专题五高考解析几何
命题动向
专题五 高考解析几何命题动向
高考命题分析
解析几何是高中数学的又一重要内容,其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线.由于平面向量可以用坐标表示,因此可以以坐标为桥梁,使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系.用向量方法研究解析几何问题,主要是利用向量的平行(共线)、垂直关系及所成角研究解析几何中直线的平行、垂直关系及所成角.平面向量的引入为高考中解析几何试题的命制开拓了新的思路,为实现在知识网络交汇处设计试题提供了良好的素材,这类问题涉及面广、综合性强、背景新颖、灵活多样,求解此类问题对能力要求较高.在考基础、考能力、考素质、考潜能的考试目标指导下,每年的高考对解析几何的考查都占有较大的比例,且常考常新.
高考命题特点
(1)直线与圆的方程,圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等是支撑解析几何的基石,也是高考命题的基本元素.高考十分注重对这些基础知识的考查,有的是求圆锥曲线的标准方程;有的是直接考查圆锥曲线的离心率,有的是对直线与圆锥曲线的位置关系进行考查等.
(2)试题在考查相应基础知识的同时,着重考查基本数学思想和方法,如分类讨论思想、数形结合思想.除此之外,许多试卷都非常重视对考生思维能力和思维品质的考查.
(3)解析几何是高中数学的重点内容,它的特点是用代数的方法研究解决几何问题,重点是用“数形结合”的思想把几何问题转化为代数问题,这类试题涉及面广、综合性强、题目新颖、灵活多样,解题对能力要求较高.
高考动向透视
直线与圆的方程
对于直线方程,要理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握点到直线的距离公式等,特别是求直线方程的三种形式.而对于圆的方程,要熟练运用与圆相关的基本问题的求解方法.如求解圆的方程的待定系数法、求圆的圆心与半径的配方法、求圆的弦心距的构造直角三角形法、判断直线与圆、圆与圆的位置关系的代数法与几何法、求圆的切线的基本方法等.这些方法是解决与圆有关问题的常用方法,必须认真领会,熟练运用.
【示例1】?(2011·杭州模拟)设O 为坐标原点,曲线x 2+y 2+2x -6y +1=0上有两点
P ,Q 满足关于直线x +my +4=0对称,又满足OP →·OQ →
=0.
(1)求m 的值
(2)求直线PQ 的方程.
解 (1)曲线方程为(x +1)2+(y -3)2=9, 表示圆心为(-1,3),半径为3的圆.
∵点P ,Q 在圆上且关于直线x +my +4=0对称, ∴圆心(-1,3)在直线x +my +4=0上,代入得m =-1. (2)∵直线PQ 与直线y =x +4垂直. ∴可设直线PQ 的方程为y =-x +b . 将直线y =-x +b 代入圆的方程,得 2x 2+2(4-b )x +b 2-6b +1=0.
由Δ=4(4-b )2-4×2×(b 2-6b +1)>0, 得2-32<b <2+3 2. 设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),
由根与系数的关系得x 1+x 2=-(4-b ),
x 1x 2=b 2-6b +12
.
∴y 1y 2=b 2-b (x 1+x 2)+x 1x 2=b 2-6b +12
+4b .
∵OP →·OQ →=0,
∴x 1x 2+y 1y 2=0,即b 2-2b +1=0, 解得b =1∈(2-32,2+32).
∴所求的直线方程为x +y -1=0.
本题考查了圆的方程和直线与圆的位置关系,对于直线与圆的位置关系,可
联立方程,转化为交点坐标,结合条件,求出参数值.
【训练】 (2011·福建)如图,
直线l :y =x +b 与抛物线C :x 2=4y 相切于点
A . (1)求实数b 的值;
(2)求以点A 为圆心,且与抛物线C 的准线相切的圆的方程.
解 (1)由?
????
y =x +b ,
x 2=4y ,得
x 2-4x -4b =0,(*)
因为直线l 与抛物线C 相切,
所以Δ=(-4)2-4×(-4b )=0,解得b =-1. (2)由(1)可知b =-1,故方程(*)为x 2-4x +4=0. 解得x =2,代入x 2=4y ,得y =1,故点A (2,1). 因为圆A 与抛物线C 的准线相切,
所以圆A 的半径r 就等于圆心A 到抛物线的准线y =-1的距离,即r =|1-(-1)|=
2,
所以圆A 的方程为(x -2)2+(y -1)2=4. 圆锥曲线的定义、标准方程
(1)圆锥曲线的定义是高考考查的重点之一.对于圆锥曲线定义的考查,一般涉及焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系,属于基础知识、基本运算的考查,解题时要注意恒等变形,进行合理转化与化归.
(2)圆锥曲线的标准方程在新课标高考中占有十分重要的地位.一般地,求圆锥曲线的标准方程是作为解答题中考查“直线与圆锥曲线”的第一小问的,这一问至关重要,因为只有求出了曲线方程,才能进行下一步的运算.求曲线方程的方法很多,其中“待定系数法”最为常见.
【示例2】?(2011·山东)已知双曲线x 2a 2-y 2
b
2=1(a >0,b >0)的两条渐近线均和圆C :x 2
+y 2-6x +5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为( ).
A.x 25-y 24=1
B.x 24-y 2
5=1 C.x 23-y 26=1 D.x 26-y 2
3=1 解析 圆心的坐标是(3,0),圆的半径是2,双曲线的渐近线方程是bx ±ay =0,根据已知得3b a 2+b 2
=2,即3b 3=2,解得b =2,则a 2
=5,故所求的双曲线方程是x 25-y 2
4=1,故
选A.
答案 A
本小题考查双曲线的几何性质(渐近线方程、焦点坐标)以及对直线与圆位置
关系的理解与应用,求解本题时应注意将直线与圆相切转化为圆心到直线的距离等于圆的半径列式求解,本题难度适中.
圆锥曲线的离心率
离心率是高考对圆锥曲线考查的又一个重点.求离心率取值范围问题是解析几何中常
见的问题,求解时,可根据题意列出关于a 、b 、c 的相应等式,并把等式中的a 、b 、c 转化为只含有a 、c 的齐次式,再转化为含e 的等式,最后求出e .该类题型较为基础、简单,一般以填空题、选择题或解答题的第一问的形式出现,是送分题,只要我们熟练掌握圆锥曲线的几何性质,就可以顺利解题.
【示例3】?(2011·新课标全国)设直线l 过双曲线C 的一个焦点,且与双曲线C 的一条对称轴垂直,l 与C 交于A ,B 两点,|AB |为C 的实轴长的2倍,则C 的离心率为( ).
A. 2
B. 3 C .2 D .3
解析 设双曲线C 的方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0),焦点F (-c,0),将x =-c 代入x 2
a
2
-y 2b 2=1可得y 2=b 4a 2,所以|AB |=2×b 2a =2×2a ,∴b 2=2a 2,c 2=a 2+b 2=3a 2,∴e =c
a = 3. 答案 B
本小题考查对双曲线的几何性质的理解与应用,考查运算求解能力及逻辑思
维能力.
直线与圆锥曲线的位置关系
此类试题一般为高考的压轴题,主要考查圆锥曲线的标准方程,直线与圆锥曲线的位置关系.高考经常设计探究是否存在的问题,也经常考查与平面向量知识的综合运用.处理此类问题,主要是在“算”上下工夫.即利用向量坐标关系及方程的思想,借助根与系数的关系解决问题.解题时,也要特别注意特殊情况(如斜率不存在的情况)的处理.
【示例4】?(2011·湖南)已知平面内一动点P 到点F (1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1.
(1)求动点P 的轨迹C 的方程;
(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1,l 2,设l 1与轨迹C 相交于点A ,B ,l 2
与轨迹C 相交于点D ,E ,求AD →·EB →
的最小值.
解
(1)如图,设动点P 的坐标为(x ,y ),由题意有(x -1)2+y 2-|x |=1.化简得y 2=2x +2|x |. 当x ≥0时,y 2=4x ; 当x <0时,y =0.
所以,动点P 的轨迹C 的方程为y 2=4x (x ≥0)和y =0(x <0).
(2)由题意知,直线l 1的斜率存在且不为0,设为k ,则l 1的方程为y =k (x -1). 由?????
y =k (x -1),y 2=4x
得k 2x 2-(2k 2+4)x +k 2=0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1,x 2是上述方程的两个实根,于是x 1+x 2=2+4
k
2,x 1x 2=
1.
因为l 1⊥l 2,所以l 2的斜率为-1
k
.
设D (x 3,y 3),E (x 4,y 4),则同理可得 x 3+x 4=2+4k 2,x 3x 4=1. 故AD →·EB →=(AF →+FD →)·(EF →+FB →) =AF →·EF →+AF →·FB →+FD →·EF →+FD →·FB → =|AF →|·|FB →|+|FD →|·|EF →|
=(x 1+1)(x 2+1)+(x 3+1)(x 4+1)
=x 1x 2+(x 1+x 2)+1+x 3x 4+(x 3+x 4)+1
=1+???
?2+4
k 2+1+1+(2+4k 2)+1 =8+4????k 2+1k 2≥8+4×2 k 2·1
k
2=16. 当且仅当k 2=1k
2,即k =±1时,AD →·EB →
取最小值16.
本题综合考查了直线与双曲线的位置关系、双曲线的离心率以及平面向量知
识,考查了数形结合思想和化归转化思想.其中直线与圆锥曲线的相交问题一般联立方程,设而不求,并借助根的判别式及根与系数的关系进行转化.
考查圆锥曲线的综合性问题
高考对圆锥曲线的考查是综合性的,这种综合性体现在圆锥曲线、直线、圆、平面向量、不等式等知识的相互交汇,高考对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行,一般以椭圆或者抛物线为依托,全面考查圆锥曲线与方程的求法、直线与圆锥曲线的位置关系,考查函数、方程、不等式、平面向量等在解决问题中的综合应用.
【示例5】?(2011·北京)已知椭圆G :x 24
+y 2
=1.过点(m,0)作圆x 2+y 2=1的切线l 交椭
圆G 于A ,B 两点.
(1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率;
(2)将|AB |表示为m 的函数,并求|AB |的最大值.
解 (1)由已知得a =2,b =1,所以c =a 2-b 2= 3. 所以椭圆G 的焦点坐标为(-3,0),(3,0),
离心率为e =c a =3
2
.
(2)由题意知,|m |≥1.
当m =1时,切线l 的方程为x =1,点A ,B 的坐标分别为?
???1,32,????1,-3
2,此时
|AB |= 3.
当m =-1时,同理可得|AB |= 3.
当|m |>1时,设切线l 的方程为y =k (x -m ).
由????
?
y =k (x -m ),x 24+y 2=1得(1+4k 2)x 2-8k 2mx +4k 2m 2-4=0. 设A ,B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),则
x 1+x 2=8k 2m
1+4k 2,x 1x 2=4k 2m 2-41+4k 2
.
又由l 与圆x 2+y 2=1相切,得|km |
k 2+1
=1,
即m 2k 2=k 2+1.
所以|AB |=(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2 =(1+k 2)[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]
=(1+k 2)??????64k 4m 2(1+4k 2)2-4(4k 2m 2-4)1+4k 2=43|m |m 2+3
.
由于当m =±1时,|AB |=3,
所以|AB |=43|m |
m 2+3
,m ∈(-∞,-1]∪[1,+∞).
因为|AB |=
43|m |m 2+3
=43
|m |+
3|m |
≤2,且当m =±3时,|AB |=2,所以|AB |的最大值为2.
本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系、两点间距离
公式、基本不等式等基础知识,考查考生分析问题、解决问题的能力与运算能力.直线与圆锥曲线的问题,一般方法是联立方程,利用“设而不求”思想解 题.
方法技巧2 圆锥曲线的综合应用 教师用书独具 一、圆锥曲线的最值问题
【考情快递】 最值问题是高考的热点,可能出选择题、填空题和解答题. 解题步骤 ①根据圆锥曲线的定义列方程;
②将最值问题转化为距离问题求
解.
适用情况
此法为求解最值问题的常用方法,多数题可以用.
【例1】?已知点F 是双曲线x 24-y 2
12
=1的左焦点,定点A 的坐标为(1,4),P 是双曲线
右支上的动点,则|PF |+|P A |的最小值为________.
解析 如图所示,根据双曲线定义|PF |-|PF ′|=4, 即|PF |-4=|PF ′|.又|P A |+|PF ′|≥|AF ′|=5, 将|PF |-4=|PF ′|代入,得|P A |+|PF |-4≥5, 即|P A |+|PF |≥9,等号当且仅当A ,P ,F ′三点共线,
即P 为图中的点P 0时成立,故|PF |+|P A |的最小值为9.故填9. 答案 9
解题步骤 ①求与直线平行的圆锥曲线的切线;
②求出两平行线的距离即为所求的
最值.
适用情况
当所求的最值是圆锥曲线上的点到某条直线的
距离的最值时用此法.
【例2】?求椭圆x 2
+y 2
=1上的点到直线y =x +23的距离的最大值和最小值,并求取
得最值时椭圆上点的坐标.
解 设椭圆的切线方程为y =x +b , 代入椭圆方程,得3x 2+4bx +2b 2-2=0.
由Δ=(4b )2-4×3×(2b 2-2)=0,得b =±3.
当b =3时,直线y =x +3与y =x +23的距离d 1=6
2
,将b =3代入方程3x 2+4bx
+2b 2-2=0,
解得x =-233,此时y =3
3
,
即椭圆上的点????
-233
,33到直线y =x +23的距离最小,最小值是62; 当b =-3时,直线y =x -3到直线y =x +23的距离d 2=36
2
,将b =-3代入方
程3x 2+4bx +2b 2-2=0,
解得x =233,此时y =-3
3
,
即椭圆上的点????
233,-33到直线y =x +23的距离最大,最大值是362.
【例3】?在平面直角坐标系xOy 中,点P (x ,y )是椭圆x 3
+y 2
=1上的一个动点,则S
=x +y 的最大值为________.
解析 因为椭圆x 23
+y 2
=1的参数方程为
?
??
??
x =3cos φ
y =sin φ,(φ为参数). 故可设动点P 的坐标为(3cos φ,sin φ), 其中0≤φ<2π.
因此S =x +y =3cos φ+sin φ=2???
?32cos φ+12sin φ=2sin ????φ+π3,所以,当φ=π6时,S 取最大值2.故填2. 答案 2
0)与椭圆相交于E ,F 两点,求四边形AEBF 面积的最大值.
解 依题设得椭圆的方程为x 24
+y 2
=1.
直线AB ,EF 的方程分别为x +2y =2,y =kx (k >0). 设E (x 1,kx 1),F (x 2,kx 2),其中x 1<x 2,
且x 1,x 2满足方程(1+4k 2)x 2=4,故x 2=-x 1=2
1+4k 2
.①
根据点到直线的距离公式和①式, 得点E ,F 到AB 的距离分别为
h 1=|x 1+2kx 1-2|5=2(1+2k +1+4k 2)5(1+4k 2)
,
解析几何大量精选 1.在直角坐标系xOy 中,点M 到点()1,0F ,) 2 ,0F 的距离之和是4,点M 的轨迹 是C 与x 轴的负半轴交于点A ,不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q . ⑴求轨迹C 的方程; ⑴当0AP AQ ?=u u u r u u u r 时,求k 与b 的关系,并证明直线l 过定点. 【解析】 ⑴ 2 214 x y +=. ⑴将y kx b =+代入曲线C 的方程, 整理得2 2 2 (14)8440k x kbx b +++-=, 因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q , 所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ?=-+-=-+> ① 设()11,P x y ,()22,Q x y ,则122 814kb x x k +=-+,21224414b x x k -= + ② 且2222 121212122 4()()()14b k y y kx b kx b k x x kb x x b k -?=++=+++=+, 显然,曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -, 所以()112,AP x y =+u u u r ,()222,AQ x y =+u u u r . 由0AP AQ ?=u u u r u u u r ,得1212(2)(2)0x x y y +++=. 将②、③代入上式,整理得22121650k kb b -+=. 所以(2)(65)0k b k b -?-=,即2b k =或6 5 b k =.经检验,都符合条件① 当2b k =时,直线l 的方程为2y kx k =+.显然,此时直线l 经过定点()2,0-点. 即直线l 经过点A ,与题意不符. 当65b k =时,直线l 的方程为6655y kx k k x ? ?=+=+ ?? ?. 显然,此时直线l 经过定点6,05?? - ??? 点,满足题意. 综上,k 与b 的关系是65b k =,且直线l 经过定点6,05?? - ??? 2. 已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为1 2 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的 圆与直线0x y -=相切. ⑴ 求椭圆C 的方程; ⑴ 设(4,0)P ,A ,B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点,连结PB 交椭圆C 于另一点E ,证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ; ⑴ 在⑴的条件下,过点Q 的直线与椭圆C 交于M ,N 两点,求OM ON ?u u u u r u u u r 的取值范围. 【解析】 ⑴22 143 x y +=. ⑴ 由题意知直线PB 的斜率存在,设直线PB 的方程为(4)y k x =-.
专题四 解析几何专题 【命题趋向】解析几何是高中数学的一个重要内容,其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线.由于平面向量可以用坐标表示,因此以坐标为桥梁,可以使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系,平面向量的引入为高考中解析几何试题的命制开拓了新的思路,为实现在知识网络交汇处设计试题提供了良好的素材.解析几何问题着重考查解析几何的基本思想,利用代数的方法研究几何问题的基本特点和性质.解析几何试题对运算求解能力有较高的要求.解析几何试题的基本特点是淡化对图形性质的技巧性处理,关注解题方向的选择及计算方法的合理性,适当关注与向量、解三角形、函数等知识的交汇,关注对数形结合、函数与方程、化归与转化、特殊与一般思想的考查,关注对整体处理问题的策略以及待定系数法、换元法等的考查.在高考试卷中该部分一般有1至2道小题有针对性地考查直线与圆、圆锥曲线中的重要知识和方法;一道综合解答题,以圆或圆锥曲线为依托,综合平面向量、解三角形、函数等综合考查解析几何的基础知识、基本方法和基本的数学思想方法在解题中的应用,这道解答题往往是试卷的把关题之一. 【考点透析】解析几何的主要考点是:(1)直线与方程,重点是直线的斜率、直线方程的各种形式、两直线的交点坐标、两点间的距离公式、点到直线的距离公式等;(2)圆与方程,重点是确定圆的几何要素、圆的标准方程与一般方程、直线与圆和圆与圆的位置关系,以及坐标法思想的初步应用;(3)圆锥曲线与方程,重点是椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质,圆锥曲线的简单应用,曲线与方程的关系,以及数形结合的思想方法等. 【例题解析】 题型1 直线与方程 例1 (2008高考安徽理8)若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点,则直线l 的斜率的取值范围为( ) A .[ B .( C .[33 D .(33 - 分析:利用圆心到直线的距离不大于其半径布列关于直线的斜率k 的不等式,通过解不等式解决. 解析:C 设直线方程为(4)y k x =-,即40kx y k --=,直线l 与曲线22(2)1 x y -+= 有公共点,圆心到直线的距离小于等于半径 1d =≤,得222141,3 k k k ≤+≤,选择C 点评:本题利用直线和圆的位置关系考查运算能力和数形结合的思想意识.高考试卷中一般不单独考查直线与方程,而是把直线与方程与圆、圆锥曲线或其他知识交汇考查. 例2.(2009江苏泰州期末第10题)已知04,k <<直线1:2280l kx y k --+=和直线