湖南省2016届高三四校联考试题
数学（文科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.
1.复数)3(i i -的共轭复数是（）
A.i 31+
B.i 31-
C.i 31+-
D.i 31--
2.设R U =，{}
12>=x x A ，{}
0log 2>=x x B ，则=B C A U （）
A ．{}0 B ．{}1>x x C ．{}10≤ D ．{} 10<≤x x 3.计算 107cos 47cos 17cos 47sin +的结果等于（） A.2 1- B.23 C.22 D.21 4.已知向量)1,1(-=，),1(m =，若4)2(=?-，则=m （） A.1- B.0 C.1 D.2 5.已知抛物线)0(2 >=a ax y 的焦点到准线距离为1，则=a （） A.4 B.2 C. 41 D.2 1 6.下列命题是假命题的是（） A ．R ∈??，函数)2sin()(?+=x x f 都不是偶函数 B ．R ∈?βα,，使βαβαcos cos )cos(+=+ C ．向量)1,2(-=，)0,3(-=，则在方向上的投影为2 D ．“1≤x ”是“1 7.已知双曲线122 22=-b y a x 的离心率为332，则双曲线的两渐近线的夹角为（） A ． 6π B ．4π C ．3π D ．2 π 8.在ABC ?中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若ab C c b a =-+tan )(2 2 2 ，则角C 的值为（） A. 6 π 或 6 5π B. 3 π 或 3 2π C. 6 π D. 3 2π 9.设变量x、y满足约束条件 ? ? ? ? ? ≥ + ≤ + ≥ - 1 2 1 y x y x y x ，则y x z- =23的最大值为（) A.33 B.3 C.3 D.9 10.如图所示程序框图，如果输入三个实数c b a, ,，要求输出这三个数中最小的数，那么在空白的判断框中，应填入下面四个选项中的（） A.x c> B.x c< C.b c> D.c b> 11.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为3 3 16cm，它的三视图中的俯视图如图所示，侧视图是一个矩形，则侧视图的面积是（） A.8 B.3 8 C.4 D.3 4 12.对于函数) (x f，若R c b a∈ ?, ,，) ( ), ( ), (c f b f a f为某三角形的三边长，则称) (x f为“可构造三角形 函数”，已知 1 2 2 ) ( + - = x x t x f是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（） A.]0,1 [- B.]0, (-∞ C.]1 ,2 [- - D.] 2 1 ,2 [- - 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.设函数?? ?<>=). 0)((),0(log )(2x x g x x x f 若)(x f 为奇函数，则)41 (-g 的值为_______. 14.已知点)0,1(-A ，过点A 可作圆012 2 =+++mx y x 的两条切线，则m 的取值范围是______. 15.已知)2 , 0(,cos 62sin 5π ααα∈=，则=2 tan α _____. 16.已知函数)(2)(2R x b ax x x f ∈+-=，给出下列命题： ①R a ∈?，使)(x f 为偶函数； ②若)2()0(f f =，则)(x f 的图象关于1=x 对称； ③若02 ≤-b a ，则)(x f 在区间),[+∞a 上是增函数； ④若022>--b a ，则函数2)()(-=x f x h 有2个零点. 其中正确命题的序号为_______. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分） 已知数列{}n a 的前n 项和)12(-=n n k S ，且83=a . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n na 的前n 项和n T . 18.（本小题满分12分） 如图AB 是⊙O 的直径，点C 是弧AB 上一点，VC 垂直⊙O 所在平面，E D ,分别为VA ，VC 的中点. （1）求证：⊥DE 平面VBC ； （2）若6==CA VC ，⊙O 的半径为5，求点E 到平面BCD 的距离. 19.（本小题满分12分） （1）求这40个学生数学成绩的众数和中位数的估计值； （2）若从数学成绩)100,80[内的学生中任意抽取2人，求成绩在)90,80[中至少有一人的概率. 20.（本小题满分12分） 在平角坐标系xOy 中，椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率2 1 =e ，且过点)3,0(，椭圆C 的长轴的 两端点为B A ,，点P 为椭圆上异于B A ,的动点，定直线4=x 与直线PA 、PB 分别交于N M ,两点. （1）求椭圆C 的方程； （2）在x 轴上是否存在定点经过以MN 为直径的圆，若存在，求定点坐标；若不存在，说明理由. 21.（本小题满分12分） 已知函数)0,(ln 2)1()(2 >∈∈--=a R a N k x a x x f k 且. （1）求)(x f 的极值； （2）若2016=k ，关于x 的方程ax x f 2)(=有唯一解，求a 的值. 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，⊙O 是ABC ?的外接圆，AD 平分BAC ∠交BC 于D ，交ABC ?的外接圆于E . （1）求证： DC BD AC AB = ； （2）若3=AB ，2=AC ，1=BD ，求AD 的长. 23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线1C 的极坐标方程为θρcos 2=，曲线2C 的参数方程为t t y t x (53 254?? ?? ?+-=-=为参数). （1）判断1C 与2C 的位置关系； （2）设M 为1C 上的动点，N 为2C 上的动点，求MN 的最小值. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知R b a ∈,，12)(---=x x x f . （1）若0)(>x f ，求实数x 的取值范围； （2）对R b ∈?，若)(x f b a b a ≥-++恒成立，求a 的取值范围. 湖南省2016届高三四校联考试题 数学（文科）参考答案 1.B 【解析】i i i i i 313)3(2 +=-=-，∴i 31+的共轭复数为i 31-，故选B . 2.C 【解析】易知{}0>=x x A ，{}1>=x x B ，则{} 10≤<==x x B C A U ，故选C. 3.D 【解析】 2 130sin )1747sin()17sin (47cos 17cos 47sin )1790cos(47cos 17cos 47sin = =-=-+=++ ，故选D. 4.C 【解析】由已知得)2,3(),1()2,2(2m m b a --=--=-，又)1,1(-=a ， ∴423)2(=-+=?-m a b a ，∴1=m ，故选C. 5.D 【解析】抛物线方程化为y a x 12 =，∴)41,0(a F ，焦点到准线距离为121=a ，∴2 1=a ，故选D. 6.A 【解析】易知A 错，故选A. 7.C 【解析】3 4222222 =+==a b a a c e ，∴222433a b a =+，2 23a b =∴.两渐近线方程x x a b y 33±=±=， 9.D 【解析】令t y x =-2，由约束条件知]2,3 1[∈t ，故932 max ==z ，故选D. 10.B 【解析】易知x c <，故选B. 11.B 【解析】设底面边长为x ，则3164 33 ==x V ，∴4=x .∴侧视图是长为4，宽为32的矩形，38324=?=侧S ，故选B. 12.D 【解析】1 21 112112)(++-=+--+=x x x t t x f . ①当01=+t 即1-=t 时，1)(=x f ，此时)(),(),(c f b f a f 都为1，能构成一个正三角形的三边长，满足题意. ②当01>+t 即1->t 时，)(x f 在R 上单调递增，1)(<<-x f t ，∴1)(),(),(<<-c f b f a f t ，由 )()()(c f b f a f >+得2 1 112-≤<-?≥-t t . ③当01<+t 即1- 22-≥?-≥t t ，∴12-<≤-t . 综上：2 1 2-≤≤-t ，故选D. 二、填空题 13.2 【解析】22log 4 1 log )4 1()4 1()4 1(22 2 =-=-=-=-=--f f g . 14.),2(+∞ 【解析】点)0,1(-A 在圆外，∴011>++m ，∴2->m . 又∵14)2(22 2-= ++m y m x 表示圆，∴22014 2-<>?>-m m m 或，∴2>m . 15. 31 【解析】αααcos 6cos sin 10=，∴5 3sin =α， 3 15 3541sin cos 12cos 2sin 22sin 22cos 2sin 2tan 2 =-=-=== ααααα ααα. 16.①③ 【解析】①当0=a 时，b x x f +=2)(显然是偶函数，故①正确. ②由)2()0(f f =，则b a b +-=44， 而b a x a x b x a x x f +-+-+=++-+=+21)22()1(2)1()1(22， b a x a x b ax a x x b x a x x f +-+-+=++-+-=+---=-21)22(2221)1(2)1()1(222， ∴)1()1(x f x f -≠+，∴)(x f 的图象不关于1=x 对称，故②错误. ③2222)()()(a b a x a b a x x f -+-=-+-=在区间),[+∞a 上是增函数，故③正确. ④2)()(22--+-=a b a x x h 有4个零点，故④错误. 17.【解析】（1）当2≥n 时，1 112)12()12(---?=---=-=n n n n n n k k k S S a ， 28223=?=?=k k a ，∴n n a 2=. 当1=n 时，2)12(1 11=-?==k S a ， 综上所述，n n a 2=. .................6分 （2）由（1）知，n n n na 2?=，则 n n n n n T 22)1(2322211321?+-+???+?+?+?=-① 143222)1(2322212+?+-+???+?+?+?=n n n n n T ② ①-②得：1 32122222+?-+???+++=-n n n n T ， 112)12(222 1)21(2++?--=?---=-n n n n n n n T ， 11222++?--=-n n n n T ，22)1(1+-=+n n n T . ............12分 18.【解析】（1）∵AB 是⊙O 的直径，C 是弧AB 上一点，∴CB AC ⊥. 又∵VC 垂直⊙O 所在平面，∴AC VC ⊥，∴⊥AC 平面VCB . 又∵E D ,分别为VC VA ,的中点，∴AC DE ∥， ∴⊥DE 平面VCB . ..................6分 （2）设点E 到平面BCD 的距离为d ， 由CDE B BCD E V V --=得332 1 83131 ????= ??BCD S d ， ∴22 32 32 392382 1 2 98== = ??? = d ， 即点E 到平面BCD 的距离为 2 2 3. ..............12分 19.【解析】（1）众数的估计值为最高矩形对应的成绩区间的中点，即众数的估计值为115. ......3分 设中位数的估计值为x ，则5.0030.0)110(10020.010010.0005.010=?-+?+?+?x ，解得115=x . ∴中位数的估计值为115. ......................6分 （2）从图中知，成绩在)90,80[的人数为24010005.01=??=m （人）， 成绩在)100,90[的人数为44010010.02=??=m （人）， 设成绩在)90,80[的学生记为b a ,，成绩在)100,90[的学生记为f e d c ,,,. 则从成绩在)100,80[内的学生中任取2人组成的基本事件有 ),)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,(f e f d e d f c e c d c f b e b d b c b f a e a d a c a b a 共15种. 其中成绩在)90,80[的学生至少有一人的基本事件有),)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,(f b e b d b c b f a e a d a c a b a 共9种. 所以成绩在)90,80[的学生至少有一人的概率为5 3 159== P . .............12分 20.【解析】（1）???==??? ???== -==343412 22222222b a b a b a a c e ， ∴椭圆C 的方程为13 42 2=+y x . .........................5分 （2）设PA 、PB 的斜率分别为21,k k ，),(00y x P ， 取2 ,200 2001-=+= x y k x y k ， 4 3 44434)41(34202 2020202 021-=--?=--=-=x x x x x y k k ， ....................7分 由)2(:1+=x k y l PA 知)6,4(1k M ，由)2(:2-=x k y l PB 知)2,4(2k N ， ∴MN 的中点)3,4(21k k G +. ∴以MN 为直径的圆的方程为2212212 212)3()26(4 1 )3()4(k k k k k k y x -=-= --+-， 令0=y ，∴2 2212 12 2212 12 6969168k k k k k k k k x x +-=++++-， ∴012168212 =++-k k x x ，∴0)4 3(121682 =-?++-x x ， 即0782=+-x x ，解得17==x x 或. ∴存在定点)0,7(),0,1(经过以MN 为直径的圆. 21.【解析】（1）x a x x f k 1 2)1(2)(? --='， 当k 为奇数时，022)(>+ ='x a x x f ，∴)(x f 在),0(+∞上单调递增，)(x f 无极值. 当k 为偶数时，x a x a x x a x x a x x f ))((22222)(2-+=-=-='， ∴)(x f 在),0(a 上单调递减，),(+∞a 上单调递增， ∴)(x f 有极小值，a a a a a a a f x f ln ln 2)()(-=-==极小值. ..............5分 （2）∵2016=k ，则x a x x f ln 2)(2 -=， 令ax x a x x g 2ln 2)(2 --=， )(2222222)(2 2a ax x x x a ax x a x a x x g --=--=--=' 令0)(='x g ，∴02 =--a ax x ，∵0>a ，0>x ，∴2 420a a a x ++=. 当),0(0x x ∈时，0)(<'x g ，∴)(x g 在),0(0x 上单调递减. 当),(0+∞∈x x 时，0)(>'x g ，∴)(x g 在),(0+∞x 上单调递增. ..........9分 又0)(=x g 有唯一解，∴???='=0)(0 )(00x g x g ，即? ??=--=--②①,0,02ln 202 00020a ax x ax x a x ..............10分 ②-①得：101ln 20ln 200000=?=-+?=-+x x x a ax x a . ∴2 1 = a . ....................12分 22.【解析】（1）如图，过D 作AB DM ∥交AC 于M ，连接BE . ∴ ①MC AM DC BD = 又∵AD 平分BAC ∠，∴CAD BAD ∠=∠， 又AB DM ∥，∴ADM BAD ∠=∠，∴ADM CAD ∠=∠. ∴MD AM =. ∴ ②CM AM CM MD AC AB AC CM AB MD ==?=， 由①②知DC BD AC AB =. ..................5分 （2）∵DC BD DE AD ?=?， 又 32 312=?=?=DC DC BD AC AB ， ∵ABE ADC ??~. ∴ AE AC AB AD = ，∴AC AB AE AD ?=?， ∴AC AB DE AD AD ?=+?)(， ∴3 16326321232 =-=? -?=?-?=?-?=DC BD AC AB DE AD AC AB AD ， ∴3 3 4= AD . ........................10分 23.【解析】θρρcos 2:2 1=C ，∴022 2 =-+x y x ， 所以1C 的普通方程为1)1(2 2 =+-y x ， 3 4 2: 2-=+y x C ，∴843--=y x ， 所以2C 的普通方程为0843=++y x . 圆心)0,1(1C 到0843=++y x 的距离15 11 5 83>= += d ， ∴1C 与2C 相离. .............5分 （2）5 6 1511min =-= MN . .....................10分 24.【解析】（1）由0)(>x f 得12->-x x ， 两边平方得12442 2 +->+-x x x x ， 解得23< x ，即实数x 的取值范围是)2 3 ,(-∞. .....................5分 （2）a b a b a b a b a 2=-++≥-++， ∵12)(---=x x x f ，1)(max =x f ， ∴2 1 212112-≤≥?≥ ?≥a a a a 或. 所以a 的取值范围为),2 1 []21,(+∞--∞ . ..................10分
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