错误!错误!
[锁定考向]
用导数解决函数的零点问题是近几年高考命题的热点题型之一．
常见的命题角度有：
（１）求函数零点或零点个数；
（２）已知函数零点个数求参数的值或范围．
[题点全练]
角度一：求函数零点或零点个数
１．已知函数f（x）＝ax＋ln x＋１，讨论函数f（x）零点的个数．
解：法一：函数f（x）的定义域为（0，＋∞），由f（x）＝ax＋ln x＋１＝0，得ln x＝—ax—１，令u（x）＝ln x，v（x）＝—ax—１，则函数v（x）的图象是过定点（0，—１），斜率k＝—a的直线．
当直线y＝kx—１与函数u（x）＝ln x的图象相切时，两者只有一个交点，此时设切点为P（x0，y0），则错误!解得错误!
所以当k＞１时，函数f（x）没有零点；当k＝１或k≤0时，函数f（x）有１个零点；当0＜k＜１时，函数f（x）有２个零点．
即当a＜—１时，函数f（x）没有零点；当a＝—１或a≥0时，函数f（x）有１个零点；当—１＜a ＜0时，函数f（x）有２个零点．
法二：函数f（x）的定义域为（0，＋∞），
由f（x）＝ax＋ln x＋１＝0，得a＝—错误!.
令g（x）＝—错误!（x＞0），则g′（x）＝错误!.
当0＜x＜１时，g′（x）＜0；当x＞１时，g′（x）＞0，
故函数g（x）在（0,１）上单调递减，在（１，＋∞）上单调递增，g（x）min＝g（１）＝—１，由于g错误!＝0，x→＋∞时，g（x）→0，所以当0＜x＜错误!时，g（x）＞0，当x＞错误!时，g（x）＜0．
所以当a＜—１时，函数f（x）没有零点；当a＝—１或a≥0时，函数f（x）有１个零点；当—１
＜a＜0时，函数f（x）有２个零点．
角度二：已知函数零点个数求参数的值或范围
２．（２0１9·徐州调研）设函数f（x）＝—x２＋ax＋ln x（a∈R），若函数f（x）在错误!上有两个零点，求实数a的取值范围．
解：令f（x）＝—x２＋ax＋ln x＝0，得a＝x—错误!.
令g（x）＝x—错误!，其中x∈错误!，
则g′（x）＝１—错误!＝错误!，令g′（x）＝0，得x＝１，当错误!≤x＜１时，g′（x）＜0；当１＜x≤３时，g′（x）＞0，
∴g（x）的单调递减区间为错误!，单调递增区间为（１,３]，
∴g（x）min＝g（１）＝１，∵函数f（x）在错误!上有两个零点，g错误!＝３ln ３＋错误!，g（３）＝３—错误!，３ln ３＋错误!＞３—错误!，
∴实数a的取值范围是错误!.
[通法在握]
函数的零点个数也就是函数图象与x轴交点的个数，所以可以借助函数图象的特征迅速求解函数的零点个数问题．对于含参函数的零点个数，一般可从两个方面讨论：
（１）利用导数研究函数的单调性和极值，作出函数的大致图象，根据极大值和极小值的符号确定函数零点的个数．
（２）分离参数，将问题转化为：求直线y＝a与函数y＝f（x）的图象交点个数问题．
[演练冲关]
１．设函数f（x）＝ln x＋错误!，m∈R.讨论函数g（x）＝f′（x）—错误!零点的个数．
解：由题设，g（x）＝f′（x）—错误!＝错误!—错误!—错误!（x＞0），
令g（x）＝0，得m＝—错误!x３＋x（x＞0）．
设φ（x）＝—错误!x３＋x（x＞0），
则φ′（x）＝—x２＋１＝—（x—１）（x＋１），
当x∈（0,１）时，φ′（x）＞0，φ（x）在（0,１）上单调递增；
当x∈（１，＋∞）时，φ′（x）＜0，φ（x）在（１，＋∞）上单调递减．
所以x＝１是φ（x）的极大值点，也是φ（x）的最大值点．
所以φ（x）的最大值为φ（１）＝错误!.
由φ（0）＝0，结合y＝φ（x）的图象（如图），
可知１当m＞错误!时，函数g（x）无零点；
２当m＝错误!时，函数g（x）有且只有一个零点；
３当0＜m＜错误!时，函数g（x）有两个零点；
４当m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点．
综上所述，当m＞错误!时，函数g（x）无零点；
当m＝错误!或m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；
当0＜m＜错误!时，函数g（x）有两个零点．
２．已知函数f（x）＝a e x—x—２a有两个零点，求实数a的取值范围．
解：∵f（x）＝a e x—x—２a，∴f′（x）＝a e x—１．
当a≤0时，f′（x）≤0恒成立，函数f（x）在R上单调递减，不可能有两个零点；
当a＞0时，令f′（x）＝0，得x＝ln错误!，函数f（x）在错误!上单调递减，在错误!上单调递增，∴f（x）的最小值为f错误!＝１—ln错误!—２a＝１＋ln a—２a.
令g（a）＝１＋ln a—２a（a＞0），则g′（a）＝错误!—２．
当a∈错误!时，g（a）单调递增；当a∈错误!时，g（a）单调递减，
∴g（a）max＝g错误!＝—ln ２＜0，
∴f（x）的最小值f错误!＜0，函数f（x）＝a e x—x—２a有两个零点．
综上所述，实数a的取值范围是（0，＋∞）．
错误!错误!
[典例引领]
已知函数f（x）＝ln x—错误!ax２＋x，a∈R.
（１）当a＝0时，求函数f（x）的图象在（１，f（１））处的切线方程；
（２）若a＝—２，正实数x１，x２满足f（x１）＋f（x２）＋x１x２＝0，求证：x１＋x２≥错误!.
解：（１）当a＝0时，f（x）＝ln x＋x，则f（１）＝１，所以切点为（１,１），又因为f′（x）＝错误!
＋１，所以切线斜率k＝f′（１）＝２，
故切线方程为y—１＝２（x—１），即２x—y—１＝0．
（２）证明：当a＝—２时，f（x）＝ln x＋x２＋x（x＞0）．
由f（x１）＋f（x２）＋x１x２＝0，
得ln x１＋x错误!＋x１＋ln x２＋x错误!＋x２＋x１x２＝0，
从而（x１＋x２）２＋（x１＋x２）＝x１x２—ln（x１x２），
令t＝x１x２，设φ（t）＝t—ln t（t＞0），
则φ′（t）＝１—错误!＝错误!，
易知φ（t）在区间（0,１）上单调递减，在区间（１，＋∞）上单调递增，所以φ（t）≥φ（１）＝１，
所以（x１＋x２）２＋（x１＋x２）≥１，
因为x１＞0，x２＞0，所以x１＋x２≥错误!成立．
[由题悟法]
破解含双参不等式的证明的关键
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式；
二是巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果．
[提醒] 变量代换法适用于二元或多元不等式的有关问题．若出现的两个变量有主次之分，可以考虑主元法；若出现的两个变量没有主次之分，地位均衡，可以考虑换元法；若出现多个变量，需挖掘它们之间内在的等量关系，将原问题转化为曲线上的动点问题来解决．
[即时应用]
已知函数f（x）＝ln x＋错误!.
（１）求f（x）的最小值；
（２）若方程f（x）＝a有两个根x１，x２（x１＜x２），求证：x１＋x２＞２a.
解：（１）因为f′（x）＝错误!—错误!＝错误!（x＞0），
所以当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，＋∞）上单调递增，函数f（x）无最小值．
当a＞0时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，＋∞）上单调递增．
函数f（x）在x＝a处取最小值f（a）＝ln a＋１．
（２）证明：若函数y＝f（x）的两个零点为x１，x２（x１＜x２），
由（１）可得0＜x１＜a＜x２.
令g（x）＝f（x）—f（２a—x）（0＜x＜a），
则g′（x）＝（x—a）错误!＝—错误!＜0，
所以g（x）在（0，a）上单调递减，g（x）＞g（a）＝0，
即f（x）＞f（２a—x）．
令x＝x１＜a，则f（x１）＞f（２a—x１），所以f（x２）＝f（x１）＞f（２a—x１），
由（１）可得f（x）在（a，＋∞）上单调递增，所以x２＞２a—x１，
故x１＋x２＞２a.
错误!错误!
[典例引领]
（２0１8·泰州调研）已知f（x）＝x２＋ax—ln x＋e，g（x）＝x２＋e.
（１）若a＝—１，判断是否存在x0＞0，使得f（x0）＜0，并说明理由；
（２）设h（x）＝f（x）—g（x），是否存在实数a，当x∈（0，e]（e＝２．7１8 ２8…为自然常数）时，函数h（x）的最小值为３，并说明理由．
解：（１）不存在x0＞0，使得f（x0）＜0．
理由如下：当a＝—１时，f（x）＝x２—x—ln x＋e，x∈（0，＋∞），
f′（x）＝２x—１—错误!＝错误!＝错误!.
f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：
当x＝１时，函数f（x）有极小值，f（x）极小值＝f（１）＝e，
此极小值也是最小值，
故不存在x0＞0，使得f（x0）＜0．
（２）因为f（x）＝x２＋ax—ln x＋e，g（x）＝x２＋e，
所以h（x）＝f（x）—g（x）＝ax—ln x，
则h′（x）＝a—错误!.
假设存在实数a，使h（x）＝ax—ln x（x∈（0，e]）有最小值３．
（ⅰ）当a≤0时，h′（x）＜0，
所以h（x）在（0，e]上单调递减，
h（x）min＝h（e）＝a e—１＝３，a＝错误!，不符合题意．
（ⅱ）当a＞0时，
１当0＜a≤错误!时，错误!≥e，h′（x）≤0在（0，e]上恒成立，
所以h（x）在（0，e]上单调递减，
h（x）min＝h（e）＝a e—１＝３，a＝错误!，不符合题意．
２当a＞错误!时，0＜错误!＜e，
当0＜x＜错误!时，h′（x）＜0，h（x）在错误!上单调递减；
当错误!＜x＜e时，h′（x）＞0，h（x）在错误!上单调递增，
所以h（x）min＝h错误!＝１＋ln a＝３，
解得a＝e２＞错误!.
综上所述，存在a＝e２，使x∈（0，e]时，h（x）有最小值３．
[由题悟法]
解决探索性问题的注意事项
探索问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．（１）当条件和结论不唯一时要分类讨论；
（２）当给出结论来推导存在的条件时，先假设成立，再推出条件；
（３）当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采用另外的途径．
[即时应用]
已知函数f（x）＝错误!，其中a为实数．
（１）当a＝２时，求曲线y＝f（x）在点（２，f（２））处的切线方程；
（２）是否存在实数a，使得对任意x∈（0,１）∪（１，＋∞），f（x）＞错误!恒成立？若不存在，请说明理由，若存在，求出a的值并加以证明．
解：（１）当a＝２时，f（x）＝错误!，
f′（x）＝错误!，f′（２）＝错误!，
又f（２）＝0，
所以曲线y＝f（x）在点（２，f（２））处的切线方程为y＝错误!（x—２）．
（２）１当0＜x＜１时，ln x＜0，
则错误!＞错误!?a＞x—错误!ln x，
令g（x）＝x—错误!ln x，
则g′（x）＝错误!，
再令h（x）＝２错误!—２—ln x，
则h′（x）＝错误!—错误!＝错误!，
故当0＜x＜１时，h′（x）＜0，
所以h（x）在（0,１）上单调递减，
所以当0＜x＜１时，h（x）＞h（１）＝0，
所以g′（x）＝错误!＞0，
所以g（x）在（0,１）上单调递增，
所以g（x）＜g（１）＝１，
所以a≥１．
２当x＞１时，ln x＞0，
则错误!＞错误!?a＜x—错误!ln x.
由１知当x＞１时，h′（x）＞0，h（x）在（１，＋∞）上单调递增，
所以当x＞１时，h（x）＞h（１）＝0，
所以g′（x）＝错误!＞0，
所以g（x）在（１，＋∞）上单调递增，
所以g（x）＞g（１）＝１，
所以a≤１．
综合１２得：a＝１．
错误!错误!
[典例引领]
（２0１8·南通、扬州、泰州、淮安调研）已知函数f（x）＝ax２＋cos x（a∈R）．
（１）若f（x）在x＝0处取得极小值，求a的取值范围；
（２）设函数h（x）的定义域为D，区间（m，＋∞）?D，若h（x）在（m，＋∞）上是单调函数，则称h（x）在D上广义单调．试证明函数y＝f（x）—x ln x在（0，＋∞）上广义单调．解：（１）因为f′（x）＝２ax—sin x，
令g（x）＝２ax—sin x，
则g′（x）＝２a—cos x.
１当a≥错误!时，g′（x）≥１—cos x≥0，所以函数f′（x）在R上单调递增．
若x＞0，则f′（x）＞f′（0）＝0；
若x＜0，则f′（x）＜f′（0）＝0，
所以f（x）在（0，＋∞）上单调递增，在（—∞，0）上单调递减，
所以f（x）在x＝0处取得极小值，符合题意．
２当a≤—错误!时，g′（x）≤—１—cos x≤0，所以函数f′（x）在R上单调递减．
若x＞0，则f′（x）＜f′（0）＝0；
若x＜0，则f′（x）＞f′（0）＝0，
所以f（x）在（0，＋∞）上单调递减，在（—∞，0）上单调递增，
所以f（x）在x＝0处取得极大值，不符合题意．
３当—错误!＜a＜错误!时，?x0∈（0，π），使得cos x0＝２a，即g′（x0）＝0，
当x∈（0，x0）时，cos x＞２a，即g′（x）＜0，
所以函数f′（x）在（0，x0）上单调递减，
所以f′（x）＜f′（0）＝0，
即函数f′（x）在（0，x0）上单调递减，不符合题意．
综上所述，a的取值范围是错误!.
（２）证明：记h（x）＝ax２＋cos x—x ln x（x＞0），
１若a＞0，注意到ln x＜x，则ln x 1
2＜x
1
2，即ln x＜２错误!.
当x＞错误!２时，h′（x）＝２ax—sin x—１—ln x＞２ax—２错误!—２
＝２a错误!错误!＞0．
所以?m＝错误!２，函数h（x）在（m，＋∞）上单调递增．
２若a≤0，当x＞１时，h′（x）＝２ax—sin x—１—ln x≤—sin x—１—ln x＜0．
所以?m＝１，函数h（x）在（m，＋∞）上单调递减，
综上所述，函数y＝f（x）—x ln x在区间（0，＋∞）上广义单调．
[由题悟法]
对于题目定义的新函数，通过仔细阅读，分析定义以及新函数所满足的条件，围绕定义与条件来确定解题的方向，然后准确作答．解答这类问题的关键在于阅读理解时，要准确把握新定义、新信息，并把它纳入已有的知识体系之中，用原来的知识和方法来解决新情景下的问题．本题考查的新定义函数问题可看成是由两个已知函数构造而成，然后利用分类讨论思想解决．
[即时应用]
若在公共定义域D上，f１（x）＜f（x）＜f２（x），则称函数f（x）为函数f１（x），f２（x）的“D 函数”．
（１）已知函数f１（x）＝错误!x２＋２x＋４ln x，f２（x）＝x２＋２x＋２，求证：在区间（0，＋∞）上，f１（x），f２（x）有“D函数”；
（２）已知a∈R，函数f（x）＝ax２＋ln x，f１（x）＝（a—１）x２＋ax＋（１—a２）ln x，f２（x）＝错误!x２＋２ax.若在区间（１，＋∞）上，f（x）为f１（x），f２（x）的“D函数”，求a的取值范围．解：（１）证明：设K（x）＝f２（x）—f１（x）＝错误!x２—４ln x＋２，下证K（x）min＞0．
K′（x）＝x—错误!＝错误!，
故K′（x）与K（x）随x的变化情况如下表：
因为４—４ln ２＞４—４ln e＝0，
所以K（x）≥４—４ln ２＞0．
设R（x）＝f１（x）＋λ（４—４ln ２），0＜λ＜１，
则f１（x）＜R（x）＜f２（x）．
所以在区间（0，＋∞）上，f１（x），f２（x）有“D函数”．
（２）设H（x）＝f１（x）—f（x）＝—x２＋ax—a２ln x，
则在（１，＋∞）上，H（x）＜0．
因为H′（x）＝—２x—错误!＋a＝错误!＝—错误!，
所以在（１，＋∞）上，H′（x）＜0，H（x）是减函数，
所以H（x）＜H（１）≤0，所以a≤１．
设P（x）＝f（x）—f２（x）＝错误!x２—２ax＋ln x，
则在（１，＋∞）上，P（x）＜0．
若a＞错误!，则错误!＞１，
所以P错误!＝ln错误!＞0，矛盾．
若a≤错误!，因为P′（x）＝（２a—１）x＋错误!—２a＝错误!，
所以在（１，＋∞）上，P′（x）＜0，P（x）是减函数，
所以P（x）＜P（１）≤0．
所以a≥—错误!，所以—错误!≤a≤错误!.
故所求a的取值范围为错误!.
１．已知函数f（x）＝ln x＋错误!—错误!（a∈R且a≠0）．
（１）讨论函数f（x）的单调性；
（２）当x∈错误!时，试判断函数g（x）＝（ln x—１）e x＋x—m的零点个数．解：（１）f′（x）＝错误!（x＞0），
当a＜0时，f′（x）＞0恒成立，函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增；
当a＞0时，由f′（x）＝错误!＞0，得x＞错误!，
由f′（x）＝错误!＜0，得0＜x＜错误!，
∴函数f（x）在错误!上单调递增，在错误!上单调递减．
综上所述，当a＜0时，函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增；
当a＞0时，函数f（x）在错误!上单调递增，在错误!上单调递减．
（２）当x∈错误!时，函数g（x）＝（ln x—１）e x＋x—m的零点个数，等价于方程（ln x—１）e x＋x＝m的根的个数．
令h（x）＝（ln x—１）e x＋x，
则h′（x）＝错误!e x＋１．
由（１）知当a＝１时，f（x）＝ln x＋错误!—１在错误!上单调递减，在（１，e）上单调递增，∴当x∈错误!时，f（x）≥f（１）＝0．
∴错误!＋ln x—１≥0在x∈错误!上恒成立．
∴h′（x）＝错误!e x＋１≥0＋１＞0，
∴h（x）＝（ln x—１）e x＋x在x∈错误!上单调递增，
∴h（x）min＝h错误!＝—２e 1
e＋错误!，h（x）max＝h（e）＝e.
∴当m＜—２e 1
e＋错误!或m＞e时，函数g（x）在错误!上没有零点；
当—２e错误!＋错误!≤m≤e时，函数g（x）在错误!上有一个零点．
２．已知函数f（x）＝x e x.
（１）求f（x）的单调区间与极值；
（２）是否存在实数a使得对于任意的x１，x２∈（a，＋∞），且x１＜x２，恒有错误!＞错误!成立？若存在，求a的取值范围，若不存在，请说明理由．
解：（１）因为f（x）＝x e x，
所以f′（x）＝（x＋１）e x.
令f′（x）＝0，得x＝—１．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
所以f（x
f（x）有极小值f（—１）＝—错误!，无极大值．
（２）存在满足题意的实数a.理由如下：
令g（x）＝错误!＝错误!（x＞a），
则错误!＞错误!等价于g（x）在（a，＋∞）上单调递增．
又g′（x）＝错误!，
记h（x）＝（x２—ax—a）e x＋a e a，
则h′（x）＝[x２＋（２—a）x—２a]e x＝（x＋２）·（x—a）e x，
故当a≥—２，且x＞a时，h′（x）＞0，h（x）在（a，＋∞）上单调递增．
故h（x）＞h（a）＝0，从而g′（x）＞0，g（x）在（a，＋∞）上单调递增，满足题意；另一方面，当a＜—２，且a＜x＜—２时，h′（x）＜0，h（x）在（a，—２）上单调递减．故h（x）＜h（a）＝0，
从而g′（x）＜0，g（x）在（a，—２）上单调递减，不满足题意．
所以a的取值范围为[—２，＋∞）．
３．已知函数f（x）＝e x＋ax＋b（a，b∈R）在x＝0处的导数值为0．
（１）求实数a的值；
（２）若f（x）有两个零点x１，x２，且x１＜x２，
（ⅰ）求实数b的取值范围；
（ⅱ）证明：x１＋x２＜0．
解：（１）因为f′（x）＝e x＋a，所以f′（0）＝e0＋a＝１＋a，
又f′（0）＝0，所以a＝—１．
（２）（ⅰ）因为f（x）＝e x—x＋b，所以f′（x）＝e x—１．
当x∈（—∞，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（0，＋∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
所以f（x）在x＝0处取得极小值，也是最小值，且f（0）＝１＋b.
因为f（x）有两个零点x１，x２，
所以f（0）＝１＋b＜0，所以b＜—１，
即实数b的取值范围是（—∞，—１）．
（ⅱ）证明：因为f（x１）＝0，f（x２）＝0，
所以e x１—x１＋b＝0 １，e x２—x２＋b＝0 ２，
由２—１得e x２—e x１＝x２—x１，即e x１（e x２—x１—１）＝x２—x１.
令x２—x１＝t，t＞0，则e x１（e t—１）＝t，
所以e x１＝错误!，e x２＝错误!.
要证x１＋x２＜0，只需证e x１e x２＜１，即证错误!·错误!＜１，
即证t２e t＜（e t—１）２，即证t２e t—（e t）２＋２e t—１＜0．
令m（t）＝t２e t—（e t）２＋２e t—１，
则m′（t）＝e t（t２＋２t＋２—２e t）．
令n（t）＝t２＋２t＋２—２e t，则n′（t）＝２t＋２—２e t.
设φ（t）＝２t＋２—２e t，则当t＞0时，φ′（t）＝２—２e t＜0，
所以当t＞0时，φ（t）单调递减，
因为φ（0）＝0，所以当t＞0时，φ（t）＜0，则n′（t）＜0，
所以当t＞0时，n（t）单调递减，
又n（0）＝0，所以当t＞0时，n（t）＜0，则m′（t）＜0，
所以当t＞0时，m（t）单调递减，
因为m（0）＝0，所以当t＞0时，m（t）＜0．
综上可知，原式得证．
４．若对任意实数k，b都有函数y＝f（x）＋kx＋b的图象与直线y＝kx＋b相切，则称函数f（x）为“恒切函数”，设函数g（x）＝a e x—x—pa，a，p∈R.
（１）讨论函数g（x）的单调性；
（２）已知函数g（x）为“恒切函数”．
１求实数p的取值范围；
２当p取最大值时，若函数h（x）＝g（x）e x—m为“恒切函数”，求证：0≤m＜错误!.
（参考数据：e３≈２0）
解：（１）g′（x）＝a e x—１，
当a≤0时，g′（x）＜0恒成立，函数g（x）在R上单调递减；
当a＞0时，由g′（x）＞0，得x＞—ln a；由g′（x）＜0，得x＜—ln a，
所以函数g（x）在（—∞，—ln a）上单调递减，在（—ln a，＋∞）上单调递增．
综上，当a≤0时，函数g（x）在R上单调递减；当a＞0时，函数g（x）在（—∞，—ln a）上单调递减，在（—ln a，＋∞）上单调递增．
（２）１若函数f（x）为“恒切函数”，则函数y＝f（x）＋kx＋b的图象与直线y＝kx＋b相切，设切点为（x0，y0），则f′（x0）＋k＝k且f（x0）＋kx0＋b＝kx0＋b，即f′（x0）＝0，f（x0）＝0．因为函数g（x）为“恒切函数”，
所以存在x0，使得g′（x0）＝0，g（x0）＝0，
即错误!解得a＝e—0x＞0，p＝e0x（１—x0）．
设m（x）＝e x（１—x），则m′（x）＝—x e x，
由m′（x）＜0，得x＞0；由m′（x）＞0，得x＜0，
故函数m（x）在（—∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，
从而m（x）max＝m（0）＝１，
故实数p的取值范围为（—∞，１]．
２证明：由１知当p取最大值时，p＝１，a＝１，
故h（x）＝（e x—x—１）e x—m，
则h′（x）＝（２e x—x—２）e x.
因为函数h（x）为“恒切函数”，
故存在x0，使得h′（x0）＝0，h（x0）＝0，
由h′（x0）＝0，得（２e0x—x0—２）e0x＝0，即２e x0—x0—２＝0．
设n（x）＝２e x—x—２，则n′（x）＝２e x—１，
由n′（x）＞0，得x＞—ln ２；由n′（x）＜0，得x＜—ln ２，
故n（x）在（—∞，—ln ２）上单调递减，在（—ln ２，＋∞）上单调递增．
在单调递增区间（—ln ２，＋∞）上，n（0）＝0，
故x0＝0，
则由h（x0）＝0，得m＝0．
在单调递减区间（—∞，—ln ２）上，n（—２）＝２e—２＞0，
n错误!＝２e—错误!—错误!≈２×（２0）—错误!—错误!＝错误!—错误!＜0，
故在区间错误!上存在唯一的x0，使得２e0x—x0—２＝0，即e0x＝错误!，
此时由h（x0）＝0，得m＝（e0x—x0—１）e x0＝错误!·错误!＝—错误!x0（x0＋２）＝—错误!（x0＋１）２＋错误!，
因为函数r（x）＝—错误!（x＋１）２＋错误!在错误!上单调递增，且r（—２）＝0，r错误!＝错误!，所以0＜m＜错误!.
综上，0≤m＜错误!.
导数题型归纳 请同学们高度重视： 首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在 其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)(' =x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）； 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上， ()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，432 3()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围； （2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- （1） ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”， 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x < 解法二：分离变量法： ∵ 当0x =时, 2 ()330g x x mx ∴=--=-<恒成立, 当03x <≤时, 2 ()30g x x mx =--<恒成立 等价于233 x m x x x ->=-的最大值（03x <≤）恒成立， 而3 ()h x x x =-（03x <≤）是增函数，则max ()(3)2h x h == (2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数” 则等价于当2m ≤时2 ()30g x x mx =--< 恒成立 解法三：变更主元法 再等价于2 ()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立（视为关于m 的一次函数最值问题） 2 2 (2)0230 11(2)0230 F x x x F x x ?->--+>?????-<-+>??? 例2),10(32 R b a b x a ∈<<+- ],2不等式()f x a '≤恒成立，求a 的取值范围.
高考文科数学导数专题复习 第1讲 变化率与导数、导数的计算 知 识 梳 理 1.导数的概念 (1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0 lim x ?→f （x 0＋Δx ）－f （x 0） Δx . (2)函数f (x )的导函数f ′(x )＝0 lim x ?→f （x ＋Δx ）－f （x ） Δx 为f (x )的导函数. 2.导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，过点P 的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 3.基本初等函数的导数公式 4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： 考点一 导数的计算 【例1】 求下列函数的导数： (1)y ＝e x ln x ；(2)y ＝x ? ?? ??x 2＋1x ＋1x 3； 解 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x 1x ＝? ?? ??ln x ＋1x e x .(2)因为y ＝x 3 ＋1＋1x 2， 所以y ′＝(x 3)′＋(1)′＋? ?? ??1x 2′＝3x 2 －2x 3. 【训练1】 (1) 已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( ) A.－e B.－1 C.1 D.e 解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1 x ，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.答案 B (2)(2015·天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数.若f ′(1)＝3，则a 的值为________. (2)f ′(x )＝a ? ?? ??ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x ).由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.答案 (2)3 考点二 导数的几何意义 命题角度一 求切线方程 【例2】 (2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1 －x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的 切线方程是________.解析 (1)设x >0，则－x <0，f (－x )＝e x －1 ＋x .又f (x )为偶函数，f (x )＝f (－x )＝e x －1 ＋x ， 所以当x >0时，f (x )＝e x －1 ＋x .因此，当x >0时，f ′(x )＝e x －1 ＋1，f ′(1)＝e 0 ＋1＝2.则曲线y ＝f (x )在点(1， 2)处的切线的斜率为f ′(1)＝2，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0. 答案 2x －y ＝0 【训练2】(2017·威海质检)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( )A.x ＋y －1＝0 B.x －y －1＝0 C.x ＋y ＋1＝0 D.x －y ＋1＝0
2017年高考真题导数专题 一．解答题（共12小题） 1．已知函数f（x）2（a﹣2）﹣x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 2．已知函数f（x）2﹣﹣，且f（x）≥0． （1）求a； （2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． 3．已知函数f（x）﹣1﹣． （1）若f（x）≥0，求a的值； （2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值． 4．已知函数f（x）321（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：b2＞3a； （3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．5．设函数f（x）=（1﹣x2）． （1）讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≤1，求a的取值范围． 6．已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥）． （1）求f（x）的导函数； （2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围． 7．已知函数f（x）2+2，g（x）（﹣2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线（x）在点（π，f（π））处的切线方程； （Ⅱ）令h（x）（x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．
） 10．已知函数f（x）3﹣2，a∈R， （1）当2时，求曲线（x）在点（3，f（3））处的切线方程； （2）设函数g（x）（x）+（x﹣a）﹣，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 11．设a，b∈R，≤1．已知函数f（x）3﹣6x2﹣3a（a﹣4），g（x）（x）． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）已知函数（x）和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线， （i）求证：f（x）在0处的导数等于0； （）若关于x的不等式g（x）≤在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围． 12．已知函数f（x）（﹣a）﹣a2x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）≥0，求a的取值范围．
导数的综合应用 一、选择题 1.已知函数f(x)=x2+mx+ln x是单调递增函数,则m的取值范围是( B ) (A)m>-2(B)m≥-2 (C)m<2 (D)m≤2 解析:函数定义域为(0,+∞), 又f'(x)=2x+m+. 依题意有f'(x)=2x+m+≥0在(0,+∞)上恒成立, ∴m≥-恒成立,设g(x)=-, 则g(x)=-≤-2, 当且仅当x=时等号成立. 故m≥-2, 故选B. 2.(2013洛阳统考)函数f(x)的定义域是R,f(0)=2,对任意x∈R,f(x)+f'(x)>1,则不等式 e x·f(x)>e x+1的解集为( A ) (A){x|x>0} (B){x|x<0} (C){x|x<-1或x>1} (D){x|x<-1或0
解析:由导数的定义知,S'(t0)表示面积函数S(t0)在t0时刻的瞬时变化率.如图所示,正五角星薄片中首先露出水面的是区域Ⅰ,此时其面积S(t)在逐渐增大,且增长速度越来越快,故其瞬时变化率S'(t)也应逐渐增大;当露出的是区域Ⅱ时,此时的S(t)应突然增大,然后增长速度减慢,但仍为增函数,故其瞬时变化率S'(t)也随之突然变大,再逐渐变小,但S'(t)>0(故可排除选项B);当五角星薄片全部露出水面后,S(t)的值不再变化,故其导数值S'(t)最终应等于0,符合上述特征的只有选项A. 4.已知f(x)是定义域为R的奇函数,f(-4)=-1,f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示.若两正 数a,b满足f(a+2b)<1,则的取值范围是( B ) (A)(B) (C)(-1,0) (D)(-∞,-1) 解析:因为f(x)是定义域为R的奇函数,f(-4)=-1,所以f(-4)=-f(4),所以f(4)=1,所以f(a+2b) 专题03 函数与导数大题部分 【训练目标】 1、 理解函数的概念，会求函数的定义域，值域和解析式，特别是定义域的求法； 2、 掌握函数单调性，奇偶性，周期性的判断方法及相互之间的关系，会解决它们之间的综合问题； 3、 掌握指数和对数的运算性质，对数的换底公式； 4、 掌握指数函数和对数函数的图像与性质； 5、 掌握函数的零点存在定理，函数与方程的关系； 6、 熟练数形结合的数学思想在解决函数问题的运用； 7、 熟练掌握导数的计算，导数的几何意义求切线问题； 8、 理解并掌握导数与函数单调性之间的关系，会利用导数分析函数的单调性，会根据单调性确定参数的取 值范围； 9、 会利用导数求函数的极值和最值，掌握构造函数的方法解决问题。 【温馨小提示】 本章内容既是高考的重点，又是难点，再备考过程中应该大量解出各种题型，总结其解题方法，积累一些常用的小结论，会给解题带来极大的方便。 【名校试题荟萃】 1、（2019届新余四中、上高二中高三第一次联考）已知函数 .,R n m ∈ （1）若函数()x f 在()()2,2f 处的切线与直线0=-y x 平行，求实数n 的值； （2）试讨论函数()x f 在区间[)+∞,1上最大值； （3）若1=n 时，函数()x f 恰有两个零点，求证：221>+x x 【答案】（1）6n =（2）1ln m n --（3）见解析 【解析】（1）由， ，由于函数()f x 在(2,(2))f 处的切线与直线0x y -=平行， 故 2 14 n -=，解得6n =。 （2） ，由()0f x '<时，x n >；()0f x '>时，x n <，所以 ①当1n ≤时，()f x 在[)1,+∞上单调递减，故()f x 在[)1,+∞上的最大值为 ； 目录 导数专题一、单调性问题 (2) 导数专题二、极值问题 (38) 导数专题三、最值问题 (53) 导数专题四、零点问题 (77) 导数专题五、恒成立问题和存在性问题 (118) 导数专题六、渐近线和间断点问题 (170) 导数专题七、特殊值法判定超越函数的零点问题 (190) 导数专题八、避免分类讨论的参变分离和变换主元 (201) 导数专题九、公切线解决导数中零点问题 (214) 导数专题十、极值点偏移问题 (219) 导数专题十一、构造函数解决导数问题 (227) 导数专题一、单调性问题 【知识结构】 【知识点】 一、导函数代数意义：利用导函数的正负来判断原函数单调性； 二、分类讨论求函数单调性：含参函数的单调性问题的求解，难点是如何对参数进行分类讨论， 讨论的关键在于导函数的零点和定义域的位置关系. 三、分类讨论的思路步骤： 第一步、求函数的定义域、求导，并求导函数零点； 第二步、以导函数的零点存在性进行讨论；当导函数存在多个零点的时，讨论他们的大小关系及与 区间的位置关系（分类讨论）； 第三步、画出导函数的同号函数的草图，从而判断其导函数的符号（画导图、标正负、截定义域）；第四步、（列表）根据第五步的草图列出f '(x)，f (x)随x 变化的情况表，并写出函数的单调区间； 第五步、综合上述讨论的情形，完整地写出函数的单调区间，写出极值点，极值与区间端点函数 值比较得到函数的最值. 四、分类讨论主要讨论参数的不同取值求出单调性，主要讨论点： 1.最高次项系数是否为0； 2.导函数是否有极值点； 3.两根的大小关系； 4.根与定义域端点讨论等。 五、求解函数单调性问题的思路： （1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为f '(x) ≥ 0 或f '(x) ≤ 0 恒成立； （2）已知区间上不单调，转化为导函数在区间上存在变号零点，通常利用分离变量法求解参 变量的范围； （3）已知函数在区间上存在单调递增或单调递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于 零有解. 六、原函数单调性转化为导函数给区间正负问题的处理方法 （1）参变分离； （2）导函数的根与区间端点直接比较； 欢迎下载学习好资料 高考文科数学专题复习导数训练题（文）一、考点回顾导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容。考查方式以客观题为主，主1. 要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义。导数的应用是高中数学中的重点内容，导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工2.具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。选择填空题侧重于利用导不等式、解答题侧重于导数的综合应用，即与函数、数确定函数的单调性、单调区间和最值问题，数列的综合应用。3.应用导数解决实际问题，关键是建立恰当的数学模型（函数关系），如果函数在给定区间内只有一个极值点，此时函数在这点有极大（小）值，而此时不用和端点值进行比较，也可以得知这就是最大（小）值。 二、经典例题剖析 考点一：求导公式。 13f(x)?x?2x?1??ff(?1)(x)3的值是的导函数，则。例1. 是 ????2?1?2?1?f'32x??xf'解析：，所以 答案：3 点评：本题考查多项式的求导法则。 考点二：导数的几何意义。 1x?y?2(1?(1))f(x)My，f2，点则图数2. 例已知函的象程的处切线方在是 ??(1)(f1?)f。 115???fk?'1M(1，f(1))222，所的纵坐标为，所以，由切线过点，可得点M 解析：因为5???f1?????3'f1?f12以，所以3 答案： 学习好资料欢迎下载 32?3)(1，2??4x?yx?2x例3. 。在点曲线处的切线方程是 2?3)(1，4??4xy'?3x5?k?3?4?4??解析：，所以设切线方程，处切线的斜率为点?3)(1， ?3)y??5x?b(1，2b?，将点处的切线为带入切线方程可得，所以，过曲线上点5x?y?2?0方程为：5x?y?2?0答案：点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 ??23x?,y0x l:y?kx x?3x?2y?xl与曲线C且直线相切于点，，例，4.已知曲线C：直线000l的方程及切点坐标。求直线y??00k??x??0x y,x?0在曲析解：线直线过原点，C则。由点上， ??00232x?2x?3xy?x yx,y'?3x?6x?2??0在，处，。又 则00y20?x?3x?2 000000??222x?3x?2?3x?6x?22x?'6x??3xk?f?，整曲线C，的切线斜率为 0000000331y???k??x03x??2x x?00082400。所以，（舍），此时，，解得：理得：，或033??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是直线。 33??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是答案：直线点评：本小题考查导数 第二部分 导数、微分及其导数的应用 知识汇总 一、求导数方法 1.利用定义求导数 2.导数的四则运算法则 3.复合函数的求导法则 若)(u f y =与)(x u φ=均可导，则[])(x f y φ=也可导，且dx du du dy dx dy ? = 即 [])()(x x f y φφ'?'=' 4.反函数的求导法则 若)(x f y =与)(y x φ=互为反函数，且)(y φ单调、可导，则 )(1)(y x f φ'= '，即dy dx dx dy 1 = 5.隐函数求导法 求由方程0),(=y x F 确定的隐函数 )(x f y =的导数dx dy 。只需将方程0),(=y x F 两边同时对x 求导（注意其中变量y 是x 的函数），然后解出 dx dy 即可。 6.对数求导法 对数求导法是先取对数，然后按隐函数求导数的方法来求导数。对数求导法主要解决两类函数的求导数问题： (1)幂指数函数y=)()(x v x u ；(2)由若干个因子的乘积或商的显函数，如 y= 3 4 )3(52)2)(1(---++x x x x x ,3 ) 2)(53() 32)(1(--+-=x x x x y ,5 5 2 2 5 +-=x x y 等等。 7.由参数方程所确定函数的求导法则 设由参数方程 ? ? ?==)() (t y t x ?φ ),(βα∈t 确定的函数为y=f(x)，其中)(),(t t ?φ 可导，且)(t φ'≠0，则y=f(x)可导，且 dt dx dt dy t t dx dy =''=)()(φ? 8.求高阶导数的方法 二、求导数公式 1.基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 2.常见函数的高阶导数 (1) n n x n x -+-?-?-?=αα αααα)1()2()1()() ( (2) x n x e e =) () ( (3) ()()ln x n x n a a a = (4) () (sin ) sin 2n x x n π? ?=+? ??? (5) ??? ? ??+=2cos )(cos )(πn x x n (6) () 1 (1)!ln()(1) ()n n n n a x a x --+=-+ (7) 1 )() (!)1()1(++-=+n n n n b ax a n b ax 2017-2019年全国高考数学真题--第21题导数 2018年：设函数2 ()1x f x e x ax =---。 （1）若0a =， 求()f x 的单调区间； （2）若当0x ≥时()0f x ≥， 求a 的取值范围 2019年：已知函数ln ()1a x b f x x x = ++， 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 230x y +-=． （I ）求,a b 的值； （II ）如果当0x >， 且1x ≠时， ln ()1x k f x x x >+-， 求k 的取值范围． 2019年： 已知函数)(x f 满足2 1 2 1)0()1(')(x x f e f x f x + -=-． （Ⅰ）求)(x f 的解析式及单调区间； （Ⅱ）若b ax x x f ++≥2 2 1)(， 求b a )1(+的最大值． 2019： 一卷：已知函数()f x ＝2 x ax b ++， ()g x ＝()x e cx d +， 若曲线()y f x =和 曲线()y g x =都过点P (0， 2)， 且在点P 处有相同的切线42y x =+ （Ⅰ）求a ， b ， c ， d 的值； （Ⅱ）若x ≥－2时， ()f x ≤()kg x ， 求k 的取值范围． 2019一卷：设函数1 ()ln x x be f x ae x x -=+， 曲线()y f x =在点（1， (1)f 处的切线为 (1)2y e x =-+． (Ⅰ)求,a b ； （Ⅱ）证明：()1f x >． 2015一卷：已知函数3 1 ()4 f x x ax =++ ， ()ln g x x =-． （Ⅰ）当a 为何值时， x 轴为曲线()y f x = 的切线； （Ⅱ）用min {},m n 表示m ， n 中的最小值， 设函数{}()min (),()(0)=>h x f x g x x ， 讨论()h x 零点的个数． 高中数学专题训练 导数的应用——极值与最值一、选择题 1．函数y＝ax3＋bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和1 3，则() A．a－2b＝0B．2a－b＝0 C．2a＋b＝0 D．a＋2b＝0 答案 D 解析y′＝3ax2＋2bx，据题意， 0、1 3是方程3ax 2＋2bx＝0的两根 ∴－2b 3a＝ 1 3，∴a＋2b＝0. 2．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝() A. 1 ln2B．－ 1 ln2 C．－ln2 D．ln2 答案 B 解析由y＝x·2x得y′＝2x＋x·2x·ln2 令y′＝0得2x(1＋x·ln2)＝0 ∵2x＞0，∴x＝－ 1 ln2 3．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极小值，则() A．0＜b＜1 B．b＜1 C．b＞0 D．b＜1 2 答案 A 解析f(x)在(0,1)内有极小值，则f′(x)＝3x2－3b在(0,1)上先负后正，∴f′(0)＝－3b＜0， ∴b＞0，f′(1)＝3－3b＞0，∴b＜1 综上，b的范围为0＜b＜1 4．连续函数f(x)的导函数为f′(x)，若(x＋1)·f′(x)>0，则下列结论中正确的是() A．x＝－1一定是函数f(x)的极大值点 B．x＝－1一定是函数f(x)的极小值点 C．x＝－1不是函数f(x)的极值点 D．x＝－1不一定是函数f(x)的极值点 答案 B 解析x>－1时，f′(x)>0 x<－1时，f′(x)<0 ∴连续函数f(x)在(－∞，－1)单减，在(－1，＋∞)单增，∴x＝－1为极小值点． 5．函数y ＝x 33＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是( ) A ．－173 B ．－103 C ．－4 D ．－643 答案 A 解析 y ′＝x 2＋2x －3. 令y ′＝x 2＋2x －3＝0，x ＝－3或x ＝1为极值点． 当x ∈[0,1]时，y ′<0.当x ∈[1,2]时，y ′>0，所以当x ＝1时，函数取得极小值，也为最小值． ∴当x ＝1时，y min ＝－173. 6．函数f (x )的导函数f ′(x )的图象，如右图所示，则( ) A ．x ＝1是最小值点 B ．x ＝0是极小值点 C ．x ＝2是极小值点 D ．函数f (x )在(1,2)上单增 答案 C 解析 由导数图象可知，x ＝0，x ＝2为两极值点，x ＝0为极大值点，x ＝2为极小值点，选C. 7．已知函数f (x )＝12x 3－x 2－72x ，则f (－a 2)与f (－1)的大小关系为( ) A ．f (－a 2)≤f (－1) B ．f (－a 2) 导数专题复习（基础精心整理）学生版 【基础知识】 1.导数定义：在点处的导数记作k = 相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=- 2.常见函数的导数公式: ①；②；③；④； ⑤；⑥；⑦；⑧ 。 3.导数的四则运算法则： （1） （2） （3） 4.导数的应用： （1）利用导数判断函数单调性： ①是增函数；②为减函数；③为常数； （2）利用导数求极值：①求导数；②求方程的根；③列表得极值（判断零点两边的导函数的正负）。 （3）利用导数求最值：比较端点值和极值 【基本题型】 一、求()y f x =在0x 处的导数的步骤：（1）求函数的改变量()()00y f x x f x ?=+?-；（2）求平均变化率 ()()00f x x f x y x x +?-?=?V ；（3）取极限，得导数()00lim x y f x x →?'=?V 。 例1..已知x f x f x x f x ?-?+=→?) 2()2(lim ,1)(0则的值是（ ） A. 41- B. 2 C. 4 1 D. －2 变式1：()()()为则设h f h f f h 233lim ,430 --='→（ ） A ．－１ Ｂ．－2 C ．－3 D ．1 二、导数的几何意义 ()f x 0x x x f x x f x f x x y x ?-?+='=='→?) ()(lim )(|000 00'0C ='1()n n x nx -='(sin )cos x x ='(cos )sin x x =-'()ln x x a a a =x x e e =')('1(log )ln a x x a =x x 1 )(ln '= )()()()(])()(['+'='x g x f x g x f x g x f 2)()()()()()()(x g x g x f x g x f x g x f ' -'=' ??? ? ??' ?'='x u u f x u f ))(()(0)(x f x f ?>')(0)(x f x f ?<')(0)(x f x f ?≡')(x f '0)(='x f 高一兴趣导数大题目专项训练 班级 姓名 1.已知函数()f x 是定义在[,0)(0,]e e - 上的奇函数，当(0,]x e ∈时，有()ln f x ax x =+（其中e 为自然对数的底，a ∈R ）． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）试问：是否存在实数0a <，使得当[,0)x e ∈-，()f x 的最小值是3？如果存在，求出实数a 的值；如果不存在，请说明理由； （Ⅲ）设ln ||()||x g x x =（[,0)(0,]x e e ∈- ），求证：当1a =-时，1 |()|()2 f x g x >+； 2. 若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足： ()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”．已知 2()h x x =，()2ln x e x ?=（其中e 为自然对数的底数）． (1)求()()()F x h x x ?=-的极值； (2) 函数()h x 和()x ?是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由． 3. 设关于x 的方程012 =--mx x 有两个实根α、β，且βα<。定义函数.1 2)(2+-= x m x x f （I ）求)(ααf 的值；（II ）判断),()(βα在区间x f 上单调性，并加以证明； （III ）若μλ,为正实数，①试比较)(),( ),(βμ λμβ λααf f f ++的大小； ②证明.|||)()(|βαμ λλβ μαμλμβλα-<++-++f f 4. 若函数22()()()x f x x ax b e x R -=++∈在1x =处取得极值. （I ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调区间； （II ）是否存在实数m ，使得对任意(0,1)a ∈及12,[0,2]x x ∈总有12|()()|f x f x -< 21[(2)]1m a m e -+++恒成立，若存在，求出m 的范围；若不存在，请说明理由． 5．若函数()()2 ln ,f x x g x x x ==- （1）求函数()()()()x g x kf x k R ?=+∈的单调区间； （2）若对所有的[),x e ∈+∞都有()xf x ax a ≥-成立，求实数a 的取值范围. 2019年高三数学重点知识：导数及其应用查字典数学网高中频道收集和整理了2019年高三数学重点知识：导数及其应用，以便高中生在高考备考过程中更好的梳理知识，轻松备战。祝大家暑假快乐。 一基础再现 考点87简单复合函数的导数 1.曲线在点处的切线方程为____________。 2.已知函数和的图象在处的切线互相平行，则=________. 3.(宁夏、海南卷)设函数 (Ⅰ)讨论的单调性；(Ⅱ)求在区间的最大值和最小值. 考点88定积分 4.计算 5.(1)；(2) 6. 计算= 7.___________ 8.求由曲线y=x3，直线x=1，x=2及y=0所围成的曲边梯形的面积. 二感悟解答 1.答案： 2.答案：6 3.解：的定义域为. 当时，；当时，；当时，. 从而，分别在区间，单调增，在区间单调减. (Ⅱ)由(Ⅰ)知在区间的最小值为. 又. 所以在区间的最大值为. 4.答案：6 5.答案：(1) 死记硬背是一种传统的教学方式，在我国有悠久的历史。但随着素质教育的开展，死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式，渐渐为人们所摒弃；而另一方面，老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。其实，只要应用得当，“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。相反，它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。 (2)利用导数的几何意义：与x=0，x=2所围图形是以(0，0)为圆心，2为半径的四分之一个圆，其面积即为(图略) 观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重 2018年高考理科数学全国卷三导数压轴题解析 已知函数2()(2)ln(1)2f x x ax x x =+++- （1） 若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >； （2） 若0x =是()f x 的极大值点，求a . 考点分析 综合历年试题来看，全国卷理科数学题目中，全国卷三的题目相对容易。但在2018年全国卷三的考察中，很多考生反应其中的导数压轴题并不是非常容易上手。第1小问，主要通过函数的单调性证明不等式，第2小问以函数极值点的判断为切入点，综合考察复杂含参变量函数的单调性以及零点问题，对思维能力（化归思想与分类讨论）的要求较高。 具体而言，第1问，给定参数a 的值，证明函数值与0这一特殊值的大小关系，结合函数以及其导函数的单调性，比较容易证明，这也是大多数考生拿到题目的第一思维方式，比较常规。如果能结合给定函数中20x +>这一隐藏特点，把ln(1)x +前面的系数化为1，判断ln(1)x +与2/(2)x x +之间的大小关系，仅通过一次求导即可把超越函数化为求解零点比较容易的代数函数，解法更加容易，思维比较巧妙。总体来讲，题目设置比较灵活，不同能力层次的学生皆可上手。 理解什么是函数的极值点是解决第2问的关键。极值点与导数为0点之间有什么关系：对于任意函数，在极值点，导函数一定等于0么（存在不存在）？导函数等于0的点一定是函数的极值点么？因此，任何不结合函数的单调性而去空谈函数极值点的行为都是莽撞与武断的。在本题目中，0x =是()f x 的极大值点的充要条件是存在10δ<和20δ>使得对于任意1(,0)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递增)，对于任意2(0,)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递减)，因此解答本题的关键是讨论函数()f x 在0x =附近的单调性或者判断()f x 与(0)f 的大小关系。题目中并没有限定参数a 的取值范围，所以要对实数范围内不同a 取值时的情况都进行分类讨论。在第1小问的基础上，可以很容易判断0a =以及0a >时并不能满足极大值点的要求，难点是在于判断0a <时的情况。官方标准答案中将问题等价转化为讨论函数2 ()ln(1)/(2)h x x x x =+++在0x =点的极值情况，非常巧妙，但是思维跨度比较大，在时间相对紧张的选拔性考试中大多数考生很难想到。需要说明的是，官方答案中的函数命题等价转化思想需要引起大家的重视，这种思想在2018年全国卷2以及2011年新课标卷1的压轴题中均有体现，这可能是今后导数压轴题型的重要命题趋势，对学生概念理解以及思维变通的能力要求更高，符合高考命题的思想。 下面就a 值变化对函数()f x 本身在0x =附近的单调性以及极值点变化情况进行详细讨论。 导数压轴 一．解答题（共20小题） 1．已知函数f（x）＝e x（1+alnx），设f'（x）为f（x）的导函数． （1）设g（x）＝e﹣x f（x）+x2﹣x在区间[1，2]上单调递增，求a的取值范围； （2）若a＞2时，函数f（x）的零点为x0，函f′（x）的极小值点为x1，求证：x0＞x1． 2．设． （1）求证：当x≥1时，f（x）≥0恒成立； （2）讨论关于x的方程根的个数． 3．已知函数f（x）＝﹣x2+ax+a﹣e﹣x+1（a∈R）． （1）当a＝1时，判断g（x）＝e x f（x）的单调性； （2）若函数f（x）无零点，求a的取值范围． 4．已知函数． （1）求函数f（x）的单调区间； （2）若存在成立，求整数a的最小值．5．已知函数f（x）＝e x﹣lnx+ax（a∈R）． （Ⅰ）当a＝﹣e+1时，求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）当a≥﹣1时，求证：f（x）＞0． 6．已知函数f（x）＝e x﹣x2﹣ax﹣1． （Ⅰ）若f（x）在定义域内单调递增，求实数a的范围； （Ⅱ）设函数g（x）＝xf（x）﹣e x+x3+x，若g（x）至多有一个极值点，求a的取值集合．7．已知函数f（x）＝x﹣1﹣lnx﹣a（x﹣1）2（a∈R）． （2）若对?x∈（0，+∞），f（x）≥0，求实数a的取值范围． 8．设f′（x）是函数f（x）的导函数，我们把使f′（x）＝x的实数x叫做函数y＝f（x）的好点．已知函数f（x）＝． （Ⅰ）若0是函数f（x）的好点，求a； （Ⅱ）若函数f（x）不存在好点，求a的取值范围． 9．已知函数f（x）＝lnx+ax2+（a+2）x+2（a为常数）． 专题03 导数及其应用 易错点1 不能正确识别图象与平均变化率的关系 A ， B 两机关单位开展节能活动，活动开始后两机关的用电量()()12W t W t ,与时间t (天)的关系如图 所示，则一定有 A ．两机关单位节能效果一样好 B ．A 机关单位比B 机关单位节能效果好 C ．A 机关单位的用电量在0[0]t ,上的平均变化率比B 机关单位的用电量在0[0]t ,上的平均变化率大 D ．A 机关单位与B 机关单位自节能以来用电量总是一样大 【错解】选C. 因为在(0，t 0)上，()1W t 的图象比()2W t 的图象陡峭，所以在(0，t 0)上用电量的平均变化率，A 机关单位比B 机关单位大． 【错因分析】识图时，一定要结合题意弄清图形所反映的量之间的关系，特别是单调性，增长(减少)的快慢等要弄清． 【试题解析】由题可知，A 机关单位所对应的图象比较陡峭，B 机关单位所对应的图象比较平缓，且用电量在0[0]t ,上的平均变化率都小于0，故一定有A 机关单位比B 机关单位节能效果好．故选B. 【参考答案】B 1．平均变化率 函数()y f x =从1x 到2x 的平均变化率为 2121 ()() f x f x x x --，若21x x x ?=-，2()y f x ?=-1()f x ，则平 均变化率可表示为y x ??. 2．瞬时速度 一般地，如果物体的运动规律可以用函数()s s t =来描述，那么，物体在时刻t 的瞬时速度v 就是物体在 t 到t t +?这段时间内，当t ?无限趋近于0时， s t ??无限趋近的常数. 1．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A 处到B 处会感觉比较轻松，而从B 处到C 处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC 段曲线的陡峭程度吗？ 【答案】见解析. 【解析】山路从A 到B 高度的平均变化率为h AB ＝1001 5005 -=-， 山路从B 到C 高度的平均变化率为h BC ＝15101 70504 -=-， ∴h BC >h AB ， ∴山路从B 到C 比从A 到B 要陡峭的多． 易错点2 求切线时混淆“某点处”和“过某点” 若经过点P (2,8)作曲线3 y x =的切线，则切线方程为 A ．12160x y --= B ．320x y -+= 高考数学试题导数内容探究 现代中学数学组陈永生 导数是研究函数的工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值；以导数为工具，通过观察、分析三次函数图像的变化趋势，寻找临界状况，并以此为出发点进行推测、论证，实现对考生创造能力的考查是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常把高次多项式函数，分式函数，指数型，对数型函数，以及初等基本函数的和、差、积、商知识结合起来，以解答题形式综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值，切线，方程的根，参数的范围等问题，这类题难度很大，综合性强，内容新，背景新，方法新，是高考命题的丰富宝藏。解题中需用到函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与划归思想。 《课程标准》中导数的内容有：导数概念及其几何意义、导数的运算、导数在研究函数中的应用、生活中的优化问题举例、（理科）定积分与微积分基本定理。文、理科考查形式略有不同。理科基本以一个解答题的形式考查。文科以一个选择题或填空题和一个解答题为主。从新课程高考分析，对导数的要求一般有三个层次：第一层次是主要考查导数的概念、求导公式和求导法则；第二层次是导数的简单应用,包括求切线方程、求函数的单调区间, 求函数的极值；第三层次是综合考查,包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机的结合在一起，设计综合试题。本文以高考试题为例，谈谈高考导数的热点问题，供鉴赏。 一、函数，导数，不等式综合在一起，解决单调性，参数的范围等问题。解决单调性问题转化为解含参数的一元二次不等式或高次不等式的问题；求解参数的取值范围问题转化为不等式的恒成立，能成立，恰成立来求解。进一步转化求函数的最值或一元二次不等式在给定区间上（或实数集 ）上的恒成立问题来解决，从而达到考查分类与整合、化归与转化的数学思想。 2017年高考数学试题分类汇编及答案解析---导数及其应用 一、选择题（在每小题给出的四个选项中?只有一项是符合题目要求的） 1（2017北京文）已知函数1()3()3 x x f x =-?则()f x （ ） .A 是偶函数?且在R 上是增函数 .B 是奇函数?且在R 上是增函数 .C 是偶函数?且在R 上是减函数 .D 是奇函数?且在R 上是增函数 2.（2017新课标Ⅱ文）函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是（ ） .A (,2)-∞- .B (,1)-∞ .C (1, )+∞ .D (4,)+∞ З.（2017山东文）设()()1 21,1x f x x x <<=-≥?? ,若()()1f a f a =+,则 1f a ?? = ??? （ ）2.A 4.B 6.C 8.D 4.（2017山东文）若函数()e x f x 在()f x 的定义域上单调递增,则称函数()f x 具有M 性 质.下列函数中具有M 性质的是（ ） x x f A -=2)(. .B ()2f x x = .C ()3x f x -= .D ()c o s f x x = 5.（2017新课标Ⅰ文数）函数sin21cos x y x = -的部分图像大致为（ ） б.（2017新课标Ⅰ文数）已知函数()ln ln(2)f x x x =+-?则（ ） .A )(x f y =在)2,0(单调递增 .B )(x f y =在)2,0(单调递减 .C )(x f y =的图像关于直线1=x 对称 .D )(x f y =的图像关于点)0,1(对称 7.（2017天津文）已知奇函数()f x 在R 上是增函数.若 0.8221 (log ),(log 4.1),(2)5a f b f c f =-==?则,,a b c 的大小关系为（ ） .A a b c << .B b a c << .C c b a << .D c a b <<函数与导数大题部分-高考数学解题方法归纳总结专题训练
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