1．(2019·皖南八校联考)四棱锥V －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，其他四个侧面是腰长为3的等腰三角形，则二面角V －AB －C 的余弦值的大小为( ) A.2
3 B.24
C.
73
D.223
答案 B
解析 如图所示，取AB 中点E ，过V 作底面的垂线，垂足为O ，连接OE ，VE ，根据题意可知，∠VEO 是二面角V －AB －C 的平面角．因为OE ＝1，VE ＝32－12＝22，所以cos ∠VEO ＝OE VE ＝122＝2
4，故
选B.
2．(2019·福州质量检测)三棱锥A －BCD 中，△ABC 为等边三角形，AB ＝23，∠BDC ＝90°，二面角A －BC －D 的大小为150°，则三棱锥A －BCD 的外接球的表面积为( ) A ．7π B ．12π C ．16π D ．28π
答案 D
解析 本题考查空间直线与平面的位置关系、球的表面积．设球心为F ，过点A 作AO ⊥平面BCD ，垂足为O ，取BC 的中点E ，连接AE ，OE ，EF ，则∠AEO ＝30°，AE ＝3，AO ＝32，OE ＝332，EC ＝3，外接球球心F 在过E 且平行于AO 的直线上，设FE ＝x ，外接球半径为R ，则R 2＝3＋x 2＝(332)2＋(32－x)2，解得x ＝2，R 2＝7，则外接球的表面积为4πR 2
＝28π，故选D.
3.(2019·浙江温州中学模拟)如图，四边形ABCD ，AB ＝BD ＝DA ＝2，BC ＝CD ＝ 2.现将△ABD 沿BD 折起，当二面角A －BD －C 处于[π6，5π
6]的过程中，
直线AB 与CD 所成角的余弦值的取值范围是( ) A ．[－528，2
8]
B ．[
28，528] C ．[0，
28
] D ．[0，528
]
答案 D
解析 如图所示，取BD 中点E ，连接AE ，CE ，∴∠AEC 即为二面角A －BD －C 的平面角．
而AC 2＝AE 2＋CE 2－2AE·CE·cos ∠AEC ＝4－23cos ∠AEC ，又∠AEC ∈[π6，5π
6]，
∴AC ∈[1，7]，∴AB →·CD →＝22cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·(BD →－BC →
)＝－2＋AB·BC·AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC
＝1－AC 22∈[－52，1
2]，
设异面直线AB ，CD 所成的角为θ，∴0≤cos θ≤122·52＝52
8，故选D.
4．(2019·安徽六安一中质检)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，2AC ＝AA 1＝BC ＝2.若二面角B 1－DC －C 1的大小为60°，则AD 的长为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D.2
2
答案 A
解析 分别以CA ，CB ，CC 1为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(1，0，0)，B 1(0，2，2)，C 1(0，0，2)，设AD ＝a ，则点D 坐标为(1，0，a)，∴CD →＝(1，0，a)，CB 1→
＝(0，2，2)，设平面B 1CD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)，则?????n ·CB 1→＝0，n ·CD →＝0，得???
??2y ＋2z ＝0，
x ＋az ＝0，令z ＝－1，得n ＝(a ，1，－1)，又平面C 1DC 的一个法向量为m ＝(0，1，0)．所以cos60°＝
m·n
|m|·|n|，得1a 2＋2＝12
，∴a ＝2，故选A. 5.(2019·河南信阳模拟)已知梯形CEPD 如图所示，其中PD ＝8，CE ＝6，A 为线段PD 的中点，四边形ABCD 为正方形，现沿AB 进行折叠，使得平面PABE ⊥平面ABCD ，得到如图所示的几何体．已知当点F 满足AF →＝λAB →(0<λ<1)时，平面DEF ⊥平面PCE ，则λ的值为( )
A.12
B.23
C.35
D.45
答案 C
解析 因为四边形ABCD 为正方形，且平面PABE ⊥平面ABCD ，所以PA ，AB ，AD 两两垂直，且PA ∥BE ，所以建立空间直角坐标系(如图所示)，又因为PD ＝8，CE ＝6，所以P(0，0，4)，C(4，4，0)，E(4，0，2)，D(0，4，0)，B(4，0，0)，则F(4λ，0，0)，DE →＝(4，－4，2)，DF →
＝(4λ，－4，0)，
CE →＝(0，－4，2)，EP →
＝(－4，0，2)，设平面DEF 的法向量为m ＝(x ，y ，z)，则由???
??m ·DE →＝0，m ·DF →＝0，
得?
???
?4x －4y ＋2z ＝0，4λx －4y ＝0，取m ＝(1，λ，2λ－2)，平面PCE 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，则由?????n ·CE →＝0，n ·EP →＝0，
得?????－4y ＋2z ＝0，－4x ＋2z ＝0，取n ＝(1，1，2)，因为平面DEF ⊥平面PCE ，所以m ·n ＝1
＋λ＋2(2λ－2)＝5λ－3＝0，解得λ＝3
5
.故选C.
6.如图，棱长都相等的平行六面体ABCD －A′B′C′D′中，∠DAB ＝∠A′AD ＝∠A′AB ＝60°，则二面角A′－BD －A 的余弦值为( )
A.13 B ．－13
C.33
D ．－
33
答案 A
解析 棱长都相等的平行六面体ABCD －A′B′C′D′中，∠DAB ＝∠A′AD ＝∠A′AB ＝60°，则四面体A′BDA 为正四面体，如图，取BD 的中点E ，连接AE ，A′E.设四面体的棱长为2，则AE ＝A′E ＝3，且
AE ⊥BD ，A ′E ⊥BD ，则∠AEA′即为二面角A′－BD －A 的平面角，在△AA′E 中，cos ∠AEA ′＝AE 2＋A′E 2－A′A 22AE ·A ′E
＝13.故二面角A′－BD －A 的余弦值为13.
7．(2019·成都检测)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，BC ＝AA 1＝3，则二面角C 1－BD －C 的余弦值为( )
A.
41
5 B.
341
5
C.
341
41 D.
441
41
答案 D
解析在矩形ABCD内过点C作CH⊥BD于点H，连接C1H.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，CC1⊥平面ABCD，所以CC1⊥BD.又CH⊥BD，CH∩CC1＝C，所以BD⊥平面C1CH，故BD⊥C1H，所以∠C1HC为二面角C1－BD－C的平面角．在Rt△BCD中，BD＝DC2＋CB2＝42＋32＝5，因为CH⊥BD，所以CH＝
DC×BC
BD＝
4×3
5＝
12
5.在Rt△C1CH中，C1H＝CH2＋CC12＝（
12
5）
2＋32＝
341
5，所以cos∠C1HC＝
CH
C1H＝
12
5
341
5
＝
441
41，即二面角C1－BD－C的余弦值等于
441
41.
8．(2019·沧州七校联考)三棱锥A－BCD的三视图如图所示：
则二面角B－AD－C的正弦值为________．
答案
482
41
解析如图，把三棱锥A－BCD放到长方体中，长方体的长、宽、高分别
为5，3，4，△BCD为直角三角形，直角边分别为5和3，三棱锥A－BCD
的高为4，
建立如图空间直角坐标系，则B(0，0，0)，A(3，0，4)，C(3，5，0)，D(0，5，0)，
∴DA
→
＝(3，－5，4)，DB
→
＝(0，－5，0)，DC
→
＝(3，0，0)．
设n1＝(x1，y1，z1)是平面ABD的一个法向量，∴n1⊥DA
→
，n1⊥DB
→
.
∴
??
?
??3x1－5y1＋4z1＝0，
－5y1＝0，
∴
??
?
??3x1＋4z1＝0，
y1＝0.
可取n1＝(4，0，－3)．
设n2＝(x2，y2，z2)是平面ADC的一个法向量，∵n2⊥DA
→
，n2⊥DC
→
，
∴?????3x 2－5y 2＋4z 2＝0，3x 2＝0，∴?
????5y 2＝4z 2，x 2＝0.可取n 2＝(0，4，5)． cos 〈n 1，n 2〉＝－155·41＝－341.
∴sin 〈n 1，n 2〉＝4241＝482
41.
即二面角B －AD －C 的正弦值为482
41
.
9．(2019·洛阳第一次统考)如图，四边形ABEF 和四边形ABCD 均是直角梯形，∠FAB ＝∠DAB ＝90°，二面角F －AB －D 是直二面角，BE ∥AF ，BC ∥AD ，AF ＝AB ＝BC ＝2，AD ＝1.
(1)证明：在平面BCE 上，一定存在过点C 的直线l 与直线DF 平行； (2)求二面角F －CD －A 的余弦值． 答案 (1)略 (2)
6
6
解析 (1)由已知得，BE ∥AF ，AF ?平面AFD ，BE ?平面AFD ， ∴BE ∥平面AFD.
同理可得，BC ∥平面AFD.
又BE ∩BC ＝B ，∴平面BCE ∥平面AFD. 设平面DFC ∩平面BCE ＝l ，则l 过点C.
∵平面BCE ∥平面ADF ，平面DFC ∩平面BCE ＝l ，平面DFC ∩平面AFD ＝DF ， ∴DF ∥l ，即在平面BCE 上一定存在过点C 的直线l ，使得DF ∥l.
(2)∵平面ABEF ⊥平面ABCD ，FA ?平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ， 又∠FAB ＝90°，∴AF ⊥AB ，∴AF ⊥平面ABCD ， ∵AD ?平面ABCD ，∴AF ⊥AD.∵∠DAB ＝90°， ∴AD ⊥AB.
以A 为坐标原点，AD ，AB ，AF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图．由已知得，D(1，0，0)，C(2，2，0)，F(0，0，2)，∴DF →＝(－1，0，2)，DC →
＝(1，2，0)． 设平面DFC 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，
则?????n ·DF →＝0，n ·DC →＝0，??????x ＝2z ，x ＝－2y ，不妨取z ＝1，则n ＝(2，－1，1)，
不妨取平面ACD 的一个法向量为m ＝(0，0，1)， ∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝16＝6
6
，
由于二面角F －CD －A 为锐角， 因此二面角F －CD －A 的余弦值为
66
. 10．(2019·安徽师大附中模拟)已知四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是梯形，BC ∥AD ，AB ⊥AD ，且AB ＝BC ＝1，AD ＝2，顶点P 在平面ABCD 内的射影H 在AD 上，PA ⊥PD. (1)求证：平面PAB ⊥平面PAD ；
(2)若直线AC 与PD 所成角为60°，求二面角A －PC －D 的余弦值． 答案 (1)见解析 (2)－13
解析 (1)∵PH ⊥平面ABCD ，AB ?平面ABCD ，∴PH ⊥AB. ∵AB ⊥AD ，AD ∩PH ＝H ，AD ，PH ?平面PAD ， ∴AB ⊥平面PAD.
又AB ?平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PAD.
(2)以A 为原点，建立空间直角坐标系A －xyz ，如图， ∵PH ⊥平面ABCD ，∴z 轴∥PH.
则A(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)， 设AH ＝a ，PH ＝h(0
∴AP →＝(0，a ，h)，DP →＝(0，a －2，h)，AC →
＝(1，1，0)． ∵PA ⊥PD ，∴AP →·DP →
＝a(a －2)＋h 2＝0. ∵AC 与PD 所成角为60°， ∴|cos 〈AC →，DP →
〉|＝
|a －2|
2·（a －2）2＋h
2＝12， ∴(a －2)2＝h 2，∴(a －2)(a －1)＝0，
∵0
∴AP →＝(0，1，1)，AC →＝(1，1，0)，PC →＝(1，0，－1)，DC →
＝(1，－1，0)，设平面APC 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，由?????n ·
AP →＝y ＋z ＝0，n ·AC →＝x ＋y ＝0，
得平面APC 的一个法向量为n ＝(1，－1，1)， 设平面DPC 的法向量为m ＝(x ，y ，z)． 由?????m ·
PC →＝x －z ＝0，m ·DC →＝x －y ＝0，
得平面DPC 的一个法向量为m ＝(1，1，1)． ∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝1
3
.
∵二面角A －PC －D 的平面角为钝角， ∴二面角A －PC －D 的余弦值为－1
3
.
11.(2019·甘肃兰州诊断)如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，AD ＝AP ，E 为棱PD 的中点． (1)证明：PD ⊥平面ABE ；
(2)若F 为AB 的中点，PM →＝λPC →
(0<λ<1)，试确定λ的值，使二面角P －FM －B 的余弦值为－3
3
. 答案 (1)略 (2)λ＝1
2
解析 (1)∵PA ⊥平面ABCD ，AB ?平面ABCD ，∴PA ⊥AB. 又AD ⊥AB ，PA ∩AD ＝A ，∴AB ⊥平面PAD. ∵PD ?平面PAD ，∴PD ⊥AB.
∵E 是PD 的中点，AD ＝AP ，∴AE ⊥PD ，又AE ∩AB ＝A ， ∴PD ⊥平面ABE.
(2)以A 为坐标原点，以AB →，AD →，AP →
为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系A －xyz ，令AB ＝2，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，E(0，1，1)，F(1，0，0)， ∴PF →＝(1，0，－2)，BF →＝(－1，0，0)，PC →＝(2，2，－2)，∵PM →＝λPC →(0<λ<1)，∴PM →
＝(2λ，2λ，－2λ)，M (2λ，2λ，2－2λ)，FM →
＝(2λ－1，2λ，2－2λ)． 设平面PFM 的法向量为m ＝(x ，y ，z)，则?????m ·
PF →＝0，m ·PM →＝0，
即?
????x －2z ＝0，
2λx ＋2λy －2λz ＝0，令z ＝1，则m ＝(2，－1，1)，为平面PFM 的一个法向量． 设平面BFM 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则?????n ·
BF →＝0，n ·FM →＝0，
即?
????－x 1＝0，
（2λ－1）x 1＋2λy 1＋（2－2λ）z 1＝0，令z 1＝λ，则n ＝(0，λ－1，λ)，为平面BFM 的一个法向量．
|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n |m ||n ||＝|1－λ＋λ6λ2＋（λ－1）2
|＝33，解得λ＝1
2.
12．(2019·安徽合肥二检，理)如图①，在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，点E 为AD 的中点，沿BE 将△ABE 折起至△PBE ，如图②所示，点P 在平面BCDE 上的射影O 落在BE 上．
(1)求证：BP ⊥CE ；
(2)求二面角B －PC －D 的余弦值． 答案 (1)略 (2)－
33
11
解析 (1)∵点P 在平面BCDE 上的射影O 落在BE 上，∴PO ⊥平面BCDE ，∴PO ⊥CE ，由题意，易知BE ⊥CE ，又PO ∩BE ＝O ， ∴CE ⊥平面PBE ，又∵BP ?平面PBE ， ∴BP ⊥CE.
(2)以O 为坐标原点，以过点O 且平行于CD 的直线为x 轴，过点O 且平行于BC 的直线为y 轴，PO 所在的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则B(12，－12，0)，C(12，32，0)，D(－12，32，0)，P(0，0，22
)，
∴CD →＝(－1，0，0)，CP →
＝(－12，－32，22)，PB →＝(12，－12，－22)，BC →＝(0，2，0)．
设平面PCD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，
则?????n 1·CD →＝0，n 1·CP →＝0，即?????－x 1＝0，－12x 1－32y 1＋22z 1＝0，令z 1＝2，可得n 1＝(0，2
3，2)为平面PCD 的一个法向量．
设平面PBC 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，
则?????n 2·PB →＝0，n 2·BC →＝0，即???x 2－y 2－2z 2＝0，y 2＝0，令z 2＝2，可得n 2＝(2，0，2)为平面PBC 的一个
法向量．
∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝33
11
，
33由图可知二面角B－PC－D为钝角，故二面角B－PC－D的余弦值为－
11.
立体几何二面角求法 一：知识准备 1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面. 2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。 3、二面角的大小范围：[0°，180°] 4、三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直 5、平面的法向量：直线L垂直平面α，取直线L的方向向量，则这个方向向量叫做平面α的法向量。（显然，一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量） 6、二面角做法：做二面角的平面角主要有3种方法：（1）、定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2 条射线，这2条所夹的角； （2）、垂面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这2条交线所成的角；（3）、三垂线法：过一个半平面内一点（记为A）
α βa O A B 做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为B）再做棱的垂线，记垂足为C，连接AC，则∠ACB即为该二面角的平面角。 7、两个平面的法向量的夹角与这两个平面所成的二面角的平面角有怎样的关系？ 二：二面角的基本求法及练习 1、定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图 形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取 点，分别在两面内引两条射线与棱垂直， 这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S—AM—B中半平面ABM上的一已知点（B）向棱AM作垂线，得垂足（F）；在另一半平面ASM内过该垂足（F）作棱AM的垂线（如GF），这两条垂线（BF、GF）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。 例1．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求（1）二面
二面角大小的求法（例题） 二面角的类型和求法可用框图展现如下： 一、定义法： 直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性； 例、 如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA ⊥α,A ∈α,PB ⊥β,B ∈β. 求∠APB 的大小. O OA PA OB PAOB OA AOB AOB=120APB=60OB PB PB βαβ⊥⊥∴⊥⊥⊥∴⊥∴⊥∠∠?∠?做交线，交于点，连接平面交线同理交线又交线交线面交线即可得为面的二面角，所以 例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，求二面角B-PC-D 的大小。 提示：PAB PCD ?，而且是直角三角形 P
二、三垂线定理法： 已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角； 例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A 的tag 大小。 A AH BC BC H PH ABCD PA AB PA BC PHA PHA H ABH=30AB=a AH=a/2 tag PHA 2 PA BC AB ⊥⊥∴⊥⊥∴⊥∴∠∠?∴∴∠=过做，交于，连接面，面为二面角在中 ， 例：如图,ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体,侧棱AA 1长为1,底面为正方体且边长为2,E 是棱BC 的中点,求面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值. 提示：CO ⊥DE ，而且是长方体！！！ p A B L H A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 E O
αβa O A B 立体几何二面角求法 一：知识准备 1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面. 2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。 3、二面角的大小范围：[0°，180°] 4、三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直 5、平面的法向量：直线L 垂直平面α，取直线L 的方向向量，则这个方向向量叫做平面α的法向量。（显然，一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量） 6、二面角做法：做二面角的平面角主要有3种方法： （1）、定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2 条射线，这2条所夹 的角； （2）、垂面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这2条交线所成的角； （3）、三垂线法：过一个半平面内一点（记为A ）做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为B ）再做棱的垂线，记垂足为C ，连接AC ，则∠ACB 即为该二面角的平面角。 7、两个平面的法向量的夹角与这两个平面所成的二面角的平面角有怎样的关系？ 二：二面角的基本求法及练习 1、定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这 两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直， 这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）； 在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。 例1．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求 （1）二面角11A B C A --的大小； （2）平面11A DC 与平面11ADD A 所成角的正切值。 C1
αβa O A B 立体几何二面角求法 一：知识准备 1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面. 2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。 3、二面角的大小范围：[0°，180°] 4、三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直 5、平面的法向量：直线L 垂直平面α，取直线L 的方向向量，则这个方向向量叫做平面α的法向量。（显然，一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量） 6、二面角做法：做二面角的平面角主要有3种方法： （1）、定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2 条射线，这2条所夹 的角； （2）、垂面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这2条交线所成的角； （3）、三垂线法：过一个半平面内一点（记为A ）做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为B ）再做棱的垂线，记垂足为C ，连接AC ，则∠ACB 即为该二面角的平面角。 7、两个平面的法向量的夹角与这两个平面所成的二面角的平面角有怎样的关系？ 二：二面角的基本求法及练习 1、定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这 两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直， 这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）； 在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。 例1．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求 （1）二面角11A B C A --的大小； （2）平面11A DC 与平面11ADD A 所成角的正切值。 C1
二面角的基本求法例题 一、平面与平面的垂直关系 1．判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 例 1．在空间四边形ABCD 中， AB=CB ，AD=CD ，E、F、G 分别是 AD 、 DC、CA 的中点。 求证：平面 BEF ^ 平面 BDG 。 A A F E E G D B F D B C C 例 2． AB ^ 平面 BCD，BC = CD ，? BCD 90°，E、F分别是AC、AD的中点。 求证：平面 BEF ^ 平面 ABC 。D1 C1 A1 B1 2．性质定理：若两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线 垂直于另一个平面。中，求和平面所成的角。 例 3．在正方体 ABCD—A1 1 1 1 1 1 1 B C D A B A B CD . D C A B 二、二面角的基本求法D1 C1 1．定义法：在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直。A1 B1 例4．在正方体 ABCD—A1B1 C1D1中， 求（ 1）二面角A- B1C - A1的大小； （ 2）平面A1DC1与平面 ADD1 A1所成角的正切值。 D C A B P 练习：过正方形ABCD 的顶点 A 作 PA ^ 平面 ABCD ，设 PA=AB= a，求 二面角 B - PC - D 的大小。 A D 2．三垂线法 B C 例 5 ．平面ABCD ^平面ABEF，ABCD是正方形， ABEF 是矩形且 D C AF= 1 AD= a，G 是 EF 的中点， 2 （ 1）求证：平面AGC ^平面BGC； （ 2）求 GB 与平面 AGC 所成角的正弦值；A B 1 G E
五种方法求二面角及练习题 一、 定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 1．如图，在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求： （1）二面角C 1—BD —C 的正切值（2）二面角11B BC D -- 2.如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，， ，点M 在侧棱上，=60，M 在侧棱的中点 （1）求二面角的余弦值。 二、三垂线法：三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。 1. 如图，在直四棱柱ABCD-A B C D 中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ， AB=4, BC=CD=2, AA =2, E 、E 、F 分别是棱AD 、AA 、AB 的中点。 （1） 证明：直线EE //平面FCC ；（2）求二面角B-FC -C 的余弦值。 S ABCD -ABCD SD ⊥ ABCD AD 2DC SD ==SC ABM ∠SC S AM B --1111111111E A B C F E 1 A B 1 C 1 D D A B C D A D C B
2.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形．已知 60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ． （Ⅰ）证明⊥AD 平面PAB ； （Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； （Ⅲ）求二面角A BD P --的大小． 三．补棱法 本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决 1.已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都是a ，侧棱与底面成600的角，侧面BCC 1B 1⊥底面ABC 。 （1）求证：AC 1⊥BC ； （2）求平面AB 1C 1与平面 ABC 所成的二面角（锐角）的大小。 2：如图5，E 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，求平面AB 1E 和底面A 1B 1C 1D 1所成锐角的余弦值. 3如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中 点，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2. （Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面PAB ; （Ⅱ）求平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小. 角的平面角（锐角）. A B C E D P A B B 1 C 1 A 1 L A 1 D 1 B 1 C 1 E D B C A 图5
F E D C B A ； 立体几何专题复习 热点一：直线与平面所成的角 例1．（2014，广二模理 18） 如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EF ∥ 平面ABCD ， 1EF =，,90FB FC BFC ? =∠=，3AE = . （1）求证：AB ⊥平面BCF ； （2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值. · ！ 变式1：（2013湖北8校联考）如左图，四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，2,1,5,DB DC BC === 2.AB AD ==将左图沿直线BD 折起，使得二面角A BD C --为60,?如右图. （1）求证：AE ⊥平面;BDC （2）求直线AC 与平面ABD 所成角的余弦值.
] 变式2：[2014·福建卷] 在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图1-5所示． (1)求证：AB⊥CD； (2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．
热点二：二面角 例2．[2014·广东卷] 如图1-4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E. ? (1)证明：CF⊥平面ADF； (2)求二面角D-AF-E的余弦值． 变式3：[2014·浙江卷] 如图1-5，在四棱锥A-BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED ＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝ 2. — (1)证明：DE⊥平面ACD；(2)求二面角B-AD-E的大小． 变式4：[2014·全国19] 如图1-1所示，三棱柱ABC-A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2. (1)证明：AC1⊥A1B; (2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为3，求二面角A1 -AB -C的大小． 【
二面角的求法 （1）定义法——在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。注：o 点在棱上，用定义法。 (2)垂线法（三垂线定理法）——利用三垂线定理作出平面角，通过解直角三角形求角的大小。注：o 点在一个半平面上，用三垂线定理法。 (3)垂面法——通过做二面角的棱的垂面，两条交线所成的角即为平面角。注：点O 在二面角内，用垂面法。 (4)射影面积法——若多边形的面积是S ，它在一个平面上的射影图形面积是S`，则二面角θ的大小为COS θ= S`÷ S A 图3 α β O B l O 图5 β α C B A
例题讲解 1、（本小题满分14分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱 PD ⊥底面,,ABCD PD CD E =是PC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于点F 。 （I ）求证：//PA 平面EDB ； （II ）求证：PB ⊥平面EFD ； （III ）求二面角P BC D --的大小。 2、 如图1-125， PC ⊥平面ABC ，AB ＝BC=CA ＝PC ，求二面角B －PA －C 的平面角的正切值。（三垂线定理法） 3．在棱长为1的正方体1AC 中， （1）求二面角11A B D C --的大小的余弦值； （2）求平面1C BD 与底面ABCD 所成二面角1C BD C --的平面角大小 的正切值。 18、（本题满分14分） 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD AC CD ⊥⊥，， 60ABC ∠=°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点． （Ⅰ）求PB 和平面PAD 所成的角的大小； （Ⅱ）证明⊥AE 平面PCD ； （Ⅲ）求二面角A PD C --的正弦值． O 1 A 1 C 1 D 1 B 1 D C B A A C D P E
二面角大小的求法（例题）二面角的类型和求法可用框图展现如下: 、定义法: 甬 片+—*■垂面法 化 T不见播型 直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作 棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性; 例、如图，已知二面角a - a - B等于120° ,PA丄a ,A €a ,PB丄B ,B .求/ APB的大小. 做OB 交线，交于点O,连接OA Q PB 平面 PB 交线 同理PA 交线 又Q OB 交线 交线面PAOB 交线OA 即可得AOB为面的二面角，AOB=120 所以APB=60 例、在四棱锥P-ABCD中, ABCD是正方形，PA!平面 ABCQPA=AB=a 求二面角B-PC-D的大小。 提示：VPAB VPCD，而且是直角三角形 可见槻型I解法? f三垂线法 A
、三垂线定理法: 已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或 逆定理作出二面角的平面角； 例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，P从平面ABCD PA=AB=a / ABC=30,求二面角P-BC-A的tag 大小。 过A做AH BC,交BC于H，连接PH Q PA 面ABCD PA AB, PA BC BC 面PHA PHA为二面角 在VABH中 ABH=30 , AB=a AH=a/2 tag PHA 2 例：如图,ABCD-ABGD是长方体，侧棱AA长为1,底面为正方体且边长为2,E是棱BC勺中点，求面CD%面CD所成二面角的正切值. 提示：CO DE而且是长方体！ !!
例、△ ABC 中，/ A=90°, AB=4 AC=3 平面 ABC 外一点 P 在平 面ABC 内的射影是AB 中点M 二面角P-AC — B 的大小为45°。 求（1） 二面角P-BC — A 的大小；（2）二面角C-PB-A 的大小 提示：角PAB 是二面角，找到每个面的直角! 射影，那么PM 为面ABC 的垂线！ 例、如图4,平面丄平面，A =l , A € , B € ,点A 在 直线I 上的射影为A,点B 在I 的射影为B,已知AB=2AA=1,BBp/2, 求：二面角A — AB- B 的大小. 提示：AA1与BB1互相垂直 AF 是辅助线且垂直AB,FE 平行BB 四、射影法：（面积法） 利用面积射影公式S 射=S 原cos ,其中 为平面 B D i' M 图4
二面角的求法 一、 定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。 例1 如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，AD = 2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60° （I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AM B --的大小。 证（I ）略 解（II ）：利用二面角的定义。在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ， 连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点， ∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。 则GFB ∠即为所求二面角. ∵2= SM ，则2 2 = GF ， 又∵6= =AC SA ，∴2=AM ，∵2==AB AM ，060=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴ 3=BF 。在△GAB 中，26= AG ，2=AB ，0 90=∠GAB ，∴2 11423=+=BG 366 23 2 22211 32 12cos 2 2 2 -=-=??- +=?-+=∠FB GF BG FB GF BFG ∴二面角S AM B --的大小为)3 6arccos(- F G F G
v1.0 可编辑可修改 五法求二面角 一、 定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 例1如图，四棱锥S ABCD -中，底面 ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD = 2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60° （I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AM B --的大小。 练习1如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=?,E ，F 分别是BC , PC 的中点.（Ⅰ）证明： AE ⊥PD ; （Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为 6 2 ，求二面角E —AF —C 的余弦值. 二、三垂线法 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。 例2． 如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形， AB 1 1 1 1 1 1 ABCD P -ABCD ο60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ⊥ AD PAB PC AD A BD P -- （Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面PAB ; （Ⅱ）求平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小. 练习3已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都是a ，侧棱与底面成600 的角，侧面BCC 1B 1⊥底面ABC 。 （1）求证：AC 1⊥BC ； （2）求平面AB 1C 1与平面 ABC 所成的二面角（锐角）的大小。 四、射影面积法（cos s S q = 射影） 凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos 斜 射S S = θ）求出二面角的大小。 A B C E D P E A B C F E 1 A 1 B 1 C 1 D 1 D
二面角的求法 一、 定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。 例1 如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD = 2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60° （I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AM B --的大小。 ? 证（I ）略 解（II ）：利用二面角的定义。在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ， 连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， · ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点， ∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。 则GFB ∠即为所求二面角. ∵2= SM ，则2 2 = GF ， 又∵6= =AC SA ，∴2=AM ，∵2==AB AM ，060=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴ 3=BF 。在△GAB 中，26= AG ，2=AB ，0 90=∠GAB ，∴2 11423=+=BG 366 23 2 22211 32 12cos 2 2 2 -=-=??- +=?-+=∠FB GF BG FB GF BFG F G F G
二面角 1.二面角的计算： 1）定义法； 2）三垂线定理法； 3）垂面法； 4）面积射影法； 例1、已知P 是二面角AB αβ--棱上一点，过P 分别在αβ、内引射线PM ，PN ，且45,60BPM BPN MPN ∠=∠=?∠=?，求此二面角的度数。 例2、已知P 为锐二面角l αβ--棱上的点，,4530PQ PQ l αβ???与成，与成，则二面角l αβ--的度数是多少。 例3、已知二面角l αβ--的度数为θ，在面α内有一条射线AB 与棱l 成锐角δ，与面βγ成角，则必有（ ） （A ）sin sin sin θδγ= （B ）sin sin cos θδγ= （C ）cos cos sin θδγ= （D ）cos cos cos θδγ=
例4、在120?的二面角l αβ--的面α、β内分别有A 、B 两点，且A 、B 到棱l 的距离AC 、BD 分别长2、4，AB=10，求： （1）直线AB 与棱l 所成角的正弦值。 （2）直线AB 与平面β所成角的正弦值。 例5、已知二面角MN αβ--为60?，,,A B BC AB αββ∈∈为在上的射影，且C 在棱MN 上，AB 与β所成角为60?，且5,45AC MCB = ∠=?，求线段AB 的长。 例6、已知二面角DC αβ--的度数为θ，,,A B ADC αβ∈∈?的面积为S ，且DC=m ，AB DC ⊥，AB 与平面β成30?角，当θ变化时，求DBC ?面积最大值。
例7、已知C 是以AB 为直径的圆周上的一点，30ABC ∠=?， 45PA ABC PBA ⊥∠=?面，，求二面角A-PB-C 的正弦值。 例8、在正方体1111ABCD A B C D -中，利用cos S S θ=射影 解下列各题 1）P 、Q 分别为1,A A AB 的中点，求平面1C PQ 与底面ABCD 所成角的余弦值 2）求二面角11C BD C --的大小； 3）M 是棱BC 的中点，求二面角111D B M C --的余弦值。
二面角的求法 一、定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱 , 这两个半平面叫 做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角 的平面角。 本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角 S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知 点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（ F ）；在另一半平面 ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ）， 这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。例1如图，四棱锥 S ABCD 中，底面ABCD 为矩形，SD 底面ABCD ， 2 AD 2DC SD ，点M 在侧棱SC 上， ABM =60° （I ）证明：M 在侧棱SC 的中点（II ）求二面角S AM B 的大小。 证（I ）略 解（II ）：利用二面角的定义。在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM 交AM 于点F ，则点F 为 AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ，GF 交AS 于G ， 连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点，∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点，∴GF 是△AMS 的中位线，点 G 是AS 的中点。 则 GFB 即为所求二面角.∵2SM ，则2 2GF ， 又∵ 6AC SA ，∴2AM ，∵2AB AM ， 60ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴ 3BF 。在△GAB 中，2 6AG ，2AB ， 90GAB ，∴2 114 2 3BG 3 66 23 2 22 211321 2cos 2 22 FB GF BG FB GF BFG ∴二面角S AM B 的大小为) 36arccos( F G F G
C1 C1 B 二面角的基本求法例题 一、平面与平面的垂直关系 1．判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 例1．在空间四边形ABCD中，AB=CB，AD=CD，E、F、G分别是AD、DC、CA的中点。 求证：BEF BDG ^ 平面平面。 例2．AB BCD BC CD ^= 平面，，90 BCD° ?，E、F分别是AC、AD的中点。 求证：BEF ABC ^ 平面平面。 2．性质定理：若两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线 垂直于另一个平面。 例3．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求A1B和平面A1B1CD所成的角.。 二、二面角的基本求法 1．定义法：在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直。 例4．在正方体ABCD—A1B1C1D1中， 求（1）二面角 11 A B C A --的大小； （2）平面 11 A DC与平面 11 ADD A所成角的正切值。 练习：过正方形ABCD的顶点A作PA ABCD ^平面，设PA=AB=a， 求二面角B PC D --的大小。 2．三垂线法 例5．ABCD ABEF ABCD ^ 平面平面，是正方形，ABEF是矩 AF= 1 2 AD=a，G是EF的中点， （1）求证：AGC BGC ^ 平面平面； （2）求GB与平面AGC所成角的正弦值； C
C （3）求二面角B AC G --的大小。 例6．点P 在平面ABC 外，ABC 是等腰直角三角形，90ABC °?，PAB 是正三角形，PA BC ^。 （1）求证：^平面PA B 平面A BC ； （2）求二面角P AC B --的大小。 练习：正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 是AD 的中点，求二面角1A BD P --的大小。 B1 B A 3．垂面法 例7．SA ABC AB BC SA AB BC ^^==平面，，， （1）求证：SB BC ^； （2）求二面角C SA B --的大小； （3）求异面直线SC 与AB 所成角的余弦值。 4．无棱二面角的处理方法 （1）找棱 例8．过正方形ABCD 的顶点A 作PA ABCD ^平面，设PA=AB=a ， 求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的大小。 （2）射影面积法（cos s S q = 射影） 例9．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 是棱1AA 的中点， 求平面11PB C 与平面ABCD 所成二面角的大小。
C1 C1 一、平面与平面的垂直关系 1．判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 例1．在空间四边形ABCD 中，AB=CB ，AD=CD ，E 、F 、G 分别是AD 、DC 、CA 的中点。 求证：。 BEF BDG ^射射射射 例2．，，E 、F 分别是AC 、AD 的中点。 AB BCD BC CD ^=射射射90BCD ° D= 求证： 。 BEF ABC ^射射射射2．性质定理：若两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 例3．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求A 1B 和平面A 1B 1CD 所成的角.。 二、二面角的基本求法 1．定义法：在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直。 例4．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， 求（1）二面角的大小； 11A B C A -- （2）平面与平面所成角的正切值。 11A DC 11ADD A 练习：过正方形ABCD 的顶点A 作，设PA=AB=， PA ABCD ^ 射射a 求二面角的大小。 B P C D -- 2．三垂线法 例5．是正方形，ABEF 是矩形且AF= AD=，G 是EF 的中点， ABCD ABEF ABCD ^射射射射射1 2 a
（1）求证：； AGC BGC ^射射射射（2）求GB 与平面AGC 所成角的正弦值； （3）求二面角的大小。 B A C G --例6．点P 在平面ABC 外，是等腰直角三角形，，是正三角形，。 ABC V 90ABC ° D=PAB V PA BC ^（1）求证：； ^射射PAB 射射ABC （2）求二面角的大小。 P AC B -- 练习：正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 是AD 的中点，求二面角的大小。 1A BD P -- B1 B A 3．垂面法 例7．， SA ABC AB BC SA AB BC ^^==射射射射 （1）求证：； SB BC ^（2）求二面角的大小； C SA B --（3）求异面直线SC 与AB 所成角的余弦值。 4．无棱二面角的处理方法 （1）找棱 例8．过正方形ABCD 的顶点A 作，设PA=AB=， PA ABCD ^射射a 求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的大小。
二面角的求法 一、 定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。 例1 如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD = 2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60° （I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AM B --的大小。 证（I ）略 解（II ）：利用二面角的定义。在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ， 连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点， ∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。 则GFB ∠即为所求二面角. ∵2= SM ，则2 2 = GF ， 又∵6= =AC SA ，∴2=AM ，∵2==AB AM ，060=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴ F G
1 / 7 二面角的求法 一、 定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。例1如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD = 2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60° （I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AM B --的大小。 证（I ）略 解（II ）：利用二面角的定义。在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ，连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点， ∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。 则GFB ∠即为所求二面角.∵2= SM ，则2 2 = GF ， 又∵6= =AC SA ，∴2=AM ，∵2==AB AM ，060=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴ 3=BF 。在△GAB 中，26= AG ，2=AB ，0 90=∠GAB ，∴2 11423=+=BG 366 23 2 22211 32 12cos 2 2 2 -=-=??- +=?-+=∠FB GF BG FB GF BFG ∴二面角S AM B --的大小为)3 6arccos(- F G F G
二面角求法归纳 18题，通常是立体几何（12-14分），本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直的判断与证明，考查二面角的求法以及利用向量知识解决几何问题的能力，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。 以下是求二面角的五种方法总结，及题形归纳。 定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。 例1（2009全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面 ABCD ，AD =2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60° （I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AM B --的大小。 证（I ）略 解（II ）：利用二面角的定义。在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ， 连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点， ∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。则GFB ∠即为所求二面角. ∵2= SM ，则2 2 = GF ，又∵6==AC SA ，∴2=AM ∵2==AB AM ，0 60=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴3= BF 在△GAB 中，26= AG ，2=AB ，0 90=∠GAB ，∴2 11423=+=BG 366 23 2 22211 32 12cos 222-=-=??- +=?-+=∠FB GF BG FB GF BFG F G F G
C A B D A A 1 B D C C 1 B 1 解二面角问题 （一）寻找有棱二面角的平面角的方法和求解。 （1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法。要注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角，当然这种找出的角要有利于解决问题。下面举几个例子来说明。 例1：如图，立体图形V －ABC 的四个面是全等的正三角形，画出二面角V －AB －C 的平面角并求出它的度数。 例2：在三棱锥P-ABC 中，∠APB=∠BPC=∠CPA=600，求二面角A-PB-C 的余弦值。 这样的类型是不少的，如下列几道就是利用定义法找出来的： 1、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，找出二面角B －AC －B 1的平面角并求出它的度数。 2、．边长为a 的菱形ABCD ，∠ACB=600，现沿对角线BD 将其折成才600的二面角，则A 、C 之间的距离为 。（菱形两条对角线互相垂直，对折后的一条对角线成两条线段仍都垂直于另一条对角线，则所成的角是二面角的平面角） 3、正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长是4，过BC 的一个平面与AA 1交于D ，若AD =3，求二面角D ―BC ―A 的正切值。 总之，能用定义法来找二面角的平面角的，一般是图形的性质较好，能够较快地找到满足二面角的平面角的三个主要特征。并且能够很快地利用图形的一些条件来求出所要求的。在常见的几何体有正四面体，正三棱柱，正方体，以及一些平面图形，正三角形，等腰三角形，正方形，菱形等等，这些有较好的一些性质，可以通过它们的性质来找到二面角的平面角。至于求角，通常是把这角放在一个三角形中去求解。由图形及题目的已知条件来求这个三角形的边长或者角，再用解三角形的知识去求解。