不等式
1、 用不等号“<”、“>”、“≤”、“≥”、“≠”表示不等关系的式子叫做不等式。
2、 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
3、 一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集，求不等式的解集的过程，叫做解不
等式。
4、 不等式的性质：
（1）如果a>b ，那么a+c>b+c;
(2)如果a>b ，并且c>0，那么ac>bc(或
c a >c
b ); （3）如果a>b ，并且c<0，那么ac c a 6、 列不等式的关键是领会语句中的数量关系，常用的不等关系有： a 是正数 a>0： a 是非负数 a ≤ b （a 不大于b ，即a=b 或a 7、 一元一次不等式解题步骤： 1去分母→2去括号→3移项→4合并同类项→5系数化为1。 注意：进行“去分母”和“系数化为1”时，要根据不等号两边同乘以（或除以）的数的正负，决定是否改变不等号的方向，若不能确定该数的正负，则要分正、负两种情况讨论。 8、一元一次不等式是表达现实世界中量与量之间不等关系的重要数学模型，应用不等式解决问题的一般步骤为： ①审题，弄清题目中的数量关系，用字母表示未知数； ②找出题中隐含的一个不等关系，注意表达不等关系的术语，如：至多、至少、不大于、不小于等； ③列出不等式； ④解不等式； ⑤根据实际问题写出符合题意的解。 不等式与不等式组单元测试题一．选择题 1. 下列不等式中，是一元一次不等式的是（） A．1 12 x +> B．29 x> C．x-3＜10y D．2x+8≤5 2．一种牛奶包装盒标明“净重300g，蛋白质含量≥2.9%”．那么其蛋白质含量为（）A．2.9%及以上 B．8.7g C．8.7g及以上 D．不足8.7g 3．实数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下列不等式中错误的是（） A．ab＞0 B．a+b＜0 C．a b＜ 1 D．a-b＜0 4 ..若a＞b，则下列不等式成立的是（） A．a-3＜b-3 B．-2a＞-2b C． 4 a＜4 b D．a＞b-1 5. x=-1不是下列哪一个不等式的解（） A．2x+1≤-3 B．2x-1≥-3 C．-2x+1≥3 D．-2x-1≤3 6 . 如图，数轴上表示的是某不等式组的解集，则这个不等式组可能是（） A． 10 30 x x +> ? ? -> ? B． 10 30 x x +> ? ? -> ? C． 10 30 x x +< ? ? -> ? D． 10 30 x x +< ? ? -> ? 7.若关于的二元一次方程组 31 33 x y a x y +=+ ? ? += ?的解满足x+y＜2，则a的取值范围为（） A．a＜4 B．a＞4 C．a＜-4 D．a＞-4 8. 设a，b是常数，不等式 1 x +>的解集为 1 x<，则关于x的不等式bx-a＞0的解集是（） 四、解应用题 21. 在一次社会实践活动中，某班可筹集到的活动经费最多900元．此次活动租车需300元，每个学生活动期间所需经费15元，则参加这次活动的学生人数最多为多少人？ 22.某小区前坪有一块矩形空地，现想建成一块面积大于48平方米，周长小于34米的矩形绿化草地，已知一边长为8米，设其邻边长为x米，求x的整数解． 23..陈老师为学校购买运动会的奖品后，回学校向后勤处王老师交账说：“我买了两种书，共105本，单价分别为8元和12元，买书前我领了1500元，现在还余418元．”王老师算了一下，说：“你肯定搞错了．” （1）王老师什么说他搞错了？试用方程知识给予解释； （2）陈老师连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他还买了一个笔记本．但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出应为小于10元的整数，笔记本的单价可能为多少元？ 24.我市某商场为做好“家电下乡”的惠民服务，决定从厂家购进甲、乙、丙三种不同型号的电视机108台，其中甲种电视机的台数是丙种的4倍，购进三种电视机的总金额不超过147000元，已知甲、乙、丙三种型号的电视机的出厂价格分别为1000元/台，1500元/台，2000元/台． （1）求该商场至少购买丙种电视机多少台？ （2）若要求甲种电视机的台数不超过乙种电视的台数，问有哪些购买方案？ 把质量相同的26个玻璃球分装在A，B，C，D，E五个口袋中（口袋的质量不计），每袋至少装2个球，且各袋中球数互不相同，称重时，若玻璃球达到11个及以上，则超重警铃就会响．下面称了4次： 其中，第（1）、（3）、（4）次警铃都响了，只有第（2）次未响．试在下面横线上写出5个口袋中球数的所有组合（A，B，C，D，E）： 答案1-8：CCDBAC 24. 解：（1）设购买丙种电视机x台，则购买甲种电视机4x台，购买乙种电视机（108-5x）台，根据题意，得1000×4x+1500×（108-5x）+2000x≤147000 解这个不等式得 x≥10 因此至少购买丙种电视机10台； （2）甲种电视机4x台，购买乙种电视机（108-5x）台，根据题意， 得4x≤108-5x 解得x≤12 又∵x是整数，由（1）得 10≤x≤12 ∴x=10，11，12，因此有三种方案． 方案一：购进甲，乙，丙三种不同型号的电视机分别为40台，58台，10台； 方案二：购进甲，乙，丙三种不同型号的电视机分别为44台，53台，11台； 方案三：购进甲，乙，丙三种不同型号的电视机分别为48台，48台，12台． 附加题： 解：依题意得：{A+E≥11 A+C＜11 B+C≥11 C+D≥11 A+B+C+D+E=26 解得：C≥7，2≤A≤3，2≤B≤4，2≤D≤4 ①当A=3时，C=7，B=4，D=4，又B≠D，故不符合题意； ②当A=2时，C=8，B=3，D=4，E=9，符合题意； B=4，D=3，E=9，符合题意． 故袋中球数的所有组合（A，B，C，D，E）：（2，3，8，4，9），（2，4，8，3，9）． 故答案为（2，3，8，4，9），（2，4，8，3，9）． 。 1．不等式的解法 （1）同解不等式（(1)f x g x ()()>与f x F x g x F x ()()()()+>+同解； （2）m f x g x >>0，()()与mf x mg x ()()>同解， m f x g x <>0，()()与mf x mg x ()()<同解； （3） f x g x () () >0与f x g x g x ()()(()?>≠00同解）； 2．一元一次不等式 ax b a a a >?>=≠()或ax bx c a 200++<≠?()分a >0 及a <0情况分别解之，还要注意?=-b ac 2 4的三种情况，即?>0或 ?=0或?<0，最好联系二次函数的图象。 4．分式不等式 分式不等式的等价变形： )()(x g x f >0?f(x)·g(x)>0，) () (x g x f ≥0??? ?≠≥?0 )(0 )()(x g x g x f 。 5．简单的绝对值不等式 解绝对值不等式常用以下等价变形： |x|0)， |x|>a ?x 2>a 2?x>a 或x<－a(a>0)。 一般地有： |f(x)| 1．基本不等式2 b a a b +≤ (1)基本不等式成立的条件：.0,0>>b a (2)等号成立的条件：当且仅当b a =时取等号． [探究] 1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义 提示：①当b a =时， ab b a ≥+2取等号，即.2 ab b a b a =+?= ②仅当b a =时， ab b a ≥+2取等号，即.2 b a ab b a =?=+ 2．几个重要的不等式 ).0(2);,(222>≥+∈≥+ab b a a b R b a ab b a ),(2 )2();,()2(2 222R b a b a b a R b a b a ab ∈+≤+∈+≤ 3．算术平均数与几何平均数 设,0,0>>b a 则b a ,的算术平均数为2 b a +，几何平均数为a b ，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知,0,0>>y x 则 (1)如果积xy 是定值,p 那么当且仅当y x =时，y x +有最小值是.2p (简记：积定和最小)． (2)如果和y x +是定值,p ，那么当且仅当y x =时，xy 有最大值是.4 2 p (简记：和定积最大)． [探究] 2.当利用基本不等式求最大(小)值时，等号取不到时，如何处理 提示：当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求解．例如，x x y 1 + =在2≥x 时的最小值，利用单调性，易知2=x 时.2 5min = y [自测·牛刀小试] 1．已知,0,0>>n m 且,81=mn 则n m +的最小值为( ) C ．81 D ．243 解析：选A 因为m >0，n >0，所以m ＋n ≥2mn ＝281＝18. 2．若函数)2(2 1 )(>-+ =x x x x f 在a x =处取最小值，则=a ( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 3．已知,02,0,0,0=+->>>z y x z y x 则 2 y xz 的( ) A ．最小值为8 B ．最大值为8 C ．最小值为18 D ．最大值为1 8 4．函数x x y 1 + =的值域为 ____________________． 5．在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数x x f 2 )(=的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________． 利用基本不等式证明不等式 [例1] 已知,0,0>>b a ,1=+b a 求证：.9)11)(11(≥++b a 不等式总结 一、不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>； d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则：b a a b b a 110,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法 有两相异实根 有两相等实根注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间 三、均值不等式 1.均值不等式：如果a,b 是正数，那么 ).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 2、使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等 3、平均不等式：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数），即 2112a b a b +≥+（当 a = b 时取等） 四、含有绝对值的不等式 1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 2、则不等式：如果,0>a a x a x a x -<><=>>或|| a x a x a x -≤≥<=>≥或|| a x a a x <<-<=><|| a x a a x ≤≤-<=>≤|| 3．当0c >时， ||ax b c ax b c +>?+>或ax b c +<-， ||ax b c c ax b c +?∈，||ax b c x φ+?-<<，|| (0)x a a x a >>?>或x a <-． （2）定义法：零点分段法； （3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方． 五、其他常见不等式形式总结： ①分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 ()()0() () 0()()0;0()0 () ()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠? ②无理不等式：转化为有理不等式求解 ()0()0()()f x g x f x g x ?≥????≥?? ?>? 定义域 ???<≥?????>≥≥?>0 )(0)()] ([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或 ??? ??<≥≥?<2 )] ([)(0 )(0 )()()(x g x f x g x f x g x f 一元一次不等式 考点一、不等式的概念（3分） 1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。 2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。 3、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。 4、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。 5、用数轴表示不等式的方法 考点二、不等式基本性质（3~5分） 1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 4、说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。②如果不等式乘以0，那么不等 号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立； 考点三、一元一次不等式（6--8分） 1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不 等式叫做一元一次不等式。 2、解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1 考点四、一元一次不等式组（8分） 1、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。 2、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。 3、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。 4、当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。 5、一元一次不等式组的解法 （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集 （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。 6、不等式与不等式组 不等式：①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。 7、不等式的解集： ①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 ②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 ③求不等式解集的过程叫做解不等式。 知识点与典型基础例题 一不等式的概念： 例判断下列各式是否是一元一次不等式？ -x≥5 2x-y＜0 二不等式的解： 三不等式的解集： 例判断下列说法是否正确，为什么？ X=2是不等式x+3＜2的解。 X=2是不等式3x＜7的解。不等式3x＜7的解是x＜2。 X=3是不等式3x≥9的解 四一元一次不等式： 例判断下列各式是否是一元一次不等式 －ｘ＜５２ｘ－ｙ＜０≥３ｘ 例五．不等式的基本性质问题 例1 指出下列各题中不等式的变形依据 1）由3a>2得a> 2) 由3+7>0得a>-7 3）由-5a<1得a>- 4)由4a>3a+1得a>1 例2 用>”或<”填空，并说明理由 如果a 元一次不等式和一元一次不等式组 概念： 定义1：一般地，用符号“V” （或“W”），“>”（或“》”）连接的式子叫做不等式。 定义2：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。（不等式的解有时有无数个，有时有有限个，有时无解。）定义3：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集，求不等式的解集的过程叫做解不等式。 定义5：左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1 的不等式，叫做一元一次不等式。 定义6：一般地, 关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起, 就组成一个一元一次不等式组。 定义7：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。 定义8：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。 基本性质： 等式的基本性质”和“不等式的基本性质” 1）等式的基本性质：等式基本性质1：等式的两边都加上（或减去）同一个整式，等式仍旧成立女口果a=b, 那么a± c=b± c 等式基本性质2：等式的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，等式仍旧成女口果a=b，那么ac=bc, a*c = b*c （c工0）2）不等式的基本性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变. 不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. 不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 不等式的基本性质与等式的基本性质有哪些异同点不等式的基本性质有三条，等式的基本性质有两条；两个性质中在两边都加上（或都减去）同一个整式时，结果相似；在两边都乘以（或除以）同一个正数时，结果相似；在两边都乘以（或除以）同一个负数时，结果不同 三、相关知识归纳： 一）、将不等式的解集表示在数轴上时，要注意：1、指示线的方向, “>”向右, “<”向左. 2、不等式的解集在数轴上表示时，当解集的符号是“》”或“W”时，用实心圆点表示，当解集的符号是“>”或“V”时，用空心圆圈表示。 3、不等式的解与解集的联系与区别: 二者的区别在于, 不等式的解是指能使不等式成立的每一个值; 不等式的解集是指所有解的全体。联系是不等式的所有解组成一个解集, 或者说不等式的解集包含不等式的每一个解。 4、将不等式的解集表示在数轴上,一般分三步:一是正确地画数轴,注意数轴的三要素;二是确定界点,注意区分实心圆点还是空心圆圈;三是辨别方向,大于指向界点的右方, 小于指向界点的左方。 二）、解一元一次不等式的一般步骤： 1）去分母不等式性质2或3 注意： ①勿漏乘不含分母的项； ②分子是两项或两项以上的代数式时要加括号； ③若两边同时乘以一个负数，须注意不等号的方向要改变 2）去括号——去括号法则和分配律 注意： ①勿漏乘括号内每一项； ②括号前面是“-”号，括号内各项要变号 3）移项——移项法则（不等式性质1） 注意：移项要变号. 一元一次不等式(组 ) 考点一、不等式的概念 1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。 2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做 这个不等式的解。 3、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式 的解集。 4、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。 5、用数轴表示不等式的方法 考点二、不等式基本性质（3~5分） 1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 4、说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。②如 果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立； 考点三、一元一次不等式（6--8分） 1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的 两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。 2、解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项 的系数化为1 考点四、一元一次不等式组（8分） 1、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。 2、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。 3、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。 4、当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。 5、一元一次不等式组的解法 （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集 （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。 6、不等式与不等式组 不等式：①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。 弹性学制数学讲义 不等式（4课时） ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①（对称性）a b b a >?> ②（传递性）,a b b c a c >>?> ③（可加性）a b a c b c >?+>+ （同向可加性）d b c a d c b a +>+?>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-?<>, ④（可积性）bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >>< ⑥（平方法则） 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦（开方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧（倒数法则） b a b a b a b a 110;110>?<<> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22 .2a b ab +≤ ②（基本不等式） 2a b ab +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、 三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）. ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈， （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号） 0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，， 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时，或 22. x a x a a x a .选择题（共20小题） 1?实数a, b在数轴上的对应点如图所示，则下列不等式中错误的是（ a b 0 A ab> 0 B a+b v 0 C a v 1 D a - b v 0 ?恫 2.据丽水气象台天气预报”报道，今天的最低气温是17C,最高气温是25C,则今天气温t （C）的范围是（ At V 17 B t > 25 C t=21 D 17W <25 3?若x>y,则下列式子错误的是（） A x - 3>y - 3 B 3 - x> 3 - y C x+3 > y+2 4 .如果a v b v 0，下列不等式中错误的是( ) A ab> 0 B a+b v 0 C |a v 1 D a - b v 0 ?恫LI 的解集是x> 1 .其中正确的个数是（） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 A x v 4 B x v 2C2v x v 4 不等式J> 1的解集是（） A 1 x >-—. 2 B x>- 2 C x v- 2 D .不等式2x > 3 - x的解集是（） A x > 3 B x v 3 C x > 1D x > 2 x v 1 9. x v A a> b>- b> B a>- a> b> C b>a>- b> D-a>b>-b . -a.-b. -a> a x > 2;④ \>1 x>2 12 5.如果a v 0, b>0, a+b v0,那么下列关系式中正确的是（ 6.下列说法：①x=0是2x - 1v 0的一个解; ②. 不是3x- 1> 0的解；③-2x+1v 0的解集是 3 7.一个不等式的解集为-1v x电，那么在数轴上表示正确的是（ &如图，在数轴上表示某不等式组中的两个不等式的解集，则该不等式组的解集为（ O 10 向量不等式： 【注意】：同向或有； 反向或有； 不共线.(这些和实数集中类似) 代数不等式： 同号或有； 异号或有. 绝对值不等式： 双向不等式： （左边当时取得等号，右边当时取得等号.） 放缩不等式： ①，则. 【说明】：（，糖水的浓度问题）. 【拓展】：. ②，，则； ③，； ④，. ⑤,. 函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab Y ； ②单调递增区间：(,-∞ ，)+∞； 单调递减区间：(0, ，[0). 基本不等式知识点总结 重要不等式 1、和积不等式：(当且仅当时取到“”)． 【变形】：①（当a = b 时，） 【注意】： ， 2、均值不等式： 两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系，即“平方平均算术平均几何平均调和平均” *.若0x >，则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=” ）; 若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） *.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 3、含立方的几个重要不等式（a 、b 、c 为正数）： （，）； *不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用，如：当0>ab 时， ab b a 222≥+同时除以ab 得 2≥+b a a b 或b a a b -≥-11。 *,,b a 均为正数，b a b a -≥22 八种变式： ①222b a ab +≤ ； ②2 )2(b a ab +≤； ③2)2( 222b a b a +≤+ ④)(22 2 b a b a +≤+；⑤若b>0,则b a b a -≥22；⑥a>0,b>0,则b a b a +≥+4 11；⑦若a>0,b>0,则ab b a 4)11( 2≥+； ⑧ 若0≠ab ，则2 22)11(2111b a b a +≥+。 上述八个不等式中等号成立的条件都是“ b a =”。 最值定理 （积定和最小） 不等式与不等式组知识总结 一、不等式的概念 1．不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。 2．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。 3．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。 4．解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。 5．用数轴表示不等式的解集。 二、不等式的基本性质 1．不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 2．不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 3．不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 说明： ①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。 ②如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立。 三、一元一次不等式 1．一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。 2．解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项 （4）合并同类项（5）将x项的系数化为1 四、一元一次不等式组 1、一元一次不等式组的概念： 几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。 2、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。 3、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。 4、当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。 5、一元一次不等式组的解法 （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集 （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。 练习题：P133 1 1．不等式的解法 （1）同解不等式（(1)与同解； （2）与同解，与同解； （3）与同解）； 2．一元一次不等式 情况分别解之。 3．一元二次不等式 或分及情况分别解之，还要注意的三种情况，即或或，最好联系二次函数的图象。 4．分式不等式 分式不等式的等价变形： )()(x g x f >0?f(x)·g(x)>0，) () (x g x f ≥0????≠≥?0 )(0 )()(x g x g x f 。 5．简单的绝对值不等式 解绝对值不等式常用以下等价变形： |x|0)， |x|>a ?x 2>a 2?x>a 或x<－a(a>0)。 一般地有： |f(x)| 1 线哪一侧的平面区域。特别地，当0C ≠时，通常把原点作为此特殊点。 （2）有关概念 引例：设2z x y =+，式中变量,x y 满 足条件43 35251x y x y x -≤-?? +≤??≥? ，求z 的最大值和最 小值。 由题意，变量,x y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些 平面区域的公共区域。由图知，原点(0,0)不在公共区域内，当 0,0x y ==时，20z x y =+=，即点(0,0)在直线0l ：20x y +=上， 作一组平行于0l 的直线l ：2x y t +=，t R ∈，可知：当l 在0l 的右上方时，直线l 上的点(,)x y 满足20x y +>，即0t >，而且，直线l 往右平移时，t 随之增大。 由图象可知，当直线l 经过点(5,2)A 时，对应的t 最大， 当直线l 经过点(1,1)B 时，对应的t 最小，所以， max 25212z =?+=，min 2113z =?+=。 在上述引例中，不等式组是一组对变量,x y 的约束条件，这组约束条件都是关于,x y 的一次不等式，所以又称 为线性约束条件。2z x y =+是要求最大值或最小值所涉及的变量,x y 的解析式，叫目标函数。又由于2z x y =+是 ,x y 的一次解析式，所以又叫线性目标函数。 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值 或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解(,)x y 叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域。其中可行解(5,2)和(1,1)分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解。 O y x A C 430x y -+= 1x = 35250x y +-= 一元一次不等式应用题专项练习 1．某校为了奖励在数学竞赛中获奖的学生，买了若干本课外读物准备送给他们，如果每人送3本，则还余8本；如果前面每人送5本，则最后一人得到的课外读物不足3本，设该校买了m本课外读物，有x名学生获奖，请解答下列问题：（1）用含x的代数式表示m； （2）求出该校的获奖人数及所买课外读物的本数． 2某果品公司要请汽车运输公司或火车货运站将60t水果从A地运到B地．已知汽车和火车从A地到B地的运输路程都是Skm，两家运输单位除都要收取运输途中每吨每小时5元的冷藏费用外，其他收取的费用和有关运输资料由表列出： 运输工具行驶速度（km/h）运输单价（元/t．km）装卸费用 汽车50 2 3000 火车80 1.7 4620 （1）分别写出这两家运输单位运送这批水果所要收取的总费用y1元和y2元（用含S的式子表示）； （2）为减少费用，当s=100km时，你认为果品公司应该选择哪一家运输单位更为合算？ 3．用甲、乙两种原料配制成某种果汁，已知这两种原料的维生素C的含量及购买这两种原料的价格如表： 甲种原料乙种原料 维生素C含量（单位/千克） 800 200 原料价格（元/kg）18 14 （1）现制作这种果汁200kg，要求至少含有52 000单位的维生素C，试写出所需甲种原料的质量x（kg）应满足的不等式； （2）如果还要求购买甲、乙两种原料的费用不超过1 800元，那么请你写出所需甲种原料的质量x（kg）应满足的另一个不等式． 4，为了抓住世博会商机，某商店决定购进A，B两种世博会纪念品，若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品4件，B种纪念品3件，需要550元， 不等式知识点整理 一、不等关系： 1．实数的大小顺序与运算性质之间的关系： 0>-?>b a b a ； 0<-? （自反性） （2）c a c b b a >?>>, （传递性） （3）c b c a b a +>+?> （可加性） （4）bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, （可乘性） （5）d b c a d c b a +>+?>>, （同向加法） （6）bd ac d c b a >?>>>>0,0； （同向乘法） （7）n n n n b a b a n N n b a >>?>∈>>,1,,0。 （同向乘方） 3．常用的基本不等式和重要的不等式 （1）0,0,2≥≥∈a a R a ， 当且仅当0a =取“=”. （2）ab b a R b a 2,,22≥+∈则（当且仅当a b =时取“=”） （3）+∈R b a ,，则ab b a 2≥+（当且仅当a b =时取“=”） 注：2 a b +——集几何平均数. （4）222()22 a b a b ++≥（当且仅当a b =时取“=”） （5）2222()33 a b c a b c ++++≥（当且仅当a b c ==时取“=”） （6）22222()()()a b c d ac bd ++≥+（当且仅当a b c d =时取“=”）（柯西不等式） 4、最值定理：设,0,x y x y >+≥由 （1）如积xy P =为定值，则当且仅当x y =时x y +有最小值 （2）如和x y S +=为定值，则当且仅当x y =时x y ?有最大值2()2 S . 即：积定和最小，和定积最大. 注：运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等. 5．含绝对值的不等式性质： b a b a b a +≤±≤±（注意等号成立的情况）. 二、不等式的证明方法 1．比较法 （1）作差比较法：作差——变形（通分、因式分解等）——判别符号； （2）作商比较法：作商——变形（化为幂的形式等）——与1比大小.（分母要为正的） 2．综合法——由因导果（由前面结论） 不等式与不等式组 本章知识点： 1、不等式：用>或<号表示大小关系的式子叫做不等式。Shu 53 2、不等式的解：把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。 3、解集：使不等式成立的x 的取值范围叫做不等式解的集合，简称解集。 4、不等式的性质： 1、不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号的方 向不变。a+c>b+c,a-c>b-c 2、不等式两边同乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 如果a>b,并且c>0,ac>bc,a/cb,c<0,ac 四、列一元一次方程解应用题的步骤有： 1、审清题意：应认真审题，分析题中的数量关系，找出问题所在。 2、设未知数：用字母表示题目中的未知数时一般采用直接设法，当直接设法使列方程有困难可采用间接设法，注意未知数的单位不要漏写。 3、找等量关系：可借助图表分析题中的已知量和未知量之间关系，列出等式两边的代数式，注意它们的量要一致，使它们都表示一个相等或相同的量。 4、列方程：根据等量关系列出方程。列出的方程应满足三个条件：各类是同类量，单位一致，两边是等量。 5、解方程：求出方程的解. 方程的变形应根据等式性质和运算法则。 6、检验解的合理性：不但要检查方程的解是否为原方程的解，还要检查是否符合应用题的实际意义，进行取舍，并注意单位。 7、作答：正确回答题中的问题。 五、常见的一元一次方程应用题： 1、和差倍分问题: （1）增长量＝原有量×增长率； （2）现在量＝原有量＋增长量 2、等积变形问题： 常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但面积不变。 （1）圆柱体的体积公式 V=底面积×高＝S ·h ＝ r 2h （2）长方开的面积 周长＝2×（长+宽） S=长×宽 3、数字问题： 一般可设个位数字为a ，十位数字为b ，百位数字为c 。 十位数可表示为10b+a ， 百位数可表示为100c+10b+a 。 然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。 4、市场经济问题：（ 以下“成本价”在不考虑其它因素的情况下指“进价” ） （1）商品利润＝商品售价－商品成本价 （2）商品利润率＝商品利润商品成本价 ×100% （3）售价=成本价×(1+利润率) （4）商品销售额＝商品销售价×商品销售量 （5）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量 （6）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售。或者用标价打x 折： 折后价（售价）=标价×10 x 计算。 5、行程问题：路程＝速度×时间； 时间＝路程÷速度； 速度＝路程÷时间。 （1）相遇问题： 快行距＋慢行距＝原距 （2）追及问题： 快行距－慢行距＝原距 （3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度 逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度 抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系． 6、工程问题： （1）工作总量＝工作效率×工作时间； 工作效率＝工作总量÷工作时间 （2）完成某项任务的各工作总量的和＝总工作量＝1 （3）各组合作工作效率＝各组工作效率之和 （4）全部工作总量之和＝各组工作总量之和 一．选择题（共20小题） 1．实数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下列不等式中错误的是（） A．a b＞0 B．a+b＜0 C． ＜1 D．a﹣b＜0 2．据丽水气象台“天气预报”报道，今天的最低气温是17℃，最高气温是25℃，则今天气温t（℃）的范围是（） A．t＜17 B．t＞25 C．t=21 D．17≤t≤25 3．若x＞y，则下列式子错误的是（） A．x﹣3＞y﹣3 B．3﹣x＞3﹣y C．x+3＞y+2 D． 4．如果a＜b＜0，下列不等式中错误的是（） A．a b＞0 B．a+b＜0 C． ＜1 D．a﹣b＜0 5．如果a＜0，b＞0，a+b＜0，那么下列关系式中正确的是（） 6．下列说法：①x=0是2x﹣1＜0的一个解；②不是3x﹣1＞0的解；③﹣2x+1＜0的解集是x＞2； ④的解集是x＞1．其中正确的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 7．一个不等式的解集为﹣1＜x≤2，那么在数轴上表示正确的是（） 8．如图，在数轴上表示某不等式组中的两个不等式的解集，则该不等式组的解集为（） A．x＜4 B．x＜2 C．2＜x＜4 D．x＞2 9．不等式＞1的解集是（） A． x＞﹣B．x＞﹣2 C．x＜﹣2 D． x＜﹣ A．x＞3 B．x＜3 C．x＞1 D．x＜1 A．1个B．2个C．3个D．4个 A．0个B．1个C．2个D．3个 13．“x的2倍与3的差不大于8”列出的不等式是（） A．2x﹣3≤8 B．2x﹣3≥8 C．2x﹣3＜8 D．2x﹣3＞8 14．用abc表示三种不同的物体，现放在天平上比较两次，情况如图所示，那么abc这三种物体按质量从大到小的顺序排列应为（） A．a=b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a 15．根据下面两图所示，对a、b、c三种物体的重量判断不正确的是（） A．a＜c B．a＜b C．a＞c D．b＜c 16．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（） A．B．C．D． 17．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（） A．B．C．D． 18．不等式组的整数解共有（） A．3个B．4个C．5个D．6个 19．不等式组的正整数解的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 20．若使代数式的值在﹣1和2之间，x可以取的整数有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 二．填空题（共2小题） 1．关于x的不等式组的解集是x＞﹣1，则m=． 22．若不等式组的解集是﹣1＜x＜1，则（a+b）2009=_________． 一元一次不等式(组) 考点一、不等式的概念（3分） 1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。 2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做 这个不等式的解。 3、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式 的解集。 4、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。 5、用数轴表示不等式的方法 考点二、不等式基本性质（3~5分） 1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 4、说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。②如 果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立； 考点三、一元一次不等式 1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的 两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。 2、解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项 的系数化为1 考点四、一元一次不等式组 1、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。 2、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。 3、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。 4、当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。 5、一元一次不等式组的解法 （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集 （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。 6、不等式与不等式组 不等式：①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。④不等式的两边 期末复习之不等式知识点 2 3 1） (x – 2)(ax – 2)>0 （2）x2–(a+a2)x+a3>0； （3）2x2 +ax +2 > 0； 注: 解形如ax2+bx+c>0的不等式时分类讨论的标准有： 1、讨论a与0的大小； 2、讨论⊿与0的大小； 3、讨论两根的大小；运用的数学思想： 1、分类讨论的思想； 2、数形结合的思想； 3、等与不等的化归思想(4)含参不等式恒成立的问题： 例1．已知关于x的不等式 在(–2，0)上恒成立，求实数a的取值范围． ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ≠ ≤ ? ? ≤ > ? ? > )x(g )x(g )x(f )x(g )x(f )x(g )x(f )x(g )x(f 22 (3)210 x a x a +-+-< ? ? ? ? ? 用图象 分离参数后用最值 函数 、 、 、 3 2 1 例2．关于x 的不等式 对所有实数x ∈R 都成立，求a 的取值范围. 4 第一步：在平面直角坐标系中作出可行域； 第二步：在可行域内找到最优解所对应的点； 第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值。 5 （1）,a b R ∈?222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （2）,a b R +∈?2 a b +≥当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （3）,a b R +∈?22a b ab +??≤ ??? (当且仅当a ＝b 时取“=”号)． 总结：已知y x ,都是正数，则有 （1）如果积xy 是定值p ，那么当且仅当y x =时和y x +有最小值p 2； （2）如果和y x +是定值s ，那么当且仅当y x =时积xy 有最大值24 1s . (3)用均值不等式求最值时,若不正，则要加负号，若不定，则要凑定值，若不等，则求导考虑单调性。 )1(log 22++-=ax ax y y z x =z ax by =+22y x z +=高中不等式知识点总结
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