高中数学柯西不等式 WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】
类型一：利用柯西不等式求最值例1．求函数的最大值解：∵且，函数的定义域为，且，
即时函数取最大值，最大值为
法二：∵且，∴函数的定义域为
由，得
即，解得∴时函数取最大值，最大值为.
当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解
【变式1】设且，求的最大值及最小值。
利用柯西不等式得,故最大值为10，最小值为-10
【变式2】已知，，求的最值.
法一：由柯西不等式
于是的最大值为，最小值为.
法二：由柯西不等式
于是的最大值为，最小值为.
【变式3】设2x+3y+5z=29，求函数的最大值．
根据柯西不等式
，
故
。
当且仅当2x+1=3y+4=5z+6，即
时等号成立，此时，
变式4：设a ? (1，0，? 2)，b ? (x ，y ，z)，若x 2 ? y 2 ? z 2 ? 16，则a b
的最大值
为 。
【解】∵ a ? (1，0，? 2)，b ? (x ，y ，z) ∴ a ．b
? x ? 2z
由柯西不等式[12 ? 0 ? (? 2)2](x 2 ? y 2 ? z 2) ? (x ? 0 ? 2z)2 ? 5 ? 16 ? (x ? 2z)2 ? ? 45? x ? 45
? ? 45? a ．b ? 45，故a ．b
的最大值为45:
变式5：设x ，y ，z ? R ，若x 2 ? y 2 ? z 2 ? 4，则x ? 2y ? 2z 之最小值为 时，(x ，y ，z) ?
解(x ? 2y ? 2z)2 ? (x 2 ? y 2 ? z 2)[12 ? ( ? 2) 2 ? 22] ? 4．9 ? 36 ∴ x ? 2y ? 2z 最小值为 ? 6，公式法求 (x ，y ，z) 此时
322)2(26221222-=+-+-==-=z y x ∴ 32-=x ，34=y ，3
4-=z 变式6：设x, y, z ∈R ，若332=+-z y x ，则222)1(z y x +-+之最小值为________，又
此时=y ________。
解析：14
36
])1([)332(]1)3(2][)1([2222222222≥
+-+++-≥+-++-+z y x z y x z y x ∴最小值
718 ∴73=t ∴7
2
-=y
变式7：设a ，b ，c 均为正数且a ? b ? c ? 9，则
c
b a 16
94++之最小值为 解： 2)432(
c c
b b a a ?+?+? ≤ (
c b a 1694++)(a ? b ? c) ? (c b a 1694++)．9 ? (2 ? 3 ? 4)2 ? 81 ? c b a 1694++?9
81 ? 9
变式8：设a, b, c 均为正数，且232=++c b a ，则c
b a 3
21++之最小值为________
解：: 2222222)321(])3
()2()1][()3()2()[(++≥++++c
b a
c b a ∴18)3
21(≥++c
b a ，最小值为18
变式9：设x ，y ，z ? R 且
14)3(5)2(16)1(2
22=-+++-z y x ，求x ? y ? z 之最大、小值: 【解】∵
14
)3(5)2(16)1(2
22=-+++-z y x 由柯西不等式知 [42?（5)2 ? 22]??
?
???+-+++-2
22)
23()52()4
1(z y x ? ．．．2)52(5)41(4++??
?+-y x 2
)23(???-z ? 25 ? 1 ? (x ? y ? z ? 2)2 ? 5 ? |x ? y ? z ? 2| ? ? 5 ? x ? y ? z ? 2 ? 5 ∴ ? 3 ? x ? y ? z ? 7 故x ? y ? z 之最大值为7，最小值为 ? 3
类型二：利用柯西不等式证明不等式
基本方法：（1）巧拆常数 （例1） （2）重新安排某些项的次序（例2）
（3）改变结构 （例3） （4）添项（例4）
例1．设、、为正数且各不相等，求证：
又、、各不相等，故等号不能成立∴。
例2．、为非负数，+=1，，求证：
∴
即
例3．若>>，求证：
解：，，∴，∴所证结论改为证
∴
例4．，求证：
左端变形，
∴只需证此式即可。
【变式1】设a,b,c为正数，求证：．
，即。
同理，．将上面三个同向不等式相加得，
．
【变式2】设a,b,c为正数，求证：
于是即
【变式3】已知正数满足证明。
解：
又因为
在此不等式两边同乘以2，再加上得：
，故。
类型三：柯西不等式在几何上的应用
6．△ABC的三边长为a、b、c，其外接圆半径为R，求证：
证明：由三角形中的正弦定理得，所以，
同理，
于是左边=。
【变式】ΔABC 之三边长为4，5，6，P 为三角形内部一点，P 到三边的距离分别为x ，y ，z ，求
的最小值。
且
4x+5y+6z=
由柯西不等式(4x+5y+6z)2≥(x 2+y 2+z 2)(42+52+62)
≥(x 2+y 2+z 2)×77x 2+y 2+z 2≥
。
柯西不等式
等号当且仅当021====n a a a 或i i ka b =时成立（k 为常数，n i 2,1=） 利用柯西不等式可处理以下问题： 1）证明不等式
例2:已知正数,,a b c 满足1a b c ++= 证明 222
3
3
3
3
a b c a b c ++++≥
证明： ()
23131312
222222222a b c
a a
b b
c c ??
++=++ ??? []222333222a b c a b c ??????????≤++++ ? ? ???????????
又因为 222a b c ab bc ca ++≥++ 在此不等式两边同乘以2，再加上222a b c ++得：
()()2223a b c a b c ++≤++
()
()()2
2
2
23
3
3
2
2
2
3a
b c
a b c a b c ++≤++?++故222
3
3
3
3
a b c a b c ++++≥
2）解三角形的相关问题
例3 设p是ABC内的一点，,,
x y z是p到三边,,
a b c的距离，R是ABC外接圆的半
≤
证明：
=
111
a b c
≤++
记S为ABC的面积，则22
42
abc abc
ax by cz S
R R
++===
3）求最值
例4已知实数,,
a b c,d满足3
a b c d
+++=，2222
2365
a b c d
+++=试求a的最值解：()()2
222
111
236
236
b c d b c d
??
++++≥++
?
??
即()2
222
236
b c d b c d
++≥++
由条件可得，()2
2
53
a
a
-≥-
解得，1
2
a
≤≤
当且仅当==时等号成立，
代入
11
1,,
36
b c d
===时，
max
2
a=
21
1,,
33
b c d
===时
min
1
a=
5）利用柯西不等式解方程
例5．在实数集内解方程
222
9
4
862439
x y z
x y y
?
++=
?
?
?-+-=
?
解：()()()()
222
2222
86248624
x y z x y y
??
++-++-≥-+-
??①
又()22
862439
x y y
-+-=,.()()()()
222
2222
86248624
x y z x y z
??
++-++-=-+-
??
即不等式①中只有等号成立从而由柯西不等式中等号成立的条件，得
8624
x y z
==
--
，它与862439
x y y
-+-=联立，可得