1 解三角形中的边角互换导学提纲 班级: 姓名: 小组: 评价: 学习目标：1．在三角形中考查三角函数式变换，是近几年高考的热点，它是在新的载体上进行的三角变换，因此要时刻注意它重要性：一是作为三角形问题，它必然要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解决问题的思路；其二，它毕竟是三角形变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，是使问题获得解决的突破口。 2．在解三角形时，要注意正弦定理和余弦定理的本质就是揭示了三角形角与边的 关系，利用正余弦定理可将将角换成边，边换成角。 重点：利用正（余弦）定理实现角边互换。 难点：正（余）弦定理的角边互换的灵活运用。 导学流程： 例1．在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若，，则A=( ) （A ） （B ） （C ） （D ） 【命题立意】考查三角形的有关性质、正弦定理、余弦定理以及分析问题、解决问题的能力。 【思路点拨】根据正、余弦定理将边角互化。 【规范解答】选A ，根据正弦定理及得：（角换边） 。 【方法技巧】根据所给边角关系，选择使用正弦定理或余弦定理，将三角形的边转化为角。 例2在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边，且 （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）求的最大值. 【命题立意】考查了正弦定理，余弦定理，考查了三角函数的恒等变换，三角函数的最值。 【思路点拨】（I ）根据正弦定理将已知条件中角的正弦化成边，得到边的关系，再由余弦定 理求角 （II ）由（I ）知角C ＝60°-B 代入sinB+sinC 中，看作关于角B 的函数，进而求出最值 【规范解答】（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得 即 由余弦定理得 故 ，A=120° 22a b -=sin C B =03006001200 150sin C B =c =222222()cos 22b c a c a c A bc bc +---==== 0000180,30A A <∴= 2sin (2)sin (2)sin .a A a c B c b C =+++sin sin B C +22(2)(2)a b c b c b c =+++222a b c bc =++2222cos a b c bc A =+-1cos 2 A =-
三角形中的边角关系 1、 A+B+C=π ， 2C = 2 π-( 2A + 2 B ) 2、 sinC=sin(A+B)， cosC=-cos(A+B) sin 2 C =cos( 2 A +2 B )， cos 2 C =sin( 2 A + 2 B )， tan 2 C =cot( 2 A + 2 B ) sin2C=-sin2(A+B)， cos2C=cos2(A+B) 3、 三角形面积公式 S ?= 12 absinC= 12 bcsinA= 12 casinB p= 12 （a+b+c ） 4、 正弦定理sin sin sin a b c A B C = = =2R sinA ?sinB ? sinC ?a = b ? c sinA= 2a R ，sinB=2b R ，sinC= 2c R a=2RsinA ， b=2RsinB ， c=2RsinC 适用类型：AAS →S ，SSA →A (2,1,0解) 5、余弦定理2222cos a b c bc A =+- 2 2 2 co s 2b c a A b c +-= 适用类型：SSS →A ，SAS →S ，AAS →S(2,1,0解) 5、 判定三角形是锐角直角钝角三角形 设c 为三角形的最大边 2c <2a +2b ??ABC 是锐角三角形 2 c =2 a +2 b ??ABC 是直角三角形 2 c >2 a +2 b ??ABC 是钝角三角形 6、 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1 tan 2 A tan 2 B +tan 2 B tan 2 C +tan 2 C tan 2 A =1 7* 、若三角形三内角成等差数列，则B=3 π 三边成等差数列，则0 线速度、角速度与转速 线速度V就是物体运动的速率。那么物理运动360度的路程为：2πR 这样可以求出它运动一周所需的时间，也就是圆周运动的周期： T=2πR/V 角速度ω就是物体在单位时间内转过的角度。那么由上可知，圆周运动的物体在T （周期）时间内运动的路程为2πR ,也就可以求出它的角速度： ω=2π / T =V / R 线速度与角速度是解决圆周运动的重要工具，解题时要灵活运用。 高一物理公式总结 匀速圆周运动 1.线速度V=s/t=2πR/T 2.角速度ω=Φ/t=2π/T=2πf ω×r=V 3.向心加速度a=V2/R=ω2R＝(2π/T)2r 4.向心力F心＝mV2/r＝mω2r＝mr(2π/T)2＝mωv=F合 5.周期与频率：T＝1/f 6.角速度与线速度的关系：V＝ω r 7.角速度与转速的关系ω＝2 π n (此处频率与转速意义相同) 8.主要物理量及单位：弧长(s):米(m)；角度(Φ)：弧度（rad）；频率（f）：赫（Hz）；周期（T）：秒（s）；转速（n）：r/s；半径(r):米（m）；线速度（V）：m/s；角速度（ω）：rad/s；向心加速度：m/s2。 注： （1）向心力可以由某个具体力提供，也可以由合力提供，还可以由分力提供，方向始终与速度方向垂直，指向圆心； （2）做匀速圆周运动的物体，其向心力等于合力，并且向心力只改变速度的方向，不改变速度的大小，因此物体的动能保持不变，向心力不做功，但动量不断改变。 转速、线速度与角速度： v = (2 π r)/T ω = 2 π/T v = 2 π r/60 ω = 2 πn/60 (T为周期，n为转速，即每分钟物体的转数)参考公式：D1＝√D2＋4TV／3.14 公式中：D1＝当前卷径；D＝前次卷径㎜；T＝料厚μm；V＝线速度m／min。 三角形中的边角关系 知识点 一、 边 1、基本概念（三角形的定义、 边、 顶点、 △、 Rt △） 2、按边对三角形的分类：≠?? ?????? 不等边三角形三角形腰底等腰三角形等边三角形 ☆3、三边关系： （1）任意两边之和大于第三边 （2）任意两边之差小于第三边 验证：两条较短边之和与第三边的关系 二、角 1、基本概念（ 内角、外角、∠ ） 2、按角对三角形的分类：???? ???? 锐角三角形斜三角形三角形钝角三角形直角三角形 3、三角形的内角和 （1）三角形三个内角和等于180° （2)直角三角形的两个锐角互余 （3）一个三角形最多3个锐角，最多1个钝角，最多1个直角，最少2个锐角） 三、线 1、中线 (1) 定义 （2） 重心 （3）中线是线段 （4） 表述方法 2、高线 （1）定义 （2）垂心 (3）高是线段，垂线是直线 （4）表示方法 （5）3种高的画法 3、角平分线 （1）定义 (2)外心 （3）画法 （4）表示方法 四、数三角形的个数 （1）图形的形成过程 （2）三角形的大小顺序 （3）按某一条边沿着一定的方向 （4）固定一个顶点，按照一定的顺序不断变换另外两个顶点去数 基础练习 1、图中有____个三角形；其中以AB 为边的三角形有______________；含∠ACB 的三角形有______________；在△BOC 中，OC 的对角是___________；∠OCB 的对边是___________. 2、用集合来表示“用边长把三角形分类”，下面集合正确的是（ ） A B C D 3、若三角形的三边长分别为3,4，x -1，则x 的取值范围是_________________________ 解三角形中的边角互换导学提纲 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 解三角形中的边角互换导学提纲 班级: 姓名: 小组: 评价: 学习目标：1．在三角形中考查三角函数式变换，是近几年高考的热点，它是在新的载体上进行的三角变换，因此要时刻注意它重要性：一是作为三角形问题，它必然要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解决问题的思路；其二，它毕竟是三角形变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，是使问题获得解决的突破口。 2．在解三角形时，要注意正弦定理和余弦定理的本质就是揭示了三角形角与边的 关系，利用正余弦定理可将将角换成边，边换成角。 重点：利用正（余弦）定理实现角边互换。 难点：正（余）弦定理的角边互换的灵活运用。 导学流程： 例1．在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若223a b bc -=，sin 23sin C B =，则A=( ) （A ）030 （B ）060 （C ）0120 （D ）0150 【命题立意】考查三角形的有关性质、正弦定理、余弦定理以及分析问题、解决问题的能力。 【思路点拨】根据正、余弦定理将边角互化。 【规范解答】选A ，根据正弦定理及sin 23sin C B =得：23c b =（角换边） 2222222()33cos 2222 b c a c a c c bc A bc bc bc +----====Q ，0000180,30A A <∴=Q 。 【方法技巧】根据所给边角关系，选择使用正弦定理或余弦定理，将三角形的边转化为角。 例2在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边，且 2sin (2)sin (2)sin .a A a c B c b C =+++ （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）求sin sin B C +的最大值. 【命题立意】考查了正弦定理，余弦定理，考查了三角函数的恒等变换，三角函数的最值。 【思路点拨】（I ）根据正弦定理将已知条件中角的正弦化成边，得到边的关系，再由余弦定 理求角 （II ）由（I ）知角C ＝60°-B 代入sinB+sinC 中，看作关于角B 的函数，进而求出最值 三角形中的边角关系 一、选择题（每小题3分，共30分） 1、下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（ ） A ．1，1，2 B ．3，7，11 C ．6，8，9 D ．3，3，6 2、下列语句中，不是命题的是（ ） A ．两点之间线段最短 B ．对顶角相等 C ．不是对顶角不相等 D ．过直线AB 外一点P 作直线AB 的垂线 3、下列命题中，假命题是（ ） A ．如果|a|=a ，则a ≥0 B ．如果 ，那么a=b 或a=-b C ．如果ab>0，则a>0，b>0 D ．若，则a 是一个负数 4、若△ABC 的三个内角满足关系式∠B ＋∠C=3∠A ，则这个三角形（ ） A ．一定有一个内角为45° B ．一定有一个内角为60° C ．一定是直角三角形 D ．一定是钝角三角形 5、三角形的一个外角大于相邻的一个内角，则它是（ ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 6、下列命题中正确的是（ ） A ．三角形可分为斜三角形、直角三角形和锐角三角形 B ．等腰三角形任一个内角都有可能是钝角或直角 C ．三角形外角一定是钝角 D ．△ABC 中，如果∠A>∠B>∠C ，那么∠A>60°，∠C<60° 7、若一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，那么相对应的三个外角的度数之比为（ ） A ．3：2：1 B ．5：4：3 C ．3：4：5 D ．1：2：3 8、设三角形三边之长分别为3，8，1－2a ，则a 的取值范围为（ ） A ．－6 学生做题前请先回答以下问题 问题1：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=________，cosA=________，tanA=________． 问题2：在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角A越大，正弦sinA______，余弦cosA______，正切tanA______． 问题3：默写特殊角的三角函数值： 问题4：计算一个角的三角函数值，通常把这个角放在____________中研究，常利用_________或__________两种方式进行处理． 直角三角形的边角关系 一、单选题(共14道，每道7分) 1.式子2cos30°-tan45°-的值是( ) A. B.0 C. D.2 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：特殊角的三角函数值 2.如果△ABC中，，则下列说法正确的是( ) A.△ABC是直角三角形 B.△ABC是等腰三角形 C.△ABC是等腰直角三角形 D.△ABC是锐角三角形 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：特殊角的三角函数值 3.已知为锐角，且，那么的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：锐角三角函数的增减性 4.如图，在Rt△ABC中，tanB=，BC=，则AC等于( ) A.3 B.4 C. D.6 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：解直角三角形 5.在平面直角坐标系中，已知点A（2，1）和点B（3，0），则sin∠AOB的值等于( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：锐角三角函数的定义 6.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，，则斜边上的高为( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 14.1 三角形中的边角关系（1） -------边的关系 1.三角形的概念 2.三角形的表示方法及分类 3.三角形三边之间的关系 1．了解三角形的概念，掌握分类思想。 2．经历探索三角形中的三条边之间的关系，感受几何学中基本图形的内涵。 3．让学生养成有条理的思考的习惯，以及说理有据的意识，体会三角形三边关系在现实生活中的实际价值。 三教学重难点： 1.重点：了解三角形的分类，弄清三角形三边关系 2.难点：对两边之差小于第三边的领悟 四教学准备： 1.教师准备：多媒体课件 2.学生准备：四根小木条 五课时安排： 一节课 六教学过程： （一）创设情境，探究新知 1.请同学们仔细观察一组图片，找出你熟悉的图形三角形，引入课题 我们在日常生活中几乎随处可见三角形，它简单、有趣，也十分有用。三角形可以帮助我们更好地认识周围的世界，可以帮助我们解决很多实际问题……从这一节课开始我们将学习三角形。 （二）合作交流，探究新知 你能画一个三角形吗? 三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形 3.自学指导： 认真看书67页的内容。注意三角形边的表示方法。 并思考下面问题： （1）知道三角形的顶点,边,角等概念,会用几何符号表示一个三角形; （2）会把三角形按边进行分类,知道每类三角形的特征; （3）知道等腰三角形的腰,底边,顶角,底角等概念; 依次向学生介绍有关知识 4.巩固练习（多媒体展示） 5.合作探究三角形的三边关系 有这样的四根小棒（6cm、8cm、12cm、18cm）请你任意的取其中的三根，首尾连接，摆成三角形。 （1）有哪几种取法? （2）是不是任意三根都能摆出三角形？若不是，哪些可以？哪些不可以？ （3）用三根什么样的小棒才能拼成三角形呢?你从中发现了什么？ 小组活动：学生自主探索并合作交流满足怎样的数量关系的三根小棒能组成三角形； 我们可以发现这四根小棒中，如果较短的两根的和不大于最长的第三根，就不能组成三角形。 这就是说：三角形中任何两边的和大于第三边 三角形中任意两边的差与第三边有什么关系?你能根据上面的结论,利用不等式的性质加以说明吗? 三角形中任何两边的差小于第三边 6.讲解例题 例1 ：例：一根木棒长为7，另一根木棒长为2，若要围成三角形，那么则第三根木棒长度应在什么范围呢？ 解：设第三条边长为a cm，则 7－2＜a＜7＋2 即5＜a＜9 结论：其它两边之差< 三角形的一边< 其它两边之和 例2：已知：等腰三角形周长为18cm，如果一边长等于4cm，求另两边的长？ 解（1）设等腰三角形的底边长为4 cm，则腰长为x cm。根据题意，得 x+x+4=18 解方程，得 x=7 三角形基础知识 说明：△ ABC中，角A , B, C的对边分别为a, b, c, p为三角形周长的一半，r为内切圆半径，R为外接圆半径，）h a, h b, %分别为a, b, c边上的高S^ABC表示面积。 1．三角形的定义：三条线段首尾顺次连结所组成的图形,其中各条线段叫做三角形的边,每两条边组成的角叫做三角形的内角（简称三角形的角）． 2．三角形的元素：三角形的边、角、中线、高线、角平分线、周长、面积等都叫三角形的元素．3．确定三角形的条件：在三角形的元素中,边和角叫做三角形的基本元素,其中角确定三角形的形状（定形） ,边确定三角形的大小（定量） ,三角形具有稳定性．确定三角形的条件是：已知三角形的三边（SSS）或两边及其夹角（SAS）或两角及其公 共边（ASA ）或两角与其中一角的对边（AAS）,这也是判断两个三角形全等的主要方法，全等三角形的对应元素都相等．只知三角形的三角大小，不能确定三角形，具有相同大小的三个角的两个三角形是相似关系． 4．三角形的“线”与“心” ： （1）高线、垂心． （2）中线、重心及其的性质、坐标公式、向量公式及其物理意义、中线长定理． （3）中垂线、外接圆、外心． （4）内角平分线、内切圆、内心、内角平分线定理． （5）外角平分线、旁切圆、旁心、外角平分线定理． （6）中位线、中位线定理、中点三角形及其性质． 5．三角形的分类： （1）按边的相等情况分：三边不等的三角形、等腰三角形、等边三角形。 （2）按最大角的情况分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 6．等腰三角形的判定与性质、四线合一 7．等边三角形的判定与性质、四心合一（中心） 8．三角形元素之间的关系： （1）角与角的关系： ①内角和定理、 ②外角定理 ③角的性质：范围、关系. ④最大角、最小角. ⑤锐角三角形中任两角的和 （2）边与边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. （“三胞胎” ）（3）边与角的关系：（“三胞胎”） ①对边与对角的大小关系：在三角形中，大边所对的角也较大，相等两边所对的角也相等， 反之也真. ②正弦定理：在一个三角形中,各边和它所对角的正弦之比都相等,都等于该三角形外接圆的 直径. 《三角形中的边角关系》测试卷 一、选择题 1、三角形的三边分别为3，1-2a,8,则a 的取值范围是（ ） 三角形中边与角之间的不等关系 《三角形中边与角之间的不等关系》教学设计教学目标： 1. 通过 实验探究发现：在一个三角形中边与角之间的不等关系； 2. 通过实验探究和推理论证，发展学生的分析问题和解决问题的能力；通过探索、总结形成利用图形的翻折等变换是解决几何问题常见的策略； 3. 提供动手操作的机会，让学生体验数学活动中充满着探索与创新，激发学生学习几何的兴趣。教学重点：三角形中边与角之间的不等关 系及其探究过程。教学难点：如何从实验操作中得到启示，写成几 何证明的表达。教具准备：三角形纸片数张、剪刀、圆规、三角板等。教学过程一、知识回顾 1. 等腰三角形具有什么性质？ 2. 如何判定一个三角形是等腰三角形？从这两条结论来看，今后要在同 一个三角形中证明两个角相等，可以先证明它们所对的边相等；同样要证明两条边相等可以先证明它们所对的角相等。二、引入新课问题：在三角形中不相等的边所对的角之间又有怎样的大小关系呢？或者不相等的角所对的边之间大小关系又怎样？方法回顾：在探究 “等边对等角”时，我们采用将三角形对折的方式，发现了“在三角形中相等的边所对的角相等”，从而利用三角形的全等证明了这些性质。现在请大家拿出三角形的纸片用类似的方法探究今天的问题。三．探究新知实验与探究1：在△ABC中，如果AB>AC，那么我们可以将△ABC沿∠BAC的平分线AD折叠，使点C落在AB边上的点E处，即AE=AC，这样得到∠AED=∠C，再利用∠AED是△BDE的外角的关系得到∠AED>∠B，从而得到∠C>∠B。由上面的操作过程得到启示， 请写出证明过程。（提示：作∠BAC的平分线AD，在AB边上取点E，使AE=AC，连结DE。）形成结论1：在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大。思考：是否还 有不同的方法来证明这个结论？ 实验与探究2：在△ABC中，如果∠C>∠B，那么我们可以将△ABC沿BC的垂直平分线MN折叠，使点B落在点C上，即∠MCN=∠B,于是MB=MC，这样AB=AM+MB=AM+MC>AC. 由上面的操作过程得到启示，请写出证明过程。 形成结论2：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边 实用文档 3．11 三角形中的边角关系 1．灵活应用正、余弦定理及三角公式进行边角转换； 2．三角形中三角函数求值，恒等式证明. 【典型例题】 例1．在ΔABC 中，（1）已知sin A = cos B cos C ，求证：tan C + tan B = 1； （2）求证： .112cos 2cos 2 2 2 2 b a b B a A - = - （3）求证：a 2－2ac cos(60°+B ) = b 2－2bc cos(60°+ A ). 例2．在ΔABC 中，已知 ,tan tan tan tan c b a B A B A -=+-求证：B 、A 、C 成A ·P . 例3．在ΔABC 中，A :B :C = 4:2:1，证明.111 c b a =+ 例4．在ΔABC 中，三边a 、b 、c 成A ·P ，且.7 42tan =B 试作一个以2 tan ,2tan C A 为根的一元二次方程. 【基础训练】 1．在ΔABC 中，c 4－2(a 2 + b 2)c 2 + a 4 + a 2b 2 + b 4=0，则∠C =_____________. 2．在ΔABC 中，sin 2A + sin 2B = 5sin 2C ，则角C 的范围是____________. 实用文档 3．在ΔABC 中，(a －b )cot =-+-+2 cot )(2cot )(2 B a c A c b c _____________. 4．在ΔABC 中，C = 60°，求证：.2 cos 2B A c b a -=+ 5．在ΔABC 中，a 、b 、c 三边成A ·P ，求证： B ≤60°. 【拓展练习】 1．在ΔAB C 中 b a b a -+等于 （ ） A ． ) sin() sin(B A B A -+ B ． ) tan() tan(B A B A -+ C ． 2 sin 2sin B A B A -+ D ． 2 tan 2tan B A B A -+ 2．在ΔAB C 中，AB = c ，AC = b ，∠A =θ，则角平分线AT 的长度等于 （ ） A ． 2 c b + B ． θcos 2c b bc + C ．bc D ． 2 cos 2θ c b bc + 3．锐角ΔABC 中，sin A 和cos B 的大小关系是 （ ） A ．sin A = cos B B ．sin A < cos B C ．sin A > cos B D ．不能 直角三角形的边角关系知识考点 知识讲解: 1.锐角三角函数的概念 如图，在ABC 中，∠C 为直角，则锐角A 的各三角 函数的定义如下： (1)角A 的正弦：锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ， 即sinA ＝a c (2)角A 的余弦：锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ， 即cosA ＝b c (3)角A 的正切：锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作t an A ， 即t an A ＝a b (4)角A 的余切：锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作c ot A ， 即c ot A ＝b a 2.直角三角形中的边角关系 (1)三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2 (2)锐角之间的关系：A ＋B ＝90° (3)边角之间的关系： sinA ＝cosB ＝a c ， cosA ＝sinB ＝b c t an A ＝c ot B ＝a b ， cot A ＝t an B ＝b a 3.三角函数的关系 (1)同角的三角函数的关系 1)平方关系：sinA2＋cosA2＝1 2)倒数关系：t an A·c ot A＝1 3)商的关系：t an A＝sinA cosA ，c ot A＝cosA sinA (2)互为余角的函数之间的关系 sin(90°－A)＝cosA，cos(90°－A)＝sinA t an(90°－A)＝c ot A， cot(90°－A)＝t an A 4．一些特殊角的三角函数值 5．锐角α的三角函数值的符号及变化规律. (1)锐角α的三角函数值都是正值 (2)若0＜α＜90°则sinα，tanα随α的增大而增大，cosα，cotα随α的增大而减小. 6．解直角三角形 (1)直角三角形中的元素：除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角. (2)解直角三角形：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知的元素的过程叫做解直角三角形. 7．解直角三角形的应用， 解直角三角形的应用，主要是测量两点间的距离，测量物体的高度等，常用到下面几个概念： (1)仰角、俯角 视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角 (2)坡度=坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫做坡度，常用字母i表示， 即i=h l (3)坡角:坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示，则tanα＝i=h l (4)方位角:从某点的指北方向线，按顺时针方向转到目标方向线所成的角. 三角形基础知识 说明：△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，p为三角形周长的一半，r为切圆半径，R为外接圆半径，）h a，h b，h c分别为a，b，c边上的高S△ABC表示面积。1．三角形的定义：三条线段首尾顺次连结所组成的图形，其中各条线段叫做三角形的边，每两条边组成的角叫做三角形的角（简称三角形的角）． 2．三角形的元素：三角形的边、角、中线、高线、角平分线、周长、面积等都叫三角形的元素． 3．确定三角形的条件：在三角形的元素中，边和角叫做三角形的基本元素，其中角确定三角形的形状（定形），边确定三角形的大小（定量），三角形具有稳定性．确定三角形的条件是：已知三角形的三边（SSS）或两边及其夹角（SAS）或两角及其公共边（ASA）或两角与其中一角的对边（AAS），这也是判断两个三角形全等的主要方法，全等三角形的对应元素都相等．只知三角形的三角大小，不能确定三角形，具有相同大小的三个角的两个三角形是相似关系． 4．三角形的“线”与“心”： （1）高线、垂心． （2）中线、重心及其的性质、坐标公式、向量公式及其物理意义、中线长定理．（3）中垂线、外接圆、外心． （4）角平分线、切圆、心、角平分线定理． （5）外角平分线、旁切圆、旁心、外角平分线定理． （6）中位线、中位线定理、中点三角形及其性质． 5．三角形的分类： （1）按边的相等情况分：三边不等的三角形、等腰三角形、等边三角形。 （2）按最大角的情况分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 6．等腰三角形的判定与性质、四线合一 7．等边三角形的判定与性质、四心合一（中心） 8．三角形元素之间的关系： （1）角与角的关系： ①角和定理、 ②外角定理 ③角的性质：围、关系． ④最大角、最小角． ⑤锐角三角形中任两角的和 （2）边与边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．（“三胞胎”）（3）边与角的关系：（“三胞胎”） ①对边与对角的大小关系：在三角形中，大边所对的角也较大，相等两边所对 的角也相等，反之也真． ②正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比都相等，都等于该 三角形外接圆的直径． 高中阶段的解三角形一共有3个定理，正弦定理，余弦定理与三角形的面积公式，没有三角函数的公式多，但是考试时一般会考察这3个定理的变形，必须对这3个定理非常熟悉，才能解题。变形中，最常用的就是“边角互化”，下面重点来介绍一下这个应用。 例1、（2016桂林一模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a,b,c， ，，若b∈[1,3]，则c的最小值为（） A、2 B、3 C、 D、 分析：从题目条件看，第一个式子很明显要进行转化，可以发现此式是关于“边”的齐次式，所以可以把边化成角，也就是a变为sinA，但是，变完之后就会发现，式子麻烦，而 且我们也没见过，，式子越来越复杂，所以放弃； 继续观察，等号左边的分式分子分母都含有这几个角的正弦，但是并不是齐次式，分子是1次，分母是2次，能统一都变了吗？我们可以稍微试一下，先把分子上的正弦变为对应的 边，分母只能变一个，会发现式子变为或者是， 那到底选择哪个呢？我相信同学们已经有判断了，等号左边的分子与余弦定理很像，再联系一下余弦定理，我们知道，肯定选择前面的式子，往余弦定理去扣就可以了。 答案：选择B. 注：齐次式，齐次”从字面上解释是“次数相等”的意思。 例2、（2016重庆校级模拟）在△ABC中，内A、B、C的对边长别是a,b,c，已知 ，且sin(A-C)=2cosAsinC，则b=( ) A、6 B、4 C、2 D、1 分析：本题有2个式子，两个式子都不是齐次式，好像不能变形，所以，很多同学就没有了思路，但是，第2个式子是可以进行化简的，左边的式子进行展开即可，化简为： SinAcosC-cosAsinC=2cosAsinC，所以sinAcosC =3 cosAsinC，此时就可以进行边角互化了，把正弦值化为边，余弦值也化为边，可以得到边之间的关系， ，化简可得：，与第一个式子联立，可以 得出b值。答案：选择C. 三角形边角关系及三线练习题 典型例题 【例1】已知三角形的三边长分别为 4、5、 x，则x不可能是（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 1.【例2】一个三角形的三条边中有两条边相等，且一边长为4，还有一边长为9，则它 的周长为（） 2. A. 17 B. 22 C. 17或22 D. 13 3.相关变形：一等腰三角形两边长分别为3，5，试求该三角形的周长。 4. 5.等腰三角形中，一个角为50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（） °°°或80°° 【例3】如图SX—02，AD⊥BC，则图中以AD为高的三角形有___________个。 【例4】如图SX—03，已知线段AD、AE分别是△ABC的中线和高线，且AB=5cm，AC=3cm，(1) △ABD与△ACD的周长之差为_________；(2) △ABD与△ACD的面积关系为__________。 【例5】已知△ABC中，给出下列四个条件：(1) ∠A+∠B=∠C; (2) ∠A=90°－∠B; (3) ∠A：∠B：∠C=1：1：2; (4) ∠A：∠B：∠C=1：2：3. 其中能够判定△ABC是直角三角形的有（）个。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【例6】如图SX—04，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AB=13cm，BC=12cm，AC=5cm，求：(1) △ABC的面积；(2) CD的长。 【例7】如图SX—05，△ABC中，∠B、∠C的平分线交于点P，且∠BPC=130°，求∠BAC SX—02 SX—03 SX—04 的度数。 相关变形：一个零件的形状如图SX —05-1 所示，按规定∠BAC=90°，∠B=21°，∠C=20°，检验工人量得∠BDC=130°，于是断定这个零件不合格。运用所学知识说明零件不合格的理由。 【例8】 如图SX —06，AD 是△ABC 的边BC 上的高，AE 是△BAC 的平分线，若∠B=53°，∠C=77°，求∠DAE 的度数。 学习自评 一、选择题 1. 有下列长度的三条线段，能构成三角形的是（ ) 2. A. 1cm 、2cm 、3cm B. 1cm 、4cm 、2cm 3. C. 2cm 、3cm 、4cm D. 6cm 、2cm 、3cm 4. 一个三角形的两边长为3和7，且第三边为整数，这样的三角形的周长的最小值是（ ） 5. A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 6. 如图SX —07，△ABC 的边BA 延长得∠1 ，若∠2 ＞∠l ，则△ABC 的形状为（ ) 7. A. 钝角三角形 B. 直角三角形 8. C. 锐角三角形 D. 无法确定 9. 一个三角形的三个内角互不相等，则它的最大角不小于（ ） 10. A. 45° B. 60° C. 90° D. 120° 11. △ABC 中，如果∠A －∠B =90°，那么△ABC 是（ ) 12. A.直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角三角形或钝角三角形 二、填空题 13. 在△ABC 中，AB=4，BC=9，则AC 的取值范围是________________。 14. 如图SX —08，求下列各图中的∠α。 15. (1) ∠α=________；(2) ∠α=________；(3) ∠α=________。 16. 已知∠A 、∠B 、∠C 是△ABC 的三个内角。(1)如果∠A=90°，∠C = 55°，那么∠B ＝ ______；(2)如果∠C=4∠A ，∠A ＋∠B =100°，那么∠A =______ ，∠B=______。 17. 如图SX —10，将等边三角形剪去一个角后，∠1+∠2=________。 SX —07 SX —08 SX —10 初一几何——三角形的边角关系（一） 【学习目标】 1． 根据三角形、多边形内角和定理计算较复杂图形中的相关角度。 2． 充分利用三角形三边关系解决相关问题。 3． 学会并掌握双垂直图形。 【知识库】 1、三角形的边：三角形三边定理：三角形两边之和大于第三边 即：△ABC 中，a+b>c,b+c>a,c+a>b （两点之间线段最短） 由上式可变形得到： a>c －b ，b>a －c ，c>b －a 即有：三角形的两边之差小于第三边 2、高：由三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。 3、中线：连接三角形的顶点和它对边的中点的线段，称为三角形的中线 【规律探索】 （北京市竞赛题）如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则∠A 与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）． A ．∠A ＝∠1＋∠2 B ．2∠A ＝∠1＋∠2 C ．3∠A ＝2∠1＋∠2 D ．3∠A ＝2（∠1＋∠2） 变式：想一想，如果当点A 落在四边形BCDE 外部时，∠A 与∠1、∠2之间又有什么数量关系呢？试画出图形并说明。 【题型精讲】 重难点一：三角形的面积。 例一：如图，△ACB 中，∠ACB =90°，∠1=∠B ． 若AC =8，BC =6，AB =10，则CD 的长为 ． 例二：如图，等腰三角形ABC 中，两腰AB =AC ，点P 在底边BC 上任意一点，求证：点P 到两腰的距离之和等于等腰三角形腰上的高。（要求画出草图再求证） 拓展延伸：已知等边△ABC 和点P ，设点P 到△ABC 三边的AB 、AC 、BC 的距离分别是h 1，h 2，h 3，△ABC 的高为h ，请你探索以下问题： （1）若点P 在一边BC 上（图1），此时h 3=0，问h 1、h 2与h 之间有怎样的数量关系？请说明理由； （2）若当点P 在△ABC 内（图2），此时h 1、h 2、h 3与h 之间有怎样的数量关系？请说明理由； （3）若点P 在△ABC 外（图3 ），此时h 1、h 2、h 3与h 之间有怎样的数量关系？请说明理由 重难点二：三角形的三边关系 例三：已知三角形三边分别为2，a -1，4，那么a 的取值范围是( ) A.11 2 (AB +AC ) 练习： 1、已知a 、b 、c 是ΔABC 的三边长，化简|a +b - c |-|a -b - c | B A C P 角形中的边角关系 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】 三角形基础知识 说明：△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，p为三角形周长的一半，r 为内切圆半径，R为外接圆半径，）h a，h b，h c分别为a，b，c边上的高S△ABC表示面积。 1．三角形的定义：三条线段首尾顺次连结所组成的图形，其中各条线段叫做三角形的边，每两条边组成的角叫做三角形的内角（简称三角形的角）． 2．三角形的元素：三角形的边、角、中线、高线、角平分线、周长、面积等都叫三角 形的元素． 3．确定三角形的条件：在三角形的元素中，边和角叫做三角形的基本元素，其中角确定三角形的形状（定形），边确定三角形的大小（定量），三角形具有稳定性．确定三角形的条件是：已知三角形的三边（SSS）或两边及其夹角（SAS）或两角及其公共边（ASA）或两角与其中一角的对边（AAS），这也是判断两个三角形全等的主要方法，全等三角形的对应元素都相等．只知三角形的三角大小，不能确定三角形，具有相同大小的三个角的两个三角形是相似关系． 4．三角形的“线”与“心”： （1）高线、垂心． （2）中线、重心及其的性质、坐标公式、向量公式及其物理意义、中线长定理．（3）中垂线、外接圆、外心． （4）内角平分线、内切圆、内心、内角平分线定理． （5）外角平分线、旁切圆、旁心、外角平分线定理． （6）中位线、中位线定理、中点三角形及其性质． 5．三角形的分类： （1）按边的相等情况分：三边不等的三角形、等腰三角形、等边三角形。 （2）按最大角的情况分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 6．等腰三角形的判定与性质、四线合一 7．等边三角形的判定与性质、四心合一（中心） 8．三角形元素之间的关系： （1）角与角的关系： ①内角和定理、 ②外角定理 ③角的性质：范围、关系． ④最大角、最小角． ⑤锐角三角形中任两角的和 （2）边与边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．（“三胞胎”） （3）边与角的关系：（“三胞胎”） ①对边与对角的大小关系：在三角形中，大边所对的角也较大，相等两边所 对的角也相等，反之也真． ②正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比都相等，都等于 该三角形外接圆的直径． 解三角形中边角互化策略的应用 1.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，求证： 解法1： 解法2： 解法3：因为 所以 所以 2．(2011·四川卷)在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是________． 分析：由正弦定理得 所以 所以 又 所以 3. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(3b －c )·cos A ＝a cos C ，则cos A 的值等于________． 分析：由正弦定理得 22 2sin()sin A B a b C c --=sin()sin cos cos sin cos cos sin sin A B A B A B a B b A C C c ---==222222 22222cos cos 22a c b b c a ac B bc A a b c c c +-+----===2222 2221cos 21cos 2sin sin 22sin sin A B a b A B c C C -----==22cos 2cos 22sin()sin()sin()2sin 2sin sin B A B A B A A B C C C --+--= ==222222 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B =+-=+-22222cos 2cos a b b a bc A ac B -=--+222cos cos sin cos sin cos sin()sin sin a b a B b A A B B A A B c c C C ----===222a b c bc ≤+-222 bc b c a ≤+-2221cos 22b c a A bc +-=≥(0,)A π∈03A π < ≤sin )cos sin cos B C A A C -=线速度、角速度与转速-速度和转速
(完整word版)沪科版八年级数学三角形中的边角关系
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