9.3 变量间的相关关系与统计案例
[知识梳理]
1．相关关系与回归方程
(1)相关关系的分类
①正相关：从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，如图1；
②负相关：从散点图上看，点散布在从左上角到右下角的区域内，如图2.
(2)线性相关关系：从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．
(3)回归方程
①最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做
最小二乘法．
②回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，
(x n ，y n )，其回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则b ^＝
i ＝1
n
(x i －x )(y i －y )
i ＝1
n
(x i －x )2
＝
∑i ＝1
n
x i y i －n x y
∑i ＝1
n
x 2
i －n x
2
，a
^＝y －b ^
x .其中，b ^是回归方程的斜率，a ^是在y 轴上的截距，x －＝1n ∑n i ＝1x i ，y －＝
1
n
∑n
i ＝1
y i ，(x －，y －
)称为样本点的中心．
说明：回归直线y ^＝b ^x ＋a ^
必过样本点的中心(x －，y －
)，这个结论既是检验所求回归直线方程是否准确的依据，也是求参数的一个依据．
(4)样本相关系数
r ＝
i ＝1n
(x i －x )(y i －y )
i ＝1n
(x i －x )2i ＝1
n (y i －y )2
，用它来衡量两个变量间的线性相关关系．
①当r >0时，表明两个变量正相关； ②当r <0时，表明两个变量负相关；
③r 的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性越强；r 的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常当|r |>0.75时，认为两个变
量有很强的线性相关关系．
2．独立性检验
(1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量．
(2)列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X 和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为
2×2列联表
构造一个随机变量K2＝
n(ad－bc)2
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
，其中n＝a＋b＋c＋d为样
本容量．
(3)独立性检验
利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．
[诊断自测] 1．概念思辨
(1)利用散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示．( ) (2)通过回归方程y ^＝b ^x ＋a ^
可以估计和观测变量的取值和变化趋势．( ) (3)事件X ，Y 关系越密切，则由观测数据计算得到的K 2的观测值越大．( ) (4)由独立性检验可知，有99%的把握认为物理成绩优秀与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀．( )
答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2．教材衍化
(1)(必修A3P 94A 组T 3)某种产品的广告费用支出x (单位：万元)与销售额y (单位：万元)之间有如下的对应数据：
由最小二乘法得到线性回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^
，则此直线一定经过点( ) A ．(5,60) B ．(5,50) C ．(6,50) D ．(8,70) 答案 B
解析 回归直线样本点的中心为(x －，y －)，而x －＝15×(2＋4＋5＋6＋8)＝5，y
－
＝1
5
×(30＋40＋60＋50＋70)＝50，所以回归直线一定经过点(5,50)．故选B. (2)(选修A1－2P 96T 2)通过随机询问72名不同性别的大学生在购买食物时是否看生产日期，得到如下列联表：
则有________的把握认为性别与是否读生产日期有关． 答案 99.5%
解析 由表中数据得k ＝
72×(16×8－20×28)2
36×36×44×28
≈8.416>7.879，所以可知有
99.5%的把握认为性别与是否读生产日期有关．
3．小题热身
(1)设回归方程为y ^
＝3－5x ，则变量x 增加一个单位时 ( )