D B A C α
空间中的夹角
空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。
1、异面直线所成的角
（1）异面直线所成的角的围是]2,0(π
。求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直
线，把异面问题转化为共面问题来解决。
具体步骤如下：
①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；
②证明作出的角即为所求的角；
③利用解三角形来求角。简称为“作，证，求”
2、线面夹角
直线与平面所成的角的围是]2,0[π
。求直线和平面所成的角用的是射影转化法。
具体步骤如下：（若线面平行，线在面，线面垂直，则不用此法，因为角度不用问你也知道）
①找过斜线上一点与平面垂直的直线；
②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；
③把该角置于三角形中计算。
也是简称为“作，证，求”
注：斜线和平面所成的角，是它和平面任何一条直线所成的一切角中
的最小角，即若θ为线面角，β为斜线与平面任何一条直线所成的角，则有θβ≤；（这个证明，需要用到正弦函数的单调性，请跳过。在右图的解释为
BAD CAD ∠>∠）
） 2.1确定点的射影位置有以下几种方法：
①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；
②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；
已知：如图，BAC ∠在一个平面α，
,,PN AC PM AB PN PM ⊥⊥且＝（就是点P 到角
两边的距离相等）过P 作PO α⊥（说明点O 为P 点
在面α的射影）
求证：OAN OAM ∠∠＝
（OAN OAM ∠∠＝，所以AO 为BAC ∠的角平
分线，所以点O 会在BAC ∠的角平分线上）
证明：PA ＝PA ，PN ＝PM ，
90PNA PMA ∠∠?＝＝
PNA PMA ∴???（斜边直角边定理）
AN AM ∴＝ ①
(PO NO MO PN PM α⊥??=??
斜线长相等推射影长相等）＝ O AN AM AO AO AMO ANO NAO MAO OM N ???????∠∠???
＝＝＝＝ 所以，点P 在面的射影为BAC ∠的角平分线上。
③如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；
已知：如图，BAC ∠在一个平面α
PAN PAM ∠∠＝（斜线AP 与BAC ∠的两边
AB AC ，所成角相等）
PO α⊥
求证：OAM OAN ∠∠＝（说明点O 在角MAC 的角
平分线上。）
证明：在AB 上取点M ，在AC 上取点N ，使AN AM
＝（这步是关键，为我们自已所作的辅助线点，线）
A A N
PAN PAM PN PM ???????∠∠?M ＝AP ＝AP ＝PAN ＝PAM
(PO NO MO PN PM α⊥??=??
斜线长相等推射影长相等）＝ O AN AM AO AO AMO ANO NAO MAO OM N ???????∠∠???
＝＝＝＝，所以，点P 在面的射影为BAC ∠的角平分线上。
④两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上；（这是两面垂直的性质）
⑤利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：
a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心； 已知：如图，三棱锥P －ABC 中，PA ＝PB ＝PC ，PO ABC ⊥面
求证：O 点为ABC ?的外心（即证OA ＝OB ＝OC ）
（注：外心为三角形的外接圆的圆心，也是三边中垂线的交
点）
b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的心(或旁心)；
已知：如图，PF AB PD BC PE AC ⊥⊥⊥，，
PF PD PE ＝＝
PO ABC ⊥面
求证：O 为ABC ?的内心
（注：心为三角形的切圆的圆心，也为三角形的三
个角的角平分线的交点）
证明：连结BO ，CO
易证DBO FBO DBO FBO ????∠∠＝
所以BO 为角DBF 的角平分线，即点O 在角DBF 的
角平分线上。同理可证点O 为角DCE 的角平分线，所以
O 为两角平分线交点，从而为心。
c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心； AE BC CD AB ⊥⊥，
已知：如图，PA BC PB CA ⊥⊥，
PO ABC ⊥面
求证：（1）PC AD ⊥（就是三棱锥中有两组对棱垂直，
则可以推出第三组对夫棱垂直）（所以，条件中各组对棱垂直，
实际是有多了一组）
（2）点O 为三角形ABC 的垂心
（注：垂心为三角形的三高交点，O 为垂心，相当于证明
AE BC CD AB ⊥⊥，，两高交点即可）
3、二面角
（4）二面角的围在课本中没有给出，一般是指],0(π，解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种方法
①棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点在两个平面分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角；
②面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；边是最常用的方法
③空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。
备注：还有一个投影法求二面角，高考不作要求， 所以此处略去。
配套练习：（练习难度不大，所以只给简答，见最后一页）
1、两个对角面都是矩形的平行六面体是
A 、正方体
B 、正四棱柱
C 、长方体
D 、直平行六面体
2、正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，异面直线AC 与B 1C 1所成的角是
A 、300
B 、600
C 、900
D 、1200
3、已知一个正六棱柱的底面边长是32，最长的对角线长为8，那么这个正六棱柱的高是 A 、32 B 、3 C 、4 D 、34
4、正四棱锥相邻的侧面所成二面角的平面角是
A 、锐角
B 、钝角
C 、直角
D 、以上均有可能
5、一棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比是1:2，则此棱锥的高（自上而下）
被分成两段长度之比为
A 、1:2
B 、1:4
C 、1:)12(+
D 、1:)12(-
6、在四棱锥的四个侧面中，可以是直角三角形的个数最多是
A 、4个
B 、3个
C 、2个
D 、1个
7、三棱锥P-ABC 中，若PA=PB=PC ，则顶点P 在底面三角形的射影是底面三角形的
A 、心
B 、外心
C 、重心
D 、垂心
8、四棱柱成为平行六面体的一个充分不必要条件是
A 、底面是矩形
B 、底面是平行四边形
C 、有一个侧面为矩形
D 、两个相邻侧面是矩形
9、已知AD 是边长为2的正三角形ABC 的边上的高，沿AD 将△ABC 折成直二面角后，点A 到BC
的距离为
A 、23
B 、27
C 、214
D 、4
14 10、已知异面直线a 、b 所成的角为500，P 为空间一定点，则过点P 且与a 、b 所成角都是300的直
线有且仅有
A 、1条
B 、2条
C 、3条
D 、4条
11、二面角βα-- 是直二面角， ?∈∈B A B A ,,,βα，设直线AB 与βα,所成的角分别为1θ、
2θ则
A 、02190=+θθ
B 、02190≥+θθ
C 、02190≤+θθ
D 、02190≠+θθ
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13、长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=3,BC=1,CC 1=3,则平面A 1BC 与平面ABCD 所成的角的度数是
____________
14、正三棱锥V-ABC 的各棱长均为a ，M,N 分别是VC,AB 的中点，则MN 的长为______ 15、有一个三角尺ABC ， 0090,30=∠=∠C A ,BC 贴于桌面上，当三角尺与桌面成450角时，AB
边与桌面所成角的正弦值是________.
19、在三棱锥D-ABC 中，DA ⊥平面ABC ，∠ACB=900,∠ABD=300,AC=BC,求异面直线AB 与CD 所
成的角的余弦值。（注，题目未配图，请自行画图）
20、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，P ,Q,R 分别为棱AA 1,AB,BC 的中点，试求二面角P-QR-A 的
正弦值。
分析：求二面角，主要思路就是作，证，求。
作二面角的基本方法，主要用三垂线法，明显有， PA ABCD ⊥面，所以只要过点A 作AH QR ⊥，
垂足为H ，则PHA ∠为所求的平面角，要过A 作QR
可以底面ABCD 分离出来，从而变成一个平面问题。
一、选择题：1．D 2.B 3.C 4.B 5.D 6.A 7.B 8.A 9.C 10.B 11.C
二、填空题： 13.300 14.a 22 15. 4
6 三、解答题： 19.1030 20.3
6