垂线及其性质

149垂线的概念与性质知识点：垂线的定义：两直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，那么就称这两条直线相互垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.垂直的表示：用“⊥”和直线字母表示垂直,a、b互相垂直, 垂足为O，则记为：a⊥b或b⊥a. 垂线的性质：1.经过直线或直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直.2.连接直线外一点与直线上各点的所在线段中，垂线段最短.注：⑴两条直线垂直是两直线相交的特殊情况，特殊在它们所交的角是直角.⑵线段与线段、射线与线段、射线与射线的垂直，都是指它们所在的直线互相垂直.⑶垂线与垂线段的区别：垂线是一条直线，不可度量；垂线段是一条线段，可度量.经典例题：例题1．下列判断错误的是（）.A.一条线段有无数条垂线；B.过线段AB中点有且只有一条直线与线段AB垂直；C.两直线相交所成的四个角中，若有一个角为90°，则这两条直线互相垂直；D.若两条直线相交，则它们互相垂直.答案：D.解析：本题应在正确理解垂直的有关概念下解题，知道垂直是两直线相交时有一角为90°的特殊情况，反之，若两直线相交则不一定垂直.故选：D.例题2 如图，三条直线相交于点O．若CO⊥AB，∠1=56°，则∠2等于（）A． 30°B． 34°C． 45°D． 56°答案：B．解析：根据垂线的定义求出∠3，然后利用对顶角相等解答．解：∵CO⊥AB，∠1=56°，∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣56°=34°，∴∠2=∠3=34°．故选B．例题3 如图，∠PQR等于138°，SQ⊥QR，QT⊥PQ．则∠SQT等于（）A． 42°B． 64°C． 48°D． 24°答案：A．解析：利用垂直的概念和互余的性质计算．解：∵∠PQR等于138°，QT⊥PQ，∴∠PQS=138°﹣90°=48°，又∵SQ⊥QR，∴∠PQT=90°，∴∠SQT=42°．故选A．例题4如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，点P是边BC上的动点，则AP长不可能是（）A． 2.5 cm B． 3 cm C． 4 cm D． 5 cm答案：A．解析：利用垂线段最短分析．解：已知，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，根据垂线段最短，可知AP的长不可小于3，当P和C重合时，AP=3，故选A．例题5已知如图，AO⊥BC，DO⊥OE,若∠COE=35°，则∠AOD的度数是（）．A．30° B．35° C．40°D． 45°答案：B．解析：已知AO⊥BC，DO⊥OE，就是已知∠DOE=∠AOB=∠AOC=90°，利用同角或等角的余角相等，从而得到相等的角．由（1）知，∠AOD=∠EOC，故可求解．解：（1）∵AO⊥BC，DO⊥OE，∴∠DOE=∠AOB=∠AOC=90°，∠BOD+∠AOD=90°，∠AOD+∠AOE=90°，∠AOE+∠COE=90°，∴∠DOA=∠EOC，∠DOB=∠AOE，∠AOB=∠AOC，∠AOB=DOE，∠AOC=∠DOE；∠AOD=∠EOC=35°．∴∠AOD的度数是35°．故选：B．。

垂线的判定定理是几何学中的一个重要概念，它涉及到直线与平面之间的垂直关系。

在三维空间中，垂线是指直线与平面相交，并且与平面内的任意一条直线都垂直的直线。

以下是一些关于垂线的判定定理：
1. 定义判定定理：如果一条直线与平面内的任意两条相交直线都垂直，那么这条直线与该平面垂直。

2. 性质定理：
- 性质定理1：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线垂直于平面内的所有直线。

- 性质定理2：经过空间内一点，有且只有一条直线垂直于已知平面。

- 性质定理3：如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。

- 性质定理4：垂直于同一平面的两条直线平行。

3. 三垂线定理：在平面几何中，如果一条直线与平面内的一条斜线的影子垂直，那么这条直线与斜线垂直。

4. 平行线公理：在欧几里得几何中，如果两条直线在同一平面内，且任意一条直线与平面内的另一条直线都垂直，则这两条直线平行。

5. 垂线段定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段是最短的。

这些定理是解决与垂线相关的问题的基础，并且在几何学的学习和应用中非常重要。

在实际应用中，这些定理可以帮助我们判断直线的垂直关系，解决诸如建筑设计、工程测量和立体几何分析等问题。

什么是垂直线的定义及其性质一、关键信息1、垂直线的定义：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。

2、垂直线的性质垂线段最短。

在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

二、详细内容11 垂直线的定义阐述垂直线是数学中一个基础且重要的概念。

当两条直线相交，其夹角为 90 度时，这两条直线就被定义为互相垂直。

这种垂直关系具有明确的几何特征和重要的应用价值。

111 垂直关系的判定判断两条直线是否垂直，可以通过测量它们相交形成的角度。

如果角度准确为 90 度，则两条直线垂直。

在实际应用中，也可以利用几何图形的特点和相关定理来判定垂直关系。

112 垂直线在坐标系中的表现在平面直角坐标系中，两条直线的斜率乘积为－1 时，这两条直线互相垂直。

这为通过代数方法研究垂直线提供了便利。

12 垂直线的性质分析121 垂线段最短这一性质在解决几何问题和实际生活中的最短路径问题中经常用到。

从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短。

例如，在点与直线的所有连线中，垂线段的长度是最短的。

122 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直这个性质强调了垂直关系的唯一性。

给定一条直线和一个点，在同一平面内，只能作出一条直线与已知直线垂直于该点。

123 垂直线性质的应用垂直线的性质在建筑设计、工程测量、地图绘制等领域有着广泛的应用。

例如，在建筑中，确保墙壁与地面垂直，以保证结构的稳定性；在工程测量中，利用垂直线来确定准确的高度和距离。

13 垂直线与其他几何概念的关系131 垂直线与平行线垂直线和平行线是两种不同的位置关系。

平行线是指在同一平面内永远不相交的直线，而垂直线则是相交且夹角为 90 度的特殊情况。

132 垂直线与三角形在三角形中，直角三角形的两条直角边互相垂直。

此外，垂线定理在证明三角形全等和相似等方面也有重要作用。

133 垂直线与四边形在矩形、正方形等特殊四边形中，相邻的边互相垂直，这是这些图形的重要特征之一。

三角形中垂线定理三角形中垂线定理是三角形的重要性质之一，它描述了三角形中垂线的特性。

垂线是从一个点到另一条直线上的垂直线段，它与该直线交于一个垂足。

三角形中垂线定理指出：三角形的三条垂线交于一个点，且该点到三个顶点的距离相等。

让我们来看一下垂线的定义和性质。

在平面几何中，垂线是指从一个点到另一条直线上的垂直线段。

垂线的特点是与直线交于一个垂足，并且与直线垂直。

垂线可以用于解决很多几何问题，特别是在三角形中。

在一个三角形中，每条边都可以画出一条垂线。

根据三角形中垂线定理，这三条垂线交于一个点，我们称之为垂心。

垂心是三角形内部的一个特殊点，它到三个顶点的距离相等。

三角形中垂心的性质有很多，下面我们来详细讨论一下。

第一个性质是垂心到三个顶点的距离相等。

也就是说，垂心到三个顶点的线段长度相等。

这可以通过垂心的定义和垂线的性质得出。

第二个性质是垂心到三条边的距离乘积相等。

也就是说，垂心到三条边的距离之积等于垂心到三个顶点的距离之积。

这个性质可以通过相似三角形和垂线的性质证明。

第三个性质是垂心到三条边的距离之和最小。

也就是说，垂心到三条边的距离之和是最小的。

这个性质可以通过三角不等式和垂线的性质证明。

第四个性质是垂心到三个顶点的线段与三条边的交点分别在一条直线上。

也就是说，垂心到三个顶点的线段与三条边的交点分别在一条直线上。

这个性质可以通过共线性和垂线的性质证明。

三角形中垂线定理的应用非常广泛。

它可以用于解决各种与三角形有关的问题。

例如，可以利用垂心的性质来确定三角形的形状、大小和位置关系，计算三角形的面积和周长，以及解决一些几何问题。

除了垂心，三角形还有两个与垂心相关的特殊点，它们分别是重心和外心。

重心是三角形三条中线的交点，它到三个顶点的距离相等。

外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。

总结起来，三角形中垂线定理是三角形的重要性质之一，它描述了三角形中垂线的特性。

垂线是从一个点到另一条直线上的垂直线段，它与该直线交于一个垂足。

沪科版数学（2012 审定）七年级下册垂线及其性质第2 课时教学设计临泉县高塘镇中心校张程第2课时垂线及其性质教学目标：1.理解并掌握垂线的概念及性质，了解点到直线的距离; 2 .能够运用垂线的概念及性质进行运算并解决实际问题.教学过程:一、情境导入如图是教室的一幅图片，黑板相邻两边的夹角等于多少度？这样的两条边所在的直线有什么二、合作探究 探究点一：垂线的概念 【类型一】 运用垂线的概念求角度如图，直线 BC 与MN 相交于点 0, A0丄BC,/ B0E =/ NOE,若/ EON= 20°，求/ A0M解析：要求/ AOM 的度数，可先求它的余角•由已知/ EON= 20°,结合/ BOE =/ NOE ,即可求得/ BON.再根据对顶角相等即可求得； 要求/ NOC 的度数，根据邻补角的定义即可. 解：•••/ BOE =/ NOE ,； / BON = 2 / EON= 2X 20°= 40°,；/ NOC = 180 ° —/ BON =180 ° — 40°= 140 °，/ MOC =/ BON = 40° . •/ AO 丄 BC ,；/ AOC = 90°,A / AOM = / AOC-/ MOC = 90°— 40°= 50°,A / NOC = 140°，/ AOM = 50° .方法总结：（1）由两条直线互相垂直可以得出这两条直线相交所成的四个角中，每一个角都 等于90°;⑵在相交线中求角度，一般要利用垂直、对顶角相等、余角、补角等知识. 【类型二】 运用垂线的概念判定两直线垂直如图所示，已知 0A 丄0C 于点0,/ AOB =/ COD,试判断OB 和0D 的位置关系，并说明 理由.（重点、难点）位置关系?和/ NOC 的度数..4两条直线的夹角等于 90° • 探究点二：垂线的画法如图，平面上有三点 A 、B 、C.弘 (1)画直线AB ,画射线BC 不写作法，下同); ⑵过点A 画直线BC 的垂线，垂足为 G ;过点A 画直线AB 的垂线，交射线 BC 于点H.解析：根据垂线的画法“一落、二过、三画”画图即可.【类型一】 点到直线的距离的运用如图，AC 丄 BC, AC = 3, BC = 4, AB = 5.(1)试说出点A 到直线BC 的距离，点B 到直线AC 的距离;⑵点C 到直线AB 的距离是多少？你能求出来吗?解析：⑴点A 到直线BC 的距离就是线段 AC 的长；点B 到直线AC 的距离就是线段 BC 的长;⑵ 过点C 作CD 丄AB ,垂足为D.点C 到直线AB 的距离就是线段 CD 的长，可利用面积求得.解析：由于 OA 丄OC,根据垂直的定义，可知/ AOC = 90°,即/ AOB +/ BOC = 90°，又/AOB =/ COD,则/ COD+/ BOC= 90°，即/ BOD = 90°,再根据垂直的定义，得出 OB 丄OD.解：OB 丄OD ，理由如下：因为 OA 丄OC,所以/ AOC = 90°，即/ AOB +/ BOC = 90 •因为/ AOB =/ COD,所以/ COD +/ BOC = 90°，所以/ BOD = 90°，所以 OB 丄 OD. 方法总结：由垂直这一条件可得两条直线相交构成的四个角为直角, 反过来，由两条直线相交构成的角为直角，可得这两条直线互相垂直.判断两条直线垂直最基本的方法就是说明这解：如图所示.过”是指使三角板的另一条直角边过已知点;“三画”是指沿已知点所在的直角边画直线.方法总结：“一落、解：（1）点A 到直线BC 的距离是3，点B 到直线AC 的距离是4;⑵过点C 作CD 丄AB,垂足为D.三角形ABC 的面积=12BC?AC = 12AB?CD,所以5CD = 3X 4, 所以CD = 125.所以点C 到直线AB 的距离为125.方法总结：点到直线的距离是过这一点作已知直线的垂线, 的距离. 【类型二】“垂线段最短”的实际运用如图所示，修一条路将 A , B 两村庄与公路 MN 连起来，怎样修才能使所修的公路最短? 画出线路图，并说明理由.fiM C A/方法总结：与垂线段有关的作图，一般是过一点作已知直线的垂线，作图的依据是 最短”. 三、板书设计1.垂线的概念两条直线相交所成的 4个角中，如果有一个角是直角时， 就说这两条直线互相垂直，其中一 条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.2 .垂线的作法3 •垂线的性质 过一点有且只有一条直线垂直于已知直线.在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短.4 •点到直线的距离 四、课堂小结:本节课学习了垂线的概念和垂线的性质， 垂直是相交的一种特殊情况，要说明两条相交线的位置关系，一般都是垂直•垂线的两条性质中，不要遗漏条件“在同一平面内” 理的精确性.对于垂线的概念和性质，要让学生理解记忆垂线段的长度才是这一点到直线解析：连接AB ,过点B 作BC 丄MN 即可.解:连接AB,作BC 丄MN , C 是垂足, 线段AB 和BC 就是符合题意的线路图. 因为从A 到B ,线段AB 最短，从B 到MN ，垂线段JiBC 最短，所以AB + BC 最短.“垂线段，以保证定。

垂线段知识点总结一、垂线段的定义垂线段是指一个线段与另一个线段交点为90度的线段。

在平面内，如果两条线段的交点形成一个直角，则这两条线段互相垂直，即它们是垂直线段。

二、垂线段的性质1. 互相垂直：如果一条线段与另一条线段垂直，则这两条线段互相垂直。

2. 垂线段的斜率：如果两条线段互相垂直，它们的斜率乘积为-1。

3. 垂线段的长度：如果两条线段互相垂直，它们的长度符合勾股定理，即a²+b²=c²。

三、垂线段的求解1. 已知两个点坐标求垂线段：如果已知直线上两个点的坐标，可求垂线段的斜率，然后用斜率在垂线段上求解。

2. 已知线段斜率求垂线段：如果已知直线的斜率，可求垂线段的斜率，然后用斜率在垂线段上求解。

四、垂线段的相关定理1. 直线的倾斜度为k，沿着其斜率为-k的直线方向，这两条直线互为垂线段。

2. 如果一线段垂直于一平面，则这个线段与平面相交的直线的两个直线也互相垂直。

3. 如果在一个三角形内，两条垂直的边，则他们的第三边是斜边，他们可能构成直角三角形。

根据勾股定理，直角三角形的斜边的长度就是垂直边的长度乘以2次方再加上水平边的长度的2次方。

五、垂线段的应用1. 解决几何问题：在解决几何问题中，垂线段的性质可以帮助我们解决很多有关角度和距离的问题。

2. 实际应用：垂线段在地图绘制、建筑设计、工程测量等领域有着广泛的应用。

比如在建筑设计中，垂线段可以帮助我们确定建筑物的水平、垂直方向，确保建筑物的稳定和美观。

总之，垂线段是平面几何学中一个重要的概念，它有着丰富的性质和应用。

掌握垂线段的定义、性质和相关定理，对于我们理解和解决几何问题有着重要的意义。

希望通过本篇知识点总结，能够让读者对垂线段有更深入的理解，并能够灵活运用垂线段的知识解决实际问题。

七年级下册数学知识点垂线垂线作为一种基本的图形要素，在数学中应用广泛。

在七年级下册数学学习中，垂线是必须要掌握的重要知识点。

本文将就垂线的概念、性质和应用等方面进行介绍，以便给七年级下学生提供有用的帮助。

一、垂线的概念垂线是从一点到一条给定直线的线段，且这个线段与给定直线垂直。

可简单理解为一条竖直的线段。

在学习垂线的时候，我们需要了解一下两个相关概念：垂线段和垂足。

垂线段指垂线与原直线的交点所连接的线段，而垂足指垂线与原直线的交点。

这两个概念在后续的学习中会经常出现。

二、垂线的性质1.垂线的长度是不变的不论你在给定的直线上选择哪个点来作垂线，它的长度都是相同的，因为所有的垂线都是垂直于给定直线的。

这需要我们在实际计算中注意。

2.相交直线的垂线是垂直的对于两条相交的直线，它们的垂线必定相互垂直。

因为垂直的定义就是两线段夹角为90度，而垂线恰好和直线垂直，它们的夹角自然为90度。

3.垂足在线段的中点在同一直线上作一条垂线，那么垂足一定在该线段的中点。

这是因为垂线恰好垂直于该线段，而在该线段的中点悬空之处其实并不存在具体的角度，所以是垂足的理想位置。

三、垂线的应用垂线在数学中是一个十分重要的概念，常常用在解决几何问题中。

1.垂线的应用于求解三角形的面积我们可以通过连接三角形的一个顶点和对边的垂线，将原三角形分为两个小三角形和一个矩形，从而求解三角形的面积。

2.垂线的应用于求解两个直线之间的距离我们可以通过向两个直线各作一条垂线，并连接这两条垂线的垂线段，从而求解出这两条直线之间的距离。

3.垂线的应用于解决线段间的垂直问题对于不在同一直线上的两条线段，我们可以通过连接它们的垂线来判断它们是否互相垂直。

如果垂线互相垂直，则两条线段也互相垂直。

四、总结垂线是七年级下册数学学习中重要的知识点，它可以被应用于各种不同的几何问题。

在学习垂线的过程中，需要掌握垂线的概念和性质，并能够灵活运用垂线来解决实际问题。

希望通过本文的介绍，能够对七年级下学生深入理解垂线有所帮助。

一、垂线的性质性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

性质2：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

简称：垂线段最短。

二、垂线的定义：1.两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。

其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

2.直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”)，读作“AB 垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）。

三、垂直的判定：垂线的定义。

四、垂线的画法1.画垂线有两种情况，一种是已知一条直线，过这个直线之外的一个点画这个直线的垂线；另一种情况是已知一条直线，过这个线上的某一点作这个直线的垂线。

这两种情况画垂线都需要用到工具，有直尺、直角三角尺还有笔。

2.第一种情况，首先把直尺放好，直尺的一条边要和已知的那条直线重合，然后把直角三角尺的其中一个直角边靠在直尺上，保持三角尺的另一个边和直尺垂直的情况下，慢慢移动直角三角尺，直到直线外的某一点和直尺三角尺的另一条边重合，最后沿着直角三角尺的另一条边过直线外的那一点画出来直线，这条直线就是那条已知直线的垂线。

3.第二种情况，也是要先把直尺作为一个标准放好，直尺的一条边要和已知的直线重合在一起，把直角三角形的一个直角边靠在直尺上，保持直尺不动，直角三角尺慢慢移动，直到直角三角尺的顶点和已知的那个点重合，沿着直角三角尺的另一条直角边过已知的点画一条直线，这条直线就是要画的垂线。

五、线线垂直的性质和判定定理如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直。

线线垂直是指两条线是垂直关系，分为平面两直线垂直和空间两直线垂直两种。

平面两直线垂直：两直线垂直→斜率之积等于1；两直线斜率之积等于1→两直线垂直。

空间两直线垂直：所成角是直角，两直线垂直。

六、线面垂直的判定方法⑴定义(反证法);⑵判定定理:⑶b⊥α,a∥ba⊥α; （线面垂直性质定理）⑷α∥β,a⊥βa⊥α（面面平行性质定理）;⑸α⊥β，α∩β=l，a⊥l，a β a⊥α（面面垂直性质定理）。