翻杯子
●不能翻成功
一个杯口朝上的杯子，要翻成杯口朝下，要翻动1次、3次、5次……即奇数次。这样，根据奇、偶数的性质，可以发现：当杯子总数N为奇数而每次翻动的个数M为偶数时，无论翻几次，都不能成功。因为需翻动杯子的总次数为奇数（奇数个奇数的和为奇数），而实际翻动总次数一定为偶数，显然奇数≠偶数，所以不能成功。除此之外的其它情况都能翻成功，即：（杯子总数为N、每次翻动的个数为M）
①N为奇数、M为偶数时，无法翻成功;
②N为奇数、M为奇数时，且需翻动奇数次; (N<2M，为3次)
③N为偶数、M为奇数时，且需翻动偶数次; (N<2M，为4次)
④N为偶数、M为偶数时，且翻动奇、偶次均可。(N<2M，为3次)
●最少需翻几次，怎样翻？
解题步骤：①能不能翻成功②能成功，翻几次
1、当N=M倍，需翻N÷M次
例1、8个杯口全部向上的杯子，每次将其中4个同时翻转，几次翻转杯口能全部向下?
解：①∵N与M同为偶数；∴能翻成功
②翻2次（=8÷4）
通常，考题中的N是不能被M整除的，也就是说，在翻的过程中肯定有些杯子是需要重复翻的，这时，翻成功的次数必≥3次，具体最少是几次，取决于第一次翻动之后，剩余杯子数(N-M)和每次翻动杯子数M之间的关系。①N=M+1；②N>2M；③N<2M。
2、当N=M+1时，需翻次数=杯子总数=N次（轮翻）
例1、有8个杯口全部向上的杯子，每次将其中7个同时翻转，几次翻转杯口能全部向下? 解：①∵N为偶数，M为奇数；∴(偶数次)能翻成功
②翻8次（轮翻，次数=N）
具体操作如下：(○表示杯口朝上，●表示杯口朝下) ○○○○○○○○
第1次●●●●●●●○第2次○○○○○○●●
第3次●●●●●○○○第4次○○○○●●●●
第5次●●●○○○○○第6次○○●●●●●●
第7次●○○○○○○○第8次●●●●●●●●
（第1次第1个不翻，第2次第2个不翻，每3次第3个不翻。。。。。。第8次第8个不翻）结论：通过上图发现，每两次就能翻成两个，所以8个杯子每次翻7个需8次翻成功，共翻了56次，每个杯子翻了7次。事实上，每当重复翻动一个杯子，即将已翻成杯口朝下的杯子先翻回杯口朝上，下次再翻成杯口朝下，这个过程实际上是将一个杯子多翻了两次，假设不重复翻的话，相当于在原杯子总数N的基础上另外增加了两个杯子，即有(N+2)个杯子。同理，若需要重复翻动a个杯子就可看做共有(N+2a)个杯子需要翻动。显然，8个杯子，每次须翻动7个，那么第二次翻动时一定有6个杯子被重复翻动，可看成每次增加2×6=12个杯子，则翻动次数为(8+12×4)÷7=8(次)，8+12×4=56表示总次数，还可知每个杯子均被翻56÷8=7次。
2、当N>2M
例2：有13个杯口全部向上的杯子，每次将其中5个同时翻转，几次翻转杯口全部向下? 解：①∵N为奇数，M为奇数；∴能翻成功
②需翻动奇数次（13个奇数之和是奇数=5×翻动次数，翻动次数存在且必为奇数）具体操作如下：(○表示杯口朝上，●表示杯口朝下) ○○○○○○○○○○○○○
第1次●●●●●○○○○○○○○（剩下的是偶数，先翻一个，再由左边补足）
第2次●●●●○●●●●○○○○
第3次●●●●●●●●●●●●●
（当剩下的杯子数是小于2M的偶数时，先翻动它的一半，再由左边的补足）
例3：有12个杯口全部向上的杯子，每次将其中5个同时翻转，几次翻转杯口全部向下? 解：①∵N为奇数，M为偶数；∴能翻成功
②需翻动偶数次（12个奇数之和是偶数=5×翻动次数，翻动次数存在且必为偶数）具体操作如下：(○表示杯口朝上，●表示杯口朝下) ○○○○○○○○○○○○
第1次●●●●●○○○○○○○（剩下的是奇数，先翻一个，再由左边补足）
第2次○○○○●●○○○○○○（剩下的是偶数，先翻一个，再由左边补足）
第3次●●●●●●●○○○○○
第4次●●●●●●●●●●●●
（当剩下的杯子数是小于2M的奇数时，先翻动它的一个，再由左边补足，变为乘下偶数）
3、当N<2M
(1)若N与M同偶或同奇，需3次。 (2)若N是偶数，M是奇数，需4次。
小学奥数知识点归纳和总结 二年级奥数知识点分类： 一、运算符号类 二、规律填数类 三、规律画图类 四、年龄问题类 五、间隔问题类（含植树问题及智力计数） 六、周期问题类 七、有序思考类 八、时钟问题类 九、推理及思维训练类（包含算式类） 十、和差问题类 十一、和倍问题类 十二、差倍问题类 十三、一笔画类 十四、移动变换类 十五、智力趣味类（包含巧切西瓜） 十六、鸡兔同笼类 十七、盈亏问题类 十八、应用类（含数量关系、重叠问题、） 三年级奥数知识点分类： 一、计算类 计算是数学学习的基本知识，也是学好奥数的基础。能否又快又准的算出答案，是历年数学竞赛考察的一个基本点。三年级的计算包括：速算与巧算、数列规律、数列求和、等差数列的和等。 二、应用题类 从三年级起，大量的奥数专题知识都是所有年级所有竞赛考试中必考的重点知识。学生们一定要在各个应用题专题学习的初期打下良好的基础。 (1)和倍、差倍问题： 用线段标识等方法揭示这两类问题中各种数量关系，和倍问题：小数=和÷(倍数+1)。三、差倍问题： 小数=差÷(倍数-1) (2)年龄问题： 教授解决年龄问题的主要方法：和倍、差倍方法;画图线段标示法。 (3)盈亏问题： 介绍盈亏问题的主要形式 (双盈、双亏、一盈一亏) 分配总人数=盈亏总额÷两次分配数之差。 (4)植树问题： 总长、株距、棵树三要素之间的数量关系：总长=株距×段数，封闭图形：棵数=段数不封闭图形：
两头都栽：棵数=段数+1 两头都不栽：棵数=段数-1 一头栽一头不栽：棵数=段数 (5)鸡兔同笼问题： 介绍鸡兔同笼问题的由来和主要形式，揭示鸡兔同笼问题中的数量关系，假设法(6)行程问题： 相遇问题、追及问题等，相遇时间=总路程÷速度和，追及时间=距离÷速度差。 (7)周期问题 (8)还原问题 (9)归一问题 (10)体育比赛中的数学、趣题巧解几何类 三年级学校的学习中就会涉及到一些简单的图形求周长和面积了，那么在奥数中图形问题涉及到的是巧求周长、巧求矩形面积数论类 现在三年级也开始涉及到了数论了，是比较简单的能被2、3、5整除的性质、奇数和偶数、余数与周期问题。 四年级奥数知识点分类： 1.圆周率常取数据 3.14×1＝3.14 3.14×2＝6.28 3.14×3＝9.42 3.14×4＝12.56 3.14×5＝15.7 3.15×6＝18.84 3.14×7＝21.98 3.14×8＝25.12 3.14×9＝28.26 2.常用特殊数的乘积 125×8＝1000 25×4＝100 125×3＝375 625×16＝10000 7×11×13＝1001 25×8＝200 125×4＝500 37×3=111 3.100内质数： 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 4.单位换算： 1米=3尺=3.2808英尺=1.0926码 1公里=1000米=2里 1码=3英尺=36英寸 1海里=1852米=3.704里=1.15英里 1平方公里=1000000平方米=100公顷 =4平方里=0.3861平方英里 1平方米=100平方分米=10000平方厘米
5、想一想，怎样标出温度计上的刻度？ 答：要有统一的标准，使用起来才方便。华氏温标用 F表示在标准大气压下，水的冰点是32 F，水的沸点是212 F。摄氏温标用C表示在标准大气压下，水的冰点是0 C，水的沸点是100 C。 6、用冰块冷却食物，食物应放在冰块上还是冰块下？为什么？ 答：应把食物放在冰块的下方。因为冰块周围的空气受冷会很快下沉，不断下沉的冷空气包围住要冷却的物体，从而达到尽快冷却的目的。 4、吸热与散热 1、实验一：在获得相同热量的情况下，油的升温速度比水快；在同时停止加热的情况下，油的降温速度比水快。 2、实验二：在获得相同热量的情况下，金属片的升温速度比纸板快；在同时停止加热的情况下，金属片的降温速度比纸板快。 3、这两个实验说明了什么？ 答：不同物质的吸热和散热性能是不一样的，固体的吸热、散热性能通常优于液体。 4、同一种物质，如果表面颜色不同，他们的吸热和散热的性能一样吗？ 答：深色物体升温快，降温快；浅色物体升温慢，降温也慢。 5、为什么冰箱后的散热板都被漆成黑色？ 答：冰箱后的散热板都被漆成黑色是因为深色物体的散热性能好。 6、为什么沙漠地区的人喜欢穿白色而宽大的衣服？ 答:热带地区的人们常穿的白色长袍吸热性能差，而且宽大的长袍中可行成气体对流，因此会使人感觉凉爽。 7、为什么海水和海边沙滩的温度不一样？ 答：海水和沙的吸热性能不同，在相同的阳光下，沙升温快，海水升温慢，所以水中凉快，而沙滩温度高。 8、冬天人们穿的衣服以什么颜色为主？为什么？ 答：冬天人们穿的衣服以深色为主，因为深色的衣服吸收热量的性能比浅色的吸收热量的性能强。 四年级科学问题解答 第一单元我们周围的空气 1、空气的性质 1、你有什么办法证明空气的存在？ 答：把瓶子倒立放入水中，然后翻转会看到有气泡冒出；把海绵放到水里挤压会看到有气泡冒出；把饼干、砖头放到水里也会看到有气泡冒出。这些都能证明空气的存在 2、把一团纸巾塞在杯底，将杯子倒立竖直压入水中，纸团会湿吗？为什么会这样？ 答：不会，因为空杯子并不是真正空的，杯子里的空间被空气占据着。 3、用力吹瓶子里的气球，气球吹得大吗？为什么这样?怎样才能吹大瓶子里的气球呢？ 答：不会，因为瓶子里的空间被空气占据着，所以气球就吹不大。松开套住瓶口的气球或者在瓶身上打孔，瓶子里的空气被气球从缝隙里或者小孔中挤出来，腾出瓶子里的空间，气球就能吹大了。 4、把俩只充气的气球吊在小棍上，并使他们保持平衡，刺破其中一只，观察发生的现象。想一想，实验的结果说明了什么？ 答：刺破气球的那端木棍翘起来，说明空气有质量。 5、解开气球的绳子，让气球的口对着自己的脸，你有什么感觉?这个实验说明了什么? 答:有风吹过脸庞，（不必统一答案，具体依据学生的回答）说明空气具有流动性。 6、用手压“气垫”有什么感觉？再用力压一压，感觉又怎样？松开手后你看见了什么?怎样解释这些现象？ 答:感觉用手压时塑料袋内有东西向上弹（或者像上顶）手。再用力压一压，感觉向上弹（或者像上顶）力气变大。松开手后看见“气垫”又恢复了原来的样子。说明（1）塑料袋内有空气存在。
小学奥数知识点汇编大全（含30个经典知识模块） 1．和差倍问题 和差问题和倍问题差倍问题 已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数 公式适用范围已知两个数的和，差，倍数关系 公式①(和－差)÷2=较小数 较小数＋差=较大数 和－较小数=较大数 ②(和＋差)÷2=较大数 较大数－差=较小数 和－较大数=较小数 和÷(倍数＋1)=小数 小数×倍数=大数 和－小数=大数 差÷(倍数-1)=小数 小数×倍数=大数 小数＋差=大数 关键问题求出同一条件下的 和与差和与倍数差与倍数 2．年龄问题的三个基本特征： ①两个人的年龄差是不变的； ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的； ③两个人的年龄的倍数是发生变化的； 3．归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。 关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量； 4．植树问题 基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树封闭曲线上植树 基本公式棵数=段数＋1 棵距×段数=总长棵数=段数－1 棵距×段数=总长棵数=段数
棵距×段数=总长 关键问题确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系 5．鸡兔同笼问题 基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来； 基本思路： ①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）： ②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少； ③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因； ④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。 基本公式： ①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数） ②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数） 关键问题：找出总量的差与单位量的差。 6．盈亏问题 基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量．基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量． 基本题型： ①一次有余数，另一次不足； 基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差 ②当两次都有余数； 基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差 ③当两次都不足； 基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差 基本特点：对象总量和总的组数是不变的。 关键问题：确定对象总量和总的组数。 7．牛吃草问题 基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。 基本特点：原草量和新草生长速度是不变的； 关键问题：确定两个不变的量。 基本公式： 生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）；
全脑风暴 让你越玩越聪明的1228个思维游戏 内容提要 本书用好玩有趣的游戏，教你如何克服易犯的错误，从不合逻辑的情景中找出符合逻辑的答案，不让习以为常的错误思维阻碍你，让你的思考更从容，各种能力得到大幅提高。相信经过这些益智游戏的训练，你会变成一个成功的人，一个灵活的人，一个会思考的人！ 章节目录 第一部分记忆思维游戏 1.记忆力大考验 2.相加为10 3.水果印象 4.掉队的多米诺骨牌 5.限时追凶 6.找朋友 7.快速记忆 8.记忆动物园 9.数字记忆 10.影子迷藏 第二部分观察思维游戏 11.哪一组齿轮的方向画错了 12.找共同点 13.缺失的标志 14.图案归队 15.图形等式 16.谁是另类 17.别样表情 18.数字立方 19.字母立方 20.角上的卫兵 21.符号立方 22.异类图标 23.谁打乱了规律 24.不守规矩的图 25.对对碰 26.谁是该出局的 411.轻松取球 ?412.毛毛虫的路线 ?413.摆棋子 ?414.水杯的魔法 ?415.圆木金字塔 ?416.最后的蛋糕 ?417.反败为胜 ?418.突尼斯智慧 ?419.找圆心 ?420.巧移硬币 ?421.漂浮的针 ?422.不可靠的预测机 ?423.移杯子 ?424.完整分离 ?425.隔空落物 ? 第十一部分动手游戏 426.折叠变形 427.内接三角形 428.圆分8份 429.一笔五环 430.一变二 431.神来一线 432.隔空栓扣 433.一笔绘图 434.星星变形 435.剪剪拼拼 436.分割五边形 437.指尖的算术 438.“大”变“人” 439.亲密三角形 440.绳子繁殖 ?829.加加减减 830.梯形数塔 831.字母算式 ?832.猪肉账 ?833.伪善的慈善家 ?834.找错账 ?835.肥羊有多少 ?836.是赚是赔 ?837.符号的妙用 ?838.单价几何 ?839.旅程知多少 ?840.物物交换 ?841.小鸡与饲料 ?842.糊涂账 ?843.孩子的年龄 ?844.马与狗的竞赛CYZ自吸式离心 油泵 ?845.船长的下属 ?846.简便运算 ?847.乘法窍门 ?848.遗产的分配 ?849.适当的填法 ?850.刁藩都的寿命 ?851.面积的计算 ?852.降价的前提 ?853.韩信点兵 ?854.首饰的价格 ?855.蚂蚁搬兵 ?856.年年岁岁 ?857.和尚吃斋 ?858.万能的四个数
1．和差倍问题 和差问题和倍问题差倍问题 已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数 一、和差倍问题 （一）和差问题：已知两个数的和及两个数的差;求这两个数。 方法①：（和－差）÷2= 较小数;和-较小数=较大数 方法②：（和+ 差）÷2=较大数;和- 较大数=较小数 例如：两个数的和是15;差是5;求这两个数。 方法：（15-5）÷2=5 ;（15+5）÷2=10 . （二）和倍问题：已知两个数的和及这两个数的倍数关系;求这两个数。 方法：和÷（倍数+1）=1倍数（较小数） 1倍数（较小数）×倍数=几倍数（较大数） 或和-1 倍数（较小数）= 几倍数（较大数） 例如：两个数的和为50;大数是小数的4倍;求这两个数。 方法：50÷（4+1）=10 10×4=40 （三）差倍问题：已知两个数的差及两个数的倍数关系;求这两个数。 方法：差÷（倍数-1 ）=1倍数（较小数） 1倍数（较小数）×倍数=几倍数（较大数） 或和-倍数（较小数）=几倍数（较大数） 例如：两个数的差为80;大数是小数的5倍;求这两个数。 方法：80÷（5-1）=20 20×5=100 和与差和与倍数差与倍数
2．年龄问题的三个基本特征： ①两个人的年龄差是不变的; ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的; ③两个人的年龄的倍数是发生变化的;两人年龄的倍数关系是变化的量; 解答年龄问题的一般方法是： 几年后年龄=大小年龄差÷倍数差-小年龄; 几年前年龄=小年龄-大小年龄差÷倍数差． 题目一般用“照3．归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量;一般是那个“单一量”； 这样的速度”……等词语来表示。 关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量; 4．植树问题 基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树;两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树;两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树;只有一端植树封闭曲线上植树 三、植树问题 （一）不封闭型（直线）植树问题 1、直线两端植树：棵数=段数+1=全长÷株距+1 ; 全长=株距×（棵数-1 ）; 株距=全长÷（棵数-1 ）; 2、直线一端植树：全长=株距×棵数; 棵数=全长÷株距; 株距=全长÷棵数; 3 、直线两端都不植树：棵数=段数-1= 全长÷株距-1 ;
数论基础知识 小学数论问题，起因于除法算式：被除数÷除数＝商……余数 1.能整除：整除，因数与倍数，奇数与偶数，质数与合数，公因数与公倍数，分解质因数等； 2.不能整除：余数，余数的性质与计算（余数），同余问题（除数），物不知数问题（被除数）。 一、因数与倍数 1、因数与倍数 （1）定义： 定义1：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数。 定义2：如果非零自然数a、b、c之间存在a×b＝c，或者c÷a＝b，那么称a、b是c的因数，c是a、b 的倍数。 注意：倍数与因数是相互依存关系，缺一不可。（a、b是因数，c是倍数） 一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。 一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 （2）一个数的因数的特点： ①最小的因数是1，第二小的因数一定是质数； ②最大的因数是它本身，第二大的因数是：原数÷第二小的因数 （3）完全平方数的因数特征： ①完全平方数的因数个数是奇数个，有奇数个因数的数是完全平方数。 ②完全平方数的质因数出现次数都是偶数次； ③1000以内的完全平方数的个数是31个，2000以内的完全平方数的个数是44个，3000以内的完 全平方数的个数是54个。（312=961，442=1936，542=2916） 2、数的整除（数的倍数） （1）定义： 定义1：一般地，三个整数a、b、c，且b≠0，如有a÷b＝c，则我们就说，a能被b整除，或b能整除a，或a能整除以b。 定义2：如果一个整数a，除以一个整数b（b≠0），得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。（a≥b） （2）整除的性质： 如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。 如果a能被b整除，c是整数，那么a×c也能被b整除。 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。 （3）一些常见数的整除特征（倍数特征）： ①末位判别法 2、5的倍数特征：末位上的数字是2、5的倍数。 4、25的倍数特征：末两位上的数字是4、25的倍数。 8、125的倍数特征：末三位上的数字是8、125的倍数。 ②截断求和法（从右开始截） 9（及其因数3）的倍数特征：一位截断求和 99（及其因数3、9、11、33）的倍数特征：两位截断求和 999（及其因数3、9、27、37、111、333）的倍数特征：三位截断求和 ③截断求差法（从右开始截） 11的倍数特征：一位截断求差 101的倍数特征：两位截断求差 1001（及其因数7、11、13、77、91、143）的倍数特征：三位截断求差
小学奥数知识点汇总 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等
22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
小学奥数最主要的30个知识点1．和差倍问题 和差问题和倍问题差倍问题 已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数公式适用范围已知两个数的和，差，倍数关系 公式①(和－差)÷2=较小数 较小数＋差=较大数小学奥数很简单，就这30个知识点 和－较小数=较大数 ②(和＋差)÷2=较大数 较大数－差=较小数 和－较大数=较小数 和÷(倍数＋1)=小数 小数×倍数=大数 和－小数=大数 差÷(倍数-1)=小数 小数×倍数=大数 小数＋差=大数 关键问题求出同一条件下的 和与差和与倍数差与倍数 2．年龄问题的三个基本特征： ①两个人的年龄差是不变的；
②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的； ③两个人的年龄的倍数是发生变化的； 3．归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。 关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量； 4．植树问题 基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树封闭曲线上植树 基本公式棵数=段数＋1 棵距×段数=总长棵数=段数－1 棵距×段数=总长棵数=段数 棵距×段数=总长 关键问题确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系 5．鸡兔同笼问题 基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；基本思路： ①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）： ②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少； ③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；
最新归纳总结小学奥数30个知识点 差倍问题已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数，公式适用范围已知两个数的和，差，倍数关系，公式：① (和－差)2=较小数较小数＋差=较大数和－较小数=较大数② (和＋差)2=较大数较大数－差=较小数和－较大数=较小数③和(倍数＋1)=小数小数倍数=大数和－小数=大数④差(倍数-1)=小数小数倍数=大数小数＋差=大数关键问题求出同一条件下的和与差和与倍数差与倍数2年龄问题的三个基本特征①两个人的年龄差是不变的；②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的； ③两个人的年龄的倍数是发生变化的；3归一问题的三个基本特点问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量；4植树问题基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树封闭曲线上植树基本公式棵数=段数＋1棵距段数=总长棵数=段数－1棵距段数=总长棵数=段数棵距段数=总长关键问题确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系5鸡兔同笼问题基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；基本思路：①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：②假设后，发生了和题目条件不同的差，找
出这个差是多少；③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。基本公式：①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数总头数－总脚数）（兔脚数－鸡脚数）②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数总头数）（兔脚数一鸡脚数）关键问题：找出总量的差与单位量的差。6盈亏问题基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量、基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量、基本题型：①一次有余数，另一次不足；基本公式：总份数＝（余数＋不足数）两次每份数的差②当两次都有余数；基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）两次每份数的差③当两次都不足；基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）两次每份数的差基本特点：对象总量和总的组数是不变的。关键问题：确定对象总量和总的组数。7牛吃草问题基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；关键问题：确定两个不变的量。基本公式：生长量=（较长时间长时间牛头数-较短时间短时间牛头数）（长时间-短时间）；总草量=较长时间长时间
小学数基础知识点大全一 正整数： 用来表示物体个数的1、2、3、4、5……叫做正整数。相邻的两个正数整数之间相差1。0： 0是一个数，是一个自然数，也是一个整数，但不是正整数或负整数。 0既可以表示“没有”，也可以作为某些数量的界限，如0o C等。 0是一个偶数。0不能作除数，不能作分母，也不能作比的后项。 负整数： 像－l、－2、－3、－4、－5……这样的数就叫做负整数。相邻的两个负整数之间也是相差1。整数：像…，－3，－2，－1，0，1，2，3，…这样的数统称整数。 整数包括负整数、0和正整数。 整数的个数是无限的。自然数是整数的一部分。 自然数：用来表示物体个数的0、l、2、3、4、5、6、7……叫做自然数。自然数包括0和正整数。 正数：正数包括正整数、正分数、正小数、正百分数等。 负数：负数包括负整数、负分数、负小数、负百分数等。负数可以表示相反意义的量。 数对：用数对表示位置时，第一个数表示列，第二个数表示行。 数的读法和写法： 读、写者都要从高位到低位，每一级末尾的0都不读出来，其他数位连续有几个0都只读一个0。不管读和写都要进行分级。如534007000602读作：五千三百四十亿零七百万零六百零二 分数：表示把“单位1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。表示其 中一份的数叫做分数单位。例如：7 12的分数单位是1 12 ，它有7个这样的分数单位。 真分数：分子比分母小的分数叫真分数。真分数小于1。
假分数：分子大于或等于分母的分数叫做假分数。假分数大于或等于1。 带分数：一个整数(零除外)和一个真分数组合在一起的数，叫做带分数。带分数也是假分数的另一种表示形式，相互之间可以互化。 分数的基本性质： 一个分数的分子、分母同时乘上或除以相同的数(零除外)，分数的大小不变，这叫做分数的基本性质。 小数：小数是分数的一种特殊形式。但是不能说小数就是分数。 循环小数：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数。 纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的循环小数，叫做纯循环小数。例如0.3g、0.24g g 混循环小数：循环节不是从小数部分的第一位开始循环的循环小数，叫混循环小数。例如0.25g、 g g 0.423 有限小数：小数的小数部分的位数是有限的，这样的小数叫做有限小数。 无限小数：小数的小数部分的位数是无限的，这样的小数叫做无限小数。循环小数都是无限小数，无限小数不一定都是循环小数。例如，圆周率 也是无限小数，它是无限不循环小数。小数的基本性质： 小数的末尾添上0或去掉0，小数的大小不变，这叫做小数的基本性质。小数的基本性质与分数的基本性质是一致的。 小学数基础知识点大全二 减法：被减数－减数＝差。减法是加法的逆运算。 乘法：求几个相同加数的和的简便运算，叫做乘法。因数×因数＝积 除法：被除数÷除数＝商。除法是乘法的逆运算。 加、减法的运算定律： 加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：a＋b＋c＝a＋(b＋c) 减法的运算定律：a－b－c＝a－(b＋c)
小学奥数的30个知识点(三平米教育) 1.和差倍问题（https://www.doczj.com/doc/f52944454.html,） 和差问题和倍问题差倍问题 已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数 公式适用范围已知两个数的和，差，倍数关系 公式①(和-差)÷2=较小数 较小数+差=较大数 和-较小数=较大数 ②(和+差)÷2=较大数 较大数-差=较小数 和-较大数=较小数 和÷(倍数+1)=小数 小数×倍数=大数 和-小数=大数 差÷(倍数-1)=小数 小数×倍数=大数 小数+差=大数 关键问题求出同一条件下的 和与差和与倍数差与倍数 2.年龄问题的三个基本特征：（https://www.doczj.com/doc/f52944454.html,） ①两个人的年龄差是不变的; ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的; ③两个人的年龄的倍数是发生变化的; 3.归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。 关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量; 4.植树问题 基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树封闭曲线上植树基本公式棵数=段数+1 棵距×段数=总长棵数=段数-1 棵距×段数=总长棵数=段数 棵距×段数=总长 关键问题确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系 5.鸡兔同笼问题 基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来; 基本思路： ①假设，即假设某种现象存在(甲和乙一样或者乙和甲一样)： ②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少; ③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因; ④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。 基本公式：
小学（数学）奥数知识总结手册 目录 1、和差倍问题 2、年龄问题的三个基本特征： 3、归一问题的基本特点： 4、鸡兔同笼问题 5、植树问题 6、盈亏问题 7、牛吃草问题 8、周期循环与数表规律 9、平均数 9、抽屉原理 10、定义新运算 11、加法乘法原理和几何计数 12、数列求和 13、二进制及其应用 14、质数与合数 15、约数与倍数 16、余数及其应用 17、余数、同余与周期 18、数的整除 19、分数与百分数的应用 20、分数拆分 21、分数大小的比较 22、完全平方数 23、比和比例 24、综合行程 25、工程问题 26、逻辑推理 27、立体图形 28、几何面积 29、时钟问题—快慢表问题
30、时钟问题—钟面追及 31、浓度与配比 32、经济问题 33、简单方程 34、不定方程 35、循环小数 1、和差倍问题 2、年龄问题的三个基本特征： ①两个人的年龄差是不变的； ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的； ③两个人的年龄的倍数是发生变化的； 3、归一问题的基本特点： 问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量； 4、鸡兔同笼问题 基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；
基本思路： ①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）： ②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少； ③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因； ④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。 基本公式： ①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数） ②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数） 关键问题：找出总量的差与单位量的差。 5、植树问题 6、盈亏问题 基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量． 基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量． 基本题型： ①一次有余数，另一次不足； 基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差 ②当两次都有余数； 基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差 ③当两次都不足； 基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差 基本特点：对象总量和总的组数是不变的。 关键问题：确定对象总量和总的组数。
自然角创设中的困惑
我谈幼儿园自然角的创设 自然角是教育活动环境的重要组成部分，更是大自然的缩影。自然角里的动植物具有生命力，他们生长发展的过程，具备特定的教育功能，孩子们在种植、喂养、采摘等体验活动中，观察动植物、照顾动植物，激发幼儿好奇心和求知欲，培养幼儿对周围事物、现象的兴趣以及幼儿动手动脑、探究问题、观察事物等方面的能力，萌发幼儿爱护动植物、亲近自然的情感。它能激发幼儿的学习兴趣，丰富幼儿的学习经历，也能改变幼儿的学习方式，提高幼儿的学习能力。 自然角创设中存在的两个问题 自然角作为一种活的课程越来越得到了大家的重视，尤其是在城市化进程中幼儿生活越来越远离自然，他们熟悉一些现代化的东西，却不分葱和蒜，自然知识贫乏。因此自然角就渐渐成为孩子了解自然的窗口。但总观各班的自然角创设发现主要存在以下两个问题： 自然角的内容单一，创设和管理以老师为主。 在日常的教育教学中，自然角并不被大家重视，只是在观摩评比时，大家会搜集一些动植物和水果，分门别类地摆放。都是老师在张罗，虽然孩子也会参与也只是要带些物品充实其中。尤其是在管理中老师包办的现象严重，自然角像是班级里的一道风景和摆设，呈现的内容也是大同小异。 其二是自然角无法发挥与孩子的交互作用。 自然角刚创建时非常热闹，会吸引孩子驻足、观看，但惊叹一声或是热闹一番后就恢复平静，孩子只是停留在看新鲜的阶段，并没有让自然角的材料与这里的每一个变化牵动幼儿的神经，使得自然角与孩子时时发生互动发挥起应有的价值。自然角创设和利用的过程中怎样尽可能充分发动幼儿的作用，真正让自然角发挥出它的作用呢？ 三种呈现方式使自然角丰富多彩 一、利用自然之物来呈现 自然界赋予了我们众多的材料，泥、沙、动物、花卉、蔬菜等等，只要做个有心人材料可谓是唾手可得。归纳分析一下在我们的周围能用的有：1．植物类：选择常见的、易于生长的、好照管的植物。如观赏类的仙人球、仙人掌、文竹、玉树、秋海棠、金枝玉叶等；蔬菜类的萝卜、葱、蒜、土豆、白菜、芹菜、菠菜、茄子等；农作物类的棉花、小麦、玉米、花生、大豆、水稻、绿豆、红豆、地瓜等。 2.动物类：选择无危害、便于喂养的、幼儿感兴趣和可以抚摸的形体较小的动物。如小兔、金鱼、鲫鱼、小乌龟、蚕、蝌蚪、鸟类以及各种小昆虫等。 3.水果类：如苹果、梨、香蕉、桔子、火龙果、龙眼、柿子、椰子等常见与不常见的 二、平面立体相互交叉呈现 自然角往往是利用班级的一个角落来创设的，在有限的空间里如何能得以最大限度的利用呢？巧妙的利用空间，从上往下的悬挂式，那一个个装满了种子的瓶子和种子袋就是小班孩子喜欢的玩具，在拍拍打打和探索奇妙的声音中感受了种子的差异；一个个悬挂在栏杆间错落有至的小植物也是立体空间的最佳利用；秋天里各种树叶也同样是塑封以后串联悬挂，不仅是孩子抬头能见而且随风飘荡给自然角增添了一种动态的美感。墙面与柜子相互利用，柜子上摆放了各种的种子，墙面是提供与之匹配的植物，可通过寻找植物妈妈的游戏，
1．和差倍问题 和差问题和倍问题差倍问题已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数一、和差倍问题 （一）和差问题：已知两个数的和及两个数的差 ;求这两个数。 方法① ：（和－差）÷2= 较小数 ;和 -较小数 =较大数 方法② ：（和+ 差）÷2=较大数 ;和- 较大数 =较小数 例如：两个数的和是 15;差是 5; 求这两个数。方法：（15-5）÷2=5 （; 15+5）÷2=10 . （二）和倍问题：已知两个数的和及这两个数的倍数关系;求这两个数。 方法：和÷（倍数 +1）=1 倍数（较小数） 1 倍数（较小数）×倍数 = 几倍数（较大数） 或和 -1 倍数（较小数） = 几倍数（较大数） 例如：两个数的和为 50;大数是小数的 4 倍 ;求这两个数。 方法： 50÷（ 4+1） =10 10×4=40 （三）差倍问题：已知两个数的差及两个数的倍数关系 ;求这两个数。 方法：差÷（倍数 -1 ）=1 倍数（较小数） 1 倍数（较小数）×倍数 = 几倍数（较大数） 或和 -倍数（较小数） =几倍数（较大数） 例如：两个数的差为 80;大数是小数的 5 倍 ;求这两个数。 方法： 80÷（ 5-1）=20 20×5=100 和与差和与倍数差与倍数 2．年龄问题的三个基本特征： ①两个人的年龄差是不变的 ; ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的 ;
③两个人的年龄的倍数是发生变化的 ; 两人年龄的倍数关系是变化的量 ; 解答年龄问题的一般方法是： 几年后年龄 =大小年龄差÷倍数差 -小年龄 ; 几年前年龄 =小年龄 -大小年龄差÷倍数差． 3．归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量 ;一般是那个“单一量”题;目一般用“照这样的速度”??等词语来表示。 关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量 ; 4．植树问题 基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树;两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植 树 两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树;只有一端植树封闭曲线上植树 三、植树问题 （一）不封闭型（直线）植树问题 1、直线两端植树：棵数 =段数 +1=全长÷株距+1 ; 全长=株距×（棵数-1 ）; 株距=全长÷（棵数-1 ）; 2、直线一端植树：全长=株距×棵数; 棵数 =全长÷株距 ; 株距 =全长÷棵数 ; 3 、直线两端都不植树：棵数 =段数-1= 全长÷株距 -1 ; 株距=全长÷（棵数 +1 ） （二）封闭型（圆、三角形、多边形等）植树问题 棵数 =总距离÷棵距; 总距离 =棵数×棵距;
公务员考试行测数量关系中翻硬币问题核心解题公式 公务员录用考试行政职业能力测验考试数量关系中的数学运算部分的翻硬币问题、转身问题、拉灯问题、翻杯子问题等问题的核心解题公式进行了阐述，并通过2009年山西省公务员录用考试行政职业能力测验真题进行了实例说明。 翻硬币问题核心公式： N（N必须为偶数）枚硬币，每次同时翻转其中N-1枚，至少需要N次才能使其完全改变状态。 当N为奇数时，每次同时翻转其中N-1枚，无论如何翻转都不能使其完全改变状态。 此公式同样适用于转身问题、拉灯问题、翻杯子问题等。 注：上述为华图名师魏华刚老师2009年山西省公务员考试冲刺讲义内容 实例：有7个杯口全部向上的杯子，每次将其中4个同时翻转，经过几次翻转，杯口可以全部向下？【2 009年山西省公务员录用考试107题】 A.3次 B.4次 C.5次 D.几次也不能 【解析】7个杯子，即是奇数，每次翻转其中4个，则无论如何翻转也无法使其完全改变状态。 翻硬币问题新解 翻硬币问题坛上有人专门讨论过，其实主要考察逆向思维和整除的思想。结论通常是问完全改变状态的次数，所以共六枚每次翻转五枚就是翻转一枚（剩下的一枚）。
例一：有8个房间，有7个房间关着灯，如果每次同时拨动4个房间的开关，经过几次拨动，灯全部关上？ A.3次 B.4次 C.5次 D.几次也不能 ———————————————————————— 与房间数无关 7/(7-4) 不能整除，故几次也不行 例二：有6个学生都面向南站成一行，每次只能有5个学生向后转，则最少要做------次能使6个学生都面向北。 A.5 B.6 C.7 D.8 ———————————————————————— 6/(6-5)=5 例三：现有6个一元面值硬币正面朝上放在桌子上，你可以每次翻转5个硬币（必须翻转5个），问你最少经过几次翻转可以使这6个硬币全部反面朝上？ A.5次 B. 6次 C.7次 D8次 ———————————————————————— 6/(6-5)=5 例四：有7个杯口全部向上的杯子，每次将其中4个同时翻转，经过几次翻转，杯口可以全部向下？ A.3次 B.4次 C.5次 D.几次也不能 ———————————————————————— 7/(7-4) 不能整除，故几次也不行 坛中原有总结，个人觉得不太对，但从中学习很多。不会链接，摘录部分，供参考！
小学数学必背知识点汇总 基本性质 ※小数的基本性质：在小数末尾添上零或者去掉零，小数的大小不变。 ※分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（零除外），分数的大小不变。 ※比的基本性质：比的前项和后项都乘以或者除以相同的数（零除外），比值不变。 ※比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 ※比例尺=图上距离÷实际距离（单位要相同） ※商不变的性质：在除法里，被除数和除数都乘以或者除以相同的数（零除外），商的大小不变。 一．公式 长方体有12条棱：4条长，4条宽，4条高，六个面； 正方本有12条棱：每条棱都相等，有六个面，每个面都相等。 长立方体体积=长×宽×高正方体体积=棱长×棱长×棱长圆柱体体积=半径2× ×高
圆锥体体积=半径2× ×高 × 税后利息=本金×存款时间×利率×（1-20%）二．运算意义
三．运算定律及性质 加法交换律：a ＋b ＝b ＋a 加法结合律：a ＋b ＋c ＝a ＋(b＋c 加减法的速算法：a －b ＝a －c －d 、 a＋b ＝a ＋c ＋d 减法的性质：a －b －c ＝a －（b ＋c ）乘法交换律：a×b＝b×a 乘法结合律：a×b×c＝a×(b×c 乘法分配律：(a＋b ×c＝a×c＋b×c 积不变的性质：a×b＝(a×c×( b÷c 除法的性质：a÷b÷c＝a÷(b×c 商不变的性质：a÷b＝(a÷c ÷(b÷c、a÷b＝(a×c ÷(b×c 四．数的整除 1．约数和倍数：如果数 a 能被数 b 整除，a 就叫做 b 的倍数，b 就叫做 a 的约数。 （如：20÷5=4 20是5的倍数；5是20的约数）
小学奥数知识点及公式总汇1．和差倍问题 2 2．年龄问题的三个基本特征： 3．归一问题的基本特点： 4．植树问题 5．鸡兔同笼问题 6．盈亏问题 3 7．牛吃草问题 8．周期循环与数表规律 9．平均数 10．抽屉原理 4 11．定义新运算 12．数列求和 13．二进制及其应用 5 14．加法乘法原理和几何计数 15．质数与合数 6 16．约数与倍数 17．数的整除7 18．余数及其应用 19．余数、同余与周期 20．分数与百分数的应用8 21．分数大小的比较9 22．分数拆分 23．完全平方数 24．比和比例10 25．综合行程 26．工程问题 27．逻辑推理11 28．几何面积 29．立体图形 30．时钟问题—快慢表问题12 31．时钟问题—钟面追及 32．浓度与配比 33．经济问题13 33．经济问题 34．简单方程 35．不定方程 36．循环小数14
2．年龄问题的三个基本特征： ①两个人的年龄差是不变的； ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的； ③两个人的年龄的倍数是发生变化的； 3．归一问题的基本特点： 问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量； 4．植树问题 5．鸡兔同笼问题 基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来； 基本思路：①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）： ②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少； ③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因； ④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。 基本公式： ①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数） ②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数） 关键问题：找出总量的差与单位量的差。