数列和不等问题（教师版）
一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理）
例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设1
1
+=
n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：21 解：（1）由已知得2)1(4+=n n a S ，2≥n 时，211)1(4+=--n n a S ，作差得： 12 12224----+=n n n n n a a a a a ，所以0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，又因为{ }n a 为正数数列，所以21=--n n a a ，即{}n a 是公差为2的等差数列，由1211+=a S ，得11=a ，所以12-=n a n （2）)1 21 121(21)12)(12(111+--=+-== +n n n n a a b n n n ，所以 2 1)12(2121)1211215131311(21<+-=+---+-= n n n B n 真题演练1：(06全国1卷理科22题)设数列{}n a 的前n 项的和,1412 2333 n n n S a += -?+，1,2,3,n = （Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；（Ⅱ）设2n n n T S =，1,2,3,n = ，证明：1 3 2n i i T =<∑. 解: (Ⅰ)由 S n =43a n －13×2n+1+23, n=1,2,3，… , ① 得 a 1=S 1= 43a 1－13×4+2 3 所以a 1=2 再由①有 S n －1=43a n －1－13×2n +2 3 , n=2,3，4,… 将①和②相减得: a n =S n －S n －1= 43(a n －a n －1)－13 ×(2n+1－2n ),n=2,3, … 整理得: a n +2n =4(a n －1+2n －1),n=2,3, … , 因而数列{ a n +2n }是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : a n +2n =4×4n －1= 4n , n=1,2,3, …, 因而a n =4n －2n , n=1,2,3, …, (Ⅱ)将a n =4n －2n 代入①得 S n = 43×(4n －2n )－13×2n+1 + 23 = 1 3×(2n+1－1)(2n+1－2) = 2 3 ×(2n+1－1)(2n －1) T n = 2n S n = 32×2n (2n+1－1)(2n －1) = 32×(12n －1 － 12n+1－1) 所以, 1 n i i T =∑ = 321 ( n i =∑12i －1 － 12i+1－1) = 32×(121－1 － 11 21 n +-) < 32 二．先放缩再求和 1．放缩后成等比数列，再求和 例2．等比数列{}n a 中，11 2 a =-，前n 项的和为n S ，且798,,S S S 成等差数列． 设n n n a a b -=12 ，数列{}n b 前n 项的和为n T ，证明：1 3n T <． 解：∵9789A A a a -=+，899A A a -=-，899a a a +=-，∴公比981 2 a q a = =-． ∴n n a )2 1 (-=． n n n n n n b 231 )2(41)2 1(141?≤ --= --= ． （利用等比数列前n 项和的模拟公式n n S Aq A =-猜想） ∴n n b b b B ++=2131)211(312 11) 211(213123123123122<-=--? =?++?+?≤n n ． 真题演练2：(06福建卷理科22题)已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈ （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）若数列{}n b 滿足12111*444(1)()n n b b b b n a n N ---=+∈ ，证明：数列{}n b 是等差数列； （Ⅲ）证明：*122311...()232 n n a a a n n n N a a a +-<+++<∈. （I ）解：*121(),n n a a n N +=+∈ 112(1),n n a a +∴+=+{}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列 12.n n a ∴+=即 2*21().n a n N =-∈ （II ）证法一：1211144...4(1).n n k k k k n a ---=+ 12(...)42.n n k k k n nk +++-∴= 122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ① 12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ② ②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+- 即1(1)20,n n n b nb +--+=21(1)20.n n nb n b ++-++= ③－④，得 2120,n n n nb nb nb ++-+= 即 2120,n n n b b b ++-+=*211(),n n n n b b b b n N +++∴-=-∈{}n b ∴是等差数列 （III ）证明： 1121211 ,1,2,...,,1212 2(2)2 k k k k k k a k n a ++--==<=-- 12231 (2) n n a a a n a a a +∴ +++< 111211111111.,1,2,...,,2122(21)2 3.222232 k k k k k k k k a k n a +++-==-=-≥-=--+- 1222311111111 ...(...)(1),2322223223 n n n n a a a n n n a a a +∴ +++≥-+++=-->- *122311...().232 n n a a a n n n N a a a +∴-<+++<∈ 2．放缩后为“差比”数列，再求和 例3．已知数列{}n a 满足：11=a ，)3,2,1()21(1 =+=+n a n a n n n ．求证：1 121 3-++-≥>n n n n a a 证明：因为n n n a n a )21(1+=+，所以1+n a 与n a 同号，又因为011>=a ，所以0>n a ， 即02 1>=-+n n n n a n a a ，即n n a a >+1．所以数列{}n a 为递增数列，所以11=≥a a n ， 即n n n n n n a n a a 221≥=-+，累加得：1 21 212221--+++≥-n n n a a ． 令12212221--+++= n n n S ，所以n n n S 2 1 22212132-+++= ，两式相减得： n n n n S 212121212121132--++++=- ，所以1212-+-=n n n S ，所以12 13-+-≥n n n a ， 故得1 121 3-++-≥>n n n n a a ． 3．放缩后成等差数列，再求和 例4．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n n n a a S +=. (1) 求证：22 14 n n n a a S ++<； (2) 解：（1）在条件中，令1=n ，得1112122a S a a ==+，1011=∴>a a ，又由条件n n n S a a 22 =+有 11212+++=+n n n S a a ，上述两式相减，注意到n n n S S a -=++11得 0)1)((11=--+++n n n n a a a a 001>+∴>+n n n a a a ∴11n n a a +-= 所以， n n a n =-?+=)1(11，(1) 2 n n n S += 所以4 2)1(212)1(2 1 2 22++= ++?<+=n n n a a n n n n S （2）因为1)1(+<+ 2 1 2)1(2 +< +< n n n n ，所以 2) 1(23222121++ +?+?=++n n S S S n 2 12322++++ 12 2312-=+=+n S n n ；2 2 2)1(2 2 22 121n n S n n n S S S = += + ++ > ++ 练习： 1.（08南京一模22题）设函数213 ()44 f x x bx = +-，已知不论,αβ为何实数，恒有(cos )0f α≤且(2sin )0f β-≥.对于正数列{}n a ，其前n 项和()n n S f a =，*()n N ∈. (Ⅰ) 求实数b 的值；（II ）求数列{}n a 的通项公式； 1 ,1n n N a +=∈+，且数列{}n c 的前n 项和为n T ，试比较n T 和16的大小并证明之. 解：(Ⅰ) 1 2 b = （利用函数值域夹逼性）；（II ）21n a n =+； （Ⅲ）∵2 1111(22)22123n c n n n ??=<- ?+++??，∴1231111 +23236 n n T c c c c n ??=+++???<-< ?+??… 2.（04全国）已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足：n n n a S )1(2-+=， 1≥n （1）写出数列}{n a 的前三项1a ，2a ，3a ；（2）求数列}{n a 的通项公式； （3）证明：对任意的整数4>m ，有 8 711154<+++m a a a 分析：⑴由递推公式易求：a 1=1,a 2=0,a 3=2； ⑵由已知得：1112(1)2(1)n n n n n n n a S S a a ---=-=+----（n>1） 化简得：1122(1)n n n a a --=+- 2)1(2)1(11---=---n n n n a a ,]32) 1([232)1(1 1+--=+---n n n n a a 故数列{ 32 ) 1(+-n n a }是以321+-a 为首项, 公比为2-的等比数列. 故 1 )2)(31(32) 1(---=+-n n n a ∴22[2(1)]3n n n a -=-- ∴数列{n a }的通项公式为：2 2[2(1)]3 n n n a -= --. ⑶观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。而左边 = 232451113111[]221212(1) m m m a a a -+++=+++-+-- ，如果我们把上式中的分母中的1±去掉，就可利用等比数列的前n 项公式求和，由于-1与1交错出现，容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩，尝试知： 3 2322 1 21121121+>++-， 43432121121121+<-++，因此，可将1212-保留，再将后面的项两两组合后放缩，即可求和。这里需要对m 进行分类讨论，（1）当m 为偶数)4(>m 时， m a a a 11154+++ )11()11(11654m m a a a a a +++++=- )21 2121(2321243-++++< m )2 11(4123214--?+= m 8321+< 8 7= （2）当m 是奇数)4(>m 时，1+m 为偶数， 8 711111111165454<+++++<++++m m m a a a a a a a a 所以对任意整数4>m ，有 m a a a 1 1154+ ++ 8 7<。 本题的关键是并项后进行适当的放缩。 3.（07武汉市模拟）定义数列如下：*+∈+-==N n a a a a n n n ,1,22 11 求证：（1）对于*∈N n 恒有n n a a >+1成立； （2）当*∈>N n n 且2，有11211+=-+a a a a a n n n 成立； （3）11112112006 212006 <+++< - a a a 分析：（1）用数学归纳法易证。 （2）由12 1+-=+n n n a a a 得：)1(11-=-+n n n a a a )1(111-=-∴--n n n a a a … … )1(1112-=-a a a 以上各式两边分别相乘得： )1(111211-=--+a a a a a a n n n ，又21=a 11211+=∴-+a a a a a n n n （3）要证不等式11 112112006 212006 <+++< - a a a ， 可先设法求和： 2006 211 11a a a + ++ ，再进行适当的放缩。 )1(11-=-+n n n a a a n n n a a a 1111 11--= -∴ +1 1 1111-- -=∴+n n n a a a 200621111a a a +++∴ )1111()1111()1111(200720063221---++---+---=a a a a a a 1 1 1120071---= a a 20062111a a a - =1<又2006200612006212=>a a a a 20062006212 1 111->- ∴a a a ∴原不等式得证。 本题的关键是根据题设条件裂项求和。 数列和不等问题（学生版） 一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理） 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设1 1 +=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：21 真题演练1：(06全国1卷理科22题)设数列{}n a 的前n 项的和,1412 2333 n n n S a += -?+，1,2,3,n = （Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；（Ⅱ）设2n n n T S =，1,2,3,n = ，证明：1 3 2n i i T =<∑. 二．先放缩再求和 1．放缩后成等比数列，再求和 例2．等比数列{}n a 中，11 2 a =-，前n 项的和为n S ，且798,,S S S 成等差数列． 设n n n a a b -=12 ，数列{}n b 前n 项的和为n T ，证明：1 3n T <． 真题演练2：(06福建卷理科22题)已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈ （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）若数列{}n b 滿足12111*444(1)()n n b b b b n a n N ---=+∈ ，证明：数列{}n b 是等差数列； （Ⅲ）证明：*122311...()232 n n a a a n n n N a a a +-<+++<∈. 2．放缩后为“差比”数列，再求和 例3．已知数列{}n a 满足：11=a ，)3,2,1()21(1 =+=+n a n a n n n ．求证：1 121 3-++-≥>n n n n a a 3．放缩后成等差数列，再求和 例4．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2 2n n n a a S +=. (1) 求证：22 14 n n n a a S ++<； (2) 练习： 1.（08南京一模22题）设函数213 ()44 f x x bx = +-，已知不论,αβ为何实数，恒有(cos )0f α≤且(2sin )0f β-≥.对于正数列{}n a ，其前n 项和()n n S f a =，*()n N ∈. (Ⅰ) 求实数b 的值；（II ）求数列{}n a 的通项公式； 1 ,1n n N a +=∈+，且数列{}n c 的前n 项和为n T ，试比较n T 和16的大小并证明之. 2.（04全国）已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足：n n n a S )1(2-+=， 1≥n （1）写出数列}{n a 的前三项1a ，2a ，3a ；（2）求数列}{n a 的通项公式； （3）证明：对任意的整数4>m ，有8 7 11154<+++m a a a 3.（07武汉市模拟）定义数列如下：*+∈+-==N n a a a a n n n ,1,22 11 求证：（1）对于*∈N n 恒有n n a a >+1成立； （2）当*∈>N n n 且2，有11211+=-+a a a a a n n n 成立； （3）11112112006 212006 <+++< - a a a 高中数列放缩法技巧大全 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 121 42的值; (2)求证:2 1153n k k =<∑ . 解析:(1)因为 1 21 121)12)(12(21422+- -=+-= -n n n n n ,所以1 2212111 42 1 2 += +- =-∑=n n n k n k (2)因为22211411214121214 n n n n n ??<==- ?--+??- , 所以35321121121513121112 =+ 高中数学数列专题大题组卷 一．选择题（共9小题） 1．等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．130 B．170 C．210 D．260 2．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7 C．6 D． 3．数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（） A．3×44B．3×44+1 C．44D．44+1 4．已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）5．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）A．B．C．D． 6．已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．138 B．135 C．95 D．23 7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3 B．4 C．5 D．6 8．等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n=（） A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D． 9．设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（） A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0 C．若0＜a 1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0 二．解答题（共14小题） 10．设数列{a n}（n=1，2，3，…）的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列． 求递推数列通项的特征根法与不动点法 一、形如21(,n n n a pa qa p q ++=+是常数）的数列 形如112221,,(,n n n a m a m a pa qa p q ++===+是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项n a ，其特征方程为2x px q =+…① 若①有二异根,αβ，则可令1212(,n n n a c c c c αβ=+是待定常数） 若①有二重根αβ=，则可令1212()(,n n a c nc c c α=+是待定常数） 再利用1122,,a m a m ==可求得12,c c ，进而求得n a ． 例1．已知数列{}n a 满足*12212,3,32()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a ． 解：其特征方程为232x x =-，解得121,2x x ==，令1212n n n a c c =?+?， 由1122122243a c c a c c =+=??=+=?，得121 12 c c =???= ??， 112n n a -∴=+． 例2．已知数列{}n a 满足*12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a ． 解：其特征方程为2 441x x =-，解得121 2x x ==，令()1212n n a c nc ?? =+ ??? ， 由1122121()121(2)2 4 a c c a c c ? =+?=????=+?=??，得1246c c =-??=?， 1322n n n a --∴=． 二、形如2n n n Aa B a C a D ++= +的数列 对于数列2n n n Aa B a C a D ++= +，*1,(,,,a m n N A B C D =∈是常数且0,0C AD BC ≠-≠） 其特征方程为A x B x C x D += +，变形为2()0C x D A x B +--=…② 2010高考数学备考之放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1 222n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1 ≥--<+n n n n n (15) 11 1) 11)((1122222 222<++++= ++ +--= -+-+j i j i j i j i j i j i j i 例2.(1)求证:)2()12(2167) 12(1513112 22≥-->-++++n n n (2)求证:n n 412141361161412 -<++++ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+< ????-????++????+??+n n n (4) 求证：)112(213 12 11)11(2-+<++++<-+n n n 用放缩法处理数列和不等问题（教师版） 一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理） 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+= n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2 1 特征方程法求解递推关系中的数列通项 考虑一个简单的线性递推问题. 设已知数列}{n a 的项满足 其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式. 采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程,d cx x +=称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述. 定理1.设上述递推关系式的特征方程的根为0x ，则当10a x =时，n a 为常数列，即0101,;x b a a x a a n n n +===时当， 其中}{n b 是以c 为公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-. 证明：因为,1,0≠c 由特征方程得.10c d x -=作换元,0x a b n n -= 则.)(110011 n n n n n n cb x a c c cd ca c d d ca x a b =-=--=--+=-=-- 当10a x ≠时，01≠b ，数列}{n b 是以c 为公比的等比数列，故;11-=n n c b b 当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕） 下面列举两例，说明定理1的应用. 例1．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23 111=∈--=+a n a a n n 求.n a 解：作方程.2 3,23 10-=--=x x x 则 当41=a 时，.2112 3 ,1101= +=≠a b x a 数列}{n b 是以3 1 -为公比的等比数列.于是.N ,)3 1 (2112323,)31(211)3 1 (111 1∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n 例2．已知数列}{n a 满足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中i 为虚数单位. 当1a 取何值时，数列}{n a 是常数数列？ 解：作方程,)32(i x x +=则.5 360i x +-= a 1= b a n+1=ca n +d 高三文科数学数列专题 高三文科数学复习资料 ——《数列》专题 1. 等差数列{ a n}的前n项和记为S n，已知a1030, a2050 . （ 1）求通项a n； （ 2）若S n242 ，求 n ； （ 3）若b n a n20 ，求数列 { b n } 的前 n 项和 T n的最小值. 2. 等差数列{ a n}中，S n为前n项和，已知S77, S1575 . （ 1）求数列{ a n}的通项公式； （ 2）若b n S n，求数列 {b n } 的前 n 项和 T n. n 3. 已知数列{ a n}满足a1 1 a n 1 ( n 1) ，记 b n 1 ， a n . 1 2a n 1 a n （1）求证 : 数列{ b n}为等差数列； （2）求数列{ a n}的通项公式 . 4. 在数列a n 中， a n 0 ， a1 1 ，且当 n 2 时，a n 2S n S n 1 0 . 2 （ 1）求证数列1 为等差数列；S n （ 2）求数列a n的通项 a n； （ 3）当n 2时，设b n n 1 a n，求证： 1 2 (b2 b3 b n ) 1 . n 2(n 1) n 1 n 5. 等差数列{ a n}中，a18, a4 2 . （ 1）求数列{ a n}的通项公式； （ 2）设S n| a1 | | a2 || a n |，求 S n； 1 (n N *) ， T n b1 b2 b n (n N *) ，是否存在最大的整数m 使得对任（ 3）设b n n(12 a n ) 意 n N * ，均有T n m m 的值，若不存在，请说明理由. 成立，若存在，求出 32 6. 已知数列{log2(a n1)} 为等差数列，且a13, a39 . （ 1）求{ a n}的通项公式； （ 2）证明： 1 1 ... 1 1. a2 a1 a3 a2 a n 1 a n 7. 数列{ a n}满足a129, a n a n 12n 1(n 2, n N * ) . （ 1）求数列{ a n}的通项公式； （ 2）设b n a n，则 n 为何值时， { b n } 的项取得最小值，最小值为多少？n 8. 已知等差数列{ a n}的公差d大于0 , 且a2,a5是方程x2 12 x 27 0 的两根,数列 { b n } 的前 n 项和 为 T n,且 T n 1 1 b n. 2 （ 1）求数列{ a n} , { b n}的通项公式； （ 2）记c n a n b n，求证:对一切 n N 2 , 有c n. 3 9. 数列{ a n}的前n项和S n满足S n2a n 3n . （1）求数列{ a n}的通项公式a n； （2）数列{ a n}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由 . 10. 已知数列{ a n}的前n项和为S n，设a n是S n与 2 的等差中项，数列{ b n} 中， b1 1，点 P(b n , b n 1 ) 在 直线 y x 2 上. （ 1）求数列{ a n} , { b n}的通项公式 不动点法求数列通项公 式 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128） 不动点法求数列通项公式 通常为了求出递推数列a[n+1]=(ca[n]+d)/(ea[n]+f)【c、d、e、f是不全为0的常数,c、e不同时为0】的通项,我们可以采用不动点法来解.假如数列{a[n]}满足a[n+1]=f(a[n]),我们就称x=f(x)为函数f(x)的不动点方程,其根称为函数f(x)的不动点.至于为什么用不动点法可以解得递推数列的通项,这足可以写一本书.但大致的理解可以这样认为,当n趋于无穷时,如果数列{a[n]}存在极限,a[n]和a[n+1]是没有区别的. 首先,要注意,并不是所有的递推数列都有对应的不动点方程,比如： a[n+1]=a[n]+1/a[n].其次,不动点有相异不动点和重合不动点. 下面结合不动点法求通项的各种方法看几个具体的例子吧. ◎例1：已知a[1]=2,a[n+1]=2/(a[n]+1),求通项. 【说明：这题是“相异不动点”的例子.】 先求不动点 ∵a[n+1]=2/(a[n]+1) ∴令 x=2/(x+1),解得不动点为：x=1 和 x=-2 【相异不动点】 ∴(a[n+1]-1)/(a[n+1]+2) 【使用不动点】 =(2/(a[n]+1)-1)/(2/(a[n]+1)+2) =(2-a[n]-1)/(2+2a[n]+2) =(-a[n]+1)/(2a[n]+4) =(-1/2)(a[n]-1)/(a[n]+2) ∵a[1]=2 ∴(a[1]-1)/(a[1]+2)=1/4 ∴{(a[n]-1)/(a[n]+2)}是首项为1/4,公比为-1/2的等比数列 【高考地位】 数列是高中数学的重要内容,又是高中数学与高等数学的重要衔接点,其涉及的基础知识、数学思想与方法,在高等数学的学习中起着重要作用,因而成为历年高考久考不衰的热点题型,在历年的高考中都占有重要地位。数列求和的常用方法是我们在高中数学学习中必须掌握的基本方法，是高考的必考热点之一。此类问题中除了利用等差数列和等比数列求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。下面，就近几年高考数学中的几个例子来谈谈数列求和的基本方法和技巧。 【方法点评】 方法一 公式法 解题模板：第一步 结合所求结论，寻找已知与未知的关系； 第二步 根据已知条件列方程求出未知量； 第三步 利用前n 项和公式求和结果 例1.设}{n a 为等差数列，n S 为数列}{n a 的前n 项和，已知77=S ，7515=S ，n T 为数列}{n S n 的前n 项和，求n T ． 【评析】直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论．常用的数列求和公式有： 等差数列前n 项和公式： 11()(1)22 n n n a a n n S na d +-==+． 等比数列前n 项和公式：111(1)(1)(1)11n n n na q S a q a a q q q q =??=--?=≠?--? ． 自然数方幂和公式：1123(1)2 n n n +++???+=+ 22221123(1)(21)6 n n n n +++???+=++ 333321123[(1)]2 n n n +++???+=+ 【变式演练1】已知{a n }是等差数列，a 1+a 2=4，a 7+a 8=28，则该数列前10项和S 10等于（ ） A.64 B.100 C.110 D.120 【答案】B 【解析】 试题分析：a 1+a 2=4，a 7+a 8=28，解方程组可得11,2a d == 101109101002 S a d ?∴=+ = 考点：等差数列通项公式及求和 方法二 分组法 解题模板：第一步 定通项公式：即根据已知条件求出数列的通项公式； 第二步 巧拆分：即根据通项公式特征，将其分解为几个可以直接求和的数列； 第三步 分别求和：即分别求出各个数列的和； 第四步 组合：即把拆分后每个数列的求和进行组合，可求得原数列的和. 例2. 已知数列{a n }是3＋2－1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24－1，…，写出数列{a n }的通项公式并求其前n 项 S n . 利用“不动点”法巧解高考题 由递推公式求其数列通项历来是高考的重点和热点题型，对那些已知递推关系但又难求通项的数列综合问题，充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点和关键．与递推关系对应的函数的“不动点”决定着递推数列的增减情况，因此我们可以利用对函数“不动点”问题的研究结果，来简化对数列通项问题的探究。笔者在长期的教学实践中，不断总结探究反思，对那些难求通项的数列综合问题，形成利用函数不动点知识探究的规律性总结，以期对同学们解题有所帮助． 1 不动点的定义 一般的，设()f x 的定义域为D ,若存在0x D ∈，使f x x ()00=成立，则称x 0为f x ()的 不动点，或称00(,)x x 为f x ()图像的不动点。 2 求线性递推数列的通项 定理 1 设()(01)f x ax b a =+≠，，且x 0为f x ()的不动点，{}a n 满足递推关系1()n n a f a -=，2,3, n =，证明{}a x n -0是公比为a 的等比数列。证：∵x 0是f x ()的不动点，所以ax b x 00+=， 所以，所以a n -=+-=-=----x a a b x a a ax a a x n n n 0101010()()··，∴数列{}a x n -0是公比为a 的等比数列。 例1（2010上海文数21题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且585n n S n a =--，*n N ∈ (1)证明：{}1n a -是等比数列；(2)求数列{}n S 的通项公式，并求出使得1n n S S +>成立的最小正整数n . 证：(1) 当n =1时，a 1=-14；当2n ≥时，a n =S n -S n -1=-5a n +5a n -1+1，即1651n n a a -=+(2)n ≥即 15166n n a a -= +(2)n ≥，记51 ()66f x x =+，令()f x x =，求出不动点01x =，由定理1知：15 1(1)(2)6 n n a a n --=-≥，又a 1-1= -15 ≠0，所以数列{a n -1}是等比数列。(2)解略。 3求非线性递推数列的通项 定理2 设()(00)ax b f x c ad bc cx d +=≠-≠+，，且x x 12、是f x ()的不动点，数列{}a n 满足递推关系a f a n n =-()1，2,3,n =，（ⅰ）若12x x ≠，则数列{ }a x a x n n --12是公比为a x c a x c --12的等比数列；（ⅱ） ——教学资料参考参考范本——人教版最新高中数学数列专题复习(综合训练篇含答案)Word 版 ______年______月______日 ____________________部门 ———综合训练篇 一、选择题： 1． 在等差数列中，，则的值为 （ D ）{}n a 120 31581=++a a a 1092a a - A ．18 B ．20 C ．22 D ．24 2．等差数列满足：，若等比数列满足则为（ B ） A ．16 B ．32 C ．64 D ．27{}n a 30,8531==+S a a {} n b ,,4311a b a b ==5b 3．等差数列中,则数列的前9项之和S9等于{} n a 1 a {a （ C ）A ．66 B ．144 C ．99 D ．297 4．各项都是正数的等比数列的公比q ≠1，且，，成等差数列，则为（A ） A ． B ． C ． D ．或{} n a 2a 321a 1 a 5 443a a a a ++2 15-215+2 51-2 1 5+215- 5.设等比数列的前项和为，若则（ B ）{}n a n n S ,33 6=S S = 69S S A. 2 B. C. D.3738 3 6．已知等差数列的前项的和为，且，，则过点和的直线的一个方向向 量的坐标是 ( B ){}n a n n S 210S =555S =(,) n P n a 2(2,)()n Q n a n N *++∈ A. B. C. D.1(2,)2 1(,2)2--1(,1) 2--(1,1)-- 7．设a 、b 、c 为实数,3a 、4b 、5c 成等比数列,且、、成等差数列，则 的值为（ C ） A ． B ． C ． D ．a 1b 1c 1a c c a +15941594±15341534 ± 8． 已知数列的通项则下列表述正确的是 ( A ){} n a ,1323211 ????????-??? ??? ? ? ??=--n n n a A ．最大项为最小项为 B ．最大项为最小项不存在,1a 3 a ,1a C ．最大项不存在，最小项为 D ．最大项为最小项为3 a ,1a 4a 9.已知为等差数列，++=105，=99.以表示的前项和，则使得达到最大 值的是（B ）{}n a 1a 3a 5a 246a a a ++n S {}n a n n S n A ．21 B ．20 C ．19 D ．18 9．一系列椭圆都以一定直线l 为准线，所有椭圆的中心都在定点M ， 且点M 到l 的距离为2，若这一系列椭圆的离心率组成以为首项，为公比的等比数列，而椭圆相应的长半轴长为ai=(i=1，2，…，n)，设bn=2（2n+1）·3n －2·an ，且Cn=，Tn=C1+C2+…+Cn ，若 数列求和例题精讲 1． 公式法求和 （1）等差数列前 n 项和公式 S n n(a 1 a n ) n(a k 1 a n k ) n( n 1) d 2 2 na 1 2 （2）等比数列前 n 项和公式 q 1 时 S n na 1 q 1 时 S n a 1 (1 q n ) a 1 a n q 1 q 1 q （3）前 n 个正整数的和 1 2 3 n(n 1) n 2 前 n 个正整数的平方和 12 22 32 n 2 n(n 1)(2n 1) 6 前 n 个正整数的立方和 13 23 33 n 3 [ n(n 1) ] 2 （ 1）弄准求和项数 n 的值； 2 公式法求和注意事项 （ 2）等比数列公比 q 未知时，运用前 n 项和公式要分类。 例 1．求数列 1，4，7， ，3n 1 的所有项的和 例 2．求和 1 x x 2 x n 2 ( n 2, x 0 ) 2．分组法求和 例 3．求数列 1， 1 2，1 2 3，，1 2 3 n 的所有项的和。 5n 1 (n为奇数 ) 例 4．已知数列a n中，a n ，求 S2m。 ( 2) n (n为偶数 ) 3．并项法求和 例 5．数列a n 中， a n ( 1) n 1 n2，求 S100。 例 6．数列a n中，，a n( 1) n 4n ，求 S20及 S35。 4．错位相减法求和 若a n 为等差数列，b n 为等比数列，求数列a n b n（差比数列）前n项 b n 的公比。 和，可由S n qS n求 S n，其中q 为 例 7．求和12x 3x 2nx n 1（x0 ）。 5．裂项法求和 :把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。 例 8．求和 1 1 1 1 。 1 3 3 5 5 7 (2n 1)(2n 1) 例 9．求和 1 1 1 1 2 1 3 2 23 。 n 1n ［练习］ 1 1 1 1 1 2 3 2 3 n 1 2 1 a n S n 2 1 n 1 定义：方程的根称为函数的不动点. 利用递推数列的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法. 定理1：若是的不动点，满足递推关系，则，即是公比为的等比数列. 证明：因为是的不动点 由得 所以是公比为的等比数列. 定理2：设，满足递推关系，初值条件 （1）：若有两个相异的不动点，则（这里） （2）：若只有唯一不动点，则（这里） 证明：由得，所以 （1）因为是不动点，所以，所以 令，则 （2）因为是方程的唯一解，所以 所以，所以 所以 令，则 例1：设满足，求数列的通项公式 例2：数列满足下列关系：，求数列的通项公式 定理3：设函数有两个不同的不动点,且由确定着数列,那么当且仅当时, 证明:是的两个不动点 即 于是, 方程组有唯一解 例3：已知数列中,,求数列的通项. 其实不动点法除了解决上面所考虑的求数列通项的几种情形,还可以解决如下问题: 例4：已知且,求数列的通项. 解: 作函数为,解方程得的不动点为 .取,作如下代换: 逐次迭代后,得: 已知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==K ．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为(0) n n k k >的切线n l ，切点为(,)n n n P x y ． （１）求数列{}{}n n x y 与的通项公式； （２）证明：13521n n n x x x x x y -????< 高三数列专题训练二 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．在公差不为零的等差数列{}n a 中，已知23a =，且137a a a 、、成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，记，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差,50,053=+≠S S d 且1341,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； 1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T . 3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，，2S ，3S 成等差数列，数列{}n b 满足2n b n =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n n n c a b =?，若对任意*n N ∈，求λ的取值范围． 4．已知等差数列{n a }的公差2d =，其前n 项和为n S ，且等比数列{n b }满足11b a =， 24b a =，313b a =． （Ⅰ）求数列{n a }的通项公式和数列{n b }的前n 项和n B ； （Ⅱ）记数列的前n 项和为n T ，求n T ． 5．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()21,2,3,n n S a n =-=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足11b =，且1n n n b b a +=+，求数列{}n b 的通项公式； （3）设()3n n c n b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 高中数学方法讲解之放 缩法 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 放缩法 将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的的方法，叫放缩法。 放缩法的方法有： ⑴添加或舍去一些项，如：a a >+12；n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如： 4lg 16lg 15lg )2 5lg 3lg ( 5lg 3log 2 =<=+k k k k k （程度大） Ⅲ、 )1111(21)1)(1(11 112 2+--=+-=- 2=+++++++< c d d d c c b a b b a a m ∴1 < m < 2 即原式成立 例2.当 n > 2 时，求证：1)1(log )1(log <+-n n n n 【巧证】：∵n > 2 ∴0)1(log ,0)1(log >+>-n n n n ∴ 2 22 2)1(log 2)1(log )1(log )1(log )1(log ?? ????-=??? ???++-<+-n n n n n n n n n n 12log 22=?? ? ??? 不动点法求数列的通项 惠来县第一中学 方文湃 自从实施新课程标准，使用新教材以来，高考题中出现了数列的解答题的次数好象不少。如2007年普通高考广东数学理科卷压轴题第21题 、2011年普通高等学校招生全国统一考试数学广东卷理科第20题 ，这两道题都是已知数列的递推式，求它的的通项公式，并且求法都与“不动点”有关。 记函数f(x)的定义域为D ，若存在λ∈D ，使λ＝f(λ)成立，则称（λ，λ）为坐标的点为函数f(x)图象上的不动点。以此类推，在数列{a n }中，a n+1=f(a n ) (n ∈N +)，若存在λ满足方程λ＝f(λ)，称λ为不动点方程λ＝f(λ)的根。下面介绍的一些数列，可先求生成函数（递推式）的不动点，通过换元后，化为等差、等比数列，再求这些数列的通项，这一方法，我们不妨称为不动点法。 一、递推式为a n+1=aa n +b(a ≠0,a ≠1,a,b 均为常数)型的数列 由递推式a n+1=aa n +b 总可变形为 a n+1－λ=a （a n －λ） …………………………（１） （１） 式中的λ与系数a, b 存在怎样的关系呢？ 由（１）得a n+1=aa n ＋λ－a λ ∴b=λ－a λ即λ＝a λ+b …………………………（２） 关于λ的方程（２）刚好是递推式a n+1=aa n +b 中的a n ，a n+1都换成λ得到的不动点方程。 令b n =a n －λ代入（１）得b n+1=ab n 一般来说，可先求等比数列{b n }的通项，再求数列{a n }的通项。 例１：在数列{a n }中，已知a 1=1,a n+1=1－21 a n (n ∈N +),求lim ∞ →n a n 。 解：令x=1－ 21x 得x=32 a n+1－32=1－21a n －32=－21 (a n －3 2) 令b n =a n －32，则b n+1=－2 1 b n ∴数列{b n }成首项为b 1=a 1－32=1－32=31，公比为q ＝－2 1 的等比数列，于 是有 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 放缩法 将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的的方法，叫放缩法。 放缩法的方法有： ⑴添加或舍去一些项，如：a a >+12；n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶ 利用基本不等式，如： 4lg 16lg 15lg )2 5lg 3lg ( 5lg 3log 2 =<=+k k k k k （程度大） Ⅲ、)1 1 11(21)1)(1(11112 2+--=+-=-< k k k k k k ； （程度小） 例1.若a , b , c , d ∈R +，求证： 21<+++++++++++< c a d d b d c c a c b b d b a a 【巧证】：记m =c a d d b d c c a c b b d b a a +++ ++++++++ ∵a , b , c , d ∈R + ∴ 1=+++++++++++++++> c b a d d b a d c c a c b a b d c b a a m 2=+++++++ 第4讲数列求和 一、选择题 1．设数列{(－1)n}的前n项和为S n，则对任意正整数n，S n＝( ) A.n[1n－1] 2 B. 1n－1＋1 2 C.1n＋1 2 D. 1n－1 2 解析∵数列{(－1)n}是首项与公比均为－1的等比数列， ∴S n＝11n1 11 ＝ 1n－1 2 . 答案 D 2．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝( ) A．66 B．65 C．61 D．56 解析当n＝1时，a1＝S1＝－1，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2－4n＋2－[(n －1)2－4(n －1)＋2]＝2n－5.∴a2＝－1，a3＝1，a4＝3，…，a10＝15，∴|a1| ＋|a2|＋…＋|a10|＝1＋1＋81＋15 2 ＝2＋64＝66. 答案 A 3．在数列{a n}中，a n＝ 1 n n ＋1 ，若{a n}的前n项和为 2 013 2 014 ，则项数n为( )． A．2 011 B．2 012 C．2 013 D．2 014 解析∵a n＝1 n n ＋1＝ 1 n － 1 n＋1 ，∴S n＝1－ 1 n＋1 ＝ n n＋1 ＝ 2 013 2 014 ，解得n＝2 013. 答案 C 4．数列{a n}满足a n＋1＋(－1)n a n＝2n－1，则{a n}的前60项和为( )．A．3 690 B．3 660 C．1 845 D．1 830 解析当n＝2k时，a2k＋1＋a2k＝4k－1， 当n＝2k－1时，a2k－a2k－1＝4k－3， ∴a 2k ＋1＋a 2k －1＝2，∴a 2k ＋1＋a 2k ＋3＝2， ∴a 2k －1＝a 2k ＋3，∴a 1＝a 5＝…＝a 61. ∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 60＝(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 60＋a 61)＝3＋7＋11＋…＋(4×30－1)＝30 3＋119 2 ＝30×61＝1 830. 答案 D 5．若把能表示为两个连续偶数的平方差的正整数称为“和平数”，则 1～100 这100个数中，能称为“和平数”的所有数的和是( ) A ．130 B ．325 C ．676 D ．1 300 解析 设两个连续偶数为2k ＋2和2k (k ∈N ＋)，则(2k ＋2)2－(2k )2＝4(2k ＋1)，故和平数 是4的倍数，但不是8的倍数，故在1～100之间，能称为和平数的有4×1,4×3,4×5,4×7，…，4×25，共计13个，其和为4×1＋252 ×13＝676. 答案 C 6．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝1 2(n ∈N *)，且a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21 ＝ ( )． A.21 2 B ．6 C ．10 D ．11 解析 依题意得a n ＋a n ＋1＝a n ＋1＋a n ＋2＝1 2，则a n ＋2＝a n ，即数列{a n }中的奇数项、 偶数项分别相等，则a 21＝a 1＝1，S 21＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 19＋a 20)＋a 21＝10(a 1＋a 2)＋a 21＝10×1 2＋1＝6，故选B. 答案 B 二、填空题 7．在等比数列{a n }中，若a 1＝1 2，a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|＋|a 2|＋… ＋|a n |＝________. 解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＝a 1q 3，代入数据解得q 3＝－8，所以高中数列放缩法技巧大全
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