第一、二章自测题 1、判断题 （1）若x (t )是一连续时间周期信号，则y (t )=x (2t )也是周期信号。 （2）两个周期信号之和一定是周期信号。 （3）所有非周期信号都是能量信号。 （4）两个连续线性时不变系统相互串联的结果仍然是线性时不变系统。 （5）若)()()(t h t x t y *=，则)1()2()1(+*-=-t h t x t y 。 （6）一个系统的自由响应就等于它的零输入响应。 （7）一个系统的零状态响应就等于它的自由响应。 （8）零状态响应是指系统没有激励时的响应。 （9）系统的单位冲激响应是指系统在冲激信号作用下的全响应。 （10）两个功率信号之和必为功率信号。 2、判断下列信号是能量信号还是功率信号？ （1）3cos(15)0 ()0 t t f t t π≥?=? -=t t t t f ε （2）)]4()([3cos )(2--=t t t t f εεπ （3）][sin )(3t t f πε=
《信号与系统》第一次作业 姓名： 学号： 1. 判断下列系统是否为线性系统，其中()y t 、[]y k 为系统的完全响应，(0)x 为系统初始状态，()f t 、[]f k 为系统输入激励。 （1）()(0)lg ()=y t x f t 解：在判断具有初始状态的系统是否线性时，应从三个方面来判断。一是可分解性，即系统的输出响应可分解为零输入响应与零状态响应之和。二是零输入线性，系统的零输入响应必须对所有的初始状态呈现线性特性。三是零状态线性，系统的零状态响应必须对所有的输入信号呈现线性特性。只有这三个条件都符合，该系统才为线性系统。 ()(0)lg ()=y t x f t 不具有可分解性，所以系统是非线性系统。 （2）[](0)[][1]=+-y k x f k f k 解：y[k]具有可分解性，零输入响应x(0)是线性的，但零状态响应f[k]f[k-1]是非线性的，所以系统是非线性系统。 2. 判断下列系统是否为线性非时变系统，为什么？其中()f t 、[]f k 为输入信号， ()y t 、[]y k 为零状态响应。 （1）()()()=y t g t f t 解：在判断系统的时不变特性时，不涉及系统的初始状态，只考虑系统的零状态响应。 系统零状态响应，g(t)f(t)满足均匀性和叠加性，所以系统是线性系统。 因为T{f(t-t0)}=g(t).f(t-to) 而 y(t-t0)=g(t-t0).f(t-t0) ≠T{f(t-t0)},故该系统为时变系统。 因此该系统为线性时变系统 （2）220 [][],(0,1,2,)+===∑k i y k k f i k 解：220[][],(0,1,2,)+== =∑k i y k k f i k 为线性时变系统。
1.判断下列系统的线性、时不变性、因果性和记忆性。（解析P7） ① ()10()()dy t y t f t dt += ②() ()(10)dy t y t f t dt +=+ ③2 ()()()dy t t y t f t dt += ④2()(10)()y t f t f t =++ 2.判断下列系统的线性、时不变性和因果性。（解析P7） ①20()()sin ()y t y t t at f t = + ②()()()y t f t f t b =?- 3.某系统，当输入为()t δτ-时，输出为()()(3)h t u t u t ττ=---，问该系统是否为因果系统？是否为时不变系 统？说明理由。 4.下列信号属于功率信号的是（解析P6） ①cos ()tu t ②()t e u t - ③()t te u t - ④t e - 5. 画出函数波形图：2()(1)f t u t =-（指导P12） 6.已知 ()()2(1)(2)(2),f t tu t u t t u t =--+--画出()f t 波形。（指导P13） 7.根据1.10图中 (32)f t -+的波形，画出()f t 波形。（指导P18） 8.已知()f t 波形波形如例1.11图所示，试画出1 (2)2f t --的波形。（指导P19） 9.已知 (52)f t -的波形如图例1.12图所示，求()f t 波形。（指导P20） 10.求下列函数值 ① 4 3 2 ' (652)(1)t t t t dt δ∞ +++-? ②3' ()t e d τ δττ--∞ ? ③'2(9)t dt δ+∞ -∞ -? （指导P24） 11.求信号0.20.3()j n j n x n e e π π-=+的周期。 （指导P36） 12.设()x t 是复指数信号：0()j t x t e Ω=，其角频率为0Ω，基本周期为0 2T π = Ω。如果离散时间序列是通过对()x t 以取样间隔s T 进行均匀取样的结果，即00()()s j nT j n s x n x nT e e ωΩ===。试求出使()x n 为周期信号的条件。 （指导P36） 13.完成下列运算 ① ' ()(1)t f dt δττ+∞ -∞ --? ②0(2)()3t t t dt δ- -? ③ [()(1)]d u t u t dt - （指导P45） 14.题1.26图示信号可以表示为()cos(2)y n A Fn πθ=+，求表达式中的常数。（指导P45） 15.判断下列信号是否为周期信号，若是周期信号，求其周期N 。 ①()sin 2cos 424 n n x n ππ=- ②0.30.4()23j n j n x n e e ππ=+ ③2()()n x n j =
湘潭大学研究生考试试题 考试科目：线性系统理论/现代控制理论考生人数：20考试形式：闭卷 适用专业： 双控单控/电传 适用年级：一年级 试卷类型： A 类 一、给定多项式矩阵如下： 22121()1 2s s s s D s s s ?? ?????? ++++= ++ 1. 计算矩阵的行次数，判断系统是否行既约？ 2. 计算矩阵的列次数，判断系统是否列既约？ 3. 寻找单模矩阵，将多项式矩阵()D s 化为史密斯型。 二、设系统的传递函数矩阵为右MFD 1()()N s D s -，其中： 210 ()21s D s s s s ? ? ????? ? -= +-+，()11N s s s ???? =-+ 试判断{}(),()N s D s 是否右互质；如果不是右互质，试通过初等运算找出其最大右公因子。 三、给定()G s 的一个左MFD 为： 1 210 1 0()112 1s s G s s s s -? ? ?? ?????????? ? ? -+= +-+ 试判断这个MFD 是否是最小阶的；如果不是，求出其最小阶MFD 。 四、确定下列传递函数矩阵的一个不可简约左MFD ： 21 1 0()102 2s s s G s s s s s ????????? ? ?? += +++ 五、给定系统的传递函数矩阵为
22 3 (1)(2)(1)(2)()31(1)(2) (2)s s s s s s G s s s s s s ???? ?? ??????? ? +++++= +++++ 试计算出相应的评价值，并写出其史密斯--麦克米伦型。 六、给定传递函数矩阵如下： 2 2221156()1253 43s s s s s G s s s s s ???? ?? ??? ? ?? +-++= ++++ 试定出其零、极点，并计算出其结构指数。 七、给定系统的传递函数矩阵如下： 2 2211 154()14 3 712s s s s G s s s s s ???? ?? ??? ? ?? +-++= ++++ 试求出一个控制器型实现。 八、确定下列传递函数矩阵()G s 的一个不可简约的PMD 2 2 141()143 32s s s s G s s s s s ?? ?? ?? ??? ??? ++-= ++++ 九、给定系统的传递函数矩阵如下： 1 2 2 430 11()221 21s s s s G s s s s s -?????? ??????? ?? ? ++-+= +++ 试设计一个状态反馈K,使得状态反馈系数的极点为： 12λ*=-， 23λ*=-， 4,5 42j λ* =-±
现代控制理论试题 一、 名词解释（15分） 1、 能控性 2、能观性 3、系统的最小实现 4、渐近稳定性 二、 简答题（15分） 1、连续时间线性时不变系统（线性定常连续系统）做线性变换时不改变系统的那些性质？ 2、如何判断线性定常系统的能控性？如何判断线性定常系统的能观性？ 3、传递函数矩阵 的最小实现A 、B 、C 和D 的充要条件是什么？ 4、对于线性定常系统能够任意配置极点的充要条件是什么？ 5、线性定常连续系统状态观测器的存在条件是什么？ 三、 计算题（70分） 1、RC 无源网络如图1所示，试列写出其状态方程和输出方程。其中，为系统的输入，选两端的电压为状态变量 , 两端的电压为状态变量 ,电压 为为系统的输出 y 。 2、计算下列状态空间描述的传递函数 g(s) 3、 求出下列连续时间线性是不变系统的时间离散化状态方程： 其中，采样周期为T=2. 4、 求取下列各连续时间线性时不变系统的状态变量解 和 图1：RC 无源网络
5、确定是下列连续时间线性时不变系统联合完全能控和完全能观测得待定参数a的 取值范围： 6、对下列连续时间非线性时不变系统，判断原点平衡状态即是否为大范围渐近 稳定： 7、给定一个单输入单输出连续时间线性时不变系统的传递函数为 试确定一个状态反馈矩阵K，使闭环极点配置为,和。 现代控制理论试题答案 一、概念题 1、何为系统的能控性和能观性？ 答：（1）对于线性定常连续系统，若存在一分段连续控制向量u(t)，能在有限时间区间[t0,t1]内将系统从初始状态x(t0)转移到任意终端状态x(t1)，那么就称此状态是能控的。 （2）对于线性定常系统，在任意给定的输入u(t)下，能够根据输出量y(t)在有限时间区间[t0,t1]内的测量值，唯一地确定系统在t0时刻的初始状态x(t0 )，就称系统在t0时刻是能观测的。若在任意初始时刻系统都能观测，则称系统是状态完全能观测的，简称能观测的。 2、何为系统的最小实现？ 答：由传递函数矩阵或相应的脉冲响应来建立系统的状态空间表达式的工作，称为实现问题。在所有可能的实现中，维数最小的实现称为最小实现。 3、何为系统的渐近稳定性？
自动控制原理教学探讨——叠加原理与线性系统的 判别问题 四川大学电气信息学院自动化系 赵耀 2014年9月 问题：初始状态不为零的标准线性系统是否满足叠加原理？ 例：RC 电路，输入为)t (u i ，输出为)t (u o dt ) t (du C i ) t (u Ri )t (u o i 0 =+= )t (u )t (u dt )t (du RC i o =+∴0 属于标准的线性系统，应当满足叠加原理。 设1=RC ，输出)t (u o 的初值为)(u o 0，输入)t (u i 为阶跃信号，其幅值为A ，则输出响应为 )e (A e )(u )t (u t t o o ---+=10 上式的第一项对应由初始状态引起的零输入响应，第二项对应由输入信号引起的零状态响应。显然，由于零输入响应项的存在，若输入)t (u i 的幅值增大一倍，对应的输出只是零状态响应部分增大一倍，不会整体增大一倍，即整体并不满足叠加原理的均匀性；同样道理，整体看，把2个输入分别作用产生的响应叠加起来并不等于2个输入同时作用产生的响应，即不满足叠加原理的叠加性，只有零状态响应部分满足叠加性。表面上看，似乎系统不满足叠加原理。对于该问题，应当怎么看？ 实际上，零输入响应对应的方程为 0 0=+)t (u dt )t (du RC o 即相当于输入0=)t (u i 时的响应，所以应当把系统总的响应看作两部分响应的叠加，即0=)t (u i 所对应的零输入响应加上0≠)t (u i 所对应的零状态响应。这样看，系统就完全满足叠加原理了。 上述分析说明，叠加原理所讲的某个输入产生某个响应，指的是该响应完全由该输入引
线性移不变性因果性稳定性的判定 目标：针对一道干扰性较强的选择题 目的：快速正确解题 一．真题回放： 1.[1999,一，1 ; 2003,一，4] 设一离散时间系统的输入和输出满足差分方程:则该系统是（） ()e k ()y k (1)0.6()()3y k y k e k +?=+A ． 线性移不变系统 B.线性移变系统 C.非线性移不变系统 D.非线性移变系统 2.[2004,一，3] 离散时间系统的输入输出信号分别为()x k 和,试判断下面哪个是线性时不变系统（） ()y k A.()()x k y k e = B.()(1)(1)y k x k x k =??? C. D.31()()k m k y k x m +=?=∑(),1()0,0(1),x k k y k k x k k ≥??==??1+≤?? 3.[2005,一，2] 已知系统由下面的输入输出关系表示：()(3)y t x t =，t>0，则该系统为（）系统； A.线性，时变，因果 B.线性，时不变，非因果 C.非线性，时变，因果 D.非线性，时变，非因果 备注：此类题目在本科期末考试和研究生考试中屡次出现，主要考查学生对系统的线性，时/移不变性，因果性,稳定性的基本概念的掌握和理解，题目不难，但存在一定的干扰性，从而影响解题的速度和正确率。 二．概念剖析和解题技巧： 由于此部分是本人在学习数字信号处理时候总结的，所以例子以离散系统为主（连续的情况类似），见谅！！ 首先要强调的是线性，时/移不变性，因果性，稳定性，是从四个不同的角度去描述系统的，彼此之间没有概念的重叠。 1. 线性：（同时满足叠加性和齐次性） 叠加性： 齐次性： 1212[()()][()][()]T x n x n T x n T x n +=+[()][()]T ax n aT x n =个人总结的判断准则： (1) 是关于(表示激励)的不含(.)x 常数项的线性函数； (2) 不含常数项的常系数差/微分方程； 注：这里对常数项要有一个广义的理解，与激励无关的序列也可以看作常数项，如项。 (.)x ()g n
兰州理工大学2015级线性系统理论大作业 线性系统理论Matlab 实验报告 1、在造纸流程中，投料箱应该把纸浆流变成2cm 的射流，并均匀喷洒在网状传送带上。为此，要精确控制喷射速度和传送速度之间的比例关系。投料箱内的压力是需要控制的主要变量，它决定了纸浆的喷射速度。投料箱内的总压力是纸浆液压和另外灌注的气压之和。由压力控制的投料箱是个耦合系统，因此，我们很难用手工方法保证纸张的质量。 在特定的工作点上，将投料箱线性化，可以得到下面的状态空间模型： u x x ?? ????+??????-+-=0001.0105.0002.002.08.0. []21,x x y = 其中，系统的状态变量x1=液面高度，x2=压力，系统的控制变量u1=纸浆流量u2=气压阀门的开启量。在上述条件下，试设计合适的状态变量反馈控制器，使系统具有实特征根，且有一个根大于5 解：本题目是在已知状态空间描述的情况下要求设计一个状态反馈控制器，从而使得系统具有实数特征根，并要求要有一个根的模值要大于5，而特征根是正数时系统不稳定，这样的设计是无意义的，故而不妨采用状态反馈后的两个期望特征根为-7，-6，这样满足题目中所需的要求。要对系统进行状态反馈的设计首先要判断其是否能控，即求出该系统的能控性判别矩阵，然后判断其秩，从而得出其是否可控。 Matlab 判断该系统可控性和求取状态反馈矩阵K 的程序,如图1所示，同时求得加入状态反馈后的特征根并与原系统的特征根进行了对比。
图1系统能控性、状态反馈矩阵和特征根的分析程序上述程序的运行结果如图2所示： 图2系统能控性、反馈矩阵和特征根的运行结果
《信号与线性系统》思考题 第一章 绪论 1.分别判断图１-1所示各函数波形是连续时间信号还是离散时间信号，同时判断连续时间信号函数取值是否量化，是离散时间信号的是否为数字信号？ 图１-1 解：（ａ）连续模拟信号；（ｂ）连续量化信号；（ｃ）离散数字信号；（ｄ）离散模拟信号；（ｅ）离散数字信号；（ｆ）离散数字信号。 2.分别求下列各周期信号的周期T ： 1) cos(15)cos(30)t t -； 2) 10j t e ； 3) 2 [6cos(7)]t ； 解：判断一个包含有多个不同频率分量的复合信号是否为一个周期信号，需要考察各分量信号的周期是否存在公倍数，若存在，则该复合信号的周期为其最小公倍数；若不存在，则该复合信号为非周期信号。1) 215π2) 5 π3) 214π 3.给出能量信号和功率信号的定义，判断下列信号是能量信号还是功率信号？ 1）3cos(15)0 ()0 t t f t t π≥?=?
4.试绘出系列列函数波形： 1）()20t f t e t -=-> 2）2()360t t f t e e t --=+> 3）3()560t t f t e e t --=-> 4）()cos1012t f t e t t π-=<< 解：1）如图１-2a 所示；2）如图１-2b 所示；3）如图１-2c 所示；4）如图１-2d 所示. 图１-2 5.对于教材例 １-１0(a)所示信号，由()f t 求(32)f t --，利用尺度变换、反褶、时延和反褶、尺度变换、时延两种方法进行信号的变换。 解：如图１-3所示. 图１-3 6. 判断下列系统是否为线性的、时不变的、因果的系统？ 1）() ()de t r t dt = ；2）()()0r t e t t =>；3）()sin[()]0r t e t t =>；4）()(1)r t e t =-；
江 西 理 工 大 学 考 试 试 卷 试卷编号：1112021120B 一、（15分）考虑如图1的质量弹簧系统。其中，m 为运动物体的质量，k 为弹簧的弹性系数，h 为阻尼器的阻尼系数，f 为系统所受外力。取物体位移为状态变量x 1，速度为状态变量x 2，并取位移为系统输出y ，外力为系统输入u ，试建立系统的状态空间表达式。 图1 二、（20分）考虑如图2所示系统： 图2 （a ） 给出这个系统状态变量的实现； （b ） 判断系统的能控性 班级 学号 姓名
三、（15分）矩阵A 是22?的常数矩阵，关于系统的状态方程式= x Ax ，有 1(0)1??=??-??x 时，22t t e e --??=??-??x ；2(0)1?? =??-??x 时，2t t e e --??=??-?? x 。 试确定状态转移矩阵(,0)t Φ和矩阵A 。 四、（15分）试求下列系统的能观性分解 ?? ???=? 101x 412- bu Ax u x +=????? ?????+? ????-100301 [1=y 1- ]cx x =1 五、(20分）（1）利用Lyapunov 第一方法判断系统平衡点0x =的稳定性（10分） 111222124sin 331x x x x x x x e x =+-=-++ （2）取Q I =，通过求解Lyapunov 方程判断系统平衡点0x =的稳定性（10分） 1153x x ??=??--?? 六、有两个能控能观的单输入—单输出系统： 1S ：111104310u x x ? ? ? ???+???? ??-=? []1112x y = 2S ：2222U x x +-=? 22x y = （1）按图把1S 、2S 串联，针对[]12x x x =推导状态方程。 （2）判断以上系统的能控性和能观性。 （3）把串联系统的连接顺序颠倒过来，再推算系统的状态方程及能控、能观性。 （4）求1S 、2S 及串联系统的传递函数矩阵，并对（2）和（3）讨论。
