全等三角形的性质和判
定
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全等三角形的性质和判定
要点一、全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 要点二、对应顶点，对应边，对应角 1. 对应顶点，对应边，对应角定义
两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.
要点诠释：
在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC 与△DEF 全等，记作△ABC ≌△DEF ，其中点A 和点D ，点B 和点E ，点C 和点F 是对应顶点；AB 和DE ，BC 和EF ，AC 和DF 是对应边；∠A 和∠D ，∠B 和∠E ，∠C 和∠F 是对应角.
要点三、全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等；
全等三角形的对应角相等.
要点四、全等三角形的判定
（SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ）
全等三角形判定一（SSS ，SAS ） 全等三角形判定1——“边边边”
三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS ”）. 要点诠释：如图，如果''A B ＝AB ，''A C ＝AC ，''B C ＝BC ，则△ABC ≌△'''A B C .
要点二、全等三角形判定2——“边角边” 1. 全等三角形判定2——“边角边”
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.
要点诠释：如图，如果AB ＝ ''A B ，∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.
2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
【典型例题】
类型一、全等三角形的判定1——“边边边”
1、已知：如图，△RPQ 中，RP ＝RQ ，M 为PQ 的中点．
求证：RM 平分∠PRQ ．
证明：∵M 为PQ 的中点（已知）， ∴PM ＝QM
在△RPM 和△RQM 中，
()(),,
RP RQ PM QM RM RM ?=?
=??=?
已知公共边
∴△RPM ≌△RQM （SSS ）．
∴ ∠PRM ＝∠QRM （全等三角形对应角相等）． 即RM 平分∠PRQ. 举一反三：
【变式】已知：如图，AD ＝BC ，AC ＝BD.试证明：∠CAD ＝∠DBC.
类型二、全等三角形的判定2——“边角边”
2、已知：如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠1＝∠2．
求证：BC ＝DE ．
证明： ∵∠1＝∠2
∴∠1＋∠CAD ＝∠2＋∠CAD ，即∠BAC ＝∠DAE 在△ABC 和△ADE 中
AB AD BAC DAE AC AE =??
∠=∠??=?
∴△ABC ≌△ADE （SAS ）
∴BC ＝DE （全等三角形对应边相等）
3、如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接 （A 、B 、D 三点共线，AB ＝CB ，EB ＝DB ，∠ABC ＝∠EBD ＝90°），连接AE 、CD ，试确定AE 与CD 的位置与数量关系，并证明你的结论．
证明：延长AE 交CD 于F ，
∵△ABC 和△DBE 是等腰直角三角形 ∴AB ＝BC ，BD ＝BE 在△ABE 和△CBD 中
90ABE CBD BE BD ??
∠=∠=???=?
∴△ABE ≌△CBD （SAS ） ∴AE ＝CD ，∠1＝∠2
又∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4（对顶角相等） ∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC ＝90° ∴AE ⊥CD
举一反三：
【变式】已知：如图，PC ⊥AC ，PB ⊥AB ，AP 平分∠BAC ，且AB ＝AC ，点Q 在PA 上，
求证：QC ＝QB
类型三、全等三角形判定的实际应用
4、“三月三，放风筝”．下图是小明制作的风筝，他根据DE ＝DF ，EH ＝FH ，不用度量，就知道∠DEH ＝∠DFH ．请你用所学的知识证明．
【答案与解析】
证明：在△DEH 和△DFH 中，
EH FH DH DH ??
??=?
＝
∴△DEH ≌△DFH(SSS) ∴∠DEH ＝∠DFH ．
一、选择题
1. △ABC 和△'''A B C 中，若AB ＝''A B ，BC ＝''B C ，AC ＝''A C .则（ ） A.△ABC ≌△'''A C B B. △ABC ≌△'''A B C C. △ABC ≌△'''C A B D. △ABC ≌△'''C B A
2. 如图，已知AB ＝CD ，AD ＝BC ，则下列结论中错误的是（ ） ∥DC B.∠B ＝∠D C.∠A ＝∠C ＝BC
3. 下列判断正确的是（ ） A.两个等边三角形全等
B.三个对应角相等的两个三角形全等
C.腰长对应相等的两个等腰三角形全等
D.直角三角形与锐角三角形不全等
6. 如图，已知AB ⊥BD 于B ，ED ⊥BD 于D ，AB ＝CD ，BC ＝ED ，以下结论不正确的是（ ）
⊥AC ＝AC ＋AB ＝DB ＝CB
二、填空题
9. 如图，在△ABC 和△EFD 中，AD ＝FC ，AB ＝FE ，当添加条件_______时，就可得△ABC ≌△EFD （SSS ）
10. 如图，AC ＝AD ，CB ＝DB ，∠2＝30°，∠3＝26°，则∠CBE ＝_______.
12. 已知，如图，AB ＝CD ，AC ＝BD ，则△ABC ≌ ，△ADC ≌ .
三、解答题
13. 已知：如图，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，∠ADC ＝∠BCD ，AD ＝
BC ，
求证：CO ＝DO ．
14. 已知：如图，AB ∥CD
，AB ＝CD ．求证：AD ∥BC ．
分析：要证AD ∥BC ，只要证∠______＝∠______， 又需证______≌______． 证明：∵ AB ∥CD （ ），
∴ ∠______＝∠______ （ ）， 在△______和△______中，
??
?
??===),
______(______),______(______),______(______ ∴ Δ______≌Δ______ （ ）． ∴ ∠______＝∠______ （ ）． ∴ ______∥______（ ）．
15.如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE求证：AE＝DE.
16.
全等三角形判定3——“角边角”
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
要点诠释：如图，如果∠A＝∠'A，AB＝''
A B，∠B＝∠'B，则△ABC≌△'''
A B C.
要点二、全等三角形判定4——“角角边”
1.全等三角形判定4——“角角边”
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
要点三、判定方法的选择
1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：
已知条件可选择的判定方法
一边一角对应相等SAS AAS ASA
两角对应相等ASA AAS
两边对应相等SAS SSS
类型一、全等三角形的判定3——“角边角”
1、已知：如图，E ，F 在AC 上，AD ∥CB 且AD ＝CB ，∠D ＝∠B ．
求证：AE ＝CF ．
证明：∵AD ∥CB ∴∠A ＝∠C
在△ADF 与△CBE 中
A C AD C
B D B ∠=∠??
=??∠=∠?
∴△ADF ≌△CBE （ASA ）
∴AF ＝CE ，AF ＋EF ＝CE ＋EF 故得：AE ＝CF 举一反三：
【变式】如图，AB ∥CD ，AF ∥DE ，BE ＝CF.求证：AB ＝CD.
类型二、全等三角形的判定4——“角角边”
2、已知：如图，AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∠E ＝∠B ，DE ＝CB ．
求证：AD ＝AC ．
证明：∵AB ⊥AE ，AD ⊥AC ， ∴∠CAD ＝∠BAE ＝90°
∴∠CAD ＋∠DAB ＝∠BAE ＋∠DAB ，即∠BAC ＝∠EAD 在△BAC 和△EAD 中
BAC EAD B E CB=DE ∠=∠??
∠=∠???
∴△BAC ≌△EAD （AAS ） ∴AC ＝AD
举一反三：
【变式】如图，AD 是△ABC 的中线，过C 、B 分别作AD 及AD 的延长线的垂线CF 、BE.
求证：BE ＝CF.
【答案】
证明：∵AD 为△ABC 的中线
∴BD ＝CD
∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ， ∴∠BED ＝∠CFD ＝90°， 在△BED 和△CFD 中
BED CFD BDE CDF
BD CD ∠=∠??
∠=∠??=?
（对顶角相等） ∴△BED ≌△CFD （AAS ） ∴BE ＝CF
3、已知：如图，AC 与BD 交于O 点，AB ∥DC ，AB ＝DC ． （1）求证：AC 与BD 互相平分；
（2）若过O 点作直线l ，分别交AB 、DC 于E 、F 两点，
求证：OE ＝OF.
证明：∵AB ∥DC ∴∠Ａ＝∠Ｃ
在△ABO 与△CDO 中
A C (AO
B COD ∠∠??
∠∠???
＝＝对顶角相等） AB=CD
∴△ABO ≌△CDO （AAS ） ∴AO ＝CO ，BO=DO 在△AEO 和△CFO 中
A C (AOE COF ∠∠??
??∠∠?
＝AO=CO
＝对顶角相等） ∴△AEO ≌△CFO （ASA ） ∴OE ＝OF.
一、选择题
1. 能确定△ABC ≌△DEF 的条件是 （ ） A ．AB ＝DE ，BC ＝EF ，∠A ＝∠E B ．AB ＝DE ，BC ＝EF ，∠C ＝∠E C ．∠A ＝∠E ，AB ＝EF ，∠B ＝∠D D ．∠A ＝∠D ，AB ＝DE ，∠B ＝∠E
2．如图，已知△ABC 的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC
全等的图形是 （ ）
图4－3
A ．甲和乙
B ．乙和丙
C ．只有乙
D ．只有丙
3．AD是△ABC的角平分线，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，下列结论错误的是（）
A．DE＝DF B．AE＝AF C．BD＝CD D．∠ADE＝∠ADF 4．如图，已知MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，下列条件不能判定△ABM≌△CDN 的是（）
A．∠M＝∠N B．AB＝CD C．AM＝CN D．AM∥CN
6．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下面结论中错误的是（）
A．△ADC≌△BCD B．△ABD≌△BAC
C．△ABO≌△CDO D．△AOD≌△BOC
二、填空题
7. 如图,∠1＝∠2，要使△ABE≌△ACE，还需添加一个条件是.
(填上你认为适当的一个条件即可).
8. 在△ABC和△'''
A B C中，∠A＝44°，∠B＝67°，∠'C＝69°，∠'B＝
44°，且AC＝''
B C，则这两个三角形_________全等.（填“一定”或“不
一定”）
9. 已知，如图，AB∥CD，AF∥DE，AF＝DE，且BE＝2，BC＝10，则EF＝
________.
11. 如图, 已知：∠1 ＝∠2 , ∠3 ＝∠4 , 要证BD ＝CD , 需先证△AEB ≌△AEC , 根
据是，再证△BDE ≌△，根据是．
12. 已知:如图，∠B ＝∠DEF ，AB ＝DE ，要说明△ABC ≌△DEF ， （1）若以“ASA ”为依据，还缺条件 （2）若以“AAS ”为依据，还缺条件
（3）若以“SAS ”为依据，还缺条件
三、解答题
13．阅读下题及一位同学的解答过程：如图，AB 和CD 相交于点O ，且OA ＝OB ，∠A ＝∠C ．那么△AOD 与△COB 全等吗若全等，试写出证明过程；若不全等，请说明理由．
答：△AOD ≌△COB ．
证明：在△AOD 和△COB 中，
??
?
??∠=∠=∠=∠),(),(),(对顶角相等已知已知COB AOD OB OA C A
∴ △AOD ≌△COB （ASA ）．
问：这位同学的回答及证明过程正确吗为什么
14. 已知如图，E 、F 在BD 上，且AB ＝CD ，BF ＝DE ，AE ＝CF ，求证：AC 与BD 互相平分.
15. 已知：如图, AB∥CD, OA ＝ OD, BC过O点, 点E、F在直线AOD上, 且AE ＝DF.
求证：EB∥CF.
要点一、判定直角三角形全等的一般方法
由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.
要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.
【典型例题】
类型一、直角三角形全等的判定——“HL”
1、已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．
求证：（1）AB＝CD：
（2）AD∥BC．
证明：（1）∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD＝∠CDB＝90°
在Rt △ABD 和Rt △CDB 中，
AD BC
BD DB
??=?＝
∴Rt △ABD ≌Rt △CDB （HL ）
∴AB ＝CD （全等三角形对应边相等） （2）由∠ADB ＝∠CBD ∴AD ∥BC . .
举一反三：
【变式】已知：如图，AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，AE ＝AB ，ED ＝AC ．
求证：ED ⊥AC ．
2、 判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，
全等的注明理由：
（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（ ） （2）一个锐角和斜边对应相等； （ ） （3）两直角边对应相等； （ ）
（4）一条直角边和斜边对应相等． （ ） 举一反三：
【变式】下列说法中，正确的画“√”；错误的画“×”，并举出反例画出图形.
（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．（ ） （2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．（ ） （3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等．（ ）
3、已知：如图，AC ＝BD ，AD ⊥AC ，BC ⊥BD ．
求证：AD ＝BC ；
证明：连接DC ∵AD ⊥AC ，BC ⊥BD ∴∠DAC ＝∠CBD ＝90° 在Rt △ADC 与Rt △BCD 中，
DC CD AC BD =???
＝
∴Rt △ADC ≌Rt △BCD （HL ）
∴AD ＝BC .（全等三角形对应边相等）
举一反三：
【变式】已知，如图，AC 、BD 相交于O ，AC ＝BD ，∠C ＝∠D ＝90° .
求证：OC ＝OD.
4、如图，将等腰直角三角形ABC 的直角顶点置于直线l 上，且过A ，B 两
点分别作直线l 的垂线，垂足分别为D ，E ，请你在图中找出一对全等
三角形，并写出证明它们全等的过程.
一、选择题
1．下列说法正确的是 （ ）
A ．一直角边对应相等的两个直角三角形全等
B ．斜边相等的两个直角三角形全等
C ．斜边相等的两个等腰直角三角形全等
D．一边长相等的两等腰直角三角形全等
3. 能使两个直角三角形全等的条件是( )
A.斜边相等
B.一锐角对应相等
C.两锐角对应相等
D.两直角边对应相等
5. 直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（）
A．形状相同B．周长相等C．面积相等D．全等
6. 在两个直角三角形中，若有一对角对应相等，一对边对应相等，则两个直角三角形（）
A.一定全等
B.一定不全等
C.可能全等
D.以上都不是
二、填空题
7．如图，BE，CD是△ABC的高，且BD＝EC，判定△BCD≌△CBE的依据是“______”．
8. 已知，如图，∠A＝∠D＝90°，BE＝CF，AC＝DE，则△ABC≌_______.
9. 如图，BA∥DC，∠A＝90°，AB＝CE，BC＝ED，则AC＝_________.
10. 如图，已知AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，EC⊥AC，AC＝EC，若DE＝2，AB ＝4，则DB＝______.
12. 如图，已知AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且BF＝AC，FD＝CD.则
∠BAD＝_______.
三、解答题
14. 如图，已知AB⊥BC于B，EF⊥AC于G，DF⊥BC于D，BC＝DF. 求证：AC＝EF.
15. 如图，已知AB＝AC，AE＝AF，AE⊥EC，AF⊥BF，垂足分别是点E、F.
求证：∠1＝∠2.