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02--1前n项和与通项关系Sn与an1---学案

等差与等比数列（1）：n S 与a n 的关系

基础题型：

1、已知数列{}n a 的前n 项之和为① n n S n -=22 ② 12++=n n S n 求数列{}n a 的通项公式。

2、在等差数列{a n }中，设前m 项和为S m ，前n 项和为S n ，且S m ＝S n ，m ≠n ，求S m+n ．

数列求和的方法：

1 数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝

()

n +1n ，则S 5等于( )

A ．1 B.35

C.31

D.151

2、(2011·新课标全国卷)等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，2

3a ＝9a 2a 6. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{bn 1

}的前n 项和．

3、已知函数f (x )＝2x －3x －1，点(n ，a n )在f (x )的图象上，a n 的前n 项和为S n . (1)求使a n <0的n 的最大值．(2)求S n .

4、已知数列{a n }满足a 1＝1，a 3＋a 7＝18，且a -1n ＋a +1n ＝2a n (n ≥2)．

(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若c n ＝2n －1·a n ，求数列{c n }的前n 项和T n .

与数列求和有关的题型

1、等差数列前10项的和为140，其中，项数为奇数的各项的和为125，求其第6项．

2、在两个等差数列2，5，8，…，197与2，7，12，…，197中，求它们相同项的和．

3、若两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且满足73

n n S n T n +=+，则

a b =

4、设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0852=+a a ，则下列式子中数值不能确定的是() A ．3

5a a B ．35S S C ．n n a a 1+ D ．n n S S 1+

5设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若

==5

935,95S S

a a 则（） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2

6 已知数列{}n a 的通项公式112+-=n a n ，如果)(N n a b n n ∈=，求数列{}n b 的前n 项和。

7 已知等差数列n a n 的前}{项和为m S a a a m S m m

m m n 则且若,38,0,1,122

11==-+>-+- 等于（）

A 38

B 20

C 10

D 9

8 知数列{}n a 的前n 项和)34()1(...139511--++-+-=-n S n n ，求312215S S S -+的值

综合题型

1 已知数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，并且S n+1=4a n ＋2(n ∈N*)，a 1=1 (1)设b n =a n+1－2a n (n ∈N*)，求证：数列{b n }是等比数列；

(2)c =a 2(n N*){c }n n

n n 设∈，求证：数列是等差数列．

2 求证：2111cos1cos0cos1cos1cos 2cos88cos89sin 1++???+=

3 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.

4 已知数列{a n }：∑∞

=+-+++=1

1))(1(,)3)(1(8

n n n n a a n n n a 求的值.

5 在1和2之间插入2n 个数，组成首项为1、末项为2的等差数列，若这个数列的前半部分的和同后半部分的和之比为9∶13，求插入的数的个数．

练习：

1等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若3711a a a ++为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是（） A.S 6 B.S 11 C.S 12 D.S 13

2.在数列{}n a 中，5

n a n =-，212n a a a an bn ++???+=+，*n N ∈，其中a 、b 为常数，则ab =（）

(A)-1 (B)0 (C)-2 (D)1

3 两个等差数列{}{},,n n b a ,327 (2121)

++=++++++n n b b b a a a n n 则5

5b a

=___________.

4 数列{}n a 的通项公式1

++=n n a n ，则该数列的前（）项之和等于9

A 98

B 99

C 96

D 97

5 数列a 1＋2，…，ak ＋2k ，…，a 10＋20共有十项，且其和为240，则a 1＋…＋ak ＋…＋a 10的值为 A ．31 B ．120 C ．130 D ．185

6 数列1,412，714，101

，…前10项的和为________．

7 求数列???++???++,1

21,

11n n 的前n 项和.

8 在数列{a n }中，1

1211++

???++++=

n n

n n a n ，又12+?=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.

9 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.

10 在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +???++=求的值.

11 求

1111111111个n ???+???+++之和.

数列的通项公式与前n项和的关系

数列的通项公式与前n 项和的关系 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

1.（11辽宁T17）已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10 （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）求数列??????-12n n a 的前n 项和．【测量目标】等差数列的通项，数列的通项公式{}n a 与前n 项和n S 的关系. 【难易程度】容易【试题解析】（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得11 0,21210,a d a d +=??+=-? 解得11,1. a d =??=-? 故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =-（步骤1）（II ）设数列1{ }2n n a -的前n 项和为n S ，即211,22 n n n a a S a -=+++故11S =（步骤2） 12.2242n n n S a a a =+++ 所以，当1n >时， 1211111222211121()2422 121(1)22 n n n n n n n n n n n S a a a a a S a n n -------=+++--=-+++--=--- = .2 n n （步骤3）所以1.2n n n S -= 综上，数列11 { }.22n n n n a n n S --=的前项和（步骤4） 2.（10上海T20）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且585n n S n a =--，n +∈N . （1）证明：{}1n a -是等比数列；

（2）求数列{}n S 的通项公式，并求出n 为何值时，n S 取得最小值，并说明理由. 【测量目标】数列的通项公式n a 与前n 项和n S 的关系. 【难易程度】中等【试题解析】（1）当1n =时，114a =-；当2n 时，11551n n n n n a S S a a --=-=-++，()15116 n n a a -∴-=-，（步骤1）又11150a -=-≠，∴数列{}1n a -是等比数列；（步骤2）（2）由(1)知：151156n n a -??-=- ??? ，得151156n n a -??=- ???，（步骤3）从而()1575906n n S n n -+??=+-∈ ???N ；（步骤4）解不等式1n n S S +<，得15265n -??< ???，562log 114.925n >+≈，（步骤5） ∴当15n 时，数列{}n S 单调递增；（步骤6）同理可得，当15n 时，数列{}n S 单调递减；故当15n =时，n S 取得最小值．（步骤7） 3.（09辽宁T14）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且53655,S S -=则4a = . 【测量目标】数列的通项公式{}n a 与前n 项和n S 的关系. 【难易程度】中等【参考答案】13 【试题解析】∵11(1)2 n S na n n d =+-∴5131510,33S a d S a d =+=+. ∴5311114653060(1515)154515(3)15S S a d a d a d a d a -=+-+=+=+=. ∵53655,S S -=故413 a = . 4.（09全国II T19）设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+

数列通项公式、前n项和求法总结

一?数列通项公式求法总结： 1?定义法一一直接利用等差或等比数列的定义求通项。特征：适应于已知数列类型（等差或者等比）. 例］.等差数列｛%｝是递增数列,前n项和为S”,且也,％5成等比数列,S5=a;.求数列｛%｝的通项公式. 变式练习： 1.等差数列｛陽｝中,吗=4,如=2為,求匕｝的通项公式 2.在等比数列｛%｝中<2-4 =2,且2勺为3纠和他的等差中项,求数列｝的首项、公比及前"项和. 2 ?公式法求数列｛a…｝的通项①可用公式= 5,................ ""求解。 ①-昭......... n>2 特征：已知数列的前"项和s“与％的关系例2?已知下列两数列｛色｝的前n项和S“的公式，求｛?｝的通项公式。

变式练习： 1.已知数列｛%｝的前n项和为且S产2n2+m n GN*,数列｛"｝满足山=41。审化+3, n^N*.求色，b「 2.已知数列｛?｝的前门项和S”= —丄“2+如(2皿)，且久的最大值为8,试确泄常数k并求0”。2 3.已知数列仏｝的前"项和$“=伫卩，心".求数列仏｝的通项公式。 2 3 ?由递推式求数列通项法类型1特征：递推公式为如="”+/(") 对策：把原递推公式转化为a n+1-a…= f(n),利用累加法求解。例3.已知数列｛?… ｝满足a｛=~, % = a n + -J—,求 a”。 2 ir +n

变式练习： 1.已知数列｛色｝满足a^=a n+2n + \9 q=l,求数列｛色｝的通项公式。 2?已知数列:? =皿 =5 +漆通项公式类型2特征：递推公式为勺屮=/（〃）? 对策：把原递推公式转化为组 = /（〃），利用累乘法求解。例4.已知数列仏｝满足=-, a n^=—a n9求％ 3 ” + 1 变式练习： 1?已知数列｛%｝中,q=2, a n￥l=3n a n9求通项公式?。

数列通项公式及前n项求和方法

数列通项公式及前n 项和通项公式一.公式法高中重点学了等差数列和等比数列，当题中已知数列是等差数列或等比数列，在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项，只需求得首项及公差公比。 1、等差数列公式例1、（2011辽宁理）已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10 （I ）求数列{a n }的通项公式；解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得110, 21210, a d a d +=?? +=-? 解得11, 1. a d =?? =-? 故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =- 2、等比数列公式例2.（2011重庆理）设{}n a 是公比为正数的等比数列，12a =，324a a =+。（Ⅰ）求{}n a 的通项公式解：I ）设q 为等比数列{}n a 的公比，则由21322,4224a a a q q ==+=+得，即2 20q q --=，解得21q q ==-或（舍去），因此 2.q = 所以{}n a 的通项为1*222().n n n a n N -=?=∈ 3、通用公式若已知数列的前n 项和n S 的表达式，求数列{}n a 的通项n a 可用公式 ?? ?≥-==-21 1n S S n S a n n n n 求解。一般先求出a1=S1，若计算出的an 中当n=1适合时可以合并为一个关系式，若不适合则分段表达通项公式。例3、已知数列}{n a 的前n 项和12 -=n s n ，求}{n a 的通项公式。解：011==s a ，当2≥n 时 12]1)1[()1(221-=----=-=-n n n s s a n n n

数列通项公式和前n项和的常见解题方法

一、观察法：已知数列的前几项，要求写出数列的一个通项公式例1、求下列数列的一个通项公式。 ①1 3572,4,8,165101520 -- ②1，0，1，0 ③3，33，333，3333 ④11，103，1005，10007 二、定义法：主要应用于可定性为等差或等比数列的类型，可直接利用等差或等比数列的通项公式进行求解。例2、求下列数列的通项公式 ①已知数列{}a n 中() *112,3n n a a a n N +==+∈求通项公式。 ②已知{}a n 中a 13=-且n n a a 21=+求此数列的通项公式。 ③已知等比数列2，a ，a ＋4，…写出其通项a n 的表达式． ④已知数列{}n a 中，满足a 1＝６，a 1+n +1=2(a n +1) （n ∈N + ），则数列{}n a 的通项公式三、递推关系式形如1()n n a a f n +=+ (其中()f n 不是常数函数) 此类问题要利用累加法, 利用公式121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-+???+-来求解. 例.若在数列{}n a 中，31=a ，n a a n n +=+1，求通项n a 。变式：（1）数列{a n }满足a 1=1且132(2),n n n a a n n a -=+-≥求（2）数列{a n }满足a 1=1且11(2),2 n n n n a a n a -=+ ≥求四、递推关系式形如1()n n a a f n += (其中()f n 不是常数函数) 此类问题要利用累乘法,利用公式321121n n n a a a a a a a a -=??? 来求解. 例.在数列{}n a 中，11=a ，n n n a a 21=+（* N n ∈），求通项n a 。变式：若1124,n n n a a a n ++==，求n a 五、 (构造数列法) 递推关系式形如 1n n a pa q +=+(,,1,0)q p p q ≠≠为常数且此类问题可化为1()11n n q q a p a p p ++=+--,即数列{}1 n q a p +-是一个以p 为公比的等比数列. 例．已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈求数列{}n a 的通项公式变式：115,23n n n a a a a -==+且，求六、利用前n 项和S n 求通项利用{11,1 ,2n n a n n S S n a -=-≥= ，一定要验证首项。例：已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式，求}{n a 的通项公式。（1）223n S n n =-。（2）12-=n s n （2）若数列{a n }的前n 项和S n ＝32 a n －3，求{a n }的通项公式．

数列中an与Sn的关系

对于任意一个数列，当定义数列的前 n 项和通常用S n 表示时，记作 S n = a i +玄:+…十a n ,此时通项公 S i , n = 1, 式 a n = * . S n _ 5_1, n 》2 而对于不同的题目中的 a n 与S n 的递推关系，在解题时又应该从哪些方向去灵活应用 a n = S n - S n -i (n > 2) 去解决不同类型的问题呢？我们将从下面三个角度去探索在各类考试中出现的 a n 与S n 相关的问题：归纳起来常见的角度有：角度一：直观运用已知的 S n ,求a n ；角度二：客观运用 a n = S n -S n -i (n > 2)求与a n , S n 有关的结论；角度三：a n 与S n 的延伸应用. 方法：已知S n 求a n 的三个步骤(此时S n 为关于n 的代数式)： (1)先利用a i = S i 求出a i ； ⑵用n - 1替换S 中的n 得到一个新的关系，利用a n = S n -S n - i (n > 2)便可求出当n 》2时a n 的表达式； ⑶对n = 1时的结果进行检验，看是否符合 n 》2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分 n = 1与n 》2两段来写. 同时，在部分题目中需要深刻理解“数列的前 n 项和”的实际意义，对“和的式子”有本质的认识，这样才能更好的运用 S n 求解.如：a 1+ 2a 2 + 3a 3+???+ na n = 2n — 1，其中a 1+ 2a 2+ 3a 3+???+ na n 表示数列｛na n ｝的前n 项和. 1. 已知数列｛a n ｝的前n 项和S n = n 2- 2n + 2,则数列｛a n ｝的通项公式为( ) A . a n = 2n -3 【解析】当n 》2时，a n = Si — S n -1 = 2n — 3 .当n = 1时，a 1 = S 1 = 1,不满足上式. 【答案】C n+1 2 .(2015 河北石家庄一中月考)数列｛ a n ｝满足：a 1 + 3a 2+ 5a 3+…+ (2n - 1) a n = (n — 1) ? + 3(n € N *), 则数列的通项公式 a n= _________________________________ . 【解析】当n 》2时，a 1 + 3a 2+ 5a 3+-+ (2n — 3) a n -1= (n - 2) 3-n + 3;则用已知等式减去上式得 (2n — 1) a n = (2n — 1) 3 ,得 a n = 3 ；当 n = 1 时，a 1 = 3，满足上式；故 a n = 3 . B . a n = 2n + 3 C . a n = f n =1 |2n — 3, n 》2 1, n = 1 D . a n =' 2n + 3, n 》2

高考数学----数列通项公式与前n项和公式

数列通项与求和一、观察法（归纳猜想、根据周期规律）二、根据递推关系求通项（一）累加法形如)2)((1≥=--n n f a a n n 或)(1n f a a n n +=-，且)(n f 不为常数，则求n a 可用累加法。 ① 若)(n f 是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ② 若)(n f 是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ③ 若)(n f 是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。（二）累乘法形如 )2)((1 ≥=-n n f a a n n 或1)(-=n n a n f a ，且)(n f 不为常数，求n a 用累乘法。（三）待定系数法形如0(,1≠+=+k b ka a n n ,其中a a =1)型（1）若1=k 时，数列{n a }为等差数列；（2）若0=b 时，数列{n a }为等比数列；（3）若1≠k 且0≠b 时，数列{n a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求。方法如下：设)(1λλ+=++n n a k a ，比较系数得λ。（四）倒数法形如1+= +n n n ca a a d 型，取倒数变成 1111 +=+n n d a c a c 的形式的方法叫倒数变换.取倒数后有两种类型：一是直接转化为等差数列；二是再借助于待定系数法去求解. （五）对数变换法形如 r n n pa a =+1)0,0(>>n a p 这种类型一般是等式两边取对数后转化为q pa a n n +=+1，再利用待定系数法求解。三、和n S 有关的求通项的方法

已知数列}{n a 前n 项和n S ，则用公式???≥-==-211 1 n S S n S a n n n （注意：不能忘记讨论1=n ）。四、形如)(1n f a a n n =++型和 ) (1n f a a n n =?+型（一）形如)(1n f a a n n =++型（1）若 d a a n n =++1（d 为常数），则数列{ n a }为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论; （2）若f(n)为n 的函数（非常数）时，可通过构造转化为) (1n f a a n n =-+型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得) 1()(11--=--+n f n f a a n n ，分奇偶项来分求通项. （二）形如) (1n f a a n n =?+型（1）若 p a a n n =?+1(p 为常数)，则数列{ n a }为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论; （2）若f(n)为n 的函数（非常数）时，可通过逐差法得) 1(1-=?-n f a a n n ，两式相除后，分奇偶项来分求通项. 一、公式法 ①等差数列前n 项和S n ＝____________＝________________，推导方法：____________； ②等比数列前n 项和S n ＝? ??? ? ，q ＝1，＝，q ≠1.推导方法：乘公比，错位相减法． ③常见数列的前n 项和： a ．1＋2＋3＋…＋n ＝； b ．2＋4＋6＋…＋2n ＝； c ．1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝； )12)(1(61 12++==∑=n n n k S n k n 2 13)]1(21 [+==∑=n n k S n k n 二、倒序相加：如果一个数列{a n }，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如__________数列的前n 项和公式即是用此法推导的．三、错位相减：形如a n ＝b n ·c n ，其中一个是等差数列一个是等比数列四、分组求和：形如a n ＝b n ＋c n ，五、裂项(相消)法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，只剩有限项再求和．

求数列通项公式和前n项和的常用方法(含高考题精选)

求数列通项公式和前n 项和的常用方法一、求数列通项公式的常用方法 1.公式法：等差数列或等比数列的通项公式。 2.归纳法：由数列前几项猜测出数列的通项公式，再用数学归纳法证明其正确性。 3.累乘法:利用3 21 121 (0,2)n n n n a a a a a a n a a a -=???≠≥型如: 1()n n a g n a += 4.构造新数列: 类型1累加法 )(1n f a a n n +=+ 类型2 累乘法 n n a n f a )(1=+ 类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p q t -=1，转化为等比数列求解。类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。（或1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数）解法：先在原递推公式两边同除以1 +n q ，得：q q a q p q a n n n n 111+?=++引入辅助数列{}n b （其中n n n q a b =），得：q b q p b n n 1 1+=+再待定系数法解决。类型5 递推公式为n S 与n a 的关系式。(或()n n S f a =) 解法：1.利用?? ?≥???????-=????????????????=-) 2() 1(11n S S n S a n n n 2.升降标相减法二、数列求和的常用方法 1.直接或转化等差、等比数列的求和公式求和（1）等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= （2）等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 2.错位相减法设数列{}n a 的等比数列，数列{}n b 是等差数列，则求数列{}n n b a 的前n 项和n S 。 3.裂项求和法（1）1 1 1)1(1+- =+=n n n n a n （2）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n 等。4.分组求和法：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。 5.逆序相加法把数列正着写和倒着写再相加（即等差数列求和公式的推导过程的推广）

数列中an与Sn的关系

课题浅谈数列中a n 与S n 的递推公式的应用对于任意一个数列，当定义数列的前n 项和通常用S n 表示时，记作S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，此时通项公式a n ＝??? S 1，n ＝1， S n －S n －1 ，n ≥2．而对于不同的题目中的a n 与S n 的递推关系，在解题时又应该从哪些方向去灵活应用a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)去解决不同类型的问题呢？我们将从下面三个角度去探索在各类考试中出现的a n 与S n 相关的问题：归纳起来常见的角度有：角度一：直观运用已知的S n ，求a n ；角度二：客观运用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，求与a n ，S n 有关的结论；角度三：a n 与S n 的延伸应用．角度一：直观运用已知的S n ，求a n 方法：已知S n 求a n 的三个步骤(此时S n 为关于n 的代数式)： (1)先利用a 1＝S 1求出a 1； (2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；

(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．同时，在部分题目中需要深刻理解“数列的前n 项和”的实际意义，对“和的式子”有本质的认识，这样才能更好的运用S n 求解．如：a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n －1，其中a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 表示数列{na n }的前n 项和． 1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n ＋2，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝2n －3 B ．a n ＝2n ＋3 C ．a n ＝??? 1，n ＝12n －3，n ≥2 D ．a n ＝??? 1，n ＝1 2n ＋3，n ≥2 【解析】当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －3．当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，不满足上式．【答案】C 2．(2015·河北石家庄一中月考)数列{a n }满足：a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －1)·a n ＝(n －1) ·3n +1＋3(n ∈N *)，则数列的通项公式a n ＝．【解析】当n ≥2时，a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)·a n －1＝(n －2) ·3n ＋3；则用已知等式减去上式得(2n －1)·a n ＝(2n －1)·3n ，得a n ＝3n ；当n ＝1时，a 1＝3，满足上式；故a n ＝3n ．【答案】a n ＝3n 3．(2015·天津一中月考)已知{a n }的前n 项和为S n ，且满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则a n ＝．【解析】由已知得S n ＋1＝2n ＋1，则S n ＝2n ＋1－1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－1－2n ＋1＝2n ；当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，不满足上式；故a n ＝? ?? 3，n ＝1 2n ，n ≥2．

数列通项公式和前n项和求解方法全

数列通项公式的求法详解一、观察法（关键是找出各项与项数n 的关系.）例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999， (2) ,1716 4,1093 ,542,21 1（3） ,52,21,32 ,1（4） ,5 4 ,43,32 ,21-- 答案：（1）110-=n n a （2）;122++=n n n a n （3）;12+=n a n （4）1 )1(1+? -=+n n a n n . 二、公式法公式法1：特殊数列例2：已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2 ，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，求数列{ a n }和{ b n }的通项公式。答案：a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)； b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1 例3. 等差数列{}n a 是递减数列，且432a a a ??=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是（） (A) 122-=n a n (B) 42+=n a n (C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n 答案：(D) 例4. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<

数列通项公式方法大全很经典

1，数列通项公式的十种求法：（1）公式法（构造公式法）例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。解：1232n n n a a +=+?两边除以12n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113222 n n n n a a ++-= ，故数列{}2n n a 是以1 2 22a 11==为首项，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31 ()222 n n a n =-。评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 113222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出3 1(1) 22 n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。（2）累加法例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出 11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-+ +-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。变式：已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。（3）累乘法例3已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。

数列中An与Sn的关系(选用)

n a 与n S 的关系数列是高中数学的重要内容之一，也是高考的的考查重点。在数列这部分的内容中，一定要处理好数列{}n a 的通项n a 与前n 项和n S 的关系，即 ?? ?≥-==-．，2,111n S S n S a n n n 。下面通过几例，与同行共同探讨。一．已知n S 求n a 例1 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1)1(l o g 2+=+n S n ，求数列{}n a 的通项公式。解：由1)1(log 2+=+n S n 得，121-=+n n S ，当1=n 时，311==S a ；当2≥n 时，1--=n n n S S a n n n 2)12()12(1=---=+，综上所述，数列{}n a 的通项公式为? ??≥==．2,2,1,3n n a n n 二．已知n a 求n S 例2 已知数列{}n a ，)(2 *∈=N n n a n n ，求{}n a 的前n 项和n S 。解：∵n n a a a a S ++++= 321 ∴n S = n n n n 2 21242322211432+-+++++- -------------------------（1）在（1）两边同乘以2 1得 143222123222121++-++++=n n n n n S --------------------------（2） )2()1(-得 14322)21212121(2121+-+++++=n n n n S =12 21++-n n ∴n n n S 222+-=。三．已知n a 与n S 的关系，求n a 或n S 例 3 设{}n a 是正数组成的数列，其前n 项和为n S ，且对于所有的正数n ，n a 与2的等差中项等于n S 与2的等比中项，求{}n a 的通项公式。解：由题意知 n n S a 222=+，∴8 )2(2+=n n a S ，又8)2(211+=--n n a S

数列的通项公式与前n项和练习题

数列练习题一、选择题：（）1．若数列}{n a 的通项公式为122-+=n a n n ，则数列}{n a 的前n 项和为 A 、122-+n n B 、1221-++n n C 、2221-++n n D 、22-+n n （）2．数列}{n a 的通项公式为)34()1(1-?-=-n a n n ，则它的前100项之和100S 等于 A 、200 B 、-200 C 、400 D 、-400 （）3．在数列}{n a 中，21=a ，)11ln(1n a a n n ++=+，则n a 等于 A 、n ln 2+ B 、n n ln )1(2-+ C 、n n ln 2+ D 、n n ln 1++ （）4．数列}{n a 对任意的q p ,*∈N 满足q p q p a a a +=+，且62-=a ，那么10a 等于 A 、-165 B 、-33 C 、-30 D 、-21 （）5.已知数列{n a }中，11=a ，2 21+=+n n n a a a （*∈N n ），则5a 等于 A 、52 B 、31 C 、32 D 、2 1 （）6．在数列}{n a 中，11=a ，52=a ，n n n a a a -=++12（*∈N n ），则1000a 等于 A 、5 B 、-5 C 、1 D 、-1 （）7．在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5…中100a 等于 A 、13 B 、100 C 、10 D 、14 （）8．数列1，3，6，10，15，…的递推公式是 A 、???∈+==*+)( 11 1N n n a a a n n B 、???≥∈+==*-)2,( 111n N n n a a a n n C 、???≥∈++==*+)2,( 1 111n N n n a a a n n D 、???∈-+==*-)( 1 111N n n a a a n n （）9．数列}{n a 的通项)3 sin 3(cos 222ππn n n a n -=，其前n 项和为n S ，则30S 为 A 、470 B 、490 C 、495 D 、510 （）10．数列}{n a 首项为3，}{n b 为等差数列，且n n n a a b -=+1（*∈N n ），若23-=b ， 1210=b ，则=8a A 、0 B 、3 C 、8 D 、11

数列通项公式前n项和求法总结全

一.数列通项公式求法总结： 1.定义法 —— 直接利用等差或等比数列的定义求通项。特征：适应于已知数列类型（等差或者等比）．例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，2 55a S =．求数列 {}n a 的通项公式. 变式练习： 1.等差数列{}n a 中,71994,2,a a a ==求{}n a 的通项公式 2. 在等比数列{}n a 中,212a a -=,且22a 为13a 和3a 的等差中项,求数列{}n a 的首项、公比及前n 项和. 2.公式法求数列{}n a 的通项n a 可用公式???≥???????-=????????????????=-21 11n S S n S a n n n 求解。特征：已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系例2.已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式，求}{n a 的通项公式。（1）13-+=n n S n 。（2）12-=n s n 变式练习：

1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S =2n 2+n ，n ∈N ﹡，数列{b }n 满足n a =4log 2n b +3，n ∈N ﹡.求n a ，n b 。 2. 已知数列{}n a 的前n 项和21 2n S n kn =-+（*k N ∈）,且S n 的最大值为8，试确定常数k 并求n a 。 3. 已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n n n S n ，2 2.求数列{}n a 的通项公式。 3.由递推式求数列通项法类型1 特征：递推公式为 ) (1n f a a n n +=+ 对策：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法求解。例3. 已知数列{}n a 满足211= a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。变式练习： 1. 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列：求通项公式类型2 特征：递推公式为 n n a n f a )(1=+ 对策：把原递推公式转化为 )(1 n f a a n n =+，利用累乘法求解。例4. 已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 1 1+=+，求n a 。变式练习：

数列通项公式前n项和求法总结全

数列通项公式前n项和求法总结全 YUKI was compiled on the morning of December 16, 2020

一.数列通项公式求法总结： 1.定义法 —— 直接利用等差或等比数列的定义求通项。特征：适应于已知数列类型（等差或者等比）．例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，2 55a S =．求数列{}n a 的通项公式. 变式练习： 1.等差数列{}n a 中,71994,2,a a a ==求{}n a 的通项公式 2. 在等比数列{}n a 中,212a a -=,且22a 为13a 和3a 的等差中项,求数列{}n a 的首项、公比及前n 项和. 2.公式法求数列{}n a 的通项n a 可用公式???≥???????-=????????????????=-21 11n S S n S a n n n 求解。特征：已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系例2.已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式，求}{n a 的通项公式。（1）13-+=n n S n 。（2）12-=n s n 变式练习：

利用an与sn的关系解题

利用n a 与n S 的关系解题例1.（1994全国文，25）设数列{a n }的前n 项和为S n ，若对于所有的正整数n ，都有S n = 2 ) (1n a a n +.证明：{a n }是等差数列. 解：证法一：令d =a 2－a 1，下面用数学归纳法证明a n =a 1+（n －1）d （n ∈N *） ①当n =1时，上述等式为恒等式a 1=a 1，当n =2时，a 1+（2－1）d =a 1+（a 2－a 1）=a 2，等式成立. ②假设当n =k （k ∈N ，k ≥2）时命题成立，即a k =a 1+（k －1）d 由题设，有2 ) )(1(,2)(1111++++=+= k k k k a a k S a a k S ，又S k +1=S k +a k +1，所以2 ) (2))(1(111k k a a k a a k +=++++a k +1 将a k =a 1+（k －1）d 代入上式，得（k +1）（a 1+a k +1）=2ka 1+k （k －1）d +2a k +1 整理得（k －1）a k +1=（k －1）a 1+k （k －1）d ∵k ≥2，∴a k +1=a 1+［（k +1）－1］d . 即n =k +1时等式成立. 由①和②，等式对所有的自然数n 成立，从而{a n }是等差数列. 证法二：当n ≥2时，由题设，2 ) (,2))(1(1111 n n n n a a n S a a n S +=+-= -- 所以2 ) )(1(2)(11211--+--+=-=n n n n a a n a a n S S a 同理有2) (2))(1(1111n n n a a n a a n a +-++=++ 从而2 ) )(1()(2))(1(111111-+++-++-++=-n n n n n a a n a a n a a n a a 整理得：a n +1－a n =a n －a n －1，对任意n ≥2成立. 从而{a n }是等差数列. 评述：本题考查等差数列的基础知识，数学归纳法及推理论证能力，教材中是由等差数列的通项公式推出数列的求和公式，本题逆向思维，由数列的求和公式去推数列的通项公式，有一定的难度.考生失误的主要原因是知道用数学归纳法证，却不知用数学归纳法证什么，这里需要把数列成等差数列这一文字语言，转化为数列通项公式是a n =a 1+（n －1）d 这一数学符号语言.证法二需要一定的技巧. 例2.（2010年高考安徽卷理科20）设数列12,,,,n a a a 中的每一项都不为0. 证明：{}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ，都有 1223 111 111n n n n a a a a a a a a +++++ = . 证：先证必要性. 设数列{}n a 的公差为d .若0d =，则所述等式显然成立. 若0d ≠，则 12231111 n n a a a a a a ++++ 2132112 231 1()n n n n a a a a a a d a a a a a a ++---=++ + 1223 1 1111111 [()()( )]n n d a a a a a a += -+-++-11111()n d a a +=- 11n n a a +=.

数列的通项公式与前n项和的关系资料讲解

1.（11辽宁T17）已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10 （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）求数列??????-12n n a 的前n 项和．【测量目标】等差数列的通项，数列的通项公式{}n a 与前n 项和n S 的关系. 【难易程度】容易【试题解析】（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得110,21210, a d a d +=??+=-? 解得11,1.a d =??=-? 故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =-（步骤1）（II ）设数列1{}2n n a -的前n 项和为n S ，即211,22 n n n a a S a -=+++L 故11S =（步骤2） 12.2242 n n n S a a a =+++L 所以，当1n >时， 1211111222211121()2422 121(1)22 n n n n n n n n n n n S a a a a a S a n n -------=+++--=-+++--=---L L = .2n n （步骤3）所以1.2n n n S -= 综上，数列11{ }.22 n n n n a n n S --=的前项和（步骤4） 2.（10上海T20）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且585n n S n a =--，n +∈N . （1）证明：{}1n a -是等比数列；（2）求数列{}n S 的通项公式，并求出n 为何值时，n S 取得最小值，并说明理由. 【测量目标】数列的通项公式n a 与前n 项和n S 的关系.

求通项公式的几种方法与总结

睿博教育学科教师讲义讲义编号： LH-rbjy0002 副校长/组长签字：签字日期：教学内容数列通项及求和主干知识整合： 1．数列通项求解的方法 (1)公式法；(2)根据递推关系求通项公式有：①叠加法；②叠乘法；③转化法．(3)不完全归纳法即从特殊到一般的归纳法；(4)用a n ＝?? ? S 1n ＝1 S n －S n －1n ≥2 求解． 2．数列求和的基本方法： (1)公式法；(2)分组法；(3)裂项相消法；(4)错位相减法；(5)倒序相加法． ? 探究点一公式法如果所给数列满足等差或者等比数列的定义，则可以求出a 1，d 或q 后，直接代入公式求出a n 或S n . 已知{a n }是等差数列，a 10＝10，前10项和S 10＝70，则其公差d ＝________. ? 探究点二根据递推关系式求通项公式如果所给数列递推关系式，不可以用叠加法或叠乘法，在填空题中可以用不完全归纳法进行研究．例2 (1)已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝5a n －13 3a n －7(n ∈N *)，则数列{a n }的前100项的和为________． (2)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，a 2＝2，b 1＝2，且对任意的正整数i ，j ，k ，l ，当i ＋j ＝k ＋l

时，都有a i ＋b j ＝a k ＋b l ，则 12010∑=+2010 1 i i i )b (a 的值是________． (1)200 (2)2012 【解析】 (1)由a 1＝2，a n ＋1＝5a n －133a n －7(n ∈N * )得a 2＝5×2－133×2－7＝3，a 3＝5×3－133×3－7＝ 1，a 4＝5×1－13 3×1－7 ＝2，则{a n }是周期为3的数列，所以S 100＝(2＋3＋1)×33＋2＝200. (2)由题意得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 4＝4，a 5＝5；b 1＝2，b 2＝3，b 3＝4，b 4＝5，b 5＝6.归纳得a n ＝n ， b n ＝n ＋1；设 c n ＝a n ＋b n ，c n ＝a n ＋b n ＝n ＋n ＋1＝2n ＋1，则数列{c n }是首项为c 1＝3，公差为2的等差数列，问题转化为求数列{c n }的前2010项和的平均数．所以12010∑=+20101i i i )b (a ＝12010× 2010× 3＋4021 2 ＝2012. ? 探究点四数列的特殊求和方法数列的特殊求和方法中以错位相减法较为难掌握，其中通项公式{a n b n }的特征为{a n }是等差数列，{b n }是等比数列．例4 在各项均为正数的等比数列{a n }中，已知a 2＝2a 1＋3，且3a 2，a 4,5a 3成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝log 3a n ，求数列{a n b n }的前n 项和S n . 【解答】 (1)设{a n }公比为q ，由题意得q >0，且?? ? a 2＝2a 1＋3，3a 2＋5a 3＝2a 4，即??? a 1q －2＝3，2q 2 －5q －3＝0，解得?? ? a 1＝3，q ＝3 或? ?? ?? a 1 ＝－6 5，q ＝－12(舍去)，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3·3n －1＝3n ，n ∈N *. (2)由(1)可得b n ＝log 3a n ＝n ，所以a n b n ＝n ·3n . 所以S n ＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n ·3n ，① 3S n ＝1·32＋2·33＋3·34＋…＋n ·3n ＋1.② ②－①得，2S n ＝－3－(32＋33＋…＋3n )＋n ·3n ＋1 ＝－(3＋32＋33＋…＋3n )＋n ·3n ＋1，＝－ 31－3n 1－3 ＋n ·3n ＋1＝3 2 (1－3n )＋n ·3n ＋1