关于“方程根的存在性问题”
“方程根的存在性问题”是考研数学试题的一个大热门，而一般考生都只是把他与“闭区间上连续函数的介值定理”相联系，这是不太全面的．其实这类问题有时可以和微分中值定理或函数极值存在的必要条件联系起来．
归结起来，解决“方程根的存在性问题”一般可根据如下三个定理：
【定理1】（闭区间上连续函数性质）若函数)(x f 在],[b a 上连续，0)()(≤b f a f ，则方程0)(=x f 在],[b a 上必有解．
【定理2】（罗尔定理）函数)(x f 在],[b a 上连续，),(b a 内可导，且)()(b f a f =，则方程0)(='x f 在),(b a 内必有解．
【定理3】（函数极值存在的必要条件）若函数)(x f 在),(b a 内可导，且有极值)],()[(b a c c f ∈，则0)(='c f ．
通过下面三个例子，就足以说明“方程根的存在性问题”只与“闭区间上连续函数的介值定理”相联系，是不太全面的．
【例1】设实数常数1321,,,,+n a a a a 满足01321=+++++n a a a a ，试证明方程0)1(3212321=++++++n n x a n x a x a a 在)1,0(内一定有解．
【例2】设函数)(x f 和)(x g 在],[b a 上连续，试证明方程??=x
a b
x t t f x g t t g x f d )()(d )()(在),(b a 内有解，
【例3】设函数)(x f 在],[b a 上可导，0)(>'+a f ，0)(<'-b f ，试证明方程
0)(='x f 在),(b a 内至少有一个根．
这里根本无法验证“闭区间上方程根存在定理的充分条件”．
下面我们只研究这里的【定理1】的应用，其他问题稍后再议．
在展开讨论之前，首先我们不能说一下，由于有些问题会涉及到有界开区间、无穷区间或无界函数的问题，所以我们还应该理解对应的很多定理．下面仅举出其中的某几个，在做试卷解答时，他们都是可以直接引用的．
【定理4】若函数)(x f 在),(b a 上连续，-∞=+)0(a f ，+∞=-)0(b f ，则方程0)(=x f 在),(b a 上必有解．
【定理5】若函数)(x f 在),(+∞-∞上连续，若0)()(≤+∞-∞f f ，则方程0)(=x f 必有实数解．
对于函数给得很具体，给出的区间也很具体的问题，应该不会是很难的，所以我们这
里只讨论需要作辅助和需要确定方程根存在区间的问题．
【例4】若)(x f 是连续函数，试证明存在不超过1的正数ξ，使)(1ξξf -和)(1ξξf +互为倒数．
【分析】把题意中“)(1
ξξf -和)(1
ξξf +互为倒数”的意思表示成式子就是
1)(1)(1=???
?????+????????-ξξξξf f ，也就是1)(12=-ξξf ，所以有如下两种不同的辅助函数： 一．1)(1)(2--=x f x
x g ，这种情况下)(x g 在]1,0(上连续，必须先求出“极限”+∞=+)0(g ，再利用0)1()1(2≤-=f g 来说明．
二．1)](1[)(2-+=x f x x ?，这种情况下)(x ?在]1,0[上连续，更容易说明其结论．
【例5】若函数)(x f 在]6,0[上连续，且)6()0(f f =，证明
（1）存在]3,0[∈ξ，使)3()(+=ξξf f ；（2）存在]4,0[∈ξ，使)2()(+=ξξf f ；
（3）存在]5,0[∈ξ，使)1()(+=ξξf f ．
【分析与思考】（1）很容易想到作辅助函数)3()()(+-=x f x f x g ，其连续性毋庸置疑，)0()0()3()6()3()3(g f f f f g -=-=-=结论不讲自明．
（2）辅助函数)2()()(+-=x f x f x g 及其连续性还是很容易想到说明的，但是这里
)0()4()6()4()4(f f f f g -=-=与)2()0()0(f f g -=之间的关系不明，
找不到他们之间的联系，就找他们的除了公共部分)0(f 外的差别（差别也是一种联系），)2()4(f f -即
)2(g -，于是可知0)4()2()0(=++g g g ，所以)0(g 、)2(g 、)4(g 不可能同正或同负．
（3）令)1()()(+-=x f x f x g ，则有0)5()4()3()2()1(=++++g g g g g ，
【例6】若常数0>k ，证明对任意确定的实数h ，直线h kx y +=与曲线x y -=e 至少有一个交点．
【分析与思考】由于曲线x y -=e 在上半平面内，而直线h kx y +=是从??
? ??-0,k h 点开始向
上穿过x 轴的，所以可取k h a -=． 辅助函数x h kx x f --+=e )(的连续性是显然的，且0e )(<-=-a a f ．另一方面，由
于0>k ，所以+∞=+∞
→)(lim x f x ．结论也就出来了． 【例7】若)(x f 是周期为)0(>T 的连续周期函数，L 是任意给定的正数，试证明方程)()(L x f x f +=有无穷多个实数解．
【分析与思考】1．如果能证明方程存在一个实数根，根据条件“若)(x f 是连续的周期函数”即可知道方程一定有无穷多个实数根．
2．辅助函数)()()(L x f x f x g +-=的连续性是肯定的，关键是要找到b a ,两点，能使0)()(≤b g a g 成立．
3．为此我们可以联想到利用最值定理，根据“)(x f 在],0[T 上连续”的条件可知“)(x f 在],0[T 上必有最大值点α和最小值点β”
4．取T a -=α，T b +=β是为了保证b a <，且分别是函数)(x f 的最大值点和最小值点．