数值分析复习试题
第一章 绪论 一. 填空题 1.*
x 为精确值
x 的近似值；()
**x f y =为一元函数
()x f y =1的近似值；
()**,*y x f y =为二元函数()y x f y ,2=的近似值，请写出下面的公式：**e x x =-：
***
r x x
e x -=
()()()*'1**y f x x εε≈? ()()
()
()'***1**r r x f x y x f x εε≈
?
()()()()
()*
*,**,*2**f x y f x y y x y x y
εεε??≈?+???
()()()()()
**
*
*,***,**222r f x y e x f x y e y y x y y y ε??≈
?+??? 2、 计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫 舍入误差 。
3、 分别用2.718281，2.718282作数e 的近似值，则其有效数字分别有
6 位和
7 1.73≈（三位有效数字）-21
1.73 10 2
≤?。
4、 设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x 的相对误差限为 0.0055 。
5、 设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x +的误差限为 0.01 。
6、
已知近似值 2.4560A x =是由真值T x 经四舍五入得到,则相对误差限为 0.0000204 .
7、 递推公式,???
??0
n n-1y y =10y -1,n =1,2,
如果取
0 1.41y =≈作计算,则计算到10y 时,误差为
81
10 2
?;这个计算公式数值稳定不稳定 不稳定 . 8、 精确值 14159265
.3*
=π，则近似值141.3*1=π和1415.3*2=π分别有 3 位和 4 位有效数字。
9、 若*
2.71828x e x =≈=,则x 有 6 位有效数字，其绝对误差限为1/2*10-5
。
10、 设x*的相对误差为2％，求(x*)n
的相对误差0.02n
11、近似值*
0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；
12、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 13、为了使计算 ()()23
346
10111y x x x =+
+-
--- 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为
11
,))64(3(10-=
-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为
199920012
+。
14、改变函数f x x x ()=
+-1 (x >>1)的形式，使计算结果较精确
()x x x f ++=
11。
15、设
，取5位有效数字，则所得的近似值x=_2.3150____.
16、 已知数 e=2.718281828...,取近似值 x=2.7182,那麽x 具有的有效数字是 4 。 二、单项选择题：
1、舍入误差是( A )产生的误差。
A. 只取有限位数 B ．模型准确值与用数值方法求得的准确值 C ． 观察与测量 D ．数学模型准确值与实际值 2、3.141580是π的有( B )位有效数字的近似值。
A ． 6
B ． 5
C ． 4
D ． 7
3、用 1+x 近似表示e x
所产生的误差是( C )误差。
A ． 模型
B ． 观测
C ． 截断
D ． 舍入
4、用1+3x
近似表示3
1x +所产生的误差是( D )误差。
A ． 舍入
B ． 观测
C ． 模型
D ． 截断 5、-324．7500是舍入得到的近似值，它有( C )位有效数字。 A ． 5 B ． 6 C ． 7 D ． 8 6、( D )的3位有效数字是0.236×102。
(A) 0.0023549×103 (B) 2354.82×10－2 (C) 235.418 (D) 235.54×10－1
71732.≈计算4
1)x =-，下列方法中哪种最好？（ C ）
(A)28- (B)24(-； (C ；。
三、计算题
1. 有一个长方形水池,由测量知长为(50±0.01)米,宽为(25±0.01)米,深为(20±0.01)米,试按所给数据求出该水池的容积,并分析所得近似值的绝对误差和相对误差公式,并求出绝对误差限和相对误差限.
解：设长方形水池的长为L ，宽为W,深为H ，则该水池的面积为V=LWH
当L=50,W=25,H=20时，有 V=50*25*20=25000(米3
) 此时，该近似值的绝对误差可估计为
()()()()
()()()
=V V V V L W H L W H
WH L HL W LW H ????≈
?+?+?????+?+? 相对误差可估计为：()()
r V V V
??=
而已知该水池的长、宽和高的数据的绝对误差满足
()()()0.01,0.01,0.01L W H ?≤?≤?≤
故求得该水池容积的绝对误差限和相对误差限分别为
()()()()
()()3
25*20*0.0150*20*0.0150*25*0.0127.5027.50
1.1*1025000
r V WH L HL W LW H V V V -?≤?+?+?≤++=??=
≤= 2.已知测量某长方形场地的长a=110米,宽b=80米.若()()
**0.1 0.1a a b b -≤-≤米，米 试求其面积的绝对误差限和相对误差限.
解：设长方形的面积为s=ab
当a=110,b=80时，有 s==110*80=8800(米2
) 此时，该近似值的绝对误差可估计为
()()()
()()
=b s s
s a b a b
a a
b ???≈
?+????+? 相对误差可估计为：()()
r s s s
??=
而已知长方形长、宽的数据的绝对误差满足
()()0.1,0.1a b ?≤?≤
故求得该长方形的绝对误差限和相对误差限分别为
()()()()() 80*0.1110*0.119.019.0
0.0021598800
r s b a a b s s s ?≤?+?≤+=??=
≤= 绝对误差限为19.0；相对误差限为0.002159。
3、设x*的相对误差为2％，求(x*)n
的相对误差
'1**1**
**(),(),()()()
0.02()n n n n n r r n f x x f x nx x x n x x x x x n n n
x x
εε
εε--===-≈--=≈==解：由于故
故
4、计算球体积要使相对误差为1%，问度量半径R 允许的相对误差限是多少？ 解：令()343
V f R R π==，根据一元函数相对误差估计公式，得
()()()()()()'23431%
43
R R f R R V R R R f R R πεεεεπ≤?=?=≤
从而得()1
300
R R ε≤
5.正方形的边长大约为100cm ，问怎样测量才能使面积的误差不超过1cm 2
da=ds/(2a)=1cm 2
/(2*100)cm=0.5*10-2
cm,即边长a 的误差不超过0.005cm 时，才能保证
其面积误差不超过1平方厘米。
6．假设测得一个圆柱体容器的底面半径和高分别为50.00m 和100.00m ，且已知其测量误差为0.005m 。试估计由此算得的容积的绝对误差和相对误差。
解：h r V 2π=
)*(2*r r rh V V -=-π=2*3.1415926*50*100*0.005=157.0796325
V
V V -*=2r r r -*=0.0002
第二章 插值法 一、填空题：
1.设x i (i=0,1,2,3,4)为互异节点，l i (x)为相应的四次插值基函数，则()()4
40
2i
i i x
l x =
+∑＝
4
x i (i=0,1,2,3,4，5)为互异节点，l i (x)为相应的五
次插值基函数，则()()5
5
430
21i
i i i i x
x x l x =+++∑=54321x x x +++
3.已知
]5,4,3,2,1[,2]4,3,2,1[52)(3==
+=f f x x f 则，
4.2f (x)3x 1,f[1,2,3]____3_____,f[1,2,3,4]___0______=+=
=则
。
5.
设
则
＝3,
=0
6.设和节点则= 4.
7.设()()()00,116,246,f f f ===则[][]0,1 16 ,0,1,2 7 ,f f ==()f x 的二次牛顿插值多项式为 0+16(x-0)+7(x-0)(x-1) 。
8.如有下列表函数:
i x
0.2 0.3 0.4 ()i f x
0.04
0.09
0.16
则一次差商[]0.2,0.4f = 0.6 。
9、2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2
x 的系数为 -2 ，
拉格朗日插值多项式为()()()()()()()211
232131222
L x x x x x x x =-
-----+--,或2298x x -+-
10、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；
11、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2
系数为( 0.15 )； 12、设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l ()2x x --，)(x f 的二次牛顿插值多项式为
)1(716)(2-+=x x x x N 。
13、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，
则
()0
n
k k l x =∑=
1 ，
()0
n
k j k k x l x =∑=
j
x ，，当2≥n 时=
++∑=)()3(20
4
x l x x
k k n
k k ( 32
4++x x )。
14、设一阶差商
，
则二阶差商
15、通过四个互异节点的插值多项式p(x),只要满足三阶均差为0，则p(x)是不超过二次的多项式
16、若
4
321()f x x x =++，则差商2481632[,,,,]f = 3 。
二、单项选择题：
1、设f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,则抛物插值多项式中x 2
的系数为( A )。 A ． –0．5 B ． 0．5 C ． 2 D ． -2
2、拉格朗日插值多项式的余项是( B ),牛顿插值多项式的余项是( C ) 。 (A) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x －x1)(x －x2)…(x －xn －1)(x －xn)，
(B)
)!1()
()()()()1(+=
-=+n f x P x f x R n n n ξ (C) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x －x0)(x －x1)(x －x2)…(x －xn －1)(x －xn)，
(D) )
()!1()
()()()(1)1(x n f x P x f x R n n n n +++=-=ωξ
（A ）二次； （B ）三次； （C ）四次； （D ）五次
(A)； (B)4； (C) ； (D ) 2。
5、设()i
l x 是以019(,,,)k x k k ==为节点的Lagrange 插值基函数，则9
0()i
k kl k ==
∑
( C )
(A)x ； （B ）k ； （C ）i ； （D ）1。
(A ) 4； (B)2； (C)1； (D)3。 三、问答题
1.什么是Lagrange 插值基函数?它们有什么特性？
答：插值基函数是满足插值条件的n 次插值多
项式，它可表示为并有以下性质，
2.给定插值点
可分别构造Lagrange 插值多项式和Newton 插值多项式，它
们是否相同？为什么?它们各有何优点？ 答：给定插值点后构造的Lagrange 多项式为
Newton 插值多项式为它们形式不同但
都满足条件,于是
它表明n
次多项式
有n+1个零点，这与n 次多项式只有n 个零点矛盾，故
即
与
是相同的。
是用基函数表达的，便于研究方法的稳定性和收敛性等理论研究和应用，但不便于计算，而
每增加一个插值点就增加一项前面计算都有效，因此较适合于计算。
3.Hermite 插值与Lagrange 插值公式的构造与余项表达式有何异同？
答：Hermite 插值的插值点除满足函数值条件外还有导数值条件比Lagrange 插值复什一些，但它们都用基函数方法构造，余项表达式也相似，对Lagrange 插值余项表达式
为
，而Hermite 插值余项在有条件的点看作重节点，多一个条
件相当于多一点，若一共有m+1
个条件，则余项中前面因子为
后面相因子改为
即可得到Hermite 插值余项。 四、计算题
1、设()7351f x x x =++,求差商
0101201
701
82,2,2,2,2,2,2,,2,2,2,,2f f f f ?????????????
??
?
解：012
27,2169,216705f f f ??????===??????，故 01120122,2162,2,28268,2,2,22702f f f ??????===??????
根据差商的性质，得
()
()()
()701
780182,2,
,21
7!
2,2,,20
8!
f f f
f ξξ??==????=
=??
2、求满足下列条件的埃尔米特插值多项式: '
:1
2
2311
i i
i x y y -
解：根据已知条件可求得
()()()()()()()()()()()()
2
2
012
2
01212,25112,21x x x x x x x x x x x x ααββ=--=-+-=--=--
代入埃尔米特三次插值多项式公式
()()()()()
()()()()()()()()
00'
'30011012222
=221232511221p x y x y x y x y x x x x x x x x x ααββ=+++--+-+-+-----
3、如有下列表函数:
i x
0 1 2 3 4 ()i f x
3
6
11
18
27
试计算此列表函数的差分表,并给出它的牛顿插值多项式及余项公式. 解：查分表如下：
N 4(x)=3+3(x-0)+1*(x-0)(x-1)=x 2
+2x+3,0≤x ≤1 4试用线性插值和抛物插值求的近似值。
5．已知
请依据上述数据求f(x)的2次Lagrange 插值多项式。
01201202122010102100201220211,1,2,()3,()1,()1()()()()
()()
()
()()()()
()()()
()()
(1)(2)(1)(2)31(11)(12)(11)(12)(1)x x x f x f x f x x x x x x x x x L x f x f x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x =-=====-----=+------+----+-=?+?
----+++-解：记则所以(1)(1)
(21)(21)111
(1)(2)(1)(2)(1)(1)223
x x x x x x x x +-?
+-=---+--+-
6.用插值法求满足以下条件的不超过三次的插值多项式
f(0)=1,f(1)=2,f (2)=9,f ’(1)=3,并写出插值余项。 解：根据Lagrange 插值多项式和Newton 插值多项式得出
()()222321L x N x x x ==-+
设待插值函数为：
()()()()()32012H x N x k x x x =+---
根据
()()'3113, H f ==’得参数1, k =则
()33 1.H x x =+
插值余项为：
7、 已知
分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求)(x f 的三次插值多项式)(3x P ，
并求)2(f 的近似值（保
留四位小数）。
答案：
)53)(43)(13()
5)(4)(1(6
)51)(41)(31()5)(4)(3(2
)(3------+------=x x x x x x x L
)45)(35)(15()
4)(3)(1(4
)54)(34)(14()5)(3)(1(5
------+------+x x x x x x
差商表为
()()()()
()()()
42
33124!f R x f x H x x x x ξ=-=--
)
4)(3)(1(4)3)(1()1(22)()(33---+----+==x x x x x x x N x P
5
.5)2()2(3=≈P f
8、已知x sin 区间[0.4，0.8]的函数表
如用二次插值求63891.0sin 的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。 答案：解： 应选三个节点，使误差
|
)(|!3|)(|33
2x M x R ω≤
尽量小，即应使|)(|3
x ω尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点}7.0,6.0,5.0{最好，实际计算结果
596274.063891.0sin ≈， 且
4
1055032.0)7.063891.0)(6.0963891.0)(5.063891.0(!
31
596274
.063891.0sin -?≤----≤
-
9、取节点1,5.0,0210===x x x ,求函数x
x f -=e )(在区间[0,1]上的二次插值多项式)(2x P ,
并估计误差。
解：
)15.0)(05.0()
1)(0()10)(5.00()1)(5.0()(5.002----?
+----?
=--x x e x x e x P
)5.0(2)1(4)1)(5.0(2)
5.01)(01()
5.0)(0(15.01-+----=----?
+---x x e x x e x x x x e
又
1
|)(|max ,)(,)(]
1,0[3='''=-='''=∈--x f M e x f e x f x x x
故截断误差
|)1)(5.0(|!31
|)(||)(|22--≤
-=-x x x x P e x R x 。
10、已知f (-1)=2，f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗日插值多项式)(2x L 及f (1，5)的近似值，取五位小数。
解：
)12)(12()
1)(1(4)21)(11()2)(1(3)21)(11()2)(1(2)(2-+-+?
--+-+?+------?
=x x x x x x x L
)1)(1(34
)2)(1(23)2)(1(32-+--+---=
x x x x x x
04167
.0241
)5.1()5.1(2≈=≈L f
11、(12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算115的近似值，并利用余项估计误差。 用Newton
≈11510+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)
=10.7227555
()2
5
83'''-
=x x f
()()()()00163.029*******
3
61144115121115100115!
3'''25
≈???≤---=
-ξf R
12、(10分)已知下列函数表：
(2)作均差表，写出相应的三次Newton 插值多项式，并计算15(.)f 的近似值。 解：（1）
3123023013012010203101213202123303132()()()()()()()()()()()()
()()()()()()()()()()()()()
x x x x x x x x x x x x L x ------------=
+++
------------
3248
2133x x x =
-++
（2）均差表：01132
9
327 2
618 26 4
3
34
1221123()()()()
N x x x x x x x =++-+--
315155(.)(.)f N ≈=
13、 已知y=f （x ）的数据如下
求二次插值多项式
及f （2.5）
解：
14、设
（1）试
求 在 上的三次Hermite 插值多项式H （x ）使满足
H （x ）以升幂形式给出。
（2）写出余项 的表达式
解 （1）
（2）
第四章 数值积分
一、填空题 1、求
?
2
1
2dx x ，利用梯形公式的计算结果为 2.5 ，利用辛卜生公式的计算结果为
2.333 。
2． n 次插值型求积公式至少具有 n 次代数精度，如果n 为偶数，则有 n+1 次代数精度。
3． 梯形公式具有1次代数精度，Simpson 公式有 3 次代数精度。
4.插值型求积公式()()0
n
b
k
k
a
k A f x f x =≈∑?的求积系数之和 b-a 。
5、 计算积分?1
5
.0d x
x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 0.4268 ，用辛
卜生公式计算求得的近似值为 0.4309 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。
6、 已知f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求积公式求
?5
1
d )(x
x f ≈( 12 )。
7、 设f (1)=1， f (2)=2，f (3)=0，用三点式求≈')1(f ( 2.5 )。
8、若用复化梯形公式计算
?10
dx
e x ，要求误差不超过6
10-，利用余项公式估计，至少用 477
个求积节点。
9、数值积分公式1
1218019()[()()()]f x dx f f f -'≈-++?的代数精度为 2 。
10、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得
?≈3
1
_________
)(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。
答案：2.367，0.25
10、 数值微分中，已知等距节点的函数值
， 则由三点的求导公式，有
11、
对于n+1个节点的插值求积公式
至少具有n 次代数精度.
二、单项选择题：
1、等距二点求导公式f '(x1) ≈( A )。
1011
0101
0010
101)()()
D ()()()
C ()()()
B ()()()A (x x x f x f x x x f x f x x x f x f x x x f x f +--+----
2、在牛顿-柯特斯求积公式：
?
∑=-≈b
a
n
i i n i x f C a b dx x f 0
)()
()()(中，当系数)(n i C 是负值时，公
式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（ A ）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。
（A ）8≥n ， （B ）7≥n ， （C ）10≥n ， （D ）6≥n ， 三、问答题
1.什么是求积公式的代数精确度？如何利用代数精确度的概念去确定求积公式中的待定参数？ 答：一个求积公式如果当为任意m 次多项式时，求积公式精确成立，而当为次数大于m 次多项式时，它不精确成立，则称此求积公式具有m 次代数精确度。根据定义只要令代入求积公式两端，公式成立，得含待定参数的m+1个方程的方程组，这里m+1为待定参数个数，解此方程组则为所求。 四、计算题
1、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度. (1)
解：本题直接利用求积公式精确度定义，则可突出求积公式的参数。 令
代入公式两端并使其相等，得
解此方程组得，于是有
再令，得
故求积公式具有3次代数精确度。
（2）
（3）
解：令
代入公式精确成立，得
解得，
得求积公式
对
故求积公式具有2次代数精确度。
2.求积公式
1
'
01
00
()(0)(1)
(0)f x d x A f A f B f ≈++?
，
已知其余项表达式为'''()(),(0,1)R f kf ξξ=∈，试确定系数010,,A A B ，使该求积公式具有尽可能高的代数精度，并给出
代数精度的次数及求积公式余项。
'20102
010*******
321110
36
1
'211336
1
3
3140
(0),,()1,,,()1,1(),,,(),()(0)(1)(0)
(),f A A B f x x x f x A A A f x x A B A f x x A B f x dx f f f f x x x dx ==+==????
=+==????===
??=
+
+
==?
?解：本题虽然用到了的值，仍用代数精度定义确定参数。令分别代入求积公式，令公式两端相等，则得求得则有
再令此时，而上式13
,2=
右端两端不相等，故
它的代数精度为次。
31
''''2
113
3
6
3'2'''''1
31114
3
72
'''172
()()(0)(1)(0)(),(0,1)
()()3,()6,()6,6,,
()(),(0,1)
f x x f x dx f f f kf f x x f x x f x x f x x dx k k R f f ξξξξ==
+
+
+∈=====
=
+=-
=-
∈?
?
为求余项可将代入求积公式
当，代入上式得
即所以余项7.
3、根据下面给出的函数sin ()x
f x x
=的数据表，分别用复合梯形公式和复合辛甫生公式 计算1
0sin x
I dx
=
?
解 用复合梯形公式,这里n=8,0.1258
h =
=, ()1
sin 0.125
{(0)2[(0.125)(0.25)2
(0.375)(0.5)(0.625)(0.75)(0.875)]1}0.94569086
x dx f f f x f f f f f f ≈++++++++=?
用复合辛甫生公式: 这里n=4,1
0.254
h ==.可得
1
sin 0.25
{(0)4[(0.125)(0.375)6
x dx f f f x ≈++?
(0.625)(0.875)]2[(0.25)(0.5)(0.75)](1)}0.946083305
f f f f f f ++++++=
4、求A 、B 使求积公式
?-+-++-≈1
1)]21
()21([)]1()1([)(f f B f f A dx x f 的代数精度尽量高,并求其代数精度；利用此公式求
?
=2
1
1
dx
x I (保留四位小数)。
答案：2
,,1)(x x x f =是精确成立，即
???
??=+=+32212222B A B A 得98,91==B A
求积公式为
)]21
()21([98)]1()1([91)(1
1f f f f dx x f +-++-=?- 当3
)(x x f =时，公式显然精确成立；当4
)(x x f =时，左=52，右=31
。所以代数精度为3。
69286.0140
97
]
3
21132/11[98]311311[9131111322
1
≈=
+++-++++-≈+=??--=dt t dx x x t
5、n =3,用复合梯形公式求
x
x
d e
10?的近似值（取四位小数）,并求误差估计。
解：
7342.1]e )e e (2e [3201d e 1210
310
≈+++?-=
≈?T x x
x x x f x f e )(,e )(=''=，10≤≤x 时，e |)(|≤''x f
05.0025.0108e
312e |e |||2
3≤==?≤
-= T R x
至少有两位有效数字。
6、（15分）用8=n 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算
dx
e x ?
-1
时，试用余项估计
其误差。用8=n 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算出该积分的近似值。
解：
001302.0768181121)(12][022==??≤''--
=e f h a b f R T η
]
)()(2)([2)8(7
1∑=++=k k b f x f a f h
T ]36787947.0)41686207.047236655.05352614.060653066.07788008.08824969.0(21[16
1
++++++?+=
6329434.0=
7、（10分）已知数值积分公式为：
)]
()0([)]()0([2)(''20
h f f h h f f h
dx x f h
-++≈?
λ，试确定积分公式中的参数λ，使其代
数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。
解：1)(=x f 显然精确成立； x x f =)(时，
]
11[]0[22220
-++==?
h h h
h xdx h
λ；
2
)(x x f =时，12122]20[]0[2332
2302
=?-=-++==?λλλh h h h h h h dx x h
；
3
)(x x f =时，]30[121]0[24223403h h h h h dx x h -++==?；
4)(x x f =时，6]40[121]0[2553
2450
4
h h h h h h dx x h
=
-++≠=?；
所以，其代数精确度为3。
8、(10分)用复化Simpson 公式计算积分
()?
=1
0sin dx x x I 的近似值，要求误差限为5105.0-?。
()()0.9461458812140611=???? ??+???
??+=f f f S ()()0.94608693143421241401212=???? ??+??? ??+??? ??+??? ??+=
f f f f f S
5-12210933.0151
?=-≈
-S S S I 94608693.02=≈S I
或利用余项：()()
-+-+-==!9!7!5!31sin 8
642x x x x x x x f () -?+?-=!49!275142)
4(x x x f
()51
)4(≤
x f ()()5
4)
4(4
5
10
5.05288012880-?≤?≤
-=
n f
n a b R
η，2≥n ， =≈2S I
9、（9分）数值求积公式?
+≈30
)]
2()1([23
)(f f dx x f 是否为插值型求积公式？为什么？其代数
精度是多少？
解：是。因为)(x f 在基点1、2处的插值多项式为
)2(121
)1(212)(f x f x x p ?--+?--=
?+=3
0)]2()1([23
)(f f dx x p 。其代数精度为1。
10、(10分)取5个等距节点 ，分别用复化梯形公式和复化辛普生公式计算积分
2
2
01
12+?dx x 的近似值（保留4位小数）。
21
12()f x x =
+(1)复化梯形公式（n=4,h=2/4=0.5）：
405
1206666670333333018181801111112.[(...).]T =
+?+++ 0868687.=
(2) 复化梯形公式（n=2,h=2/2=1）：
21
14066666701818182033333301111116[(..)..]
S =+?++?+ 0861953.=
11、(6分)
构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度：
()()121101
f A f A dx x xf +???
??≈?
取f(x)=1,x ，令公式准确成立，得：
2110=
+A A ，312110=
+A A
310=A ，61
1=A f(x)=x 2
时，公式左右=1/4; f(x)=x 3
时，公式左=1/5, 公式右=5/24
∴ 公式的代数精度=2
12、 证明定积分近似计算的抛物线公式
具有三次代数精度
证明：当=1时，
公式左边：公式右边：左边=右边
当=x时
左边：右边：左边=右边
当时
左边：右边：左边=右边
当时
左边：右边：左边=右边
当时左边：
右边：
故具有三次代数精度
13、试确定常数A，B，C和，使得数值积分公式
有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？
解，该数值求积公式具有5次代数精确度，
第五章常微分方程
一、填空题
数值分析试题 一、 填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位 有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代 函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商 公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当 系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收 敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。 12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差 r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。 13. 在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f (x )
《数值计算方法》复习试题 一、填空题： 1、????? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：， 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ， 拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； （ 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为
( )] ,(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y )； 10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精 度为( 5 )； 12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 13、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。 14、 用二分法求方程01)(3 =-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间 为 ，1 ,进行两步后根的所在区间为 ， 。 15、 、 16、 计算积分?1 5 .0d x x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 ，用辛卜 生公式计算求得的近似值为 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。 17、 求解方程组?? ?=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为 ?????-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1 k k k k x x x x ，该迭 代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ= 121 。 18、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ，)(x f 的二次牛顿 插值多项式为 )1(716)(2-+=x x x x N 。 19、 求积公式 ?∑=≈b a k n k k x f A x x f )(d )(0 的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，具 有( 12+n )次代数精度。
二 1 求A的LU分解，并利用分解结果求 解由紧凑格式 故 从而 故 2求证：非奇异矩阵不一定有LU分解 证明设非奇异，要说明A不一定能做LU分解，只需举出一个反例即可。现考虑矩阵，显然A为非奇异矩阵。若A有LU分解，则 故，而，显然不能同时成立。这矛盾说明A不能做LU分解，故只假定A非奇异并不能保证A能做LU分解，只有在A的前阶顺序主子式时才能保证A一定有LU分解。 3用追赶法求解如下的三对角方程组 解设有分解 由公式 其中分别是系数矩阵的主对角线元素及其下边和上边的次对角线元素，故有 从而有 故，，， 故，，， 4设A是任一阶对称正定矩阵，证明是一种向量范数 证明（1）因A正定对称，故当时，，而当时， （2）对任何实数，有 （3）因A正定，故有分解，则 故对任意向量和，总有 综上可知，是一种向量范数。 5 设，，已知方程组的精确解为 （1）计算条件数； （2）若近似解，计算剩余； （3）利用事后误差估计式计算不等式右端，并与不等式左边比较，此结果说明了什么？解（1） （2）
（3）由事后误差估计式，右端为 而左端 这表明当A为病态矩阵时，尽管剩余很小，误差估计仍然较大。因此，当A病态时，用大小作为检验解的准确度是不可靠的。 6矩阵第一行乘以一数成为，证明当时，有最小值 证明设，则 又 故 从而当时，即时，有最小值，且 7 讨论用雅可比法和高斯-赛德尔法解方程组时的收敛性。如果收敛，比较哪一种方法收敛较快，其中 解对雅可比方法，迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛。 对高斯-赛德尔法，迭代矩阵 ，故高斯-赛德尔法收敛。 因=故高斯-赛德尔法较雅可比法收敛快。 8设，求解方程组，求雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法收敛的充要条件。 解雅可比法的迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛的充要条件是。 高斯-赛德尔法的迭代矩阵 ， 故高斯-赛德尔法收敛的充要条件是。 9 设求解方程组的雅可比迭代格式为，其中，求证：若，则相应的高斯-赛德尔法收敛。证明由于是雅可比法的迭代矩阵，故 又，故， 即，故故系数矩阵A按行严格对角占优，从而高斯-赛德尔法收敛。 10设A为对称正定矩阵，考虑迭代格式 求证：（1）对任意初始向量，收敛； （2）收敛到的解。 证明（1）所给格式可化为 这里存在是因为，由A对称正定，，故也对称正定。 设迭代矩阵的特征值为，为相应的特征向量，则与做内积，有 因正定，故，从而，格式收敛。
1、（本题5分）试确定7 22 作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。 解 因为 7 22 =3.142857…=1103142857 .0-? π=3.141592… 所以 312102 11021005.0001264.0722--?=?=<=- π （2分） 这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22 作为π的近似值具有3位有效数字。 （1分） 而相对误差限 3102 1 0005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：??? ?? ??=????? ??????? ??--654131*********x x x ； 解 设???? ? ??????? ? ?????? ??===????? ??--11111 1 131321112323121 32 132 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得： 5 7,21,215 27 ,25,2323121321- ==-== -==l l l d d d （3分） 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23 ,97,910(,)563, 7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组???????=++-=+-+=-+-=-+17 7222382311387 510432143213 21431x x x x x x x x x x x x x x 1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； 2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性； 解 1）Jacoib 迭代格式为
《计算方法》期末考试试题 一 选 择（每题3分，合计42分） 1. x* ＝ 1.732050808，取x ＝1.7320，则x 具有 位有效数字。 A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 2. 取7 3.13≈（三位有效数字），则 ≤-73.13 。 A 、30.510-? B 、20.510-? C 、10.510-? D 、0.5 3. 下面_ _不是数值计算应注意的问题。 A 、注意简化计算步骤，减少运算次数 B 、要避免相近两数相减 C 、要防止大数吃掉小数 D 、要尽量消灭误差 4. 对任意初始向量)0(x 及常向量g ，迭代过程g x B x k k +=+)() 1(收敛的充分必要条件是_ _。 A 、11< B B 、1<∞ B C 、1)(数值分析试卷及答案
二 1求A的LU分解，并利用分解结果求 解由紧凑格式 故 从而 故 2求证：非奇异矩阵不一定有LU分解 证明设非奇异，要说明A不一定能做LU分解，只需举出一个反例即可。现考虑矩阵，显然A为非奇异矩阵。若A有LU分解，则 故，而，显然不能同时成立。这矛盾说明A不能做LU分解，故只假定A非奇异并不能保证A能做LU分解，只有在A的前阶顺序主子式 时才能保证A一定有LU分解。
3用追赶法求解如下的三对角方程组 解设有分解 由公式 其中分别是系数矩阵的主对角线元素及其下边和上边的次对角线元素，故有 从而有 故，，， 故，，，
4设A是任一阶对称正定矩阵，证明是一种向量范数 证明（1）因A正定对称，故当时，，而当时， （2）对任何实数，有 （3）因A正定，故有分解，则 故对任意向量和，总有 综上可知，是一种向量范数。 5 设，，已知方程组的精确解为 （1）计算条件数； （2）若近似解，计算剩余； （3）利用事后误差估计式计算不等式右端，并与不等式左边比较，此结果说明了什么？解（1） （2） （3）由事后误差估计式，右端为 而左端
这表明当A为病态矩阵时，尽管剩余很小，误差估计仍然较大。因此，当A病态时，用大小作为检验解的准确度是不可靠的。 6矩阵第一行乘以一数成为，证明当时，有最小值 证明设，则 又 故 从而当时，即时，有最小值，且 7讨论用雅可比法和高斯-赛德尔法解方程组时的收敛性。如果收敛，比较哪一种方 法收敛较快，其中 解对雅可比方法，迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛。 对高斯-赛德尔法，迭代矩阵
，故高斯-赛德尔法收敛。 因=故高斯-赛德尔法较雅可比法收敛快。 8设，求解方程组，求雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法收敛的充要条件。 解雅可比法的迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛的充要条件是。 高斯-赛德尔法的迭代矩阵 ，
数值分析整理版试题及答案
例1、 已知函数表 x -1 1 2 ()f x -3 0 4 求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。 解： （1）k x -1 1 2 k y -3 0 4 插值基函数分别为 ()()()()()()()()()() 1200102121()1211126 x x x x x x l x x x x x x x ----= ==-------- ()()()()()()()() ()()021******* ()1211122x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+---+- ()()()()()()()()()()0122021111 ()1121213 x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+--+- 故所求二次拉格朗日插值多项式为 () ()()()()()()()()()()2 20 2()11131201241162314 121123537623k k k L x y l x x x x x x x x x x x x x ==?? =-? --+?-+-+?+-????=---++-=+-∑ （2）一阶均差、二阶均差分别为
[]()()[]()()[][][]010********* 011201202303 ,11204 ,412 3 4,,5 2,,126 f x f x f x x x x f x f x f x x x x f x x f x x f x x x x x ---===-----= = =----=== --- k x ()k f x 一阶 二阶 -1 -3 1 0 3/ 2 2 4 4 5/6 故所求Newton 二次插值多项式为 ()()[]()[]()() ()()()20010012012,,,35 311126537623P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x =+-+--=-+ +++-=+- 例2、 设2 ()32f x x x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{} span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。 解： 若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，且()1x ρ=，这样，有
《计算方法》期中复习试题 一、填空题： 1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：2.367，0.25 2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ，拉 格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 5、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 7、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精度 为( 5 )； 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达 式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式1999 2001-
1. 已知325413.0,325413*2*1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限。（4分） 解： 由已知可知6 5.0102 1 ,0,6,10325413.0016*1=?= =-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 620*2102 1 ,6,0,10325413.0-?= -=-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 2. 已知?? ???=0 01 A 220- ?????440求21,,A A A ∞ （6分） 解： {}, 88,4,1max 1==A 1分 {}, 66,6,1max ==∞A 1分 () A A A T max 2λ= 1分 ?????=0 1 A A T 4 2 ???? ? -420?????0 01 2 20 - ???? ?440= ?????0 01 80 ???? ?3200 2分 {}32 32,8,1max )(max ==A A T λ
1分 24322==A 3. 设32)()(a x x f -= （6分） ① 写出f(x)=0解的迭代格式 ② 当a 为何值时，)(1k k x x ?=+ （0,1……）产生的序列{}k x 收敛于 2 解： ①迭代格式为： x a x x x a x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(2 2 32 1 += +=---=-=+? 3 分 ②时迭代收敛即当222,112 10)2(',665)('2<<-<-=-= a a x a x ?? 3分 4. 给定线性方程组，其中：?? ?=13A ?? ?2 2，?? ? ???-=13b 用迭代公式 )()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（0,1……）求解，问取什么实数α ，可使 迭代收敛 （8分） 解： 所给迭代公式的迭代矩阵为?? ? --???--=-=ααααα21231A I B 2分
《数值计算方法》复习试题 一、填空题: 1、????? ?????----=410141014A ,则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案: ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ,拉 格朗日插值多项式为 。 答案:-1, )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字; 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式就是( ); 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 ); 7、计算方法主要研究( 截断 )误差与( 舍入 )误差; 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时,二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b ); 10、已知f (1)＝2,f (2)＝3,f (4)＝5、9,则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0、15 ); 11、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少,应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ,为了减少舍入误差,应将表达式
关于地方时的计算 一．地方时计算的一般步骤： 1．找两地的经度差： (1)如果已知地和要求地同在东经或同在西经，则： 经度差=经度大的度数—经度小的度数 (2)如果已知地和要求地不同是东经或西经，则： 经度差=两经度和（和小于180°时） 或经度差=（180°—两经度和）。（在两经度和大于180°时） 2．把经度差转化为地方时差，即： 地方时差=经度差÷15°/H 3．根据要求地在已知地的东西位置关系，加减地方时差，即：要求点在已知点的东方，加地方时差；如要求点在已知点西方，则减地方时差。 二．东西位置关系的判断： （1）同是东经，度数越大越靠东。即：度数大的在东。 （2）是西经，度数越大越靠西。即：度数大的在西。 （3）一个东经一个西经，如果和小180°，东经在东西经在西；如果和大于180°，则经度差=（360°—和），东经在西，西经在东；如果和等于180，则亦东亦西。 三．应用举例： 1、固定点计算 【例1】两地同在东经或西经 已知：A点120°E,地方时为10：00，求B点60°E的地方时。 分析：因为A、B两点同是东经，所以，A、B两点的经度差=120°－60°=60° 地方时差=60°÷15°/H=4小时 因为A、B两点同是东经，度数越大越靠东，要求B点60°E比A点120°E小，所以，B点在A点的西方，应减地方时差。 所以，B点地方时为10：00—4小时=6：00 【例2】两地分属东西经 A、已知:A点110°E的地方时为10:00,求B点30°W的地方时. 分析:Ａ在东经，Ｂ在西经，110°+30°=140°＜180°，所以经度差=140°，且A点东经在东，B点西经在西，A、B两点的地方时差=140°÷15°/H=9小时20分，B点在西方， 所以，B点的地方时为10：00—9小时20分=00：40。 B、已知A点100°E的地方时为8：00，求B点90°W的地方时。 分析：A点为东经，B点为西经，100°+90°=190°＞180°， 则A、，B两点的经度差=360°—190°=170°，且A点东经在西，B点西经在东。 所以，A、B两点的地方时差=170°÷15°/H=11小时20分，B点在A点的东方， 所以B点的地方时为8：00+11小时20分=19：20。 C、已知A点100°E的地方 8：00，求B点80°W的地方时。 分析：A点为100°E，B点为80°W，则100°+80°=180°，亦东亦西，即：可以说B点在A点的东方，也可以说B点在A点的西方，A，B两点的地方时差为180÷15/H=12小时。所以B点的地方时为8：00+12小时=20：00或8：00—12小时，不够减，在日期中借一天24小时来，即24小时 +8：00—12小时=20：00。 2、变化点计算 【例1】一架飞机于10月1日17时从我国上海（东八区）飞往美国旧金山（西八区），需飞行14小时。到达目的地时，当地时间是（） A. 10月2日15时 B. 10月2日3时 C. 10月1日15时 D. 10月1日3时
1、（本题5分）试确定7 22作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。 解 因为 7 22=3.142857…=1103142857.0-? π=3.141592… 所以 3 12 10 2 110 21005.0001264.07 22--?= ?= <=- π （2分） 这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22作为π的近似值具有3位有效数字。 （1分） 而相对误差限 3 10 2 10005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：???? ? ??=????? ??????? ??--654131321 112321x x x ； 解 设???? ? ? ?????? ? ?????? ??===????? ? ?--11 1 11113 1321 11232312132 1 32 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得： 5 7,21,21527,25,2323121321- == - == -==l l l d d d （3分） 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23,97,910( ,)5 63, 7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组??? ? ? ??=++-=+-+=-+-=-+17722238231138751043214321 321431x x x x x x x x x x x x x x 1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； 2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性； 解 1）Jacoib 迭代格式为
例1、 已知函数表 求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。 解： （1） 故所求二次拉格朗日插值多项式为 （2）一阶均差、二阶均差分别为 例2、 设2 ()32f x x x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0,1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平 方逼近多项式。 解： 若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，且()1x ρ=，这样，有 所以，法方程为
011231261192 34a a ??????????=?????????? ?????????? ，经过消元得012311 62110123a a ??? ???????=???????????????????? 再回代解该方程，得到14a =，011 6 a = 故，所求最佳平方逼近多项式为* 111()46S x x =+ 例3、 设()x f x e =，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0,1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近 多项式。 解： 若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，这样，有 所以，法方程为 解法方程，得到00.8732a =，1 1.6902a =， 故，所求最佳平方逼近多项式为 例4、 用4n = 的复合梯形和复合辛普森公式计算积分1 ? 。 解： （1）用4n =的复合梯形公式 由于2h =，( )f x =()121,2,3k x k k =+=，所以，有 （2）用4n =的复合辛普森公式 由于2h =，( )f x =()121,2,3k x k k =+=，()12 220,1,2,3k x k k + =+=，所以，有 例5、 用列主元消去法求解下列线性方程组的解。 解：先消元 再回代，得到33x =，22x =，11x = 所以，线性方程组的解为11x =，22x =，33x = 例6、 用直接三角分解法求下列线性方程组的解。 解： 设 则由A LU =的对应元素相等，有 1114u = ，1215u =，1316u =， 2111211433l u l =?=，3111311 22 l u l =?=， 2112222211460l u u u +=?=-，2113232311 545l u u u +=?=-，
《计算方法》练习题一 练习题第1套参考答案 一、填空题 1． 14159.3=π的近似值3.1428，准确数位是（ 2 10- ）。 2．满足d b f c a f ==)(,)(的插值余项=)(x R （ ))((!2) (b x a x f --''ξ ） 。 3．设)}({x P k 为勒让德多项式，则=))(),((22x P x P （5 2 ）。 4．乘幂法是求实方阵（按模最大 ）特征值与特征向量的迭代法。 5．欧拉法的绝对稳定实区间是（ ]0,2[-）。 二、单选题 1．已知近似数,,b a 的误差限)(),(b a εε，则=)(ab ε（Ｃ ）。 A ．)()(b a εε Ｂ．)()(b a εε+ Ｃ．)()(b b a a εε+ Ｄ．)()(a b b a εε+ 2．设x x x f +=2 )(，则=]3,2,1[f （ Ａ ）。 Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 3．设Ａ＝?? ? ? ??3113，则化Ａ为对角阵的平面旋转=θ（ Ｃ ） ． Ａ． 2π Ｂ．3π Ｃ．4π Ｄ．6 π 4．若双点弦法收敛，则双点弦法具有（Ｂ ）敛速． Ａ．线性 Ｂ．超线性 Ｃ．平方 Ｄ．三次 5．改进欧拉法的局部截断误差阶是（ Ｃ ）. A ．)(h o Ｂ．)(2 h o Ｃ．)(3 h o Ｄ．)(4 h o 三、计算题 1．求矛盾方程组：??? ??=-=+=+2 42321 2121x x x x x x 的最小二乘解。 2 212 212 2121)2()42()3(),(--+-++-+=x x x x x x x x ?， 由 0,021=??=??x x ? ?得：???=+=+9 629232121x x x x ， 解得14 9 ,71821== x x 。
一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式 ()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? ，则A ＝（ ） A ． 16 B ．13 C ．12 D ．2 3 3. 通过点 ()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ） A ． ()00l x ＝0， ()110l x = B ． ()00l x ＝0， ()111l x = C ．() 00l x ＝1，()111 l x = D ． () 00l x ＝1，()111 l x = 4. 设求方程 ()0 f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组 1231231 220223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=? 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）. A ． 232 x x -+= B ．232 1.5 3.5 x x -+= C ． 2323 x x -+= D ． 230.5 1.5 x x -=- 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得 分 评卷人 二、填空题（每小题3分，共15分）
1. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = . 2. 一阶均差 ()01,f x x = 3. 已知3n =时，科茨系数()()() 33301213,88C C C ===，那么 () 33C = 4. 因为方程()420 x f x x =-+=在区间 []1,2上满足 ，所以()0f x =在区间 内有根。 5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题 ()211y y y x y ?'=+?? ?=? 的计算公式 . 填空题答案 1. 9和29 2. ()() 0101 f x f x x x -- 3. 1 8 4. ()()120 f f < 5. ()12 00.1 1.1,0,1,210.11k k y y k k y +???? ?=+? ?=+???? =??L 得 分 评卷人 三、计算题（每题15分，共60分） 1. 已知函数 21 1y x = +的一组数据： 求分 段线性插值函数，并计算 () 1.5f 的近似值. 计算题1.答案 1. 解 []0,1x ∈， ()1010.510.50110x x L x x --=?+?=---% []1,2x ∈，()210.50.20.30.81221x x L x x --=?+?=-+--%
计算方法试题 1．有效数字位数越多，相对误差越小。（） 2．若A是n×n阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵L和上三角阵U，使A=LU唯一成立。（） 3．当时，型求积公式会产生数值不稳定性。（） 4．不适合用牛顿-莱布尼兹公式求定积分的情况有的原函数不能用有限形式表示。（） 5．中矩形公式和左矩形公式具有1次代数精度。（） 1．数的六位有效数字的近似数的绝对误差限是（） 2．用二分法求方程在区间[0，1]内的根，进行一步后根的所在区间为（）。 3．求解线性代数方程组的高斯-赛德尔迭代格式为（ ） 4．已知函数在点=2和=5处的函数值分别是12和18，已知，则（）。 5．5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为（）。 1．不是判断算法优劣的标准是（）。 A、算法结构简单，易于实现 B、运算量小，占用内存少 C、稳定性好 D、计算误差大 2．计算（），取，采用下列算式计算，哪一个得到的结果最好？ （）。 A、 （）B、99-70C、D、 （） 3．计算的Newton迭代格式为（）。 A、B、C、D、4．雅可比迭代法解方程组的必要条件是（）。 A、A的各阶顺序主子式不为零 B、 C、，，，， D、
5．设求方程的根的切线法收敛，则它具有（）敛速度。 A、线性 B、超越性 C、平方 D、三次 6．解线性方程组的主元素消元法中选择主元的目的是（）。 A、控制舍入误差 B、减小方法误差 C、防止计算时溢出 D、简化计算 7．设和分别是满足同一插值条件的n次拉格朗日和牛顿插值多项式，它们的插值余项分别为和，则（）。 A、， B、， C、， D、， 8．求积公式至少具有0次代数精度的充要条件是：（） A、B、 C、D、 9．数值求积公式中Simpson公式的代数精度为（）。 A、0B、1 C、2D、3 10．在牛顿-柯特斯求积公式：中，当系数是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。 A、B、C、D、 1．简述误差的四个来源。（10分） 2．简述分析法对的根进行隔离的一般步骤。 1．已知方程有一个正根及一个负根。 a)估计出有根区间； b)分别讨论用迭代公式求这两个根时的收敛性； c)如果上述格式不迭代，请写出一个收敛的迭代格式。（不需要证明）
数值分析试题及答案 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有（）和（）位有效数字. A．4和3 B．3和2 C．3和4 D．4和4 2. 已知求积公式，则＝（） A． B．C．D． 3. 通过点的拉格朗日插值基函数满足（） A．＝0，B．＝0， C．＝1，D．＝1， 4. 设求方程的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。 A．超线性B．平方C．线性D．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组作第一次消元后得到的第3个方程（）. A．B． C．D． 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得分评卷 人 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设, 则， . 2. 一阶均差 3. 已知时，科茨系数，那么 4. 因为方程在区间上满足，所以在区间内有根。 5. 取步长，用欧拉法解初值问题的计算公式.填空题答案
1. 9和 2. 3. 4. 5. 得分评卷 人 三、计算题（每题15分，共60分） 1. 已知函数的一组数据：求分段线性插值函数，并计算的近似值. 计算题1.答案 1. 解， ， 所以分段线性插值函数为 2. 已知线性方程组 （1）写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式； （2）对于初始值，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算（保留小数点后五位数字）. 计算题2.答案 1.解原方程组同解变形为 雅可比迭代公式为 高斯－塞德尔迭代法公式 用雅可比迭代公式得 用高斯－塞德尔迭代公式得 3. 用牛顿法求方程在之间的近似根 （1）请指出为什么初值应取2？ （2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001. 计算题3.答案
数值分析复习试题 第一章 绪论 一. 填空题 1.* x 为精确值 x 的近似值；() **x f y =为一元函数 ()x f y =1的近似值； ()**,*y x f y =为二元函数()y x f y ,2=的近似值，请写出下面的公式：**e x x =-： *** r x x e x -= ()()()*'1**y f x x εε≈? ()() () ()'***1**r r x f x y x f x εε≈ ? ()()()() ()* *,**,*2**f x y f x y y x y x y εεε??≈?+??? ()()()()() ** * *,***,**222r f x y e x f x y e y y x y y y ε??≈ ?+??? 2、 计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫 舍入误 差 。 3、 分别用2.718281，2.718282作数e 的近似值，则其有效数字分别有 6 位和 7 位；又取 1.73≈-21 1.73 10 2 ≤?。 4、 设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x 的相对误差限为 0.0055 。 5、 设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x +的误差限为 0.01 。 6、 已知近似值 2.4560A x =是由真值T x 经四舍五入得 到,则相对误差限为 0.0000204 . 7、 递推公式,??? ? ?0n n-1y =y =10y -1,n =1,2, 如果取0 1.41y ≈作计算,则计算到10y 时,误 差为 81 10 2 ?;这个计算公式数值稳定不稳定 不稳定 . 8、 精确值 14159265.3* =π，则近似值141.3*1=π和1415.3*2=π分别有 3
计算方法 一、填空题 1.假定x ≤1，用泰勒多项式?+??+++=! !212n x x x e n x ,计算e x 的值，若要求截断误差不超过0.005，则n=_5___ 2. 解 方 程 03432 3=-+x － x x 的牛顿迭代公式 )463/()343(121121311+--+--=------k k k k k k k x x x x x x x 3.一阶常微分方程初值问题 ?????= ='y x y y x f y 0 0)() ,(,其改进的欧拉方法格式为)],(),([21 1 1 y x y x y y i i i i i i f f h +++++= 4.解三对角线方程组的计算方法称为追赶法或回代法 5. 数值求解初值问题的四阶龙格——库塔公式的局部截断误差为o(h 5 ) 6.在ALGOL 中，简单算术表达式y x 3 + 的写法为x+y ↑3 7.循环语句分为离散型循环,步长型循环,当型循环. 8.函数)(x f 在[a,b]上的一次（线性）插值函数= )(x l )()(b f a b a x a f b a b x --+-- 9.在实际进行插值时插值时，将插值范围分为若干段，然后在每个分段上使用低阶插值————如线性插值和抛物插值，这就是所谓分段插值法 10、数值计算中，误差主要来源于模型误差、观测误差、截断误差和舍入误差。 11、电子计算机的结构大体上可分为输入设备 、 存储器、运算器、控制器、 输出设备 五个主要部分。 12、算式2 cos sin 2x x x +在ALGOL 中写为))2cos()(sin(2↑+↑x x x 。 13、ALGOL 算法语言的基本符号分为 字母 、 数字 、 逻辑值、 定义符四大