运筹学实验指导
王吉权
东北农业大学工程学院
2008-8-21
实验一 线性规划
一、实验目的：安装WinQSB 软件，了解WinQSB 软件在Windows 环境下的文件管理操作，熟悉软件界面内容，掌握操作命令。用WinQSB 软件求解线规划。
二、内容要求：安装并启动软件，建立新问题，输入模型，求解模型，给出结果。
三、操作步骤：
1．将WinQSB 安装文件复制到本地硬盘；在WinQSB 文件夹中双击setup.exe 。
2．指定安装WinQSB 软件的目标目录（默认为C:\WinQSB ）。
3．安装过程需要输入用户名和单位名称（任意输入），安装完毕后，WinQSB 菜单自动生成在系统程序中。
4．熟悉WinQSB 软件子菜单内容及其功能，掌握操作命令。
5．求解线性规划。启动程序，点击开始→程序→WinQSB →Linear and Integer Programming 。
6．观赏例题。点击File →Load Problem →lp.lpp ，点击菜单栏Solve and Analyze 或点击工具栏中的图标用单纯形法求解，观赏一下软件用单纯形法迭代步骤。用图解法求解，显示可行域，点击菜单栏Option →Change XY Ranges and Colors ，改变X1、X2的取值区域（坐标轴比例），单击颜色区域改变背景、可行域等8种颜色，满足你的个性选择。
7．实例操作。
计算下面的问题：
例：某商场决定：营业员每周连续工作5天后连续休息2天，轮流休息。根据统计，商场每天需要的营业员如下表所示。商场人力资源部应如何安排每天的上班人数，使商场总的营业员最少。
星 期 需要人数 星 期 需要人数
一 300 五 480
二 300 六 600
三 350 日 550
四 400 解：设为休息2天后从星期一到星期日开始上班的营业员数量，则这个问题的线性规划模型为：
)7,6,5,4,3,2,1(=j x j 7654321min x x x x x x x z ++++++=
?????????????=≥≥++++≥++++≥++++≥++++≥++++≥++++≥++++7,,2,1,0550
600480400350300300..765436543254321
74321763217652176541L j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s j
（1）建立新问题、输入选项（电子表格Spreadsheet Matrix Form 或标准形式normal model form 、变量取非负连续）、输入数据、存盘、求解模型、结果存盘。
（2）将所有变量取非负整数、求解、观察结果、存盘、打印窗口、打印结果；
（3）将电子表格格格式转换成标准模型；
（4）分析结果，从星期一到星期日每天安排多少营业员上班和休息，商场共需多少营业员，哪几天营业员有剩余，并对结果提出你的看法；
（5）将结果复制到Excel 或Word 文档中。
附录：
WinQSB 软件应用
下面结合例题介绍WinQSB 软件求解LP 的操作及应用
例1．27 用WinQSB 软件求解下列LP
???????????≥≤≤≥?≥?=++≥?+?≤++++++=无约束
4321341
21321432143214
321,0,201000
307150
258260962..756max x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x z 解 说明：WinQSB 软件求解LP 不必化为标准型，如果是可以线性化的模型则先线性化，如绝对值约束、)45,3min(43121x x x x x Z +++=、等情形必须先线性化。对于有界变量及无约束变量可以不转化，只要修改系统变量类型即可，对于不等式约束可以在输入数据时直接输入不等式，如符号，输入>、=>及>=任何一种都是等价的。本例中，变量数为4，约束数为5，等6个约束由系统自动生成。
)2,min(max 21x x Z =≥
（1）启动线性规划（LP ）和整数规划（ILP ）程序。点击开始→程序→WinQSB →Linear and Integer Programming ，屏幕显示如图1-1所示的线性规划和数据规划工作界面。
注意：菜单栏、工具栏和格式栏随主窗口内容变化而变化。
图1-1 线性规划和整数规划的工作界面
（2）建立新问题或打开磁盘中已有的文件。按图1-1所示操作建立或打开一个LP 问题，或点击File →New Proble 建立新问题。点击File →Load Problem 打开磁盘中的数据文件，LP 程序自动带后缀为“.LPP”的3个典型例题，供学习参考，在你求解一个线性规划之前可以先打开例题，了解一下求解LP 的工作界面布局。点击File →New Problem ，出现图1-3所示的问题选项输入界面。
图1-2 建立新问题
（3）输入数据。在选择数据输入格式时，选择Spreadsheet Matrix Form 则以电子表格形式输入变量系数矩阵和右端常数矩阵，是固定格式，如图1-3所示。选择Normal Mode Form 则以自由格式输入标准模型，如图1-5所示。
1．输入标题
1．输入变量数1．输入约束数
1．选择变量类型
1．选择目标函数准则1．选择输入数据格式
图1-3 电子表格数据输入格式
（4）修改变量类型。图1-2中给出了非负连续、非负整数、0-1型和无符号限制或无约束4种变量类型选项，当选择了某一种类型后系统默认所有变量都属该种类型。在例1.27中，20103≤≤x ，直接将列中的下界（Lower Bound ）改为10，上界（Upper Bound ）改为20。无约束可以通过双击类型改变，M 是一个任意大的正数，如图1-3及图1-4所示。
3x 4x
图1-4 修改变量类型、上下界和约束符号
图1-5 标准模型输入格式
（5）修改变量名和约束名。系统默认变量名为X1，X2，…，Xn，约束名为C1，C2，…，Cm。如果你对默认名不满意可以进行修改，点击菜单栏Edit后，下拉菜单有四个修改选项：修改标题名（Problem Name）、变量名（Variable Name）、约束名（Constraint Name）和目标函数准则（max或min）。WinQSB支持中文，可以输入中文名称。
（6）求解。点击菜单栏Solve and Analyze，下拉菜单有三个选项：求解不显示迭代过程（Solve the Problem）、求解并显示单纯形迭代步骤（Solve and Display Steps）及图解法（Graphic Method，限两个决策变量）。如选择Solve the Problem，系统直接显示求解的综合报告如表1-1所示，表中的各项含义见表1-2。LP有最优解或无最优解（无可行解或无界解），系统会给出提示。
表1-1 最优解综合报告表
表1-2 LP常用术语词汇及其含义
常用术语含义
Alternative solution exists 存在替代解，有多重解
Basic and Nonbasic Variable 基变量和非基变量
Basis 基
Basis status 基变量状态，提示是否为基变量
Branch-and-Bound Method 分支定界法
Cj-Zj 检验数
Combined Report 组合报告
Constraint Summary 约束条件摘要
Constraint 约束条件
Constraint Direction 约束方向
Constraint Status 约束状态
Decision Variable 决策变量
Dual Problem 对偶问题
Entering Variable 入基（进基）变量
Feasible Area 可行域
Feasible Solution 可行解
Infeasible 不可行
Infeasibility Analysis 不可行性分析
Leaving Variable 出基变量
Left-hand Side 左端
Lower or Upper Bound 下界或上界
Minimum and Maximum Allowable Cj 最优解不变量时，价值系数允许变化范围Minimum and Maximum Allowable
最优基不变时，资源限量允许变化范围RHS
Objective Function 目标函数
Optimal Solution 最优解
Parametric Analysis 参数分析
Range and Slope of Parametric Analysis 参数分析的区间和斜率
Reduced Cost 约简成本（价值），检验数，即当非基变
量增加一个单位时目标函数的改变量Range of Feasibility 可行区间
Range of Optimality 最优区间
Relaxed Problem 松驰问题
Relaxed Optimum 松驰最优
Right-hand Side 右端常数
Sensitivity Analysis of OBJ Coefficients 目标函数系数的灵敏度分析
Sensitivity Analysis of
右端常数的灵敏度分析
Right-Hand-Sides
Shadow Price 影子价格
Simplex Method 单纯形法
Slack, Surplus or Artificial Variable 松驰变量、剩余变量或人工变量Solution Summary 最优解摘要
Subtract(Add) More Than This Form
减少（增加）约束系数，调整工艺系数
A(i,j)
Total Contribution 总体贡献，目标函数CjXj的值Unbounded Solution 无界解
由表1-1得到例 1.27的最优解为X=（1.4286，0，20，-98.5174），最优值Z=-661.4285。由表1-1第6行提示Alternate Solution exists知原LP有多重解。
（7）结果显示及分析。点击菜单栏result或点击快捷方式图标，存在最优解时，下拉菜单有1）~9）共9个选项，无最优解时有10）和11）两个选项。
1）只显示最优解（Solution Summary）。
2）约束条件摘要（Constraint Summary），比较约束条件两端的值。
3）对目标函数系进行灵敏度分析（Sensitivity Analysis of OBJ）。
4）对约束条件右端常数进行灵敏度分析（Sensitivity Analysis of RHS ）。
5）求解结果组合报告（Combined Report ），显示详细综合分析报告。
6）进行参数分析（Perform Parametric Analysis ），某个目标函数系统或约束条件右端常数带有参数，计算出参数的变化区间及其对应的最优解，属参数规划内容。
7）显示最后一张单纯形表（Final Simplex Tableau ）。
8）显示另一个基本最优解（Obtain Alternate Optimal ），存在多重解时，系统显示另一个基本最优解，然后对基本最优解凸组合可以得到最优解的通解。注意：例1.27虽然显示有多重解，但对4个决策变量来说是惟一解，这里的多重解是指
中的，具有多重解。读者可用下面的例1.19演示。 ''4
'44x x x ?='4x ''4x 【例1.19】求解线性规划
2142max x x z +=
???????≥≤?≤+≤+?0
,2
1024221212121x x x x x x x x 9）显示系统运算时间和迭代次数（Show Run Time and Iteration ）。
10）不可行性分析（Infeasibility Analysis ）LP 无可行解时，系统指出存在无可行解的原因，例如将例1.27的第5个约束改为043≤?x x ，系统显示无可行解并且显示：
说明第5个约束不能小于等于零，右端常数至少等于117.1429才可行。
11）无界性分析（Unboundedness Analysis ），LP 存在无界解时，系统指出存在无界解的可能原因。例如将目标函数系统74=c 74?=c 改为，系统显示无界解并且显示：
提示改变第2个约束方向，添加、减少或改变约束系统等。
12）保存结果。求解后将结果显示在顶层窗口，点击Files →Save As ，系统以文本格式存储计算结果，还可以打印结果、打印窗口。
13）将计算表格转换成Excel 表格。先清空剪贴板，在计算结果界面中点击Files →Copy to Clipboard ，系统将计算结果复制到剪贴板，再粘贴到Excel 表格中即可。
（8）单纯形表。选择求解并显示单纯形法迭代步骤，系统显示初始单纯形表1-3。可以看出，系统将X4无约束改写成X4-Neg_X4，即两个非负变量之差。
20103≤≤x 101003≤?≤x 系统将改写成C6：，令，则有
，将代入约束条件并整理，表1-3中的实际上是，如约束C1
103'3?=x x 3x 10'3≤x 10'33+=x x '3x X1+2X2+6（X3+10）+9X4-9Neg_X4+Slack_C1=260
整理后得到表1-3第一行(Slack_C1)。
约束C1，C4，C5，C6加入4个松驰变量Slack_C1，Slack_C4，Slack_C5及Slack_CB_X3，约束C2减去剩余变量Surplus_C2，然后C2与C3加入2个人工变量Artificial_C2和Artificial_C3，共6个约束12变量。
表1-3最后两行为检验数，如X1的检验数C （1）-Z （1）*BigM=6-15M 。选项X1进基，表1-3最后一列为比值（Ratio ），变量Artificial_C3出基，主元Ａ（３，１）＝７。
下一步点击菜单栏Simplex Iteration 选择Next Iteration 继续迭代，还可以人工选择进基变量，或直接显示最终单纯形表。
（9）模型形式转换。点击菜单栏Format →Switch to Normal Model Form ，将图1-4电子表格转换成图1-5的模型形式，再点击一次将转换成图1-4的电子表格。
（10）写出对偶模型。点击菜单栏Format →Switch to Dual Form ，系统自动给出线性规划的对偶模型，再点击一次将给出原问题模型。
实验二 对偶理论
一、实验目的：掌握WinQSB 软件写对规划，灵敏度分析和参数分析的操作方法。
二、内容和要求：用WinQSB 软件完成下列问题
321324x x x MaxZ ++= 利润
???????≥≤++≤++≤++0,,3120
232100631100422..321321321321x x x x x x x x x x x x t s 约束材料约束材料约束材料
1、 写出对偶线性规划，变量用y 表示。
2、 求原问题及对偶问题的最优解。
3、 分别写出价值系数c j 及右端常数的最大允许变化范围。
4、 目标函数系统改为C=（5，3，6），常数改为b=（120，140，100），求最
优解。
5、 增加一个设备约束20056311≤++x x x 和一个变量，系统为
4x )2,1,4,5,7(),,,,(443424144=a a a a c ，求最优解。
6、 在第5问的模型中删除材料2的约束，求最优解。
7、 原模型的资源限量改为，分析参数的变
化区间及对应解的关系，绘制参数与目标值的关系图。
T
b )120,3100,100(μμμ?++=三、操作步骤：
1、启动线性规划与整数规划程序（Linear and Integer Programming ），建立新问题，输入数据并存盘。
2、点击Format →Switch to Dual Form ，点击Format →Switch to Normal Model Form ，点击Edit →Variable Name,分别修改变量。
i y 3、再求一次对偶返回到原问题，求解模型显示最优解。查看最优表中影子价格（Shadow Price ）对应的数据，写出对偶问题的最优解。
4、在综合分析报告表中查找Allowable min(max)对应列，写出价值系数及右端常数的允许变化范围。
5、修改模型数据并求解。
6、点击Edit →Insert a Constraint 插入一个约束，点击Edit →Insert a
Variable 插入一个变量，求解。
7、点击Edit →Delete a Constraint ，选择要删除的约束C2，求解。
8、对原问题求解后，点击Results →Perform Parametric Analysis ，在参数分析对话框中选择右端（RHS ），输入参数的系统（1，3，-1），求解后写出（或打印）参数分析结果。
9、点击Results →Graphic Parametric Analysis ，打印参数与目标值的关系图。
10、注意事项：7个问题是独立求解和分析，每个问题都是针对原线性规划分析和求解，每一步都必须回到原模型。技巧：做完一个问题后退出所有活动窗口，打开刚才保存的原问题文件。这样不必修改数据。 WinQSB 软件应用
下面以例题的形式介绍WinQSB 软件在对偶问题中的应用。
例1 已知线性规划
432142x x x x z +++=max
?????????=≥≤+++≤++≤+++≤++4
32104038520
43430746155934321
4324321431,,,,j x x x x x x x x x x x x x x x j （1）写出对偶线性规划，变量用y 表示；
（2）求原问题及对偶问题的最优解；
（3）分别写出价值系数c j 及右端常数的最大允许变化范围；
（4）目标函数系数改为C=（4,2,6,1），同时常数改为b=(20,40,20,40)，求最优解；
（5）删除第四个约束同时删除第三个变量，求最优解；
（6）增加一个变量x 5，系数为（c 5,a 15,a 25,a 35,a 45）=(6,4,2,3)，求最优解；
432114321x x x x Z )()()(max μ?++μ++μ+=（7）目标函数为，分析参数的变化区间及对应解的关系，绘制参数与目标值的关系图。
解：启动线性规划与整数规划程序（Linear and Integer Programming ），建立新问题，取名为例1，输入数据得到表2-1，存盘。
表
2-1
（1）点击Format →Switch to Dual Format,得到对偶问题的数据表，点击Format →Switch to Normal Model Format ，得到对偶模型，点击Edit →Variable Name ，分别修改变量名（见图2-1），“回车”后得到以y 为变量名的对偶模型，如图2-2所示。
图2-1 图2-2
（2）再求一次对偶返回到原问题，求解模型显示最优为X=（2,4.25,1,0），最优值Z=14.5。查看最优表中影子价格（Shadow Price）对应列的数据就是对偶问题的最优解为Y=（0.2833,0.025,0.475,0），见到表2-2。还可例用下面的性质求出，即：线性规划的检验数的相反数对应于对偶规划的一组基本解，其中第j个决策变量x j的检验数的相反数据对应于对偶问题中第j个松驰变量y j的解，第i个松驰变量x i的检验数的相反数对应于第i个对偶变量y i的解。
表2-2 最优解详细综合分析报告
（3）由表2-2最后两列价值系数c j（j=1,2,3,4）最大允许变化范围分别是
[0.8333,4.1667],[1.333,5.7778],[1.1667,4.5],[-∞,3.4917]
右端常数b i (i=1,2,3,4)的最大允许变化范围分别是
[5,27.4719],[16.6667,50],[0,33.3333],[30.75,+∞]
（4）直接修改表2-1的数据，求解后得到最优解为X=（3.6667,4.25,1,0），最优值Z=29.1667。
（5）将数据修改回原问题，点击Edit→Delete a Contraint，选择要删除的约束
C4，OK。点击Edit→Delete Variable，选择要删除的变量X3，OK。得到表2-3所示的模型，求解得到最优解X=（1.6667,5,0），最优值Z=11.6667。
表2-3
（6）返回到原问题数据表，点击Edit→Insert a Variable显示图2-3，选择变量名和变量插入的位置，在显示的电子表中输入数据（6,5,4,2,3），得到最优解为X=（0,3.5,0,0,3），最优值Z=25。
图2-3
（7）返回到原问题数据表，先求解。目标函数系数由两部分构成，记住参数μ的系数（1,3,0,-1）。点击Result→Perform Parametric Analysis。，在图2-4（a）中选择目标函数（Objective Function），在图2-5(b)中输入参数μ的系数，确定后显示表2-4。如果对右端常数进行参数分析则选择RHS。
表2-4
（a）(b)
图2-4
由表2-4知，将参数μ分成6个区间讨论，在不同区间显示了目标函数值的变化区间及其变化率（Slope），出基变量和进基变量（Leave Variable Entering Variable）。点击Result→Graphic Parametric Analysis，显示图2-5。
图2-5
表2-4没有显示参数在区间内的最优解，这是因为最优解是参数μ的函数，只有给定了具体参数值才能得到具体的最优解。利用表2-4和图2-5可以作许多决策活动分析。
第二章线性规划 教学目的和要求： 目的：使学生具备线性规划的基本知识以及应用线性规划的基本能力。 要求：理解线性规划概念，标准型，解的概念，基本定理；掌握单纯形法，人工变量法，了 解图解法。 重点：线性规划标准型，解的概念，单纯形法，人工变量法。 难点：线性规划基本定理，单纯形法。 教学方法：讲授法，习题法。 学时分配：12学时 作业安排：见教材P 38. 线性规划是运筹学的一个重要分支。1939年苏联科学家康托罗维奇提出了生产组织和计划中的线性规划模型。1947年美国学者丹捷格(George B.Dantzig)提出了求解一般线性规划问题的方法。此后，线性规划理论日趋成熟，应用也日益广泛和深入。 第一节线性规划问题 一、问题的提出 在企业的生产经营活动中经常会面临这样两类问题：一是如何合理地利用有限的人力、物力、财力等资源，取得最佳的经济效果；二是在取得一定的经济效果的前提下，如何合理安排使用人力、物力、财力等资源，使花费的成本最低。 例1.生产计划问题 某工厂利用甲、乙、丙、丁四种设备生产A 、B 、C 三种产品，具体数据如下表所示。 A 、B 、C 单位产品的利润分别是4.5、5、7(百元)。问如何安排生产计划，才能使所获总利润最大？ 解：设产品A 、B 、C 产量分别为X 1,X 2,X 3件,Z 表示利润，要求总利润最大，即求Z=4.5X 1+5X 2+7X 3 的最大值，故记作极大化Z=4.5X 1+5X 2+7X 3，另外对甲、乙、丙、丁设备需满足2X 1+2X 2+4X 3≦800， X 1+2X 2+3X 3≦650，4X 1+2X 2+3X 3≦850，2X 1+4X 2+2X 3≦700；同时产量应非负，故X j ≧0 (j=1,2,3)； 以上问题可用数学模型表示为： 极大化Z=4.5X 1+5X 2+7X 3 满足 2X 1+2X 2+4X 3≦800 X 1+2X 2+3X 3≦650 4X 1+2X 2+3X 3≦850 2X 1+4X 2+2X 3≦700 X j ≧0 (j=1,2,3) 例2.运输问题 设某种物资有m 个产地；A 1,A 2, …,A m ,它们的产量分别为a 1,a 2, …,a m ,有n 个销地B 1,B 2, …,B n 需要这种物资，它们的销量分别为b 1,b 2, …,b n 。已知A i 到B j 的单位运价是C ij (i=1,2, …,m; j=1,2, …,n)。 设供销满足平衡条件，即 。 问怎样组织运输，才能满足要求，且使总运费最少？ ---- 7 5 4.5 单位利润 700 2 4 2 丁 850 3 2 4 丙 650 3 2 1 乙 800 4 2 2 甲 设备可供工时(h) C B A 产品 设备 ∑=∑==n 1j j b m 1i i a
《管理运筹学》实验报告 实验日期： 2016年 04月 21日—— 2016 年 05 月 18 日 班级2014级04班姓名杨艺玲学号56 实验 管理运筹学问题的计算机求解 名称 实验目的： 通过实验学生应该熟练掌握“管理运筹学”软件的使用，并能利用“管理运筹学”对具体问题进行问题处理，且能对软件处理结果进行解释和说明。 实验所用软件及版本： 管理运筹学 实验过程：（含基本步骤及异常情况记录等) 一、实验步骤（以P31页习题1 为例） 1.打开软件“管理运筹学” 2.在主菜单中选择线性规划模型，屏幕中会出现线性规划页面
3.在点击“新建”按钮以后，按软件的要求输入目标函数个数和约束条件个数，输入目标函数级约束条件的歌变量的系数和b值，并选择好“≤”、“≥”或“＝”，如图二所示，最后点击解决 4.注意事项： （1）输入的系数可以是整数、小数，但不能是分数，要把分数化为小数再输入。（2）输入前要合并同类项。 当约束条件输入完毕后，请点击“解决”按钮，屏幕上讲显现线性规划问题的结果，如图所示
5.输出结果如下
5.课后习题： 一、P31习题1 某家具公司生产甲、乙两种型号的组合柜，每种组合柜需要两种工艺（制白坯和油漆）.甲型号组合柜需要制白坯6工时，油漆8工时：乙型号组合柜需要制白坯12工时，油漆4工时.已知制白坯工艺的生产能力为120工时/天，油漆工艺的生产能力为64工时/天，甲型号组合柜单位利润200元，乙型号组合柜单位利润为240元. 约束条件： 问题： （1）甲、乙两种柜的日产量是多少这时最大利润是多少 答：由实验过程中的输出结果得甲组合柜的日产量是4个，乙的事8个。 （2）图中的对偶价格的含义是什么 答： 对偶价格的含义是约束条件2中，每增加一个工时的油漆工作，利润会增加元。 （3）对图中的常数项范围的上、下限的含义给予具体说明，并阐述如何使用这些信息。 答：当约束条件1的常数项在48~192范围内变化，且其他约束条件不变时，约束条件1的对偶价格不变，仍为；当约束条件2的常数项在40~180范围内变化，而其他约束条件的常数项不变时，约束条件2的对偶价格不然，仍为。 （4）若甲组合柜的利润变为300，最优解不变为什么 . 0,0,6448,120126; 240200 z max ≥≥≤+≤++=y x y x y x y x
运筹学实验报告(一) 实验要求：学会在Excel 软件中求解。 实验目的：通过小型线性规划模型的计算机求解方法。 熟练掌握并理解所学方法。 实验内容： 题目： 某昼夜服务的公交线路每天各时间区段内所需司机和乘务人员数如下； 设司机和乘务人员分别在各时间区段一开始上班，并连续工作八小时，问该公交线 路至少配备多少名司机和乘 务人员。列出这个问题的线 性规划模型。 解：设Xj 表示在第j 时间区段开始上班的司机和乘务人员数 班次 时间 所需人数 1 6:00-10:00 60 2 10:00-14:00 70 3 14:00-18:00 60 4 18:00-22:00 50 5 22:00-2:00 20 6 2:00-6:00 30
。 6-10 10-14 14-18 18-22 22-2 2-6 1 X1--- X1 2 X2--- X2 3 X3--- X3 4 X4--- X4 5 X5--- X5 6 X6 X6--- 60 70 60 50 20 30 所需人 数 Min z=x1+x2+x3+x4+x5+x6 St: x1+x6>=60 X1+x2>=70 X2+x3>=60 X3+x4>=50 X4+x5>=20 X5+x6>=30 Xj>=0,xj为整数， j=1,2,3,4,5,6
过程： 工作表[Book1]Sheet1 报告的建立: 2011-9-28 19:45:01 目标单元格(最小值) 单元格名字初值终值 $B$1 min 0 150 可变单元格 单元格名字初值终值 $B$3 x 0 45 $C$3 x 0 25 $D$3 x 0 35 $E$3 x 0 15 $F$3 x 0 15 $G$3 x 0 15 结果：最优解X=(45,25,35,15,15,15)T 目标函数值z=150 小结：1.计算机计算给规划问题的解答带来方便，让解答变得简洁；
一：实验目的 1）熟练掌握运筹学软件LINDO的相关使用操作 2）利用软件建立模型，解决最优值问题 二：实验内容，上机问题 （1）利用lindo软件，解决如下问题 一个资源利用问题的数学模型如下 MAX z=100x1+180x2+70x3 S.T. 40x1+50x2+60x3<=10000 3x1+6x2+2x3<=600 x1 <=130 x2 <=80 x3<=200 x1>=0 x2>=0 x3>=0 用LINDO软件包解之，并从LINDO的输出表中回答下列问题： （1）在现有资源的约束条件下，企业管理者应如何组织生产，使利润最大？ （2）为改善现状，以获取更大利润，管理者应该如何做？ （3）若希望增加某种资源的供应量，需支付额外费用，这笔费用应控制在什么范围内，对企业才是有利的？此时（即增加某些资源供应量，同时支付相应的额外费用），企业的总利润的增量是多少？ （2）对偶问题如下 MIN -10000 W1 + (-600) W2 + (-130) W3 + (-80) W4 + (-200) W5 S.T. -40 W1 + (-3) W2 + (-1) W3 <= -100 -50 W1 + (-6) W2 + (-1) W4 <= -180 -60 W1 + (-2) W2 + (-1) W5 <= -70 W1 >= 0 W2 >= 0 W3 >= 0 W4 >= 0 W5 >= 0 END 三.实验过程：介绍程序，分析结果得结论 1.建立模型如下
2.运行模型，分析如下 由图可知：最优值z=20003.8 3.分析结果如下
由图可知：最优解x1=130, x2=11.538462, x3=70.384613 4.对偶问题的模型建立如下
《运筹学》线性规划部分练习题 一、思考题 1.什么是线性规划模型，在模型中各系数的经济意义是什么？ 2 .线性规划问题的一般形式有何特征？ 3. 建立一个实际问题的数学模型一般要几步？ 4. 两个变量的线性规划问题的图解法的一般步骤是什么？ 5. 求解线性规划问题时可能出现几种结果，那种结果反映建模时有错误？ 6. 什么是线性规划的标准型，如何把一个非标准形式的线性规划问题转化成标准形式。 7?试述线性规划问题的可行解、基础解、基础可行解、最优解、最优基础解的概念及它们之间的相互关系。 8?试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上判别问题具有唯一最优解、有无穷多个最优解、无界解或无可行解。 9. 在什么样的情况下采用人工变量法，人工变量法包括哪两种解法？ 10. 大M法中，M的作用是什么？对最小化问题，在目标函数中人工变量的系数取什么？最大化问 题呢？ 11 ?什么是单纯形法的两阶段法？两阶段法的第一段是为了解决什么问题？在怎样的情况下，继续 第二阶段？ 二、判断下列说法是否正确。 1 .线性规划问题的最优解一定在可行域的顶点达到。 2 .线性规划的可行解集是凸集。 3. 如果一个线性规划问题有两个不同的最优解，则它有无穷多个最优解。 4. 线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的 范围一般将扩大。 5 .线性规划问题的每一个基本解对应可行域的一个顶点。 6. 如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。 7. 用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与j 0对应的变量都可以被 选作换入变量。 8 .单纯形法计算中，如不按最小非负比值原则选出换出变量，则在下一个解中至少有一 个基变量的值是负的。 9. 单纯形法计算中，选取最大正检验数k对应的变量x k作为换入变量，可使目 标函数值得到最快的减少。 10 . 一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形 表中删除，而不影响计算结果。 三、建立下面问题的数学模型 1 .某公司计划在三年的计划期内，有四个建设项目可以投资：项目I从第一年到 第三年年初都可以投资。预计每年年初投资，年末可收回本利120%，每年又可以重新将所获本利纳入投资计划；项目n需要在第一年初投资，经过两年可收回本利150% , 又可以重新将所获本利纳入投资计划，但用于该项目的最大投资额不得超过20万元；项目川需要在第二年年初投资，经过两年可收回本利160%，但用于该项目的最大投资额 不得超过15万元；项目"需要在第三年年初投资，年末可收回本利140%，但用于该项目的最大投资额不得超过10万元。在这个计划期内，该公司第一年可供投资的资金有 30万元。问怎样的投资方案，才能使该公司在这个计划期获得最大利润？ 2 .某饲养场饲养动物，设每头动物每天至少需要700克蛋白质、30克矿物质、 100克维生素。现有五种饲料可供选用，各种饲料每公斤营养成分含量及单 价如下表2—1所示：
《运筹学》线性规划部分练习题 一、思考题 1． 什么是线性规划模型，在模型中各系数的经济意义是什么？ 2． 线性规划问题的一般形式有何特征？ 3． 建立一个实际问题的数学模型一般要几步？ 4． 两个变量的线性规划问题的图解法的一般步骤是什么？ 5． 求解线性规划问题时可能出现几种结果，那种结果反映建模时有错误？ 6． 什么是线性规划的标准型，如何把一个非标准形式的线性规划问题转化成标准形式。 7． 试述线性规划问题的可行解、基础解、基础可行解、最优解、最优基础解的概念及它们之间的相互关系。 8． 试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上判别问题具有唯一最优解、有无穷多个最优解、无界解或无可行解。 9． 在什么样的情况下采用人工变量法，人工变量法包括哪两种解法？ 10．大M 法中，M 的作用是什么？对最小化问题，在目标函数中人工变量的系数取什么？最大化问题呢？ 11．什么是单纯形法的两阶段法？两阶段法的第一段是为了解决什么问题？在怎样的情况下，继续第二阶段？ 二、判断下列说法是否正确。 1． 线性规划问题的最优解一定在可行域的顶点达到。 2． 线性规划的可行解集是凸集。 3． 如果一个线性规划问题有两个不同的最优解，则它有无穷多个最优解。 4． 线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大。 5． 线性规划问题的每一个基本解对应可行域的一个顶点。 6． 如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。 7． 用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与0 >j σ对应的变量都可以被选作换入变量。 8． 单纯形法计算中，如不按最小非负比值原则选出换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值是负的。 9． 单纯形法计算中，选取最大正检验数k σ对应的变量k x 作为换入变量，可使目 标函数值得到最快的减少。 10． 一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果。 三、建立下面问题的数学模型 1． 某公司计划在三年的计划期内，有四个建设项目可以投资：项目Ⅰ从第一年到 第三年年初都可以投资。预计每年年初投资，年末可收回本利120% ，每年又可以重新将所获本利纳入投资计划；项目Ⅱ需要在第一年初投资，经过两年可收回本利150% ，又可以重新将所获本利纳入投资计划，但用于该项目的最大投资额不得超过20万元；项目Ⅲ需要在第二年年初投资，经过两年可收回本利160% ，但用于该项目的最大投资额不得超过15万元；项目Ⅳ需要在第三年年初投资，年末可收回本利140% ，但用于该项目的最大投资额不得超过10万元。在这个计划期内，该公司第一年可供投资的资金有30万元。问怎样的投资方案，才能使该公司在这个计划期获得最大利润？ 2．某饲养场饲养动物，设每头动物每天至少需要700克蛋白质、30克矿物质、 100克维生素。现有五种饲料可供选用，各种饲料每公斤营养成分含量及单 价如下表2—1所示：
《管理运筹学》实验报告 实验日期：2016年04月21日——2016年05月18日 实验目的： 通过实验学生应该熟练掌握“管理运筹学 3.0”软件的使用，并能利用“管理运筹学 3.0” 对具体问题进行问题处理，且能对软件处理结果进行解释和说明。实验所用软件及版本：管理运筹学3.0 实验过程：（含基本步骤及异常情况记录等―） 一、实验步骤（以P31页习题1为例） 1?打开软件“管理运筹学3.0” 2?在主菜单中选择线性规划模型，屏幕中会出现线性规划页面 3?在点击“新建”按钮以后，按软件的要求输入目标函数个数和约束条件个数，输入目标函数级约束条件的歌变量的系数和b值，并选择好“w”、“》”或“二”, 如图二所示，最后点击解决 班级2014级04班姓名杨艺玲学号2014190456实验 名称 管理运筹学问题的计算机求解 n 幵 目标的数 娈童个数约束条件个数 芙 遇出 保存解决关于
X 4?注意事项： (1)输入的系数可以是整数、小数，但不能是分数，要把分数化为小数再输入。 (2)输入前要合并同类项。 当约束条件输入完毕后，请点击“解决”按钮，屏幕上讲显现线性规划问题的结果, 如 图所示 D tiff 0% 关于遇出 变童个数约朿条件个数F目标的数3V 标淮北结杲: 上一曲
5.输出结果如下 me車最优解如下***#尊1林*祜除目标函数最优值知2?20 变1 最优解相差値 XI 4.00 0.00 X2 8.00 0100 釣束松弛颅11余变量对偶价格 01. 00 16. 5€ 0.00 13.33 目标函数系数范園: 娈1下限当前值上限 XI 120. 30 200.00430. 00 X2 100. 0D 240.00400.00 常数【页范園； 的束T眼当前值上限 143.00120 00152.00 240.00 64.00 160.00 5.课后习题： 一、P31习题1 某家具公司生产甲、乙两种型号的组合柜，每种组合柜需要两种工艺（制白坯和油漆）.甲型号组合柜需要制白坯6工时，油漆8工时：乙型号组合柜需要制白坯12工时，油漆4工时.已知制白坯工艺的生产能力为120工时/天，油漆工艺的生产能力为64工时/天，甲型号组合柜单位利润200元，乙型号组合柜单位利润为240 元. max z = 200x 240y; 约束条件：6x，12心2°, 8x +4y 兰64, x 一0, y -0. 问题： （1）甲、乙两种柜的日产量是多少？这时最大利润是多少？ 答：由实验过程中的输出结果得甲组合柜的日产量是4个，乙的事8个
让利益最大化 ——关于皇氏乳业加工奶制品的生产计划 摘要：如今乳制品的市场竞争越来越强，原料成本正在增加，为了提高皇氏乳业的竞争力，提高公司的利润，公司决定开发新产品，原料奶油及中老年奶粉。先对皇氏乳业的原料成本，生产时间，产品利润等做了一系列调查，建立了线性规划模型，在对模型求解并进行灵敏度分析后，给出具体的对策建议。 关键词：线性规划；生产成本；最优生产计划 一、问题的提出 经过调查，每一桶牛奶的生产成本和利润如下表： 每天至多加工50桶牛奶，机器最多使用480小时，至多加工100kg奶油A1。 （一）如何制定生产计划，使每天获利最大？ （二） 35元可以买到一桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少？ （三）可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元？ （四）奶油A1的获利增加到30元/公斤，是否改变生产计划？ 1.问题分析 首先，工厂的经济效益主要取决于原料，劳动时间，产品利润等，至于劳动机械磨损，工人熟练程度等，均不予考虑。所以我们主要研究原料成本，劳动时间，产品利润与工厂经济效益的关系。 2.数据的收集整理 对于奶油A1、奶粉A2的产量，询问工厂管理人员得知。 对于加工时间，可以通人力资源管理部门查询。 对于利润，通过近期一个月的销售成绩，综合分析得出。 二、运筹模型 1、模型的建立 设X1桶牛奶生产奶油A1，X2桶牛奶生产奶粉A2。
Maxz=72X1+64X2 St. X1+X2<=50 12X1+8X2<=480 3X1<=100 X1,X2>=0 2、模型的求解 应用EXCEL软件进行求解。 3、灵敏度分析 包括对于目标系数（桶数）变化的灵敏度分析结果表和对于约束条件，如原料供应，劳动时间，加工能力等变化的灵敏度分析结果表。 4、结果分析
2005年上半年高等教育自学考试全国统一命题考试 运筹学基础试题 （课程代号：2375） 第一部分选择题（共15分） 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题1分，共15分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.当线性规划问题的一个基解满足下列哪项要求时称之为一个可行基解？（C） A.大于0 B.小于0 C.非负 D.非正 2.下列说法正确的是（B） A.修正分配法是闭合回路法的基础 B.在判别某个方案是否最优时，修正分配法比闭合回路法简单 C.在判别某个方案是否最优时，修正分配法对所有空格寻求闭合的改进路线 D.所有运输问题都是供需相等的 3.对于总运输费用最小的运输问题，若已得最优运输方案，则其中所有空格的改进指数必（A） A.大于或等于0 B.小于或等于0 C.大于0 D.小于0 4.蒙特卡洛法是一个（D） A.随机数技术 B.排队技术 C.不确定决策技术 D.模拟技术 5.下列选项中结果为1的是（B） A.根据最大最大决策标准，每个方案在未来可能遇到最差的自然状态的概率值 B.根据最大最小决策标准，每个方案在未来可能遇到最差的自然状态的概率值 C.根据现实主义决策标准，每个方案在未来可能遇到最佳的自然状态的概率值 D.根据现实主义决策标准，每个方案在未来可能遇到最差的自然状态的概率值 6.下列说法正确的是（B） A.决策树是在不确定条件下进行决策的一种方法 B.决策树和贝叶斯标准都可以用在风险的条件下决策 C.期望利润标准就是现实主义决策标准 D.乐观主义决策标准和保守主义者的决策标准应用于同一决策问题时的答案往往是一致的 7.箭线式网络图的三个组成部分是（A） A.活动、线路和结点 B.结点、活动和工序 C.工序、活动和线路 D.虚活动、结点和线路 8.下列不属于 ．．．网络计划优化的内容是（A） A.成本优化 B.时间与资源优化 C.时间优化 D.时间与成本优化 9.设T=(t 1,t 2 ,……,t n )为概率向量，P=(p ij )n×n为概率矩阵，则当k→∞时，必有（C）
《管理运筹学》实验报告实验日期： 2016年 04月 21日—— 2016 年 05 月 18 日
3.在点击“新建”按钮以后，按软件的要求输入目标函数个数和约束条件个数，输入目标函数级约束条件的歌变量的系数和b值，并选择好“≤”、“≥”或“＝”，如图二所示，最后点击解决
4.注意事项： （1）输入的系数可以是整数、小数，但不能是分数，要把分数化为小数再输入。（2）输入前要合并同类项。 当约束条件输入完毕后，请点击“解决”按钮，屏幕上讲显现线性规划问题的结果，如图所示
5.输出结果如下
5.课后习题： 一、P31习题1 某家具公司生产甲、乙两种型号的组合柜，每种组合柜需要两种工艺（制白坯和油漆）.甲型号组合柜需要制白坯6工时，油漆8工时：乙型号组合柜需要制白坯12工时，油漆4工时.已知制白坯工艺的生产能力为120工时/天，油漆工艺的生产能力为64工时/天，甲型号组合柜单位利润200元，乙型号组合柜单位利润为240元. 约束条件： 问题： （1）甲、乙两种柜的日产量是多少？这时最大利润是多少？ 答：由实验过程中的输出结果得甲组合柜的日产量是4个，乙的事8个。 . 0,0,6448,120126;240200 z max ≥≥≤+≤++=y x y x y x y x
（2）图中的对偶价格13.333的含义是什么？ 答： 对偶价格13.333的含义是约束条件2中，每增加一个工时的油漆工作，利润会增加13.33元。 （3）对图中的常数项围的上、下限的含义给予具体说明，并阐述如何使用这些信息。 答：当约束条件1的常数项在48~192围变化，且其他约束条件不变时，约束条件1的对偶价格不变，仍为15.56；当约束条件2的常数项在40~180围变化，而其他约束条件的常数项不变时，约束条件2的对偶价格不然，仍为13.333。 （4）若甲组合柜的利润变为300，最优解不变？为什么？ 答：目标函数的最优值会变，因为甲组合柜的利润增加，所以总利润和对偶价格增加；甲、乙的工艺耗时不变，所以甲、乙的生产安排不变。 二、学号题 约束条件： 无约束条件 （学号）学号43214321432143214321 0 0,30 9991285376)(53432max x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z ≤≥≤-+-+≥-+-+=-++-+++=??????????????-≥?-?-?-?-?-7606165060~5154050~414 )30(40~313)20(30~21210 20~11 10~1）（学号）（学号）（学号学号学号）（学号不变学号规则
实验报告 课程名称：运筹学导论 实验名称：线性规划问题实例分析专业名称：信息管理与信息系统 指导教师：刘珊 团队成员：邓欣(20112111 蒋青青(20114298 吴婷婷(20112124 邱子群(20112102 熊游(20112110 余文媛(20112125 日期：2013-10-25 成绩：___________
1．案例描述 南部联盟农场是由以色列三个农场组成的联合组织。该组织做出了一个关于农场农作物的种植计划，如下： 每一个农场的农业产出受限于两个量，即可使用的灌溉土地量和用于灌溉的水量。数据见下表： 适合本地区种植的农作物包括糖用甜菜、棉花和高粱。这三种作物的差异在于它们每亩的期望净收益和水的消耗量不同。另外农业部门已经制定了南部联盟农场作物总亩数的最大配额，见下表： 作物的任何组合可以在任何农场种植，技术部门的任务是找出一个种植方案使南部联盟农场的净收益最大化。 2.建立模型 决策变量为Xi(i=1,2,……,9,表示每个农场每种作物的种植量。 MAX Z=1000(X1+X2+X3+750(X4+X5+X6+250(X7+X8+X9 约束条件： （1）每一个农场使用的土地 X1+X4+X7≤400
X2+X5+X8≤600 X3+X6+X9≤300 (2每一个农场的水量分布 3X1+2X4+X7≤600 3X2+2X5+X8≤800 3X3+2X6+X9≤375 (3每一种作物的总种植量 X1+X2+X3≤600 X4+X5+X6≤500 X7+X8+X9≤325 非负约束Xi≥0 , i=1,2, (9) 3.计算机求解过程 步骤1.生成表格 步骤2.输入数据
实验项目一线性规划 实验学时：2 实验目的：线性规划（Linear Programming，简写LP）是运筹学中最成熟的一个分枝，而且是应用最为广泛的一个运筹学分枝，是解决最优化问题的重要工具。而目前 Lindo/lingo 是求解线性规划比较成熟的一个软 件，通过本实验，掌握线性规划模型在 Lindo/lingo 中的求解，并能达到灵活运用。 实验要求：1.掌握线性规划的建模步骤及方法； 2.掌握Lindo/lingo 的初步使用； 3.掌握线性规划模型在Lindo/lingo 建模及求解； 4.掌握线性规划的灵敏度分析 实验内容及步骤： 例：美佳公司计划制造I、II 两种家电产品。已知各制造一件时分别占用设备A、B 的台时、调试时间、调试工序每天可用于这种家电的能力、各售出一件时的获利情况，如表1-1 所示。 1.问该公司应制造两种家电各多少件，使其获取的利润最大。 2. 如果资源出租，资源出租的最低价格至少是多少（即每种资源的影子价格是多少）。 3.若家电I 的利润不变，家电II 的利润在什么范围内变化时，则该公司的最优生产计划将不发生变化。 4. 若设备A 和B 每天可用能力不变，则调试工序能力在什么范围内变化时，问题的最优基不变。 解：设x1表示产品I 的生产量; x2表示产品II 的生产量,所在该线性规划的模型为：
从此线性规划的模型中可以看出，第一个小问是典型的生产计划问题，第二小问是相应资源的影子价格，第三和第四个小问则是此问题的灵敏度分析。 现在我们利用lingo8.0 来教你求解线性规划问题。 第一步，启动lingo 进入初始界面如下图1-1 和图1-2 所示： 第二步，在进行线性规划模型求解时，先要对初始求解方法及参数要进行设置，首先选择ling o 菜单下的Option 菜单项，并切换在general solver（通用求解器）页面下，如下图1-3所示：
运筹学实验报告 学院：安全与环境工程学院 姓名：侯小洁 学号：1350940109 专业：物流工程 班级：1301班 实验时间：5月6、8日 5月13、15日 5月20、22日
湖南工学院安全与环境工程学院 2015年5月 实验一线性规划 一、实验目的 1、理解线性规划的概念。 2、对于一个问题，能够建立基本的线性规划模型。 3、会运用Excel解决线性规划电子表格模型。 二、实验内容 线性规划的一大应用适用于联邦航空公司的工作人员排程，为每年节省开支超过600万美元。 联邦航空公司正准备增加其中心机场的往来航班，因此需要雇佣更多的客户服务代理商，但是不知道到底要雇用多少数量的代理商。管理层意识到在向公司的客户提供令人满意的服务水平的同时必须进行成本控制，因此，必须寻找成本与收益之间合意的平衡。于是，要求管理团队研究如何规划人员才能以最小的成本提供令人满意的服务。 分析研究新的航班时间表，以确定一天之中不同时段为实现客户满意水平必须工作的代理商数目。在表1.1最后一栏显示了这些数目，其中第一列给出对应的时段。表中的其它数据反映了公司与客户服务代理商协会所定协议上的一项规定，这一规定要求每一代理商工作8小时为一班，各班的时间安排如下： 轮班1：6:00AM～2:00PM
轮班2：8:00AM～4:00PM 轮班3：中午～8:00PM 轮班4：4:00PM～午夜 轮班5：10:00PM～6:00AM 表中打勾的部分表示这段时间是有相应轮班的。因为轮班之间的重要程度有差异，所以协议中工资也因轮班所处的时间而不同。每一轮班对代理商的补偿（包括收益）如最低行所示。问题就是，在最低行数据的基础上，确定将多少代理商分派到一天之中的各个轮班中去，以使得人员费用最小，同时，必须保证最后一栏中所要求的服务水平的实现 表1.1联邦航空公司人员排程问题的数据 轮班的时段 时段 1 2 3 4 5 最少需要代理商的数量 6:00AM～8:00AM √ 48 8:00AM～10:00AM √ √ 79 10:00AM～中午√ √ 65 中午～2:00PM √ √ √ 87 2:00PM～4:00PM √ √ 64 4:00PM～6:00PM √ √ 73 6:00PM～8:00PM √ √ 82 8:00PM～10:00PM √ 43 10:00PM～午夜√ √ 52 午夜～6:00AM √15
计算题一 1. 下列线性规划问题化为标准型。(10分) 123min +5-2Z x x x =- 123 123121236 23510 0,0,x x x x x x x x x x x +-≤-+≥+=≥≤符号不限 2. 写出下列问题的对偶问题 (10分) 123min 42+3Z x x x =+ 123123121234+56=7 891011121314 0,0x x x x x x x x x x x --+≥+≤≤≥无约束， 3. 用最小元素法求下列运输问题的一个初始基本可行解(10分) 4．某公司有资金10万元，若投资用于项目 (1,2,3)i i i x =的投资额为时，其收益分别为11122()4,()9,g x x g x x == 33()2,g x x =问应如何分配投资数额才能使总收益最大？(15分) 5． 求图中所示网络中的最短路。（15分） 计算题二 满足 满足
1、某工厂拥有A,B,C 三种类型的设备，生产甲、乙两种产品，每件产品在生产中需要使用的机时数，每件产品可以获得的利润，以及三种设备可利用的机时数见下表： 求：（1）线性规划模型；（5分） （2）利用单纯形法求最优解；（15分） 4. 如图所示的单行线交通网，每个弧旁边的数字表示这条单行线的长度。现在有一个人要从 1v 出发，经过这个交通网到达8v ，要寻求使总路程最短的线路。 （15分） 5. 某项工程有三个设计方案。据现有条件，这些方案不能按期完成的概率分别为0.5,0.7,0.9,
即三个方案均完不成的概率为0.5×0.7×0.9=0.315。为使这三个方案中至少完成一个的概率尽可能大，决定追加2万元资金。当使用追加投资后，上述方案完不成的概率见下表，问应如何分配追加投资，才能使其中至少一个方案完成的概率为最大。(15分) 计算题三 1、某工厂要制作100套专用钢架，每套钢架需要用长为2.9m , 2.1m , 1.5m的圆钢各一根。已知原料每根长7.4m ，现考虑应如何下料，可使所用的材料最省？ 产品甲产品乙设备能力/h 设备A 3 2 65 设备B 2 1 40 设备C 0 3 75 利润/(元/件) 1500 2500 求：（1 （2）将上述模型化为标准型（5分） 2、求解下列线性规划问题，并根据最优单纯形法表中的检验数，给出其对偶问题的最优解。（15分） 123 ax437 m z x x x =++ 123 22100 x x x ++≤ 123 33100 x x x ++≤ 123 ,,0 x x x≥ 3．断下表中方案是否可作为运输问题的初始方案，为什么？（10分） 4.用Dijkstra算法计算下列有向图的最短路。（15分） 追加投资 （万元） 各方案完不成的概率 1 2 3 1 2 0.50 0.30 0.25 0.70 0.50 0.30 0.90 0.70 0.40 满足
第二章 线性规划 主要内容：1、线性规划问题及数学模型 2、线性规划问题的解及其性质 3、图解法 4、单纯形法 5、大M 法和两阶段法 重点与难点：线性规划数学模型的建立：一般形成转化为标准型的方法：单纯形法的求解步骤。 要 求：理解本章内容，掌握本章重点与难点问题；深刻理解线性规划问题的基本概念、基本性质，熟练掌握 其求解技巧；培养解决实际问题的能力。 §1 线性规划的数学模型及解的性质 一、数学模型（一般形式） 例 1 已知某市有三种不同体系的建筑应予修建，其耗用资源数量及可用的资源限量如下表，问不同体系的面积应各建多少，才能使提供的住宅面积总数达到最大？ 解：设三种体系的建筑面积依次为1x ,2x ,3x 万平方米， 则目标函数为 321max x x x z ++= 约束条件为 ?? ?? ???????=≥≤++≤≤++≤++≤++3,2,10 4005.335.41470021015000 180190110200025301211000 122137105 3211321321321j x x x x x x x x x x x x x x j 例2 某工厂要安排生产甲、乙两种产品。已知：
问：如何安排两种产品的生产数量，才能使总产值最高？ 解：设 21,x x 分别为甲、乙两种产品的生产量： 则目标函数为 21127m ax x x z += 约束条件为??? ??? ?=≥≤+≤+≤+2,1,03001032005436049112121j x x x x x x x j 从以上两例可以看出，它们都属于一类优化问题。它们的共同特征： ①每一个问题都有一组决策变量（n x x x 21,）表示某一方案；这组决策变量的值就代表一个具体方案。一般这 些变量的取值是非负的。 ②存在一定的约束条件，这些约束条件可以用一组线性等式或不等式来表示。 ③都有一个要求达到的目标，它可用决策变量的线性函数（称为目标函数）来表示；按问题的不同，要求目标函数实现最大化或最小化。 满足以上三个条件的数学模型称为线性规划的数学模型。其一般形式为： 目标函数 n n x c x c x c z +++= 2211m ax (m in) 约束条件 ()()()????? ????=≥=≥≤+++=≥≤+++=≥≤+++n j x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a j m n mn m m n n n n ,,2,1,0,,,22112222212111212111 可行解：满足约束条件的一组决策变量，称为可行解。 最优解：使目标函数取得最大（小）值的可行解，称为最优解。 最优值：目标函数的最大（小）值，称为最优值。 二、标准型 （一）问题的标准形式： n n x c x c x c z +++= 2211ma x ????? ?? ??=≥=+++=+++=+++n j x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a j m n mn m m n n n n ,,2,1,022112222212111212111
《管理运筹学》实验报告
5. 输出结果如下 5.课后习题： 一、P31习题1 某家具公司生产甲、乙两种型号的组合柜，每种组合柜需要两种工艺（制白坯和油漆）.甲型号组合柜需要制白坯6工时，油漆8工时：乙型号组合柜需要制白坯12工时，油漆4工时.已知制白坯工艺的生产能力为120工时/天，油漆工艺的生产能力为64工时/天，甲型号组合柜单位利润200元，乙型号组合柜单位利润为240元. 约束条件： 问题： （1）甲、乙两种柜的日产量是多少？这时最大利润是多少？ 答：由实验过程中的输出结果得甲组合柜的日产量是4个，乙的事8个。 .0,0,6448, 120126; 240200 z max ≥≥≤+≤++=y x y x y x y x
（2）图中的对偶价格13.333的含义是什么？ 答： 对偶价格13.333的含义是约束条件2中，每增加一个工时的油漆工作，利润会增加13.33元。 （3）对图中的常数项范围的上、下限的含义给予具体说明，并阐述如何使用这些信息。 答：当约束条件1的常数项在48~192范围内变化，且其他约束条件不变时，约束条件1的对偶价格不变，仍为15.56；当约束条件2的常数项在40~180范围内变化，而其他约束条件的常数项不变时，约束条件2的对偶价格不然，仍为13.333。 （4）若甲组合柜的利润变为300，最优解不变？为什么？ 答：目标函数的最优值会变，因为甲组合柜的利润增加，所以总利润和对偶价格增加；甲、乙的工艺耗时不变，所以甲、乙的生产安排不变。 二、学号题 约束条件： 学号尾数：56 则： 约束条件： 无约束条件 （学号）学号43214321432143214321 0 0,30 9991285376)(53432max x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z ≤≥≤-+-+≥-+-+=-++-+++=无约束条件43214321432143214321 0 0,30 99912445376413432max x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z ≤≥≤-+-≥-+-=-++-+++=??????? ???????-≥?-?-?-?-?-76061 65060~5154050~414 )30(40~313 )20(30~21210 20~11 10~1）（学号）（学号）（学号学号学号）（学号不变 学号规则
全国2018年7月高等教育自学考试 运筹学基础试题 课程代码：02375 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题1分，共15分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.适宜使用特尔斐法的预测是（） A.短期定性预测 B.长期或中期定量预测 C.短期定量预测 D.长期或中期定性预测 2.属于预付成本的费用是（） A.广告费 B.研究和发展费用 C.保险金 D.动力费中的不变成分 3.设某产品的价格为10元/件，生产成本为8元/件，销售量为1000件，生产量为1200件，则该产品的总销售收入是（） A.8000元 B.9600元 C.10000元 D.12000元 4.预测的程序包括：a.确定预测的对象或目标；b.进行预测；c.选择预测方法；d.选择预测周期；e.收集有关资料。正确的先后顺序是（） A. abcde B. adceb C. aedcb D. acdbe 5.某高中毕业生选择报考大学的专业时，其决策环境属于（） A.确定性决策 B.风险条件下的决策 C.不确定条件下的决策 D.定量决策 6.在不确定条件下进行决策时，仅给定决策收益表，尚不能 ．．确定备选方案的是（） A.最大最大决策标准 B.现实主义决策标准 C.最大最小决策标准 D.最小最大遗憾值决策标准 7.在库存管理的ABC分析法中，对B类货物的管理可以（） A.严格一些 B.细致一些 C.粗略一些 D.放松一些 8.在下面的数学模型中，属于线性规划模型的为（） 1
2 ?????≥≤+=0Y ,X 3XY .t .s Y X 4S max .A ?? ???≥-≥-+=0 Y ,X 1Y X 2.t .s Y X 3S min .B ?? ???≥≤-+=0Y ,X 2Y X .t .s Y X S max .C 22 ?? ???≥≥+=0 Y ,X 3Y X .t .s XY 2S min .D 9.n 个点的不连通图，其边数（ ） A.必然少于n －1 B.必然等于n －1 C.必然多于n －1 D.可能多于n －1 10.若线性规划问题的最优解同时在可行解域的两个顶点处达到，那么该线性规划问题最优解为（ ） A.两个 B.零个 C.无穷多个 D.有限多个 11.确定最初的运输方案采用的方法被称作（ ） A.阶石法 B.西北角法 C.迭代法 D.修正分配法 12.求运输问题的解就是求满足要求的（ ） A.各供应点到各需求点的运费 B.总运费 C.各供应点到各需求点的运量 D.总运量 13.箭线式网络图中的结点（ ） A.不占用时间，也不消耗资源 B.占用时间,但不消耗资源 C.不占用时间，但消耗资源 D.占用时间，也消耗资源 14.已知某一活动i →j 开始的最早时间ES i,j =3，该活动的作业时间为5，则结点j 的最早完成时间EF i,j 为（ ） A.8 B.6 C.3 D.2 15.马尔柯夫过程中，如果下一时刻的状态可以根据与它紧接的前一时刻的状态推算出来，这种转换需要依据（ ） A.概率向量 B.概率矩阵 C.概率分布 D.线性方程组 二、填空题(本大题共10小题，每小题1分，共10分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 16.蒙特卡洛方法是应用_________进行模拟试验的方法。 17.设某种产品市场占有率的转换概率矩阵为常数矩阵P ，对充分大的n ，矩阵P n 就会变成_________。
第二章 31．某地区前三个年度的茶叶销售量的实际值见下表。此外，根据专家估计，第一年度的销售量预测值为350千克。 27．已知某厂2000至2003的利润如表所示，2000年专家的预测值为2450万元，平滑系数，试用指数平滑法，预测该厂2004年的利润。 年份2000 2001 2002 2003 利润（万元） 2350 3210 4020 4510 31.取(单位：吨) 试推算1，2月份的实际产量(保留两位小数) 31.某企业欲根据其产品前6 个月的售价x(单位：万元)和销售量y(单位：吨)用一元线性回归法预测第7 个月的销售量。现通过对前6 个月的资料整理，得Σxi=27,Σyi=71，回归方程斜率b=-2.03。若预计第7 个月售价为6.5 万元，试预测第7 个月销售量(保留两位小数)。 31.某商品前三个月度的售价实际值见题31表。此外，根据专家估计，第一月度的售价预测值为7500元。试用指数平滑法，取α=0.9 31.某企业要对其生产的某种产品的售价进行预测，已知市场上同类商品的售价分别为125元，127元，135元，138元，140元。 (1) 试用加权平均数法进行价格预测。 32．为研究某一化学反应过程中温度x(℃)对产品得率y(%)的影响，测得一组数据，经加工整理后，得到=145(℃), =67.3(%)。又已知回归直线在y轴上的截距为-2.74。试据此用一元线性回归法估计当温度为125℃时的产品得率(保留两位小数)。 31.某手机制造商推出一款新型手机，通过市场调研，发现功能相近的5种其他品牌手机的价格和销售量如题31表： 题31表 为保证该款手机有较大的市场占有率，同时又有较高的销售收入，厂商决定采用加权横向比较法为手机定价，试求其价格。 33．某商店统计了最近5个季度某商品的进价与售价数据，具体数据列题33表（单位：元）如下： 题33表 现希望利用一元线性回归模型预测法来预测第6个季度的售价。已知：该季度的预计进价为15元。