14届中环杯五年级初赛解析

中环杯五年级决赛
60%可参考《青少年科技报》的思维能力训练活动版面、历届思维能力训练活动各阶段的活动内容，以及本次活动的模拟训练内容，以上部分内容已收录进本届活动的配套辅导资料——《青少年科技报思维能力训练活动内容汇编》中，40%为动手动脑实践内容。

中环杯，全称“上海中环杯数学思维能力竞赛”，是一项难度比较高的思维能力竞赛，分为初赛和复赛两个阶段，初赛主要考察奥数水平，复赛考察动手能力和思维能力等综合实力。

主办单位是上海市青少年金钥匙科技活动组委会。

历年的中环杯一、二等奖获得者，绝大部分在小升初时都被重点中学实验班录取，而中环杯的获奖证书，也成为进入上海中学、延安中学等知名学校的通行证，在上海地区受到重点中学和学生家长的普遍认可。

（估算）又因为 95 × 53 = 5035 ，95 × 65 = 6175 ，第十四届 “小机灵杯 ”数学竞赛决赛试题 （详解 ）（五年级组）时间：60 分钟 总分：120 分（第 1 题 ～第 5 题 ，每题 6 分 ） 1.已知 a + 3 = 3a ，b + 4 = 4b ，c + 5 = 5c ，d + 6 = 6d ，则 a × b × c × d = 。

【答案 】 3【分析】方程+分数计算可以求出 a = 3 ，b = 4 ， c = 5 ， d = 6 ，则 a × b × c × d = 3 × 4 × 5 × 6 = 3 。

2 3 4 5 2 3 4 52.一个四位数是 25 的整数倍，其各位数字之和是 25，这个四位数是 。

【答案 】 9925、 4975、 5875、 6775、 7675、 8575、 9475 【分析】整除性+分类讨论 末两位 00：不存在； 末两位 25：9925，1 个； 末两位 50：不存在；末两位 75：4975，5875，6775，7675，8575，9475，共 6 个；3. 有些数不管是从左往右读，还是从右往左读，读出的结果都相同（比如 2772，515），这样的数叫做“回文数”。

现有一个两位数，用它分别乘 91，93，95， 97，所得的积都是回文数，这个两位数是 。

【答案 】 55【分析】整除+数位分析不妨令这个两位数为 ab ，因为 ab × 95 得到的乘积是回文数， 所以，乘积首末位数字为 5，b 是奇数， ab × 95 = 5cc 5 ，（可以试出 95 × 55 = 5225 ）说明 ab 的范围是 53～65 之间；又因为，四位回文数一定是 11 的倍数，因此，只能是 ab = 55 。

2016年第14届希望杯五年级第2试试题一、填空题（每小题5分，共60分。

）1、10÷（2÷0.3）÷（0.3÷0.04）÷（0.04÷0.05）＝。

2、小磊买3块橡皮，5支铅笔需付10.6元；若他买同品种的4块橡皮，4支铅笔需付12元，则一块橡皮的价格是元。

3、将1.41的小数点向右移动两位，得a，则a—1.41的整数部分是。

4、定义：m⊗n＝m×m—n×n，则2⊗4—4⊗6—6⊗8—8⊗10—……—98⊗100＝。

5、从1——100这100个自然数中去掉两个相邻的偶数，剩下的数的平均数是50，则所去掉的两个数的乘积是。

6、如图1，四边形ABCD是正方形，ABGF和FGCD是长方形，点E在AB上，EC交FG于点M，若AB＝6，△ECF的面积是12，则△BCM的面积是。

7、在一个除法算式中，被除数是12，除数是小于12的自然数，则可能出现的不同的余数之和是。

8、图2是某几何体从正面和左面看到的图形，若该几何体是由若干个棱长为1的正方体垒成的，则这个几何体的体积最少是。

9、正方形A、B、C、D的边长依次是15，b，10，d（b，d都是自然数），若它们的面积满足SA ＝SB＋SC＋SD，则b＋d＝。

10、根据图3所示的规律，推知M＝。

11、一堆珍珠共6468颗，若每次取相同的质数颗，若干次后刚好取完，不同的取法有a种；若每次取相同的奇数颗，若干次后刚好取完，不同的取法有b种，则a＋b＝。

12、若是A质数，并且A—4，A—6，A—12，A—18也是质数，则A＝。

二、解答题（每小题15分，共60分。

）每题都要写出推算过程。

13、张强骑车从公交车的A站出发，沿着公交路线骑行，每分钟行250米，一段时间后，一辆公交车也从A站出发，每分钟行450米，并且每行驶6分钟需靠站停1分钟。

若这辆公交车出发15分钟的时候追上张强，则该公交车出发的时候，张强已经骑过的距离是多少米？14、如图4，水平方向和竖直方向上相邻两点之间的距离都是m，若四边形ABCD的面积是23，求五边形EFGHI的面积。

三年级中环杯知识点提纲三年级初赛考纲：一、代数类：1. 整数巧算★二、应用类：1.2.3.4.5.6.7.8.9. 盈亏问题初步★植树问题方阵问题平均数问题★周期问题★用列表法解应用题火柴棒搭出的数学问题找规律填数★填运算符号解题★三、几何类：1.2. 长方形和正方形周长与面积★巧求多边形的周长★四、数论类：1.2. 多位数的运算（形如111⨯999的运算）★100个1 100个9数论最值（比如将1~ 9中选出四个数填入⨯ ，使得乘积最大）3.4.5. 带余除法★加减法数字迷★数阵图★五、组合类：1.2.3.4.5. 一笔画几何计数★较简单的容斥原理★较简单的逻辑推理★枚举★三年级决赛考纲（除了初赛考纲中的内容，新增）：一、代数类1.2.3. 定义新运算等差数列与等比数列★小数初步（不要求小数的四则运算，但是需要了解a 0.4b代表什么含义）二、应用类1.2.3.4.5.6.7. 行程问题★和差倍问题★年龄问题★鸡兔同笼问题★还原问题归一问题会利用一次方程或方程组解应用题★三、几何类1.2.3.4. 巧求多边形的面积★三角形的初步认识★平行四边形、梯形的面积公式★立体几何初步★（不要求表面积、体积之类的，主要以数图形为主）四、数论类1.2. 位值原理★熟练掌握被2,3,4,5,7,8,9,11,13,25,125整除的数的规律，并且具备自己推导别的数整出规律的能力（比如自己可以推导出除以37的数的规律）★3.4.5. 乘除法数字迷★数表★数阵图的最值问题★五、组合类1.2.3.4. 标数法解决最短路径问题★最不利原则★简单的加乘原理★简单的最值问题★四年级中环杯知识点提纲四年级初赛考纲：一、代数类：⎧ 2 -b 2 = (a + b )(a -b ) a ⎪ 4.整数巧算： ⎨ ★ ⎪ a b = a 2 ± 2ab + b 2 ( ± ) 2 ⎩ 5.6.7.8. 小数巧算★ 定义新运算 等差数列与等比数列★ 分数初步（了解分数的含义，会进行简单的计算）★二、应用类：10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23. 盈亏问题 植树问题 方阵问题 平均数问题★ 周期问题★ 用列表法解应用题 找规律填数 填运算符号解题 行程问题★ 和差倍问题 年龄问题 鸡兔同笼问题 还原问题 归一问题24. 会利用一次方程或方程组解应用题★三、几何类：3.4.5.6.7.8.9.10.长方形和正方形周长与面积 巧求多边形的周长 巧求多边形的面积 三角形的初步认识 平行四边形、梯形的面积公式 角度的计算（掌握三角形内角和为180这个结论，等腰三角形等边对等角的性质）★ 勾股定理（包括勾股定理逆定理）★ 面积法求高★ 11.等腰直角三角形的面积公式（ S = 1 斜边的平方）★ 4 12.13.14. 差不变原理★ 列方程解平面几何★ 构造法解平面几何四、数论类：多位数的运算（形如111⨯999的运算）★ 100个 1 1. 2. 100个9 数论最值（比如将1~ 9中选出四个数填入⨯ ，使得乘积最大）★ 3. 4. 5.带余除法★位值原理★熟练掌握被 2,3,4,5,7,8,9,11,13,25,125整除的数的规律，并且具备自己推导别的数整出 规律的能力（比如自己可以推导出除以 37的数的规律）★6. 数字迷（含弃九法）★7. 数阵图（含数阵图的最值问题）★8. 数表★9. 质数与合数★10.11. 因数和倍数（因数的个数公式不考）★质因数分解★五、组合类：6. 一笔画7. 几何计数8. 容斥原理★9. 奇偶分析★10.11.12.13.14. 枚举★标数法解决最短路径问题★抽屉原理★加乘原理（包含染色问题）★复杂的逻辑推理★四年级决赛考纲（除了初赛考纲中的内容，新增）：一、代数类：1. 无二、应用类：1. 牛吃草问题★三、几何类：1.2.3. 共边定理★等积变换（包含“一半模型”）★三角形的中位线，梯形的中位线★四、数论类：1.2. 最大公约数和最小公倍数★中国剩余定理★五、组合类：1.2.3.4.5.6. 排列和组合★对应原理计数★递推计数★操作问题★统筹规划组合最值（论证与构造，极端原理）★五年级中环杯知识点提纲五年级初赛考纲：一、代数类：⎧ = 16 n (n +1)(2n +1) 1 2 + 2 2 ++ n 2 ⎪ ⎪ ⎪13 + 2 3 ++ n 3 = (1+ 2 ++ n ) = (a + b )(a -b ) 2 ⎪ ⎪ 9.整数巧算： 小数巧算 ⎨a 2 -b 2 ★ ⎪ ⎪ a b = a 2 ± 2ab + b 2( ± ) 2 ⎪ ab + a + b +1= (a +1)(b +1)⎪⎩ 10.11. 分数巧算（裂项法不考，繁分数连分数不考，循环小数相关的内容不考，百分数不考，分数的估算不考，分数的比较大小会简单考察）★12.13.14.15. 定义新运算 比和比例 等差数列与等比数列★ 代数最值（和一定的前提下，两数差越小，乘积越大；乘积一定的前提下，两数差越小，和越小；利用函数的观点考察最值（比如S =3+ 2x ，其中 S 表示面积，x 是设的一个未知数，用来表示边长， x ≤8，则 S 的最大值就是 x 取8的时候））★ 二、应用类（浓度问题，工程问题，经济问题，时钟问题均不考，这些内容移到 6年级的中 环杯考）：1.2.3.4.5.6. 盈亏问题 植树问题 方阵问题 平均数问题 周期问题 用列表法解应用题7.找规律填数 填运算符号解题 行程问题★ 和差倍问题 年龄问题 8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19. 鸡兔同笼问题 还原问题 归一问题 会利用一次方程或方程组解应用题★ 分数应用题★ 比例应用题★ 牛吃草问题★ 不定方程解应用题★三、几何类：15.16.17.18.19.20.21.22.长方形和正方形周长与面积 巧求多边形的周长 巧求多边形的面积 三角形的初步认识 平行四边形、梯形的面积公式 角度的计算（掌握三角形内角和为180这个结论，等腰三角形等边对等角的性质） 勾股定理（包括勾股定理逆定理）★ 面积法求高★ 23. 等腰直角三角形的面积公式（ S 1 斜边的平方） 424.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37. 差不变原理 列方程解平面几何 构造法解平面几何 共边定理★ 等积变换（包含“一半模型”）★ 三角形的中位线，梯形的中位线★ 鸟头定理★ 蝴蝶定理★ 燕尾定理★ 平移、旋转、轴对称解平面几何问题★ 比例模型（金字塔模型和沙漏模型）解平面几何问题★ 圆与扇形★ 立体几何（表面积与体积）★ 几何最值（利用代数最值的技巧，处理一些简单的几何最值；将军饮马问题）★四、数论类：多位数的运算（形如111⨯999的运算） 100个 1 1. 2. 100个9 数论最值（比如将1~ 9中选出四个数填入⨯ ，使得乘积最大） 3. 4. 5. 带余除法★位值原理★熟练掌握被 2,3,4,5,7,8,9,11,13,25,125整除的数的规律，并且具备自己推导别的数整出 规律的能力（比如自己可以推导出除以 37的数的规律）★6.7. 数字迷（含弃九法）★ 数阵图（含数阵图的最值问题）★8. 数表★9. 位值原理★质数与合数★10.11.12.13.14.15.16.17.18.19. 因数和倍数（因数的个数公式很重要）★质因数分解★最大公约数和最小公倍数★中国剩余定理★整除综合★同余★完全平方数★连续自然数问题★进位制五、组合类：15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25. 一笔画几何计数容斥原理奇偶分析枚举★标数法解决最短路径问题抽屉原理加乘原理★排列和组合★对应原理计数★递推计数★26.27.28.29.30. 逻辑推理★操作问题★统筹规划概率★组合最值（论证与构造，极端原理）★五年级决赛考纲（除了初赛考纲中的内容，新增）：一、代数类：无二、应用类：无三、几何类：无四、数论类：无五、组合类：无六年级中环杯知识点提纲六年级初赛考纲：一、代数类：⎧ = 16 n (n +1)(2n +1) 1 2 + 2 2 ++ n 2 ⎪ ⎪ ⎪13 + 2 3 ++ n 3 = (1+ 2 ++ n ) = (a + b )(a -b ) 2 ⎪ ⎪ 16.整数巧算： 小数巧算 ⎨a 2 -b 2 会考★ ⎪ ⎪ a b = a 2 ± 2ab + b 2( ± ) 2 ⎪ ab + a + b +1= (a +1)(b +1)⎪⎩ 17.18. 分数巧算（繁分数连分数会考，循环小数相关的内容会考，百分数会考，分数的估算会考，分数的比较大小会考）★19.20.21.22. 定义新运算 比和比例 等差数列与等比数列★ 代数最值（和一定的前提下，两数差越小，乘积越大；乘积一定的前提下，两数差越小，和越小；利用函数的观点考察最值（比如S =3+ 2x ，其中 S 表示面积，x 是设的一个未知数，用来表示边长， x ≤8，则 S 的最大值就是 x 取8的时候））★ 二、应用类：20.21.22.23.24.25.26. 盈亏问题 植树问题 方阵问题 平均数问题 周期问题 用列表法解应用题 找规律填数27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38. 填运算符号解题行程问题★和差倍问题年龄问题鸡兔同笼问题还原问题归一问题会利用一次方程或方程组解应用题★分数应用题（包含：百分数应用题，工程问题，经济问题，时钟问题）★牛吃草问题★比例应用题（包含：浓度问题）不定方程解应用题★三、几何类：38.39.40.41.42.43.44.45. 长方形和正方形周长与面积巧求多边形的周长巧求多边形的面积三角形的初步认识平行四边形、梯形的面积公式角度的计算（掌握三角形内角和为180这个结论，等腰三角形等边对等角的性质）勾股定理（包括勾股定理逆定理）★面积法求高★46.47. 等腰直角三角形的面积公式（S1斜边的平方）4差不变原理48.49.50.51.52.53.54.55.56.57. 列方程解平面几何 构造法解平面几何 共边定理★ 等积变换（包含“一半模型”）★ 鸟头定理★ 蝴蝶定理★ 燕尾定理★ 圆与扇形★ 立体几何（表面积与体积）★ 几何最值（利用代数最值的技巧，处理一些简单的几何最值；将军饮马问题）★四、数论类：多位数的运算（形如111⨯999的运算） 100个 1 20. 21. 100个9 数论最值（比如将1~ 9中选出四个数填入⨯ ，使得乘积最大） 22. 23. 24.带余除法★位值原理★熟练掌握被 2,3,4,5,7,8,9,11,13,25,125整除的数的规律，并且具备自己推导别的数整出 规律的能力（比如自己可以推导出除以 37的数的规律）★25.26.27.28.29.30. 数字迷★ 数阵图（含数阵图的最值问题）★ 数表★ 位值原理★ 质数与合数★ 因数和倍数（因数的个数公式很重要）★31.32.33.34.35.36.37.38. 质因数分解★最大公约数和最小公倍数★中国剩余定理★整除综合★同余★完全平方数★连续自然数问题★进位制五、组合类：31.32.33.34.35.36.37.38.39.40.41.42.43.44.45. 一笔画几何计数容斥原理奇偶分析枚举★标数法★抽屉原理加乘原理★排列和组合★对应原理计数★递推计数★逻辑推理★操作问题★统筹规划概率★46. 组合最值（论证与构造，极端原理）★六年级决赛考纲（除了初赛考纲中的内容，新增）：一、代数类：1.2.3.4.5.6.7. 有理数的巧算★绝对值的最值、定值★一元一次方程（含参数、含绝对值、既含参数也含绝对值）★二元一次方程组（含参数、含绝对值、既含参数也含绝对值）★三元一次方程组（含参数、含绝对值）★一元一次不等式（含参数、含绝对值、既含参数也含绝对值）★一元一次不等式组（含参数、含绝对值）★二、应用类：1. 利用不等式（组）解应用题★三、几何类：无四、数论类：1. 高斯函数（包含：利用x-1<[x]≤ x解含高斯函数的方程）★五、组合类：无数论部分（除了6年级的内容外新增）：整除的性质简单同余式的应用代数部分（除了6年级的内容外新增）：因式分解（提取公因式，公式法，十字相乘，分组分解，换元法，配方法，双十字，主元，余式定理，因式定理，待定系数，添拆项，对称多项式与轮换对称多项式）分式（分式的基本运算，真分式，假分式，带分式，部分分式展开）恒等式、条件等式的证明几何部分（除了6年级的内容外新增）：平行线的性质与判定全等三角形的性质与判定等腰（边）三角形的性质与判定角平分线翻折法，角平分线定理中线倍长法截长补短法了解三角形的心（重心，内心，外心）的基本内容平移、旋转、轴对称解平面几何问题组合部分（除了6年级的内容外新增）：组合几何初步数论部分（除了7年级的内容外新增）：剩余类同余方程代数部分（除了7年级的内容外新增）：二次根式（基本运算，巧算，无理数与有理数之间的关系，降次法）一元二次方程（含参数，含绝对值，韦达定理及其逆定理，判别式法，构造方程解题，一元二次方程的整数根问题）一次函数几何部分（除了7年级的内容外新增）：三角形的中位线，梯形的中位线直角三角形的性质与判定勾股定理已知三角形三条边长，会计算三条高，三条中线，三条角平分线，面积四边形部分组合部分：同7年级数论部分：同8年级代数部分（除了8年级的内容外新增）：二次函数三角函数几何部分（除了8年级的内容外新增）：平行线分线段成比例比例模型（金字塔模型和沙漏模型）解平面几何问题相似三角形的性质及判定圆的性质（圆的综合性质，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系）射影定理，塞瓦定理，梅捏劳斯定理组合部分：同8年级。

第15届中环杯决赛试题解析（五年级）一、填空题A （本大题共8小题，每题6分，共48分）：1. 计算：1331649113157112015157++⨯+⨯=++________. 【答案】2 【解答】133164911315711201515731313199315711201515711311130571151331157231231++⨯+⨯+++++=⨯++⎛⎫⨯++ ⎪⎝⎭=⨯⨯⨯++=⨯= 2. 老师布置了一些数学回家作业。

由于小明基础不好，所以小明收到的题目数量比小王收到的题目数量多20道。

若两人收到的题目数量之比为4:3，则小明回家需要完成________道题目。

【答案】80【解答】设小明收到了4x 道题目，则小王收到了3x 道题目，根据题意432020x x x -=⇒=，所以小明需要完成442080x =⨯=道题目。

3. 如图，正八边形的边长为1，将其进行下图的切割，切割后灰色部分面积与斜线部分面积之差为________（大减小）。

【答案】14【解答】如下图，,A B 与,C D 抵消，剩下的中间的正方形可以切割为四个等腰直角三角形，其中三个与灰色部分抵消，留下的一个面积就是14【说明】考察等腰直角三角形用斜边表示的面积公式4. 在一组英文字母串中，第一个字母串1a A =、第二个字母串2a B =，之后每个字母串()3n a n ≥都是由1n a -后面跟着2n a -的反转构成的。

比如321a a a BA ==（我们用i a 表示i a 的反转，就是从右往左读这个字母串得到的结果，比如ABB BBA =、AABA ABAA =），432a a a BAB ==，543a a a BABAB ==，654a a a BABABBAB ==。

那么，这组字母串的前1000个中，有________个是回文字母串（所谓的回文字母串，就是指从左往右读与从右往左读相同，比如ABA 、AABAA ） 【答案】667【解答】通过尝试，我们发现只有3a 、6a 、9a 、 、999a 不是回文字母串，别的都是，那么可以直接得到答案：一共只有333个非回文字母串，剩下的1000333667-=个都是回文字母串。

2014年第四届全国学而思综合能力测评 小学五年级（2014年4月7日）一、填空题（每题5分，共20分）1．今天是2014年4月7日．有一个数，它除以14，商是4，余数是7，那么，这个数是_________．2．定义：2a b a b ∆=+，2a b a b =+☆，那么，1(68)∆=☆_________．3．2014年2月共有28天，据气象部门统计，这个月北京有雾霾的天数占全月总天数的37．盛盛喜欢跑步，他在雾霾天每天跑1圈，其它时间每天跑3圈．那么，盛盛2014年2月总共跑了_________圈．4．如下图，1号立体图形是一个正四棱锥，2号立体图形是一个正四面体，红色部分是大小相同的正三角形．把1号和2号拼成一个新立体图形，让两个红色部分完全重合，那么，这个新立体图形共有_________个面．二、填空题（每题6分，共24分） 5．下图中，共有_________个等边三角形．6．将下面的乘法竖式补充完整，那么，最后的乘积是_________．7．下图是国际象棋棋盘，将每一行的棋子数写在了棋盘左边，将每一列的棋子数写在了棋盘的上边．已知每格至多放一枚棋子，且同一行或同一列的棋子全部相连，那么，白格中共有_________枚棋子．8．4名瓦工用面积为80平方厘米的地砖铺6平米的房间，用了3天时间：16名瓦工用另一种规格的地砖铺了12平方米的房间，用了12天时间．每名瓦工铺一块任何大小的地砖所需要的的时间都相等．那么，第二个房间所用的地砖面积是_________平方厘米．三、填空题（每题7分，共28分）9．把1个1，2个2，3个3，……按顺序排成下图数表，那么这个数表中第10行第10列的数是_________．10．算式()()()2014-⨯-⨯-=中，不同的字母代表不同的数字，那么两位数AB的最大值AB CD EF GH I J是_________．11．如右图，正方形ABCD的边长为10，以A为圆心10为半径作弧交AC于E，以B为圆心10为半径作弧交BD于F，以C为圆心10为半径作弧交AC于G，以D为圆心10为半径作弧交BD于H，那么，图中阴影部分的面积是_________．（π取3．14）12．黑板上写着5个连续的两位数，小明将其中的3个相加，和能被47整除，小军也将其中的3个相加，和能被97整除．那么，黑板上写的5个数之和是________．四、填空题（每题8分，共32分）13．n是一个三位数，如果2014n+的结果的数字和是n的数字和的一半，那么，n的最大值是_________．14．某城市交通路线图如下，A、B、C、D为绿色正方形各边中点，E、F、G、H为黄色正方形各边中点，学校在CG中点处，学而思在DH中点处，已知开车在绿色道路上最大时速为60千米每小时，在黄色道路上最大时速为40千米每小时，在红色道路上最大时速为20千米每小时．已知从家到学而思最少需要22分钟，从学校到学而思最少需要20分钟，那么，从家到学校最少需要_________分钟．15．A、B、C三个数都有6 个约数，并且它们都没有大于10 的质因数．如果(,)2A B=，(,)1A C=，(,)5B C=，那么，A、B、C三个数共有_________种不同的组成情况．16．甲、乙两人轮流往立方体的任意一个顶点填入1～20中的一个数（不能重复），要求每次填的数一定比3个相邻位置中已有的数大，谁无法填出谁负．甲先填，第一次填了17（如图所示），那么，如果乙想要获胜，他第一次填的数最小是_________．五、解答题（每题8分，共16分）17．计算：（1）6166+78÷（2）0.16+1.3+2.518．（1）解方程：81335 x x+-=-（2）列方程解应用题：五年一班男生和女生的人数比是5:4，后来又转来 1 名男生和2 名女生，这时男生和女生的人数比是7:6，请问：这个班原来共有学生多少人？六、解答题（每题15分，共30分）19．如右图，正方形ABCD的面积为1，E、F分别为BC、CD的中点，AE和BF相交于点O．求：（1）ABE∆的面积；（2）:AO OE；（3）AOB∆的面积；（4）COD∆的面积．20．老师在黑板上随机写了8 个数，每个数都是1、2、4中的某一个．学生们每次擦去两个相同的数，并把这两个相同的数的和写在黑板上．如果某位同学在黑板上写出了“2048”，则过程“成功结束” ，否则老师就再随机写一个数上去（1或2或4），以保证黑板上仍有8个数．学生每次成功写数都会得与此数相同的分数，例如：擦去两个2，写上4，得到4分．如果并没有写出2048，但已没有相同的数可以同时擦去，则过程“失败结束”．（1）如果黑板上出现了“32”，那么此时总分至少是多少分？（2）若一个过程结束后恰好得到了18000分，能否是一次“成功结束”？为什么？（3）某一次过程“成功结束”了，并且最后黑板上的数互不相同，那么这个过程的总得分最少是多少分？2014年第四届全国学而思综合能力测评小学五年级参考答案1 2 3 4 5 6 7 891063 41 60 5 14 2014 1810139811 12 13 14 15 16 17 18 19 20 57160994281215（1） 1 （2） 4 （1） 1x = （2） 36 （1）14（2）4:1（3）15（4）310（1） 96 （2）不能（3） 18568部分解析一、填空题（每题5分，共20分）1．今天是2014年4月7日．有一个数，它除以14，商是4，余数是7，那么，这个数是_________． 【考点】数论，带余除法 【难度】☆ 【答案】63【解析】144+7=63⨯．2．定义：2a b a b ∆=+，2a b a b =+☆，那么，1(68)∆=☆_________． 【考点】定义新运算 【难度】☆☆ 【答案】41【解析】1(68)1(268)120122041∆=∆⨯+=∆=+⨯=☆．3．2014年2月共有28天，据气象部门统计，这个月北京有雾霾的天数占全月总天数的37．盛盛喜欢跑步，他在雾霾天每天跑1圈，其它时间每天跑3圈．那么，盛盛2014年2月总共跑了_________圈．【考点】应用题，分数应用题 【难度】☆☆ 【答案】60【解析】雾霾天有328=127⨯（天）故其他时间为2812=16-（天），故共跑了112+316=60⨯⨯（圈）．4．如下图，1号立体图形是一个正四棱锥，2号立体图形是一个正四面体，红色部分是大小相同的正三角形．把1号和2号拼成一个新立体图形，让两个红色部分完全重合，那么，这个新立体图形共有_________个面．【考点】几何，立体几何与空间想象【难度】☆☆☆【答案】5【解析】红色三角形旁边的面是共面的，答案是72=5-（个）面．二、填空题（每题6分，共24分）5．下图中，共有_________个等边三角形．【考点】组合，几何计数【难度】☆☆【答案】14【解析】若最小的正三角形边长为“1”，则这种边长为“1”的三角形有12个，边长为“2”的三角形有2个，共14个．6．将下面的乘法竖式补充完整，那么，最后的乘积是_________．【考点】数字谜，乘法竖式谜【难度】☆☆【答案】2014【解析】第二个部分积是1，故知第二个乘数的百位必为1，且第一个乘数必为1，进而缩小范围分析算式110=24⨯，由于181092000⨯．⨯<，故知第一个乘数只能是19，算式是19106=20147．下图是国际象棋棋盘，将每一行的棋子数写在了棋盘左边，将每一列的棋子数写在了棋盘的上边．已知每格至多放一枚棋子，且同一行或同一列的棋子全部相连，那么，白格中共有_________枚棋子．【考点】数独思想【难度】☆☆☆【答案】18【解析】突破口是第4行以及第6列，都是“8”，故知此列全满，以此为起点，填出所有其他行列（先找最大数或最小数比较好填，即8→1→7→2→……的顺序：其中灰色的步骤是用到了“同一行或同一列的棋子全部相连”这一条件推导而来的，计数后最后一个途中的白色格的棋子数量，为18个．8．4名瓦工用面积为80平方厘米的地砖铺6平米的房间，用了3天时间：16名瓦工用另一种规格的地砖铺了12平方米的房间，用了12天时间．每名瓦工铺一块任何大小的地砖所需要的的时间都相等．那么，第二个房间所用的地砖面积是_________平方厘米． 【考点】应用题，归一问题的比例解法 【难度】☆☆☆ 【答案】10【解析】考虑两次铺砖的比例关系：16名砖瓦工铺12天所铺的块数，应是4名砖瓦工铺3天所铺块数的1612=1643⨯⨯倍，但房间大小方面，第二个房间只是第一个房间的126=2÷倍，这说明第一房间的地砖大小是第二个房间地砖大小的162=8÷倍，故知第二个房间的地砖大小为808=10÷平方厘米．三、填空题（每题7分，共28分）9．把1个1，2个2，3个3，……按顺序排成下图数表，那么这个数表中第10行第10列的数是_________．【考点】计算，方形数表 【难度】☆☆☆ 【答案】13【解析】第10行第10列的数是第99+10=91⨯个数，而1+2+3+4++13=91，故知此数为13（13个13中的最后那个）．10．算式()()()2014AB CD EF GH I J -⨯-⨯-=中，不同的字母代表不同的数字，那么两位数AB 的最大值是_________．【考点】数论，数字谜，最值 【难度】☆☆☆ 【答案】98【解析】2014=21953⨯⨯，故知2I J -=，另外两个括号分别是19和53；或者1I J -=，另外两个括号分别是38和5．AB 的理论最大值为98，另一方面有实例(9845)(3617)(20)2014-⨯-⨯-=，故答案是98．11．如右图，正方形ABCD 的边长为10，以A 为圆心10为半径作弧交AC 于E ，以B 为圆心10为半径作弧交BD 于F ，以C 为圆心10为半径作弧交AC 于G ，以D 为圆心10为半径作弧交BD 于H ，那么，图中阴影部分的面积是_________．（π取3．14）【考点】几何，圆与扇形 【难度】☆☆☆ 【答案】57 【解析】2245(10104)45010057360S ππ=⨯⨯-÷⨯=-=．12．黑板上写着5个连续的两位数，小明将其中的3个相加，和能被47整除，小军也将其中的3个相加，和能被97整除．那么，黑板上写的5个数之和是________． 【考点】数论，最值 【难度】☆☆☆☆ 【答案】160【解析】这样的5个数中挑出3个作和，最大和比最小和多6，故知题目所叙述的两个和应该尽量接近（差在6以内）；又5个数都是2位数，所以和小于等于294．在这两个限制条件内，可选的97的倍数有97、194、291；其中97与472=94⨯的差在6以内，构造30、31、32、33、34，可加出97、94（例：30+33+34=31+32+34=97，30+31+33=94）；194与474=188⨯的差刚好是6，说明若有实例则188是最小三数和，194是最大三数和，故知188和194应为3的倍数，但事实并非如此，故知不存在实例使得三数和为188、194；291附近（差为6以内）没有47的倍数，故亦不存在实例使得三数和为291及47的倍数．综上，符合要求的实例只有一个：30、31、32、33、34，其和为160．四、填空题（每题8分，共32分）13．n 是一个三位数，如果2014n +的结果的数字和是n 的数字和的一半，那么，n 的最大值是_________． 【考点】数论，弃九法 【难度】☆☆☆☆ 【答案】994【解析】设n abc =，根据弃九法，2014(mod9)2a b c abc +++≡，即()7(mod9)2a b ca b c +++++≡，解得4(mod9)a b c ++≡，故理论最大值为994．经验证994正确，故答案为994．14．某城市交通路线图如下，A 、B 、C 、D 为绿色正方形各边中点，E 、F 、G 、H 为黄色正方形各边中点，学校在CG 中点处，学而思在DH 中点处，已知开车在绿色道路上最大时速为60千米每小时，在黄色道路上最大时速为40千米每小时，在红色道路上最大时速为20千米每小时．已知从家到学而思最少需要22分钟，从学校到学而思最少需要20分钟，那么，从家到学校最少需要_________分钟．【考点】行程，比例行程，统筹与规划 【难度】☆☆☆☆☆ 【答案】28【解析】设OH 的长度为a 千米，则走绿色a 千米、黄色a 千米、红色a 千米所用的时间比为111=2:3:6604020：：． 分别设为2t ，3t ，6t 分钟．另设从家沿绿色到A 的用时是x 分钟．从学校到学而思的两个可能的最短时间的路线为：①向下先到C ，再沿绿色道路到D ，再到学而思，用时62414t t t +⨯=分钟；②向上先到G ，再沿黄色道路到H ，再到学而思，用时63212t t t +⨯=分钟．可见方案②时间更短，故1220t =，解得53t =． 从家到学而思最短时间路线显然为沿绿色走到D ，再到学而思，用时为552460.511223x t t x t x +⨯+⨯=+=+=分钟，解得113x =，故知家到左上角的时间为223t x ⨯-=分钟．从家到学而思最短时间路线显然为沿绿色走到C 再到学校，用时32660.528t t +⨯+⨯=分钟．15．A 、B 、C 三个数都有 6 个约数，并且它们都没有大于 10 的质因数．如果(,)2A B =，(,)1A C =，(,)5B C =，那么，A 、B 、C 三个数共有_________种不同的组成情况．【考点】数论，因数个数定理，最大公因数 【难度】☆☆☆☆ 【答案】12【解析】含有6个因数的数的分解质因数形式只有两种：5p 型或2p q （其中p 、q 是不相同的质数），但B既含有质因数2，又含有质因数5，故知225B =⨯或252B =⨯．而A 、C 是互质的，故A 含有质因数2，不含质因数5；C 则相反，含有质因数5，不含质因数2．若225B =⨯，则A 中质因数2的次数只能是1，即A 是22p ⨯的形式．可能的（A 、B 、C ）有（232⨯、225⨯、55）（272⨯、225⨯、55）（232⨯、225⨯、257⨯）（272⨯、225⨯、253⨯）（232⨯、225⨯、275⨯）（272⨯、225⨯、235⨯）这6种情况；若252B =⨯， 则C 中质因数5的次数只能是1，即C 是25p ⨯的形式．对称地也有 6 种情况，有（52、252⨯、235⨯）（52、252⨯、275⨯）（227⨯、252⨯、235⨯）（223⨯、252⨯、275⨯）（272⨯、252⨯、235⨯）（232⨯、252⨯、275⨯）这6种情况．综上，共有12种不同的情况．16．甲、乙两人轮流往立方体的任意一个顶点填入1～20中的一个数（不能重复），要求每次填的数一定比3个相邻位置中已有的数大，谁无法填出谁负．甲先填，第一次填了17（如图所示），那么，如果乙想要获胜，他第一次填的数最小是_________．【考点】组合，立体数阵图，游戏与策略 【难度】☆☆☆☆☆ 【答案】15【解析】17 对面（E ）是个很关键的位置；① 如果乙在E 填14或14以下的数（以14为例），甲就在D 处填18，剩余A 、C 、F 可填19、20，B 、G 可填 15、16、19、20． 如果乙在任意位置填19，甲只要在合适的位置填20，保证剩余的位置不能填入数即可（很容易办到），如果乙在B 或G 中填入15或16，甲只要在B 或G 填入另外一个数，就能够保证必胜；②如果乙在其它位置填入14或14以下的数（以14为例），甲就在E处填入18，这样所有位置就都不可以填18 以下的数了，不论下一步乙填19或是20，甲只要填另外1个数即可．综上两条，14或14以下的数是不能够获胜的．以下论证乙填入15可以获胜．乙在E处填入15，此时15以下的数都不能填，所以只剩下16、18、19、20．①如果甲在任意位置填入19或20，乙只需要在这个数对面的那个位置填入19和20中剩下的那个数，这样16就无法填入了，乙获胜；②如果甲在B、D、G三个位置其中之一填入16，乙就在16的对面填入18，剩余过程甲只要填19或20的其中一个，乙只要找到合适位置填入另外一个即可；③如果甲在任意位置填入18，乙只需要在B、D、G中选择一个空位置填入16，剩余过程同②；综上，乙想要获胜，最小填的数是15．五、解答题（每题8分，共16分）17．计算：（1）61 66+78÷（2）0.16+1.3+2.5【考点】计算，分数与循环小数【难度】☆☆【答案】（1）1；（2）4【解析】（1）原式48171=6+=6+=178488÷⨯．（2）原式111=+1+2=4 63218．（1）解方程：81335 x x+-=-（2）列方程解应用题：五年一班男生和女生的人数比是5:4，后来又转来 1 名男生和2 名女生，这时男生和女生的人数比是7:6，请问：这个班原来共有学生多少人？【考点】计算，列方程解应用题【难度】☆☆【答案】（1）1x=（2）36【解析】（1）两边同时扩15倍：5(8)45(31)5404831x x x x x+=--⇒+=-⇒=．（2）设原来的男女生人数分别为5x人和4x人；根据题意列方程：517 426 xx+=+651)7(42)x x +=+（3062814x x +=+28x =4x =4(5+4)36⨯=（人）答：这个班原来共有 36 人六、解答题（每题15分，共30分）19．如右图，正方形ABCD 的面积为1，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，AE 和BF 相交于点O ．求：（1）ABE ∆的面积；（2）:AO OE ；（3）AOB ∆的面积；（4）COD ∆的面积．【考点】几何，直线型比例模型【难度】☆☆☆【答案】（1）14；（2）4:1；（3）15；（4）310． 【解析】（1）由于E 是中点，则ABE ∆的面积占总面积一半的12，即14； （2）根据风筝模型（共边定理）：142118ABF EBF S AO OE S ===；（3）因为41AO OE =，则44115545AOB ABE S S ==⨯=； （4）如下图，由共边定理可知： CODCBD SOF S BF=，欲求:OF BF ，只需求:BO OF ；再利用风筝模型（共边定理）求124::11131448BAEFAESBOBO OFOF S===---由此可见，13322310 COD CBDOFS SBF=⨯=⨯=+20．老师在黑板上随机写了8 个数，每个数都是1、2、4中的某一个．学生们每次擦去两个相同的数，并把这两个相同的数的和写在黑板上．如果某位同学在黑板上写出了“2048”，则过程“成功结束” ，否则老师就再随机写一个数上去（1或2或4），以保证黑板上仍有8个数．学生每次成功写数都会得与此数相同的分数，例如：擦去两个2，写上4，得到4分．如果并没有写出2048，但已没有相同的数可以同时擦去，则过程“失败结束”．（1）如果黑板上出现了“32”，那么此时总分至少是多少分？（2）若一个过程结束后恰好得到了18000分，能否是一次“成功结束”？为什么？（3）某一次过程“成功结束”了，并且最后黑板上的数互不相同，那么这个过程的总得分最少是多少分？【考点】组合，最值& 构造【难度】☆☆☆☆【答案】（1）96（2）不能（3）18568【解析】（1）逆推，出现了32，说明至少出现过2个16，进而至少出现过4个8；则此时总分至少是32+162+84=96⨯⨯（分）；（2）同上题，出现了2048，至少要得如下的分数：2048+10242+5124+2568+12816+6432+3264+16128+8256⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=20489=18432⨯由于1800018432<，因此18000分是不可能成功结束的．（3）根据前两问不难发现规律：出现8至少得分81⨯分；出现16至少得分162⨯分；出现32至少得分323⨯分；……出现2048至少得分20489⨯分；成功结束时黑板上有7个数，要使总得分最少，那么这7个数应该是：2048，1，2，4，8，16，32 ；其中2048，8，16，32的得分总和至少是：⨯⨯⨯⨯（分）．20489+81+162+323=18568[文档可能无法思考全面，请浏览后下载，另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意!]。

知识概述1.牛吃草问题类型：⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩草增加简单牛吃草草减少牛的数量增加或减少牛吃草复杂牛吃草有多种动物的牛吃草抽水问题牛吃草变例入口问题牛吃草问题的难点在于草的总量有变化,因此要注意单位“1”的选取。

2.牛吃草问题解题步骤：第1步求出两个总量；第2步总量的差÷时间差=每天长草量=安排去吃新草的牛数；第3步每天长草量×天数=总共长出来的草；第4步草的总量－总共长出来的草=原有的草；第5步原有的草÷吃原有草的牛=能吃多少天。

牛吃草问题牛吃草问题是中环杯、小机灵杯等各大杯赛的常考点,这类问题的解题思路相对比较固定,常以牛吃草、检票、抽水机等题型出现。

只要我们掌握熟练牛吃草问题的解题思路,这类问题可轻松应对。

名师点题有一片牧场,草每天都在均匀地生长,如果在牧场上放养18头牛,那么10天能把草吃完；如果只放养24头牛,那么7天就把草吃完了。

请问：如果放养32头牛,多少天可以把草吃完？【解析】设1头牛1天吃1份草。

18头牛10天吃的总草量：18×10=180；24头牛7天吃的总草量：24×7=168；10-7=3天新长的草24*7=168（份）18*10=180（份）1天新生的草量：（180-168）÷（10-7）=4；草地上原有草量：180-4×10=140；这片草地可供32头牛吃的天数：140÷（32-4）=5（天）答：如果放养32头牛,5天可以把草吃完。

进入冬季后,有一片牧场上的草开始枯萎,因此草会均匀地减少。

现在开始在这片牧场上放牛,如果有38头牛,把草吃完需要25天；如果有30头牛,把草吃完需要30天。

如果有20头牛,这片牧场可以吃多少天？【解析】设1头牛1天吃1份草。

38头牛25天吃的总草量：38×25=950；30头牛30天吃的总草量：30×30=900；1天减少的草量：（950-900）÷（30-25）=10；草地上原有草量：900+10×30=1200；这片草地可供20头牛吃的天数：1200÷（20+10）=40（天）答：如果有20头牛,这片牧场可以吃40天。

「華夏盃」全國數學奧林匹克邀請賽2014（香港賽區）初賽小學五年級試題甲部：第1至10題（每題5分）1．求5+10+15+20+25+30+…+95的值．2．在一抽獎箱內，圓形、三角形和長方形的禮物各有7件．那麼最少要抽出多少件禮物才能保證當中有4件禮物形狀相同？3．1780、523和50239這三個分數中，最大的分數是甚麼？4．一列火車的速率是每小時180公里，那麼它平均每秒移動多少米？5．下列數列是根據一個特定規律排列，找出A代表的數值．32、8、4、2、2、1、A、0.5、…6．參考附表，當中為一條算式謎，當中的每個空格只能填寫0至9其中一個數，數字可以重覆使用．求B代表的數值．7．甲獨自完成一份工作需要6分鐘，乙獨自完成一份工作需要12分鐘，丙獨自完成一份工作需要12分鐘．問甲乙丙三人合力完成這份工作要多少分鐘？8．求0.5500.39-的值．（答案應以循環小數表示．）9．有一個角柱體，它的棱（邊）的數量和頂點的數量的總和是100．那麼它的底面有多少條棱（邊）？10．求201320132013201320132013201320132013++++++++的個位數．123456789乙部：第11至20題（每題7分）11．參考附圖，在同一個平面上畫三個圓形，最多有6個交點，如果在同一個平面上畫10個圓形，它們最多有多少個交點？12．求646884688424646884246884 244838483864244838644838⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++-++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭××的值．13．有五個數的平均數是65，若把其中一個數由C改為80，那麼新的五個數的平均數便會是73．求C 的值．14．某學校小五年級共有若干名學生，全部學生都要考4個科目，每個科目都剛好有22人合格．剛好有1科合格的有4人，剛好有2科合格的有1人，四科都合格的人有16人．有多少人剛好有3科合格？15．參考附圖，當中是一個數獨謎題，在每行、每列及每個32×的粗線方格中填滿1至6的數字，每個數字在每行、每列及每個32×的粗線方格也只能出現一次．求S的數值，即在右下角上一方格的數值．16．小紅在下午4:30從學校出發回家看某電視節目，如果她以每分鐘80米的速度步行，可在電視節目開始前4分鐘回到家中；如果她以每分鐘60米的速度步行，則會電視節目開始後3分鐘才回到家中．那麼該電視節目在下午甚麼時候開始？（答案以「時:分分」表示，如下午五時二十分，該寫成「5:20」．）17．有1元、2元、5元的硬幣共18枚，面值共50元．其中1元和5元硬幣的數量是相等的，問這1元硬幣有多少枚？18．參考附圖，最外圍的圖形是一個邊長30厘米的大正方形，中間陰影部份是一個面積為42平方厘米的長方形．那麼，四邊形ABCD的面積是多少平米厘米？19．現在有6雙不同的鞋子，在當中抽出6隻鞋子，問在這6隻鞋子中剛好有2雙鞋子的組合有多少個？20．參考附圖，在一個正方體的8個頂點上分別填入1至8這八個數，每個數字只可以填在一個頂點上．要使六個面上的四個頂點上的數之和相同，那麼這個和是多少？。

第十五届“中环杯”小学生思维能力训练活动五年级选拔赛1、已知2468135713572468m n++++++-=++++++，其中 m,，n 是两个互质的正整数，则10______m n +=。

【考点】分数计算【答案】110 分析：2016910920110162020=-=⨯+=原式。

2、D 老师家里有五个烟囱，这五个烟囱正好从矮到高排成一排，相邻两个烟囱之间的高度差为 2 厘米，其中最高的烟囱又正好等于最矮的两个烟囱的高度之和，则五个烟囱的高度之和是________厘米。

【考点】等差数列，方程【答案】50分析：设这五个烟囱分别为 x-4，x-2，x ，x+2，x+4，则 x+4=x-2+x-4，x=10， 和为 5x=50。

3、已知()()22332014a b c d =+⨯-，其中 a 、b 、c 、d 是四个正整数，请你写出满足条件的一个乘法算式：___________。

【考点】数的拆分，分解质因数【答案】答案不唯一 分析：2014=1×2014=2×1007=19×106=38×53()()22335932+⨯-4、一个长方体的长、宽分别为 20 厘米、15 厘米，其体积的数值与表面积的数值相等，则它的高为______厘米（答案写为假分数）。

【考点】立体几何，方程 【答案】6023分析：设高为 h ，则 ()60201520152015223h h h h ⨯⨯=⨯++⨯=，则。

5、一次中环杯比赛，满分为 100 分，参赛学生中，最高分为 83 分，最低分为 30 分（所有的分数都是整数），一共有 8000 个学生参加，那么至少有_____个学生的分数相同。

【考点】抽屉原理【答案】149分析：833015480005414881481149-+=÷=+=，…,。

6、对 35个蛋黄月饼进行打包，一共有两种打包规格：大包袋里每包有9 个月饼，小包装里每包有 4个月饼。