2019-2020年高中数学第1章集合与函数概念1.2.2函数的表示法第
2课时分段函数及映射课时作业新人教A 版必修
课时目标 1.了解分段函数的概念，会画分段函数的图象，并能解决相关问题.2.了解映射的概念．
1．分段函数
(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的____________的函数．
(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的______；各段函数的定义域的交集是空集． (3)作分段函数图象时，应_____________________________________________________． 2．映射的概念
设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中____________确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的__________．
一、选择题
1．已知，则f (3)为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 2．下列集合A 到集合B 的对应中，构成映射的是( )
3．一旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，发现每间客房每天的定价与住房率有如下关系：
A ．100元
B ．90元
C ．80元
D ．60元 4．已知函数，使函数值为5的x 的值是( )
A ．－2
B ．2或－5
2
C ．2或－2
D ．2或－2或－5
2
5．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m 元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m 元收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为( ) A ．13立方米 B ．14立方米 C ．18立方米 D ．26立方米
6．已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列不能表示从P 到Q 的映射的是
( )
A ．f ：x →y ＝12x
B ．f ：x →y ＝1
3x
C ．f ：x →y ＝2
3
x D ．f ：x →y ＝x
二、填空题
7．已知，则f (7)＝____________.
8．设
则f {f [f (－3
4
)]}的值为________，f (x )的定义域是
______________．
9．已知函数f (x )的图象如下图所示，则f (x )的解析式是__________________．
三、解答题 10．已知，
(1)画出f (x )的图象；
(2)求f (x )的定义域和值域．
11．如图，动点P 从边长为4的正方形ABCD 的顶点B 开始，顺次经C 、D 、A 绕周界运动，用x 表示点P 的行程，y 表示△APB 的面积，求函数y ＝f (x )的解析式．
能力提升
12．设f：x→x2是集合A到集合B的映射，如果B＝{1,2}，则A∩B一定是( ) A．? B．?或{1}
C．{1} D．?
13．在交通拥挤及事故多发地段，为了确保交通安全，规定在此地段内，车距d是车速v(公里/小时)的平方与车身长S(米)的积的正比例函数，且最小车距不得小于车身长的一半．现假定车速为50公里/小时，车距恰好等于车身长，试写出d关于v的函数关系式(其中S为常数)．
1．全方位认识分段函数
(1)分段函数是一个函数而非几个函数．
分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集．(2)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取区间端点处时函数的取值情况，以决定这些点的实虚情况．
2．对映射认识的拓展
映射f：A→B，可理解为以下三点：
(1)A中每个元素在B中必有唯一的元素与之对应；
(2)对A 中不同的元素，在B 中可以有相同的元素与之对应；
(3)A 中元素与B 中元素的对应关系，可以是：一对一、多对一，但不能一对多． 3．函数与映射的关系
映射f ：A →B ，其中A 、B 是两个“非空集合”；而函数y ＝f (x )，x ∈A 为“非空的实数集”，其值域也是实数集，于是，函数是数集到数集的映射． 由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射．
第2课时 分段函数及映射
知识梳理
1．(1)对应关系 (2)并集 (3)分别作出每一段的图象 2．都有唯一 一个映射 作业设计
1．A [∵3<6，
∴f (3)＝f (3＋2)＝f (5)＝f (5＋2)＝f (7)＝7－5＝2.] 2．D
3．C [不同的房价对应着不同的住房率，也对应着不同的收入，因此求出4个不同房价对应的收入，然后找出最大值对应的房价即可．]
4．A [若x 2＋1＝5，则x 2
＝4，又∵x ≤0，∴x ＝－2，
若－2x ＝5，则x ＝－5
2
，与x >0矛盾，故选A.]
5．A [该单位职工每月应缴水费y 与实际用水量x 满足的关系式为y ＝?
????
mx ， 0≤x ≤10，2mx －10m ， x >10. 由y ＝16m ，可知x >10.
令2mx －10m ＝16m ，解得x ＝13(立方米)．]
6．C [如果从P 到Q 能表示一个映射，根据映射的定义，对P 中的任一元素，按照对
应关系f 在Q 中有唯一元素和它对应，选项C 中，当x ＝4时，y ＝23×4＝8
3
?Q ，故选C.]
7．6
解析 ∵7<9，
∴f (7)＝f [f (7＋4)]＝f [f (11)]＝f (11－3)＝f (8)． 又∵8<9，∴f (8)＝f [f (12)]＝f (9)＝9－3＝6. 即f (7)＝6. 8.3
2
{x |x ≥－1且x ≠0} 解析 ∵－1<－3
4
<0，
∴f (－34)＝2×(－34)＋2＝12.
而0<1
2<2，
∴f (12)＝－12×12＝－14
.
∵－1<－14<0，∴f (－14)＝2×(－14)＋2＝3
2
.
因此f {f [f (－34)]}＝3
2
.
函数f (x )的定义域为{x |－1≤x <0}∪{x |0 9．f (x )＝? ??? ? x ＋1， －1≤x <0，－x ， 0≤x ≤1 解析 由图可知，图象是由两条线段组成， 当－1≤x <0时，设f (x )＝ax ＋b ，将(－1,0)，(0,1) 代入解析式，则? ?? ?? －a ＋b ＝0， b ＝1.∴? ?? ?? a ＝1， b ＝1. 当0 则k ＝－1. 10. 解 (1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示． (2)由条件知， 函数f (x )的定义域为R . 由图象知，当－1≤x ≤1时， f (x )＝x 2的值域为[0,1]， 当x >1或x <－1时，f (x )＝1， 所以f (x )的值域为[0,1]． 11．解 当点P 在BC 上运动， 即0≤x ≤4时，y ＝1 2 ×4x ＝2x ； 当点P 在CD 上运动，即4 2 ×4×4＝8； 当点P 在DA 上运动，即8 2×4×(12－x )＝24－2x . 综上可知，f (x )＝???? ? 2x ， 0≤x ≤4，8， 4 24－2x ， 8 12．B [由题意可知，集合A 中可能含有的元素为：当x 2 ＝1时，x ＝1，－1；当x 2 ＝2 时，x ＝2，－ 2. 所以集合A 可为含有一个、二个、三个、四个元素的集合． 无论含有几个元素，A ∩B ＝?或{1}．故选B.] 13．解 根据题意可得d ＝kv 2 S . ∵v ＝50时，d ＝S ，代入d ＝kv 2 S 中， 解得k ＝1 2 500. ∴d ＝1 2 500v 2S . 当d ＝S 2 时，可解得v ＝25 2. ∴d ＝????? S 2 v <2521 2 500v 2 S v ≥252 . 2019-2020年高中数学第1章集合与函数概念1.3.1单调性与最大 (小)值第1课时函数的单调性课时作业新人教A 版必修 课时目标 1.理解函数单调性的性质.2.掌握判断函数单调性的一般方法． 1．函数的单调性 一般地，设函数f (x )的定义域为I ： (1)如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1 (2)如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1 2．a >0时，二次函数y ＝ax 2 的单调增区间为________． 3．k >0时，y ＝kx ＋b 在R 上是____函数． 4．函数y ＝1 x 的单调递减区间为__________________． 一、选择题 1．定义在R 上的函数y ＝f (x ＋1)的图象如右图所示． 给出如下命题： ①f (0)＝1； ②f (－1)＝1； ③若x >0，则f (x )<0； ④若x <0，则f (x )>0，其中正确的是( ) A ．②③ B ．①④ C ．②④ D ．①③ 2．若(a ，b )是函数y ＝f (x )的单调增区间，x 1，x 2∈(a ，b )，且x 1 4．函数y ＝x 2 －6x ＋10在区间(2,4)上是( ) A ．递减函数 B ．递增函数 C ．先递减再递增 D ．先递增再递减 5．如果函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，则下列结论中不正确的是( ) A.f x 1－f x 2x 1－x 2 >0 B ．(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0 C ．f (a ) D.x 1－x 2 f x 1－f x 2 >0 6．函数y＝x2＋2x－3的单调递减区间为( ) A．(－∞，－3] B．(－∞，－1] C．[1，＋∞) D．[－3，－1] 二、填空题 7．设函数f(x)是R上的减函数，若f(m－1)>f(2m－1)，则实数m的取值范围是______________． 8．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[2，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，2]时是减函数，则f(1)＝________. 三、解答题 9．画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间． 10．已知f(x)，g(x)在(a，b)上是增函数，且a 求证：f(g(x))在(a，b)上也是增函数． 11．已知f(x)＝x2－1，试判断f(x)在[1，＋∞)上的单调性，并证明． 能力提升 12．定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n总有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0 (1)试求f(0)的值； (2)判断f(x)的单调性并证明你的结论． 13．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x，y∈(0，＋∞)，都有f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且f(4)＝5. (1)求f(2)的值； (2)解不等式f(m－2)≤3. 1．3.1 单调性与最大(小)值 第1课时 函数的单调性 知识梳理 1．(1)增函数 (2)减函数 (3)增函数 减函数 (严格的)单调性 单调区间 2.[0，＋∞) 3.增 4.(－∞，0)和(0，＋∞) 作业设计 1．B 2．A [由题意知y ＝f (x )在区间(a ，b )上是增函数，因为x 2>x 1，对应的f (x 2)>f (x 1)．] 3．D [∵f (x )在[a ，b ]上单调，且f (a )·f (b )<0， ∴①当f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )<0，f (b )>0， ②当f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )>0，f (b )<0， 由①②知f (x )在区间[a ，b ]上必有x 0使f (x 0)＝0且x 0是唯一的．] 4．C [如图所示，该函数的对称轴为x ＝3，根据图象可知函数在(2,4)上是先递减再递增的．] 5．C [由函数单调性的定义可知，若函数y ＝f (x )在给定的区间上是增函数，则x 1－x 2与f (x 1)－f (x 2)同号，由此可知，选项A 、B 、D 正确；对于C ，若x 1 6．A [该函数的定义域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)，函数f (x )＝x 2 ＋2x －3的对称轴为x ＝－1，由函数的单调性可知该函数在区间(－∞，－3]上是减函数．] 7．m >0 解析 由f (m －1)>f (2m －1)且f (x )是R 上的减函数得m －1<2m －1，∴m >0. 8．－3 解析 f (x )＝2(x －m 4)2 ＋3－m 2 8， 由题意m 4 ＝2，∴m ＝8. ∴f (1)＝2×12 －8×1＋3＝－3. 9．解 y ＝－x 2 ＋2|x |＋3 ＝????? －x 2 ＋2x ＋3 x －x 2 －2x ＋x ＝????? － x －2＋4 x －x ＋ 2 ＋ x . 函数图象如图所示． 函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数， 函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数． ∴函数y ＝－x 2 ＋2|x |＋3的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]， 单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)． 10．证明 设a ∵g (x )在(a ，b )上是增函数，∴g (x 1) 且a ∴f (g (x ))在(a ，b )上是增函数． 11．解 函数f (x )＝x 2 －1在[1，＋∞)上是增函数． 证明如下： 任取x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1 则f (x 2)－f (x 1)＝x 22－1－x 2 1－1 ＝x 22－x 2 1 x 22－1＋x 21－1＝x 2－x 1x 2＋x 1x 22－1＋x 21－1. ∵1≤x 1 ∴x 2＋x 1>0，x 2－x 1>0，x 22－1＋x 2 1－1>0. ∴f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)， 故函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数． 12．解 (1)在f (m ＋n )＝f (m )·f (n )中， 令m ＝1，n ＝0，得f (1)＝f (1)·f (0)． 因为f (1)≠0，所以f (0)＝1. (2)函数f (x )在R 上单调递减． 任取x 1，x 2∈R ，且设x 1 在已知条件f (m ＋n )＝f (m )·f (n )中， 若取m ＋n ＝x 2，m ＝x 1， 则已知条件可化为f (x 2)＝f (x 1)·f (x 2－x 1)， 由于x 2－x 1>0，所以0 令m ＝x ，n ＝－x ，则得f (x )·f (－x )＝1. 当x >0时，0 f x >1>0， 又f (0)＝1，所以对于任意的x 1∈R 均有f (x 1)>0. 所以f (x 2)－f (x 1)＝f (x 1)[f (x 2－x 1)－1]<0， 即f (x 2) (2)由f (m －2)≤3，得f (m －2)≤f (2)． ∵f (x )是(0，＋∞)上的减函数， ∴? ???? m －2≥2m －2>0，解得m ≥4. ∴不等式的解集为{m |m ≥4}．
相关主题
文本预览