复 数
一、 知识梳理：
1、复数的概念:bi a z +=
（1）虚数单位i ，21i =-
（i 的周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =1）
2、复数的分类(bi a z +=)()???
????∈???≠=≠???=R b a a a b b ,)0()0()0()0(非纯虚数纯虚数虚数无理数有理数实数 3、两种意义：
① 与复平面上的点（a,b ）一一对应
② 与向量（a,b ）一一对应
4、共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，
通常记复数z 的共轭复数为z 。
例如z =3＋5i 与z =3－5i 互为共轭复数
4、熟练记忆掌握运用以下结论：
（1）复数相等的充要条件：a+bi=c+di 等价于 。
（2）复数z=a+bi(a,b ∈R)的模记作 。
5、复数运算：
（1）复数加法：(a+bi)+(c+di)=__________________
（2）复数减法：(a+bi)-(c+di)=___________________
（3）乘法：(a+bi)(c+di)=_________________
（4）除法：
=++di c bi a _________________ 注意：
(1)(a+bi)(a-bi)=________________
(2)(a+bi)2= ______________
(3)(a-bi)2=____________________
牛刀小试： (1)(6-5i)+(3+2i) (2)(6-5i)-(3+2i) (3)(6-5i)(3+2i) (4)
i
i 2356+-
二，高考链接
1、复数i i 2134++的实部是（ ） A.-2 B.2 C.3 D.4
2、复数31i i --等于（ ）.
A ．i 21+ B.12i - C.2i + D.2i -
3、已知2a i
b i i +=+（a,b ∈R ），其中i 为虚数单位，则a+b=（ ）
A ．-1 B.1 C.2 D.3
5、已知0＜a ＜2，复数z a i =+(i 是虚数单位)，则|z |的取值范围是（ ）
A.(1,3)
B. (1,5)
C.(1,3)
D.(1,5)
6、下列n 的取值中，使n i =1(i 是虚数单位）的是 （ ）
A.n=2 B .n=3 C .n=4 D .n=5
7、若复数z 满足方程022=+z ，则=3z （ ）
A.22±
B. 22-
C. i 22-
D. i 22±
8、在复平面内，复数6+5i, -2+3i 对应的点分别为A,B.若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是（
）
A ．4+8i B.8+2i C.2+4i D.4+i
9、已知复数满足（1-z ）i i +=1，则z =（ ）
A ．-2-i B.-2+i C.2-i D.2+i
10、设i i z ++=11
，则=z （ ）
A.21
B. 22
C. 23
D. 2
11、()=-+2121i i
( )
A.i 21
1-- B. i 211+- C. i 211+ D. i 21
1-
三、抢分演练
1、在复平面内，复数(12)z i i =+对应的点位于 （ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2、若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为( )
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．1-或1
3、设1z i =+（i 是虚数单位），则22z z
+=（ ）A ．1i + B ．1i -+ C ．1i - D ．1i --
4、i 是虚数单位，i(1+i)等于（ ）
A ．1+i B. -1-i C.1-i
D. -1+i 5、复数 32(1)i i +=（ ）
A ．2
B ．－2
C ． 2i
D ． 2i -
6、已知复数12z i =-，那么
1z ＝（ ）
C.1255i +
D.1255
i - 7、i
= （ ）
A 、14-
B 、14+
C 、12+
D 、12- 8、已知a 是实数，i
i a +-1是纯虚数，则a =（ ） A.1 B.-1 C.2 D.-2
9、i 是虚数单位，若17(,)2i a bi a b R i
+=+∈-，则乘积ab 的值是（ ） A.－15 B.－3 C.3 D.1510、复数()2
i 1+i 的实部是 。 11、若复数 z 满足z (1+i) =1-i (I 是虚数单位)，则其共轭复数z =__________________ .
历年全国卷高考真题
{2012全国新课标文}复数z ＝－3+i 2+i 的共轭复数是 （A ）2+i （B ）2－i （C ）－1+i （D ）－1－i
{2013全国1卷文2}2
12(1)i i +=-（ ） （A ）112i -- （B ）112i -+ （C ）112i + （D ）112
i - {2013全国2卷文2}||=
（A ）2 （B ）2 （C ） （D ）1 {2014全国1卷文3}设i i
z ++=11，则=||z （A ） 2
1 （B ）2
2 （C ） 2
3 (D) 2 {2014全国2卷文2}
131i i
+=- （A ）12i + （B ）12i -+ （C ）1-2i (D) 1-2i -
{2015全国1卷文3}已知复数z 满足（z-1）i=i+1，则z=
（A ）-2-i （B ）-2+i （C ）2-i （D ）2+i
{2015全国2卷文2}若a 为实数，且
231ai i i +=++，则a = （A ）-4 （B ）-3 （C ）3 （D ）4
{2016全国1卷文2}设的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=
（A ）－3 （B ）－2 （C ）2 （D ）3 {2016全国2卷文2}设复数z 满足i 3i z +=-，则z =
（A ）12i -+ （B ）12i - （C ）32i + （D ）32i -
{2016全国3卷文2}若43i z =+，则||
z z = （A ）1 （B ）1- （C ）43+i 55 （D ）43i 55-
1. 【2016高考新课标1文数】设()()12i i a ++的实部与虚部相等,其中a 为实数,则a=（ ） （A ）－3 （B ）－2 （C ）2 （D ）3 【答案】A 考点：复数的概念及复数的乘法运算 【名师点睛】复数题也是每年高考必考内容,一般以客观题形式出现,属得分题.高考中复数考查频率较高的内容有：复数相等,复数的几何意义,共轭复数,复数的模及复数的乘除运算,这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是2i 1=-中的负号易忽略,所以做复数题要注意运算的准确性. 2.【2016高考新课标2文数】设复数z 满足i 3i z +=-，则z =（ ） （A ）12i -+ （B ）12i - （C ）32i + （D ）32i - 【答案】C 【解析】 试题分析：由3z i i +=-得，32z i =-，所以32z i =+，故选C. 考点： 复数的运算，共轭复数. 【名师点睛】复数(,R)a bi a b +∈的共轭复数是(,R)a bi a b -∈，两个复数
是共轭复数，其模相等. 3. [2016高考新课标Ⅲ文数]若43i z =+，则 || z z ＝（ ） （A ）1 （B ）1- （C ）43i 55 + （D ） 43i 55 - 【答案】D 【解析】 试题分析： 43i ||55 z z ==-，故选D ． 考点：1、复数的运算；2、共轭复数；3、复数的模． 【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i 换成－1．复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解． 4.【2016高考四川文科】设i 为虚数单位，则复数2(1)i +=( ) (A) 0 (B)2 (C)2i (D)2+2i 【答案】C 【解析】 试题分析：由题意，22(1)122i i i i +=++=，故选C. 考点：复数的运算. 【名师点睛】本题考查复数的运算．数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可． 5.【2016高考北京文数】复数 122i i +=-（ ） A.i B.1i + C.i - D.1i -
复数 基础知识 1．复数的定义：设i 为方程x 2=-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除 等运算。便产生形如a+bi （a,b ∈R ）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C 来表示。 2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z ，见图15-1，连接OZ ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r ，则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r(cos θ+isin θ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cos θ+isin θ)，则θ称为z 的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z 的辐角主值，记作θ=Arg(z). r 称为z 的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=22b a +.如果用e i θ表示cos θ+isin θ，则z=re i θ ，称为复数的指数形式。 3．共轭与模，若z=a+bi ，（a,b ∈R ）,则=z a-bi 称为z 的共轭复数。模与共轭的性质有： （1）2121z z z z ±=±；（2）2121z z z z ?=?；（3）2||z z z =?；（4）2 121z z z z =???? ??；（5）||||||2121z z z z ?=?； （6）||||||2121z z z z =；（7）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；（8）|z 1+z 2|2+|z 1-z 2|2=2|z 1|2+2|z 2|2；（9）若|z|=1，则z z 1= 。 4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z 1=r 1(cos θ1+isin θ1), z 2=r 2(cos θ2+isin θ2)，则z 1??z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若2 1212,0r r z z z =≠[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为z 1z 2=r 1r 2e i(θ1+θ2),.)(2 12121θθ-=i e r r z z 5.棣莫弗定理：[r(cos θ+isin θ)]n =r n (cosn θ+isinn θ). 6.开方：若=n w r(cos θ+isin θ)，则)2s i n 2(c o s n k i n k r w n π θπ θ+++=， k=0,1,2,…,n-1。 7．单位根：若w n =1，则称w 为1的一个n 次单位根，简称单位根，记Z 1=n i n ππ2sin 2cos +，则全部单位根可表示为1,1Z ,1121,,-n Z Z .单位根的基本性质有（这里记k k Z Z 1=，
第一轮基本知识基本技能和基本方法的复习，学校的安排通常是九月份到第二年的二月份结束，下面给大家带来一些关于高三数学第一轮复习顺序，希望对大家有所帮助。 一、注重双基，回归教材和考纲。下面给大家带来一些关于，希望对大家有所帮助。 数学的基本概念、定义、公式，数学知识点的联系，基本的数学解题思路与方法，是第一轮复习的重中之重。需要系统的对知识点进行梳理，确保基本概念、公式等牢固掌握，面面俱到、不留盲点和死角，要扎扎实实，不要盲目攀高，欲速则不达。 二、把握知识体系，突出重点内容。 第一轮复习后，大家要能写出或说出章节的知识结构与知识体系，并掌握其重点内容。例如“函数”一章，从基本知识看主要有：函数的概念与运算，函数关系的建立，函数的基本性质，反函数，幂函数，指数函数与对数函数;从考试重点看还有一些必须掌握的扩充内容：求函数解析式，函数值域，求函数定义域，函数图像及变换，函数与不等式，函数思想的应用等。由于函数在高考的重要地位，函数知识与函数思想，同学们需下大力气掌握。 一轮复习一定要有面的兼顾，即使是小的知识点，也不能忽视，当然复习中也需有质的深度，对课本上的定义要善于深挖与联想，抓住各个分支的数学本质，例如利用代数方法解决几何问题，用函数观点来研究数列问题。重点知识点第一轮复习时一定要重视，一些典型题型上海高考常考常新。
三、提高课堂听课效率，多动脑，注重各种能力的提高 接受、记忆、模仿和练习是我们学习数学的重要方式之一，但是不应只限于此，我们还应独立思考，自主探索，阅读自学，独立思考是我们真正掌握所学知识的基础。 每年高考的填空选择解答压轴题都是创新题，能力题，这类试题不拘一格，突出探索、发现和创造。对于想考出高分的我们来说，不仅要吃透课本中的知识点，专题训练，平时做题还要进行灵活变换，多想想有没有其他方法，在分析问题、解决问题的能力上要提高。此外还要特别注意老师讲课中的分析与提示。 菁英听课必备：做好笔记，笔记不是记录而是将听课中的要点，思维方法等作出简单扼要的记录，以便复习，消化，思考。解答过程可以留在课后去完成，笔记的地方留点空余的地方，以备自已的感悟。 四、复习要及时，高效，多次，长期坚持 1、做好每一天的复习。上完课的当天，必须做好当天的复习。复习的有效方法不是一遍遍地看书或笔记，而是采取回忆式的复习：先把书，笔记合起来回忆上课老师讲的内容，例题：分析问题的思路、方法等(也可边想边在草稿本上写一写)尽量想得完整些。然后打开笔记与书本，对照一下还有哪些没记清的，把它补起来，就使得当天上课内容巩固下来，同时也就检查了当天课堂听课的效果如何，若碰到有些题没有思路的还需再仔细做一遍。 2、做好阶段复习。学习一个章节后应进行阶段复习，复习方法也同及时复习一样，采取回忆式复习，而后与书、笔记相对照，使其内容完善。 五、以“错”纠错，查漏补缺 这里说的“错”，是指把平时做作业中的错误收集起来。高三一轮复习，各类题要做很多。如果平时做题出错较多，就只需在试卷上把错题做上标记，在旁边写上评析，然后把试卷保存好，每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷看一看。在看参考书时，也可以把精彩之处或做错的题目做上标记，以后再看这本书时就会有所侧重。查漏补缺的过程就是反思的过程。除了把不同的问题弄懂以外，还要学会“举一反三”，及时归纳。每次订正试卷或作业时，在做错的试题旁边要写明做错的原因，大致可分为以下几类：1、题目看错;2、计算错误;3、概念错误;4、没有找到适合的方法;5、知识点
最后冲刺 【高考预测】 1.复数的概念 2.复数的代数形式及运算 3.复数概念的应用 4.复数的代数形式及运算 易错点 1 复数的概念 1．（2020精选模拟）若z 1=a+2i,z 2=3-4i,且2 1z z 为纯虚数，则实数a 的值为___________. 【错误解答】 ∵z 1+a+2i,z 2=3-4i, ∴ .25462583169)46(83)43)(43()43)(2(43221i a a i a a i i i i a i a z z ++-=+++-=+-++=-+= 又∵2 1 z z 为纯虚数。 ∴, 02583=-a ∴a=38.∴填38 。 【错解分析】∵复数z=a+bi(a,b ∈R)为纯虚数的充要条件是a=0且b ≠0.因此上面解答虽 【错误解答】 选C ∵z=i -11 =1+i.∴z 为纯虚数为1-i 【错解分析】z=i -11 =1+i 是错误的，因为（1-i ）(1+i)=1-(i)2-z ≠1
【正确解答】 选B ∵z=i -11=.2 12121)1)(1(1i i i i i +=+=+-+ ∴z=i -11的共轭复数是21-21 i 。 3．（2020精选模拟）已知复数z 1=3+4i ，z 2=t+i,,且21z z ?是实数，则实数t= （ ） A ．43 B ．34 C ．-34 D ．-43 【错误解答】 选 C ∵z1·2z ∈R ?2121z z z z +=0。即（3+4i ）(t-i)+(3-4i)(t+i)=0 ?t=-34 . 【错误解答】 设z=x+yi(x,y ∈R),∵z+2i=x+(y+2)i 由题意得 y=-2. ∵51222= --=-i i x i z (x+2)(2+i)=51(2x+2)+51(x-4)i. 由题意得x=4,∴z=4-2i. ∵(z+ai)2 =[4+(a-2)i]2 =(12+4a-a 2 )+8(a-2)i ∵(z+ai)2在复平面上的点在第一象限， ∴,.0)2(8, 04122???? ?≥-≥-+a a a 解得2≤a ≤6. ∴实数a 的取值范围是[2，6]。 【错解分析】 复数z=a+bi(a 、b ∈R)对应点（a 、b ）在第一象限的充要条件是a>0,b>0.
高考数学复数知识点总结及解题思路方法 考试内容： 复数的概念． 复数的加法和减法． 复数的乘法和除法． 数系的扩充． 考试要求： （1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义． （2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算． （3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想． §15. 复数知识要点 1. ⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即1 =. i2- ⑵复数及其相关概念： ①复数—形如a + b i的数（其中R ，）； b a∈ ②实数—当b = 0时的复数a + b i，即a； ③虚数—当0≠b时的复数a + b i； ④纯虚数—当a = 0且0≠b时的复数a + b i，即b i. ⑤复数a + b i的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意 a，b都是实数） ⑥复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示. ⑶两个复数相等的定义：
00==?=+∈==?+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且. ⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小. 注：①若21,z z 为复数，则 1若021 z z +，则21z z - .（×）[21,z z 为复数，而不是实数] 2若21z z ，则021 z z -.（√） ②若C c b a ∈,,，则0)()()(222=-+-+-a c c b b a 是c b a ==的必要不充分条件. （当22)(i b a =-， 0)(,1)(22=-=-a c c b 时，上式成立） 2. ⑴复平面内的两点间距离公式：21z z d -=. 其中21z z ，是复平面内的两点21z z 和所对应的复数，21z z d 和表示间的距离. 由上可得：复平面内以0 z 为圆心，r 为半径的圆的复数方程： ） （00 r r z z =-. ⑵曲线方程的复数形式： ①00z r z z 表示以=-为圆心，r 为半径的圆的方程. ②2 1 z z z z -=-表示线段21z z 的垂直平分线的方程. ③21212 1202Z Z z z a a a z z z z ，）表示以且（ =-+-为焦点，长半轴长为 a 的椭 圆的方程（若212z z a =，此方程表示线段21Z Z ，）. ④ ）， （2121202z z a a z z z z =---表示以21Z Z ，为焦点，实半轴长为a 的 双曲线方程（若212z z a =，此方程表示两条射线）. ⑶绝对值不等式： 设21z z ，是不等于零的复数，则 ① 2 12121z z z z z z +≤+≤-.
专题二 复数 【1】复数的基本概念 （1）形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部 实数：当b = 0时复数a + b i 为实数 虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数； 纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数 （2）两个复数相等的定义： 00==?=+∈==?+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且 （3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-； （4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标为(),p a b ；（象限的复习） （5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =z 的模； 【2】复数的基本运算 设111z a b i =+，222z a b i =+ （1） 加法：()()121212z z a a b b i +=+++； （2） 减法：()()121212z z a a b b i -=-+-； （3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ?=-++ 特别22z z a b ?=+。 （4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-?????? 【3】复数的化简 c di z a bi +=+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==?=++-+ 对于()0c di z a b a bi +=?≠+，当c d a b =时z 为实数；当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi +==+进一步建立方程求解
第1页 共64页 高考数学总复习教案 第一章-集合 考试内容：集合、子集、补集、交集、并集．逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件． 考试要求： （1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． （2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义． §01. 集合与简易逻辑 知识要点 一、知识结构: 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分： 二、知识回顾： （一） 集合 1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质： ①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ?，同时A B ?，那么A = B. 如果C A C B B A ???，那么，. [注]：①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×） ②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例：S=N ； A=+N ，则C s A= {0}） ③ 空集的补集是全集. ④若集合A =集合B ，则C B A = ?， C A B = ? C S （C A B ）= D （ 注 ：C A B = ?）. 3. ①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集. ②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R }二、四象限的点集. ③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R } 一、三象限的点集.
复数的概念与四则运算 【母题原题1】 复数 (i 为虚数单位)的共轭复数是 A. 1+i B. 1?i C. ?1+i D. ?1?i 【答案】B 【解析】分析:先分母实数化化简复数，再根据共轭复数的定义确定结果. 详解： ，∴共轭复数为 ，选B. 点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数 的实部为、虚部为、模为 、对应点为 、共轭复数为 . 【母题原题2】 已知a ，b ∈R ， 2 i 34i a b +=+（）（i 是虚数单位）则22a b += ______，ab=________. 【答案】 5 2 【解析】由题意可得2 2 234a b abi i -+=+，则223{ 2a b ab -==，解得224{ 1 a b ==，则225,2a b ab +==． 【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()()(),,,,a bi c di ac bd ad bc i a b c d R ++=-++∈． 其次要熟悉 复数相关基本概念，如复数(),a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b a ， b ）、 共轭为a bi -等． 【命题意图】考查对复数概念的理解、复数四则运算法则，考查复数的基础知识的掌握和基本的运算能力. 【命题规律】主要考查的方向有两个，一是复数的概念及运算，如复数的实部、虚部、纯虚数、复数的相等、共轭复数等概念以及复数模的运算；二是复数的几何意义及其应用，如复数对应的点的位置（坐标），复数与方程的综合问题等.以考查复数的运算居多． 【答题模板】以2018年高考题为例，解答此类题目，一般考虑如下三步： 第一步：计算化简.即利用复数的四则运算法则，将所给复数化简； 第二步：明确复数的实部、虚部. 第三步：写出共轭复数.根据共轭复数的概念，写出共轭复数. 【方法总结】 1.处理与复数概念有关的问题，首先找准复数的实部与虚部，若复数为非标准的代数形式，应通过代数运
复数专题 一、选择题 1 ．（2012年高考（天津理）） i 是虚数单位,复数7= 3i z i -+ （ ） A ．2i + B ．2i - C ．2i -+ D ．2i -- 2 ．（2012年高考（新课标理））下面是关于复数2 1z i = -+的四 个命题:其中的真命 题为 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1- （ ） A ．23,p p B ．12,p p C ．,p p 24 D ．,p p 34 3 ．（2012年高考（浙江理））已知i 是虚数单位,则 3+i 1i -= （ ） A ．1-2i B ．2-i C ．2+i D ．1+2i 4 ．（2012年高考（四川理））复数2(1)2i i -= （ ） A ．1 B ．1- C ． i D ．i - 5 ．（2012年高考（上海理））若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根,则 （ ） A ．3,2==c b . B ．3,2=-=c b . C ．1,2-=-=c b . D ．1,2-==c b . 6 ．（2012年高考（陕西理））设,a b R ∈, 是虚数单位,则“0ab =”是“复数b a i + 为纯虚数”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 7 ．（2012年高考（山东理））若复数z 满足(2)117z i i -=+( i 为虚数单位),则z 为 （ ） A ．35i + B ．35i - C ．35i -+ D ．35i -- 8 ．（2012年高考（辽宁理））复数 22i i -=+ （ ） A ．34i - B ．34i + C ．41i - D ．3 1i +
第一章 集合与简易逻辑 第1课时 集合的概念及运算 【考点导读】 1. 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用． 2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义． 3. 理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；理解在给定集合中一个子集补集的含义，会求给定子集的补集；能使用文氏图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用． 4. 集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程，不等式要复杂一些，综合性较强，往往渗透数形思想和分类讨论思想． 【基础练习】 1. 集 合 {(, )0 2,02,,} x y x y x y Z ≤≤≤<∈用列举法表示{ ( , ) , ( 0,． 2.设集合{21,}A x x k k Z ==-∈，{2,}B x x k k Z ==∈，则A B ?=?． 3.已知集合{0,1,2}M =，{2,}N x x a a M ==∈，则集合M N ?=_______． 4.设全集{1,3,5,7,9}I =，集合{1,5,9}A a =-，{5,7}I C A =，则实数a 的值为____8 或2___． 【范例解析】 例.已知R 为实数集，集合2{320}A x x x =-+≤.若R B C A R ?=， {01R B C A x x ?=<<或23}x <<，求集合B . 分析：先化简集合A ，由R B C A R ?=可以得出A 与B 的关系；最后，由数形结合，利用数轴直观地解决问题. 解：（1） {12}A x x =≤≤，{1R C A x x ∴=<或2}x >.又R B C A R ?=， R A C A R ?=， 可得A B ?. {0,2}
专题7.1 复数的概念
运用一 实部虚部 【例1】（2019·黑龙江高三（文））若()()12z i i =+-，则复数z 的实部与虚部之和为（ ） A.1 B.-1 C.-2 D.-4 【答案】D 【解析】()()2 12223z i i i i i i =+-=-+-=--，所以复数z 实部为3-，虚部为1-，所以和为4-，故 选D. 【举一反三】 1．（2019·河南高三（理））已知复数34z i =+，则5 z 的虚部是（ ） A.45 - B. 45 C.-4 D.4 【答案】A 【解析】由34z i =+，得()()()53455343434345i i z i i i --===++-，所以虚部为4 5 -. 故选：A 2．（2019·湖南高三（理））若复数z 满足1z i i ?=-，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为（ ）. A.0 B.1- C.i - D. 1 2 i 【答案】B 【解析】依题意()()() 111i i i z i i i i -?--= ==--?-，故z 的虚部为1-.故选B. 3．（2019·宁夏银川一中高三月考（文））设复数z 满足(2)1z i i -=+(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数的虚部为 A. 3 5 B. 35 C.35 i D.35 i - 【答案】B 【解析】因为(2)1z i i -=+， 1(1)(2)133 2(21)(2)555 i i i i z i i i i ++++∴= ===+--+,
所以复数z 的共轭复数为 13 55i -，所以复数z 的共轭复数的虚部为3 5 ，故选：B. 4．（2019·山东省烟台第一中学高三月考）若复数z 满足()1234i z i +=-，则z 的实部为 A.1 B.1- C.2 D.2- 【答案】B 【解析】由()1234i z i +=-得 ()()()()22341234310851012121212145 i i i i i i z i i i i i ----+--=====--++--， 所以复数z 的实部为1-，故选B . 运用二 数的分类 【例2】（2019·辽宁高二期末（理））若复数 ()2 321a a a i -++-（a R ∈）不是纯虚数，则（ ） A.2a ≠ B.1a ≠ C.1a = D.1a ≠且2a ≠ 【答案】A 【解析】 若复数( ) 2 321a a a i -++-（a R ∈）是纯虚数， 根据纯虚数的定义有：21 10=2=1=2 32=0a a a a a a a ≠?-≠????? -+??或， 则复数( ) 2 321a a a i -++-（a R ∈）不是纯虚数，2a ≠故选A 【举一反三】 1．（2019·辽宁高二期中（文））已知复数2 3()z m m mi m =-+∈R 为纯虚数，则m =________ 【答案】3 【解析】因为2 3()z m m mi m =-+∈R 是纯虚数， 属于根据纯虚数定义可知230m m -=且0m ≠可解得3m =，故答案为3. 2．（2019·上海市大同中学高三月考）若12i z a =+，214i z =-，且12 z z 为纯虚数，则实数a =________ 【答案】8
高三数学第一轮复习计划 王旭丽 高考数学命题近年来经历了由“知识立意”向“能力立意”的转变，体现了对能力和潜能的考察，使知识考查服务于能力考查。针对这一命题走向，怎样在短暂的时间内搞好总复习，提高效率，减轻负担是我的核心理念。 一、夯实基础。 今年高考数学试题的一个显著特点是注重基础。扎实的数学基础是成功解题的关键，从学生反馈来看，平时学习成绩不错但得分不高的主要原因不在于难题没做好，而在于基本概念不清，基本运算不准，基本方法不熟，解题过程不规范，结果“难题做不了，基础题又没做好”，因此在第一轮复习中，我们将格外突出基本概念、基础运算、基本方法，具体做法如下：1.注重课本的基础作用和考试说明的导向作用；2.加强主干知识的生成，重视知识的交汇点；3.培养逻辑思维能力、直觉思维、规范解题习惯；4.加强反思，完善复习方法。 二、解决好课内课外关系。 课内：（1）例题讲解前，留给学生思考时间；讲解中，让学生陈述不同解题思路，对于解题过程中的闪光之处或不足之处进行褒扬或纠正；讲解后，对解法进行总结。对题目尽量做到一题多解，一题多用。一题多解的题目让学生领会不同方法的优劣，一题多用的题目
让学生领会知识间的联系。（2）学生作业和考试中出现的错误，不但指出错误之处，更要引导学生寻根问底，使学生找出错误的真正原因。（3）每节课留10分钟让学生疏理本节知识，理解本节内容。 课外：除了正常每天布置适量作业外，另外布置一两道中档偏上的题目，判作业时面批面改，指出知识的疏漏。 三、注重师生互动 1.多让学生思考回答问题，对于有些章节知识，按难易程度选择六至八道，尽量独自完成，无法独立解决的可以提示思路。 2.让学生自我小结，每一章复习完后，让学生自己建立知识网络结构，包括典型题目、思想方法、解题技巧，易错易做之题； 3.每次考试结束后，让学生自己总结：①试题考查了哪些知识点； ②怎样审题，怎样打开解题思路；③试题主要运用了哪些方法，技巧，关键步在哪里；④答题中有哪些典型错误，哪些是知识、逻辑心理因素造成，哪些是属于思路上的。 四、精选习题。 1．把握好题目的难度，增强题目针对性，所选题目以小题、中档题为主，且应突出知识重点，体现思想方法、兼顾学生易错之处。 2.减少题目数量，加强质量。
【高中数学】数学《复数》高考复习知识点 一、选择题 1．设(1)1i x yi -=+，其中,x y 是实数，则x yi +在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D 【解析】 由()11i x yi -=+，其中,x y 是实数，得：11,1x x x y y ==??∴? ?-==-?? ，所以x yi +在复平面内所对应的点位于第四象限. 本题选择D 选项. 2．如图所示，在复平面内，OP uuu v 对应的复数是1－i ，将OP uuu v 向左平移一个单位后得到00 O P u u u u v ，则P 0对应的复数为( ) A ．1－i B ．1－2i C ．－1－i D ．－i 【答案】D 【解析】 【分析】 要求P 0对应的复数，根据题意，只需知道0OP u u u v ，而0000 OP OO O P =+u u u v u u u u v u u u u v ，从而可求P 0对应的复数 【详解】 因为00O P OP =u u u u v u u u v ，0OO u u u u v 对应的复数是－1， 所以P 0对应的复数， 即0OP u u u v 对应的复数是 ()11i i -+-=-，故选D. 【点睛】 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，复平面内复数、向量及点的对应关系，是基础题． 3．已知复数(2)z i i =-，其中i 是虚数单位，则z 的模z = ( ) A 3 B 5 C ．3 D ．5 【答案】B 【解析】
22(2)22(1)5z i i i i =-=-=+-=，故选B ． 4．若复数z 满足232,z z i +=-其中i 为虚数单位，则z= A ．1+2i B ．1-2i C ．12i -+ D ．12i -- 【答案】B 【解析】 试题分析：设i z a b =+，则23i 32i z z a b +=+=-，故 ，则12i z =-，选B. 【考点】注意共轭复数的概念 【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时对复数的运算与概念、复数的几何意义等进行综合考查，也是考生必定得分的题目之一. 5．设i 是虚数单位，若复数()103a a R i - ∈-是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．-3 B ．-1 C ．1 D ．3 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 因 , 故由题设 , 故,故选D ． 考点：复数的概念与运算. 6．已知i 是虚数单位，则 131i i +=+（ ） A ．2i - B ．2i + C ．2i -+ D ．2i -- 【答案】B 【解析】 【分析】 利用复数的除法运算计算复数的值即可. 【详解】 由复数的运算法则有： 13(13)(1)422(1)(11)2 i i i i i i i i ++-+===++-+.
2013-2014学年度第一学期高三期中考联考 理科数学试题 命题人：潮州金山中学 本试卷共4页，21题，满分150分。考试时间为120分钟。 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、座号写在答题卷密封线内。 2、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答。 3、答案一律写在答题区域内，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。 一、选择题（满分40分） 1.已知命题p ：1≤∈x cos R x ，有对任意，则（ ） A ．1≥∈?x cos R x p ，使：存在 B ．1≥∈?x cos R x p ，有：对任意 C ．1>∈?x cos R x p ，使：存在 D ．1>∈?x cos R x p ，有：对任意 2.已知a R 且0a ，则 “ 11 1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 右 3.设全集U=R ，A=(2) {|2 1},{|ln(1)}x x x B x y x -<==-，则 图中阴影部分表示的集合为（ ） A ．{|1}x x ≥ B ．{|12}x x ≤< C ．{|01}x x <≤ D ．{|1}x x ≤ 4．若函数2 ()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数' ()f x 的图象是（ ） 5. 若,x y 满足约束条件2100408x y x y +≥?? ≤≤??≤≤? ,则43z x y =+的最小值为（ ) A ．20 B ．22 C ．24 D ．28
6. 将函数sin()3y x π =- 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍 （纵坐标不变）， 再将所得的图象向左平移3 π 个单位，得到的图象对应的解析式是（ ） A ．1sin 2y x = B ．1sin()22y x π =- C.1sin()26y x π=- D.sin(2)6 y x π =- 7. 已知定义在R 上的周期为2的偶函数)(x f ，当[]1,0∈x 时,22)(x x x f -=,则 )(x f 在区间[]2014,0内零点的个数为（ ） A ．3019 B ．2020 C ．3021 D ．3022 8．在△ABC 中，E 、F 分别为AB ，AC 中点．P 为EF 上任一点，实数x ，y 满足 PA +x PB +y PC =0．设△ABC ，△PBC ，△PCA ，△P AB 的面积分别为S ，1S ，2S ，3S ，记11S S λ=，22S S λ=，33S S λ=，则当λ2· λ3取最大值时，2x +y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．－32 D ．3 2 二、填空题（满分30分）ks5u （一）必做题: 第9至13题为必做题, 每道试题考生都必须作答． 9．在====∠?AC BC AB A ABC 则中，若,7,5,1200 10．函数46y x x =-+-的最小值为 11．设数列{}{},n n a b 都是等差数列,若11337,21a b a b +=+=，则55a b +=_____ 12．若函数()y f x =的图象与函数x y 4=的图象关于直线y x =对称，则函数()y f x =的 解析式为__________________ 13．定义：如果函数)(x f y =在定义域内给定区间b][，a 上存在)(00b x a x <<，满足 a b a f b f x f --= ) ()()(0，则称函数)(x f y =是b][，a 上的“平均值函数”，0x 是它的一个均 值点。例如4 x y =是]1,1[-上的平均值函数，0就是它的均值点。现有函数 1)(2++-=mx x x f 是]1,1[-上的平均值函数，则实数m 的取值范围是 （二）选做题: 第14、15题为选做题, 考生只能选做其中一题, 两题全答的, 只计前一题的得分。 14．以极坐标系中的点 1 , 6π? ? ?? ?为圆心，1为半径的圆的方程 是
一、复数选择题 1．在复平面内，复数 534i i -（i 为虚数单位）对应的点的坐标为（ ） A ．()3,4 B ．()4,3- C ．43,55??- ??? D ．43,55??- ??? 2．若复数(1)()(i a i i -+是虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．2 B ．1 C ．0 D ．1- 3．欧拉是瑞士著名数学家，他首先发现：e cos isin i θθθ=+（e 为自然对数的底数，i 为虚数单位），此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系．根据欧拉公式可知，i e π＝（ ） A ．1 B ．0 C ．－1 D ．1＋i 4．已知i 是虚数单位，复数2z i =-，则()12z i ?+的模长为（ ） A ．6 B C ．5 D 5．若复数1z i i ?=-+，则复数z 的虚部为（ ） A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i 6．复数312i z i = -的虚部是（ ） A ．65i - B ．35i C ．35 D ．65 - 7．已知复数512z i = +，则z =（ ） A ．1 B C D ．5 8．若(1)2z i i -=，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 9．若1m i i +-是纯虚数，则实数m 的值为（ ）． A ．1- B ．0 C ．1 D 10．已知复数2021 11i z i -=+，则z 的虚部是（ ） A ．1- B ．i - C ．1 D ．i 11．设复数z 满足方程4z z z z ?+?=，其中z 为复数z 的共轭复数，若z 的实部为 ，则z 为（ ）
高考一轮复习知识点 数学 第一章-集合 考试内容：集合、子集、补集、交集、并集．逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件． 考试要求： （1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． （2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义． §01. 集合与简易逻辑 知识要点 一、知识结构: 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分： 二、知识回顾： （一） 集合 1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质： ①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ?，同时A B ?，那么A = B. 如果C A C B B A ???，那么，. [注]：①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×） ②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例：S=N ； A=+N ，则C s A= {0}） ③ 空集的补集是全集. ④若集合A =集合B ，则C B A = ?， C A B = ? C S （C A B ）= D （ 注 ：C A B = ?）. 3. ①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集. ②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R }二、四象限的点集. ③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R } 一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集. 例： ?? ?=-=+1 323 y x y x 解的集合{(2，1)}. ②点集与数集的交集是φ. （例：A ={(x ，y )| y =x +1} B={y |y =x 2 +1} 则A ∩B =?） 4. ①n 个元素的子集有2n 个. ②n 个元素的真子集有2n －1个. ③n 个元素的非空真子集有2n －2个.
【1】复数的基本概念 （1）形如a + b i 的数叫做复数（其中）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部 实数：当b = 0时复数a + b i 为实数 虚数：当时的复数a + b i 为虚数； 纯虚数：当a = 0且时的复数a + b i 为纯虚数 （2）两个复数相等的定义： （3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-； （4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标为(),p a b ；（象限的复习） （5）复数的模：对于复数z a bi =+ ，把z =z 的模； 【2】复数的基本运算 设111z a b i =+，222z a b i =+ （1） 加法：()()121212z z a a b b i +=+++； （2） 减法：()()121212z z a a b b i -=-+-； （3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ?=-++ 特别22z z a b ?=+。 （4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-?????? 【3】复数的化简 c di z a bi +=+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22 ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==?=++-+ 对于()0c di z a b a bi +=?≠+，当c d a b =时z 为实数；当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi +==+进一步建立方程求解 【例4】 若复数 ()312a i z a R i +=∈-（i 为虚数单位）， R b a ∈，1i 2-=0≠b 0≠b 00==?=+∈==?+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且