【真题】15年内蒙古包头市北重三中高三(上)数学期中试卷含答案(理科)

2014-2015学年内蒙古巴彦淖尔一中高三（上）期中数学试卷（理科）一.选择题（5分×12=60分）每小题给出的四个选项只有一项正确1．（5分）sin（﹣300°）的值是（）A．B．﹣ C．D．﹣2．（5分）函数f（x）=ln（x+1）的定义域为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，1）C．（﹣1，+∞）D．（1，+∞）3．（5分）在复平面上，复数z=i（1+3i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（5分）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（）A．B．C．D．5．（5分）如图，阴影区域的边界是直线y=0，x=2，x=0及曲线y=3x2，则这个区域的面积是（）A．4 B．8 C．D．6．（5分）在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若=2，=+λ，则λ=（）A．B．C．D．7．（5分）“φ=π”是“曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C=2B，则为（）A．2sinC B．2cosB C．2sinB D．2cosC9．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度10．（5分）在△ABC中，AB=6，O为△ABC的外心，则等于（）A．B．18 C．12 D．611．（5分）已知点（a，b）在圆x2+y2=1上，则函数f（x）=acos2x+bsinxcosx﹣﹣1的最小正周期和最小值分别为（）A．B． C． D．12．（5分）设f（x）的定义域为D，若f（x）满足条件：存在[a，b]⊆D，使f （x）在[a，b]上的值域是，则称f（x）为“倍缩函数”．若函数f（x）=ln（e x+t）为“倍缩函数”，则t的范围是（）A．（，+∞）B．（0，1） C．（0，]D．（0，）二.填空题（5分×4=20分）13．（5分）已知扇形的面积为，半径为1，则扇形的圆心角为．14．（5分）已知tan（θ﹣π）=2，则sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ+3的值为．15．（5分）已知=（λ，2），=（﹣3，5），且与的夹角为锐角，则λ的取值范围是．16．（5分）若x1和x2是方程x2﹣mx﹣2=0的两个实根，不等式a2﹣5a﹣3≥|x1﹣x2|对任意实数m∈[﹣1，1]恒成立，则a的取值范围是．三.解答题（10分+12分+12分+12分+12分+12分=70分）17．（10分）已知函数f（x）=4cosxsin（x+）﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调增区间；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．18．（12分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．19．（12分）已知||=1，||=4，且向量与不共线，（1）若与的夹角为60°，求（2﹣）•（+）；（2）若向量k+与k﹣互相垂直，求k的值．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正切值．21．（12分）已知f（x）=．（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=x2﹣2x+k有实数解，求实数k的取值范围；（Ⅲ）当n∈N*，n≥2时，求证：nf（n）＜2+++…+．22．（12分）（选做题）已知f（x）=|x+1|+|x﹣1|，不等式f（x）＜4的解集为M．（1）求M；（2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．2014-2015学年内蒙古巴彦淖尔一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（5分&#215;12=60分）每小题给出的四个选项只有一项正确1．（5分）sin（﹣300°）的值是（）A．B．﹣ C．D．﹣【解答】解：sin（﹣300°）=sin（360°﹣300°）=sin60°=故选：A．2．（5分）函数f（x）=ln（x+1）的定义域为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，1）C．（﹣1，+∞）D．（1，+∞）【解答】解：由x+1＞0，得x＞﹣1．∴函数f（x）=ln（x+1）的定义域为（﹣1，+∞）．故选：C．3．（5分）在复平面上，复数z=i（1+3i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：化简可得z=i（1+3i）=i+3i2=﹣3+i，∴复数z对应的点为（﹣3，1），在第二象限．故选：B．4．（5分）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（）A．B．C．D．【解答】解：∵已知点A（1，3），B（4，﹣1），∴=（4，﹣1）﹣（1，3）=（3，﹣4），||==5，则与向量同方向的单位向量为=，故选：A．5．（5分）如图，阴影区域的边界是直线y=0，x=2，x=0及曲线y=3x2，则这个区域的面积是（）A．4 B．8 C．D．【解答】解：这个区域的面积是，故选：B．6．（5分）在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若=2，=+λ，则λ=（）A．B．C．D．【解答】解：∵在△ABC中，已知D是边AB上的一点，，，而由题意可得===，故有λ=，故选：B．7．（5分）“φ=π”是“曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：φ=π时，曲线y=sin（2x+φ）=﹣sin2x，过坐标原点．但是，曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点，即O（0，0）在图象上，将（0，0）代入解析式整理即得sinφ=0，φ=kπ，k∈Z，不一定有φ=π．故“φ=π”是“曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点”的充分而不必要条件．故选：A．8．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C=2B，则为（）A．2sinC B．2cosB C．2sinB D．2cosC【解答】解：在△ABC中，∵C=2B，∴sinC=sin2B=2sinBcosB，即c=2bcosB，则=2cosB．故选：B．9．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【解答】解：根据函数的图象：A=1又解得：T=π则：ω=2当x=，f（）=sin（+φ）=0解得：所以：f（x）=sin（2x+）要得到g（x）=sin2x的图象只需将函数图象向右平移个单位即可．故选：A．10．（5分）在△ABC中，AB=6，O为△ABC的外心，则等于（）A．B．18 C．12 D．6【解答】解：∵AB=6，O为△ABC的外心，∴==××=×36=18；故选：B．11．（5分）已知点（a，b）在圆x2+y2=1上，则函数f（x）=acos2x+bsinxcosx﹣﹣1的最小正周期和最小值分别为（）A．B． C． D．【解答】解：∵点（a，b）在圆x2+y2=1上，∴a2+b2=1．====﹣1，（tanθ=）．∴函数的最小正周期为，当sin（2x+θ）=﹣1时，函数有最小值﹣．故选：B．12．（5分）设f（x）的定义域为D，若f（x）满足条件：存在[a，b]⊆D，使f （x）在[a，b]上的值域是，则称f（x）为“倍缩函数”．若函数f（x）=ln（e x+t）为“倍缩函数”，则t的范围是（）A．（，+∞）B．（0，1） C．（0，]D．（0，）【解答】解：∵函数f（x）=ln（e x+t）为“倍缩函数”，且满足存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是，∴f（x）在[a，b]上是增函数；∴，即；∴方程e x﹣+t=0可化为y2﹣y+t=0（其中y=），∴该方程有两个不等的实根，且两根都大于0；即，解得0＜t＜；∴满足条件的t的范围是（0，）；故选：D．二.填空题（5分&#215;4=20分）13．（5分）已知扇形的面积为，半径为1，则扇形的圆心角为．【解答】解：根据扇形的面积公式，得n==．故答案为：．14．（5分）已知tan（θ﹣π）=2，则sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ+3的值为．【解答】解：∵已知tan（θ﹣π）=2=tanθ，则sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ+3=+3=+3=+3=，故答案为．15．（5分）已知=（λ，2），=（﹣3，5），且与的夹角为锐角，则λ的取值范围是λ＜且λ≠﹣．【解答】解：∵=（λ，2），=（﹣3，5），且与的夹角为锐角，∴=﹣3λ+10＞0，解得λ＜，但当5λ=2×（﹣3），即λ=﹣时，两向量同向，应舍去，∴λ的取值范围为：λ＜且λ≠﹣，故答案为：λ＜且λ≠﹣．16．（5分）若x1和x2是方程x2﹣mx﹣2=0的两个实根，不等式a2﹣5a﹣3≥|x1﹣x2|对任意实数m∈[﹣1，1]恒成立，则a的取值范围是a≥6或a≤﹣1．【解答】解：∵x1和x2是方程x2﹣mx﹣2=0的两个实根，∴；∴|x1﹣x2|==；∴当m∈[﹣1，1]时，|x1﹣x2|max=3；故不等式a2﹣5a﹣3≥|x1﹣x2|对任意实数m∈[﹣1，1]恒成立可化为a2﹣5a﹣3≥3；解得a≥6或a≤﹣1．故答案为：a≥6或a≤﹣1．三.解答题（10分+12分+12分+12分+12分+12分=70分）17．（10分）已知函数f（x）=4cosxsin（x+）﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调增区间；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．【解答】解：f（x）=4cosx（sinx+cosx）﹣1=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+），（Ⅰ）∵ω=2，∴T=π；令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，则f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（Ⅱ）∵﹣≤x≤，∴﹣≤2x+≤，∴﹣1≤2sin（2x+）≤2，即﹣1≤f（x）≤2，则f（x）的最小值为﹣1，最大值为2．18．（12分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵cosA=，∴sinA==，∵B=A+．∴sinB=sin（A+）=cosA=，由正弦定理知=，∴b=•sinB=×=3．（Ⅱ）∵sinB=，B=A+＞∴cosB=﹣=﹣，sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×（﹣）+×=，∴S=a•b•sinC=×3×3×=．19．（12分）已知||=1，||=4，且向量与不共线，（1）若与的夹角为60°，求（2﹣）•（+）；（2）若向量k+与k﹣互相垂直，求k的值．【解答】解：（1）∵||=1，||=4，与的夹角为60°∴===2×1+1×4×cos60°﹣42=﹣12．（2）由题意可得：，即，∵||=1，||=4，与的夹角为60°∴k2﹣16=0，∴k=±4．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正切值．【解答】（Ⅰ）证明：如图，取PD中点M，连接EM，AM．由于E，M分别为PC，PD的中点，故EM∥DC，且EM=，又由已知，可得EM∥AB，且EM=AB，故四边形ABEM为平行四边形，所以BE∥AM．因为PA⊥底面ABCD，故PA⊥CD，而CD⊥DA，从而CD⊥平面PAD，因为AM⊂平面PAD，于是CD⊥AM，又BE∥AM，所以BE⊥CD．…（6分）（Ⅱ）解：连接BM，由（Ⅰ）有CD⊥平面PAD，得CD⊥PD，而EM∥CD，故PD⊥EM．又因为AD=AP，M为PD的中点，故PD⊥AM，可得PD⊥BE，所以PD⊥平面BEM，故平面BEM⊥平面PBD．所以直线BE在平面PBD内的射影为直线BM，而BE⊥EM，可得∠EBM为锐角，故∠EBM为直线BE与平面PBD所成的角．…（9分）依题意，有PD=2，而M为PD中点，可得AM=，进而BE=．故在直角三角形BEM中，tan∠EBM=，所以直线BE与平面PBD所成的角的正切值为．…（12分）21．（12分）已知f（x）=．（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=x2﹣2x+k有实数解，求实数k的取值范围；（Ⅲ）当n∈N*，n≥2时，求证：nf（n）＜2+++…+．【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）=﹣，∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，f′x）＜0；∴函数f（x）在区间（0，1）上为增函数；在区间（1，+∞）为减函数．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）的极大值为f（1）=1，令g（x）=x2﹣2x+k，所以当x=1时，函数g（x）取得最小值g（1）=k﹣1，又因为方程g（x）=x2﹣2x+k有实数解，那么k﹣1≤1，即k≤2，所以实数k的取值范围是：k≤2．（Ⅲ）∵函数f（x）在区间（1，+∞）为减函数，而1+＞1，（n∈N*，n≥2），∴f（1+）＜f（1）=1，∴1+ln（1+）＜1+，即ln （n +1）﹣lnn ＜，∴lnn=ln2﹣ln1+ln3﹣ln2+…+lnn ﹣ln （n ﹣1）＜1+++…+，即1+lnn ＜2+++…+，而n•f （n ）=1+lnn ， ∴nf （n ）＜2+++…+结论成立．22．（12分）（选做题）已知f （x ）=|x +1|+|x ﹣1|，不等式f （x ）＜4的解集为M ．（1）求M ；（2）当a ，b ∈M 时，证明：2|a +b |＜|4+ab |．【解答】（Ⅰ）解：f （x ）=|x +1|+|x ﹣1|=当x ＜﹣1时，由﹣2x ＜4，得﹣2＜x ＜﹣1； 当﹣1≤x ≤1时，f （x ）=2＜4； 当x ＞1时，由2x ＜4，得1＜x ＜2． 所以M=（﹣2，2）．…（5分）（Ⅱ）证明：当a ，b ∈M ，即﹣2＜a ，b ＜2，∵4（a +b ）2﹣（4+ab ）2=4（a 2+2ab +b 2）﹣（16+8ab +a 2b 2）=（a 2﹣4）（4﹣b 2）＜0，∴4（a +b ）2＜（4+ab ）2， ∴2|a +b |＜|4+ab |．…（10分）赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n 是偶数时，正数a 的正的n表示，负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a NaN =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质定义域 (0,)+∞值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<变化对图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x O(1,0)xO (1,0)。

2015内蒙古高中学业水平考试数学试题及答案2015内蒙古高中学业水平考试数学试题及答案来源:内蒙古自治区教育招生考试中心2014-12-25 11:31:222015内蒙古普通高中学业水平考试数学试题及答案，2015内蒙古高中会考数学试卷及答案考后第一时间发布，请随时关注本站3773会考最新信息。

点此进入查看：2014-2015学年第一学期内蒙古普通高中学业水平考试将于2015年1月10日至11日举行。

为进一步加强考务管理，严肃考风考纪，确保考试安全平稳进行，现将有关事宜通知如下：一、开考科目及考试时间1月10日上午8:00—9:30数学，10:30—12:00外语（英语、日语、俄语），下午15:00—17:00语文（蒙古语文甲、朝鲜语文）。

1月11日上午8:00—9:30生物，10:30—12:00历史，下午15:00—16:30地理。

二、考前准备工作（一）提前做好指静脉验证入场演练工作，让考生了解指静脉验证的过程和技巧。

本次考试指静脉验证入场要求于开考前半小时开始，演练的具体办法及时间另行通知。

（二）领送试答卷的相关事宜领送试答卷的时间、地点另行通知。

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2017-2018学年内蒙古包头一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.每题只有一个选项符合要求.1．（5分）设集合P={1，2}，Q={x∈N|x2﹣x﹣2≤0}，则P∪Q=（）A．[﹣1，2]B．{1，2}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1，2}2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．3 B．5 C．﹣4+i D．4+i3．（5分）设向量，满足|+|=，•=1，则|﹣|=（）A．6 B．C．2 D．84．（5分）圆x2+y2﹣4x﹣10y+28=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为2，则a=（）A．﹣ B．﹣ C．D．25．（5分）如图网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3，高为6的圆柱体毛坯切削得到，则该几何体的体积为（）A．28πB．30πC．34πD．54π6．（5分）如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为12，42，则输出的a=（）A．2 B．4 C．6 D．87．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣4）+f（log212）=（）A．9 B．7 C．6 D．38．（5分）设函数f（x）=cosx﹣sinx，则下列结论正确的是（）A．f（x）的一个周期为﹣πB．y=f（x）的图象关于直线x=对称C．f（x）的一个零点为x=D．f（x）在（，π）单调递减9．（5分）若cos（+α）=，则sin2α=（）A．±B．C．﹣ D．10．（5分）已知集合{a，b，c}={0，1，2}，且下列三个关系：①a=1②b≠1③c ≠2有且只有一个正确，则a，b，c分别为（）A．2，1，0 B．1，0，2 C．2，0，1 D．1，2，011．（5分）已知A，B为双曲线E：﹣=1的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=112．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）+f（x+）=0，若函数y=tan（x﹣）与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），则（x i+y i）=（）A． B． C．0 D．nπ二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知向量=（﹣2，3），=（4，m），且∥，则m=．14．（5分）若双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=5所截得的弦长为2，则C的离心率为．15．（5分）函数f（x）=sin2x+cosx﹣（x∈[0，]）的值域为．16．（5分）已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交C 的准线于点N．若=3，则|FN|=．三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosA=sinA （ccosB+bcosC）．（1）求A；（2）若c=4，且△ABC的面积为2，求a．18．（12分）已知等差数列{a n}的公差不为零，若a1=1，且a1，a2，a4成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列b n=2+a n，求数列{b n}的前n项和S n．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和分别为S n，且a n＞0，a n2+3a n=6S n+4，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．20．（12分）已知椭圆E：的右焦点为F（2，0），且椭圆E上的点到右焦点距离的最大值为2+2．（1）求椭圆E的方程；（2）设O为坐标原点，过点F的动直线l与椭圆交于A，B两点，是否存在常数λ，使得+λ•为定值，若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=2lnx﹣ax2（a∈R）．（1）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x+y+2=0平行，求实数a 的值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）当a＞0时，讨论函数f（x）在区间[1，e2]上零点的个数．22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=sinθ．（1）将曲线C1和曲线C2化为普通方程；（2）若M为曲线C1与x轴的交点，N为曲线C2上一动点，求|MN|的最小值．2017-2018学年内蒙古包头一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.每题只有一个选项符合要求.1．（5分）设集合P={1，2}，Q={x∈N|x2﹣x﹣2≤0}，则P∪Q=（）A．[﹣1，2]B．{1，2}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1，2}【解答】解：集合P={1，2}，Q={x∈N|x2﹣x﹣2≤0}={x∈N|﹣1≤x≤2}={0，1，2}，则P∪Q={0，1，2}，故选：C．2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．3 B．5 C．﹣4+i D．4+i【解答】解：复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=2+i，∴z2=2﹣i．则z1z2=（2+i）（2﹣i）=4+1=5．故选：B．3．（5分）设向量，满足|+|=，•=1，则|﹣|=（）A．6 B．C．2 D．8【解答】解：向量，满足|+|=，•=1，则|﹣|2=|+|2﹣4•=10﹣4=6，∴|﹣|=，故选：B．4．（5分）圆x2+y2﹣4x﹣10y+28=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为2，则a=（）A．﹣ B．﹣ C．D．2【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣10y+28=0的圆心C（2，5），∵圆x2+y2﹣4x﹣10y+28=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为2，∴=2，解得a=﹣．故选：B．5．（5分）如图网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3，高为6的圆柱体毛坯切削得到，则该几何体的体积为（）A．28πB．30πC．34πD．54π【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3，高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π．故选：C．6．（5分）如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为12，42，则输出的a=（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：由a=12，b=42，a＜b，则b变为42﹣12=30，由a＜b，则b变为30﹣12=18，由a＜b，则b变为18﹣12=6，由a＞b，则a变为12﹣6=6，由a=b=6，则输出的a=6．故选：C．7．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣4）+f（log212）=（）A．9 B．7 C．6 D．3【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（﹣4）=1+log28=1+3=4，f（log212）==12÷4=3，∴f（﹣4）+f（log212）=4+3=7．故选：B．8．（5分）设函数f（x）=cosx﹣sinx，则下列结论正确的是（）A．f（x）的一个周期为﹣πB．y=f（x）的图象关于直线x=对称C．f（x）的一个零点为x=D．f（x）在（，π）单调递减【解答】解：∵函数f（x）=cosx﹣sinx=2（cosx﹣sinx）=2cos（x+），故该函数的周期为2π，故A错误；令x=﹣，求得f（x）=﹣，不是最值，可得f（x）的图象不关于直线x=﹣对称，故B错误；令x=，求得f（x）=0，可得f（x）的一个零点为x=，故C正确；在（，π）上，x+∈（，），故f（x）=2cos（x+）在（，π）上不单调，故D错误，故选：C．9．（5分）若cos（+α）=，则sin2α=（）A．±B．C．﹣ D．【解答】解：cos（+α）=，可得（cosα﹣sinα）=，两边平方可得：（1﹣sin2α）=，所以，sin2α=．故选：D．10．（5分）已知集合{a，b，c}={0，1，2}，且下列三个关系：①a=1②b≠1③c ≠2有且只有一个正确，则a，b，c分别为（）A．2，1，0 B．1，0，2 C．2，0，1 D．1，2，0【解答】解：集合{a，b，c}={0，1，2}，且下列三个关系：①a=1②b≠1③c≠2有且只有一个正确，∵①②同时正确或同时错误，∴只有③c≠2正确，∴a=2，b=1，c=0．故选：A．11．（5分）已知A，B为双曲线E：﹣=1的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：设双曲线方程为﹣=1（b＞0），则a=2，如图所示，|AB|=|BM|，∠ABM=120°，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，则∠MBN=60°，在Rt△BMN中，|BM|=|AB|=4，∠MBN=60°，即有|BN|=4cos60°=2，|MN|=4sin60°=2，故点M的坐标为M（4，2），代入双曲线方程得﹣=1，即为b=2，∴﹣=1，故选：D．12．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）+f（x+）=0，若函数y=tan （x﹣）与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），则（x i+y i）=（）A． B． C．0 D．nπ【解答】解：函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）+f（x+）=0，可知函数f（x）的对称中心（，0），函数y=tan（x﹣）的对称中心也是（，0），所以，函数y=tan（x﹣）与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），交点中，纵坐标的和为0，横坐标的和：x1+x2+…+x n=n，所以（x i+y i）=．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知向量=（﹣2，3），=（4，m），且∥，则m=﹣6．【解答】解：根据题意，向量=（﹣2，3），=（4，m），若∥，则有（﹣2）×m=3×4，解可得m=﹣6；故答案为：﹣6．14．（5分）若双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=5所截得的弦长为2，则C的离心率为．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线不妨为：bx+ay=0，圆（x﹣2）2+y2=5的圆心（2，0），半径为，双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=5所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为=，即有2=，c2=2a2，可得e2==2，即e=．故答案为：．15．（5分）函数f（x）=sin2x+cosx﹣（x∈[0，]）的值域为[，1] ．【解答】解：函数f（x）=sin2x+cosx﹣=﹣cos2x+cosx+=﹣（cosx﹣）2+1，x∈[0，]，可得cosx∈[0，1]，当cosx=，即x=时，f（x）取得最大值1；当cosx=0即x=时，f（x）取得最小值．则f（x）的值域为[，1]．故答案为：[，1]．16．（5分）已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交C 的准线于点N．若=3，则|FN|=4．【解答】解：∵F是抛物线C：y2=4x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交C的准线于点N．=3，∴F（1，0），设FM=x，则FN=3x，MN=2x，过M作MB垂直于准线，交准线于B，设准线BN于x轴交于点A，则FA=2，MB=MF=x，∴，即，解得x=，∴|FN|=3x=4．故答案为：4．三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosA=sinA （ccosB+bcosC）．（1）求A；（2）若c=4，且△ABC的面积为2，求a．【解答】解：（1）∵，∴又∵在△ABC中，∴sinA≠0，∴，∴，又A∈（0，π），∴．…（6分）（2）∵，c=4，∴b=2又∵b2+c2=a2+2bccosA，∴．…（12分）18．（12分）已知等差数列{a n}的公差不为零，若a1=1，且a1，a2，a4成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列b n=2+a n，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）由题意可得，a1=1，等差数列{a n}的公差d≠0，，∴，∴d=1，∴a n=1+n﹣1=n；（2）由（1）知，，∴S n=b1+b2+…+b n=21+1+22+2+…+2n+n=（21+22+…+2n）+（1+2+3+…+n）==．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和分别为S n，且a n＞0，a n2+3a n=6S n+4，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵①，∴当n=1时，，因为a n＞0，所以a1=4．当n≥2时，②，∴①﹣②得=6S n+4﹣6S n﹣1﹣4=6a n，即（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1）=3（a n+a n﹣1），∵a n＞0，∴a n﹣a n﹣1=3，∴数列{a n}是首项为4，公差为3的等差数列，∴a n=3n+1；（2）由（1）知，b n==，所以数列{b n}前n项和为b1+b2+…+b n==．20．（12分）已知椭圆E：的右焦点为F（2，0），且椭圆E 上的点到右焦点距离的最大值为2+2．（1）求椭圆E的方程；（2）设O为坐标原点，过点F的动直线l与椭圆交于A，B两点，是否存在常数λ，使得+λ•为定值，若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵右焦点为F（2，0），且椭圆E上的点到右焦点距离的最大值为2﹣2，∴c=2，a﹣c=2﹣2，∴，∴（2）∵F（2，0），∴①当直线l斜率为0时，∵，∴，②当直线l斜率不为0时，设l：x=my+2联立，可得（m2+2）y2+4my﹣4=0，△＞0恒成立，设A（x1，y1），B （x2，y2）则，∴，又∵，∴=当λ=﹣5时，为常数12．综上所述：存在λ=﹣5，使得为定值12．21．（12分）已知函数f（x）=2lnx﹣ax2（a∈R）．（1）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x+y+2=0平行，求实数a 的值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）当a＞0时，讨论函数f（x）在区间[1，e2]上零点的个数．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），∴，则f'（1）=2（1﹣a），∵直线2x+y+2=0的斜率为﹣2，∴2（1﹣a）=﹣2，∴a=2．（2）由（1）知当a≤0时，f'（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，令f'（x）＞0且x＞0得，令f'（x）＜0且x＞0得，∴f（x）在上单调递增，在上单调递减．综上所述：当a≤0时，f（x）的单调增区间为（0，+∞），无减区间；当a＞0时，f（x）的单调增区间为，单调减区间为．（3）∵a＞0，由（2）的单调性可知①若，即a≥1时，f（x）在[1，e2]上单调递减，且f（1）=﹣a＜0，∴f（x）在[1，e2]上无零点．②若，即时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，且f（1）=﹣a＜0，．（I）若，即时，f（x）在[1，e2]上无零点；（II）若，即时，f（x）在[1，e2]上有1个零点；（III）若，即时，f（e2）=4﹣ae4（i）当4﹣ae4＞0，即时，f（x）在[1，e2]上有1个零点；（ii）当4﹣ae4≤0，即时，f（x）在[1，e2]上有2个零点；③若，即时，f（x）在[1，e2]上单调递增，∵f（1）=﹣a＜0，f（e2）=4﹣ae4＞0，∴f（x）在[1，e2]上有1个零点．综上所述：时，f（x）在[1，e2]上无零点；或时，f（x）在[1，e2]上有1个零点；时，f（x）在[1，e2]上有2个零点．22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为（t 为参数），以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=sinθ． （1）将曲线C 1和曲线C 2化为普通方程；（2）若M 为曲线C 1与x 轴的交点，N 为曲线C 2上一动点，求|MN |的最小值． 【解答】解：（1）曲线C 1的参数方程为（t 为参数），转化为普通方程3x +4y ﹣9=0， 曲线C 2的极坐标方程为ρ=sinθ． 整理得：ρ2=ρsinθ，转化为直角坐标方程x 2+y 2﹣y=0．…（5分） （2）由（1）知，M （3，0），曲线C 2为以C 2（0，）为圆心，半径r=的圆， 则，∴，即|MN |的最小值为．…（10分）赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当n 为奇数时，a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a NaN =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质图象定义域 (0,)+∞值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<变化对图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。

2015-2016学年内蒙古巴彦淖尔一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（5分×12=60分）在每小题给出的四个选项中只有一项正确1．（5分）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M ∩N=（）A．{1，4}B．{﹣1，﹣4}C．{0}D．∅2．（5分）在等差数列{a n}中，a2=4，a4=2，则a8=（）A．﹣1 B．﹣2 C．4 D．83．（5分）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则=（）A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i4．（5分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=B．y=x+C．y=2x+D．y=x+e x5．（5分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线B．若n，m不平行，则n与m不可能垂直于同一个平面C．若α，β垂直于同一个平面，则α与β平行D．若n，m平行于同一个平面，则n与m平行6．（5分）设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则=（）A．﹣a2B．﹣a2C．a2 D．a28．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．2π+4 D．3π+49．（5分）用数学归纳法证明1++（n∈N且n＞1），第二步证明中从“k到k+1”时，左端增加的项数是（）A．2k+1 B．2k﹣1 C．2k D．2k﹣110．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+6y的最大值为（）A．3 B．4 C．18 D．4011．（5分）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（）A． B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，） C．（0，）D．（，2）二、填空题（5分×4=20分）将最后结果直接填在横线上.13．（5分）已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是．14．（5分）一元二次方程kx2+3kx+k﹣3=0有一个正根和一个负根，则实数k的取值范围为．15．（5分）已知△ABC的三边长AC=3，BC=4，AB=5，P为AB边上任意一点，则的最大值为．16．（5分）直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a有四个交点，则a的取值范围是．三、解答题（12分+12分+12分+12分+12分+10分=70分）17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是三内角A，B，C所对应的三边，已知b2+c2=a2+bc（1）求角A的大小；（2）若，试判断△ABC的形状．18．（12分）设{a n}是公比大于1的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和．已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）令b n=lna3n+1，n=1，2，…，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E，F分别是AB、PB的中点．（Ⅰ）求证：EF⊥CD；（Ⅱ）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论；（Ⅲ）求DB与平面DEF所成角的正弦值．20．（12分）已知函数f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）为奇函数，且f（）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．（1）求a，θ的值；（2）若f（）=﹣，α∈（，π），求sin（α+）的值．21．（12分）已知．（Ⅰ）请写出f n（x）的表达式（不需证明）；（Ⅱ）设f n（x）的极小值点为P n（x n，y n），求y n；（Ⅲ）设，g n（x）的最大值为a，f n（x）的最小值为b，求b﹣a的最小值．（坐标系与参数方程）22．（10分）已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．（不等式选讲）23．设a，b，c 均为正数，且a+b+c=1，证明：（1）ab+bc+ca≤；（2）++≥1．2015-2016学年内蒙古巴彦淖尔一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（5分&#215;12=60分）在每小题给出的四个选项中只有一项正确1．（5分）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M ∩N=（）A．{1，4}B．{﹣1，﹣4}C．{0}D．∅【解答】解：集合M={x|（x+4）（x+1）=0}={﹣1，﹣4}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}={1，4}，则M∩N=∅．故选：D．2．（5分）在等差数列{a n}中，a2=4，a4=2，则a8=（）A．﹣1 B．﹣2 C．4 D．8【解答】解：在等差数列{a n}中，a2=4，a4=2，则d=﹣1，a8=a2+6d，a8=﹣2．故选：B．3．（5分）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则=（）A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i【解答】解：复数z=i（3﹣2i）=2+3i，则=2﹣3i，故选：A．4．（5分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=B．y=x+C．y=2x+D．y=x+e x【解答】解：对于A，y=是偶函数，所以A不正确；对于B，y=x+函数是奇函数，所以B不正确；对于C，y=2x+是偶函数，所以C不正确；对于D，不满足f（﹣x）=f（x）也不满足f（﹣x）=﹣f（x），所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以D正确．故选：D．5．（5分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线B．若n，m不平行，则n与m不可能垂直于同一个平面C．若α，β垂直于同一个平面，则α与β平行D．若n，m平行于同一个平面，则n与m平行【解答】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A中：若α，β不平行，则在α内存在无数条与β平行的直线，故A错误；在B中：由直线与平面垂直的性质得，若n，m不平行，则n与m不可能垂直于同一个平面，故B正确；在C中：若α，β垂直于同一个平面，则α与β平行或相交，故C错误；在D中：若n，m平行于同一个平面，则n与m平行、相交或异面，故D错误．故选：B．6．（5分）设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由1＜x＜2可得2＜2x＜4，则由p推得q成立，若2x＞1可得x＞0，推不出1＜x＜2．由充分必要条件的定义可得p是q成立的充分不必要条件．故选：A．7．（5分）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则=（）A．﹣a2B．﹣a2C．a2 D．a2【解答】解：∵菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，∴=a2，=a×a×cos60°=，则=（）•==故选：D．8．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．2π+4 D．3π+4【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，底面半径为1，高为2，故该几何体的表面积S=2×π+（2+π）×2=3π+4，故选：D．9．（5分）用数学归纳法证明1++（n∈N且n＞1），第二步证明中从“k到k+1”时，左端增加的项数是（）A．2k+1 B．2k﹣1 C．2k D．2k﹣1【解答】解：当n=k时，左端=1++，那么当n=k+1时左端=1++++…+=1++++…+，∴左端增加的项为++…+，所以项数为：2k．故选：C．10．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+6y的最大值为（）A．3 B．4 C．18 D．40【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+6y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（0，3）将A（0，3）的坐标代入目标函数z=x+6y，得z=3×6=18．即z=x+6y的最大值为18．故选：C．11．（5分）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（）A． B．C．D．【解答】解：因为将函数f（x）=sin2x的周期为π，函数的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x1﹣x2|min=，不妨x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最小值，sin（2×﹣2φ）=﹣1，此时φ=，不合题意，x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最大值，sin（2×﹣2φ）=1，此时φ=，满足题意．另解：f（x）=sin2x，g（x）=sin（2x﹣2φ），设2x1=2kπ+，k∈Z，2x2﹣2φ=﹣+2mπ，m∈Z，x1﹣x2=﹣φ+（k﹣m）π，由|x1﹣x2|min=，可得﹣φ=，解得φ=，故选：D．12．（5分）已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，） C．（0，）D．（，2）【解答】解：∵g（x）=b﹣f（2﹣x），∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣b+f（2﹣x），由f（x）﹣b+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=b，设h（x）=f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．即h（x）=，作出函数h（x）的图象如图：当x≤0时，h（x）=2+x+x2=（x+）2+≥，当x＞2时，h（x）=x2﹣5x+8=（x﹣）2+≥，故当b=时，h（x）=b，有两个交点，当b=2时，h（x）=b，有无数个交点，由图象知要使函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，即h（x）=b恰有4个根，则满足＜b＜2，故选：D．二、填空题（5分&#215;4=20分）将最后结果直接填在横线上.13．（5分）已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是12π．【解答】解：由三视图可知，组合体是球内接正方体，正方体的棱长为2，球的直径就是正方体的体对角线的长，所以2r=，r=，所以球的表面积为：4πr2=12π．故答案为：12π．14．（5分）一元二次方程kx2+3kx+k﹣3=0有一个正根和一个负根，则实数k的取值范围为0＜k＜3．【解答】解：令f（x）=kx2+3kx+k﹣3，∵一元二次方程kx2+3kx+k﹣3=0有一个正根和一个负根，∴①或②，∵f（0）=k﹣3，∴由①得：0＜k＜3；由②得：x∈∅，∴实数k的取值范围为：0＜k＜3．故答案为：0＜k＜3．15．（5分）已知△ABC的三边长AC=3，BC=4，AB=5，P为AB边上任意一点，则的最大值为9．【解答】解；∵△ABC的三边长AC=3，BC=4，AB=5，∴△ABC为直角三角形，且∠C为直角，以CB为x轴，CA为y轴，建立直角坐标系，则C（0，0），A（0，3），B（4，0），设P（x，y）则=（x，y）.=（﹣4，3），=（4，0），∴=（x，y）•（0，3）=3y∵0≤y≤3，∴0≤3y≤9故答案为916．（5分）直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a有四个交点，则a的取值范围是（1，）．【解答】解：如图，在同一直角坐标系内画出直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a，观图可知，a的取值必须满足，解得．故答案为：（1，）三、解答题（12分+12分+12分+12分+12分+10分=70分）17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是三内角A，B，C所对应的三边，已知b2+c2=a2+bc（1）求角A的大小；（2）若，试判断△ABC的形状．【解答】解：（1）在△ABC中，∵b2+c2=a2+bc，∴b2+c2﹣a2=bc，∴，∴cosA=，又A是三角形的内角，故A=（2）∵，∴1﹣cosB+1﹣cosC=1∴cosB+cosC=1，由（1）的结论知，A=，故B+C=∴cosB+cos（﹣B）=1，即cosB+cos cosB+sin sinB=1，即∴sin（B+）=1，又0＜B＜，∴＜B+＜∴B+=∴B=，C=故△ABC是等边三角形．18．（12分）设{a n}是公比大于1的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和．已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）令b n=lna3n+1，n=1，2，…，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）由已知得解得a2=2．设数列{a n}的公比为q，由a2=2，可得．又S3=7，可知，即2q2﹣5q+2=0，解得由题意得q＞1，∴q=2，∴a1=1．故数列{a n}的通项为a n=2n﹣1．（2）由于b n=lna3n+1，n=1，2，=23n，由（1）得a3n+1∴b n=ln23n=3nln2，又b n+1﹣b n=3ln2，∴{b n}是等差数列．∴T n=b1+b2++b n===．故．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E，F分别是AB、PB的中点．（Ⅰ）求证：EF⊥CD；（Ⅱ）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论；（Ⅲ）求DB与平面DEF所成角的正弦值．【解答】解：以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），设AD=a，则D（0，0，0）、A（a，0，0）、B（a，a，0）、C（0，a，0）、E（a，，0）、F（，，）、P（0，0，a）．（1）∵=（﹣，0，），=（0，a，0），∴•=（﹣，0，）•（0，a，0）=0，∴⊥∴EF⊥DC．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）设G（x，0，z），则G∈平面PAD．=（x﹣，﹣，z﹣），•=（x﹣，﹣，z﹣）•（a，0，0）=a（x﹣）=0，∴x=；•=（x﹣，﹣，z﹣）•（0，﹣a，a）=+a（z﹣）=0，∴z=0．∴G点坐标为（，0，0），即G点为AD的中点．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（3）设平面DEF的法向量为=（x，y，z）．由得：取x=1，则y=﹣2，z=1，∴=（1，﹣2，1）．cos＜，＞===，∴DB与平面DEF所成角的正弦值的大小为﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）20．（12分）已知函数f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）为奇函数，且f（）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．（1）求a，θ的值；（2）若f（）=﹣，α∈（，π），求sin（α+）的值．【解答】解：（1）f（）=﹣（a+1）sinθ=0，∵θ∈（0，π）．∴sinθ≠0，∴a+1=0，即a=﹣1∵f（x）为奇函数，∴f（0）=（a+2）cosθ=0，∴cosθ=0，θ=．（2）由（1）知f（x）=（﹣1+2cos2x）cos（2x+）=cos2x•（﹣sin2x）=﹣，∴f（）=﹣sinα=﹣，∴sinα=，∵α∈（，π），∴cosα==﹣，∴sin（α+）=sinαcos+cosαsin=．21．（12分）已知．（Ⅰ）请写出f n（x）的表达式（不需证明）；（Ⅱ）设f n（x）的极小值点为P n（x n，y n），求y n；（Ⅲ）设，g n（x）的最大值为a，f n（x）的最小值为b，求b﹣a的最小值．【解答】解：（Ⅰ）f n（x）=（x+n）e x（n∈N*）．…（4分）（Ⅱ）∵f n′（x）=（x+n+1）e x，∴当x＞﹣（n+1）时，f n′（x）＞0；当x＜﹣（n+1）时，f n′（x）＜0．∴当x=﹣（n+1）时，f n（x）取得极小值f n[﹣（n+1）]=﹣e﹣（n+1），即y n=﹣e﹣（n+1）（n∈N*）．…（8分）（Ⅲ）∵g n（x）=﹣[x+（n+1）]2+（n﹣3）2∴a=+（n﹣3）2，又b=﹣e﹣（n+1），∴a﹣b=（n﹣3）2+e﹣（n+1），令h（x）=（x﹣3）2+e﹣（x+1）（x≥0），则h'（x）=2（x﹣3）﹣e﹣（x+1）．…（10分）∵h'（x）在[0，+∞）单调递增，∴h'（x）≥h'（0）=﹣6﹣e﹣1，∵h'（3）=﹣e﹣4＜0，h'（4）=2﹣e﹣5＞0，∴存在x0∈（3，4）使得h'（x0）=0．…（12分）∵h'（x）在[0，+∞）单调递增，∴当0≤x＜x0时，h'（x0）＜0；当x＞x0时，h'（x0）＞0，即h（x）在[x0，+∞）单调递增，在[0，x0）单调递减，∴（h（x））min=h（x0），又∵h（3）=e﹣4，h（4）=1+e﹣5，h（4）＞h（3），∴当n=3时，a﹣b取得最小值e﹣4．…（14分）（坐标系与参数方程）22．（10分）已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．【解答】解：（1）将，消去参数t，化为普通方程（x﹣4）2+（y﹣5）2=25，即C1：x2+y2﹣8x﹣10y+16=0，将代入x 2+y 2﹣8x ﹣10y +16=0，得ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0．∴C 1的极坐标方程为ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0． （2）∵曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sinθ． ∴曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2﹣2y=0， 联立，解得或，∴C 1与C 2交点的极坐标为（）和（2，）．（不等式选讲）23．设a ，b ，c 均为正数，且a +b +c=1， 证明：（1）ab +bc +ca ≤； （2）++≥1．【解答】证明：（1）由a 2+b 2≥2ab ，b 2+c 2≥2bc ，c 2+a 2≥2ca ， 可得a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ca ，（当且仅当a=b=c 取得等号） 由题设可得（a +b +c ）2=1，即a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca=1， 即有3（ab +bc +ca ）≤1，则ab +bc +ca ≤； （2）+b ≥2a ，+c ≥2b ，+a ≥2c ，故+++（a +b +c ）≥2（a +b +c ），即有++≥a +b +c ．（当且仅当a=b=c 取得等号）． 故++≥1．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p = x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-x第21页（共21页）(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。

内蒙古北方重工三中2015届高三上学期12月月考数学试卷（文科）一、选择题：每小题5分，共60分．在四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．“k=5”是“两直线kx+5y﹣2=0和（4﹣k）x+y﹣7=0互相垂直”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；两条直线垂直的判定．专题：计算题．分析：验证：“k=1”时，两条直线为5x+5y﹣2=0与﹣x+y﹣7=0垂直比较易，对于“⇐”只须两线斜率乘积为﹣1即可．解答：解：“k=1”时，两条直线为5x+5y﹣2=0与﹣x+y﹣7=0垂直，充分条件成立；kx+5y﹣2=0和（4﹣k）x+y﹣7=0互相垂直时，解得k=5或k=﹣1，必要条件不成立所以“k=5”是“两直线kx+5y﹣2=0和（4﹣k）x+y﹣7=0互相垂直”的充分不必要条件．故选A．点评：本题主要考查直线与直线垂直的判定，以及充要条件，是基础题目．2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是( ) A．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥βB．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥nC．若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n D．若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：阅读型．分析：选项A，根据面面垂直的判定定理进行判定，选项B列举出所有可能，选项C根据面面平行的性质进行判定，选项D列举出所以可能即可．解答：解：选项A，若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥β，该命题不正确，m⊥n，m⊥α，n∥β⇒α⊥β；选项B，若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n，该命题不正确，m∥α，n∥β，α∥β⇒m与n 没有公共点，则也可能异面；选项C，根据m⊥α，α∥β，则m⊥β，而n∥β则m⊥n，则该命题正确；选项D，若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β，该命题不正确，m∥n，m∥α，n∥β，⇒α与β平行或相交故选C点评：本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，同时考查了推理能力，属于基础题．3．设向量、，满足||=||=1，•=﹣，则|+2|=( )A．B．C．D．考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：计算题．分析：利用向量模的平方等于向量的平方，求出模的平方，再开方即可．解答：解：∵向量、，满足||=||=1，•=﹣，∴=1﹣2+4=3，∴故选B点评：本题考查求向量模常将向量模平方；利用向量的运算法则求出．4．双曲线方程为x2﹣2y2=1，则它的右焦点坐标为( )A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：把双曲线方程化为标准方程可分别求得a和b，进而根据c=求得c，焦点坐标可得．解答：解：双曲线的，，，∴右焦点为．故选C点评：本题考查双曲线的焦点，把双曲线方程先转化为标准方程，然后利用c2=a2+b2求出c即可得出交点坐标．但因方程不是标准形式，很多学生会误认为b2=1或b2=2，从而得出错误结论．5．若α∈（0，），且sin2α+cos2α=，则tanα的值等于( )A．B．C．D．考点：同角三角函数间的基本关系；二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：把已知的等式中的cos2α，利用同角三角函数间的基本关系化简后，得到关于sinα的方程，根据α的度数，求出方程的解即可得到sinα的值，然后利用特殊角的三角函数值，由α的范围即可得到α的度数，利用α的度数求出tanα即可．解答：解：由cos2α=1﹣2sin2α，得到sin2α+cos2α=1﹣sin2α=，则sin2α=，又α∈（0，），所以sinα=，则α=，所以tanα=tan=．故选D点评：此题考查学生灵活运用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道基础题．学生做题时应注意角度的范围．6．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是 ( )A．2，﹣B．4，C．4，﹣D．2，﹣考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由周期求出ω，把点（﹣，0）代入，再结合﹣＜φ＜，可得φ的值．解答：解：由题意可得T=×=，∴ω=2．再把点（﹣，0）代入可得 0=2sin=0，即 sin（φ﹣）=0．再结合﹣＜φ＜，可得φ=﹣，故选：D．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于基础题．7．已知数列{a n}为等差数列，且a1+a7+a13=4π，则tan（a2+a12）的值为( ) A．﹣B．C．D．﹣考点：等差数列的性质；运用诱导公式化简求值；两角和与差的正切函数．专题：计算题．分析：因为a1+a7+a13=4π，则a7=，所以tan（a2+a12）=tan2a7=tan，由诱导公式计算可得答案．解答：解：∵a1+a7+a13=4π，则a7=，∴tan（a2+a12）=tan2a7=tan=﹣，故选A．点评：本题考查数列的性质和应用，解题电动机发认真审题，仔细解答．8．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），则此几何体的所有侧面的面积中最大的是( )A．100cm3B．100cm3C．200cm3D．200cm3考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可知：该几何体为四棱锥，OC=OD，PO⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为20的正方形，PO=20．计算比较即可得出．解答：解：由三视图可知：该几何体为四棱锥，OC=OD，PO⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为20的正方形，PO=20．经过计算可得此几何体的所有侧面的面积中最大的是S△PAD==200．故选：C．点评：本题考查了四棱锥的三视图、侧面积计算，属于基础题．9．已知圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为( ) A．（x+1）2+（y﹣1）2=2 B．（x﹣1）2+（y+1）2=2 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 D．（x+1）2+（y+1）2=2考点：圆的标准方程．分析：圆心在直线x+y=0上，排除C、D，再验证圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，就是圆心到直线等距离，即可．解答：解：圆心在x+y=0上，圆心的纵横坐标值相反，显然能排除C、D；验证：A中圆心（﹣1，1）到两直线x﹣y=0的距离是；圆心（﹣1，1）到直线x﹣y﹣4=0的距离是．故A错误．故选B．点评：一般情况下：求圆C的方程，就是求圆心、求半径．本题是选择题，所以方法灵活多变，值得探究．10．已知椭圆C：的左焦点F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连结AF，BF，若|AB|=10，|AF|=6，，则C的离心率为( ) A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：在△AFB中，由余弦定理可得|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB||BF|cos∠ABF，即可得到|BF|，设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形．即可得到a，c，进而取得离心率．解答：解：如图所示，在△AFB中，由余弦定理可得|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB||BF|cos∠ABF，∴，化为（|BF|﹣8）2=0，解得|BF|=8．设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形．∴|BF′|=6，|FF′|=10．∴2a=8+6，2c=10，解得a=7，c=5．∴．故选B．点评：熟练掌握余弦定理、椭圆的定义、对称性、离心率、矩形的性质等基础知识是解题的关键．11．将长、宽分别为4和3的长方形ABCD沿对角线AC折起，得到四面体A﹣BCD，则四面体A﹣BCD的外接球的体积为( )A．B．C．D．考点：球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：折叠后的四面体的外接球的半径，就是长方形ABCD沿对角线AC的一半，求出球的半径即可求出球的表面积．解答：解：由题意可知，直角三角形斜边的中线是斜边的一半，∴长宽分别为3和4的长方形ABCD沿对角线AC折起二面角，得到四面体A﹣BCD，则四面体A﹣BCD的外接球的半径，是AC=，所求球的体积为：×π（）3=．故选：B点评：本题考查球的内接多面体，求出球的半径，是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．12．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，若f（x1）=x1＜x2，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数为( )A．3 B．4 C．5 D．6考点：利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断．专题：压轴题；导数的综合应用．分析：由函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，可得f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，必有△=4a2﹣12b＞0．而方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的△1=△＞0，可知此方程有两解且f（x）=x1或x2．再分别讨论利用平移变换即可解出方程f（x）=x1或f（x）=x2解得个数．解答：解：∵函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，∴f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，∴△=4a2﹣12b＞0．解得=．∵x1＜x2，∴，．而方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的△1=△＞0，∴此方程有两解且f（x）=x1或x2．不妨取0＜x1＜x2，f（x1）＞0．①把y=f（x）向下平移x1个单位即可得到y=f（x）﹣x1的图象，∵f（x1）=x1，可知方程f（x）=x1有两解．②把y=f（x）向下平移x2个单位即可得到y=f（x）﹣x2的图象，∵f（x1）=x1，∴f（x1）﹣x2＜0，可知方程f（x）=x2只有一解．综上①②可知：方程f（x）=x1或f（x）=x2．只有3个实数解．即关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的只有3不同实根．故选：A．点评：本题综合考查了利用导数研究函数得单调性、极值及方程解得个数、平移变换等基础知识，考查了数形结合的思想方法、推理能力、分类讨论的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．函数，若，则a=﹣1或．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用分段函数在不同的区间上的解析式不同即可计算出结果．解答：解：①当a≤0时，f（a）=2a=，解得a=﹣1；②当a＞0时，f（a）=，解得．故答案为﹣1或．点评：正确理解分段函数的意义是解题的关键．14．设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为8，则a+b的最小值为4．考点：简单线性规划的应用．专题：压轴题．分析：本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再根据目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为8，求出a，b的关系式，再利用基本不等式求出a+b的最小值．解答：解：满足约束条件的区域是一个四边形，如下图4个顶点是（0，0），（0，2），（，0），（1，4），由图易得目标函数在（1，4）取最大值8，即8=ab+4，∴ab=4，∴a+b≥2=4，在a=b=2时是等号成立，∴a+b的最小值为4．故答案为：4点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．15．在等差数列{a n}中，a1=7，公差为d，前n项和为S n，当且仅当n=8时S n取得最大值，则d的取值范围为（﹣1，﹣）．考点：等差数列的性质．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：根据题意当且仅当n=8时S n取得最大值，得到S7＜S8，S9＜S8，联立得不等式方程组，求解得d的取值范围．解答：解：∵S n =7n+，当且仅当n=8时S n取得最大值，∴，即，解得：，综上：d的取值范围为（﹣1，﹣）．点评：本题主要考查等差数列的前n项和公式，解不等式方程组，属于中档题．16．设函数f（x）=x3（x∈R），若时，f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（﹣∞，0）．考点：函数恒成立问题．专题：综合题；转化思想；函数的性质及应用．分析：由给出的幂函数为奇函数，且为实数集上的增函数，把不等式f（m sinθ）+f（1﹣m）＞0移项变形，借助于函数的奇偶性和单调性转化为msinθ﹣m＞﹣1恒成立，分离参数m后，由角θ的范围求得的最小值，则m的取值范围可求．解答：解：∵f（x）=x3（x∈R）为递增函数且为奇函数，f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立等价于f（msinθ）＞﹣f（1﹣m）=f（m﹣1）恒成立，即msinθ＞m﹣1恒成立，也就是msinθ﹣m＞﹣1，m（sinθ﹣1）＞﹣1恒成立，∵，∴﹣1≤sinθ﹣1＜0，0＜1﹣sinθ≤1．∴m＜，∵0＜1﹣sinθ≤1，∴的最小值为1，∴m＜0．∴使f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立的实数m的取值范围是（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）．点评：本题考查了函数恒成立问题，借助于已知函数的奇偶性和单调性转化，考查了分离变量法，训练了三角函数最值的求法，是中档题．三、解答题：（本大题共6个小题，共70分）17．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且a2=b2+c2+bc．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）设a=，S为△ABC的面积，求S+3cosBcosC的最大值，并指出此时B的值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosA，将已知等式代入计算求出cosA的值，即可确定出A 的度数；（Ⅱ）利用正弦定理列出关系式，将a与sinA的值代入表示出b与csinA，利用三角形面积公式表示出S，代入所求式子中，利用两角和与差的余弦函数公式化简，根据余弦函数的性质即可确定出最大值以及此时B的值．解答：解：（Ⅰ）∵a2=b2+c2+ab，即b2+c2﹣a2=﹣bc，∴cosA==﹣，则A=；（Ⅱ）∵a=，sinA=，∴由正弦定理==得：b=，csinA=asinC，∴S=bcsinA=••asinC=3sinBsinC，∴S+3cosBcosC=3sinBsinC+3cosBcosC=3cos（B﹣C），当B﹣C=0，即B=C==时，S+3cosBcosC取得最大值为3．点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．已知在递增等差数列{a n}中，前三项的和为9，前三项的积为15，{b n}的前n项和为S n，且S n=2n+1﹣2．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n=，求{c n}的前n项和T n．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）设递增等差数列{a n}的公差为d，利用前三项的和为9，前三项的积为15，利用等差数列的通项公式可得a1+a1+d+a1+2d=9，a1（a1+d）（a1+2d）=15，{b n}的前n项和为S n，且S n=2n+1﹣2．b1=S1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，即可得出．（2）c n===，利用“裂项求和”即可得出．解答：解：（1）设递增等差数列{a n}的公差为d，∵前三项的和为9，前三项的积为15，∴a1+a1+d+a1+2d=9，a1（a1+d）（a1+2d）=15，解得a1=1，d=2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．∵{b n}的前n项和为S n，且S n=2n+1﹣2．∴b1=S1=22﹣2=2，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n+1﹣2﹣（2n﹣2）=2n．当n=1时，上式也成立．∴b n=2n．（2）c n===，∴{c n}的前n项和T n=+…+==．点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，已知PB=PD=2，PA=．（Ⅰ）证明：PC⊥BD（Ⅱ）若E为PA的中点，求三棱锥P﹣BCE的体积．考点：直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离．分析：（I）连接AC交BD于O，连接PO．菱形ABCD中，证出AC⊥BD且O是BD的中点，从而得到PO是等腰△PBD中，PO是底边BD的中线，可得PO⊥BD，结合PO、AC是平面PAC内的相交直线，证出BD⊥平面PAC，从而得到PC⊥BD；（II）根据ABCD是边长为2的菱形且∠BAD=60°，算出△ABC的面积为，△PAO中证出AO2+PO2=6=PA2可得PO⊥AC，结合PO⊥BD证出PO⊥平面ABCD，所以PO=是三棱锥P﹣ABC的高，从而三棱锥P﹣ABC的体积V P﹣ABC=1，再由E为PA中点算出三棱锥E﹣ABC的体积V E﹣ABC=，进而可得三棱锥P﹣BCE的体积等于V P﹣ABC﹣V E﹣ABC=，得到本题答案．解答：解：（I）连接AC交BD于O，连接PO∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，且O是BD的中点∵△PBD中，PD=PB，O为BD中点，∴PO⊥BD∵PO、AC⊂平面PAC，PO∩AC=O，∴BD⊥平面PAC，∵PC⊂平面PAC，∴PC⊥BD；（II）∵ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，∴BO=AB=1，AC==2，可得△ABC的面积为S=AC×BO=∵△PBD中，PB=PD=BD=2，∴中线PO=BD=因此，△PAO中AO2+PO2=6=PA2∴PO⊥AC，结合PO⊥BD得到PO⊥平面ABCD，得到三棱锥P﹣ABC的体积V P﹣ABC=×S△ABC×PO==1∵E为PA中点，∴E到平面ABC的距离d=PO=由此可得三棱锥E﹣ABC的体积V E﹣ABC=×S△ABC×d=×=因此，三棱锥P﹣BCE的体积V P﹣EBC=V P﹣ABC﹣V E﹣ABC=．点评：本题给出底面为菱形的四棱锥，求证线线垂直并求锥体的体积，着重考查了线面垂直的判定与性质、菱形的性质及面积计算和锥体体积公式等知识，属于中档题．20．设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．考点：椭圆的应用．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为，建立关于a，c的方程即可求C的离心率；（2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程组关系，求出N的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．解答：解：（1）∵M是C上一点且MF2与x轴垂直，∴M的横坐标为c，当x=c时，y=，即M（c，），若直线MN的斜率为，即tan∠MF1F2=，即b2==a2﹣c2，即c2+﹣a2=0，则，即2e2+3e﹣2=0解得e=或e=﹣2（舍去），即e=．（Ⅱ）由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点，设M（c，y），（y＞0），则，即，解得y=，∵OD是△MF1F2的中位线，∴=4，即b2=4a，由|MN|=5|F1N|，则|MF1|=4|F1N|，解得|DF1|=2|F1N|，即设N（x1，y1），由题意知y1＜0，则（﹣c，﹣2）=2（x1+c，y1）．即，即代入椭圆方程得，将b2=4a代入得，解得a=7，b=．点评：本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．21．已知函数f（x）=+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3=0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：综合题；压轴题；分类讨论；转化思想．分析：（I）据切点在切线上，求出切点坐标；求出导函数；利用导函数在切点处的值为切线的斜率及切点在曲线上，列出方程组，求出a，b的值．（II）构造新函数，求出导函数，通过研究导函数的符号判断出函数的单调性，求出函数的最值，证得不等式．解答：解：（I）．由于直线x+2y﹣3=0的斜率为﹣，且过点（1，1）所以解得a=1，b=1（II）由（I）知f（x）=所以考虑函数，则所以当x≠1时，h′（x）＜0而h（1）=0，当x∈（0，1）时，h（x）＞0可得；当从而当x＞0且x≠1时，点评：本题考查导函数的几何意义：在切点处的导数值为切线的斜率、考查通过判断导函数的符号求出函数的单调性；通过求函数的最值证明不等式恒成立．一、选修4-1：几何证明选讲22．如图，A、B、C、D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED．（Ⅰ）证明：CD∥AB；（Ⅱ）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A、B、G、F四点共圆．考点：圆內接多边形的性质与判定．专题：证明题．分析：（I）根据两条边相等，得到等腰三角形的两个底角相等，根据四点共圆，得到四边形的一个外角等于不相邻的一个内角，2015届高考等量代换得到两个角相等，根据根据同位角相等两直线平行，得到结论．（II）根据第一问做出的边和角之间的关系，得到两个三角形全等，根据全等三角形的对应角相等，根据平行的性质定理，等量代换，得到四边形的一对对角相等，得到四点共圆．解答：解：（I）因为EC=ED，所以∠EDC=∠ECD因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC=∠EBA故∠ECD=∠EBA，所以CD∥AB（Ⅱ）由（I）知，AE=BE，因为EF=EG，故∠EFD=∠EGC从而∠FED=∠GEC连接AF，BG，△EFA≌△EGB，故∠FAE=∠GBE又CD∥AB，∠FAB=∠GBA，所以∠AFG+∠GBA=180°故A，B．G，F四点共圆点评：本题考查圆内接多边形的性质和判断，考查两直线平行的判断和性质定理，考查三角形全等的判断和性质，考查四点共圆的判断，本题是一个基础题目．一、选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xoy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（）=2．（Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标；（Ⅱ）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为（t∈R为参数），求a，b的值．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程．专题：压轴题；直线与圆．分析：（I）先将圆C1，直线C2化成直角坐标方程，再联立方程组解出它们交点的直角坐标，最后化成极坐标即可；（II）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），从而直线PQ的直角坐标方程为x ﹣y+2=0，由参数方程可得y=x﹣+1，从而构造关于a，b的方程组，解得a，b的值．解答：解：（I）圆C1，直线C2的直角坐标方程分别为 x2+（y﹣2）2=4，x+y﹣4=0，解得或，∴C1与C2交点的极坐标为（4，）．（2，）．（II）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），故直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0，由参数方程可得y=x﹣+1，∴，解得a=﹣1，b=2．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程、把参数方程化为普通方程的方法，方程思想的应用，属于基础题．一、选修4-5：不等式选讲24．已知a，b， c均为正数，证明：≥6，并确定a，b，c 为何值时，等号成立．考点：基本不等式．专题：证明题；压轴题．分析：证法一：两次利用基本不等式放小，此处不用考虑等号成立的条件，因等号不成立不影响不等号的传递性．证法二：先用基本不等式推出a2+b2+c2≥ab+bc+ac与两者之和用基本不等式放小，整体上只用了一次放缩法．其本质与证法一同．解答：证明：证法一：因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得①所以②故．又③所以原不等式成立．当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立．当且仅当时，③式等号成立．即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立．证法二：因为a，b，c均为正数，由基本不等式得所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac①同理②故③所以原不等式成立．当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立，当且仅当a=b=c，（ab）2=（bc）2=（ac）2=3时，③式等号成立．即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立．点评：考查放缩法在证明不等式中的应用，本题在用缩法时多次用到基本不等式，请读者体会本题证明过程中不考虑等号是否成立的原理，并与利用基本不等式求最值再据最值成立的条件求参数题型比较．深入分析等号成立的条件什么时候必须考虑，什么时候可以不考虑．。

2016-2017学年内蒙古包头市青山区北重三中高一（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）原点到直线x+2y﹣5=0的距离为（）A．1B．C．2D．2．（5分）已知向量，则=（）A．（﹣4，﹣9）B．（﹣8，﹣9）C．（8，11）D．（﹣5，﹣6）3．（5分）已知等差数列的前n项和为S n，若a2+a8+a11=30，求S13=（）A．130B．65C．70D．1404．（5分）已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且（+）⊥，则m=（）A．﹣8B．﹣6C．6D．85．（5分）已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7B．5C．﹣5D．﹣76．（5分）直线x+（1+m）y=2﹣m和直线mx+2y+8=0平行，则m的值为（）A．1B．﹣2C．1或﹣2D．﹣7．（5分）直线l：ax+y﹣2﹣a=0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是（）A．1B．﹣1C．﹣2或﹣1D．﹣2或1 8．（5分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=，b=，∠A=，则∠B=（）A．B．或C．或D．9．（5分）若，且与的夹角为60°，与的夹角为θ，，则tanθ=（）A．B．C．﹣D．﹣10．（5分）三角形△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，且sinA=sinBcosC，那么△ABC是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形11．（5分）平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，•=4，点P在边CD上，则•的取值范围是（）A．[﹣1，8]B．[﹣1，+∞）C．[0，8]D．[﹣1，0] 12．（5分）已知{a n}是递减等比数列，a2=2，a1+a3=5，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1（n ∈N*）的取值范围是（）A．[12，16）B．[8，16）C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知为非零向量且不共线，若与共线，求k=．14．（5分）△ABC的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，设向量=（a+b，sinC），=（a+c，sinB﹣sinA），若∥，则角B的大小为．15．（5分）设S n是数列{a n}的前n项和，a1=﹣1，a n+1=S n S n+1，则S n=．16．（5分）已知实数x，y满足2x+y=8，当2≤x≤3时，的取值范围是．三、解答题：应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知直线l1：2x﹣3y+1=0，直线l2过点（1，1）且与直线l1垂直．（1）求直线l2的方程；（2）求直线l2与两坐标轴围成的三角形的面积．18．（12分）已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和．19．（12分）已知平面向量||=4，||=3，（2﹣3）•（2+）=61．（1）求与的夹角θ的大小；（2）求|+|20．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=．（1）求的值（2）若cosB=，b=2，求△ABC的面积S．21．（12分）数列{a n}满足a1=1，na n+1=（n+1）a n+n（n+1），n∈N*．（Ⅰ）证明：数列{}是等差数列；（Ⅱ）设b n=3n•，求数列{b n}的前n项和S n．22．（12分）等差数列{a n}的前n项和为S n，a22﹣3a7=2，且成等比数列，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=，数列{b n}的前n项和为T n，若对于任意的n∈N*，都有64T n＜|3λ﹣1|成立，求实数λ的取值范围．2016-2017学年内蒙古包头市青山区北重三中高一（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）原点到直线x+2y﹣5=0的距离为（）A．1B．C．2D．【解答】解析：．故选：D．2．（5分）已知向量，则=（）A．（﹣4，﹣9）B．（﹣8，﹣9）C．（8，11）D．（﹣5，﹣6）【解答】解：∵，∴=（﹣2，1）﹣（6，10）=（﹣8，﹣9），故选：B．3．（5分）已知等差数列的前n项和为S n，若a2+a8+a11=30，求S13=（）A．130B．65C．70D．140【解答】解：由等差数列的性质可得：a2+a8+a11=3a7=30，解得a7=10．∴a1+a13=2a7．∴S13==13a7=130．故选：A．4．（5分）已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且（+）⊥，则m=（）A．﹣8B．﹣6C．6D．8【解答】解：∵向量=（1，m），=（3，﹣2），∴+=（4，m﹣2），又∵（+）⊥，∴12﹣2（m﹣2）=0，解得：m=8，故选：D．5．（5分）已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7B．5C．﹣5D．﹣7【解答】解：∵a4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=﹣8∴a4=4，a7=﹣2或a4=﹣2，a7=4当a4=4，a7=﹣2时，，∴a1=﹣8，a10=1，∴a1+a10=﹣7当a4=﹣2，a7=4时，q3=﹣2，则a10=﹣8，a1=1∴a1+a10=﹣7综上可得，a1+a10=﹣7故选：D．6．（5分）直线x+（1+m）y=2﹣m和直线mx+2y+8=0平行，则m的值为（）A．1B．﹣2C．1或﹣2D．﹣【解答】解：∵直线x+（1+m）y=2﹣m和直线mx+2y+8=0平行，∴1×2﹣（1+m）m=0，解得m=1或﹣2，当m=﹣2时，两直线重合．故选：A．7．（5分）直线l：ax+y﹣2﹣a=0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是（）A．1B．﹣1C．﹣2或﹣1D．﹣2或1【解答】解：由直线的方程：ax+y﹣2﹣a=0得，此直线在x轴和y轴上的截距分别为和2+a，由=2+a，得a=1 或a=﹣2，故选：D．8．（5分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=，b=，∠A=，则∠B=（）A．B．或C．或D．【解答】解：由正弦定理可得：=，∴sinB=，∵B∈（0，π），∴B=或．故选：B．9．（5分）若，且与的夹角为60°，与的夹角为θ，，则tanθ=（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：若，且与的夹角为60°，与的夹角为θ，，如图，设=，=，=，则∠COA=60°，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB，则=+=﹣，∠ODB=∠AOD=120°，BD=OA，OB=OA．在△OBD中，由正弦定理得：=，∴=，解得sin∠BOD=，∴∠BOD=，∴θ=∠BOD+∠AOD=+=，∴tanθ=﹣．故选：C．10．（5分）三角形△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，且sinA=sinBcosC，那么△ABC是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【解答】解：△ABC中，∵（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，∴（b+c）2﹣a2=3bc，∴b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==，∴A=，又∵sinA=sinBcosC，∴sin（B+C）=sinBcosC，∴sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC，∴cosBsinC=0，∴cosB=0，B=，∴△ABC是直角三角形．故选：A．11．（5分）平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，•=4，点P在边CD上，则•的取值范围是（）A．[﹣1，8]B．[﹣1，+∞）C．[0，8]D．[﹣1，0]【解答】解：∵AB=4，AD=2，•=4，∴||•||cosA=4，∴cosA=，∴A=60°，以A为原点，以AB所在的直线为x轴，以AB的垂线为y轴，建立如图所示的坐标系，∴A（0，0），B（4，0），D（1，），设P（x，），则1≤x≤5，∴=（﹣x，﹣），=（4﹣x，﹣），∴•=x（x﹣4）+3=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，设f（x）=（x﹣2）2﹣1，∴f（x）在[1，2）上单调递减，在[2，5]上单调递增，∴f（x）min=f（2）=﹣1，f（x）max=f（5）=8，∴•的取值范围是[﹣1，8]，故选：A．12．（5分）已知{a n}是递减等比数列，a2=2，a1+a3=5，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1（n ∈N*）的取值范围是（）A．[12，16）B．[8，16）C．D．【解答】解：（a2）2=a1•a3=4，a1+a3=5，∴a1和a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，解得x=1或4∵{a n}是递减等比数列，∴a1＞a3，∴a1=4，a3=1∴q2==∵{a n}是递减等比数列，∴q＞0∴q=∴S n=a1a2+a2a3+…+a n a n+1=a12q+a12q3+a12q5…+a12q2n﹣1==（1﹣）＜∵{a n}是递减等比数列，∴{S n}的最小项为S1=8∴a1a2+a2a3+…+a n a n+1（n∈N*）的取值范围是故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知为非零向量且不共线，若与共线，求k=±1．【解答】解：由题意设=λ（），故，解得：k=±1，故答案为：±1．14．（5分）△ABC的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，设向量=（a+b，sinC），=（a+c，sinB﹣sinA），若∥，则角B的大小为．【解答】解：∵∴（a+b）（sinB﹣sinA）=sinC（）由正弦定理知（a+b）（b﹣a）=c（）即由余弦定理知2accosB=﹣∴cosB=﹣B∈（0，π）∴B=故答案为15．（5分）设S n是数列{a n}的前n项和，a1=﹣1，a n+1=S n S n+1，则S n=﹣．=S n S n+1，∴S n+1﹣S n=S n S n+1，【解答】解：∵a n+1∴=﹣1，∴数列是等差数列，首项为﹣1，公差为﹣1．∴=﹣1﹣（n﹣1）=﹣n，解得S n=﹣．故答案为：．16．（5分）已知实数x，y满足2x+y=8，当2≤x≤3时，的取值范围是．【解答】解：由题意画出图形如图，的几何意义为线段AB上的点与定点P（1，﹣1）连线的斜率．∵，∴的取值范围是．故答案为：．三、解答题：应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知直线l1：2x﹣3y+1=0，直线l2过点（1，1）且与直线l1垂直．（1）求直线l2的方程；（2）求直线l2与两坐标轴围成的三角形的面积．【解答】解：（1）直线l1的斜率是，由l1⊥l2，得l2的斜率是﹣，故l2的方程是：y﹣1=﹣（x﹣1），即：3x+2y﹣5=0；（2）由（1）l2的方程是：3x+2y﹣5=0，令x=0，解得：y=，令y=0，解得：x=，=××=．故S△18．（12分）已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和．【解答】解：（1）设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，由b2=3，b3=9，可得q==3，b n=b2q n﹣2=3•3n﹣2=3n﹣1；即有a1=b1=1，a14=b4=27，则d==2，则a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）c n=a n+b n=2n﹣1+3n﹣1，则数列{c n}的前n项和为（1+3+…+（2n﹣1））+（1+3+9+…+3n﹣1）=n•2n+=n2+．19．（12分）已知平面向量||=4，||=3，（2﹣3）•（2+）=61．（1）求与的夹角θ的大小；（2）求|+|【解答】解：（1）∵平面向量||=4，||=3，（2﹣3）•（2+）=61．∴=61，∴4×42﹣3×32﹣4×4×3cosθ=61．解得cosθ=，∵θ∈[0，π]，∴θ=．（2）|+|===．20．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=．（1）求的值（2）若cosB=，b=2，求△ABC的面积S．【解答】（本题满分为12分）解：（1）由正弦定理，则=，所以=，即（cosA﹣2cosC）sinB=（2sinC﹣sinA）cosB，化简可得sin（A+B）=2sin（B+C）．因为A+B+C=π，所以sinC=2sinA．因此=2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）由=2，得c=2a，由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，及cosB=，b=2，得4=a2+4a2﹣4a2×．解得a=1，从而c=2．因为cosB=，且sinB==，因此S=acsinB=×1×2×=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）21．（12分）数列{a n}满足a1=1，na n+1=（n+1）a n+n（n+1），n∈N*．（Ⅰ）证明：数列{}是等差数列；（Ⅱ）设b n=3n•，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】证明（Ⅰ）∵na n=（n+1）a n+n（n+1），+1∴，∴，∴数列{}是以1为首项，以1为公差的等差数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴，b n=3n•=n•3n，∴•3n﹣1+n•3n①•3n+n•3n+1②①﹣②得3n﹣n•3n+1==∴22．（12分）等差数列{a n}的前n项和为S n，a22﹣3a7=2，且成等比数列，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=，数列{b n}的前n项和为T n，若对于任意的n∈N*，都有64T n＜|3λ﹣1|成立，求实数λ的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由，得…（2分）即，解得：，或，当，时，没有意义，∴a1=2，d=2，此时a n=2+2（n﹣1）=2n…（6分）（Ⅱ）由（I）可知…（8分）T n=b1+b2+b3+…+b n==，∴…（10分）为满足题意，必须|3λ﹣1|≥5，∴λ≥2或．…（12分）。

2014-2015学年内蒙古包头市北重三中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案涂在答题卡上）1．（5分）已知命题p：x=1是方程ax2+bx+c=0的一个根，q：a+b+c=0，则命题p 是命题q的（）A．充分不必要B．必要不充分C．既不充分又不必要D．充要2．（5分）以S n表示等差数列{a n}的前n项和，若a2+a7﹣a5=6，则S7=（）A．42B．28C．21D．143．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最大值为（）A．1B．4C．5D．64．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则P的值为（）A．﹣2B．2C．4D．﹣45．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（）A．3×44B．3×44+1C．44D．44+16．（5分）双曲线my2﹣x2=1的一个顶点在抛物线y=x2的准线上，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．2D．7．（5分）函数y=sin（πx+φ）（φ＞0）的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，则tan∠APB=（）A．10B．8C．D．8．（5分）给出下列说法：①命题“若α=，则sin α=”的否命题是假命题；②命题p：“∃x0∈R，使＞1”，则¬p：“∀x∈R，sin x≤1”；③“φ=+2kπ（k∈Z）”是“函数y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件；④命题p：“∃x∈（0，），使sin x+cos x=”，命题q：“在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B”，那么命题￢p∧q为真命题．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．19．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10．（5分）过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F做倾斜角为30°的直线，与抛物线交于A、B两点（点A在y轴左侧），则的值为（）A．3B．C．1D．11．（5分）已知正项等比数列{a n}满足S8=17S4，若存在两项a m，a n使得=4a1，则+的最小值为（）A．B．1+C．D．12．（5分）如图，在棱长为4的正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，E、F分别是AD、A′D′的中点，长为2的线段MN的一个端点M在线段EF上运动，另一个端点N 在底面A′B′C′D′上运动，则线段MN的中点P的轨迹（曲面）与二面角A﹣A′D′﹣B′所围成的几何体的体积为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共20分，请将答案写在答题卡上．）13．（5分）如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降2米后水面宽米．14．（5分）过双曲线2x2﹣y2=2的右焦点F的直线交双曲线于A、B两点，若|AB|=4，则这样的直线有条．15．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则的取值范围是．16．（5分）已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF2为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，双曲线的离心率的取值范围为（1，2）．则该椭圆的离心率的取值范围是．三、解答题（共6小题，共70分，要求在答题卡上写出详细的解答过程．）17．（10分）焦点分别为F1，F2的椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点M（2，1），且△MF2F1的面积为，求椭圆C的方程．18．（12分）△ABC中，A、B、C是三角形的三内角，a、b、c是三内角对应的三边，已知b2+c2﹣a2=bc．（1）求角A的大小；（2）若a=，且△ABC的面积为，求b+c的值．19．（12分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＜0；q：实数x满足≥0，且￢p是￢q的必要不充分条件，求a的取值范围．20．（12分）（普通文科做）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E、E1分别是棱AD，AA1的中点，F为AB的中点．求：（1）点D到平面EE1C的距离；（2）求三棱锥E1﹣FCC1的体积21．（12分）已知函数f（x）=x2+bx为偶函数，数列{a n}满足a n+1=2f（a n﹣1）+1，且a1=3，a n＞1．（1）设b n=log2（a n﹣1），求证：数列{b n+1}为等比数列；（2）设c n=nb n，求数列{c n}的前n项和S n．22．（12分）如图，已知圆G：x2+y2﹣2x﹣y=0，经过椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点F及上顶点B，过圆外一点M（m，0）（m＞a）倾斜角为的直线l交椭圆于C，D两点，（1）求椭圆的方程；（2）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部，求m的取值范围．2014-2015学年内蒙古包头市北重三中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案涂在答题卡上）1．（5分）已知命题p：x=1是方程ax2+bx+c=0的一个根，q：a+b+c=0，则命题p 是命题q的（）A．充分不必要B．必要不充分C．既不充分又不必要D．充要【解答】解：若x=1是方程ax2+bx+c=0的一个根，则a+b+c=0，若a+b+c=0，则c=﹣a﹣b，则ax2+bx+c=0等价为ax2+bx﹣a﹣b=0，即a（x﹣1）（x+1）+b（x﹣1）=（x﹣1）[a（x+1）+b]=0，则由x﹣1=0，解得x=1，即x=1是方程ax2+bx+c=0的一个根，故命题p是命题q的充要条件，故选：D．2．（5分）以S n表示等差数列{a n}的前n项和，若a2+a7﹣a5=6，则S7=（）A．42B．28C．21D．14【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a2+a7﹣a5=6，∴（a1+d）+（a1+6d）﹣（a1+4d）=6，∴a1+3d=6，即a4=6，∴S7=（a1+a7）=×2a4=7a4=42故选：A．3．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最大值为（）A．1B．4C．5D．6【解答】解：作出可行域如图，由z=x+2y知，y=﹣x+z，所以动直线y=﹣x+z的纵截距z取得最大值时，目标函数取得最大值．由得A（1，2.5）．结合可行域可知当动直线经过点A（1，2.5）时，目标函数取得最大值z=1+2×2.5=6．故选：D．4．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则P的值为（）A．﹣2B．2C．4D．﹣4【解答】解：由a2=6、b2=2，可得c2=a2﹣b2=4，∴到椭圆的右焦点为（2，0），∴抛物线y2=2px的焦点（2，0），∴p=4，故选：C．5．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（）A．3×44B．3×44+1C．44D．44+1【解答】解：由a n=3S n，得到a n=3S n﹣1（n≥2），+1﹣a n=3（S n﹣S n﹣1）=3a n，两式相减得：a n+1则a n=4a n（n≥2），又a1=1，a2=3S1=3a1=3，+1得到此数列除去第一项后，为首项是3，公比为4的等比数列，所以a n=a2q n﹣2=3×4n﹣2（n≥2）则a6=3×44．故选：A．6．（5分）双曲线my2﹣x2=1的一个顶点在抛物线y=x2的准线上，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．2D．【解答】解：抛物线y=x2的准线为y=﹣，即有双曲线的一个顶点为（0，﹣），双曲线my2﹣x2=1即为﹣x2=1，则=，则m=4，则有a=，b=1，c==，则e==．故选：A．7．（5分）函数y=sin（πx+φ）（φ＞0）的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，则tan∠APB=（）A．10B．8C．D．【解答】解：函数y=sin（πx+φ）∴T=，最大值为1，过p作PD⊥x轴于D，则AD是四分之一个周期，有AD=，DB=，DP=1，在直角三角形中有tan∠APD=与tan∠BPD=，所以tan∠APB=tan（∠APD+∠BPD）==8．故选：B．8．（5分）给出下列说法：①命题“若α=，则sin α=”的否命题是假命题；②命题p：“∃x0∈R，使＞1”，则¬p：“∀x∈R，sin x≤1”；③“φ=+2kπ（k∈Z）”是“函数y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件；④命题p：“∃x∈（0，），使sin x+cos x=”，命题q：“在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B”，那么命题￢p∧q为真命题．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1【解答】解：①原命题的否命题为“若α≠，则sin α≠”，当α=时，满足α≠，但sin α=，所以原命题的否命题是假命题，所以①的判断正确．②特称命题的否定是全称命题，所以¬p：“∀x∈R，sin x≤1，所以②正确．③若函数y=sin（2x+φ）为偶函数，则φ=+kπ（k∈Z），所以φ=+2kπ（k∈Z）不是“函数y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件，所以③错误．④因为，当x∈（0，）时，，此时，所以命题p为假命题．在△ABC中，若sin A＞sin B，由正弦定理得a＞b，根据大边对大角关系可得，A ＞B，所以命题q为真，所以￢p为真，所以命题￢p∧q为真命题，所以④正确．故选：B．9．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，如图：BC 的中点为O，连结ON，，则MN0B是平行四边形，BM与AN所成角就是∠ANO，∵BC=CA=CC1，设BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB===，在△ANO中，由余弦定理可得：cos∠ANO===．故选：C．10．（5分）过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F做倾斜角为30°的直线，与抛物线交于A、B两点（点A在y轴左侧），则的值为（）A．3B．C．1D．【解答】解：设直线l的方程为：x=（y﹣），设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线方程代入抛物线方程，消去x可得12y2﹣20py+3p2=0，解方程得y1=，y2=由抛物线的性质知，==故选：B．11．（5分）已知正项等比数列{a n}满足S8=17S4，若存在两项a m，a n使得=4a1，则+的最小值为（）A．B．1+C．D．【解答】解：经验证q=1不成立，∴q＞0且q≠1．∵S8=17S4，∴利用等比数列的求和公式可化为q8﹣17q4+16=0，解得q4=1或16．又q＞0且q≠1，∴q=2．∵存在两项a m，a n使得=4a1，∴=4a1，m+n=6．∴+=（+）（m+n）=（6++）≥1+，当且仅当=时取等号．∵m，n都应该为整数+的最小值是．故选：A．12．（5分）如图，在棱长为4的正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，E、F分别是AD、A′D′的中点，长为2的线段MN的一个端点M在线段EF上运动，另一个端点N 在底面A′B′C′D′上运动，则线段MN的中点P的轨迹（曲面）与二面角A﹣A′D′﹣B′所围成的几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：依题意可知|FP|=|MN|=1，因此点P的轨迹是以点F为球心、1为半径的球面的．于是所求的体积是×（π×13）=π．故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分，请将答案写在答题卡上．）13．（5分）如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降2米后水面宽米．【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，将A（2，﹣2）代入x2=my，得m=﹣2∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣4）得x0=2 ，故水面宽为m．故答案为：．14．（5分）过双曲线2x2﹣y2=2的右焦点F的直线交双曲线于A、B两点，若|AB|=4，则这样的直线有3条．【解答】解：将双曲线化为标准形式可得：x2﹣=1，则a=1，b=；若AB只与双曲线右支相交时，|AB|的最小距离是通径，长度为=4，此时只有一条直线符合条件；若AB与双曲线的两支都相交时，此时|AB|的最小距离是实轴两顶点的距离，长度为2a=2，距离无最大值，结合双曲线的对称性，可得此时有2条直线符合条件；综合可得，有3条直线符合条件；故答案为3．15．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则的取值范围是[0，1] ．【解答】解：以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，以所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系．则D（0，0，0）、C（0，1，0）、A（1，0，0）、B（1，1，0）、D1（0，0，1）．∴=（0，1，0）、（﹣1，﹣1，1）．∵点P在线段BD1上运动，∴=λ•=（﹣λ，﹣λ，λ），且0≤λ≤1．∴=+=+=（﹣λ，1﹣λ，λ），∴=1﹣λ∈[0，1]，故答案为[0，1]．16．（5分）已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF2为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，双曲线的离心率的取值范围为（1，2）．则该椭圆的离心率的取值范围是（，1）．【解答】解：如图，设双曲线的半实轴长，半焦距分别为a2，c，∵△PF1F2是以PF2为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，∴|PF1|=|F1F2|=10，即c=5，|PF2|=10﹣2a2，又由双曲线的离心率的取值范围为（1，2）．故∈（1，2）．∴a2∈（，5），设椭圆的半实轴长为a1，则|PF1|+|PF2|=2a1=20﹣2a2，即a1=10﹣a2∈（5，）故e=∈（，1）故答案为：（，1）三、解答题（共6小题，共70分，要求在答题卡上写出详细的解答过程．）17．（10分）焦点分别为F1，F2的椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点M（2，1），且△MF2F1的面积为，求椭圆C的方程．【解答】解：∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点M（2，1），且△MF2F1的面积为，∴，=，∵a2=b2+c2，∴c=，a=，b=，∴椭圆C的方程为．18．（12分）△ABC中，A、B、C是三角形的三内角，a、b、c是三内角对应的三边，已知b2+c2﹣a2=bc．（1）求角A的大小；（2）若a=，且△ABC的面积为，求b+c的值．【解答】解：（1）∵b2+c2﹣a2=bc，∴cosA===，又A为三角形内角，∴A=；=，（2）∵a=，A=，S△ABC∴由面积公式得：bcsin=，即bc=6①，由余弦定理得：b2+c2﹣2bccos=7，即b2+c2﹣bc=7②，变形得：（b+c）2=25，则b+c=5．19．（12分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＜0；q：实数x满足≥0，且￢p是￢q的必要不充分条件，求a的取值范围．【解答】解：由￢p是￢q的必要不充分条件，转化成它的逆否命题q是p的必要不充分条件，即p 是q的充分不必要条件，也就是p推出q且q不能推出p．…（4分）化简条件p得，A={x|3a＜x＜a，a＜0}，化简条件q得，B={x|x＜﹣4或x≥﹣2}．…（8分）由A⊊B，得或解得a≤﹣4或﹣≤a＜0．…（12分）20．（12分）（普通文科做）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E、E1分别是棱AD，AA1的中点，F为AB的中点．求：（1）点D到平面EE1C的距离；（2）求三棱锥E1﹣FCC1的体积【解答】解：（1）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，由已知得D（0，0，0），E（1，0，0），E1（2，0，1），C（﹣1，，0），=（1，0，1），=（﹣2，，0），设平面EE1C的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（，2，﹣），=（1，0，0），∴点D到平面EE1C的距离：d===．（2）由题意得CC1⊥CF，CC1=CF=2，∴=，∵平面CC1F∥平面DAA1D1，∴平面CC1F的法向量=（0，1，0），∵=（﹣3，，﹣1），∴E1到平面FCC1的距离h===，∴三棱锥E1﹣FCC1的体积V=•h==．21．（12分）已知函数f（x）=x2+bx为偶函数，数列{a n}满足a n+1=2f（a n﹣1）+1，且a1=3，a n＞1．（1）设b n=log2（a n﹣1），求证：数列{b n+1}为等比数列；（2）设c n=nb n，求数列{c n}的前n项和S n．【解答】（1）证明：∵函数f（x）=x2+bx为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴b=0∵a n=2f（a n﹣1）+1，+1﹣1=2（a n﹣1）2，∴a n+1∵b n=log2（a n﹣1），=1+2b n，∴b n+1∴b n+1=2（b n+1）+1∴数列{b n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列（2）解：由（1）可得，b n+1=2n，∴b n=2n﹣1∴c n=nb n=n•2n﹣n，∴S n=1•2+2•22+…+n•2n﹣令T=1•2+2•22+…+n•2n，2T n=1•22+2•23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1两式相减可得，﹣T n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=（1﹣n）•2n+1﹣2∴T n=（n﹣1）•2n+1+2，∴S n=（n﹣1）•2n+1+2﹣．22．（12分）如图，已知圆G：x2+y2﹣2x﹣y=0，经过椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点F及上顶点B，过圆外一点M（m，0）（m＞a）倾斜角为的直线l交椭圆于C，D两点，（1）求椭圆的方程；（2）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部，求m的取值范围．【解答】解：（1）过点F、B，∴F（2，0），，故椭圆的方程为（2）直线l：消y得2x2﹣2mx+（m2﹣6）=0由△＞0⇒，又⇒设C （x 1，y 1）、D （x 2，y 2），则x 1+x 2=m ，，，，∴∵F 在圆E 的内部，∴，又⇒．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 yxo()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

2017-2018学年度第一学期期中考试高三数学(理）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分)1．设集合，．若，则( )A ．{1，﹣3}B ．{1，0｝C ．{1，3｝D ．{1，5｝2．下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ) A ．i （1+i)2B ．i 2（1﹣i)C ．（1+i ）2D ．i(1+i)3．下列说法不正确的是（ )A ．若“p 且q"为假，则p ，q 至少有一个是假命题B ．命题“∃x∈R，x 2﹣x ﹣1＜0”的否定是““∀x∈R，x 2﹣x ﹣1≥0" C ．当a ＜0时，幂函数y=x a在(0，+∞）上单调递减 D ．“φ="是“y=sin(2x+φ）为偶函数”的充要条件4．已知O 为坐标原点，点M 坐标为(﹣2，1）,在平面区域上取一点N,则使｜MN ｜为最小值时点N 的坐标是( ) A ．（0，0）B ．（0,1）C ．（0，2）D ．（2，0）5．记等比数列｛a n ｝的前n 项积为T n （n∈N *),已知，且，则m 的值为（ ） A ．4B ．7C ．10D ．126．矩形中，,,为线段上的点，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．7．函数，则零点个数为（ ） A 。

1B.2C 。

3D.48．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，则{}1,2,4A ={}240B x x x m =-+={}1A B =B =1120m m m aa a -+⋅-=21128m T -=AB C D 2A B =1A D =E BC A E D E ⋅21541744()1331l o g 1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩()4yf x x =+-cos 1cos b Ac C=+sin 26A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．9．是定义在上的奇函数，满足,当时,,则的值等于（ ）A ．B ．C ．D ．10．用数学归纳法证明不等式“",从“"到“"时，左侧应添加的式子为（ ) A ．B ．C ．D ．11．平面内凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，以此类推,凸13边形的对角线条数为( ) A ．42B ．65C ．143D ．16912．函数f(x ）=sin ωx+cos ωx+1的最小正周期为π,当x∈［m ，n]时，f （x ）至少有12个零点，则n ﹣m 的最小值为( ) A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数y=log a (x+2）﹣1（a ＞0,a≠1）的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny+1=0上，其中m ＞0，n ＞0，则+的最小值为 . 14．= .15．等差数列｛a n ｝、{b n }的前n 项和分别为S n 与T n ,若，则 ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭()f x R()()2f x f x +=()0,1x ∈()21xf x =-()12log 6f 12-6-56-4-()()()112221223n n n n n -⋅+-=⋅⋅-()2n n N *≥∈且n k =1n k =+21k -23k -()223k -()221k -12π73π6π163π)10xd x⎰5623a b =911=S T16．设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为，若在区间上恒成立，则称函数在区间上为“凸函数”．已知，若对任意的实数满足时,函数在区间上为“凸函数"，则的最大值为 .三、解答题（共70分,第17—21为必考题，每题12分，22、23为选考题，每题10分） 17．在△ABC 中,内角A ，B,C 所对的边长分别是a ，b,c ． （Ⅰ）若,,且△ABC 的面积，求a,b 的值；(Ⅱ）若，试判断△ABC 的形状．[］ 18．已知函数,． (1）求的单调递增区间；[.（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a=，角B 所对边b=5,若，求△ABC 的面积．19．已知数列满足：，，数列满足. (1）求证：数列是等比数列。

2022-2023学年内蒙古自治区包头市第一中学高二上学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．命题“R x ∃∈，2210x x +-<”的否定是（ ） A ．R x ∀∈，2210x x +-≥ B ．R x ∃∉，2210x x +-≥ C ．R x ∃∈，2210x x +-≥ D ．R x ∀∉，2210x x +-≥【答案】A【分析】将特称命题否定为全称命题即可. 【详解】命题“R x ∃∈，2210x x +-<”的否定是 “R x ∀∈，2210x x +-≥”， 故选：A.2．圆()()22341x y -+-=与圆2236x y +=的位置关系为（ ） A ．相离 B ．内切 C ．外切 D ．相交【答案】B【分析】根据圆心距与21r r -的关系求得正确答案.【详解】圆()()22341x y -+-=的圆心为()3,4A ，半径11r =；圆2236x y +=的圆心为()0,0O ，半径26=r ， 圆心距215OA r r ==-，所以两圆的位置关系是内切. 故选：B3．已知双曲线221x y m +=（m 为非零常数）的渐近线方程为y x =，则双曲线的虚轴长是（ ）A ．－3B ．3C ．D 【答案】C【分析】根据双曲线的渐近线方程求得m ，进而求得双曲线的虚轴长. 【详解】双曲线221x y m+=，即221x y m -=-，双曲线的渐近线方程为y x =，3m ==-，所以双曲线方程为2213x y -=，所以b =2b =故选：C4．已知椭圆经过点()，且焦点分别为()10,1-F ，()20,1F ，则椭圆的离心率为（ ）A B C D 【答案】D【分析】根据已知条件求得,a c ，从而求得椭圆的离心率. 【详解】由于焦点()10,1-F ， 所以焦点在y 轴上，且1c =，由于椭圆经过点()，所以b =所以a ==所以椭圆的离心率为c a =故选：D5．过抛物线22y x =的焦点作直线l ，交抛物线于,A B 两点，若线段AB 中点的横坐标为4，则AB 等于（ ） A ．10 B ．9 C ．6 D ．5【答案】B【分析】利用抛物线的几何意义求解即可. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，由题意得1242x x +=， 所以由抛物线的几何意义得1281922p pAB x x =+++=+=， 故选：B.6．已知空间四边形ABCO 中，OA a =，OB b =，OC c =，M 为OA 中点，点N 在BC 上，且2NB NC =，则MN 等于（ ）A ．121233a b c -+-B ．121233a b c -++C ．111232a b c +- D ．112233a b c -++【答案】D【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算法则，即可求解． 【详解】如图所示：点N 在BC 上，且2NB NC =，∴2BN NC =， 由OB b =，OC c =，∴111212()333333ON OC CN OC CB OC OB OC OB OC b c =+=+=+-=+=+，M 为OA 中点，OA a =，1122OM OA a ==，∴11122233MN ON OM ON OA a b c =-=-=-++．故选：D ．7．曲线()2216126x y m m m +=<--与曲线()2212828x y m m m+=<<--的（ ）A ．焦距相等B ．焦点相同C ．离心率相等D ．顶点相同【答案】A【分析】先分清两曲线分别是什么类型的曲线，再分别求出每个曲线的几何特征即可. 【详解】对于曲线()2216126x y m m m +=<-- ，1260m m ->-> ，是焦点在x 轴上的椭圆， 2222212,6,6,6a m b m c a b c =-=-=-==；对于曲线()2212828x y m m m +=<<-- ，20,80m m -<-> ，是焦点在y 轴上的双曲线， 222228,2,6,6a m b m c a b c =-=-=+== ；所以两曲线的焦距相同. 故选：A8．下列命题中的说法正确的是（ ）A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠”B ．命题“p q ∨”为真命题，则“命题p ”和“命题q ”均为真命题C ．“220a b +=，则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 不全为0，则220a b +≠”D ．命题“若空间向量a b =，则a b =”的逆命题是真命题 【答案】C【分析】利用否命题、逻辑连接词、逆否命题和逆命题的定义判断各选项即可. 【详解】命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x ≠，则1x ≠”，选项A 错误；命题“p q ∨”为真命题，则“命题p ”和“命题q ”均为真命题或其中一个为真命题，选项B 错误； “220a b +=，则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 不全为0，则220a b +≠”，选项C 正确； 命题“若空间向量a b =，则a b =”的逆命题为“若空间向量a b =，则a b =”，由于模长相等方向不一定相等，所以该命题为假命题，选项D 错误； 故选：C9．已知圆()22:316M x y ++=外一点()3,0N ，点P 是圆上任意一点，线段NP 的垂直平分线l 和直线MP 交于点Q ，则点Q 的轨迹方程为（ ） A ．22145x y -=B ．2211620x y -=C ．221167x y +=D ．2213627x y +=【答案】A【分析】结合双曲线的定义求得正确答案. 【详解】圆M 的圆心为()3,0M -，半径4r =， 由于线段NP 的垂直平分线l 交直线MP 于Q ， 所以QP QN =，所以4QN QM QP QM r MN -=-==<，所以Q 点的轨迹是双曲线，且3,24,2,c a a b === 所以Q 点的轨迹方程为22145x y -=. 故选：A10．椭圆22163x y +=中，以点11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为中点的弦所在直线斜率为（ ）A ．1B ．12C ．－1D ．12-【答案】C【分析】先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜率．【详解】设弦的两端点为()11,A x y ，()22,B x y ，则12122,1x x y y +=+=，因为22112163⎛⎫ ⎪⎝⎭+<，所以点11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆22163x y +=内， 将()11,A x y ，()22,B x y 代入椭圆得22112222163163x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得()()()()12121212063x x x x y y y y -+-++=，即()()()()1212121263x x x x y y y y -+-+=-，即()()1212121236x x y y y y x x +--=+-， 即12123261y y x x -⨯-=⨯-， 即12121y y x x -=--， 所以弦所在的直线的斜率为1-. 故选：C ．11．直线1ax by +=与圆221x y +=有公共点是点(),P a b 在该圆外的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】结合直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系、充分和必要条件的知识确定正确答案. 【详解】圆221x y +=的圆心为()0,0，半径为1，当直线1,10ax by ax by +=+-=与圆221x y +=有公共点时，221,1a b ≤+≥，所以P 在圆上或圆外，所以直线1ax by +=与圆221x y +=有公共点是点(),P a b 在该圆外的必要不充分条件. 故选：B12．已知P 是抛物线24y x =上的一点，过点P 作直线2x =-的垂线，垂足为H ，设圆()()22:331C x y ++-=上任意一点Q ，则PQ PH +的最小值是（ ）A．1 B ．5 C ．6 D ．4【答案】B【分析】结合抛物线的定义以及圆的几何性质求得正确答案. 【详解】抛物线24y x =的焦点()1,0F ，准线方程为=1x -， 根据抛物线的定义可知1PH PF =+，圆()()22:331C x y ++-=的圆心为()3,3C -，半径1r =，min 1PQ PC =-，5CF ==所以115PQ PH PC PF PC PF CF +≥-++=+≥=, 所以当,,F P C 三点共线时，PQ PH +取得最小值5. 故选：B二、填空题13．抛物线28y x =-的准线方程是________． 【答案】132y =【分析】先将抛物线方程化为标准形式，即可得出其准线方程.【详解】因为抛物线28y x =-的标准方程为：218=-x y ，因此128=p ，即116=p ；所以其准线方程为：132y =. 故答案为：132y =【点睛】本题主要考查求抛物线的准线方程，熟记抛物线的标准方程即可，属于基础题型.14．过点)的等轴双曲线，其焦点到渐近线的距离是______．【分析】根据点)求得等轴双曲线的方程，求得双曲线的焦点坐标以及渐近线方程，从而求得正确答案.【详解】当双曲线的焦点在x 轴上时，设等轴双曲线的方程为222x y a -=，由于等轴双曲线过点)，所以2312a =-=，所以a b ==2c =双曲线方程为22122x y -=，渐近线方程为y x =±，即0x y ±=，双曲线其中一个焦点()2,0到其中一条渐近线0x y -=的距离为2022，根据对称性可知，双曲线焦点到渐近线的距离是2.当双曲线的焦点在y 轴上时，设等轴双曲线的方程为222y x a -=， 由于等轴双曲线过点()3,1，所以2122a =-=-，不符合题意.综上所述，该等轴双曲线的焦点到渐近线的距离是2. 故答案为：215．点P 是椭圆22149x y +=上的一点，则点P 到直线2150x y +-=的距离最大值是______．【答案】45【分析】设()2cos ,3sin P θθ，θ为OP 与x 轴正半轴的夹角，由点线距离公式及辅助角公式即可求化简大值.【详解】设()2cos ,3sin P θθ，θ为OP 与x 轴正半轴的夹角，则点P 到直线2150x y +-=的距离为()225sin 154cos 3sin 15521d θϕθθ+-+-==+，其中43sin ,cos 55ϕϕ==，故()5sin 155154555d θϕ+---=≤=.故答案为：4516．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.【答案】26米【详解】如图建立直角坐标系，设抛物线方程为2x my =， 将A （2，-2）代入2x my =， 得m=-2，∴22x y =-，代入B ()0,3x -得06x =， 故水面宽为26米，故答案为26米． 【解析】抛物线的应用17．已知2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的右焦点，P 是双曲线右支上的一点，且2PF x ⊥轴，点A 是双曲线的左顶点，若222PF AF =，则双曲线的离心率为______． 【答案】3【分析】根据22222PF AF a c ==+，得到1PF ，2PF ，进而利用勾股定理，得到2222211PF F F PF +=，列方程计算可得答案.【详解】如图，22222PF AF a c ==+，又122PF PF a -=，则有142PF a c =+， 且12PF F △为直角三角形，2222211PF F F PF ∴+=，列方程得， 222(42)4()4a c a c c +=++，化简得22320a ac c +-=，再整理得，2230e e --=，解得3e =或1e =-（舍去） 故答案为：318．已知曲线22:1C mx ny +=有如下命题：1p ：若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上2p ：若0m n =>，则C3p ：若0mn <，则C是双曲线，其渐近线方程为y =4p ：若0m =，0n >，则C 是两条直线则下述命题中所有真命题的序号是______． ①14p p ∨②12p p ∧③()23p p ⌝∧④()()34p p ⌝∨⌝ 【答案】①③【分析】根据椭圆、圆、双曲线、直线的知识对四个命题进行分析，结合逻辑连接词的知识求得正确答案.【详解】依题意，曲线22:1C mx ny +=，1p ：若0m n >>，则110m n<<， 曲线22:111x y C m n +=表示焦点在y 轴上的椭圆，1p 为真命题. 2:p 若0m n =>，则曲线221:C x y n+=，=的圆，2p 是假命题，2p ⌝是真命题. 3:p 若0mn <，则当00m n >⎧⎨<⎩时，曲线22:111x y C m n -=-表示焦点在x 轴上的双曲线， 由22220,m mx ny y x n +==-，所以双曲线的渐近线方程为y =当00m n <⎧⎨>⎩时，曲线22:111y x C n m-=-表示焦点在y 轴上的双曲线， 由22220,m mx ny y x n +==-，所以双曲线的渐近线方程为y =综上所述，3p 是真命题，3⌝p 是假命题.4:p 若0m =，0n >，C的方程为21,y y n ==所以C 是两条直线，所以4p 是真命题，4p ⌝是假命题， 所以①14p p ∨为真命题；②12p p ∧为假命题； ③()23p p ⌝∧为真命题；④()()34p p ⌝∨⌝为假命题.所以真命题的序号①③. 故答案为：①③三、解答题19．已知圆C 经过点()2,0A -，()6,0B ，且圆心C 在直线y x =上． (1)求圆C 的一般方程；(2)若线段OP 的端点P 在圆C 上运动，端点O 为坐标原点，求线段OP 的中点M 的轨迹方程． 【答案】(1)2244120x y x y +---= (2)222230x y x y +---=【分析】（1）利用待定系数法即可求得圆C 的一般方程； （2）利用直接代入法即可求得点M 的轨迹方程.【详解】（1）设所求圆的C 的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，则圆心,22D E C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由题意得()2222066022D F D F E D ⎧⎪--+=⎪++=⎨⎪⎪-=-⎩，解得4412D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆的C 的一般方程为2244120x y x y +---=. （2）依题意，设(),M x y ，()00,P x y ，因为M 为线段OP 的中点，()0,0O ，所以002,2x x y y ==，又因为点P 在圆C 上运动，所以22000044120x y x y +---=，故()()()()22224242120x y x y +-⨯-⨯-=， 整理得：222230x y x y +---=，所以点M 的轨迹方程为222230x y x y +---=.20．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l的参数方程为x y λ⎧=⎪⎨=⎪⎩（λ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设l 与C 交于P ，Q(1)求l 与C 的极坐标方程；(2)求PQ ．【答案】(1)l 的极坐标方程为()π6θρ=∈R ，圆C 的极坐标方程为2cos 0ρθ-=；(2)PQ =【分析】（1）先把参数方程化为直角坐标方程，再化为极坐标方程；（2）求出直线l 、圆C 的直角坐标方程和交点坐标，再由两点间的距离公式计算即可.【详解】（1）l的直角坐标方程为y =，化为极坐标方程为()π6θρ=∈R ， 将圆C 的参数方程1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩平方相加得()2211x y -+=， 化为极坐标方程为2cos 0ρθ-=；（2）设()()1122,,,P x y Q x y ，由()2211y x x y ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩得2203-=x x ，解得 1230,2x x ==， 当10x =时10y =，即()0,0P ， 当232x =时2y =32Q ⎛ ⎝⎭， 所以==P Q 21．已知抛物线顶点在原点，焦点在x 轴上，又知此抛物线上一点()3,Q m 到焦点的距离为4．(1)求此抛物线的方程．(2)若此抛物线方程与直线2y kx =+相交于不同的两点A ，B ，且AB 中点横坐标为4，求k 的值．【答案】(1)24y x =(2)1k =-【分析】（1）结合抛物线的定义求得p ，进而求得抛物线的方程.（2）联立直线2y kx =+的方程与抛物线的方程，化简写出根与系数关系，根据AB 中点的横坐标求【详解】（1）依题意，抛物线焦点在x 轴，且()3,Q m 的横坐标为正数，所以抛物线开口向右，设抛物线的方程为()220y px p =>，由于抛物线上一点()3,Q m 到焦点的距离为4，所以34,22p p +==， 所以抛物线方程为24y x =. （2）由224y kx y x=+⎧⎨=⎩消去y 并化简得()224440k x k x +-+=， 则()220Δ44160k k k ≠⎧⎪⎨=-->⎪⎩，016320k k ≠⎧⎨->⎩， 解得12k <且0k ≠， 设()()1122,,,A x y B x y ，则12244k x x k -+=-， AB 中点横坐标为4，所以2224k k --=， 解得1k =-或12k =（舍去）. 22．已知1F ，2F 椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点，椭圆上的任意一点P 使得124PF PF +=，且1PF 的最大值为2(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆经过椭圆的右顶点．求证直线l 过定点，并求出该定点的坐标．【答案】(1)22142x y += (2)证明详见解析，定点坐标为2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据已知条件求得,,a b c ，从而求得椭圆的标准方程.（2）对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线l 的方程并与椭圆的方程联立，化简写出根与系数关系，根据“以AB 为直径的圆经过椭圆的右顶点”列方程，由此求得定点坐标.【详解】（1）依题意，1242,2PF PF a a +===，由于1PF 的最大值为2a c +=c =所以b ==22142x y +=. （2）椭圆的右顶点为()2,0Q ，当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为()22x t t =-<<， 由22142x t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得22221242t t y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 设()()00,,,A t y B t y -，则22022t y =-， 由于以AB 为直径的圆经过椭圆的右顶点()2,0Q ，所以AQ BQ ⊥，()2002221222t y y t t t --⋅=-=----，解得23t =， 所以直线l 过2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭. 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+， 由22142y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并化简得()222124240k x kmx m +++-=， ()()2222221641224328160k m k m k m ∆=-+-=-+>，即22420k m -+>①.设()()1122,,,A x y B x y ，则2121222424,1212km m x x x x k k --+==++， 由于以AB 为直径的圆经过椭圆的右顶点()2,0Q ，所以AQ BQ ⊥，()()1212121212222y y y y x x x x ⋅==-----， ()()121222y y x x =---，()()()()121222kx m kx m x x ++=--- ，()()221212121224k x x km x x m x x x x +++=+--，()()()2212121240k x x km x x m ++-+++=，()()2222224412401212m km k km m k k--+⋅+-⋅++=++， 整理得()()3220m k m k ++=，23m k =-或2m k =-， 若23m k =-，代入①得222432422099k k k -+=+>，成立， 若2m k =-，代入①得2244220k k -+=>成立，所以直线l 的方程为2233y kx k k x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，过点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭； 或()22y kx k k x =-=-，过点()2,0Q ，不符合题意，舍去.综上所述，直线l 过定点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】求解直线过定点问题，关键点是研究直线方程中参数的关系，从而求得定点的坐标.有关直线和圆锥曲线相交的题目，要注意验证判别式是否成立.。

2016-2017学年内蒙古包头市北重三中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分.每小题只有一个正确选项.）1．在空间直角坐标系中，点P（3，1，5）关于yOz平面对称的点的坐标为（）A．（﹣3，1，5） B．（﹣3，﹣1，5）C．（3，﹣1，﹣5）D．（﹣3，1，﹣5）2．已知A（1，2）、B（﹣1，4）、C（5，2），则△ABC的边AB上的中线所在的直线方程为（）A．x+5y﹣15=0 B．x=3 C．x﹣y+1=0 D．y﹣3=03．设圆的方程是x2+y2+2ax+2y+（a﹣1）2=0，0＜a＜1时原点与圆的位置关系是（）A．原点在圆上B．原点在圆外C．原点在圆内D．不确定4．直线绕原点逆时针方向旋转30°后所得直线与圆（x﹣2）2+y2=3的位置关系是（）A．直线过圆心B．直线与圆相交，但不过圆心C．直线与圆相切 D．直线与圆无公共点5．利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论，正确的是（）A．①②B．①C．③④D．①②③④6．设空间四条直线a，b，c，d，满足a⊥b，b⊥c，c⊥d，d⊥a，下列命题中真命题是（）A．a⊥c B．b⊥d C．b∥d或a∥c D．b∥d且a∥c7．已知直线l，m和平面α，则下列命题正确的是（）A．若l∥m，m⊂α，则l∥αB．若l∥α，m⊂α，则l∥mC．若l⊥m，l⊥α，则m⊥αD．若l⊥α，m⊂α，则l⊥m8．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，则直线A1M与DN所成角的大小是（）A．B．C．D．9．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角10．平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．11．在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P、Q是对角线A1C上两点，且，则三棱锥P﹣BDQ的体积为（）A．B．C．D．无法确定12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的外接球半径为（）A．2B．C． D．2二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸对应的横线处.）13．直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点（﹣1，1）且与y轴交于点P，则P点坐标为．14．正三棱台的上、下底面边长及高分别为1，2，2，则它的斜高是．15．一个画家有14个边长为1m的正方体，他在地面上把它摆成如图所示的形式，然后，他把露出的表面都染上颜色，那么被染上颜色的面积为m2．16．已知点A（﹣2，0），B（4，0），圆C：（x+4）2+（y+b）2=16，点P是圆C上任意一点，若为定值，则b=．三、解答题（本题共6小题，17题10分，18～22题每题12分.共70分）17．求经过点A（3，2）圆心在直线y=2x上，与直线y=2x+5相切的圆的方程．18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，AB⊥BC．设D，E分别为PA，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面PBC；（Ⅱ）求证：BC⊥平面PAB；（Ⅲ）试问在线段AB上是否存在点F，使得过三点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行？若存在，指出点F的位置并证明；若不存在，请说明理由．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（a，0）（a＞0），B（0，a），C（﹣4，0），D（0，4）设△AOB的外接圆圆心为E．（1）若⊙E与直线CD相切，求实数a的值；（2）设点P在圆E上，使△PCD的面积等于12的点P有且只有三个，试问这样的⊙E是否存在，若存在，求出⊙E的标准方程；若不存在，说明理由．20．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=BC1=2，∠AA1C1=60°，平面ABC1⊥平面AA1C1C，AC1与A1C相交于点D．（1）求证：BD⊥A1C；（2）若E在棱BC1上，且满足DE∥面ABC，求三棱锥E﹣ACC1的体积．21．如图，在三棱锥P﹣ABC中，△ABC是等边三角形，D是AC的中点，PA=PC，二面角P﹣AC﹣B的大小为60°；（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；（2）求AB与平面PAC所成角的正弦值．22．如图，矩形ABCD所在的半平面和直角梯形CDEF所在的半平面成60°的二面角，DE ∥CF，CD⊥DE，AD=2，，CF=6，∠CFE=45°．（Ⅰ）求证：BF∥平面ADE；（Ⅱ）在线段CF上求一点G，使锐二面角B﹣EG﹣D的余弦值为．2016-2017学年内蒙古包头市北重三中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分.每小题只有一个正确选项.）1．在空间直角坐标系中，点P（3，1，5）关于yOz平面对称的点的坐标为（）A．（﹣3，1，5） B．（﹣3，﹣1，5）C．（3，﹣1，﹣5）D．（﹣3，1，﹣5）【考点】空间中的点的坐标．【分析】直接利用空间对称点的坐标关系求解即可．【解答】解：在空间直角坐标系中，点P（3，1，5）关于yOz平面对称的点的坐标为（﹣3，1，5）．故选：A．2．已知A（1，2）、B（﹣1，4）、C（5，2），则△ABC的边AB上的中线所在的直线方程为（）A．x+5y﹣15=0 B．x=3 C．x﹣y+1=0 D．y﹣3=0【考点】中点坐标公式；直线的两点式方程．【分析】求出AB的中点坐标，利用两点式方程，直接求解即可．【解答】解：由题意可知．A、B的中点坐标为（0，3），所以△ABC的边AB上的中线所在的直线方程为：，即x+5y﹣15=0．故选A．3．设圆的方程是x2+y2+2ax+2y+（a﹣1）2=0，0＜a＜1时原点与圆的位置关系是（）A．原点在圆上B．原点在圆外C．原点在圆内D．不确定【考点】圆的一般方程．【分析】将原点代入x2+y2+2ax+2y+（a﹣1）2=（a﹣1）2＞0，即可得出结论．【解答】解：将原点代入x2+y2+2ax+2y+（a﹣1）2=（a﹣1）2＞0，所以原点在圆外．故选：B4．直线绕原点逆时针方向旋转30°后所得直线与圆（x﹣2）2+y2=3的位置关系是（）A．直线过圆心B．直线与圆相交，但不过圆心C．直线与圆相切 D．直线与圆无公共点【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出已知直线的倾斜角，然后求出绕原点逆时针方向旋转30°后所得直线的倾斜角，即可得到所得直线的斜率，写出所得直线的方程，然后由圆的方程找出圆心坐标和半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到所得直线的距离d与半径r比较大小即可得到直线与圆的位置关系．【解答】解：因为直线的方程为y=x，所以直线的斜率k=tanα=，得到直线的倾斜角α=30°，将直线绕原点逆时针方向旋转30°后所得直线的倾斜角为60°，所以所得直线的方程为y=x，由圆的方程（x﹣2）2+y2=3，得到圆心坐标为（2，0），半径r=所以圆心到直线y=x的距离d===r，则该直线与圆的位置关系是相切．故选C．5．利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论，正确的是（）A．①②B．①C．③④D．①②③④【考点】斜二测法画直观图．【分析】由斜二测画法规则直接判断即可．①正确；因为平行性不变，故②正确；正方形的直观图是平行四边形，③错误；因为平行于y′轴的线段长减半，平行于x′轴的线段长不变，故④错误．【解答】解：由斜二测画法规则知：①正确；平行性不变，故②正确；正方形的直观图是平行四边形，③错误；因为平行于y′轴的线段长减半，平行于x′轴的线段长不变，故④错误．故选A6．设空间四条直线a，b，c，d，满足a⊥b，b⊥c，c⊥d，d⊥a，下列命题中真命题是（）A．a⊥c B．b⊥d C．b∥d或a∥c D．b∥d且a∥c【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】假设直线b与d不平行，我们可以过d上一点，作b′∥b，进而可以证明直线a，c 都与d与b′确定的平面垂直，根据线面垂直的性质，可得a∥c，同理可证，当a，c不平行时，b∥d，进而得到答案．【解答】解：若bd不平行过d上一点，作b′∥b，则∵b⊥c，c⊥d，∴c垂直d与b′确定的平面，∵a⊥b，d⊥a，∴a也垂直d与b′确定的平面，则a∥c同时，当a，c不平行时，b∥d故选C7．已知直线l，m和平面α，则下列命题正确的是（）A．若l∥m，m⊂α，则l∥αB．若l∥α，m⊂α，则l∥mC．若l⊥m，l⊥α，则m⊥αD．若l⊥α，m⊂α，则l⊥m【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的判定．【分析】根据线面平行的判定定理三个条件一个都不能少，可判断A的真假；根据线面平行的几何特征，及空间直线关系的分类和定义，可判断B的真假；根据线线垂直及线面垂直的几何特征，可以判断C的真假；根据线面垂直的性质（定义）可以判断D的真假；【解答】解：若l∥m，m⊂α，当l⊂α，则l∥α不成立，故A错误若l∥α，m⊂α，则l∥m或l，m异面，故B错误；若l⊥m，l⊥α，则m⊂α或m∥α，故C错误；若l⊥α，m⊂α，根据线面垂直的定义，线面垂直则线垂直面内任一线，可得l⊥m，故D正确故选D8．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，则直线A1M与DN所成角的大小是（）A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量的数量积求出异面直线A1M与DN所成角的大小．【解答】解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系；设棱长为2，则D（0，0，0），N（0，2，1），M（0，1，0），A1（2，0，2），=（0，2，1），=（﹣2，1，﹣2）；所以•=0×（﹣2）+2×1+1×（﹣2）=0，所以⊥，即A1M⊥DN，异面直线A1M与DN所成的角的大小是．故选：D．9．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角【考点】直线与平面垂直的性质．【分析】根据SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，以及三垂线定理，易证AC⊥SB，根据线面平行的判定定理易证AB∥平面SCD，根据直线与平面所成角的定义，可以找出∠ASO是SA与平面SBD所成的角，∠CSO是SC与平面SBD所成的角，根据三角形全等，证得这两个角相等；异面直线所成的角，利用线线平行即可求得结果．【解答】解：∵SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，∴连接BD，则BD⊥AC，根据三垂线定理，可得AC⊥SB，故A正确；∵AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，∴AB∥平面SCD，故B正确；∵SD⊥底面ABCD，∠ASO是SA与平面SBD所成的角，∠CSO是SC与平面SBD所成的，而△SAO≌△CSO，∴∠ASO=∠CSO，即SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角，故C正确；∵AB∥CD，∴AB与SC所成的角是∠SCD，DC与SA所成的角是∠SAB，而这两个角显然不相等，故D不正确；故选D．10．平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】画出图形，判断出m、n所成角，求解即可．【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°．则m、n所成角的正弦值为：．故选：A．11．在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P、Q是对角线A1C上两点，且，则三棱锥P﹣BDQ的体积为（）A．B．C．D．无法确定【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】设D至平面A1BC距离为h，V==，V=V，，h=，由此能求出结果．【解答】解：A1C=a，PQ=，PQ=A1C，BC⊥平面ABB1A1，A1B∈平面ABB1A1，BC⊥A1B，A1B=a，S=，=S（）=，S△PQBV=•AA1==，设D至平面A1BC距离为h，V==，V=V，，h=，∴V P ﹣BDQ =S △BPQ •h = =．故选：A ．12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的外接球半径为（ ）A ．2B ．C ．D ．2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图知几何体是三棱锥为棱长为4的正方体一部分，画出直观图，由正方体的性质求出棱长、判断出各面形状，画出三棱锥C ﹣ABD 以及外接球，由△ABD 是等边三角形，判断出球心O 在△ABD 的射影的位置，判断线与线的位置关系，设出未知数画出平面图形，利用勾股定理列出方程组，求出该四面体的外接球半径．【解答】解：由三视图知几何体是三棱锥A ﹣BCD ，为棱长为4的正方体一部分， 直观图如图所示：由正方体的性质可得，AB=AD=BD=4， AC=BC==2，CD==6，设三棱锥C ﹣ABD 的外接球球心是O ，设半径是R ，取AB 的中点E ，连接CE 、DE ，如图所示：设OA=OB=OC=OD=R ，△ABD 是等边三角形，∴O 在底面△ABD 的射影是△ABD 中心F ，∵DE ⊥BE ，BE=2，∴DE==，同理可得，CE=，则满足CE 2+DE 2=CD 2，即CE ⊥DE ，在RT △CED 中，设OF=x ，∵F 是等边△ABD 的中心，∴，，则，∴，解得x=，代入其中一个方程得，R===，∴该四面体的外接球半径是，故选：C．二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸对应的横线处.）13．直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点（﹣1，1）且与y轴交于点P，则P点坐标为（0，3）．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由两直线l1∥l2，它们的斜率相等得到直线l2的斜率，又l2过点（﹣1，1），写出l2的点斜式方程，取x=0可得y=3，所以P点坐标可求．【解答】解：因为直线l1的斜率为2，l1∥l2，所以直线l2的斜率也等于2，又直线l2过点（﹣1，1），所以直线l2的方程为y﹣1=2×（x+1），即y=2x+3，取x=0，得到直线l2与y轴交于点P为（0，3）．故答案为：（0，3）．14．正三棱台的上、下底面边长及高分别为1，2，2，则它的斜高是．【考点】棱台的结构特征．【分析】正三棱台ABC﹣A1B1C1的上、下底面边长A1B1=1，AB=2，高OO1=2，连结A1O1交延长交B1C1于E，连结AO并延长，交BC于D，连结DF，过点E作EF⊥AD，交AD 于F，由此利用三角形重心定定理和勾股定理能求出正三棱台ABC﹣A1B1C1的斜高．【解答】解：正三棱台ABC﹣A1B1C1的上、下底面边长A1B1=1，AB=2，高OO1=2，O，O1是等边三角形△ABC、△A1B1C1的重心，连结A1O1交延长交B1C1于E，连结AO并延长，交BC于D，连结DF，过点E作EF⊥AD，交AD于F，则，DF=OD=OF==，∴正三棱台ABC﹣A1B1C1的斜高：DE===．故答案为：．15．一个画家有14个边长为1m的正方体，他在地面上把它摆成如图所示的形式，然后，他把露出的表面都染上颜色，那么被染上颜色的面积为33m2．【考点】组合几何体的面积、体积问题．【分析】解此类题首先要计算表面积即从上面看到的面积+四个侧面看到的面积．【解答】解：根据分析其表面积=4×（1+2+3）+9=33m2，即涂上颜色的为33m2．故答案为3316．已知点A（﹣2，0），B（4，0），圆C：（x+4）2+（y+b）2=16，点P是圆C上任意一点，若为定值，则b=0．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】取点，计算，利用为定值，建立方程，即可求出b．【解答】解：取点（0，﹣b），可得=取点（﹣4，4﹣b），可得=，∴=，∴4b2+8b=0，∴b=0或﹣2．当b=﹣2时，设P（m，n），由PA=tPB，可得=t，又（m+4）2+（n﹣2）2=16，化简整理，可得t无解．故答案为：0．三、解答题（本题共6小题，17题10分，18～22题每题12分.共70分）17．求经过点A（3，2）圆心在直线y=2x上，与直线y=2x+5相切的圆的方程．【考点】圆的切线方程．【分析】设出圆心的坐标为（a，2a），利用两点间的距离公式表示出圆心到A的距离即为圆的半径，根据圆与直线y=2x+5相切，根据圆心到直线的距离等于圆的半径列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出圆心坐标，进而求出圆的半径，根据圆心和半径写出圆的标准方程即可．【解答】解：设所求圆心坐标为（a，2a），则依题意得=r，解之得：a=2，r=或a=，r=，∴所求的圆的方程为：（x﹣2）2+（y﹣4）2=5或（x﹣）2+（y﹣）2=5．18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，AB⊥BC．设D，E分别为PA，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面PBC；（Ⅱ）求证：BC⊥平面PAB；（Ⅲ）试问在线段AB上是否存在点F，使得过三点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行？若存在，指出点F的位置并证明；若不存在，请说明理由．【考点】直线与平面平行的性质；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）证明以DE∥平面PBC，只需证明DE∥PC；（Ⅱ）证明BC⊥平面PAB，根据线面垂直的判定定理，只需证明PA⊥BC，AB⊥BC；（Ⅲ）当点F是线段AB中点时，证明平面DEF∥平面PBC，可得平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为点E是AC中点，点D为PA的中点，所以DE∥PC．又因为DE⊄面PBC，PC⊂面PBC，所以DE∥平面PBC．…．（Ⅱ）证明：因为平面PAC⊥面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，又PA⊂平面PAC，PA ⊥AC，所以PA⊥面ABC，因为BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC．又因为AB⊥BC，且PA∩AB=A，所以BC⊥面PAB．…．（Ⅲ）解：当点F是线段AB中点时，过点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC 平行．取AB中点F，连EF，连DF．由（Ⅰ）可知DE∥平面PBC．因为点E是AC中点，点F为AB的中点，所以EF∥BC．又因为EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC．又因为DE∩EF=E，所以平面DEF∥平面PBC，所以平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行．故当点F是线段AB中点时，过点D，E，F所在平面内的任一条直线都与平面PBC平行．…．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（a，0）（a＞0），B（0，a），C（﹣4，0），D（0，4）设△AOB的外接圆圆心为E．（1）若⊙E与直线CD相切，求实数a的值；（2）设点P在圆E上，使△PCD的面积等于12的点P有且只有三个，试问这样的⊙E是否存在，若存在，求出⊙E的标准方程；若不存在，说明理由．【考点】圆的标准方程；点到直线的距离公式；圆的切线方程．【分析】（1）根据△AOB为等腰直角三角形，算出它的圆心为E（，），半径r=．求出直线CD的方程，根据⊙E与CD相切，利用点到直线的距离公式建立关于a的等式，解之即可得出实数a的值；（2）由|CD|=4与△PCD的面积等于12，算出P到直线CD的距离为d=3．若满足条件的点P有3个，说明与CD平行且与CD距离为3的两直线中的一条与⊙E相切且另一条与⊙E相交．由此算出⊙E的半径，进而算出实数a的值，得到满足条件的⊙E的标准方程．【解答】解：（1）∵C（﹣4，0）、D（0，4），∴直线CD方程为．化简得x﹣y+4=0．又∵△AOB的外接圆圆心为E（，），半径r=．∴由⊙E与直线CD相切，得圆心E到直线CD的距离等于半径，即=，即=，解之得a=4；（2）C（﹣4，0）、D（0，4），可得|CD|==4，设P到直线CD的距离为d，可得△PCD的面积S=|CD|×d=12，即，解之得d=3．因此，只须与CD平行且与CD距离为3的两条直线中的一条与⊙E相切，另一条与⊙E相交．∵由（1）的计算，可知圆心E到直线CD距离为2，∴圆E的半径为2+3=，即r==，解得a=10．即存在a=10，满足使△PCD的面积等于12的点P有且只有三个，⊙E的标准方程是（x﹣5）2+（y﹣5）2=50．20．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=BC1=2，∠AA1C1=60°，平面ABC1⊥平面AA1C1C，AC1与A1C相交于点D．（1）求证：BD⊥A1C；（2）若E在棱BC1上，且满足DE∥面ABC，求三棱锥E﹣ACC1的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）由已知，可得BD⊥AC1，结合平面ABC1⊥平面AA1C1C，利用面面垂直的性质可得BD⊥A1C；（2）由题意可得△ABC1为正三角形，求得，再由E为BC1的中点求得E到平面ACC1的距离，求出△ACC1的面积，代入棱锥体积公式得答案．【解答】（1）证明：侧面AA1C1C是菱形，D是AC1的中点，∵BA=BC1，∴BD⊥AC1，∵平面ABC1⊥平面AA1C1C，且BD⊂平面ABC1，平面ABC1∩平面AA1C1C=AC1，∴BD⊥平面AA1C1C，则BD⊥A1C；（2）解：∵DE∥面ABC，DE⊂面ABC1，面ABC1∩面ABC=AB，∴DE∥AB，∵点D为AC1的中点，∴点E为BC1的中点，∵AA1=AC=2，∠AA1C1=60°，∴AC1=2，∵AB=BC1=2，∴△ABC1为正三角形，则，∴点E到面ACC1的距离等于，∴．21．如图，在三棱锥P﹣ABC中，△ABC是等边三角形，D是AC的中点，PA=PC，二面角P﹣AC﹣B的大小为60°；（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；（2）求AB与平面PAC所成角的正弦值．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【分析】（1）证明AC⊥面PBD，即可证明平面PBD⊥平面PAC；（2）求出面PAC的法向量，利用向量的方法求AB与平面PAC所成角的正弦值．【解答】（1）证明：∵BD⊥AC，PD⊥AC，BD∩PD=D，∴AC⊥面PBD，又AC⊂面PAC，所以面PAC⊥面PBD，即平面平面PBD⊥平面PAC；（2）解：如图建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），令A（1，0，0），则B（0，，0），C（﹣1，0，0），又∠PDB为二面角P﹣AC﹣B的平面角，得∠PDB=60°，设DP=λ，则P（0，，λ），设=（x，y，z）为面PAC的法向量，则=（﹣2，0，0），=（﹣1，，λ），得取y=，得=（0，，﹣1），又=（﹣1，，0）得cos＜，＞=，∴AB与平面PAC所成角的正弦值为．22．如图，矩形ABCD所在的半平面和直角梯形CDEF所在的半平面成60°的二面角，DE ∥CF，CD⊥DE，AD=2，，CF=6，∠CFE=45°．（Ⅰ）求证：BF∥平面ADE；（Ⅱ）在线段CF上求一点G，使锐二面角B﹣EG﹣D的余弦值为．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）利用平面与平面平行的判定定理证明平面BCF∥平面ADE，从而得到BF∥平面ADE．（2）利用直线与平面，平面与平面垂直的判定定理证明平面CDEF⊥平面ADE，根据平面与平面垂直的性质定理可知，作AO⊥DE于O，则AO⊥平面CDEF．建立如图所示空间直角坐标系，写出点的坐标，利用平面法向量以及锐二面角B﹣EG﹣D的余弦值确定G点的坐标，从而确定点G的位置．【解答】证明：（Ⅰ）∵在矩形ABCD中BC∥AD，AD⊂平面ADEBC⊄平面ADE，∴BC∥平面ADE，同理CF∥平面ADE，又∵BC∩CF=C，∴平面BCF∥平面ADE，而BF⊂平面BCF，∴BF∥平面ADE．（Ⅱ）∵CD⊥AD，CD⊥DE∴∠ADE即为二面角A﹣CD﹣F的平面角，∴∠ADE=60°又∵AD∩DE=D，∴CD⊥平面ADE，又∵CD⊂平面CDEF∴平面CDEF⊥平面ADE，作AO⊥DE于O，则AO⊥平面CDEF．连结CE，在△CEF中由余弦定理，即∴，易求得，∠ECF=45°，CD=DE=3，OD=1，OE=2．以O为原点，以平行于DC的直线为x轴，以直线DE为y轴，建立如图空间直角坐标系O ﹣xyz，则，C（3，﹣1，0），E（0，2，0），F（3，5，0），设G（3，t，0），﹣1≤t≤5，则，，设平面BEG的一个法向量为，则由，得，取，得．平面DEG的一个法向量，∴．为使锐二面角B﹣EG﹣D的余弦值为，只需，解得，此时．∴G（3，，0）．即所求的点G为线段CF的靠近C端的四分之一分点．2016年12月10日。