高三物理万有引力定律及其应用复习
一、教材分析：
1、《课程标准》的要求及解读：
2、《2012年考试说明》要求：
3、考向预测：
⑴、万有引力定律在天体中的应用，如分析人造卫星的运行规律、计算天体的质量和密度等，是高考必考内容。近几年以天体问题为背景的信息给予题，备受专家的青睐，特别是近几年中国及世界上空间技术的飞速发展，另一个方面还可以考察学生从材料中获取“有效信息”的能力，一般以选择题的形式出现。
⑵、应用万有引力定律解决实际问题，虽然考点不多，但需要利用这个定律解决的习题题型多，综合性强，涉及到的题型以天体运动为核心，如变轨问题、能量问题、估算天体质量或平均密度问题，核心是万有引力提供向心力和常用的黄金代换式：2gR GM 二、学情分析
1、通过对直线运动、曲线运动的学习，学生对牛顿运动定律及运动和力间的关系有了一定
的认知，已经掌握了用牛顿运动定律解决问题的基本方法，已经基本具备深入探究和应用万有引力定律的基本能力。
2、经过对万有引力定律的复习，有利于学生加深对牛顿运动定律的理解，训练学生的推理能力、探究能力，认识发现万有引力定律的重要意义。感悟学家的猜想、推理、顿悟源于不断的积累、思考。
3、但是还是有一部分同学对该部分内容掌握的不是太牢，还存在理解上的误区，须进一步加强指导；还有就是，万有引力定律的应用，是本部分内容复习的重点、难点，学生还是存在眼高手低的现象，需加强这方面的练习。
三、教学目标
1、理解万有引力定律及其公式表达。
2、知道天体运动中的向心力是由万有引力提供的，能根据万有引力定律公式和向心力公式进行有关的计算。
3、理解万有引力定律在天文学中的应用(天体质量的测量、卫星的发射、宇宙速度)
4、通过习题教学培养学生应用物理规律解决实际问题的能力。
5、通过万有引力定律的学习，知道宇宙万物的普遍关系，培养学生辩证唯物主义的思想观点。
四、教学策略
1、教学思路:
本节教学可在学生预习的基础上，主要采取讨论与交流的方式进行。物理教学不仅要重视真实的实验，也要重视头脑中进行的思维实验（理想实验）。通过自主学习、讨论与交流的方式。可以充分调动每个学生思考的积极性。这节课的主要思路是：先对开普勒运动定律、万有引力定律等基础知识内容进行复习，之后对万有引力定律的应用进行归纳、总结，然后辅以例题、练习，加深理解。
2、重点、难点分析：
这一部分内容的重点、难点就是万有引力的应用，为了突出、突破这一重点、难点，主要通过对这一部分内容进行系统的复习，进行归纳总结，学生加深对万有引力定律的理解；通过例题和练习，培养学生的解决问题的能力，提升学生的实战技能。
五、教学重、难点
万有引力定律在天文学中的应用。
六、教学方法
讨论交流法、讲授法、分析推理法、归纳总结法。
七、教学过程
【基础知识】
（一）、开普勒运动定律
1、开普勒第一定律：
所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。
2、开普勒第二定律：
对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等。
3、开普勒第三定律：
所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。
（二）、万有引力定律
1、内容：
宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体间的引力大小，跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比。
2、公式：
221r
m m G F =，其中2211/1067.6kg m N G ??=-，称为有引力恒量。 3、适用条件：
严格地说公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也可近似使用，但此时r 应为两物体重心间的距离。对于均匀的球体，r 是两球心间的距离。
注意：万有引力定律把地面上的运动与天体运动统一起来，是自然界中最普遍的规律之一，式中引力恒量G 的物理意义是：G 在数值上等于质量均为1千克的两个质点相距1米时相互作用的万有引力。
（三）、宇宙速度及其意义
1、三个宇宙速度：
第一宇宙速度： s km v /9.71=
第二宇宙速度： s km v /2.112=
第三宇宙速度： s km v /9.163=
2、宇宙速度的意义
当发射速度v 与宇宙速度分别有如下关系时，被发射物体的运动情况将有所不同 ⑴、当1v v <时，被发射物体最终仍将落回地面；
⑵、当21v v v <≤时，被发射物体将环绕地球运动，成为地球卫星；
⑶、当32v v v <≤时，被发射物体将脱离地球束缚，成为环绕太阳运动的“人造行星”； ⑷、当3v v >时，被发射物体将从太阳系中逃逸。
【考点突破】
（一）、万有引力定律在天文学上的应用
1、讨论天体运动规律的基本思路
（1）、天体的运动近似为匀速圆周运动，万有引力提供其做圆周运动的向心力。在高考试题中，应用万有引力定律解题的知识常集中于两点：一是天体运动的向心力 于天体之间的万有引力，即22
2r v m r Mm G =＝r T
m 224πr m 2ω=；二是地球对物体的万有引力近似等于物体的重力，即mg R
mM G
=2从而得出2gR GM =。 （2）、圆周运动的有关公式： T πω2=， r v ω=。 2、常见题型
（1）、测天体的质量及密度：（万有引力全部提供向心力） 由r T m r Mm G 222??
? ??=π 得2324GT r M π= 又ρπ?=334R M 得3
233R GT r πρ= 【例1】中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，观测到它的自转周期为s T 30
1=。问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定，不致因自转而瓦解。计算时星体可视为均匀球体。(引力常数2311/1067.6s kg m G ??=-)
解析：设想中子星赤道处一小块物质，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体所需的向心力时，中子星才不会瓦解。
设中子星的密度为ρ，质量为M ，半径为R ，自转角速度为ω，位于赤道处的小物块质
量为m ，则有
R m R GMm 22ω= T πω2= ρπ33
4R M = 由以上各式得23GT πρ=，代入数据解得：314/1027.1m kg ?=ρ。 （2）、卫星变轨问题： ①、当物体做匀速圆周运动时，r
v m F F 2
==需供。 ②、需供F F 时，物体做离心运动。当v 增大时，所需向心力r
v m 2
增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，克服引力做功，重力势能增加。但卫星一旦进入新的轨道运行，由r
GM v =
知其运行速度要减小，但重力势能、机械能均增加。 ③、当需供F F 时，物体做近心运动。当卫星的速度突然减小时，向心力r
v m 2
减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，因此卫星将做向心运动，同样会脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，引力做正功，重力势能减少，进入新轨道运行时由r
GM v =知运行速度将增大，但重力势能、机械能均减少。(卫星的发射和回收就是利用了这一原理)
④、卫星绕过不同轨道上的同一点(切点)时，其加速度大小关系可用ma r
GMm F ==
2比较得出。
【例2】按照我国月球探测活动计划，在第一步“绕月”工程圆满完成任务后，将开展第二步“落月”工程，预计在2013年前完成。假设月球半径为R ，月球表面的重力加速度为0g 。飞船沿距月球表面高度为R 3的圆形轨 道Ⅰ运动，到达轨道的A 点，点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道Ⅱ的近月点B 再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动。下列判断正确的是 ( )
A 、飞船在轨道Ⅰ上的运行速率R g v 0=
B 、飞船在轨道Ⅲ绕月球运动一周所需的时间为02g R π
C 、飞船在A 点点火变轨的瞬间，动能增大
D 、飞船在A 点的线速度大于在B 点的线速度
解析：在轨道Ⅰ上， R v m R GMm 4)4(22=，又20R g GM =，可得： 20R
g v =，A 错误，在
轨道Ⅲ上， R T m R GMm ?=2
224π，可解得：02g R T π=，B 正确；飞船在A 点点火变轨后做向心运动，故点火瞬间其速率变小，动能变小，C 错误；飞船由A 点向B 点运动的过程中，万有引力做正功，速度增大，D 错误。故选B 。
（3）、双星问题：
分析思路：
周期相同：21T T =
角速度相同 ：21ωω=
向心力相同 ：21n n F F =（由于在双星运动问题中，忽略其他星体引力的情况下向心力由双星彼此间万有引力提供，可理解为一对作用力与反作用力）
轨道半径之比与双星质量之比相反：（由向心力相同推导）1221::m m r r =
线速度之比与质量比相反：（由半径之比推导）1221::m m v v =
【例3】两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为R ，其运动周期为T ，求两星的总质量。 解析：设两星质量分别为1M 和2M ，都绕连线上O 点作周期为T 的圆周运动，星球1和星球2到O 的距离分别为1l 和2l 。由万有引力定律和牛顿第二定律及几何条件可得
对1M ： 221R
M M G ＝121)2(l T M π ∴212224GT l R M π= 对2M ： 2222
21)2(l T M R M M G π= ∴222214GT l R M π=
两式相加得23
221222214)(4GT
R l l GT R M M ππ=+=+。 （二）、对人造卫星的认识：
1、人造卫星动力学特征： 万有引力提供向心力，即22
2r v m r Mm G =＝r T
m 224πr m 2ω= 2、人造卫星的v 、ω、T 和向a 与r 的关系： ⑴、由222r
v m r Mm G = 可得：r GM v = r 越大，v 越小。 ⑵、由r m r
Mm G 22ω= 可得：3r GM =ω r 越大，ω越小。 ⑶、由r T m r
Mm G 22)2(π= 可得：GM r T 32π= r 越大，T 越大。 ⑷、由向ma r Mm G =2 可得：2
r GM a =向 r 越大，向a 越小。 3、同步卫星：
地球同步卫星的特点：
（1）、定周期：h T 24=
（2）、定轨道：地球同步卫星在通过赤道的平面上运行，
（3）、定高度：离开地面的高度h 为定值，约为地球轨道半径的6倍。km h 36000=
（4）、定速率：所有同步卫星环绕 地球的速度都相同。s km v /3=
（5）、定 点：每颗卫星都定在世界卫星组织规定的位置上。
4、宇宙速度：
（1）、第一宇宙速度推导：
方法一：人造卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动时，其轨道半径近似等于地球半径R ，其向心力为地球对卫星的万有引力，设地球质量为M .根据万有引力定律和匀速圆周运动的规律可得：R v m R
Mm G 2
2= 解得：s km s m R GM v /9.7/10
37.61089.51067.662411=????==-
方法二：人造卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动时，其轨道半径近似等于地球半径R ，其向心加速度近似等于地面处的重力加速度，设地球质量为M 。根据匀速圆周运动的规律
可得： R
v m mg 2
= 解得：s km s m gR v /9.7/1037.68.96=??==
（2）、人造卫星的发射速度与运行速度
①、发射速度：发射速度是指卫星在地面附近离开发射装置的初速度，一旦发射后再无能量补充，要发射一颗人造地球卫星，发射速度不能小于第一宇宙速度。
②、运行速度：运行速度指卫星在进入运行轨道后绕地球做圆周运动的线速度。当卫星“贴着”地面飞行时，运行速度等于第一宇宙速度，当卫星的轨道半径大于地球半径时，运行速度小于第一宇宙速度。
【例4】可发射一颗人造卫星，使其圆轨道满足下列条件（ ）
A 、与地球表面上某一纬度线（非赤道）是共面的同心圆
B 、与地球表面上某一经度线是共面的同心圆
C 、与地球表面上的赤道线是共面同心圆,且卫星相对地面是运动的
D 、与地球表面上的赤道线是共面同心圆,且卫星相对地面是静止的
解析：卫星绕地球运动的向心力由万有引力提供,且万有引力始终指向地心，因此卫星的轨道不可能与地球表面上某一纬度线（非赤道）是共面的同心圆，故A 是错误的。由于地球在不停的自转，即使是极地卫星的轨道也不可能与任一条经度线是共面的同心圆，故B 是错误的。赤道上的卫星除通信卫星采用地球静止轨道外，其它卫星相对地球表面都是运动的，故C 、D 是正确的。
【例5】同步卫星与地心的距离为r ，运行速率为1v ，向心加速
度为1a ；地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为2a ，第
一宇宙速度为2v ，地球半径为R ，则下列比值正确是 ( )
A 、R r a a =21
B 、 221)(r R a a =
C 、 R r v v =21
D 、 r
R v v =21 解析：本题中涉及三个物体，其已知量排列如下：
地球同步卫星：轨道半径r ，运行速率1v ，加速度1a ；
地球赤道上的物体：轨道半径R ，随地球自转的向心加速度2a ；
近地卫星：轨道半径R ，运行速率2v 。
对于卫星， 其共同特点是万有引力提供向心力，有r v m r
Mm G 2
2=，故r R v v =21
。 对于同步卫星和地球赤道上的物体， 其共同特点是角速度相等，有r a 2ω=，故
R r a a =21。故选D 。
（三）、天体问题为背景的信息给予题
近两年，以天体问题为背景的信息给予题在全国各类高考试卷中频频出现，不仅考查学生对知识的掌握，而且考查考生从材料、信息中获取有用信息以及综合能力。这类题目一般由两部分组成：信息给予部分和问题部分。信息给予部分是向学生提供解题信息，包括文字叙述、数据等，内容是物理学研究的概念、定律、规律等，问题部分是围绕信息给予部分来展开，考查学生能否从信息给予部分获得有用信息，以及能否迁移到回答的问题中来。从题目中提炼有效信息是解决此类问题的关键所在。
【例6】 地球质量为M ，半径为R ，自转角速度为ω。万有引力恒量为G ，如果规定物体在离地球无穷远处势能为0，则质量为m 的物体离地心距离为r 时，具有的万有引力势能可表示为r
Mm G E p -=。国际空间站是迄今世界上最大的航天工程，它是在地球大气层上空绕地球飞行的一个巨大人造天体，可供宇航员在其上居住和 学实验。设空间站离地面高度为h ，如果杂该空间站上直接发射一颗质量为m 的小卫星，使其能到达地球同步卫星轨道并能在轨道上正常运行，由该卫星在离开空间站时必须具有多大的动能？
解析：由r mv r
Mm G 22=得，卫星在空间站上动能为)(2212h R Mm G mv E k +== 卫星在空间站上的引力势能为)
(h R Mm G E P +-= 机械能为)
(21h R Mm G E E E p k +-=+= 同步卫星在轨道上正常运行时有r m r Mm G
22ω= 故其轨道半径32ωGM r =
由上式可得同步卫星的机械能322222
12ωM G m r Mm G E ?-=-= 卫星运动过程中机械能守恒，故离开航天飞机的卫星的机械能应为2E 设离开航天飞机时卫星的动能为kx E 则kx E ＝+?-=-3222221ωM G m E E p h
R Mm G + 【跟踪练习】
1、（09上海8）牛顿以天体之间普遍存在着引力为依据，运用严密的逻辑推理，建立了万有引力定律。在创建万有引力定律的过程中，牛顿
A ．接受了胡克等 学家关于“吸引力与两中心距离的平方成反比”的猜想
B ．根据地球上一切物体都以相同加速度下落的事实，得出物体受地球的引力与其质量成正比，即m F ∝的结论
C ．根据m F ∝和牛顿第三定律，分析了地月间的引力关系，进而得出21m m F ∝
D ．根据大量实验数据得出了比例系数G 的大小
2、（09海南11）在下面括号内列举的 学家中，对发现和完善万有引力定律有贡献的是 。（安培、牛顿、焦耳、第谷、卡文迪许、麦克斯韦、开普勒、法拉第）
3、 (10北京16）一物体静置在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上。已知万有引力常量G ，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为
Ａ． 21)34(G ρπ Ｂ．21)43(ρπG Ｃ．21)(ρπG Ｄ．21
)3(ρ
πG 4 、(10全国Ⅱ 20)已知地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的6倍。若某行星的平均密度为地球平均密度的一半，它的同步卫星距其表面的高度是其半径的2.5倍，则该行星的自转周期约为
A ．6小时 B. 12小时 C. 24小时 D. 36小时
5、（10山东 18）1970年4月24日，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”发射成功，开创了我国航天事业的新纪元。“东方红一号”的运行轨道为椭圆轨道，其近地点M 和远地点N 的高度分别为439km 和2384km ，则
A ．卫星在M 点的势能大于N 点的势能
B ．卫星在M 点的角速度大于N 点的角速度
C ．卫星在M 点的加速度大于N 点的加速度
D ．卫星在N 点的速度大于7.9km/s
6、（11山东17）甲、乙为两颗地球卫星，其中甲为地球同步卫星，乙的运行高度低于甲的运行高度，两卫星轨道均可视为圆轨道。以下判断正确的是
A.甲的周期大于乙的周期
B.乙的速度大于第一宇宙速度
C.甲的加速度小于乙的加速度
D.甲在运行时能经过北极的正上方
7、（11全国19）我国“嫦娥一号”探月卫星发射后，先在“24小时轨道”上绕地球运行（即绕地球一圈需要24小时）；然后，经过两次变轨依次到达“48小时轨道”和“72小时轨道”；最后奔向月球。如果按圆形轨道计算，并忽略卫星质量的变化，则在每次变轨完成后与变轨前相比，
A ．卫星动能增大，引力势能减小
B ．卫星动能增大，引力势能增大
C ．卫星动能减小，引力势能减小
D ．卫星动能减小，引力势能增大
8、（11重庆21）某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆。每过N 年，
该行星会运行到日地连线的延长线上，如题21图所示。该行星与地球的
公转半径比为 A ． 32)1(N N + B ． 32)1(-N N C ． 23)1(N N + D ． 23)1(-N N 9、（11江苏7）一行星绕恒星作圆周运动。由天文观测可得，其运动周期为T ，速度为v ，引力常量为G ，则
A ．恒星的质量为G T v π23
B ．行星的质量为23
24GT
v π C ．行星运动的轨道半径为π2vT D ．行星运动的加速度为T
v π2 八、板书设计：
万有引力定律
一、开普勒行星定律：
1、内容：
二、万有引力定律 2、数学表达式：221r
m m G
F = 3、适用条件：
第一宇宙速度： s km v /9.71=
三、宇宙速度 第二宇宙速度： s km v /2.112=
第三宇宙速度： s km v /9.163
九、课后反思：
1、个人认为成功之处：
我认为本课在定位上还是比较准确的，能抓住学生的特点及当前的课改趋势，而且积极的加入到课改的队伍中。通过自己不断的学习新的教学理论、理念，不断的研究学生的心理、生理特征。从学生的角度去分析问题，一切从学生出发，从学生的需求出发，站在学生的角度去考虑问题。
在设计上能充分的体现本课的教学重点，在难点的处理上作出了自己的设计，力图通过教学突破难点，让学生更好的接受。
在上课的过程中充分的尊重学生，让学生自己思考、讨论、发表自己的见解，不论对错在学生回答问题的时候不打断学生的思路，让学生完整的阐述自己的观点。力图让其他同学予以纠正，最好能在课堂上营造一种在学术上产生争论的氛围，以使学生能够完全被课堂所吸引。从而更积极的投入到课堂中，更高效率的进行学习。
2、对教学的几点担忧：
（1）、以前曾用问题教学法上过三节课，还不能很好的把握课堂的进程，复习时，时间紧，任务重，学生思考的时间很少，不利于学生掌握所学内容。
（2）、从以往学生在课堂上的表现来看，部分同学在上课时精神不太集中，教师讲解内容较多，学生感到枯燥、乏味，教学效果受到影响。
（3）、在课堂上学生主要听教师讲解，很少发表自己的见解，课堂气氛不够活跃。
3、针对可能出现的问题的几点措施：
（1）、在上课的进程中注意时间的分配，把巩固练习放到下一节课中，预留足够的时间。
（2）、课前让学生充分的预习，上课时让学生合上书本。最好在上课时让学生合上书本与教师一起回忆以前所学内容，让学生参与到课堂中来，而不是只当听众。
（3）、设置学生感兴趣的情景，激发学生的学习兴趣。
专题17 万有引力定律与航天 1．如图所示，A 、B 为地球的两个轨道共面的人造卫星，运行方向相同，A 为地球同步卫星，A 、B 卫星的轨道半径的比值为k ，地球自转周期为0T ，某时刻A 、B 两卫星距离达到最近，从该时刻起到A 、B 间距离最远所经历的最短时间为： （ ） A B C D 【答案】C 【名师点睛】星A 、B 绕地球做匀速圆周运动，由开普勒第三定律得出半径与周期的关系，当卫星B 转过的角度与卫星A 转过的角度之差等于π时，卫星相距最远，注意只有围绕同一个中心天体运动才可以使用开普勒第三定律，难度不大，属于基础题． 2．“神舟”五号载人飞船在绕地球飞行的第五圈进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度为h 的圆形轨道S ，已知飞船的质量为m ，地球半径为R ，地面处的重力加速度为g ．则飞船在上述圆轨道上运行的动能k E ： （ ） A ．等于mg （R 十h ）/2 B ．小于mg （R 十h ）/2 C ．大于mg （R 十h ）/2 D ．等于mg h 【答案】B
【名师点睛】运用黄金代换式2 GM gR =求出问题是考试中常见的方法．向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用 3．在空中飞行了十多年的“和平号”航天站已失去动力，由于受大气阻力作用其绕地球转动半径将逐渐减小，最后在大气层中坠毁．若“和平号”航天站每一时刻的飞行都可近似看作圆周运动，在此过程中下列说法不正确的是： （ ） A 航天站的速度将加大 . B ．航天站绕地球旋转的周期加大. C ．航天站的向心加速度加大 . D ．航天站的角速度将增大. 【答案】B 【解析】 根据2 2Mm v G m r r ＝得：v =A 正确．根据 2224Mm r G m r T π＝得：T 知轨道半径减小，周期减小．故B 错误．根据2Mm G ma r ＝得：2GM a r = ，知轨道半径减小，向心加速度增大．故C 正确．根据2 2Mm G m r r ω＝得： ω= ，知轨道半径减小，角速度增大．故D 正确．本题选不正确的，故选B. 【名师点睛】解决本题的关键掌握万有引力提供向心力2222 4Mm v r G ma m m r r T π＝＝＝，会根 据该规律判断线速度、角速度、周期、向心加速度与轨道半径的关系。 4．（多选）通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量。假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量。这两个物理量可以是： （ ）
万有引力公式 线速度 角速度 向心加速度 向心力 两个基本思路 1.万有引力提供向心力：r m r n m ma r T m r m r v m r M G ωππω======22222 2244m 2.忽略地球自转的影响： mg R GM =2 m （2 g R GM =，黄金代换式） 一、测量中心天体的质量和密度 测质量： 1．已知表面重力加速度g ，和地球半径R 。（mg R GM =2m ，则G gR M 2= ） 2．已知环绕天体周期T 和轨道半径r 。(r T m r Mm G 2224π= ，则2 3 24GT r M π=) 3．已知环绕天体的线速度v 和轨道半径r 。（r v m r Mm G 22=，则G r v M 2=） 4．已知环绕天体的角速度ω和轨道半径r 。（r m r Mm G 2 2ω=，则G r M 32ω=） 5．已知环绕天体的线速度v 和周期T 。（T r v π2=,r v m r M G 22m =，联立得G T M π2v 3=） 测密度： 已知环绕天体的质量m 、周期T 、轨道半径r 。中心天体的半径R ，求中心天体的密度ρ 解：由万有引力充当向心力
r T m r Mm G 2224π= 则2 324GT r M π= ——① 又3 3 4R V M πρρ? == ——② 联立两式得：3 23 3R GT r πρ= 当R=r 时，有2 3GT π ρ= 二、星球表面重力加速度、轨道重力加速度问题 1．在星球表面: 2 R GM mg =（g 为表面重力加速度，R 为星球半径） 2．离地面高h: 2 ) (h R GM g m += '（g '为h 高处的重力加速度） 联立得g'与g 的关系： 2 2 )('h R gR g += 三、卫星绕行的向心加速度、速度、角速度、周期与半径的关系 1．ma r M G =2m ，则2 a r M G =（卫星离地心越远，向心加速度越小） 2．r v m r Mm G 2 2=，则r GM v = （卫星离地心越远，它运行的速度越小） 3．r m r Mm G 22ω=，则3r GM =ω（卫星离的心越远，它运行的角速度越小） 4．r T m r Mm G 22 24π=，则GM T 3 2r 4π= （卫星离的心越远，它运行的周期越大）
3232 万有引力定律应用的12种典型案例 万有引力定律不仅是高考的一个大重点，而且是自然科学的一个重大课题，也是同学们最感兴趣的科学论题之一。 特别是我国“神州五号”载人飞船的发射成功，更激发了同学们研究卫星，探索宇宙的信心。 下面我们就来探讨一下万有引力定律在天文学上应用的12个典型案例： 【案例1】天体的质量与密度的估算 下列哪一组数据能够估算出地球的质量 A.月球绕地球运行的周期与月地之间的距离 B.地球表面的重力加速度与地球的半径 C.绕地球运行卫星的周期与线速度 D.地球表面卫星的周期与地球的密度 解析：人造地球卫星环绕地球做匀速圆周运动。月球也是地球的一颗卫星。 设地球的质量为M ，卫星的质量为m ，卫星的运行周期为T ，轨道半径为r 根据万有引力定律： r T 4m r Mm G 22 2π=……①得： 2 32G T r 4M π=……②可见A 正确 而T r 2v π= ……由②③知C 正确 对地球表面的卫星，轨道半径等于地球的半径，r=R ……④ 由于3 R 4M 3 π= ρ……⑤结合②④⑤得： G 3T 2π = ρ 可见D 错误 地球表面的物体，其重力近似等于地球对物体的引力 由2R Mm G mg =得：G g R M 2=可见B 正确
3333 【探讨评价】根据牛顿定律，只能求出中心天体的质量，不能解决环绕天体的质量；能够根据已知条件和已知的常量，运用物理规律估算物理量，这也是高考对学生的要求。总之，牛顿万有引力定律是解决天体运动问题的关键。 【案例2】普通卫星的运动问题 我国自行研制发射的“风云一号”“风云二号”气象卫星的运行轨道是不同的。“风云一号”是极地圆形轨道卫星，其轨道平面与赤道平面垂直，周期为12 h ，“风云二号”是同步轨道卫星，其运行轨道就是赤道平面,周期为24 h 。问：哪颗卫星的向心加速度大哪颗卫星的线速度大若某天上午8点，“风云一号”正好通过赤道附近太平洋上一个小岛的上空，那么“风云一号”下次通过该岛上空的时间应该是多少 解析：本题主要考察普通卫星的运动特点及其规律 由开普勒第三定律T 2 ∝r 3 知：“风云二号”卫星的轨道半径较大 又根据牛顿万有引力定律r v m ma r Mm G 22==得： 2r M G a =，可见“风云一号”卫星的向心加速度大， r GM v = ，可见“风云一号”卫星的线速度大， “风云一号”下次通过该岛上空，地球正好自转一周，故需要时间24h ，即第二天上午8点钟。 【探讨评价】由万有引力定律得：2M a G r = ，v = ω= 2T = ⑴所有运动学量量都是r 的函数。我们应该建立函数的思想。 ⑵运动学量v 、a 、ω、f 随着r 的增加而减小，只有T 随着r 的增加而增加。 ⑶任何卫星的环绕速度不大于7.9km/s ，运动周期不小于85min 。 ⑷学会总结规律，灵活运用规律解题也是一种重要的学习方法。 【案例3】同步卫星的运动 下列关于地球同步卫星的说法中正确的是： A 、为避免通讯卫星在轨道上相撞，应使它们运行在不同的轨道上 B 、通讯卫星定点在地球赤道上空某处，所有通讯卫星的周期都是24h C 、不同国家发射通讯卫星的地点不同，这些卫星的轨道不一定在同一平面上
1．天体运动的分析方法 2．中心天体质量和密度的估算 (1)已知天体表面的重力加速度g和天体半径R G＝mg? (2)已知卫星绕天体做圆周运动的周期T和轨道半径r 1．火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知() A．太阳位于木星运行轨道的中心 B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等 C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方 D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 解析：由开普勒第一定律(轨道定律)可知，太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，A错误；火星和木星绕太阳运行的轨道不同，运行速度的大小不可能始终相等，B错误；根据开普勒第三定律(周期定律)知所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值是一个常数，C正确；对于某一个行星来说，其与太阳连线在相同的时间内扫过的面积相等，不同行星在相同的时间内扫过的面积不相等，D错误．答案：C 2．(2016·郑州二检)据报道，目前我国正在研制“萤火二号”火星探测器．探测器升空后，先在近地轨道上以线速度v环绕地球飞行，再调整速度进入地火转移轨道，最后再一次调整速度以线速度v′在火星表面附近环绕飞行．若认为地球和火星都是质
量分布均匀的球体，已知火星与地球的半径之比为1∶2，密度之比为5∶7，设火星与地球表面重力加速度分别为g′和g，下列结论正确的是() A．g′∶g＝4∶1B．g′∶g＝10∶7 C．v′∶v＝D．v′∶v＝ 解析：在天体表面附近，重力与万有引力近似相等，由G＝mg，M＝ρπR3，解两式得g＝GπρR，所以g′∶g＝5∶14，A、B项错；探测器在天体表面飞行时，万有引力充当向心力，由G＝m，M＝ρπR3，解两式得v＝2R，所以v′∶v＝，C项正确，D 项错． 答案：C 3.嫦娥三号”探月卫星于2013年12月2日1点30分在西昌卫星发射中心发射，将实现“落月”的新阶段．若已知引力常量G，月球绕地球做圆周运动的半径r1、周期T1，“嫦娥三号”探月卫星绕月球做圆周运动的环月轨道(见图)半径r2、周期T2，不计其他天体的影响，则根据题目条件可以() A．求出“嫦娥三号”探月卫星的质量 B．求出地球与月球之间的万有引力 C．求出地球的密度 D.＝ 解析：绕地球转动的月球受力为＝M′r1得T1＝＝.由于不知道地球半径r，无法求出地球密度，C错误；对“嫦娥三号”而言，＝mr2，T2＝，已知“嫦娥三号”的周期和半径，可求出月球质量M′，但是所有的卫星在万有引力提供向心力的运动学公式中卫星质量都约掉了，无法求出卫星质量，因此探月卫星质量无法求出，A错误；已
专题5 万有引力定律 1.（15江苏卷）过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b ”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕.“51 peg b ”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径为 1 20 ，该中心恒星与太阳的质量比约为 A ． 1 10 B ．1 C ．5 D ．10 答案：B 解析：根据2224T r m r GMm π?=，得2 3 24GT r M π=， 所以 14 365201)()(23251351=?=?=）（）（地地日恒T T r r M M . 2.（15北京卷）假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动，已知地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离，那么 A.地球公转周期大于火星的公转周期 B ．地球公转的线速度小于火星公转的线速度 C ．地球公转的加速度小于火星公转的加速度 D ．地球公转的角速度大于火星公转的角速度 答案：D 解析：根据万有引力公式与圆周运动公式结合解题.再由地球环绕太阳的公转半径小于火星环绕太阳的公转半径，利用口诀“高轨、低速、大周期”能够非常快的判断出，地球的轨道 “低”，因此线速度大、周期小、角速度大.最后利用万有引力公式a=2 R GM ,得出地球的 加速度大. 因此为D 选项. 3.（15福建卷）如图，若两颗人造卫星a 和b 均绕地球做匀速圆周运动，a 、b 到地心O 的距离分别为r 1、r 2, 线速度大小分别为v 1 、 v 2.则 （ ） 12. v A v = 12B.v v = 21221C. ()v r v r = 21122 C.()v r v r =
【1】天体的质量与密度的估算 下列哪一组数据能够估算出地球的质量 A.月球绕地球运行的周期与月地之间的距离 B.地球表面的重力加速度与地球的半径 C.绕地球运行卫星的周期与线速度 D.地球表面卫星的周期与地球的密度 解析：人造地球卫星环绕地球做匀速圆周运动。月球也是地球的一颗卫星。 设地球的质量为M ，卫星的质量为m ，卫星的运行周期为T ，轨道半径为r 根据万有引力定律：r T 4m r Mm G 2 22π=……①得：23 2G T r 4M π=……②可见A 正确 而T r 2v π= ……由②③知C 正确 对地球表面的卫星，轨道半径等于地球的半径，r=R ……④ 由于3 R 4M 3 π= ρ ……⑤结合②④⑤得： G 3T 2π = ρ 可见D 错误 球表面的物体，其重力近似等于地球对物体的引力 由2 R Mm G mg =得：G g R M 2= 可见B 正确 【2】普通卫星的运动问题 我国自行研制发射的“风云一号”“风云二号”气象卫星的运行轨道是不同的。“风云一号”是极地圆形轨道卫星，其轨道平面与赤道平面垂直，周期为12 h ，“风云二号”是同步轨道卫星，其运行轨道就是赤道平面,周期为24 h 。问：哪颗卫星的向心加速度大？哪颗卫星的线速度大？若某天上午8点，“风云一号”正好通过赤道附近太平洋上一个小岛的上空，那么“风云一号”下次通过该岛上空的时间应该是多少？ 解析：由开普勒第三定律T 2∝r 3知：“风云二号”卫星的轨道半径较大 又根据牛顿万有引力定律r v m ma r Mm G 2 2==得： 2r M G a =，可见“风云一号”卫星的向心加速度大， r GM v =，可见“风云一号”卫星的线速度大， “风云一号”下次通过该岛上空，地球正好自转一周，故需要时间24h ，即第二天上午8点钟。 【探讨评价】由万有引力定律得：2 M a G r =，v = ω= 2T π = 【3】同步卫星的运动 下列关于地球同步卫星的说法中正确的是： A 、为避免通讯卫星在轨道上相撞，应使它们运行在不同的轨道上 B 、通讯卫星定点在地球赤道上空某处，所有通讯卫星的周期都是24h C 、不同国家发射通讯卫星的地点不同，这些卫星的轨道不一定在同一平面上 D 、不同通讯卫星运行的线速度大小是相同的，加速度的大小也是相同的。
万有引力定律练习题 一．选择题（共8小题） 1．（2018?榆林一模）2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图所示．关于航天飞机的运动，下列说法中不正确的有（） A．在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度 B．在轨道Ⅱ上经过A的动能小于在轨道Ⅰ上经过A的动能 C．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期 D．在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度2．（2018?江西模拟）北斗卫星导航系统由一组轨道高低不同的人造地球卫星组成。高轨道卫星是地球同步卫星，其轨道半径约为地球半径的6.6倍。若某低轨道卫星的周期为12小时，则这颗低轨道卫星的轨道半径与地球半径之比约为（） A．4.2 B．3.3 C．2.4 D．1.6 3．（2018?海南）土星与太阳的距离是火星与太阳距离的6倍多。由此信息可知（） A．土星的质量比火星的小 B．土星运行的速率比火星的小 C．土星运行的周期比火星的小 D．土星运行的角速度大小比火星的大 4．（2018?高明区校级学业考试）如果把水星和金星绕太阳的运动视为匀速圆周运动，如图所示。从水星与金星在一条直线上开始计时，若天文学家测得在相同时间内水星转过的角度为θ1，金星转过的角度为θ2（θ1、θ2均为锐角），则由此条件可求得（）
A．水星和金星绕太阳运动的周期之比 B．水星和金星的密度之比 C．水星和金星表面的重力加速度之比 D．水星和金星绕太阳运动的向心力大小之比 5．（2018?瓦房店市一模）如图所示，“嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道，观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间t通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ弧度，已知万有引力常量为G，则月球的质量是（） A．B．C．D． 6．（2018春?南岗区校级期中）如图，有关地球人造卫星轨道的正确说法有（） A．a、b、c 均可能是卫星轨道B．卫星轨道只可能是a C．a、b 均可能是卫星轨道D．b 可能是同步卫星的轨道7．（2018春?武邑县校级月考）如图所示，假设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0，飞船在距月球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ运动，到达轨道的A点点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动。则（）
五、万有引力 1、开普勒三定律： ⑴开普勒第一定律（轨道定律）：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上 ⑵开普勒第二定律（面积定律）：太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积 ⑶开普勒第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等 对T 1、T 2表示两个行星的公转周期，R 1、R 2表示两行星椭圆轨道的半长轴，则周期定律可表示为32 312221R R T T = 或k T R =3 3，比值k 是与行星无关而只与太阳有关的恒量 【注意】：⑴开普勒定律不仅适用于行星，也适用于卫星，只不过此时k T R =33 ‘ ，比值k ’ 是 由行星的质量所决定的另一恒量。 ⑵行星的轨道都跟圆近似，因此计算时可以认为行星是做匀速圆周运动 ⑶开普勒定律是总结行星运动的观察结果而总结归纳出来的规律，它们每一条都 是经验定律，都是从观察行星运动所取得的资料中总结出来的。 例题：飞船沿半径为R 的圆周绕地球运动，其周期为T ，如果飞船要返回地面，可在轨道上的某一点A 处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动，椭圆和地球表面在B 点相切，如图所示，如果地球半径为R 0，求飞船由A 点到B 点所需要的时间。 解析：依开普勒第三定律知，飞船绕地球做圆周（半长轴和半短轴相等的特殊椭圆）运动时，其轨道半径的三次方跟周期的平方的比值，等于飞船绕地球沿椭圆轨道运动时，其半长轴的三次方跟周期平方和比值，飞船椭圆轨道的半长轴为 2 R R +，设飞船沿椭圆轨道运动的周期一、知识网络 二、 画龙点睛 概念
万有引力定律·典型例题解析 【例1】设地球的质量为M ，地球半径为R ，月球绕地球运转的轨道半径为r ，试证在地球引力的作用下： (1)g (2)(3)r 60R 地面上物体的重力加速度＝ ；月球绕地球运转的加速度＝；已知＝，利用前两问的结果求的值； GM R GM r g 22αα (4)已知r ＝3.8×108m ，月球绕地球运转的周期T ＝27.3d ，计算月球绕地球运转时的向心加速度a ； (5)已知地球表面重力加速度g ＝9.80m/s 2，利用第(4)问的计算结果， 求 的值．α g 解析： (1)略；(2)略； (3)2.77×10-4； (4)2.70×10-3m/s 2 (5)2.75×10-4 点拨：①利用万有引力等于重力的关系，即＝．②利用万有引力等于向心力的关系，即＝．③利用重力等于向心力 G Mm r mg G Mm r m 2 2α 的关系，即mg ＝ma ．以上三个关系式中的a 是向心加速度，根据题目 的条件可以用、ω或来表示．v r r T 2224r 2 π 【例】月球质量是地球质量的 ，月球半径是地球半径的，在21811 38. 距月球表面14m 高处，有一质量m ＝60kg 的物体自由下落． (1)它落到月球表面需用多少时间？ (2)它在月球上的“重力”和质量跟在地球上是否相同(已知地球表面重力
加速度g 地＝9.8m/s 2)？ 解析：(1)4s (2)588N 点拨：(1)物体在月球上的“重力”等于月球对物体的万有引力，设 mg G M m R mg G M m R 22月月月 地地地 ＝．同理，物体在地球上的“重力”等于地球对物体的 万有引力，设＝． 以上两式相除得＝，根据＝可得物体落到月球表 面需用时间为＝＝×＝． 月月g 1.75m /s S gt t 4s 2 2 12 2214 175S g . (2)在月球上和地球上，物体的质量都是60kg ．物体在月球上的“重力”和在地球上的重力分别为G 月＝mg 月＝60×1.75N ＝105N ，G 地＝mg 地＝60×9.8N ＝588N ． 跟踪反馈 1．如图43－1所示，两球的半径分别为r 1和r 2，均小于r ，两球质量分布均匀，大小分别为m 1、m 2，则两球间的万有引力大小为： [ ] A ．Gm 1m 2/r 2 B ．Gm 1m 2/r 12 C ．Gm 1m 2/(r 1＋r 2)2 D ．Gm 1m 2/(r 1＋r 2＋r)2
万有引力定律 典型例题解析 【例1】设地球的质量为M ，地球半径为R ，月球绕地球运转的轨道半径为r ，试证在地球引力的作用下： (1)g (2)(3)r 60R 地面上物体的重力加速度＝ ；月球绕地球运转的加速度＝；已知＝，利用前两问的结果求的值；GM R GM r g 2 2αα (4)已知r ＝3.8×108m ，月球绕地球运转的周期T ＝27.3d ，计算月球绕地球运转时的向心加速度a ； (5)已知地球表面重力加速度g ＝9.80m/s 2，利用第(4)问的计算结果， 求的值．αg 解析： (1)略；(2)略； (3)2.77×10-4； (4)2.70×10-3m/s 2 (5)2.75×10-4 点拨：①利用万有引力等于重力的关系，即＝．②利用万有引力等于向心力的关系，即＝．③利用重力等于向心力G Mm r mg G Mm r m 22α 的关系，即mg ＝ma ．以上三个关系式中的a 是向心加速度，根据题目 的条件可以用、ω或来表示．v r r T 2224r 2π
【例】月球质量是地球质量的，月球半径是地球半径的，在2181138. 距月球表面14m 高处，有一质量m ＝60kg 的物体自由下落． (1)它落到月球表面需用多少时间？ (2)它在月球上的“重力”和质量跟在地球上是否相同(已知地球表面重力加速度g 地＝9.8m/s 2)？ 解析：(1)4s (2)588N 点拨：(1)物体在月球上的“重力”等于月球对物体的万有引力，设 mg G M m R mg G M m R 22月月月地地地＝．同理，物体在地球上的“重力”等于地球对物体的 万有引力，设＝． 以上两式相除得＝，根据＝可得物体落到月球表面需用时间为＝＝×＝．月月g 1.75m /s S gt t 4s 2212 2214175S g . (2)在月球上和地球上，物体的质量都是60kg ．物体在月球上的“重力”和在地球上的重力分别为G 月＝mg 月＝60×1.75N ＝105N ，G 地＝mg 地＝60×9.8N ＝588N ． 跟踪反馈 1．如图43－1所示，两球的半径分别为r 1和r 2，均小于r ，两球质量
高考物理万有引力定律的应用技巧和方法完整版及练习题含解析 一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用 1．一名宇航员到达半径为R 、密度均匀的某星球表面，做如下实验：用不可伸长的轻绳拴一个质量为m 的小球，上端固定在O 点，如图甲所示，在最低点给小球某一初速度，使其绕O 点在竖直面内做圆周运动，测得绳的拉力大小F 随时间t 的变化规律如图乙所示．F 1、F 2已知，引力常量为G ，忽略各种阻力．求： （1）星球表面的重力加速度； （2）卫星绕该星的第一宇宙速度； （3）星球的密度． 【答案】（1）126F F g m -=（212()6F F R m -(3) 128F F GmR ρπ-= 【解析】 【分析】 【详解】 （1）由图知：小球做圆周运动在最高点拉力为F 2，在最低点拉力为F 1 设最高点速度为2v ，最低点速度为1v ，绳长为l 在最高点：2 22mv F mg l += ① 在最低点：2 11mv F mg l -= ② 由机械能守恒定律，得 221211222 mv mg l mv =?+ ③ 由①②③，解得1 2 6F F g m -= （2） 2 GMm mg R = 2GMm R =2 mv R 两式联立得：12()6F F R m -
（3）在星球表面：2 GMm mg R = ④ 星球密度：M V ρ= ⑤ 由④⑤，解得12 8F F GmR ρπ-= 点睛：小球在竖直平面内做圆周运动，在最高点与最低点绳子的拉力与重力的合力提供向心力，由牛顿第二定律可以求出重力加速度；万有引力等于重力，等于在星球表面飞行的卫星的向心力，求出星球的第一宇宙速度；然后由密度公式求出星球的密度． 2．a 、b 两颗卫星均在赤道正上方绕地球做匀速圆周运动，a 为近地卫星，b 卫星离地面高度为3R ，己知地球半径为R ，表面的重力加速度为g ，试求： （1）a 、b 两颗卫星周期分别是多少？ （2） a 、b 两颗卫星速度之比是多少？ （3）若某吋刻两卫星正好同时通过赤道同--点的正上方，则至少经过多长时间两卫星相距最远？ 【答案】（1 ）2 ，16（2）速度之比为2 【解析】 【分析】根据近地卫星重力等于万有引力求得地球质量，然后根据万有引力做向心力求得运动周期；卫星做匀速圆周运动，根据万有引力做向心力求得两颗卫星速度之比；由根据相距最远时相差半个圆周求解； 解：（1）卫星做匀速圆周运动，F F =引向， 对地面上的物体由黄金代换式2 Mm G mg R = a 卫星 2 224a GMm m R R T π= 解得2a T =b 卫星2 2 24·4(4)b GMm m R R T π= 解得16b T = （2）卫星做匀速圆周运动，F F =引向， a 卫星2 2a mv GMm R R =
万有引力与航天重点规律方法总结 一.三种模型 1．匀速圆周运动模型： 无论是自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可看成质点，围绕中心天体（视为静止）做匀速圆周运动 2．双星模型： 将两颗彼此距离较近的恒星称为双星,它们相互之间的万有引力提供各自 转动的向心力。 3.“天体相遇”模型： 两天体相遇，实际上是指两天体相距最近。 二.两种学说 1.地心说：代表人物是古希腊科学家托勒密 2/日心说：代表人物是波兰天文学家哥白尼 三.两个定律 1.开普勒定律： 第一定律（又叫椭圆定律）：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆 的一个焦点上 第二定律（又叫面积定律）：对每一个行星而言，太阳和行星的连线，在相等时间内扫 过相同的面积。 第三定律（又叫周期定律）：所有行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴R 的三次方跟公 转周期T 的二次方的比值都相等。 表达式为：)4(2 23 π GM K K T R == k 只与中心天体质量有关的 定值与行星无关 2.牛顿万有引力定律 1687年在《自然哲学的数学原理》正式提出万有引力定律 ⑴.内容:宇宙间的一切物体都是相互吸引的.两个物体间引力的方向在它们的连线上,引力的大小跟它们的质量的乘积成正比,跟它们之间的距离的二次方成反比. ⑵.数学表达式: r F Mm G 2 =万 ⑶.适用条件: a.适用于两个质点或者两个均匀球体之间的相互作用。（两物体为均匀球体时，r 为两球心间的距离） b. 当0→r 时，物体不可以处理为质点，不能直接用万有引力公式计算 c. 认为当0→r 时，引力∞→F 的说法是错误的 ⑷．对定律的理解 a.普遍性：任何客观存在的有质量的物体之间都有这种相互作用力 b.相互性：两个物体间的万有引力是一对作用力和反作用力，而不是平衡力关系。 c.宏观性：在通常情况下万有引力非常小，只有在质量巨大的星球间或天体与天体附 近的物体间,它的存在才有实际意义. d.特殊性:两个物体间的万有引力只与它们本身的质量、它们之间的距离有关.与所在 空间的性质无关,与周期及有无其它物体无关. （5）引力常数G ：
“万有引力定律”的典型例题 例5 【例1】假如一个作圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍，仍作圆周运动，则 [ ] A．根据公式v=ωr，可知卫星运动的线速度将增大到原来的2倍 D．根据上述选答B和C中给出的公式，可知卫星运动的线速度将 【分析】人造地球卫星绕地球作匀速圆周运动时，由地球对它的引力作向心力，即 卫星运动的线速度
当卫星的轨道半径增大为原来的2倍时，由于角速度会发生变化， 错，D正确． 同理，当卫星的轨道半径增大为原来的2倍时，由于线速度的变化，卫星所需的向心力不是减为原来的1/2，而是减小到原来的1/4．B错，C正确． 【答】C、D． 【说明】物体作匀速圆周运动时，线速度、角速度、向心加速度、向心力和轨道半径间有一定的牵制关系．例如，只有当ω不变时，线速度才与半径成正比；同样，当线速度不变时，同一物体的向心力才与半径成反比．使用中不能脱离条件． 研究卫星的运动时，最根本的是抓住引力等于向心力这一关系． 【例2】估算天体的质量 【解】把卫星（或行星）绕中心天体的运动看成是匀速圆周运动，由中心天体对卫星（或行星）的引力作为它绕中心天体的向心力．根据 得 因此，只需测出卫星（或行星）的运动半径r和周期T，即可算出中心天体的质量M．
【例3】登月飞行器关闭发动机后在离月球表面112km的空中沿圆形轨道绕月球飞行，周期是120.5min．已知月球半径是1740km，根据这些数据计算月球的平均密度．（G=6.67×10-11Nm2／kg2） 【分析】要计算月球的平均密度，首先应求出质量M．飞行器绕月球做匀速圆周运动的向心力是由月球对它的万有引力提供的． 【解】根据牛顿第二定律有 从上式中消去飞行器质量m后可解得 根据密度公式有 【例4】如图1所示，在一个半径为R、质量为M的均匀球体中， 连线上、与球心相距d的质点m的引力是多大？ 【分析】把整个球体对质点的引力看成是挖去的小球体和剩余部分对质点的引力之和，即可得解．
万有引力定律知识点 班级： 姓名： 一、三种模型 1、匀速圆周运动模型：无论自然天体还是人造天体都可以看成质点，围绕中心天体做匀速圆周运动。 2、双星模型：将两颗彼此距离较近的恒星称为双星，它们相互之间的万有引力提供各自转动的向心力。 3、“天体相遇”模型：两天体相遇，实际上是指两天体相距最近。 二、两种学说 1、地心说：代表人物是古希腊科学托勒密 2、日心说：代表人物是波兰天文学家哥白尼 三、两个定律 第一定律（椭圆定律）：所有行星绕太阳的运动轨道都是椭圆，太阳位于椭圆的每一个焦点上。 第二定律（面积定律）：对每一个行星而言，太阳和行星的连线，在相等时间内扫过相同的面积。 第三定律（周期定律）：所有行星绕太阳运动的椭圆轨道半长轴R 的三次方跟公转周期T 的二次方的比值都相等。 （表达式 ） 四、基础公式 线速度：v ==== 角速度：== == 向心力：F=m =m(2r=m(2 )2r= m(2)2r=m =m 向心加速度：a= = (2r= (2)2r= (2 )2r== 五、两个基本思路 1．万有引力提供向心力：ma r T m r m r v m r M G ====22 2224m πω 2.忽略地球自转的影响： mg R GM =2m （2g R GM =，黄金代换式） 六、测量中心天体的质量和密度 测质量： 1．已知表面重力加速度g ，和地球半径R 。（mg R GM =2m ，则G gR M 2=）一般用于地球 2．已知环绕天体周期T 和轨道半径r 。(r T m r Mm G 2224π= ，则2 3 24GT r M π=) 3．已知环绕天体的线速度v 和轨道半径r 。（r v m r Mm G 22=，则G r v M 2=） 4．已知环绕天体的角速度ω和轨道半径r （r m r Mm G 22ω=，则G r M 32ω=） 5．已知环绕天体的线速度v 和周期T （T r v π2=,r v m r M G 22m =，联立得G T M π2v 3=） 测密度：
第1讲万有引力定律及天体运动 A组基础题组 1.(2015陕西第一次质检)(多选)许多科学家对物理学的发展作出了巨大贡献,也创造出了许多物理学方法,如理想实验法、控制变量法、极限思想法、建立物理模型法、类比法和科学假说法,等等。以下关于物理学史和所用物理学方法的叙述正确的是( ) A.卡文迪许巧妙地运用扭秤测出引力常量,采用了放大法 B.伽利略为了说明力是维持物体运动的原因用了理想实验法 C.在不需要考虑物体本身的形状和大小时,用质点来代替物体的方法叫假设法 D.在推导匀变速直线运动位移公式时,把整个运动过程划分成很多小段,每一小段近似看做匀速直线运动,然后把各小段的位移相加之和代表物体的位移,这里采用了微元法 2.(2015北京丰台一模,15)假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0、在赤道的大小为g,地球自转的周期为T,则地球的半径为( ) A. B. C. D. 3.(2014浙江理综,16,6分)长期以来“卡戎星(Charon)”被认为是冥王星唯一的卫星,它的公转轨道半径r1=19 600 km,公转周期T1=6.39天。2006年3月,天文学家新发现两颗冥王星的小卫星,其中一颗的公转轨道半径r2=48 000 km,则它的公转周期T2最接近于( ) A.15天 B.25天 C.35天 D.45天 4.(2015江西南昌一模,16)木星是太阳系中最大的行星,它有众多卫星,观察测出:木星绕太阳做圆周运动的半径为r1、周期为T1;木星的某一卫星绕木星做圆周运动的半径为r2、周期为T2。已知引力常量为G,则( ) A.可求出太阳与木星间的万有引力 B.可求出太阳的密度 C.可求出木星表面的重力加速度 D.= 5.(2015湖北武汉调研,18)(多选)“超级地球”是指围绕恒星公转的类地行星。科学家们发现有3颗不同质量的“超级地球”环绕一颗体积比太阳略小的恒星公转,公转周期分别为4天、10天和20天。根据上述信息可以计算( ) A.3颗“超级地球”运动的线速度之比
第五讲 万有引力定律重点归纳讲练 知识梳理 考点一、万有引力定律 1. 开普勒行星运动定律 （1） 第一定律（轨道定律）：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 （2） 第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。 （3） 第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期二次方的比值都相等，表达式： k T a =23 。其中k 值与太阳有关，与行星无关。 （4） 推广：开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳运转，也适用于卫星绕地球运转。当卫星绕行星旋转时，k T a =2 3 ，但k 值不同，k 与行星有关，与卫星无关。 （5） 中学阶段对天体运动的处理办法： ①把椭圆近似为园，太阳在圆心；②认为v 与ω不变，行星或卫星做匀速圆周运动； ③k T R =2 3 ，R ——轨道半径。 2. 万有引力定律 （1） 内容：万有引力F 与m 1m 2成正比，与r 2 成反比。 （2） 公式：2 21r m m G F =，G 叫万有引力常量，2211 /10 67.6kg m N G ??=-。 （3） 适用条件：①严格条件为两个质点；②两个质量分布均匀的球体，r 指两球心间的距离；③一个均匀球体和球外一个质点，r 指质点到球心间的距离。 （4） 两个物体间的万有引力也遵循牛顿第三定律。 3. 万有引力与重力的关系 (1) 万有引力对物体的作用效果可以等效为两个力的作用，一个是重力mg ，另一个是物体随地球自转所需的向心力f ，如图所示。 ①在赤道上，F=F 向+mg ，即R m R Mm G mg 22 ω-=； ②在两极F=mg ，即mg R Mm G =2 ；故纬度越大，重力加速度越大。 由以上分析可知，重力和重力加速度都随纬度的增加而增大。 (2) 物体受到的重力随地面高度的变化而变化。在地面上，2 2 R GM g mg R Mm G =?=；在地球表面高度为h 处： 22)()(h R GM g mg h R Mm G h h +=?=+，所以g h R R g h 2 2 ) (+=，随高度的增加，重力加速度减小。 考点二、万有引力定律的应用——求天体质量及密度 1．T 、r 法：2 3 2224)2(GT r M T mr r Mm G ππ=?=，再根据3 23 33,34R GT r V M R V πρρπ=?== ，当r=R 时，2 3GT πρ= 2．g 、R 法：G g R M mg R Mm G 22 = ?=，再根据GR g V M R V πρρπ43,3 43=?== 3．v 、r 法：G rv M r v m r Mm G 2 22 =?=
禁止流通，仿冒必究 2013届曲靖一中物理一轮复习新题分类汇编: 万有引力定律及应用 基础知识 一.开普勒运动定律 (1)开普勒第一定律：所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上． (2)开普勒第二定律：对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等． (3)开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等． 二.万有引力定律 (1)内容：宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体间的引力大小，跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比． (2)公式：F ＝G 2 21r m m ,其中2211/1067.6kg m N G ??=-，称为为有引力恒量。 (3)适用条件：严格地说公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也可近似使用，但此时r 应为两物体重心间的距离．对于均匀的球体,r 是两球心间的距离． 注意：万有引力定律把地面上的运动与天体运动统一起来，是自然界中最普遍的规律之一，式中引力恒量G 的物理意义是：G 在数值上等于质量均为1千克的两个质点相距1米时相互作用的万有引力． 三、万有引力和重力 重力是万有引力产生的，由于地球的自转，因而地球表面的物体随地球自转时需要向心力．重力实际上是万有引力的一个分力．另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心力，如图所示，由于纬度的变化，物体做圆周运动的向心力F 向不断变化，因而表面物体的重力随纬度的变化而变化，即重力加速度g 随纬度变化而变化，从赤道到两极逐渐增大．通常的计算中因重力和万有引力相差不大，而认为两者相等，即m 2g ＝G 2 21r m m , g=GM/r 2 常用来计算星球表面重力加速度的大小，在地球的同一纬度处，g 随物体离地面高度的增 大而减小，即g h =GM/（r+h ）2，比较得g h =（ h r r +）2·g 在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力F 向和m 2g 刚好在一条直线上，则有
万有引力定律的推导及完美之处 现在由开普勒第一定律来求行星所受的力的量值。既然轨道为椭圆，我们就可把轨道方程写为 1cos P r e θ=+ 或1cos e P P μθ=+ 把这关系式1cos e P P μθ=+代入比耐公式 2222()d F h d m μμμθ+=- ，就得到 222222 22()d mh h m F mh d P P r μμμμθ=-+=-=- 这表明行星所受力是引力，且与距离平方成反比。 乍一看来，似乎不需要开普勒第三定律就已经能推出胡克的万有引力公式。其实不然，我们并不能把 22h m F P r =-化成22k m F r =-，因为式22h m F P r =-中的h 和P 对每一个行星来讲都具有不同的数值（2r h θ=，1r μ=，P 为椭圆曲线正焦弦长度的一半），而式中的2k 是一个与行星无关的常数。 开普勒第一定律：行星绕太阳作椭圆运行，太阳位于椭圆的一个焦点上。 开普勒第二定律：行星和太阳之间的连线，在相等的时间内所扫过的面积相等。 开普勒第三定律：行星公转的周期的平方和轨道半长轴的立方成正比。 为了能把22h m F P r =-化为 22k m F r =-，就得利用开普勒第三定律，由行星公转的周期得 22324T P a h π= 虽然h 和P 都是和行星有关的常数，但根据开普勒第三定律中2 3T a 是与行星无关的常数，可以得到2P h （或2 h P ）是一个与行星无关的常数（即跟行星质量无关，而是由太阳决定了行 星轨道的性质）。因而可以令22h k P =，我们就可以把22h m F P r =-化为 22k m F r =-， 即 2222h m k m F P r r =-=-
万有引力定律·典型例题解析 【例1】设地球的质量为M ，地球半径为R ，月球绕地球运转的轨道半径为r ，试证在地球引力的作用下： (1)g (2)(3)r 60R 地面上物体的重力加速度＝ ；月球绕地球运转的加速度＝；已知＝，利用前两问的结果求的值； GM R GM r g 22αα (4)已知r ＝3.8×108m ，月球绕地球运转的周期T ＝27.3d ，计算月球绕地球运转时的向心加速度a ； (5)已知地球表面重力加速度g ＝9.80m/s 2，利用第(4)问的计算结果， 求 的值．α g 解析： (1)略；(2)略； (3)2.77×10-4； (4)2.70×10-3m/s 2 (5)2.75×10-4 点拨：①利用万有引力等于重力的关系，即＝．②利用万有引力等于向心力的关系，即＝．③利用重力等于向心力 G Mm r mg G Mm r m 2 2α 的关系，即mg ＝ma ．以上三个关系式中的a 是向心加速度，根据题目 的条件可以用、ω或来表示．v r r T 2224r 2 π 【例】月球质量是地球质量的 ，月球半径是地球半径的，在21811 38. 距月球表面14m 高处，有一质量m ＝60kg 的物体自由下落． (1)它落到月球表面需用多少时间？ (2)它在月球上的“重力”和质量跟在地球上是否相同(已知地球表面重力
加速度g 地＝9.8m/s 2)？ 解析：(1)4s (2)588N 点拨：(1)物体在月球上的“重力”等于月球对物体的万有引力，设 mg G M m R mg G M m R 22月月月 地地地 ＝．同理，物体在地球上的“重力”等于地球对物体的 万有引力，设＝． 以上两式相除得＝，根据＝可得物体落到月球表 面需用时间为＝＝×＝． 月月g 1.75m /s S gt t 4s 2 2 12 2214 175S g . (2)在月球上和地球上，物体的质量都是60kg ．物体在月球上的“重力”和在地球上的重力分别为G 月＝mg 月＝60×1.75N ＝105N ，G 地＝mg 地＝60×9.8N ＝588N ． 跟踪反馈 1．如图43－1所示，两球的半径分别为r 1和r 2，均小于r ，两球质量分布均匀，大小分别为m 1、m 2，则两球间的万有引力大小为： [ ] A ．Gm 1m 2/r 2 B ．Gm 1m 2/r 12 C ．Gm 1m 2/(r 1＋r 2)2 D ．Gm 1m 2/(r 1＋r 2＋r)2