⑵)2
3723()7(->-=>X P X P
)22
3(1)223(
≤--=>-=X P X P 0228.09772.01)2(1=-=Φ-=
4.随机抽取某班28名同学的数学考试成绩,得平均分为80=x 分,样本标准差8=s 分,若全年级的数学成绩服从正态分布,且平均成绩为85分,试问在显著水平0
5.0=α下,能否认为该班的数学成绩为85分?
4. 解 作假设 85:0=μH ,85:1≠μH
选取统计量 n
s x T 0μ-= 当0H 为真时,)27(~t T 已知80=x ,8=s ,28=n ,850=μ,计算得
25.328
885800=-=-=n s x T μ 查t 分布临界值表,得052.2)27(025.0=t . 因为>=25.3T 052.2)27(025.0=t ,所以拒绝0H .即不能认为该班的数学成绩为85分.
四、证明题(本题6分)
设A ,B 为随机事件,试证:P A P A B P AB ()()()=-+.
证明:由事件的关系可知
A A U A
B B AB AB A B AB ==+=+=-+ ()()
而()A B AB -=? ,故由概率的性质可知
P A P A B P AB ()()()=-+
证毕.
一、单项选择题(每小题3分,共15分)
1.设B A ,都是n 阶方阵,则下列命题正确的是( A ).
A .A
B A B = B .222()2A B A AB B -=-+
C .AB BA =
D .若AB O =,则A O =或B O =
2.向量组????
??????-????????????????????-??????????732,320,011,001的秩是( B ). A. 1 B. 3 C. 2 D. 4
3.n 元线性方程组AX b =有解的充分必要条件是(A ).
A. )()(b A r A r =
B. A 不是行满秩矩阵
C. r A n ()<
D. r A n ()=
4. 袋中有3个红球,2个白球,第一次取出一球后放回,第二次再取一球,
则两球都是红球的概率是( D ). A. 256 B. 103 C. 203 D. 25
9 5.设x x x n 12,,, 是来自正态总体N (,)μσ2的样本,则(C )是μ无偏估
计. A.
321515151x x x ++ B. 321x x x ++ C. 321535151x x x ++ D. 3215
25252x x x ++ 6.若A 是对称矩阵,则等式( B )成立.
A. I AA =-1
B. A A ='
C. 1-='A A
D. A A =-1
7.=??????-15473( D ).
A. ??
????--3547 B. 7453-????-?? C. 7543-????-??
D. 7543-????-??
8.若(A )成立,则n 元线性方程组AX O =有唯一解.
A. r A n ()=
B. A O ≠
C. r A n ()<
D. A 的行向量线性相关
9. 若条件( C )成立,则随机事件A ,B 互为对立事件.
A. ?=AB 或A B U +=
B. 0)(=AB P 或()1P A B +=
C. ?=AB 且A B U +=
D. 0)(=AB P 且1)(=+B A P
10.对来自正态总体X N ~(,)μσ2(μ未知)的一个样本X X X 123,,,记
∑==3
1
31i i X X ,则下列各式中(C )不是统计量. A. X B. ∑=31i i X
C. ∑=-312)(31i i X μ
D. ∑=-31
2)(31i i X X 11. 若035102
101
1=---x ,则=x (A ).
A. 3
B. 2
C. 3-
D. 2-
12. 已知2维向量组4321,,,αααα,则),,,(4321ααααr 至多是(B ).
A 1
B 2
C 3
D 4
13. 设B A ,为n 阶矩阵,则下列等式成立的是(C ).
A. BA AB =
B. B A AB ''=')(
C. B A B A '+'='+)(
D. AB AB =')(
14. 若A B ,满足(B ),则A 与B 是相互独立. A. )()()(A B P A P B P = B. )()()(B P A P AB P =
C. )()()(B P A P B A P -=-
D. )()()(B A P B P A P =
15. 若随机变量X 的期望和方差分别为)(X E 和)(X D ,则等式( D )成立.
A. )]([)(X E X E X D -=
B. 22)]([)()(X E X E X D +=
C. )()(2X E X D =
D. 22)]([)()(X E X E X D -=
16.设B A ,为n 阶矩阵,则下列等式成立的是( A ).
A .BA A
B = B .B A B A +=+
C .111)(---+=+B A B A
D .111)(---=B A AB
17.方程组?????=+=+=-3
31232121a x x a x x a x x 相容的充分必要条件是( B ),其中0≠i a ,
)3,2,1(=i .
A .0321=++a a a
B .0321=-+a a a
C .0321=+-a a a
D .0321=++-a a a
18.下列命题中不正确的是( D ).
A .A 与A '有相同的特征多项式
B .若λ是A 的特征值,则O X A I =-)(λ的非零解向量必是A 对应于λ的
特征向量
C .若λ=0是A 的一个特征值,则O AX =必有非零解
D .A 的特征向量的线性组合仍为A 的特征向量
19.若事件A 与B 互斥,则下列等式中正确的是( A ).
A .P A
B P A P B ()()()+=+ B .P B P A ()()=-1
C .P A P A B ()()=
D .P AB P A P B ()()()=
20.设n x x x ,,,21 是来自正态总体)1,5(N 的样本,则检验假设5:0=μH 采用
统计量U =( C ).
A .5
5
-x B .5/15-x C .
n x /15
- D .1
5-x
二、填空题(每小题3分) 1.设B A ,均为3阶方阵,2,3A B ==,则13A B -'-= -18 .
2.设A 为n 阶方阵,若存在数
和非零n 维向量X ,使得AX X λ=,则称
为A 的特征值. 3.设随机变量012~0.20.5X a ?? ???
,则a = 0.3 . 4.设X 为随机变量,已知3)(=X D ,此时D X ()32-= 27 .
5.设θ?是未知参数θ的一个无偏估计量,则有?()E θ
θ=. 6.设B A ,均为3阶方阵,6,3A B =-=,则13()A B -'-= 8 .
7.设A 为n 阶方阵,若存在数和非零n 维向量X ,使得AX X λ=,则称
X 为A 相应于特征值的特征向量.
8.若5.0)(,8.0)(==B A P A P ,则=)(AB P 0.3 .
9.如果随机变量X 的期望2)(=X E ,9)(2=X E ,那么=)2(X D 20 .
10.不含未知参数的样本函数称为 统计量 .
11. 设B A ,均为n 阶可逆矩阵,逆矩阵分别为11,--B A ,则='--11)(A B
B A )(1'-.
12. 向量组),0,1(),1,1,0(),0,1,1(321k ===ααα线性相关,则
K=1-
13. 已知2.0)(,8.0)(==AB P A P ,则=-)(B A P 0.6 .
14.已知随机变量??
????-5.01.01.03.05201~X ,那么=)(X E 2.4 . 15.设1021,,,x x x 是来自正态总体)4,(μN 的一个样本,则~10110
1
∑=i i x )10
4,(μN .
16.设22112
1
12214
A x x =-+,则0A =的根是 1,-1,2,-2 . 17.设4元线性方程组AX =
B 有解且r (A )=1,那么AX =B 的相应齐次方程
组的基础解系含有 3 个解向量.
18.设A B ,互不相容,且P A ()>0,则P B A ()= 0 .
19.设随机变量X ~ B (n ,p ),则E (X )= np .
20.若样本n x x x ,,,21 来自总体)1,0(~N X ,且∑==n
i i x n x 1
1,则~x )1
,0(n N
三、(每小题16分)
1.设矩阵A B =---??????
???
?=-?
???
??112235324215011,,且有AX B =',求X .
解:利用初等行变换得
112100235010324001112100011210012301---??????????→-----???
???
?
?
??
→-----??????
????→-----??????
?
??
?112100011210001511112100011210001511
→------??????
????→-----??????
?
??
?110922010721001511100201010721001511
即 A -=-----??????
?
??
?1201721511
由矩阵乘法和转置运算得
X A B ='=-----??????????-??????????=--??????
?
???-12017215112011511111362
2.求线性方程组
???????=++-=++--=+-+-=-+-2
28421
2342272134321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的全部解.
解: 将方程组的增广矩阵化为阶梯形
?????
???????----→????????????-------0462003210010101113122842123412127211131 ?????
???????---→????????????---→0000002200010101113106600022000101011131 方程组的一般解为
x x x x x x 14243
415=+==-????? (其中x 4为自由未知量)
令x 4=0,得到方程的一个特解)0001(0'=X .
方程组相应的齐方程的一般解为
?????-===43
42415x x x x x x (其中x 4为自由未知量)
令x 4=1,得到方程的一个基础解系)1115(1'-=X .
于是,方程组的全部解为
10kX X X +=(其中k 为任意常数)
3.设)4,3(~N X ,试求: (1))95(<X P .
(已知,8413.0)1(=Φ9987.0)3(,9772.0)2(=Φ=Φ)
解:(1))32
31()23923235()95(<-<=-<-<-=<(2))2
3723(
)7(->-=>X P X P )223(1)223(≤--=>-=X P X P 0228.09772.01)2(1=-=Φ-=
4.据资料分析,某厂生产的一批砖,其抗断强度)21.1,5.32(~N X ,今从这批砖中随机地抽取了9块,测得抗断强度(单位:kg /cm 2)的平均值为31.12,问这批砖的抗断强度是否合格(α==0051960975.,..u )
. 解: 零假设H 0325:.μ=.由于已知σ2121=.,故选取样本函数
U x n
N =-μσ~(,)01 已知x =3112.,经计算得
σ
9113037==..,x n
-=-=μσ3112325037373.... 由已知条件u 0975196..=,
x n
u -=>=μσ3731960975... 故拒绝零假设,即这批砖的抗断强度不合格。
5.设矩阵????
??????=??????????--=500050002,322121011B A ,求B A 1-. 解:利用初等行变换得
????
??????--→??????????--102340011110001011100322010121001011 ????
??????----→??????????----→146100135010001011146100011110001011 ????
??????-----→146100135010134001 即 ????
??????-----=-1461351341A 由矩阵乘法得
????
??????-----=????????????????????-----=-520125151051585000500021461351341B A
6.当λ取何值时,线性方程组
?????+=+++=+++-=--+14796
372224321
43214321λx x x x x x x x x x x x 有解,在有解的情况下求方程组的全部解.
解:将方程组的增广矩阵化为阶梯形
????
??????+-----→??????????+---19102220105111021211114796371221211λλ ????
??????----→??????????-----→1000010511108490110000105111021211λλ 由此可知当1≠λ时,方程组无解。当1=λ时,方程组有解。
此时齐次方程组化为