2018年高考数学总复习-解三角形
第四节 解三角形
考纲解读
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
能够运用正弦定理、余弦定理等 知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
命题趋势探究
1.本节为高考的必考和重点考查内容，在选择题、填空题和解答题中都有出现，并越来越成为三角函数部分的核心考点.
2.题型有三：一是解三角形出现边角互化求角、求边；二是三角形形状判定；三是最值问题.
题型和分值较稳定，且有逐渐上升趋势，属中等难度.
知识点精讲
在ABC ?中，角,,A B C 所对边依次为,,.a b c
1.角的关系
180,sin sin()A B C A B C ++==+cos cos(),tan tan(),A B C A B C =-+=-+
sin
cos ,cos sin .2222
A B C A B C ++== 2.正弦定理
2(2sin sin sin a b c R R A B C
===为ABC ?的外接圆的直径）. 正弦定理的应用： ①已知两角及一边求解三角形.
②已知两边及其中一边的对角，求另一对角： 若a 若a 〉b,已知角Ａ求角Ｂ，一解（锐角）. 3.余弦定理 2222cos c a b ab C =+-（已知两边a,b 及夹角Ｃ求第三边c ） 222 cos 2a b c C ab +-=（已知三边求角）. 余弦定理的应用： ①已知两边及夹角求解第三边； ②已知三边求角； ③已知两边及一边对角不熟第三边. 4.三角形面积公式 1111sin sin sin .2222 ABC S ah ab C bc A ac B ?==== 解析 由()()0,g a f a k =-=且().b f a =，得(),k f a b ==如图4－34所示，由30,6,B c ∠==知ＡＣ边和的最小值为sin 3,c B =唯一的()a BC =符合()f a k =即若3,k =则()3,f a b ==此时存在函数()g a 有唯一零点，若36k <<时，则()(3,6),f a b =∈此时以点Ａ为圆心，b 边为半径的圆与ＢＣ边及延长线有两个交点12,C C ，如图4－34所示，则存在两个a 值1122(,),a BC a BC ==使得()()g a f a k =-有两个零点.若6k ≥时，则()6,f a b =≥则以点Ａ为圆心，b 边为半径的圆与ＢＣ边及延长线（除点Ｂ外）只 有一个交点3C ，使得3a BC =，故函数()g a 有 唯一零点.综上，实数k 的取值范围为3k =或 6.k ≥故选Ｄ. 评注 三角形问题一般先根据题意作出图 形，抓住已知量，充分想到三角形的边角关系及正弦定理，并尽可能转化和构造 直角三角形. 变式1 （1）在ABC ?中，已知角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 且32,2,b a == 如果三角形有解，则角A 的取值范围是 ; (2) 在ABC ?中，已知角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 且1,2,b a ==如果三角形 有解，则角B 的取值范围是 ; （3）在ABC ?中，已知角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 且23,3,a c ==如果三 角形有解，则角C 的取值范围是 . 二、利用正弦定理进行边角转化 例4.41 在ABC ?中，若A=2B ，则a b 的取值范围为（ ）. A.(1,2) .(1,3)B C.(2,2) D.(2,3) 分析 题中有边与角的关系及角的范围，可考虑用正弦定理转化为角的关系， 再由角的范围来定边的范围. 解析 由正弦定理知sin sin 22cosB,sin sinB a A B b B ===且()(0,),A B π+∈即03B π<<得03B π<<，因此1cos (,1),2B ∈所以(1,2).a b ∈ 故选A. 评注 在ABC ?中，利用正弦定理2sin sin sin a b c R A B C ===，进行边与角的转化，在条件中有边也有角时，一般考虑统一成边或角的形式，再由两角和与差的公式来求解. 变式1 （1）若在锐角ABC ?中，若A=2B ，则 a b 的取值范围为 ; （2）若在直角ABC ?中，若A=2B ，则a b 的取值集合为 ; （3）若在钝角ABC ?中，若A=2B ，则a b 的取值集合为 . 变式2 在ABC ? 中，60,B AC ==，则AB+2BC 的最大值为 . 变式3（2012课标全国理17）已知,,,a b c 分别为ABC ?三个内角,,A B C 的对边，cos sin 0a C c b c +--=， （1）求A ；（2）若2a =，ABC ? ，求,b c . 变式4 （2012江西理17）在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知4A π=，sin()sin(),44b C c B a ππ +-+= （1）求证：;2 B C π -=（2 ）若a =ABC ?的面积. 题型68 余弦定理的应用 思路提示 (1)已知两边一夹角或两边及一对角，求第三边. (2)已知三边求角或已知三边判断三角形的形状，先求最大角的余弦值， 若余弦值0,ABC 0,ABC .0,ABC >???=??? 例4.42 在 ABC ?中， 21,3 b c C π==∠= ，则①a= . ② ______.B ∠= 分析 已知两边一对角，求第三边用余弦定理，求另一对角用正弦定理. 解析①由余弦定理得，2222cos c a b ab C =+-，得21312()2 a a =+-?- ，即 220a a +-=，且 0a >，故 1.a = ②由正弦定理得，sin sin b c B C =，即 1sin B = 1sin 2B =，又 b c B C 变式1在 ABC ?中， 3,2,a b B A ==∠=∠， (1)求cos A 的值；（2）求 c 的值. 变式2（2012北京理11）在 ABC ?中，若12,7,cos 4, a b c B =+==-，则______.b = 变式3（2012福建理13）已知ABC ?的等比数列，则其最 大角的余弦值为 . 例 4.43 （2012陕西理9）在ABC ?中，角,,A B C 所对边的长分别为,,,a b c 若 2222a b c +=，则cos C 的最小值为（ ）. 2 A 2 B 1.2 C 1.2 D - 解析 因为2222222221cos 2222 a b c c c c C ab ab c a b +-==≥==+当且仅当a b =时取“=”，所以cos C 的最小值为1.2 故选C. 变式 1 在ABC ?中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 若 1.30a c B +=∠=，求b 的 取值范围. 变式2在ABC ?中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 若 4.60,b B =∠=，求ABC S ?的最大值. 二、利用余弦定理进行边角转化 例4.44在ABC ?中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 若222()tan ,a c b B +-=则 角B 的值为（ ）. .6A π .3B π .6C π或56π .3D π或23 π 解析 （边化角）已知等式可变化为222tan ,22a c b B ac +-=则sin cos cos 2 B B B ?=得 sin (0,),2 B B π=∈所以3B π=或23π.故选D. 变式1在AB C ?中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 且2sin (2)sin (2)sin .a A b c B c b C =+++ （1）求A 的值；（2）求sin +sin B C 的最大值. 变式 2 在锐角三角形中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 若 +=6cos b a C a b ，则tan tan +=______.tan tan C C A B 变式3在ABC ?中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 且 22-=2,sin cos =3cos sin a c b A C A C ，求.b 题型69 判断三角形的形状 思路提示 （1）求最大角的余弦，判断ABC ?是锐角、直角还是钝角三角形. （2）用正弦定理或余弦定理把条件的边和角都统一成边或角，判断是等腰、等边还是直角三角形. 例4.45 在ABC ?中，若sin =2cos sin C A B ，则此三角形必为（ ）. A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 分析 角化边或sin =sin(+)C A B . 解析 解法一：角化边. 2222222+=2222c b c a b c b c a R bc R -???=+-b a ?=，则三角形为等腰三角形，故选A. 解法二：因为sin =sin(+)C A B ， 所以sin cos cos sin 2cos sin A B A B A B +=sin cos cos sin 0A B A B ?-=， sin()0,(),,(0,)A B A B k k Z A B ππ-=-=∈∈0k A B ?=?=，则三角形为等腰三角形，故选A. 变式1设ABC ?的内角为,,A B C 所对边分别为,,,a b c 若cos cos sin ,b C c B a A += 则ABC ?的形状为（ ）. A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不确定 变式2（2012上海理16）在ABC ?中，若222sin sin sin A B C +<，则ABC ?的形状为（ ）. A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不确定 变式3已知ABC ?中，2cos 22A b c c +=，则ABC ?的形状为（ ）. A.直角三角形 B.等腰三角形或直角三角形 C.正三角形 D. 等腰直角三角形 变式4（1）已知函数22()cos cos sin .f x x x x x =+- 求()f x 的最小正周期和值域； （2）在ABC ?中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 若()22A f =且2a bc =，试判断ABC ?的形状. 题型70 正、余弦定理与的综合 思路提示 先利用平面向量的有关知识如向量数量积将向量问题转化为三角函数形式，再利用三角函数转化求解. 例4.46在ABC ?中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 且 1.AB AC BA BC ?=?= （1）求证：;A B = （2）求边长c 的值； （3）若6AB AC +=，求ABC ?的面积. 分析（3）中AB AC +为ABCD 对角线AD 长，由平行四边形对角线性质可求出AC=BC ，设AB 中点为M ，12 ABC S AB CM ?=? 解析 （1）利用数量积定义， cos cos 1bc A ac B ==cos sin cos sin b B B a A A ?==tan tan A B ?=.A B ?= （2）如图4-35所示，取等腰三角形AB 边上的中线（即高线CM ，则 cos 2c AM b A ==.cos 12 c AB AC cb A c ?==?=，故 2.c =或2 c AM =是AC 在AB 方向上的投影，由向量数量积的几何意义可知 21 1.2 AB AC AB AM c ?===故 2.c = (3)如图4-35所示，ABCD 中， 6,AB AC AD +== 在ABD ?中， 222,2cos(),BD a b AD c a a A π===+--在ABC ?中，2222cos .BC b c bc A =+- 2222262cos 2cos c a ac A a b c bc A ?=++??=+-??①② 由①+②得22222622622,2,a c a a c a +=+?=-==即2a b c ===，在等边ABC ?中，1133sin 2222ABC S ab C ?==???=或233.ABC S a ?== 评注 ①+②得平行四边形公式：平行四边形两条对角线的平方和等于四边的平方和，即在ABCD 中，222222AD BC AB AC +=+. 变式1（2012湖南理7）在ABC ?中，2,3,1AB AC AB BC ==?=，则BC=（ ）． .3A .7B .22C .23D 变式2在ABC ?中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c ,(13)2.6A c b π= += (1)求C ； （2）若13CB CA ?=+，求,,.a b c 变式3在ABC ?中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 且25cos , 3.25 A A B A C =?= （1）求ABC ?的面积； （2）6b c +=，求a 的值. 变式4在ABC ?中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 且cos 3cos cos .b C a B c B =- （1）求cos B 的值；（2）若2,BA BC ?=且22b =，求a 和c 的值. 题型71 解三角形的实际应用 思路提示 根据题意画出图形，将题设已知、未知显示在图形中，建立已知、未知关系，利用三角知识求解. 例4.47 如图4-36所示，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ，现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m/min ，在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 处匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为了130m/min ，山路AC 长为1260m ，经测量， 123cos ,cos .135 A C == （1）求索道A B 的长； （2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离 最短？ （3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 分析 （1）cos ,cos A C 的值可求得sin B 的值，然后在ABC ?中利用正弦定理可得AB 的长度；（2）利用余弦定理将乙与甲之间的距离表示为出发时间的函数，然后求得函数的最小值，即得最短距离；（3）利用正弦定理求出BC 的长，再根据题意列不等式求解. 解析 （1）在ABC ?中，因为123cos ,cos .135A C ==所以54sin ,sin .135 A C ==从而 sin sin[()]sin()sin cos cos sin B A C A C A C A C π=-+=+=+5312463.13513565 =?+?= 由正弦定理sin sin AB AC C B =，得12604sin 1040().63sin 565 AC AB C m B =?=?= 所以索道AB 的长为1040m. (2)假设乙出发tmin 后，甲、乙两游客距离为d ，此时甲行走了（100+50t ）m ，乙距离A 处130tm ，所以由余弦定理得 22212(10050)(130)2130(10050)13d t t t t =++-??+? 2200(377050).t t =-+由于10400130t ≤≤，即08t ≤≤，故当35(min)37 t =时，甲、乙两游客距离最短. (3)由正弦定理sin sin BC AC A B =，得12605sin 500().63sin 1365 AC BC A m B =?=?= 乙从B 出发时，甲已走了50(281)550(),m ?++=还需走710 m 才能到达C. 设乙步行的速度为v m/min ，由题意得50071033,50v -≤ -≤解得1260625.4314 v ≤≤ 所以为使两游客在C 处互相等待的时间不超过 3 min ，乙步行的速度应控制在1250625[,]4314 （单位：m/min ）范围内. 评注 解三角形应用题问题，关键是能根据实际问题的背景建立三角形的模型，再正弦定理和余弦定理求解三角形，最后要特别注意结果要符合题意，并带上单位. 变式1 为了测量正在海面匀速行驶的某航船的位 置，如图4-37所示，在海岸上选取距离1km 的两 个观测点C ，D ，在某天10：00观察到该航船在A 处，此时测得30,ADC ∠=2分钟后，该船行驶到 B 处，此时测得 60,45ACB BCD ∠=∠=60,ADB ∠=则船速 为 .(km /min). 最有效训练题20（限时45分钟） 1.在ABC ?中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 若角,,A B C 依次成等差数列，且 1,3,a b ==则().ABC S = .2A 3.2 B .3 C .2 D 2.ABC ?的三个内角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 2sin sin cos 2,a A B b A a +=则 ().b a = .23A .22B .3C .2D 3.已知ABC ?的三边长分别为,,,a b c 且面积2221(),4 ABC S b c a ?=+-则().A ∠= .15A .30B .45C .120D 4 .若ABC ?的内角,,A B C 所对边分别为,,a b c 满足22()4a b c +-=且60C =，则ab 的值为（ ）. 4.3A .843B - .1C 2.3 D 5. .在ABC ?中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-， 则A 的取值范围是（ ）. .(0,]6A π .[,)6B ππ .(0,]3C π .[,)3 D π π 6.在锐角ABC ?中，已知A B C >>，则cos B 的取值范围为（ ）. 2.(0,)A 12.[,)2B .(0,1)C 2.(,1)D 7.在ABC ?中，若120,5,A c ∠==ABC ?的面积为53，则______.a = 8.在ABC ?中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c 如果3,30,c a B ==那么角C 等于 . 9.已知ABC ?的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ? 的面积为 . 10.在ABC ?中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若sin a c A =，则 a b c +的最大值为 . 11.在ABC ?中，已知2, 2.ABC AB AC S ??== （1）求tan A 的值；（2）若sin 2cos sin B A C =，求BC 的长. 12.为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，三角形支 架如图4-38所示，要求60,ACB BC ∠=的长度大于1 米，且AC 比AB 长0.5米，为了广告牌稳固，要求AC 的长度越短越好，求AC 的最短长度，并求出此时BC 的 长度.
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