2002-2003第一学期
一．计算及推导（5*8）
1．已知* 3.141,x x π==，试确定*x 近似x 的有效数字位数。 2．有效数
***1233.105,0.001,0.100
x x x =-==，试确定
***
123
x x x ++的相对误差限。
3．已知
3
()0.50.12f x x x =++，试计算差商[]0,1,2,3f 4．给出拟合三点(0,1),(1,0)A B ==和(1,1)C =的直线方程。 5．推导中矩形求积公式
''
31()()(
)()()224b
a
a b f x dx b a f f b a η+=-+-?
6．试证明插值型求积公式
()()
n
b
i i a
i f x dx A f x =≈∑?
的代数精确度至少是n 次。
7．已知非线性方程()x f x =在区间[],a b
有一实根，试写出该实根的牛顿迭代公式。
8．用三角分解法求解线性方程组
123121022331302x x x ????????????=????????????--??????
二．给出下列函数值表
要用二次插值多项式计算(0.63891)f 的近似值，试选择合适的插值节点进行计算，并说明所选用节点依据。（保留5位有效数字）（12分） 三． 已知方程ln 0x x +=在(0,1)有一实根α
（1）给出求该实根的一个迭代公式，试之对任意的初始近似0(0,1)
x ∈迭代法都
收敛，并证明其收敛性。
（2）
00.5
x =试用构造的迭代公式计算α的近似值n x ，要求3110n n x x ---≤。
四． 设有方程组
112233131232a x b a x b a x b ??????
??????=????????????-??????
当参数a 满足什么条件时，雅可比方法对任意的初始向量都收敛。 写出与雅可比方法对应的高斯赛德尔迭代公式。（12分） 五．用欧拉预估校正法求解初值问题
'2 (00.2)(0)1x y y x y y ?=-≤≤???=?
取h=0.1，小数点后保留5位。（8分）
六．证明求解初值问题 '00
(,)
()y f x y y x y ?=?
=?的如下单步法
12121(,)11(,)22n n n n n n y y K K hf x y K hf x h y K +??=+?
=?
??=++? 是二阶方法。（10分） 七．试证明复化梯形求积公式
1
01
()(()2()()) 2n b
i n a
i h b a
f x dx f x f x f x h n -=-≈++=
∑?
对任意多的积分节点数n+1,该公式都是数值稳定的。（6分）
2003-2004第一学期
一．填空（3*5）
1．近似数*0.231x =关于真值0.229x =有_____-位有效数字。
2
*
x 的相对误差的_______倍。
3．设()f x 可微，求()x f x =根的牛顿迭代公式______。
4．插值型求积公式
()()
n
b
i i a
i f x dx A f x =≈∑?
的代数精确度至少是______次。
5．拟合三点(1,0),(1,3)A B ==和(2,2)C =的常函数是 ________。 二．已知()f x 有如下的数据
试写出满足插值条件()()
i i P x f x =以及'(2)'(2)P f =的插值多项式()P x ，并写出
误差的表达形式。
三．（1）用复化辛浦森公式计算1
x e dx
?为了使所得的近似值有6位有效数字，问
需要被积函数在多少个点上的函数值？
（2）取7个等距节点（包括端点）用复化辛浦森公式计算7
21
lg x xdx
?，小数点
后至少保留4位。
四．曲线3
y x =与1y x =-在点（0.7，0.3）附近有一个交点(,)x y ，试用牛顿迭
代公式计算x 的近似值n x ，要求3110n n x x ---≤ 五． 用雅可比方法解方程组
123122*********x x x -??????
??????=??????????????????
是否对任意的初始向量(0)
x 都收敛，为什么？取(0)
(0,0,0)T x
=，求出解向量的近
似向量，要求满足(1)()6
13
max 10k k i i i x x +-≤≤-≤。
六．用校正一次的欧拉预估校正格式求解初值问题
'2+1 (0)0y y y ?=?
=?
的解函数在0.6x =处的近似值，要求写出计算格式。（步长0.3h =,小数点后保留5位有效数字）
七．设有求解初值问题'00
(,)
()y f x y y x y ?=?
=?的如下格式
11(,)
n n n n n y ay by chf x y +-=++
如假设11(),()
n n n n y y x y y x --==问常数,,a b c 为多少时使得该格式为二阶格式？
2005-2006第二学期
一．填空（3*5） 1.设近似数
**
121.2250,0.5168
x x ==都是四舍五入得到的，则相对误差
**12()r e x x ≤
______。
2.矛盾方程组11 2.8
3.2
x x =??
=?的最小二乘解为_______。 3.近似数
*0.01999
x =关于真值
*0.02000
x =有______位有效数字.
4.
1.732≈
，迭代过程1n n y y +=+是否稳定？ 5.求积公式3
1()2(2)
f x dx f =?有几次的代数精确度？
二． 取初值
0 1.6
x =
5
110n n x x -+-≤时停止迭代。
三．用最小二乘法确定2
1
y a bx x =+中的常数a 和b ，使该曲线拟合于下面的四
个点（1，1.01）（2，7.04）（3，17.67）（4，31.74） （计算结果保留到小数点后4位）
四．用乘幂法求矩阵A 的按模最大的特征值1λ的第k 次近似值()
1k λ及相应的特征
向量1
x ，要求取初值
0(1,1,1)T
u =且
()(1)3
1110k k λλ---≤
这里 A=512101613-??
??????-?
? 五．考察用高斯赛德尔迭代法解方程组123123123
926
8888
x x x x x x x x x -+=??
-+-=??-++=-?
收敛性，并取(0)(1,0,0)T x =，求近似解(1)k x +，使得(1)()310k k i i x x +--≤（i=1，2，3）
六．已知单调连续函数()y f x =的如下数据
1.120.00 1.80
2.20
() 1.100.500.90 1.70i
i x f x ---
用插值法求方程()0f x =在区间（0.00，1.80）根的近似值。（小数点后至少保留4位）
七．设有积分
1
04dx
I x =+?
取5个等距节点（包括端点），列出被积函数在这些节
点上的函数值表（小数点后至少保留4位）
用复化的simpson 公式求该积分的近似值，并且由截断误差公式估计误差大小。
八．给定初值问题'0
(0)0
x
y y y ?-=??
?=?1 1.4x ≤≤ 写出Euler 预估校正格式
取步长为0.2，计算在1.4处的函数的近似值。
九．设矩阵A 对称正定，考虑迭代格式
(1)()(1)
()
2k k k k x x x
x
A b ω++????+=--??
??
??? 0,0,1,2,3...k ω>=对任意的初始向量(0)(1),k x x +是否收敛到Ax b =的解，为什么？
2006-2007第一学期
一. 填空
1） 近似数253.1*
=x 关于真值249.1=x 有____位有效数字；
2） 设有插值公式
)
()(1
1
1
k n
k k x f A dx x f ?
∑-=≈，则
∑=n
k k
A
1
=______；（只算系数）
3） 设近似数0235.0*
1=x ，5160.2*
2=x 都是有效数，则相对误差
≤)(*2
*
1
x x e r ____；
4） 求方程x x cos =的根的牛顿迭代格式为______；
5） 矛盾方程组?????-=+=-=+1211212121x x x x x x 与?????-=+=-=+1
212222
12121x x x x x x 得最小二乘解是否相同______。
二. 用迭代法（方法不限）求方程
1=x
xe 在区间（0，1）根的近似值，要求先论证收敛性，误差小于2
10-时迭代结束。
三. 用最小二乘法x
be ax y +=2中的常数a 和b ，使该函数曲线拟合与下面四个
点
（1，-0.72）(1.5, 0.02),(2.0, 0.61),(2.5, 0.32) （结果保留到小数点后第四位）
四．用矩阵的直接三角分解法求解线性方程组
????
?
??
??=??????? ????????? ?
?7173530103421101002014321x x x x
五．设要给出()x x f cos =的如下函数表
用二次插值多项式求)(x f 得近似值，问步长不超过多少时，误差小于3
10- 。
六. 设有微分方程初值问题
??
?=≤<-='2)0(2.00,42y x x y y －
1）写出欧拉预估－校正法的计算格式；
2)取步长h=0.1，用欧拉预估－校正法求该初值问题的数值解（计算结果保留4位小数）。
七. 设有积分
?+=1
01x dx
I
取11个等距节点（包括端点0和1），列出被积函数在这些节点上的函数值（小数点侯保留4位）；
用复化Simpson 公式求该积分的近似值，并由截断误差公式估计误差大小（小数点侯保留4位）。