因子分析及其数学模型

因子分析及其数学模型

因子分析的概念起源于20世纪Karl Pearson和Chales Spearman等人关于智力测验的统计分析。因子分析的核心是用较少的互相独立的因子反映原有变量的绝大部分信息，可以将这一思想用数学模型来表示。Chales Spearman认为，学生某门课的成绩决定于他的智商F和他在某个方面的特殊才能εi，由此可得：
Xi=aiF+εi （i=1，2，...，n）
其中，F称为共性因子，εi称为特殊因子。
假设某个来自总体的个体由m个共性因子F1，F2，...，Fm确定，通过p个可观测指标x1，x2，...，xp来了解个体，并且假设E(xi)=μi，则有矩阵等式：
X-μ=AF+ε
这便是因子分析的数学模型，其中F为因子，由于它们出现在每个原有变量的线性表达式中，因此又称为公共因子，因子可以理解为高维空间中互相垂直的m个坐标轴；A=(aij)pxm称为因子载荷矩阵，aij称为因子载荷，是第i个原有变量在第j个因子上的负荷。如果把变量xi看成m维因子空间中的一个向量，则aij表示xi在坐标轴Fj上的投影，相当于多元线性回归模型中的标准化回归系数；ε称为特殊因子，表示原有变量不能被因子解释的部分，其平均值为0，相当于多元线性回归模型中的残差。
（一）因子载荷的统计意义
假设模型中的变量已经作了处理，由于：
=0
所以，aij=cov(xi，Fj)=rxiFj，aij是变量xi与因子Fj的相关系数，它反映了变量xi与因子Fj的相关程度。

（二）因子的方差贡献的统计意义

对于共性因子Fj，称为因子Fj对X的方差贡献，因子Fj的方差贡献反映了Fj对原有变量总方差的解释能力，该值越高，说明相应因子的重要性越高。

（三）变量共同度的统计意义

变量共同度也就是变量的方差，变量xi的共同度hi2的数学定义为：，是因子载荷矩阵A中第i行元素的平方和，hi2反映了影响变量的主要因素的贡献程度，它应该大于σi2。如果大多数原有变量的变量共同度均较高（比如0.85），则说明提取的因子能够反映原有变量的大部分（85%）信息，仅有较少的信息丢失，因子分析的效果较好。












城镇居民家庭消费性支出 指被调查的城镇居民家庭用于日常生活的全部支出，包括购买商品支出和文化生活、服务等非商品性支出。不包括罚没、丢失款和缴纳的各种税款(如个人所得税、牌照税、房产税等)，也不包括个体劳动者生产经营过程中发生的各项费用。