实验六 解线性方程组的迭代法收敛速度. 一、实验内容 (1)选取不同的初始向量)0(x ,在给定的迭代误差要求下,用雅可比迭代和高斯-赛德尔迭代法法求解,观察得到的序列是否收敛？若收敛,记录迭代次数,分析计算结果并得出你的结论. (2)用SOR 迭代法求上述方程组的解,松弛系数ω取1<ω<2的不同值,在给定的迭代误差要求下.记录迭代次数,分析计算结果并得出你的结论. 二、方法步骤 雅克比迭代法： （1）输入A =(a ij )n×n ,b =(b 1,b 2,…,b n )T ，维数n ，x (0)=(x 1(0),x 2(0) ,…,x n (0))T ，容许误差ε，最大容许迭代次数N. （2）对i=1,2,3,…,n,置x i =x i (0). （3）置k=1. （4）对i=1,2,3,…,n,置 y i =1a ii (b i ?∑a ij x j n j=1,j≠i ) （5）若max 1≤i≤≥n ‖y i ?x i ‖<ε输出y i (i =1,2,3,…,n),停机，否则转（6）. （6）若k
本科生课程设计报告实习课程数值分析 学院名称管理科学学院 专业名称 学生姓名 学生学号 指导教师 实验地点 实验成绩 二〇一六年六月
填写说明 1、专业名称填写为专业全称，有专业方向的用小括号标明； 2、格式要求：格式要求： ①用A4纸双面打印（封面双面打印）或在A4大小纸上用蓝黑色水笔书写。 ②打印排版：正文用宋体小四号，1.5倍行距，页边距采取默认形式（上下 2.54cm，左右2.54cm，页眉1.5cm，页脚1.75cm）。字符间距为默认值（缩 放100%，间距：标准）；页码用小五号字底端居中。 ③具体要求： 题目（二号黑体居中）； 摘要(“摘要”二字用小二号黑体居中，隔行书写摘要的文字部分，小4 号宋体)； 关键词（隔行顶格书写“关键词”三字，提炼3-5个关键词，用分号隔开，小4号黑体)； 正文部分采用三级标题； 第1章××(小二号黑体居中，段前0.5行) 1.1 ×××××小三号黑体×××××（段前、段后0.5行） 1.1.1小四号黑体（段前、段后0.5行） 参考文献（黑体小二号居中，段前0.5行），参考文献用五号宋体，参 照《参考文献着录规则（GB/T 7714－2005）》。 迭代初值及公式对迭代收敛速度影响 摘要 迭代收敛速度受到迭代函数和初始迭代值的影响。 本实验在于体会在非线性方程求根的迭代法中，迭代函数和初始迭代值的选取对迭代收敛性的影响，sttefensen加速的效果，并试图总结一些规律。
关键词： sttenfensen加速；迭代初值；收敛速度
目录 第1章前言............................................................... 1.1 内容及要求.......................................................................................... 1.2 研究思路及结构安排 .......................................................................... 第2章相关理论知识........................................................ 2.1 迭代法 ................................................................................................. 2.2 迭代收敛 ............................................................................................. 第3章算法分析............................................................ 3.1 单一迭代算法步骤及流程图 .............................................................. 第4章算法实现............................................................ 4.1程序总体结构....................................................................................... 4.2 源程序清单.......................................................................................... 4.3程序运行 .............................................................................................. 第5章结果分析............................................................ 参考文献...................................................................
研究解线性方程组迭代收敛速度 一． 实验目的 科学研究与生产实践中许多问题都可归结为线性方程组的求解，高效求解线性方程组成为了许多科学与工程计算的核心．迭代法就是用某种极限过程去逼近线性方程组精确解的方法，该方法具有对计算机的存贮单元需求少，程序计算简单，原始系数矩阵在计算过程中不变等优点，是求解大型稀疏矩阵方程组的重要方法。常用的迭代法有Jacobi 迭代法、Gauss —seidel 迭代法、逐次超松驰法(SOR 法)等。 二． 实验摘要 由迭代法平均收敛速度与渐进收敛速度的关系引入近似估计法，即通过对迭代平均收敛速度取对数，然后利用Mathematica 软件对其进行拟合，给出拟合函数，最终得到了Jacobi 迭代法、Gauss —seidel 法的平均收敛速度收敛到渐进收敛速度的近似收敛阶，以及逐次超松驰法(SOR 法)的渐进收敛速度，且该法适用于其他迭代法收敛速度的估计。 三． 迭代法原理 1．Jacobi 迭代法(J 法) 设方程组b Ax =，其中， n n n n ij R a A ??∈=)(，。n R b x ∈, A 为可逆矩阵，可分裂为,U D L A ++=其中， ??????? ???? ???? ?=-00 00 1 ,21323121 n n n n a a a a a a L ΛO O M M ??????? ????? ??? ?=-00 0,1223 11312n n n n a a a a a a U M O O ΛΛ
??????? ? ???? ??? ?=nn a a a D O O 22 11 从而由b Ax =得到， b D x A D I b D x A D D b D x U L D x 111111)()()(------+-=+-=++-= 令 A D I B J 1--=, b D f J 1-=, 由此可构造出迭代公式：J k J k f x B x +=+)()1( 令初始向量)0,...,0,0()0(=x ，即可得到迭代序列，从而逼近方程组的解 这种方法称为Jacobi 迭代法，其中J B 称为Jacobi 迭代矩阵。 2. Gauss-Seidel 迭代法(GS 法) 与Jacobi 迭代法类似，将方程组b Ax =中的系数矩阵 A 分裂为 ,U D L A ++=,其中U L D ,,与前面相同。 与Jacobi 迭代法所不同的是，Gauss-Seidel 迭代法将Jacobi 迭代公式中的 b Ux Lx Dx k k k +--=+)()()1( 改为 b Ux Lx Dx k k k +--=++)()1()1( 从而b Ax =可写成矩阵形式 b Ux x D L k k +-=++)()1()(， 若设1 )(-+D L 存在，则 b D L Ux D L x k k 1)(1)1()()(--++++-=， 其中， U D L B G 1)(-+-=,b D L f 1)(-+=， 于是Gauss —Seidel 迭代公式的矩阵形式为f x B x k G k +=+)() 1(。
实验二：迭代法、初始值与收敛性 一：实验要求 考虑一个简单的代数方程 210,x x --= 针对上述方程，可以构造多种迭代法，如211111,1,n n n n n x x x x x +++=-=+ =记录各算法的迭代过程。 二：实验要求及实验结果 （1） 取定某个初始值，按如上迭代格式进行计算，它们的收敛性如何？重复选取不同放入初始值，反复实验。请读者自行设计 一种比较形象的记录方式（如何利用Matlab 的图形功能），分析三种迭代法的收敛性与初值的选取关系。 （2） 对三个迭代法中的某一个，取不同的初值进行迭代，结果如何？试分析对不同的初值是否有差异？ 实验内容： ⅰ）对211n n x x +=-进行迭代运算，选取迭代次数n=20；分别选择初值-0.6， 1.6进行实验，并画出迭代结果的趋势图。 编写MATLAB 运算程序如下： %迭代法求解 %令x=x^2-1 clear n=30; x=-0.5; x1=x^2-1; for i=1:n x1=x1^2-1; xx(i)=x1; end m=linspace(0,29,n); plot(m,xx) title('x=-0.5') x=-0.6 x=1.6 如上图所示，选取初值分别为-0.6、1.6时，结果都是不收敛的。
分析：2()1n g x x =-，'()2g x x =，要想在某一邻域上'()21,[1,1]g x x x =，此时n x 相当于是在[1.65,]+∞范围内的初始值，迭代公式产生的序列收敛。所以初值的选取对数列的收敛性没有影响。 ⅲ）对1n x +=n=20；分别选择初值=-0.6，2.1进行实验，并画出迭代结果的趋势图。 编写MATLAB 运算程序如下： %迭代法求解 %令x=sqrt(1+x)
例 设0,0>x a ，证明迭代公式a x a x x x k k k k ++=+2213)3(是计算a 的3阶方法，并计算31)(lim k k k x a x a --+∞→。 证明 显然当0,0>x a ，),2,1(0 =>k x k ， 令a x a x x x ++=223) 3()(?，则2222)3()(3)(a x a x x +-==' ?。 则0>?x ，可使1)(<'x ?，即迭代收敛。设*x x k →，则有 a x a x x x ++=2*2**3) 3(，解之得a a x -=,,0*，取a x =*。则 31)(lim k k k x a x a --+∞→=323)(33lim k k k k k x a a x ax x a -++-∞→=)3()()(lim 233a x x a x a k k k k +--∞→=a x k k +∞→231lim =a 41 故迭代是3阶收敛。 例 已知迭代公式4 2321 --=+k k k x x x 局部收敛于方程4232--=x x x 的根1*=x ，证明该迭代公式平方收敛。 证法一：迭代函数423)(2--=x x x ?，经计算22)2(234)(-+-='x x x x ?，0*)(='x ?， 3) 2(1)(-=''x x ?，而0*)(≠''x ?，有定理2-4知，迭代公式平方收敛。 证法二：由于1lim *==∞→x x k k ，则1-=k k x e 。于是 =-=++111k k x e 4 242)1(1423222-=--=---k k k k k k x e x x x x 从而 021421l i m l i m 21≠=-=∞→+∞→k k k k k x e e 。
数值分析课程设计 比较各种迭代收敛速度 分别用雅可比迭代法(J)、 高斯—塞德尔迭代法(G-S)、 超松弛迭代 法(SOR)计算方程组=A ??????????----410141014??????????321x x x =?? ?? ? ?????10810 并比较哪一种迭代方法收敛的速度更快 方程真实值计算: A=[4-10;-14-1;0-14];b=[10810]'; jX=A\b 得到结果: 3.42863.71433.4286 雅可比迭代: 首先编写jacdd.m 的函数文件( 见附录一) 调用程序, 在命令窗口分别输入如下语句: A=[4-10;-14-1;0-14]; b=[10;8;10]; X0=[000]';X=jacdd(A,b,X0,inf,0.00001,100) 结果见表一
高斯—塞德尔迭代: 首先编写gsdddy.m的函数文件( 见附录二) 调用程序, 在命令窗口分别输入如下语句: A=[4-10;-14-1;0-14];b=[10;8;10]; X0=[000]'; X=gsdddy(A,b,X0,inf,0.00001,100) 结果见表一 雅可比迭代误差计算: x0=[3.42863.71433.4286];%此为方程组的真实值 x1=[2.50003.00003.31253.37503.41413.42193.42683.42773.42833.42 853.42853.4286]; x2=[2.00003.25003.50003.65633.68753.70703.71093.71343.71393.71 423.71423.7143]; x3=[2.50003.00003.31253.37503.41413.42193.42683.42773.42833.42 853.42853.4286]; formatlong %循环求二范数的平方 fori=1:12 t(i)=(x1(i)-3.4286)^2+(x2(i)-3.7143)^2+(x3(i)-3.4286)^2; sqrt(t(i)) end 结果见表一
第三章 线性代数方程组数值解法（迭代法） 3．3 迭代法收敛性理论 1．收敛性问题 现在来研究与方程组 f Bx x +=对应的基本型迭代公式 ),2,1,0()()1( =+=+k f Bx x k k 设*x 是方程组f Bx x +=（也即b Ax =）的就解，即有 f Bx x +=** 要研究由迭代公式f Bx x k k +=+)()1(产生的序列)(k x 当 ∞→k 时是否 收敛于*x ,4 )()(*)1((*)k k x x B x x -=-+ =)()1(*2--k x x B =)()0(*1x x B k -+ 可见当∞→k 时，是否有*)(x x k →，等价于是否有0→k B （零矩阵， 即k B 的每一个元素趋于零） 略证 根据线性代数，任何n 阶矩阵B 都存在非奇异矩阵P ，使得 JP P B 1-= P J P B k k 1-= 其中J 为B 的Jordan 标准形
????? ?=1J J 2 J n n r J ??????? ???? ?? ?=k k J J 1 k J 2 n n k r J ???????? ??????=i i J λ 1 i λ i i n n i ?? ????? λ1 n n r i i =∑=1 于是，可得 ),,2,1;(0)(0)(0r i k J k J k B k i k k =∞→→?∞→→?∞→→ 这时，若设 ???=λ2J ???λ1 ?????=λ3J λ1 ???? ? λ1 ????????=λm J λ1 1 λ ?? ? ???? ?λ1 ?? ?=k k J λ2 ????-k k k λλ1=?? ?k λ ??? ? -k k k c λλ11 ???? ?=k k J λ3 k k k λλ1 - ?????---k k k k k k λλλ1 22/)1(?? ?? ?=k λ k k k c λλ1 1- ???? ?--k k k k k c c λλλ1122 ?????? ?=k k m J λ k k k c λλ11- 112 2--k k k k c c λλ ?? ???? ?+--+--k m k k m m k k m c c λλλ 2 21 1
线性方程组迭代法收敛速度 摘要：迭代法是按照某种规则构造一个向量序列{x k },使其极限向量x *是方程组Ax=b 的精 确解。本实验主要用Jacobi,G_S 和SOR 迭代法解线性方程，认识迭代法的含义以及迭代法初始值和方程组系数矩阵对收敛速度的影响。 关键词：Jacobi,G_S.SOR 迭代法，以及误差分析 0.引言：一个方法是否有效要看得到具有某个精确度的近似解而付出的代价如何，通常 以运算量和储存量的要求为标志。在这个标准下，直接在很多情况下比迭代法号，但是对于大型的稀疏方程组来说，迭代法更适用。 学习迭代法一般有几个问题：（1）如何构造迭代数列？（2）构造迭代数列是否收敛？ 在什么情况下收敛？（3）如果收敛。收敛速度如何，迭代法初始值会对收敛速度有什么影响？ 1.实验内容： 用迭代法求解b Ax =，其中20 20?∈R A 为五对角矩阵 2020 11 324 11132 241111 34224111134224111134224 11342A ???--? ? ---? ? ----? =? ? ----? ? ----? ? ? --?? （1）选取不同的初始向量X ) 0(及右端向量b ，给定迭代误差要求，用Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法求解，观察得到的序列是否收敛？若收敛，记录迭代次数，分析计算结 果并得出你的结论。 （2）用SOR 迭代法求上述方程组的解，松驰系数ω取21<<ω的不同值，在 ()(1) 510k k X X +-∞ -≤时停止迭代，记录迭代次数，分析计算结果与松驰系数ω的关系并得 出你的结论。 （3）用MathCAD 指令求出系数矩阵的逆矩阵，再求出上述各个方程组的解，并与上述方法求出的解进行比较。 （1）Jacobi 迭代法内容：对Ax b =求解的一种方法，令A D L U =--，其中[]ij A a =， 1122(,,,)nn D diag a a a = ，
关于牛顿迭代法的课程设计实验指导 非线性方程（或方程组）问题可以描述为求 x 使得f (x ) = 0。在求解非线性方程的方法中，牛顿迭代法是求非线性方程（非线性方程组）数值解的一种重要的方法。牛顿是微积分创立者之一，微积分理论本质上是立足于对世界的这种认识：很多物理规律在微观上是线性的。近几百年来，这种局部线性化方法取得了辉煌成功，大到行星轨道计算，小到机械部件设计。牛顿迭代法正是将局部线性化的方法用于求解方程。 一、牛顿迭代法及其收敛速度 牛顿迭代法又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method ），是一种在实数域和复数域上通过迭代计算求出非线性方程的数值解方法。方法的基本思路是利用一个根的猜测值x 0做初始近似值，使用函数f (x )在x 0处的泰勒级数展式的前两项做为函数f (x )的近似表达式。由于该表达式是一个线性函数，通过线性表达式替代方程中的求得近似解x 1。即将方程f (x ) = 0在x 0处局部线性化计算出近似解x 1，重复这一过程，将方程f (x ) = 0在x 1处局部线性化计算出x 2，求得近似解x 2，……。详细叙述如下：假设方程的解x *在x 0附近（x 0是方程解x *的近似），函数f (x )在点x 0处的局部线化表达式为 )()()()(000x f x x x f x f '-+≈ 由此得一次方程 0)()()(000='-+x f x x x f 求解，得 ) ()(0001x f x f x x '-= 如图1所示，x 1比x 0更接近于x *。该方法的几何意义是：用曲线上某点（x 0，y 0）的切线代替曲线，以该切线与x 轴的交点（x 1，0）作为曲线与x 轴的交点（x *，0）的近似（所以牛顿迭代法又称为切线法）。设x n 是方程解x *的近似，迭代格式 ) ()(1n n n n x f x f x x '-=+ ( n = 0，1，2，……) 就是著名的牛顿迭代公式，通过迭代计算实现逐次逼近方程的解。牛顿迭代法的最大优点是收敛速度快，具有二阶收敛。以著名的平方根算法为例，说明二阶收敛速度的意义。 例1．已知4.12≈，求2等价于求方程f (x ) = x 2 – 2 = 0的解。由于x x f 2)(='。应用牛顿迭代法，得迭代计算格式 )/2(2 11n n n x x x +=+，（n = 0，1，2，……） 取x 0= 1.4为初值，迭代计算3次的数据列表如下 图1 牛顿迭代法示意图
本科生课程设计报告 实习课程数值分析 学院名称管理科学学院 专业名称 学生姓名 学生学号 指导教师 实验地点 实验成绩 二〇一六年六月
填写说明 1、专业名称填写为专业全称，有专业方向的用小括号标明； 2、格式要求：格式要求： ①用A4纸双面打印（封面双面打印）或在A4大小纸上用蓝黑色水笔书写。 ②打印排版：正文用宋体小四号，1.5倍行距，页边距采取默认形式（上下 2.54cm，左右2.54cm，页眉1.5cm，页脚1.75cm）。字符间距为默认值（缩 放100%，间距：标准）；页码用小五号字底端居中。 ③具体要求： 题目（二号黑体居中）； 摘要(“摘要”二字用小二号黑体居中，隔行书写摘要的文字部分，小4 号宋体)； 关键词（隔行顶格书写“关键词”三字，提炼3-5个关键词，用分号隔开，小4号黑体)； 正文部分采用三级标题； 第1章××(小二号黑体居中，段前0.5行) 1.1 ×××××小三号黑体×××××（段前、段后0.5行） 1.1.1小四号黑体（段前、段后0.5行） 参考文献（黑体小二号居中，段前0.5行），参考文献用五号宋体，参照《参考文献著录规则（GB/T 7714－2005）》。
迭代初值及公式对迭代收敛速度影响 摘要 迭代收敛速度受到迭代函数和初始迭代值的影响。 本实验在于体会在非线性方程求根的迭代法中，迭代函数和初始迭代值的选取对迭代收敛性的影响，sttefensen加速的效果，并试图总结一些规律。 关键词：sttenfensen加速；迭代初值；收敛速度
目录 第1章前言 (1) 1.1 内容及要求 (1) 1.2 研究思路及结构安排 (1) 第2章相关理论知识 (2) 2.1 迭代法 (2) 2.2 迭代收敛 (2) 第3章算法分析 (3) 3.1 单一迭代算法步骤及流程图 (3) 第4章算法实现 (4) 4.1程序总体结构 (4) 4.2 源程序清单 (5) 4.3程序运行 (11) 第5章结果分析 (14) 参考文献 (14)