辽宁省凌海市石山初级中学九年级数学下册第二章第八节二次函数与一元二次方程教案（1）北师大版
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生在上学期已经学习过一元二次方程的知识，之前学习了二次函数的图象和代数表达式的三种表示方法，其中主要对一般式和顶点式做了大量的训练，因而从“数”的方面对二次函数有了比较全面的认识，但对交点式仍然停留在感性认识层面，特别是对于从数形结合的这一数学思想来认识二次函数，他们对整章各节知识的关系还没有真正完整的形成，通过从本节课学习二次函数与一元二次方程之间的关系开始，学生将会对二次函数的“数”和“形”真正开始进行全面、深刻的接触。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了认识二次函数图象、求二次函数解析式、利用建立二次函数的数学模型，通过转化为顶点式求出最值，解决了一些简单的实际问题，感受到了二次函数与生活的紧密联系，他们已经有了探索本节课的数学基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了一次函数图象应用的学习，对于一次函数和一元一次方程的关系有了较多的认识，因此教学中多采取联想、类比的启发式教学，相信他们会有能力完成好本节新课的学习任务。
二、教学任务分析
本课的具体学习任务：体会二次函数与一元二次方程之间的联系；理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根；通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生运用数形结合思想解决问题的能力;学生的认识要上升到理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标是有困难的，教师必须在课堂上要通过由易到难的设问，巧妙的启发，肯定的评价，努力营造出让学生探索二次函数与一元二次方程关系的氛围，使他们体验到数学活动充满着探索与创造，从而感受数学的严谨性以及数学结论的确定性，有意识的培养学生初步的创新精神和实践能力．本节课的教学目标是：
知识与技能：
1．理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及满足什么条件时方程有两个不等的实根，有两个相等的实根和没有实根；
过程与方法：
1．通过观察二次函数图象与x 轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想．
2．理解一元二次方程ax 2+bx+c=h 的根就是二次函数y=ax 2+bx+c 与直线y=h （h 是实数）图象交点的横坐标。
情感态度与价值观：
1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会二次函数与方程之间的联系；
2．通过探索二次函数与一元二次方程的关系，使学生体会数学的严谨性以及数学结论的确定性。
教学重点：
理解二次函数图象与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及满足什么条件时方程有两个不等的实根，有两个相等的实根和没有实根
教学难点：
理解一元二次方程ax 2+bx+c=h 的根就是二次函数y=ax 2+bx+c 与直线y=h （h 是实数）图象交点的横坐标
三、教学过程分析
本节课设计了八个教学环节：课前热身、耐心填一填；用心想一想、马到成功；合作议一议、取长补短；教材题变形、拓展提高；开拓创新、试一试；大胆尝试、练一练；课堂小结；课内外提高、布置作业。
第一环节 课前热身、耐心填一填
活动内容：
1. y=ax 2+bx+c (a,b,c 是常数，a ≠0)，y 叫做x 的__________。它的图象是一条抛物线。它的对称轴是直线x=_____, 顶点坐标是（ ， ）。
2. 二次函数的解析式中的一般式是: y = ax 2 + bx +c (a ≠0)顶点式：y = a(x-h)2 + k
交点式：y = a(x-x 1)(x-x 2)
3. 抛物线y = x2+2x- 4的对称轴是_______, 开口方向是______, 顶点坐标是
___________.
4. 抛物线y=2(x-2)(x-3) 与x轴的交点为_______________,与y轴的交点为___________.
5.已知抛物线与轴交于A(-1, 0) 和(1, 0) ，并经过点M(0,1), 则此抛物线的解析式为
_______________ 。
活动目的：
教学第一个环节课前热身练习，是利用3分钟时间让学生尽快进入到课堂角色中来。问题的设置从最简单的概念二次函数入手，紧接着从“形”的方面对抛物线图象的最基本性质：开口方向、对称轴的表达式、顶点坐标公式回顾，再从“数”的方面对二次函数解析式的三种表达形式回顾。目的一是巩固学生之前所学的基本知识，为本节课学习新知识做好铺垫，二是有意识对班级内基础较差的同学提问，增强他们对后面学习新内容的信心。第3小题要求学生熟练掌握把一般式转化为顶点式的配方法，第4小题目的是让学生回顾求抛物线y= ax2＋bx＋c与x轴交点的问题，就是y=0，转化为二次方程ax2＋bx＋c=0的根就是抛物线与x轴交点的横坐标，教学中通过对这个问题的点评，让学生明确二次函数的学习应该从“数”与“形”两方面进行研究。第5小题的解答虽然可以有三种途径：一般式、顶点式、两根式都可以探索得到，但三种方法的简洁程度不相同，反映的思维深度也不一样，通过提问、启发在课堂中尽量让学生回答出三种解法，并对比三种方法的优劣。热身练习时，教师在课室中巡视，用肯定学生的话语鼓励学生，用启发性的语言提示学生，努力营造出宽松、和谐的课堂气氛,为之后的新课学习作好准备。
实际教学效果：
课前的热身训练中，由于这5个练习题设置基本，精巧简练，所以这个环节在知识上起到了承前启后的作用，在教与学的双边活动中也营造出了较为宽松的课堂气氛。特别是第5小题的一题多解，即活跃了学生的思维，也为本节新课“探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会二次函数与方程之间的联系”打好了铺垫。
第二环节用心想一想，马到功成
活动内容：
1．我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式
h=-5t2+v
0t+h
表示, 其中h
(m) 是抛出时的高度, v
(m/s)是抛出时的速度. 一个小球从
地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t (s)的关系如图所示,那么(1) 图象上每个点的横、纵坐标含义是什么？
(2) h和t的关系式是什么？
（3）小球经过多少秒后落地?
你有几种求解方法?与同伴进行交流.
2．分别求出二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图
象与x轴的交点的坐标,并快速作出草图.
思路点拨: 与x轴交点就是求当y=0 时这个方程的解, 然后写成点的坐标.
（1）观察下列二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象，每个图象与x 轴有几个交点？
(2) 一元二次方程x2+2x=0, x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程 x2-2x+2=0 有根吗?
(3)说说二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
3．归纳整理:
a.二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:
1、有两个交点,
2、有一个交点,
3、没有交点.b.当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值, 即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
c.完成下列表格，观察二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根及一元二次方程的根的判别式有什么关系?
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点一元二次方程ax2+bx+c=0的
根
一元二次方程ax2+bx+c=0根
的判别式Δ=b2-4ac
有两个相异的实数根b2-4ac > 0
有两个相等的实数根b2-4ac = 0
b2-4ac ＜0
活动目的：
这一环节是本节课的重点内容，在教材提供的生活素材背景下，例题是由一个待定的二次函数解析式与对应图象一并给出的，目的很明显：为学生直接铺设一个数形结合的情境，有意识的引导学生从数形两方面结合起来考虑问题，由于学生已经有了一次函数图象应用的
学习经历，具备了一定的数形结合思想基础，为了求出v
0和h
，只要教师引导学生分析清
楚由于高度h与时间t成二次函数关系，故图象必然是呈现出抛物线的形式。教学中我特意增加了“图象上的每一个点的横坐标、纵坐标分别表示什么含义？”这一问题来启发学生，使他们认识到满足这个函数关系的点（h,t）一定在抛物线图象上，反之图象上的每一个点的横坐标、纵坐标分别是小球被抛出的时间与高度。
当学生理解了这个关系后，再引导学生观察图象上是否有已知的点，他们的注意力自然会去观察图象与x轴的交点（0，0）和（8，0），至此求h、t就转化为求解方程组的问题。
学生在此认识的基础上，教师再出示第3问，启发学生认识到物体落地表示高度h=0，
对应图象上的点纵坐标为零，研究图象与x轴的两个交点，第二个交点的横坐标就是落地时的时间。
紧接着给出求出三个函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2与x轴的交点，再画出它们的草图，教学中我组织开展了“比一比”这个活动，看谁解方程速度快？看谁画图快？在激发学生的学习积极性的同时，来训练学生运算能力和巩固对二次函数图象抛物线的认识，。
随后的三个问题给出从观察图象开始，再用代数方法求三个方程的根，逐步引导学生体会二次函数与一元二次方程的对应关系，这个关系虽然是从最简单的情形入手，即图象与x 轴的交点就是一元二次方程根的问题，但只要突破了这一学习难点，学生就会对二次函数与一元二次方程的对应关系恍然大悟，随后的学习他们就会更加有信心和兴趣了。
为了更加完整、系统的使学生明确二次函数与一元二次方程的对应关系，随后教学中设计了一个表格，教师再次组织学习小组进行讨论、交流、发言，目的是让学生完整建立本节课的认知结构，理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及满足什么条件时方程有两个不等的实根，有两个相等的实根和没有实根；同时进一步培养学生合作交流、清晰表达的数学能力。
实际教学效果：
由于教学设计体现出步步为营的战术特点，学生在小组成员的相互讨论中，在教师的引导启发下，不知不觉中完成了对新知识的学习理解。
第三环节教材题变形，拓展延伸
活动内容：
【例】一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）可以用公式h=－4.9t2＋19.6t 来表示．其中t（s）表示足球被踢出后经过的时间．
（1）当t=1时，足球的高度是多少？
（2）t为何值时，h最大？
（3）经过多长时间球落地？
（4）方程－4.9t2＋19.6t =0的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗?
（5）方程14.7=－4.9t2＋19.6t 的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗?
解：（1）t=1时，h=14.7
(2)∵h=－4.9(t-2) 2+19.6 ∴当t=2时，h最大（3）对于h=－4．9t2＋19．6t 球落地表示h=0
即－4．9t2＋19．6t=0，
解得t1=0（舍去），t2=4 ．
即足球被踢出后经过4s后球落地.
(4)方法一：解方程 0=－4.9t2＋19.6t 得t=0, t=4
根t=0，t=4分别表示足球离开地面和落地的时刻
方法二：直接观察抛物线与直线x轴的交点（0，0），（4，0）即可
图形表示方程的根就是抛物线与x轴的两个交点
(5)方法一：解方程 14.7=－4.9t2＋19.6t 得t=1, t=3
方法二：图象法，过点（0，14.7）作一条与y轴垂直的直线，找到它与抛物线的交点，再分别过交点作x轴的垂线，找出两个垂足的横坐标即可。
表明球被踢出1秒和3秒时，离地面的高度都是14.7秒
活动目的：再次设计一个与教材例题相似的问题情景，给出一个以问题串的形式引导学生逐步深入的思考二次函数与一元二次方程的对应关系。前三问用提问的形式给出，经学生独立思考后答出。第四问引导学生观察到方程－4.9t2＋19.6t =0是函数h=－4.9t2＋19.6t 的函数值h取0的情况，其实际意义就是足球的高度为零时时间所满足的关系。当然该方程的一个根就是足球落地的时间，而另一个根的实际含义就是足球刚被踢出时离地的那一刻。这是本节课的又一个难点，为了突破这个难点，教学中教师要耐心启发、引导，不断的设问、鼓励，力争由学生自己来揭示出来，体现出学生的主体性、主动性。在认识了第三问基础上，第四问的给出，鼓励学生用类比的思想方法去考虑，问题就会迎刃而解了。在肯定学生的思考同时，此时教师再提出一个问题：我们用求一元二次方程的根来解决的问题，你能再用图象法解决这个问题吗？启发学生用形的一面去考虑问题。目的是鼓励学生在学习上永不满足、勇于探索，同时再次强化学生认识到数学学习要有意识的养成从“数”“形”两方面去研究的思想方法。
以上四个问题串的设计，由易到难，一环紧扣一环，从认识一元二次方程ax2+bx+c=0
的根就是二次函数y=ax2+bx+c 图象与x轴交点的横坐标，到理解一元二次方程ax2+bx+c=h 的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标，这个体会感受的过程对于学生来说起初是模糊的，此时组织学生合作交流讨论，再由小组派代表发言，教师启发、引导学生将问题表达清楚。教学中引导学生用类比的方法来研究，即分解了学生学习上思维难点，又把学生思维逐步引向深处。
实际教学效果：学生经过前一环节对二次函数与一元二次方程关系有了初步认识后，他们明白了一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函数y=ax2+bx+c 图象与x轴交点的横坐标，本环节前4个问题，作为对函数式求值、认识二次函数顶点式、理解抛物线图象的形成、及之前内容的巩固训练，是一道很好的练习，课堂教学中学生踊跃回答，气氛热烈。第4问虽然有些特别，但学生有了前面问题的理解认识，他们也可以说出方程的根就是抛物线与x轴的交点。但第5问给出后，学生静了下来。我知道他们虽然明白一些，但却不知如何表达？特别是用图形来表示一元二次方程14.7= －4.9t2＋19.6t的根这个问题对于他们很陌生。此时正是教师发挥指点迷津的作用绝好时机，我马上指出前一问中h=0的几何意义是什么？学生回答h=0表示直线x轴。那么h=14.7的几何意义又是什么呢？他们恍然大悟，明白了方程14.7=－4.9t2＋19.6t 的根的实际意义是抛物线与直线h=14.7的交点。5个问题一步步逐渐揭示出方程14.7=－4.9t2＋19.6t 的根的实际意义，教师在这时再顺势提出更一般的问题：一元二次方程ax2+bx+c=h的根的几何意义又是什么呢？学生就不难理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标了。学生在课堂上有时热烈，有时安静，有时欲说还羞，有时又很满足，他们完全沉浸在数学探索、发现的乐趣中了。
第四环节开拓创新，试一试
活动内容：
在本节一开始的小球上抛问题中,何时小球离地面的高度是60cm?你是如何知道的?
活动目的：此环节作为一个练习给出，此处留给学生充分的时间，让他们整理自己的认识，首先在学习小组内互相表达，然后在全班发言，虽然问题和前面的比较一样，但由学
生自己独立思考，教师要作出及时的肯定评价，这一环节目的是巩固学生对前面知识讲解的理解、消化，并能够清晰、完整的回答出。
实际教学效果：
教学中老师让学习小组先互相讲解，然后再由小组成员推荐上讲台面向全班同学讲解，一个同学发言指出他们的做法，把h=60带入函数式中，转化为求方程的根。全班同学用赞许的眼光肯定了他的解法。看到他只是从“数”的角度解决的，我知道学生要形成数形结合的思想意识是需要过程的。我向全班同学启发问到：其他小组还有没有另外的解法？另一位同学说：前面同学是从代数的角度解决的问题，我还可以用几何方法解决。画出直线h=60，找到它与抛物线的交点，两个交点的横坐标就是问题的结论。他的讲解赢得了同学热烈的掌声。我没有让他坐下，在肯定了他能够用数形结合的思想考虑问题的同时，又追问了他一个问题：如果你的抛物线图形没有画准，那么图象法得到的结论准确吗？你能比较一下两种解法的优劣吗？此刻所有同学都深刻体会到代数解法精确，而图象法快捷。
第五环节 放开手脚，做一做
活动内容：
例: 已知二次函数y=kx 2－7x －7的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围为什么?错解：由△=（－7）2－4×k ×（－7）=49＋28k ＞0，
得k ＞－4
7 ．正确解法：此函数为二次函数，∴k ≠0，又与x 轴有交点，
∴△=（－7）2－4×k ×（－7）= 49＋28k ≥0，
得k ≥－
4
7 ， 故k ≥－ 47 且k ≠0 点拨：①因为是二次函数，因而k ≠0；
②有两个交点，但未点明为两个不同点，所以应为△≥0．
活动目的：对本节知识进行巩固练习，教师带领学生分析题目是描述几何关系的语言，即“形”作为条件，那么我们应该通过什么途径来研究呢？学生自然会想到应转化为代“数”的一面来考虑。使学生更加加深数形结合的思想的运用，熟练对数与形进行转化。在学生高高兴兴作出解答后，教师应关注他们是否考虑学生对两个交点的理解，以及k 的取值范围了
没有？
实际教学效果：学生基本都能把问题转化为根的判别式的值大于零，受到了较好的教学效果。但很多学生没有条件虽然说有两个交点，但未点明为两个不同点，所以应为△≥0；另外二次函数的存在条件是二次项的系数不为零只有个别同学注意到。教学中先让有问题的学生板演出他的解法△＞0，我故意打一个大大的半对号，请同学们说说原因，当有同学提出应为△≥0，我仍然说道还不完整，再请同学们思考，直到给出完整的解法。同学们在问题的思考探索中培养了他们分析题目要全面、仔细的好习惯。
第六环节大胆尝试、练一练
活动内容：
1．抛物线y=-3（x－2）（x＋5）与x轴的交点坐标为_______2．抛物线y=x2－2x＋3与两坐标轴交点的个数为个．3．抛物线y=2x2＋8x＋m与x轴只有一个交点，则m= ____________4．二次函数y=kx2＋3x－4的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围．5．若a＞0，b＞0，c＞0，△＞0，那么抛物线y=ax2＋bx＋c 经过象限．
活动目的：用课堂形成性评价方式检查学生本节课的学习效果，学生基本上都能够顺利完成前4个小题的解答，第5小题的综合性非常强。由于是限时训练，学生大多可以得到80分，让他们明白数学的学习是一环紧扣一环的，新旧知识的联系需要及时的复习总结。进一步巩固用“数”研究“形”，用“形”研究“数”是函数学习的两条主线和主要研究方法。
实际教学效果：学生迅速的完成了前4个小题的解答，但被第5小题难住了。在第5分钟时我让同桌相互交换批改打分。大多同学得到80分，他们很不服气，我反问他们知道为什么答不出第5小题的原因吗？以此来强调在函数学习中，一要注意知识前后的联系，及时复习巩固，我鼓励同学们认真回顾二次函数系数a、b、c是如何决定抛物线的位置的，让学生结合本节课新知识的学习，就可以更加准确的判断出抛物线的位置；二是应注意研究方法：用“数”研究“形”，用“形”研究“数”是函数学习的两条主线，是两把相互配合的利器，希望同学们认真体会、自觉应用。
第七环节归纳小节、说一说
活动目的：鼓励学生结合本节课的学习谈一谈他们对二次函数与一元二次方程的关系的认识，是否理解了理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，即何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根；是否掌握了通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，来讨论一元二次方程的根的情况；是否理解了一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标。
实际教学效果：学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获，师生互相交流总结完善同学们对二次函数与一元二次方程的关系的认识，教师用前面学生出现的错误认识为例，再次强调研究函数问题时，用“数”研究“形”，用“形”研究“数”要相互配合使用，结合两种方法的优势。学生此时对本章的学习真正有了完整的认识。
四、教学反思
1．教案设计时要备好教材
教材只是为教师提供最基本的教学素材，特别是课改的新教材提供的内容表面上显得很简单，学生预习时总觉得容易，上课有时注意力显得不够集中。教师备课时要吃透教材，在讲授二次函数这一章时更应该注意这一点，准确把握新知识的发生点。明确学生在什么地方是模糊的，什么地方是需要加强巩固的，讲授时紧紧扣住数形结合的思想这条主线，培养学生尽早形成对本章知识完整的理解。
2．教案设计前要备好学生
为了使学生准确理解教材内容，讲授时教师要充分调动课堂内一切积极因素。用设问、反问等语言调动学生的求知欲望，用启发性的语言吸引学生，用肯定的话语鼓励学生，力争营造出师生互动、生生互动的和谐课堂气氛。
3．注意改进的方面
教师在学生讨论时应该参与到学生中去，对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的关注等，使每一位同学都能有收获，使小组合作学习更具实效性。
初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数， 0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。
4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，．
二次函数题 选择题： １、y=(m-2)x m2- m 是关于ｘ的二次函数，则m=( ) A -1 B 2 Ｃ －１或2 D m 不存在 2、下列函数关系中，可以看作二次函数y ＝ax ２ ＋b ｘ+c （a ≠0)模型的是( ） A 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系 Ｂ 我国人中自然增长率为１％，这样我国总人口数随年份变化的关系 Ｃ 矩形周长一定时,矩形面积和矩形边长之间的关系 D 圆的周长与半径之间的关系 4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x 2，则抛物线的解析式是( ) A y=—( x-2）2+2 B y=—( x+2)２+2 C ｙ＝— （ ｘ＋2）2+2 D y=—( x-2)2—2 ５、抛物线y= 2 1 x 2-６x+2４的顶点坐标是( ) A （—6,—6) B (—６,6） C (6,6) D （6,—6) 6、已知函数ｙ＝a ｘ２ +bx+ｃ,图象如图所示，则下列结论中正确的有( )个 ①abc 〈0 ②a ＋c 〈b ③ a+b+ｃ 〉0 ④ ２ｃ〈3ｂ A １ B 2 Ｃ ３ Ｄ ４ 7、函数ｙ=ａx ２ -bx+c(a ≠0)的图象过点(-１,0）,则 c b a + ＝ c a b + =b a c + 的值是（ ) A -1 B 1 C 21 D －2 1 8、已知一次函数ｙ= ax+ｃ与二次函数y=ａx 2+bx+ｃ（a ≠0)，它们在同一坐标系内的大致图象是图中的（ ） Ａ Ｂ C D 二填空题: 13、无论m 为任何实数,总在抛物线y=x 2+2ｍx ＋m 上的点的坐标是————————————。 16、若抛物线y ＝a ｘ2＋b ｘ＋c （ａ≠０）的对称轴为直线x ＝2,最小值为-2，则关于方程ax ２ ＋bx+ｃ=－２的根为——————————— —。 １7、抛物线y=（k ＋１)x 2+k 2-9开口向下，且经过原点,则k=————————— 解答题：(二次函数与三角形) 1、已知:二次函数ｙ＝x 2 ＋ｂx+c ，其图象对称轴为直线x ＝1，且经过点（2，﹣ )． （1）求此二次函数的解析式. （2)设该图象与ｘ轴交于Ｂ、C 两点（B 点在C 点的左侧），请在此二次函数x 轴下方的图象上确定一点E ，使△ＥBC 的面积最大，并求出最大面积． 1 —1 0 x y y x -1 x y y x y x y
课题：一元二次函数、方程和不等式（衔接课） 一、教学设计 1.教学内容解析 在现行人民教育出版社A版高中数学教材中，“一元二次不等式的解法”这一部分内容安排在《必修5》的第三章第二节，学生高二时才学习，导致高一学生在学习《必修1》的“集合”、“函数”等内容时，有一定的障碍，达不到一定的深度，初高中数学内容衔接不连贯，对于这一部分内容，老师普遍认为应调整到《必修1》之前，或是安排在《必修1》的“集合”之后，“函数”之前比较好. 本节课的产生正是基于以上原因，但它并不是一节“一元二次不等式的解法”的新知课，也不是一节复习课，而是一节衔接课，以一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式（后面称三个“二次”）三者之间的关系及其应用为核心内容，特别是用函数的观点来处理方程与不等式问题，引导学生感悟高中阶段数学课程的特征，适应高中阶段的数学学习，为高中数学课程的学习作学习心理、学习方式和知识技能等方面的准备，帮助学生完成初高中数学学习的过渡. 三个“二次”是初中三个“一次”（一元一次函数、一元一次方程与一元一次不等式）在知识上的延伸和发展，它是函数、方程、不等式问题的基础和核心，在高中数学中，许多问题的解决都会直接或间接用到三个“二次”.如，解析几何中解决直线与二次曲线位置关系问题，导数中导函数为二次函数时的许多问题等，同时，此部分内容又是培养函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想以及等价转化思想的极好素材，本节课的地位和作用主要体现在它的基础性和工具性方面. 根据以上分析，本节课的教学重点确定为 教学重点：一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者之间的关系及应用. 2.学生学情诊断 本节课的授课对象为华中师大一附中高一平行班学生，华中师大一附中是湖北省示范高中，学生基础很好，一般而言，学生已经掌握了一次函数、二次函数的图象与性质，简单的一元二次不等式的解法，能利用函数图象解决简单的方程和不等式问题. 但是，当所研究的问题中含有参数或者综合性较强、或者运算较复杂的时候，学生往往不能正确理解题意，不能准确地利用三个“二次”之间的内在联系进行合理转化，不善于分类讨论，不善于归纳总结，对函数、方程、不等式的处理方法不够完整，没有形成基本的规律. 教学难点：含参数的二次方程、不等式，如何利用三个“二次”之间的关系进行等价转化处理，为今后处理其它类型的函数、方程、不等式问题提供范式. 3.教学目标设置 (1)理解一元二次函数、一元二次方程及一元二次不等式三者之间的关系； (2)能够用二次函数的观点处理二次方程和二次不等式问题，感悟函数的重要性以及数学知识之间的关联性； (3)引导学生感悟高中阶段数学课程的特征，适应高中阶段的数学学习，能够在本主题的学习中，逐步提升数学抽象、逻辑推理、几何直观和数学运算等核心素养. 4.教学策略分析 本课作为初高中内容和方法上的“衔接课”，有其重要特点：一不能靠单纯的复习；二不宜上成新课；三，必须展示基本的套路，而又不可能一次到位；四，需要立足于函数、圆
让农民兄弟过上城里人的日子，这就是我人生的最大追求。——张占宇 在广袤千里的大凌河畔，有一个闻名全省的新农村建设示范村——辽宁省凌海市三台子镇小上五旗满族村。这里经济发达，环境优美，生活富裕，家家过上了城里人的日子。可10多年前的小上五旗村，却是另一番景象，连年欠产，户户负债，村民没钱盖房、没钱看病、没钱供孩子进城读书，是远近闻名的贫困村。小上五旗村为何有如此巨变？村民们异口同声：“我们有一个为农民造福的好带头人——张占宇。” ■人物小传 张占宇，曾先后荣获省劳动模范、全国劳动模范、辽宁新农村建设风云人物、辽宁新农村建设十大功勋人物等荣誉称号。光荣当选第十、第十一届全国人大代表。在10余年间，他心系农村发展，情系农民利益，带领村民扎实开展新农村建设，村民住进了别墅，开上了豪华车，年人均收入超过2万元。 过去，小上村农业生产基础设施薄弱，连年遭遇旱涝灾害，亩产过不了400公斤；种植品种单一，没有村办企业，人均年收入不足1000元。为了转变这种状况，张占宇上任后抓的第一件事就是调整生产结构，大力发展现代农业，组织实施四项增收工程：扣大棚抓棚菜生产。起初，村民对建蔬菜大棚顾虑很多，有的不熟悉棚菜生产技术，怕侍弄不好赔本；有的担心蔬菜卖不出去，到头来白干一年；更多的是手头没钱，为资金犯愁。为了打消思想顾虑，帮助村民解决实际困难，张占宇把市农业站技术人员请到村里办技术培训班，从外地邀请棚菜大户介绍棚菜生产经验，对菜棚用地统一规划，村上出钱打机井、架设供电线路，并为每个菜棚补贴1000元。这些措施，有效调动了村民积极性，现在全村有蔬菜大棚360座，每座大棚年均收入1.2万元，仅此一项使村民人均收入增加3000元。 大面积种植经济作物。张占宇分批组织200多人到丹东市学习种植五味子经验，投资40多万元建成30亩五味子苗圃，为村民无偿提供种苗、化肥、水泥杆和棚线，全村已种植五味子500亩，每亩收入达到1500元。 修水渠保农业增收。小上村地势低洼，连年遭灾欠产，为提高抵御自然灾害能力，张占宇带领村民利用荒草甸子修筑了一条深10米、宽24米、全长5000延长米的深水渠，填土造地120亩，两岸栽树1万多株，投放鱼苗数万尾，使这条水渠成了一条壮观的风景带。水渠建成后，全村水浇地达到1500亩，确保了大亩作物连年丰收。 着力发展村办工业。种地增收有限，发展村办工业才是致富的根本出路。张占宇就是循着这条路带领村民先后办起5家企业，村民收入的70％来自村办工业和其他产业，2007年又同凌海电力集团联手，投资1.6亿元，建成年产80万吨的特钢厂，全村有160名劳动力在工厂上班，每人年工资收入3万多元。使小上村走上了以工为主、农工结合的发展道路。2012年，村民人均纯收入超过2万元，超过当地城市居民人均收入水平。 加大基础设施投入全方位提高村民生活质量 过去由于经济落后，小上村没钱修路，几条土路是晴天一层灰雨天一脚泥；学校只有几间简陋的教室，几十年没翻修过；村民用不上自来水，家家户户打井“压”水吃；没钱安装有线电视线路，有电视也看不到几个频道节目。所有这些，张占宇看在眼里，急在心上，多次找村干部商议，决定从解决群众生活难题入手，大抓基础设施建设，全方位提高村民生活质量，同时向村民承诺：全部费用都由村里承担，不收群众一分钱。 张占宇首先抓道路改造工程，在主干道铺设黑色路面，对下田作业道路打了厚厚的石头路基，其余村路都铺上砂石路面,路两边埋设水泥排水管道，路两侧栽植景观树木，各条村路平坦笔直，给村民出行带来了便利。 接着，为村民安装有线电视，从铺设电缆到架设线路，再到有线进户，不出半个月。有线电视开播那天，全村呈现一片欢乐景象，人们围坐在电视机前，一起欣赏有线电视的精彩节目，交口称赞村上为大家办了实事、解了难题。
二次函数题 选择题： 1、y=(m-2)x m2- m 是关于x 的二次函数，则m=（ ） A -1 B 2 C -1或2 D m 不存在 2、下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)模型的是（ ） A 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系 B 我国人中自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系 C 矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系 D 圆的周长与半径之间的关系 4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x 2，则抛物线的解析式是（ ） A y=—（ x-2）2+2 B y=—（ x+2）2+2 C y=— （ x+2）2+2 D y=—（ x-2）2—2 5、抛物线y= 2 1 x 2 -6x+24的顶点坐标是（ ） A （—6，—6） B （—6，6） C （6，6） D （6，—6） 6、已知函数y=ax 2+bx+c,图象如图所示，则下列结论中正确的有（ ）个 ①abc 〈０ ②a ＋c 〈b ③ a+b+c 〉０ ④ ２c 〈３b A １ B ２ C ３ D ４ 7、函数y=ax 2-bx+c （a ≠0）的图象过点（-1，0），则 c b a + =c a b + =b a c + 的值是（ ） A -1 B 1 C 21 D -2 1 8、已知一次函数y= ax+c 与二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0），它们在同一坐标系内的大致图象是图中的（ ） A B C D 二填空题： 13、无论m 为任何实数，总在抛物线y=x 2＋2mx ＋m 上的点的坐标是————————————。 16、若抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的对称轴为直线x ＝２，最小值为－２，则关于方程ax 2+bx+c ＝－２的根为————————————。 17、抛物线y=（k+1）x 2+k 2-9开口向下，且经过原点，则k ＝————————— 解答题：（二次函数与三角形） 1、已知：二次函数y=x 2 +bx+c ，其图象对称轴为直线x=1，且经过点（2，﹣）． （1）求此二次函数的解析式． （2）设该图象与x 轴交于B 、C 两点（B 点在C 点的左侧），请在此二次函数x 轴下方的图象上确定一点E ，使△EBC 的面积最大，并求出最大面积． 1 —1 0 x y y x -1 x y y x y x y
一、教学目标 1． 使学生会用描点法画出二次函数k h x a y +-=2 )(的图像； 2． 使学生知道抛物线k h x a y +-=2 )(的对称轴与顶点坐标； 3．通过本节的学习，继续培养学生的观察、分析、归纳、总结的能力； 4．通过本节的教学，继续向学生进行数形结合的数学思想方法的教育，同时向学生渗透事物间互相联系、以及运动、变化的辩证唯物主义思想； 5．通过本节课的研究，充分理解并认识到二次函数图像可运动变化的和谐美，通过数学思维的审美活动，提高对数学美的追求。 二、教学重点 会画形如k h x a y +-=2 )(的二次函数的图像，并能指出图像的开口方向、对称轴及顶点坐标。 三、教学难点：确定形如 k h x a y +-=2 )(的二次函数的顶点坐标和对称轴。 4．解决办法： 四、教具准备 三角板或投影片 1．教师出示投影片，复习2 2 2 )(,,h x a y k ax y ax y -=+==。 2．请学生动手画1)1(2 1 2-+- =x y 的图像，正好复习图像的画法，完成表格。 3．小结k h x a y +-=2 )(的性质??? ?? ??平移顶点坐标对称轴开口方向 4．练习 五、教学过程 提问：1．前几节课，我们都学习了形如什么样的二次函数的图像？ 答：形如2 2 2 )(,h x a y k ax y ax y -=+==和。（板书） 2．这节课我们将来学习一种更复杂的二次函数的图像及其相关问题，你能先猜测一下我们将学习形如什么样的二次函数的问题吗？
由学生参考上面给出的三个类型，较容易得到：讨论形如k h x a y +-=2 )(的二次函数的有关问题．（板书） 一、复习引入 首先，我们先来复习一下前面学习的一些有关知识．（出示幻灯） 请你在同一直角坐标系内，画出函数222)1(2 1 ,121,21+-=--=-=x y x y x y 的图像，并指出它们的开口方向，对称轴及顶点坐标． 这里之所以加上画函数2)1(2 1 +- =x y 的图像， 是为了使最后通过图像的观察能更全面一些，也更直观一些，可以同时给出图像先沿y 轴，再沿x 轴移动的方式，也可以给出图像 先沿x 轴再沿y 轴移动的方式，使这部分知识能更全面，知识与知识之间的联系能更清晰、 更具体． 画这三个函数图像，可由学生在同一表中列值，但是要根据各自的不同特点取自变量x 的值，以便于学生进行观察．教师可事先准备好表格和画有直角坐标系的小黑板，由一名同 学上黑板完成，其他同学在练习本上完成，待同学们基本做完之后加以总结，然后再找三名 同学，分别指出这三个图像的开口方向、对称轴及顶点坐标，填入事先准备好的表格中． 然后提问：你能否在这个直角坐标系中，再画出函数1)1(2 1 2-+- =x y 的图像？ 由于前面几节课我们已经画了不少二次函数的图像，学生对画图已经有了一定的经验， 同时可在画这个图时，把这些经验形成规律，便于学生以后应用． （l ）关于列表：主要是合理选值与简化运算的把握，是教学要点．在选值时，首先要考虑的是函数图像的对称性，因此首先要确定中心值，然后再左，右取相同间隔的值；其次，选值时尽量选取整数，便于计算和描点． 在选取x 的值之后，计算y 的值时，考虑到对称性，只需计算中心值一侧的值，另一侧由对称性可直接填入，但一定要保证运算正确． （2）关于描点：一般可先定顶点（即中心值对应的点，然后利用对称性描出各点，以逐步提高速度．） （3）关于连线：特别要注意顶点附近的大致走向。最后画的抛物线应平滑，对称，并符合抛物线的特点． 由学生在上面的练习中所列的表中填上这个函数及其对应值，然后画出它的图像，同样 找一名同学板演． 学生画完，教师总结完之后，让学生观察黑板上画出的四条抛物线，提问： （1）你能否指出抛物线1)1(2 1 2-+- =x y 的开口方向，对称轴，顶点坐标？ 将在上面练习中三条抛物线的性质填入所列的有中，如下表：
高一数学 必修一 第二章《一元二次函数、方程和不等式》训练题 (18) 一、选择题（本大题共9小题，共45.0分） 1. 若a >b ，则下列正确的是( ) A. a 2>b 2 B. ac >bc C. ac 2>bc 2 D. a ?c >b ?c 2. 不等式?2x 2+x +3≤0的解集是( ) A. {x|?1≤x ≤3 2} B. {x|x ≤?1或x ≥3 2} C. {x|x ≤?3 2或x ≥1} D. {x|?3 2≤x ≤1} 3. 下列各函数中，最小值为2的是( ) A. y =x +1 x B. y =sinx +1 sin x ，x ∈(0,π 2) C. y =2√x 2+2 D. y =x ?2√x +3 4. 下列四个结论中正确的个数是( ) (1)对于命题p:?x 0∈R 使得x 02?1≤0，则?p:?x ∈R 都有x 2?1>0； (2)已知X ～N(2,σ2)，则P(X >2)=0.5 (3)已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为y ?=2x ?3； (4)“x ≥1”是“x +1 x ≥2”的充分不必要条件． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 已知集合A ={y |y =1 2}，B ={x|x 2<4}，则A ∪B = A. (0,2) B. (?2,2) C. (?1,+∞) D. (?2,+∞) 6. 函数f(x)=?x 2+3x ?2a ，g(x)=2x ?x 2，若f(g(x))≥0对x ∈[0,1]恒成立，则实数a 的取 值范围为 A. (?∞,?2] B. (?∞,?1] C. (?∞,0] D. (?∞,1] 7. 已知函数f(x)=xe x +1 2x 2+x +a ，g(x)=xlnx +1，若存在x 1∈[?2,2]，对任意x 2∈[1 e 2,e]， 都有f (x 1)=g (x 2)，则实数a 的取值范围是( ) A. [?3?1 e ?2e 2,e ?3?2e 2] B. (?3?1 e ?2e 2,e ?3?2e 2) C. [e ?3?2e 2,3 2] D. (e ?3?2e 2,3 2) 8. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若a =4，A =π 3，则该三角形面积的最 大值是( ) A. 2√2 B. 3√3 C. 4√3 D. 4√2
教师寄语：亲爱的同学们，又到了充电的时候了！记住：在日常生活中，靠天才才能做到的事情，靠勤奋同样做得到；靠天才不能做到的事情，靠勤奋也能做到。 辽宁省凌海市石山初级中学2013-2014学年七年级语文寒假作业 （六）语文版 一、积累与运用 1、文学常识填空。（5分） ①《论语》是儒家经典著作之一。孔子，名，字，末期思想思想家、家、家。 ②《世说新语》是朝文学家组织人编写的。 ③《木兰诗》是________期一首北方民歌，选自《》。雄兔脚扑朔，雌兔眼迷离”一句产生的一个成语是________________ 2、按要求默写填空。（12分） ①_________________，关山度若飞，朔气传金柝，________________。 ②《酬乐天扬州初逢席上见赠》是唐朝诗人刘禹锡在扬州与白居易相逢时所作。其中透视出作者达观的态度的名是：，。 ③《淮上与友人别》中从听觉、视觉方面抒发各自天涯的离愁之情的诗句是： ，。 ④由“丈夫非无泪，不洒别离间”可联想到初唐诗人王勃《送杜少府之任蜀州》中的诗句：，。而这首诗中写友情的名句是：，。 ⑤李商隐的《夜雨寄北》：超越时空，想象日后重逢时的情景的诗句：，。 3、将下列语句补充完整：（3分） （1）不入虎穴，________________________ （2）________________，满盘皆输。 （3）吾生也有涯，______________________。 4、写出下列句中的通假字。（4分） ⑴默而识之通________ ⑵尊君在不通________ ⑶出门看火伴通________ ⑷不亦说乎通________ 5、指出下列句子所用的修辞格。（4分） ⑴宁可以急相弃邪？（） ⑵将军百战死，壮士十年归。（） ⑶沉舟侧畔千帆过。（） ⑷朔气传金柝，寒光照铁衣。（） ６、解释下列各句中“之”的意义。（6分） ⑴学而时习之（） ⑵孔文子何以谓之“文”也（） ⑶其不善者而改之（）⑷余闻之也久（） ⑸不能称前时之闻（）⑹歆辄难之（）
1.一跳水运动员从米高台上跳下，他的高度h(单位：米)与所用的时间t(单位：秒)的关系为h=-5(t-2)(t+1),你能帮助该运动员计算一下他跳起来后多长时间达到最大高度？最大高度是多 少米？ 2．篱笆墙长30m ，靠墙围成一个矩形花坛，写出花坛面积y(m 2 )与长x 之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围． 3.已知二次函数y=ax 2 ＋bx ＋c ，当 x=0时，y=0；x=1时，y=2；x=-1时，y=1．求a 、b 、c ，并写出函数解析式． 4.求经过A(0，-1)、B(-1，2)，C(1，-2)三点且对称轴平行于y 轴的抛物线的解析式． 5.已知二次函数为x ＝4时有最小值-3且它的图象与x 轴交点的横坐标为1，求此二次函数解析式． 6. 已知抛物线经过点(-1，1)和点(2，1)且与x 轴相切． (1)求二次函数的解析式； (2)当x 在什么范围时，y 随x 的增大而增大； (3)当x 在什么范围时，y 随x 的增大而减小． 7.已知122 12 ++-=x x y (1)把它配方成y ＝a(x-h)2 ＋k 形式； (2)写出它的开口方向、顶点M 的坐标、对称轴方程和最值； (3)求出图象与y 轴、x 轴的交点坐标； (4)作出函数图象； (5)x 取什么值时y ＞0，y ＜0； (6)设图象交x 轴于A ，B 两点，求△AMB 面积． 8．在长20cm ，宽15cm 的矩形木板的四角上各锯掉一个边长为xcm 的正方形，写出余下木 板的面积y(cm 2 )与正方形边长x(cm)之间的函数关系，并注明自变量的取值范围． 9．已知二次函数y=4x 2 ＋5x ＋1，求当y=0时的x 的值． 10．已知二次函数y=x 2 -kx-15，当x=5时，y=0，求k ． 12．已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c 中，当x=0时，y=2；当x=1时，y=1；当x=2时，y=-4，试求a 、b 、c 的值． 13.有一个半径为R 的圆的内接等腰梯形，其下底是圆的直径． (1)写出周长y 与腰长x 的函数关系及自变量x 的范围； (2)腰长为何值时周长最大，最大值是多少？ 14.二次函数的图象经过()()()4,2,4,0,0,4--C B A 三点： ① 求这个函数的解析式 ② 求函数图顶点的坐标 ③ 求抛物线与坐标轴的交点围成的三角形的面积。 15．如图，抛物线y=x 2 +bx+c 与x 轴的负半轴相交于A 、B 两点，与y 轴的正半轴相交于C 点，与双曲线y= x 6 的一个交点是(1，m)，且OA=OC.求抛物线的解析式． 16．如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12厘米，OB=6厘米．点P 从点O 开始沿OA 边向点A 以l 厘米／秒的速度移动；点Q 从点B 开始沿BO 边向点O 以l 厘米，秒的速度移动．如果P 、Q 同时出发，用t(秒)表示移动的时间(0≤t≤6)，那么 (1)设△POQ 的面积为y ，求y 关于t 的函数解析式； (2)当△POQ 的面积最大时，将△POQ 沿直线PQ 翻折后得到△PCQ，试判断点C 是否落在直线AB 上，并说明理由； (3)当t 为何值时，△POQ 与△AOB 相似． 17、水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克. 经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克.
学 科 中考数学 课题名称 二次函数综合应用 教学目标 二次函数属于中考压轴题，知识点不仅多，考点灵活多变，而且难度较高，这就要求学生在复习二次函数时，须得把相关性质及相关解题技巧掌握扎实，理解透彻。本专题通过梳理二次函数的知识点(拓展知识点)，并结合近几年上海市中考数学最后2道题二次函数的考点，把握中考二次函数命题方向，提高学生利用二次函数和结合相似等综合知识点解决问题的能力。 教学重难点 重点：二次函数解析式的确定，二次函数与x 轴交点问题，二次函数最值问题，二次函数图像上点的 存在问题，二次函数与相似等其它知识点的结合。 难点：二次函数与相似等其它知识点的结合。 知识精解 二次函数性质及相关扩展 1、一般式：y=ax 2+bx+c(a≠0), 函数图像是抛物线； 2、开口方向：（1）a>0, 开口向上， （2）a<0, 开口向下; 3、顶点坐标：（-b/2a, (4ac-b 2)/4a ）, 对称轴：x= -b/2a 4、 顶点式：y=a(x+h)2+k(a≠0) h= -b/2a, k=(4ac-b 2)/4a 5、平移问题： ①将一般式化为顶点式； ②遵循原则：“左+ 右-，上+ 下-”（左右是指沿x 轴平移，上下是指沿y 轴平移） 例：将y=x 2+4x+3先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线解析式是多少？ 6、交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2)(a≠0) ①一元二次方程根与系数的关系：x 1+x 2= -b/a, x 1.x 2=c/a ②求根公式：x ＝2 42b b ac a -±-，其中△＝b 2－4ac 叫做根的判别式。 当△＞0时，抛物线与x 轴有两个交点； 当△＝0时，抛物线与x 轴有一个交点； 当△＜0时，抛物线与x 轴没有交点。 ③运用抛物线的对称性： 若已知抛物线上两点12(,)(,)、x y x y ， 则对称轴方程可以表示为：12 2 x x x += 7、增减性： ①a>0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小； 在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大。 ②a<0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大；
新教材高中数学第二章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质讲义新人教A版必修第一册 2.1 等式性质与不等式性质 最新课程标准：梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质． 知识点一实数大小比较 1．文字叙述 如果a－b是正数，那么a>b； 如果a－b等于0，那么a＝b； 如果a－b是负数，那么a
状元随笔 (1)性质3是移项的依据．不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边．即a ＋b>c ?a>c －b.性质3是可逆性的，即a>b ?a ＋c>b ＋c. (2)注意不等式的单向性和双向性．性质1和3是双向的，其余的在一般情况下是不可逆的． (3)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．要克服“想当然”“显然成立”的思维定势． [教材解难] 教材P 40思考 等式有下面的基本性质： 性质1 如果a ＝b ，那么b ＝a ； 性质2 如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c ； 性质3 如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c ； 性质4 如果a ＝b ，那么ac ＝bc ； 性质5 如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝b c . [基础自测] 1．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T 满足关系( ) A ．T <40 B ．T >40 C ．T ≤40 D．T ≥40 解析：“限重40吨”是不超过40吨的意思． 答案：C 2．设M ＝x 2 ，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M >N B ．M ＝N C ．M
我的家乡在辽宁省凌海市。凌海，是国务院批准的首批环渤海对外开放市，也是中国最北方的沿海开放城市。1993年11月，经国务院批准，锦县撤县建凌海市，宣告锦州地区第一个县级市的诞生。凌海总面积2495平方公里，辖21个乡镇(街道、农场)，总人口54万。凌海交通区位优势和资源优势得天独厚，距离锦州港、锦州机场均为30公里，京沈电气化铁路、京沈高速公路等多条国省干道贯通全境。 改革开放的30年，是凌海发展速度最快的30年，也是人民群众得实惠最多的30年。凌海县域经济实力显著增强，经济总量和发展水平实现重大跨越，进入辽宁省县(市)综合实力十强行列。凌海大地发生着翻天覆地的变化。 几年来，凌海市始终把小城镇规划建设作为加快城镇进程，缩小城乡间差别，繁荣农村经济的重点工作，取得了初步成效，双羊镇还取得了全国文明镇的最高殊荣，有力地推进了凌海市城市化建设的进程。 近几年，凌海市小城镇改造力度加大，基础设施建设成效显著。凌海市各乡镇把加强基础设施建设、优化发展环境作为驱动小城镇经济发展的切入点，积极探索小城镇建设的有效途径。几年来，省级中心镇双羊镇，投资3130万元建成居民住宅楼8600平方米，改建综合市场一座，修建道路90公里，植风景树4.6万株，安装路灯336盏。该市公共基础设施建设取得的可喜成果，使一些小城镇的面貌发生了根本性的变化。双羊镇、石山镇、阎家镇、翠岩镇、娘娘宫镇等一批小城镇粗具规模，有力地促进了当地经济的发展。 小城镇定位突出特色，为小城镇建设发挥了指导作用。经过多方面、多层次的科学论证，基本做到了合理布局，各具特色。石山镇利用石材优势建设了石材加工、销售集散一条街；双羊镇利用独特的地理优势，以发展工业为重点，以蔬菜产业为主导，建设成了农工一体的小城镇；娘娘宫镇发挥临海优势，以捕捞、养殖、加工为重点，建设集“出口、创税、商贸、集散”于一体的小城镇。 小城镇聚集功能明显增强，主导产业迅速发展。随着小城镇基础设施建设步伐的加快，城镇综合服务功能逐步完善，发展环境明显改善，聚集功能不断增强，带动了乡镇企业、主导产业的迅速发展。石山镇制定了多项优惠政策，使个体私营经济呈现出蓬勃发展的势头；双羊镇组织专门班子招商引资，开发项目，实行产业投资；白台子乡拓宽筹资渠道，吸引外来资金2000多万元，新增个体工商户50多户。目前，全市基本形成了双羊镇工业和蔬菜业、石山镇的石材业、娘娘宫镇的水产养殖加工业、阎家镇的农副产品和物流业等各具特色的产业化发展格局。 城镇的发展扩张转移了大量农村剩余劳动力，使经济结构发生了重大变化。一大批农民进镇务工经商，小城镇经济结构由原来的以农业为主的单一型向以商业为主的工、商、农、建并茂型多元化经济结构转变。大大活跃了城乡经济，为社会主义新农村建设注入了强大活力。下面我们就分开来说说吧。 工业发展创新路 经过30年特别是近几年的发展，凌海的工业化道路打造出了以民营企业为特色，以金属冶炼、农副产品深加工、建筑石材、轻纺服装、机电制造、化工企业为主体的六大工业产业格局。近两年来，凌海积极发展七大支柱产业，即风力发电、金属冶炼、石油化工、海产品养殖加工、盐化工业、农产品加工、高新技术。全市现有规模以上企业150个，建成工业园区14个，已入驻规模以上企业72户。国电凌海(南小柳)风力发电项目一期工程33台机组已于2007年8月底并网发电。2007年凌海市规模以上工业总产值达到了116亿元，是1978年工业总产值6519万元的177倍。 农业成就铸辉煌
人教版初中数学二次函数解析 一、选择题 1．若平面直角坐标系内的点M 满足横、纵坐标都为整数，则把点M 叫做“整点”．例如：P （1，0）、Q （2，﹣2）都是“整点”．抛物线y ＝mx 2﹣4mx +4m ﹣2（m ＞0）与x 轴交于点A 、B 两点，若该抛物线在A 、B 之间的部分与线段AB 所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则m 的取值范围是（ ） A ．12≤m ＜1 B ．12＜m ≤1 C ．1＜m ≤2 D ．1＜m ＜2 【答案】B 【解析】 【分析】 画出图象，利用图象可得m 的取值范围 【详解】 ∵y ＝mx 2﹣4mx +4m ﹣2＝m （x ﹣2）2﹣2且m ＞0， ∴该抛物线开口向上，顶点坐标为（2，﹣2），对称轴是直线x ＝2． 由此可知点（2，0）、点（2，﹣1）、顶点（2，﹣2）符合题意． ①当该抛物线经过点（1，﹣1）和（3，﹣1）时（如答案图1），这两个点符合题意． 将（1，﹣1）代入y ＝mx 2﹣4mx +4m ﹣2得到﹣1＝m ﹣4m +4m ﹣2．解得m ＝1． 此时抛物线解析式为y ＝x 2﹣4x +2． 由y ＝0得x 2﹣4x +2＝0．解得12120.622 3.42 x x ==- ≈+≈，． ∴x 轴上的点（1，0）、（2，0）、（3，0）符合题意． 则当m ＝1时，恰好有 （1，0）、（2，0）、（3，0）、（1，﹣1）、（3，﹣1）、（2，﹣1）、（2，﹣2）这7个整点符合题意． ∴m ≤1．【注：m 的值越大，抛物线的开口越小，m 的值越小，抛物线的开口越大】 答案图1（m ＝1时） 答案图2（ m ＝时） ②当该抛物线经过点（0，0）和点（4，0）时（如答案图2），这两个点符合题意． 此时x 轴上的点 （1，0）、（2，0）、（3，0）也符合题意． 将（0，0）代入y ＝mx 2﹣4mx +4m ﹣2得到0＝0﹣4m +0﹣2．解得m ＝12 ．
辽宁省凌海市石山初级中学2013-2014学年七年级语文寒假作业 （一）语文版 教师寄语：亲爱的同学们，度过了一个紧张而又忙碌的学期后，轻松、愉快的寒假生活向我们走来。那么，这个漫长美好的假期怎么过呢？相信同学们都会有具体可行的计划。在这里老师首先祝同学们度过一个缤纷充实的假期，同时也希望同学们不要忘了自已的身份，你们长大的不只是年龄，还有成熟和稳重，轻松之余不要忘了拿起笔为以后的学习奠定一个好的基础啊！ 一、积累与应用 1．下列加点字注音完全正确的一组是（）（3分） A．消谴．（qiǎn）堆砌．（cha）着．迷（zháo） B．粗糙．（zào）滑稽．（jī）撰．文（zhuàn） C．寂寥．（liáo）冗．长（rǒnɡ）陶冶．（yě） D．点缀．（zhuì）憔悴 ．．（qiáocuì）差．（chā）事 2．补全下列词语。（3分） 不及防言简意俗不可 之如归望洋兴怨天人 3．把下面相关的项连接起来。（2分） 《三国演义》《汤姆历险记》 苏东坡蒲松龄 《聊斋志异》桃园三结义 马克?吐温山色空蒙雨亦奇 4．我离去三家村时，村里的青年们都送我上车，表示惜别。 这句话中的“惜别”意思是舍不得分别。请根据下列达述，写出几个含“别”的两字词语。（6分） ①长时间的分别——别②不能再见面的离别——别 ③临行前向人告别——别④握手告别——别 ⑤设酒食送别——别⑥短时间的分别——别 5．把下列名言补充完整。（4分） ①读万卷书，。 ②少壮不努力，。 ③，只欠东风。 ④拳不离手，。 6．写出你最喜欢的一首歌曲名称，简单说说喜欢的理由。（3分） 歌曲名称： 喜欢的理由： 二、阅读 （一）阅读《忆读书》（节选），完成1——5题。（18分） 因为看《三国演义》，引起了我对章回小说的兴趣，对于那部述说“官逼民反”的《水浒传》尤其欣赏。那部书里着力描写的人物，如林冲——林教头风雪山神庙一回，看了使我气愤填胸！——武松、鲁智深等人，都有自己极其生动的风格，虽然因为作者要凑成三十六
第二课时 一、教学目标 1． 使学生会用描点法画出二次函数k h x a y +-=2 )(的图像； 2． 使学生知道抛物线k h x a y +-=2 )(的对称轴与顶点坐标； 3．通过本节的学习，继续培养学生的观察、分析、归纳、总结的能力； 4．通过本节的教学，继续向学生进行数形结合的数学思想方法的教育，同时向学生渗透事物间互相联系、以及运动、变化的辩证唯物主义思想； 5．通过本节课的研究，充分理解并认识到二次函数图像可运动变化的和谐美，通过数学思维的审美活动，提高对数学美的追求。 二、教学重点 会画形如k h x a y +-=2 )(的二次函数的图像，并能指出图像的开口方向、对称轴及顶点坐标。 三、教学难点：确定形如 k h x a y +-=2 )(的二次函数的顶点坐标和对称轴。 4．解决办法： 四、教具准备 三角板或投影片 1．教师出示投影片，复习2 2 2 )(,,h x a y k ax y ax y -=+==。 2．请学生动手画1)1(2 1 2-+- =x y 的图像，正好复习图像的画法，完成表格。 3．小结k h x a y +-=2 )(的性质??? ?? ??平移顶点坐标对称轴开口方向 4．练习 五、教学过程 提问：1．前几节课，我们都学习了形如什么样的二次函数的图像？ 答：形如2 2 2 )(,h x a y k ax y ax y -=+==和。（板书） 2．这节课我们将来学习一种更复杂的二次函数的图像及其相关问题，你能先猜测一下
我们将学习形如什么样的二次函数的问题吗？ 由学生参考上面给出的三个类型，较容易得到：讨论形如k h x a y +-=2 )(的二次函数的有关问题．（板书） 一、复习引入 首先，我们先来复习一下前面学习的一些有关知识．（出示幻灯） 请你在同一直角坐标系内，画出函数222)1(2 1 ,121,21+-=--=-=x y x y x y 的图像，并指出它们的开口方向，对称轴及顶点坐标． 这里之所以加上画函数2)1(2 1 +- =x y 的图像， 是为了使最后通过图像的观察能更全面一些，也更直观一些，可以同时给出图像先沿y 轴，再沿x 轴移动的方式，也可以给出图像 先沿x 轴再沿y 轴移动的方式，使这部分知识能更全面，知识与知识之间的联系能更清晰、 更具体． 画这三个函数图像，可由学生在同一表中列值，但是要根据各自的不同特点取自变量x 的值，以便于学生进行观察．教师可事先准备好表格和画有直角坐标系的小黑板，由一名同 学上黑板完成，其他同学在练习本上完成，待同学们基本做完之后加以总结，然后再找三名 同学，分别指出这三个图像的开口方向、对称轴及顶点坐标，填入事先准备好的表格中． 然后提问：你能否在这个直角坐标系中，再画出函数1)1(2 1 2-+- =x y 的图像？ 由于前面几节课我们已经画了不少二次函数的图像，学生对画图已经有了一定的经验， 同时可在画这个图时，把这些经验形成规律，便于学生以后应用． （l ）关于列表：主要是合理选值与简化运算的把握，是教学要点．在选值时，首先要考虑的是函数图像的对称性，因此首先要确定中心值，然后再左，右取相同间隔的值；其次，选值时尽量选取整数，便于计算和描点． 在选取x 的值之后，计算y 的值时，考虑到对称性，只需计算中心值一侧的值，另一侧由对称性可直接填入，但一定要保证运算正确． （2）关于描点：一般可先定顶点（即中心值对应的点，然后利用对称性描出各点，以逐步提高速度．） （3）关于连线：特别要注意顶点附近的大致走向。最后画的抛物线应平滑，对称，并符合抛物线的特点． 由学生在上面的练习中所列的表中填上这个函数及其对应值，然后画出它的图像，同样 找一名同学板演． 学生画完，教师总结完之后，让学生观察黑板上画出的四条抛物线，提问： （1）你能否指出抛物线1)1(2 1 2-+- =x y 的开口方向，对称轴，顶点坐标？
二次函数试题 选择题： 1、y=(m-2)x m2- m 是关于x 的二次函数，则m=（ ） A -1 B 2 C -1或2 D m 不存在 2、下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax 2 +bx+c(a ≠0)模型的是（ ） A 在一定距离，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系 B 我国人中自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系 C 矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系 D 圆的周长与半径之间的关系 4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x 2 ，则抛物线的解析式是（ ） A y=—（ x-2）2 +2 B y=—（ x+2）2 +2 C y=— （ x+2）2 +2 D y=—（ x-2）2 —2 5、抛物线y= 2 1 x 2 -6x+24的顶点坐标是（ ） A （—6，—6） B （—6，6） C （6，6） D （6，—6） 6、已知函数y=ax 2 +bx+c,图象如图所示，则下列结论中正确的有（ ）个 ①abc 〈０ ②a ＋c 〈b ③ a+b+c 〉０ ④ ２c 〈３b A １ B ２ C ３ D ４ 7、函数y=ax 2 -bx+c （a ≠0）的图象过点（-1，0），则 c b a + =c a b + =b a c + 的值是（ ）A -1 B 1 C 21 8、已知一次函数y= ax+c 与二次函数y=ax 2 +bx+c （a ≠0 ），它们在同一坐标系的大致图象是图中的（ ） 二填空题： 13、无论 m 为任何实数，总在抛物线y=x 2 ＋2mx ＋m 上的点的坐标是————————————。 16、若抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的对称轴为直线 x ＝２，最小值为－２，则关于方程ax 2 +bx+c ＝－２的根为————————————。 17、抛物线y=（k+1）x 2 +k 2 -9开口向下，且经过原点，则k ＝————————— 解答题：（二次函数与三角形） 1、已知：二次函数y=错误!未找到引用源。x 2 +bx+c ，其图象对称轴为直线x=1，且经过点（2，﹣错误!未找到引用源。）．（1）求此二次函数的解析式．（2）设该图象与x 轴交于B 、C 两点（B 点在C 点的左侧），请在此二次函数x 轴下方的图象上确定一点E ，使△EBC 的面积最大，并求出最大面积 2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C (0，4)，顶点为（1，92）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设抛物线的对称 轴与轴交于点D ，试在对称轴上找出点P ，使△CDP 为等腰三角形，请直接写出满足条件的所有点P 的坐标． （3）若点E 是线段AB 上的一个动点（与A 、B 不重合），分别连接AC 、BC ，过点E 作EF ∥AC 交线段BC 于点F ，连接CE ，记△CEF 的面积为S ，S 是否存在最大值？若存在，求出S 的最大值及此时E 点的坐标；若不存在，请说明理由． x