x h x （ ）√ 5. 数集}{ 是有理数b a b a ,|2+是数域 （ ）√ 6. 数集}{为整数n n |2是数域 （ ）× 除法不封闭 7. 若()|()()f x g x h x ，则()|()f x g x 或()|()f x h x ( ) × 当()f x 是不可约时才成立 8. 若()|()/f x g x ,()|()/f x h x ，则()|()()/f x g x h x ( ) × 如2()f x x =，()()g x h x x ==时不成立 9. 若()|()()f x g x h x +,()|()()f x g x h x -，则()|()f x g x 且()|()f x h x ( ) √ 三、选择题 1. 以下数集不是数域的是（ ）B A 、{是有理数b a bi a ,|+，21i =-} B 、{是整数b a bi a ,|+，21i =-} C 、{ }是有理数b a b a ,|2+ D 、{}全体有理数 2. 关于多项式的整除，以下命题正确的是 （ ）C A 、若()|()()f x g x h x 且()|()/f x g x ,则()|()f x h x B 、若()|()g x f x ,()|()h x f x ,则()()|()g x h x f x C 、若()|()()f x g x h x +，且()|()f x g x ，则()|()f x h x D 、若()|()/f x g x ,()|()/f x h x ，则()|()()/f x g x h x 四、计算题 数域P 中的数q p m ,,适合什么条件时, 多项式q px x mx x ++-+32|1 解：由假设，所得余式为0，即 0)()1(2=-+++m q x m p 所以当???=-=++0 012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1 五、证明题 试证用21x -除()f x 所得余式为 2 )1()1(2)1(1-++--f f x f f ）（。 证明：设余式为ax b +，则有2()(1)()f x x q x ax b =-++ (1),(1)f a b f a b =+-=-+ 求得a =2)1()1(,2)1()1(-+=--f f b f f 高等代数第二次作业 第一章 多项式 §4—§6 一、填空题 1. 当()p x 是 多项式时，由()|()()p x f x g x 可推出()|()p x f x 或()|()p x g x 。不可约