昌平区—初三年级第二次模拟考试
数 学 试 卷 （120分钟）第Ⅰ卷
（机读卷 共32分）
考生须
知 1．考生要认真填写密封线内的学校、班级、姓名、考试编号。 3．答题时字迹要工整，画图要清晰，卷面要整洁。
4．除画图可以用铅笔外，答题必须用黑色或蓝色钢笔、圆珠笔。
5. 不准使用胶条、涂改液等进行涂改。
题 号 一
二
三
四
五
六
七
八
总 分 得 分 阅卷人 复查人
一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分．）
在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的．请将正确答案填入题后的答题表中. 1．4的算术平方根是 Ａ．16 Ｂ．2 Ｃ．-2 Ｄ．±2
2．某人到瓷砖商店去购买一种多边形形状的瓷砖，用来铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不．
可以是 Ａ．正三角形 Ｂ．矩形 Ｃ．正六边形 Ｄ．正八边形 3．已知：如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三个点，∠AOC =100°，则∠ABC 的度数为 A ．30° B ．45° C ．50° D. 60°
4．如果反比例函数k
y x
=的图象经过点(12)-，，那么k 的值是
Ａ．2-
Ｂ．2
Ｃ．1
2
-
Ｄ．
12
5．下列事件中，是必然事件的是
Ａ．我市夏季的平均气温比冬季的平均气温高. Ｂ．掷一枚均匀硬币，正面一定朝上.
Ｃ．打开电视机，正在播放动画片. Ｄ．每周的星期日一定是晴天.
6．已知3是关于x 的方程 x ２-3a+1=0 的一个根，则1-3a 的值是
A. -10
B. - 9
C. -3
D. -11
7．已知在ABC ?中，A ∠、B ∠都是锐角，2
31
sin cos 022A B ??-+-= ? ???
，则C ∠的度
C
B
A
O
数是
Ａ．30° Ｂ．45° Ｃ．60° Ｄ．90° 8．如图，四边形ABCD ，A 1B 1BA, …, A 5B 5B 4A 4都是边长为1的小正方形. 已知∠ACB=α， ∠A 1CB 1=1α，…，∠A 5CB 5=10α. 则109211tan tan tan tan tan tan αααααα?++?+? 的值为
A. 1
B.5
C.
45 D. 56
第一大题答题表：
二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分．）
9．如图，ABC △中，DE BC ∥， 若
1
3AD AB =
， 则
:ADE ABC
S S ?? = ．
10. 甲、乙两名同班同学的5次数学测验成绩（满分120分）如下： 甲：97，103，95，110，95 乙：90，110，95，115，90
经计算，它们的平均分
甲
x =100，
乙
x =100；方差是2S 甲=33.6，2
S 乙 =110，则这两名同
学在这5次数学测验中成绩比较稳定的是 同学.
11．在下面等式的
内填数，
内填运算符号，使等式成立（两个算式中的运算符号不能
相同）： .
；
12．如图：六边形ABCDEF 中，AB 平行且等于ED 、AF 平行且等于 CD 、BC 平行且等于FE ，对角线FD ⊥BD. 已知FD=4cm ，BD=3cm.
则六边形ABCDEF 的面积是 cm 2
.
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案
A 2
B 2B 5
A 5
B 4B 3A 4
A 3
A 1
B 1D
C B
A
三、解答题（共4个小题，13、16题5分，14题4分，15题6分，共20分．） 13．计算：
(
)0
12007+-+解：
14．化简：()(
)2
3
4
2
26123x x x
x
-+-÷
解：
15. 已知：如图，梯形ABCD 中，A D ∥BC ，BD 平分∠ABC ，∠A=120°，
BD= （1）求证：AB=AD ；（2）求△BCD 的面积.
16．有这样一道题：“先化简，再求值：22
241244
x x x x x -??+÷
?+--??
，其中x =
小玲做题时把“x =
x =解释这是怎么回事？
解：
四、解答题（共3个小题，17题9分，18、19题各5分，共19分．）
17. 小刚想给小东打电话，但忘了电话号码中的一位数字，只记得号码是2849456□（□表示忘记的数字）．
C
A B
D
（1）若小刚从0至9的自然数中随机选取一个数放在□位置，求他拨对小东电话号码的概率；
（2）若□位置的数字是不等式组21101
42
x x x ->??
?+??，≤的整数解，求□可能表示的数字． （3）
解：
18．某数学兴趣小组的同学在一次数学活动中，为了测量一棵银杏树AB 的高，他们来到与银杏树在同一平地且相距18米的建筑物CD 上的C 处观察，测得银杏树顶部A 的仰角为30°、底部B 的俯角为45°.
求银杏树AB 的高（精确到1米）.（可供选用的数据：7.13,4.12≈≈）.
解：
19. 在正常情况下，一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数S （次/分）是这个人年龄n （岁）的一次函数. 已知在正常情况下，年龄15岁和45岁的人在运动时所能承受的最高心跳次数分别为164次/分和114次/分.
A B C D
(1)根据以上信息，求在正常情况下，S关于n的函数关系式；
（2）若一位63岁的人在跑步，医生在途中给他测得10秒心跳为26次，问：他是否有危险？为什么？
解：
五、解答题（共2个小题，20题4分，21题6分，共10分．）
20．将网格中的图形以点O为位似中心放大为原来的2倍，画出一个放大后的图形即可. 解：
21．五一期间，某区一中、二中组织100名优秀教师去某景区旅游，（其中一中教师多于二
E A
B
P
C
D
中教师），景区门票价格规定如下表：
若两校都以校为单位一次性够票，则两校一共需付4725元，求两校各有多少名优秀教师参加这次旅游？若两校联合起来，作为一个团体够票，能节约多少钱？
六、解答题（本题满分8分．）
22．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，AD=9，BC=12，AB=a ，在线段BC 上取一点P ，连结DP ，作射线PE ⊥DP ，PE 与直线．．AB 交于点E. （1）试确定CP=3时，点E 的位置；
（2）若设CP=x ，BE=y ，试写出y 关于自变量x 的 函数关系式；
（3）若在线段BC 上找到一点P ，使上述作法得到的点E 与点A 重合，试求出此时a 的值. 解：
七、解答题（本题满分6分．）
23. 抛物线()02
≠++=a c bx ax y 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，已知抛物线的对
称轴为直线x = -1，B(1,0)，C(0,-3).
（1）求二次函数()02
≠++=a c bx ax y 的解析式；
（2）在抛物线对称轴上是否存在一点P ，使点P 到A 、C 两点 距离之差最大？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由. 解：（1）
（2）
八、解答题（本题满分9分．）
24．△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 是BC 的中点，把一个三角板的直角顶点放在点D 处，将三角板绕点D 旋转且使两条直角边分别交AB 、AC 于E 、F . （1）如图1，观察旋转过程，猜想线段AF 与BE 的数量关系； （2）如图2，若连接EF ，请探索线段BE 、EF 、FC 之间的联系；
（3）如图3，若将“AB=AC ，点D 是BC 的中点”改为：∠B=30°，AD ⊥BC 于点D ，其余条件不变，探索（1）中结论是否成立？若不成立，请探索关于AF 、BE 的比值. 解：
E F
D
C
B
A
E F
D
C
B
A
E
F D
C
B
A
图1
图2
图3
参考答案
二、填空题（本题共16分，每小题4分．）
三、解答题（共4个小题，13、16题5分，14题4分，15题6分，共20分．） 13．解：原式21-……………………4分 = 1 ……………………5分 14．解：原式=22
424x x x +-........................3分 =2x (4)
分 15．（1
）证明：∵ AD ∥BC , AE = CE ∴ ∠1 = ∠2 又∵BD 平分∠ABC
∴ ∠2=∠ 3 ∴ ∠1=∠3
∴ AB=AD ……………………3分 （2）解：过点D 作DE ⊥BC 于E ∵120A ∠= ∴230∠=
在Rt BDE 中
∴1
2
DE BD ==∴11
1222
BCD S BC
DE ==?=……………………6分
16．解：解：22
241244x x x x x -??+÷
?+--??
222
444(4)4x x x
x x -++=?-- 24x =+ ……………………4分
因为x =
x =2x 的值均为3，原式的计算结果都为７．所以把
“x =
错抄成“x =
5分
四、解答题（共3个小题，17题9分，18、19题各5分，共19分．） 17．解：（1）画出树状图或列表正确给4分，（图略）
所以，他拨对小东电话号码的概率是1
10
……………………5分 （2）解不等式（1）得x ＞
11
2
……………………6分 解不等式（2）得x ≤8……………………7分 解不等式组的解集是：
11
2
＜x ≤8 ……………………8分 整数解是6，7，8
∴□表示的数字可能是 6，7，8……………………9分
18.解：由题意得：
130,245,4590ABD CDB ∠=∠=∠=∠=∠=∠=
CD=18米，……………………1分 ∴四边形CDBM 是矩形 23∠=∠
∴CD=BM=CM=18……………………2分 在Rt ACM 中
tan 1AM
CM
∠=
∴tan 3018AM CM ===……………………3分
∴18AB AM BM =+=+4分
28AB ∴≈（米）……………………5分
答：银杏树高约28米.
19．解：(1)设S kn b =+.
由题设得215164
345144
174
k b k k b b ?
+==-??∴?
?==??=? 所以，S 关于n 的函数关系式为2
174.3
S n =-
+……………………3分 （2）当63n =时，2631741323
S =-?+= ，
5
43
2
1M A
B
C
D
因为这位63岁的人10秒心跳为26次，所以，每分钟心跳为156次， 因此，他不适合从事如此剧烈的运动，他有危险. ……………………5分
五、解答题（共2个小题，20题4分，21题6分，共10分．） 20.解： ，
注： 正确给4分，此题只有0分或4分。
21．解：设一中优秀教师x 人，则二中优秀教师(100)x -人，……………………1分 由题意得：45500(100)4725x x +-=……………………3分
解之，得55x =，1005545-=……………………4分
472540100725-?=（元）……………………5分
答：一中、二中分别55名、45名优秀教师参加这次旅游，若两校联合起来够票，可节约725元.
……………………6分
六、解答题（本题满分8分．） 22.解：（1）当CP=3时 ∵BC=12，AD=9 ∴BP=9 ∴AD=BP
∵AD ∥BC ，∠ABC=90° ∴四边形ABPD 是矩形 ∴∠DPB=90° 又 ∵PE ⊥DP
∴∠DPE=∠DPB =90°且点E 在AB 上 ∴点E 与点B 重合……………………2分 （2）作DM ⊥BC 于M 当点P 在BM 上时
3
2
1
M
E P D
C
B
A
∴∠DMB=∠DMC=∠ABC =90° ∴∠1+∠3=90° ∵PE ⊥DP ∴∠DPE=90° ∴∠1+∠2=90° ∴∠3=∠2
又∵∠ABC =∠DMB ∴PBE ∽DMP ∴
BE BP
MP MD
=
同（1）可证四边形ABDM 是矩形 ∴AB=DM=a
∵设CP=x ，BE=y
∴MP=x -3，BP=12-x ∴
123y x
x a
-=
- ∴()2
11536y x x a
=-
-+……………………5分 当点P 在MC 上时，如图，同理可得
()2
11536y x x a
=-+……………………6分
（3）若在线段BC 上找到一点P ，使上述作法得到的点E 与点A 重合，则BE=AB=a ，且点P 在BM 上
∴
()2
11536a x x a
=--+ ∴22
15360x x a -++=……………………7分
由题意：2
2254(36)0a ?=-+=
即9
2
a =±
……………………8分 七、解答题（本题满分6分．）
23.（1）二次函数的解析式是：2
23y x x =--……2分
（2）∵ A 、B 两点关于对称轴1x =-对称
∴ 点A （-3，0）
作直线AC 交对称轴于点P ，点P 即为所求
设直线AC 的解析式是：y kx b =+ ∴30
3k b b -+=∴=-
A
B C
D
P
E
M 3
2
1
M
E P D
C
B
A
∴ 1k =-
∴设直线AC 的解析式是：3y x =-- 当1x =-时，2y =-
∴点P 的坐标是（-1，-2）……………………6分
八、解答题（本题满分9分．） 24.解： （1）连接AD
∵AB=AC ，∠BAC=90°，点D 是BC 的中点 ∴AD=BD=DC=
1
2
BC ， ∠ADB=∠ADC=90° ∴∠B=∠C=∠1=∠2=45° ∴∠3+∠5==90° ∵∠3+∠4==90° ∴∠5=∠4 ∵ BD=AD ∴∠B=∠2
∴BDE ADF ?
∴BE=AF ……………………3分
（2）由（1）BE=AF 又∵AB=AC ∴AE=CF
在Rt AEF 中，2
2
2
EF AE AF =+
∴222EF BE FC =+……………………6分
（3）（1）中的结论BE=AF 不成立 ∵∠B=30°，AD ⊥BC 于点D
∴∠3+∠5==90°， ∠B+∠1==90° ∵∠3+∠4==90°，∠1+∠2==90° ∴∠B=∠2 ， ∠5=∠4 ∴BDE ∽ADF ∴
3
tan 30AF AD BE BD ===9分
5
4E
F
C
D
B
A 123E F
C
D
B
A
A
B
C
F E
54123