专题九 解析几何
第二十七讲 抛物线
答案部分
1．C 【解析】由题意可知，如图60MFx ∠=，又抛物线的定义得MF MN =，所以MNF ?
为等边三角形，在三角形NFH 中，2FH =，
cos 60FH
NF
=，得4NF =，所以M 到NF 的距离为等边三角形MNF ?中NF 3
23NF =C ． 2．D 【解析】易知抛物线的焦点为(1,0)F ，设(,)P P P x y ，由PF x ⊥轴得1P x =，代入
抛物线方程得2P y =(2-舍去)，把(1,2)P 代入曲线(0)k
y k x
=>的2k =，故选D ．
3．B 【解析】因为抛物线的准线方程为12
p
x =-
=-，∴2p =，∴焦点坐标为(1,0)． 4．D 【解析】当直线l 的斜率不存在时，这样的直线l 恰好有2条，即5x r =±，所以
05r <<；所以当直线l 的斜率存在时，这样的直线l 有2条即可．设11(,)A x y ，
22(,)B x y ，
00(,)M x y ，则120
12022x x x y y y +=??+=?．又211222
44y x y x ?=?=?，
两式相减得121212()()4()y y y y x x +-=-，1212120
42
AB y y k x x y y y -=
==-+．
设圆心为(5,0)C ，则0
05
CM y k x =
-，因为直线l 与圆相切， 所以
0002
15
y y x ?=--，解得03x ，于是220
4y r =-，2r ，又2004y x <， 即2
412r -<，所以0
4r ，又05r ，2r 所以24r <<，选D ．
5．C 【解析】过点Q 作QQ l '⊥交l 于点Q '，因为4PF FQ =，所以||:||3:4PQ PF =，
又焦点F 到准线l 的距离为4，所以||||3QF QQ '==．故选C ．
6．D 【解析】易知抛物线中32p =
，焦点3
(,0)4
F ，直线AB 的斜率33k =，故直线AB 的
方程为33()34y x =
-，代入抛物线方程23y x =，整理得2219
0216
x x -+=． 设1122(,),(,)A x y B x y ，则1221
2
x x +=
，由物线的定义可得弦长 12||12AB x x p =++=，结合图象可得O 到直线AB 的距离3sin 3028
p d =
=， 所以OAB ?的面积19
||24
S AB d =
?=． 7．D 【解析】∵(2,3)A -在抛物线2
2y px =的准线上，∴22
p -
=-．
∴4p =，∴2
8y x =， 设直线AB 的方程为(3)2x k y =--①，将①与2
8y x =联立， 得2
824160y ky k -++=②，则△=2
(8)4(2416)0k k --+=， 即22320k k --=，解得2k =或1
2
k =-
（舍去）， 将2k =代入①②解得8,8x y ==，即(8,8)B ，又(2,0)F ，∴4
3
BF k =，故选D ． 8．C 【解析】∵2OF =
，由抛物线的定义可得P 点的坐标()
32,26±，
∴POF ?的面积为
11
2262322
P OF y =??=． 9．C 【解析】依题意可得AF 所在直线方程为
12
x
y +=代入x 2=4y 得352y -=， 又|FM |：|MN |=（1-y ）：（1+y ）＝1:
．
10．C 【解析】设2
2
2
:(0)C x y a a -=>交x y 162
=的准线:4l x =-
于(4,3)A -(4,3)B --
得：222
(4)(23)4224a a a =--=?=?=
11．D 【解析】∵双曲线1C ：22
221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2,所以23.c b a a
=?=
又渐近线方程为0,bx ay ±=所以双曲线1C 30.x y ±=
而抛物22:2(0)C x py p =>的焦点坐标为(0,),2p 22|
|
228(3)1
p
p =?=+.
故选D ．
12．C 【解析】设抛物线的方程为2
2y px =，易知||212AB p ==，即6p =，
∵点P 在准线上，∴P 到AB 的距离为6p =，所以ABP ?面积为36，故选C ．
13．(1,0)【解析】由题意知0a >，对于2
4y ax =，当1x =时，y a =±l 被抛
物线2
4y ax =截得的线段长为4，所以44a =，所以1a =，所以抛物线的焦点坐标
为(1.0)．
14．222
2y px =的准线方程为2p x =-
，又0p ，所以2
p
x =-必经过双曲线22
1x y -=的左焦点(2,0)，所以22
p
-
=-，2p = 15．12+BC= CD ，结合抛物线的定义得点D 为抛物线的
焦点，所以||AD p a ==，D (
,0)2p (,)2
p
F b b +，将点F 的坐标代入抛物线的方程得222()22p b p b a ab =+=+，变形得22()10b b
a a --=，
解得12b a =12b a =，所以12b a
=
16．2，1x =-【解析】1,22p p ==；准线12
p
x =-=-．
17．62【解析】建立直角坐标系，使拱桥的顶点O 的坐标为（0,0），设抛物线的方程为
22x py =-，l 与抛物线的交点为A 、B ，
根据题意知A （–2，–2），B （2，–2） 则有()2
22-?=-a ，∴2
1
-
=a ∴抛物线的解析式为22
1x y -
= 水位下降1米，则y=–3，此时有6=x 或6-=x
∴此时水面宽为62米．
18．
324【解析】由题意可得p 的值为2，B 点坐标为（
14
2
，）所以点B 到抛物线准3
24
19．【解析】(1)由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->．
设1221(,),(,)A y x y x B ， 由2
(1),
4y k x y x
=-??
=?得2222
(24)0k x k x k -++=．
2
16160k ?=+>，故1222
24
k
x k x ++=． 所以122244
||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=．
由题设知22
44
8k k
+=，解得1k =-（舍去），1k =． 因此l 的方程为1y x =-．
(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--， 即5y x =-+．
设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则
0022
0005,
(1)(1)16.2
y x y x x =-+???-++=
+??解得003,2x y =??=?或0011,6.x y =??=-? 因此所求圆的方程为2
2
(3)(2)16x y -+-=或2
2
(11)(6)144x y -++=．
20．【解析】(1)设00(,)P x y ，211(,)4y A y ，2
2
2(,)4
y B y ．
因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以1y ，2y 为方程
2
21014
()422
y x y y ++=?即22
10100280y y y x y -+-=的两个不同的实数根． 所以1202y y y +=． 因此，PM 垂直于y 轴．
(2)由(1)可知120
2
1200
28y y y y y x y +=??
=-?
所以22
21200013||()384
PM y y x y x =
+-=-，2120
0||22(4)y y y x -=- 因此，PAB ?的面积3
221200132||||4)2PAB
S PM y y y x ?=?-=-． 因为2
200
14
y x +
=0(0)x <，所以22
00004444[4,5]y x x x -=--+∈． 因此，PAB ?面积的取值范围是1510
[62,
4
． 21．【解析】（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12x x ≠，2114x y =，2
224
x y =，x 1+x 2=4，
于是直线AB 的斜率1212
1214
y y x x k x x -+===-．
（2）由24x y =，得2
x
y'=．
设33(,)M x y ，由题设知312
x
=，解得32x =，于是(2,1)M ．
设直线AB 的方程为y x m =+，故线段AB 的中点为(2,2)N m +，|||1|MN m =+．
将y x m =+代入2
4
x y =得2440x x m --=．
当16(1)0m ?=+>，即1m >-时，1,221x m =±+ 从而12||=2|42(1)AB x x m -=+．
由题设知||2||AB MN =，即42(1)2(1)m m +=+，解得7m =． 所以直线AB 的方程为7y x =+． 22．【解析】（Ⅰ）设直线AP 的斜率为k ，
21
14122x k x x -
=
=-+， 因为13
22
x -<<，所以直线AP 斜率的取值范围是(1,1)-。
（Ⅱ）联立直线AP 与BQ 的方程 解得点Q 的横坐标是 因为
||PA 21
1()2
k x ++=21(1)k k ++
||PQ = 2
1()Q k x x +-=2
2
1
k +，
所以
||||PA PQ =3(1)(1)k k --+
令()f k =3
(1)(1)k k --+， 因为
2()(42)(1)f k k k '=--+，
所以()f k 在区间1(1,)2
-上单调递增，1(,1)2
上单调递减，
因此当12k =时，||||PA PQ 取得最大值27
16
．
23．【解析】（Ⅰ）由已知得),0(t M ，),2(2
t p
t P . 又N 为M 关于点P 的对称点，故),(2
t p t N ，ON 的方程为x t
p y =，
代入px y 22
=整理得022
2
=-x t px ，解得01=x ，p
t x 2
22=，
因此)2,2(2t p t H ．所以N 为OH 的中点，即2|
|||=ON OH ． （Ⅱ）直线MH 与C 除H 以外没有其它公共点.理由如下： 直线MH 的方程为x t
p t y 2=
-，即)(2t y p t
x -=.
代入px y 22
=得0442
2=+-t ty y ，解得t y y 221==，即直线MH 与C 只有一个
公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其它公共点.
24．【解析】（Ⅰ）由题设)0,2
1
(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且
22111(,),(,),(,),(,),(,)222222
a b a b A a B b P a Q b R +---. 记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . （Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab .
记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则
22
2111k b a
ab
a a
b a b a a b a k =-=-==--=+-=
. 所以FQ AR ∥.
（Ⅱ）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ， 则2,21
21211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=--=-=
??. 由题设可得1112222
a b
b a x -?
--=，所以01=x （舍去），11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(1
2≠-=+x x y
b a . 而
y b
a =+2
，所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合．所以所求轨迹方程为12
-=x y .
25．【解析】(Ⅰ)由题意得抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线1x =-的距离．
由抛物线的第一得
12
p
=，即2p =. (Ⅱ)由(Ⅰ)得抛物线的方程为2
4,(1,0)y x F =，可设2(,2),0,1A t t t t ≠≠±.
因为AF 不垂直于y 轴，可设直线AF :1x sy =+,()0s ≠,由241
y x
x sy ?=?=+?消去x 得
2440y sy --=，故124y y =-，所以212,B t
t ??
- ???.
又直线AB 的斜率为212t
t -，故直线FN 的斜率为212t t --，
从而的直线FN ：()2112t y x t -=--，直线BN ：2
y t
=-，
所以22
32,1t N t t ??
+- ?-?
?，
设M (m ,0)，由A ，M ，N 三点共线得：2222
2
223
1
t t t t t m t t +
=
+---， 于是2
221
t m t =-，经检验，0m <或2m >满足题意.
综上，点M 的横坐标的取值范围是()
(),02,-∞+∞.
26．【解析】（Ⅰ）由题意可知，直线PA 的斜率存在，故可设直线PA 的方程为()y k x t =-．
所以()
2
14
y k x t y x ?=-??=??消去y ．整理得：2
440x kx kt -+=． 因为直线PA 与抛物线相切，所以2
Δ16160k kt =-=，解得k t =. 所以2x t =，即点2
(2,)A t t ．设圆2C 的圆心为(0,1)D ， 点B 的坐标为00(,)x y ，由题意知，点,B O 关于直线PD 对称，
故有0
00
01220y x t x t y ?=-+?
??-=?，解得2002222,11t t x y t t ==++．即点222
22(,)11t t B t t ++． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，21AP t t =+， 直线AP 的方程为2
0tx y t --=， 所以点B 到直线PA 的距离为22
1d t
=
+．
所以PAB ?的面积为3
122
t S AP d =?=．
27．【解析】解法一：（Ⅰ）由抛物线的定义得||2
2
p
AF ． 因为||3AF ，即232
p
+
=，解得2p =， 所以抛物线E 的方程为2
4y x =．
（Ⅱ）因为点()2,m A 在抛物线:E 2
4y x =上，
所以22m =±(2,22A ． 由(2,22A ，()F 1,0可得直线F A 的方程为)221y x =-．
由)2214y x y x
?=-??=??，得22520x x -+=，
解得2x =或12x =，从而1,22?B - ?． 又()G 1,0-，
所以()G 22022
213k A =
=
--，()G 20221312
k B ==---， 所以G G 0k k A B +=，从而AGF BGF ∠=∠，这表明点F 到直线,GA GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切． 解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r ． 因为点(2,)A m 在抛物线E ：2
4y x =上，
所以22m =±(2,22A ． 由(2,22A ，()F 1,0可得直线F A 的方程为)221y x =-．
由)2214y x y x
?=-??=??，得22520x x -+=，
解得2x =或12x =，从而1
(,2)2
B -．
又(1,0)G -，故直线G A 的方程为223220x y -+=，
从而2222
42
89
17
r +=
=
+ 又直线GB 的方程为23220x y ++=，
所以点F 到直线GB 的距离2222
42
89
17
d r +=
=
=+． 这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．
28．【解析】（Ⅰ）由题意知(
,0)2p F ，设(,0)(0)D t t >，则FD 的中点为2(,0)4
p t
+ 因为FA FD =，由抛物线的定义可知322
p p
t +=-， 解得3t p =+或3t =-（舍去） 由
234
p t
+=，解得2p =．所以抛物线C 的方程为24y x =． （Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知(1,0)F ，设0000(,)(0)A x y x y ≠．(,0)(0)D D D x x > 因为FA FD =，则011D x x -=+，
由0D x >得02D x x =+，故0(2,0)D x +，故直线AB 的斜率0
2
AB y k =- 因为直线1l 和直线AB 平行， 设直线1l 的方程为02
y y x b =-
+，代入抛物线的方程得200880b
y y y y +-=，
由题意20064320b y y ?=
+=，得0
2
b y =- 设(,)E E E x y ，则200
44
,E E y x y y =-
= 当2
04y ≠时，0020044
E AE E y y y
k x x y -=
=--，
可得直线AE 的方程为0002
04()4
y y y x x y -=
--，由2
04y x =， 整理得0
2
04(1)4
y y x y =
--，直线AE 恒过点(1,0)F 当2
04y =时，直线AE 的方程为1x =，过点(1,0)F ，所以直线AE 过定点(1,0)F ．
（ⅱ）由（ⅰ）知直线AE 过定点(1,0)F ， 所以0000
11
(1)(
1)2AE AF FE x x x x =+=+++=++。 设直线AE 的方程为1x my =+，因为点00(,)A x y 在直线AE 上
故001x m y -=
．设11(,)B x y ，直线AB 的方程为000()2
y
y y x x -=-- 由于00y ≠，可得0022x y x y =-++，代入抛物线的方程得200
8
840y y x y +--=
所以0108y y y +=-
，可求得1008y y y =--，100
4
4x x x =
++ 所以点B 到直线AE 的距离为
0000
2
48
4()11x m y x y d m ++++-=
+00
x =00
4()x x 则ABE ?的面积0000
114()(2)162S x x x x =
?++≥， 当且仅当
00
1
x x =即01x =时等号成立， 所以ABE ?的面积的最小值为16．
29．【解析】（Ⅰ）在1C ，2C 方程中，令0y =，可得b=1,且得(1,0),(1,0)A B -是上半椭圆
1C 的左右顶点，
设1C 的半焦距为c ，由
3c a =及222
1a c b -==，解得2a =，所以2a =，1b = （Ⅱ）由（Ⅰ）知，上半椭圆1C 的方程为2
21(0)4
y x y +=≥， 易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为(1)(0)y k x k =-≠ 代入1C 的方程中，整理得：2
2
2
2
(4)240k x k x k +-+-= （*）
设点P 的坐标(,)P P x y ，由韦达定理得2
224P B k x x k +=+
又(1,0)B ，得2244P k x k -=+，从而求得284
P k
y k -=+
所以点P 的坐标为22
248(,)44
k k
k k --++． 同理，由2
(1)(0)1(0)
y k x k y x y =-≠??
=-+≤?得点Q 的坐标为2
(1,2)k k k ---- 22(,4)4
k
AP k k ∴=
+，(1,2)AQ k k =-+ AP AQ ⊥，0AP AQ ∴?=,即2
2
2[4(2)]04
k k k k --+=+ 0k ≠，4(2)0k k ∴-+=，解得8
3
k =-
经检验，83k =-符合题意，故直线l 的方程为8
(1)3
y x =--
30．【解析】（Ⅰ）依题意02
32
2
c d --=
=
1c =（负根舍去） ∴抛物线C 的方程为24x y =．
（Ⅱ）设点11(,)A x y ,22(,)B x y ，),(00y x P ， 由2
4x
y =,即2
14y x ,=
得y '=12
x ． ∴抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为)(2
11
1x x x y y -=
-， 即21112
1
2x y x x y -+=
． ∵2
114
1x y =
， ∴112y x x y -=．
∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴101
02
y x x y -=
. ① 同理， 202
02
y x x y -=
. ② 综合①、②得，点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标都满足方程 y x x
y -=002
. ∵经过1122(,),(,)A x y B x y 两点的直线是唯一的，
∴直线AB 的方程为y x x
y -=
002
，即00220x x y y --=． （Ⅲ）由抛物线的定义可知121,1AF y BF y =+=+， 所以()()121212111AF BF y y y y y y ?=++=+++
联立2004220x y x x y y ?=?--=?，消去x 得()22
200020y y x y y +-+=， ∴当012y =-时，AF BF ?取得最小值为9
2
．
31．【解析】（Ⅰ）由对称性知：BFD ?是等腰直角?，斜边2BD p =
点A 到准线l 的距离2d FA FB ===
圆F 的方程为2
2
(1)8x y +-=
（Ⅱ）由对称性设2
000(,)(0)2x A x x p >，则(0,)2
p F 点,A B 关于点F 对称得：22
2
20000(,)3222
x x p B x p p x p p p --?-=-?= 得：3(3,)2p A ，直线3322:3023p p p p m y x x p -
=
+?= 22
33
22x x x py y y x p p p '=?=?==?=?切点3,)36p P 直线333
:)306336
p n y x x p -
=-?-= 坐标原点到,m n 距离的比值为
33:326
=． 32．【解析】（Ⅰ）设(,)M x y ，由已知得(,3)B x -，(0,1)A -． 所以MA =(,1)x y ---， MB =(0，3y --)， AB =(x ，-2).
再由题意可知（MA +MB ）? AB =0， 即（x -，42y --）? (x ，－2)=0．
所以曲线C 的方程式为2
124
y x =
-．
（Ⅱ）设00(,)P x y 为曲线C ：2124y x =-上一点，因为12y x '=，所以l 的斜率为01
2
x ，
因此直线l 的方程为0001()2
y y x x x -=-，即2
000
220x x y y x -+-=． 则O 点到l 的距离2
002
04
d x =
+．又2
00124
y x =
-，所以
当2
0x =0时取等号，所以O 点到l 距离的最小值为2．
圆锥曲线第3讲抛物线 【知识要点】 一、抛物线的定义 平面内到某一定点F的距离与它到定直线l（l F?）的距离相等的点的轨迹叫抛物线，这个定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。 注1：在抛物线的定义中，必须强调：定点F不在定直线l上，否则点的轨迹就不是一个抛物线，而是过点F且垂直于直线l的一条直线。 注2：抛物线的定义也可以说成是：平面内到某一定点F的距离与它到定直线l（l F?）的距离之比等于1的点的轨迹叫抛物线。 注3：抛物线的定义指明了抛物线上的点到其焦点的距离与到其准线的距离相等这样一个事实。以后在解决一些相关问题时，这两者可以相互转化，这是利用抛物线的定义解题的关键。 二、抛物线的标准方程 1.抛物线的标准方程 抛物线的标准方程有以下四种： （1） px y2 2= （ > p），其焦点为 )0, 2 ( p F ，准线为2 p x- = ； （2） px y2 2- =（0 > p），其焦点为 )0, 2 ( p F- ，准线为2 p x= ； （3） py x2 2= （ > p），其焦点为 ) 2 ,0( p F ，准线为2 p y- = ； （4） py x2 2- = （ > p），其焦点为 ) 2 ,0( p F- ，准线为2 p y= . 2.抛物线的标准方程的特点
抛物线的标准方程px y 22±=（0>p ）或py x 22±=（0>p ）的特点在于：等号的一端 是某个变元的完全平方，等号的另一端是另一个变元的一次项，抛物线方程的这个形式与其位置特征相对应：当抛物线的对称轴为x 轴时，抛物线方程中的一次项就是x 的一次项，且一次项x 的符号指明了抛物线的开口方向；当抛物线的对称轴为y 轴时，抛物线方程中的一次项就是y 的一次项，且一次项y 的符号指明了抛物线的开口方向. 三、抛物线的性质 以标准方程 px y 22 =（0>p ）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。 （1）范围：0≥x ，R y ∈； （2）顶点：坐标原点)0,0(O ； （3）对称性：关于x 轴轴对称，对称轴方程为0=y ； （4）开口方向：向右； （5）焦参数：p ； （6）焦点： )0,2(p F ； （7）准线： 2p x - =； （8）焦准距：p ； （9）离心率：1=e ； （10）焦半径：若 ) ,(00y x P 为抛物线 px y 22=（0>p ）上一点，则由抛物线的定义，有20p x PF + =； （11）通径长：p 2. 注1：抛物线的焦准距指的是抛物线的焦点到其相应准线的距离。以抛物线 px y 22=
【最新】《平面解析几何》专题 一、选择题 1．若点O 和点F 分别为椭圆22 143 x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则 OP FP →→ g 的最大值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【答案】C 【解析】 【分析】 设(),P x y ，由数量积的运算及点P 在椭圆上，可把OP FP ?u u u r u u u r 表示成为x 的二次函数，根 据二次函数性质可求出其最大值. 【详解】 设(),P x y ，()()1,0,0,0F O -，则 ()(),,+1,OP x y FP x y ==u u u r u u u r ，则 22OP FP x x y ?=++u u u r u u u r ， 因为点P 为椭圆上，所以有：22143 x y +=即2 2334y x =-， 所以()2222 23132244 x x y x x x FP x OP =++=?++-=++u u u r u u u r 又因为22x -≤≤， 所以当2x =时，OP FP ?u u u r u u u r 的最大值为6 故选：C 【点睛】 本题考查了数量积的坐标运算，求二次函数的最大值，属于一般题. 2．已知直线21y kx k =++与直线1 22 y x =-+的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是（ ） A ．1 2 k > B ．16k <- 或1 2 k > C ．62k -<< D ．1162 k - << 【答案】D 【解析】 【分析】 联立21 1 22y kx k y x =++???=-+?? ，可解得交点坐标(,)x y ，由于直线21y kx k =++与直线
2 1 专题九 解析几何 第二十七讲 抛物线 2019 年 x 2 1.（2019 全国 II 文 9）若抛物线 y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆 + y = 1的一个焦点，则 3 p p p = A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 2.（2019 浙江 21）如图，已知点 F (1，0) 为抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的焦点，过点 F 的直线交抛物线于 A 、B 两点，点 C 在抛物线上，使得△ABC 的重心 G 在 x 轴上，直线 AC 交 x 轴于点 Q ，且 Q 在点 F 右侧.记△AFG ,△CQG 的面积为 S 1 , S 2 . （1）求 p 的值及抛物线的准线方程； S （2）求 1 的最小值及此时点 G 的坐标. S 2 3.(2019 全国 III 文 21）已知曲线 C ：y = x 2 ，D 为直线 y = - 上的动点，过 D 作 C 的两条切 2 线，切点分别为 A ，B . （1）证明：直线 AB 过定点： 5 （2）若以 E (0， 2 )为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求该圆的方程. 1.解析（1）设 D ? t , - 1 ? , A (x , y )，则 x 2 = 2 y . 2 ? 1 1 1 1 ? ? 2
2 5 y 2 1 由于 y' = x ，所以切线DA 的斜率为 x 1 ，故 1 + 1 2 = x ，整理得2 tx 1 - 2 y 1 +1=0. 设 B (x 2 , y 2 ) ，同理可得2tx 2 - 2 y 2 +1=0 . 故直线AB 的方程为2tx - 2 y +1 = 0 . 1 所以直线AB 过定点(0, ) . 2 x 1 - t （2）由（1）得直线AB 的方程为 y = tx + 1 . 2 ? y = tx + 1 ?? 由? 2 ? y = x ?? 2 2 ，可得 x 2 - 2tx -1 = 0 . 于是 x + x = 2t , y + y = t (x + x )+1 = 2t 2 +1 . 1 2 1 2 1 2 设M 为线段AB 的中点，则 M ? t , t 2 + 1 ? . 2 ? ? ? 由于 EM ⊥ AB ，而 EM = ( t , t 2 - 2) ， AB 与向量(1, t ) 平行，所以t + ( t 2 - 2) t = 0 .解得 t =0或t = ±1. 当t =0时， | EM | =2，所求圆的方程为 x 2 + ? y - ? 5 ?2 ? ? ? = 4 ； 5 ?2 当t = ±1时， | EM |= ，所求圆的方程为 x 2 + y - ? ? ? = 2 . 2010-2018 年 一、选择题 1．（2017 新课标Ⅱ）过抛物线C ：y 2 = 4x 的焦点 F ，且斜率为 的直线交C 于点 M ( M 在 x 轴上方)， l 为C 的准线，点 N 在l 上且 MN ⊥ l ，则 M 到直线 NF 的距离为 A ． B ． 2 C ． 2 D ． 3 3 2 3 3 2
专题九 解析几何 第二十八讲 抛物线 2019年 1.（2019全国II 理8）若抛物线y 2 =2px (p >0)的焦点是椭圆 2231x y p p + =的一个焦点，则p = A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 2.（2019北京理18（1））已知抛物线2:2C x py =-经过点(2，-1).求抛物线C 的方程及其准线方程； 3．（2019全国I 理19）已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为3 2 的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ． （1）若 4AF BF +=，求l 的方程； （2）若3AP PB =uu u r uu r ，求AB ． 4. （2019全国III 理21）已知曲线C ：y =2 2 x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分 别为A ，B . （1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0， 5 2 )为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积. 2010-2018年 一、选择题 1．(2018全国卷Ⅰ)设抛物线C ：2 4=y x 的焦点为F ，过点(2,0)-且斜率为2 3 的直线与C 交于M ，N 两点，则?FM FN = A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 2．（2017新课标Ⅰ）已知F 为抛物线C ：2 4y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与 C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于 D 、 E 两点，则||||AB DE +的最小值为 A ．16 B ．14 C ．12 D ．10 3．(2016年四川)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线2 2(0)y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为
1．(本小题满分12分)已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0. (1)当a为何值时，直线l与圆C相切； (2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB＝22时，求直线l的方程． 2．设椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A、B两点，点C是AB的中点，若|AB|＝22，OC的斜 率为 2 2 ，求椭圆的方程． 3．(本小题满分12分)(2010·南通模拟)已知动圆过定点F(0,2)，且与定直线l：y＝－2相切． (1)求动圆圆心的轨迹C的方程； (2)若AB是轨迹C的动弦，且AB过F(0,2)，分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q， 证明：AQ⊥BQ . 4．已知圆(x－2)2＋(y－1)2＝20 3 ，椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a>b>0)的离心率为 2 2 ，若圆与椭圆相交于A、B， 且线段AB是圆的直径，求椭圆的方程．
5．已知m 是非零实数，抛物线)0(2:2 >=p px y C 的焦点F 在直线2 :02 m l x my --=上. （I ）若m=2，求抛物线C 的方程 （II ）设直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，F AA 1?，F BB 1?的重心分别为G,H. 求证：对任意非零实数m,抛物线C 的准线与x 轴的焦点在以线段GH 为直径的圆外。 6． (本小题满分14分)(2010·东北四市模拟)已知O 为坐标原点，点A 、B 分别在x 轴，y 轴上运动，且|AB | ＝8，动点P 满足AP u u u r ＝35 PB u u u r ，设点P 的轨迹为曲线C ，定点为M (4,0)，直线PM 交曲线C 于另外一 点Q . (1)求曲线C 的方程； (2)求△OPQ 面积的最大值． 7．(文)有一个装有进出水管的容器，每单位时间进出的水量各自都是一定的，设从某时刻开始10分钟内只进水、不出水，在随后的30分钟内既进水又出水，得到时间x(分)与水量y(升)之间的关系如图所示，若40分钟后只放水不进水，求y 与x 的函数关系．
专题五平面解析几何
专题五平面解析几何 第14讲直线与圆 [云览高考] 二轮复习建议 命题角度：该部分主要围绕两个点展开命题．第一个点是围绕直线与圆的方程展开，设计考查求直线方程、圆的方程、直线与圆的位置关系等问题，目的是考查平面解析几何初步的基础知识和方法，考查运算求解能力，试题一般是选择题或者填空题；第二个点是围绕把直线与圆综合展开，设计考查直线与圆的相互关系的试题，目的是考查直线与圆的方程在解析几何中的综合运用，这个点的试题一般是解答题． 预计2013年该部分的命题方向不会有大的变化，以选择题或者填空题的形式重点考查直线与圆的方程，而在解答题中考查直线方程、圆的方程的综合运用．复习建议：该部分是解析几何的基础，涉及大量的基础知识，在复习时要把知识进一步系统化，在此基础上，在本讲中把重点放在解决直线与圆的方程问题上． 主干知识整合
1.直线的概念与方程 (1)概念：直线的倾斜角θ的范围为[0°，180°)，倾斜角为90°的直线的斜率不存在，过 两点的直线的斜率公式k ＝tan α＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2 )； (2)直线方程：点斜式y －y 0＝k (x －x 0)，两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1 ≠x 2，y 1≠y 2)，一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)； (3)位置关系：当不重合的两条直线l 1和l 2的斜率存在时，两直线平行l 1∥l 2?k 1＝k 2，两直线垂直l 1⊥l 2?k 1·k 2＝－1，两直线的交点就是以两直线方程组成的方程组的解为坐标的点； (4)距离公式：两点间的距离公式，点到直线的距离公式，两平行线间的距离公式． 2．圆的概念与方程 (1)标准方程：圆心坐标(a ，b )，半径r ，方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(其中D 2＋E 2－4F >0)； (2)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离 ，代数判断法与几何判断法； (3)圆与圆的位置关系：相交、相切、相离、内含，代数判断法与几何判断法. 要点热点探究 ? 探究点一 直线的概念、方程与位置关系 例1 (1)过点(5,2)，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是( B ) A ．2x ＋y －12＝0 B ．2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0 C ．x －2y －1＝0 D ．x －2y －1＝0或2x －5y ＝0 (2)[2012·浙江卷] 设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋ 1)y ＋4＝0平行”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 点评] 直线方程的四种特殊形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式)都有其适用范围，在解题时不要忽视这些特殊情况，如本例第一题易忽视直线过坐标原点的情况；一般地，直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行的充要条件是A 1B 2＝A 2B 1且A 1C 2≠A 2C 1，垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0. 变式题 (1)将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得的直线方程为( A ) A ．y ＝－13x ＋13 B ．y ＝－13x ＋1 C ．y ＝3x －3 D ．y ＝13 x ＋1 (2)“a ＝－2”是“直线ax ＋2y ＝0垂直于直线x ＋y ＝1”的( C ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 ? 探究点二 圆的方程及圆的性质问题 例2 (1)已知圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的圆心为抛物线y 2＝4x 的焦点，且与直线3x ＋4y ＋2＝0相切，则该圆的方程为( C ) A ．(x －1)2＋y 2＝6425 B ．x 2＋(y －1)2＝6425 C ．(x －1)2＋y 2＝1 D ．x 2＋(y －1)2＝1 (2)[2012·陕西卷] 已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则( A ) A ．l 与C 相交 B ．l 与 C 相切 C ．l 与C 相离 D ．以上三个选项均有可能 [点评] 确定圆的几何要素：圆心位置和圆的半径，求解圆的方程就是求出圆心坐标和
第7讲抛物线 【2013年高考会这样考】 1．考查抛物线定义、标准方程． 2．考查抛物线的焦点弦问题． 3．与向量知识交汇考查抛物线的定义、方程、性质等． 【复习指导】 熟练掌握抛物线的定义及四种不同的标准形式，会根据抛物线的标准方程研究得出几何性质及会由几何性质确定抛物线的标准方程；掌握代数知识，平面几何知识在解析几何中的作用． 基础梳理 1．抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 其数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)． 2．抛物线的标准方程与几何性质 标准方程y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点O(0,0) 对称y＝0x＝0 轴 焦点F ? ? ? ? ? p 2 ，0F ? ? ? ? ? － p 2 ，0F ? ? ? ? ? 0， p 2F? ? ? ? ? 0，－ p 2离心 率 e＝1 准线 方程 x＝－ p 2x＝ p 2y＝－ p 2y＝ p 2范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口 方向 向右向左向上向下焦半 径 |PF|＝ x ＋ p 2 |PF|＝ －x0＋ p 2 |PF|＝ y ＋ p 2 |PF|＝ －y0＋ p 2 一个结论 焦半径：抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P(x0，y0)到焦点F ? ? ? ? ? p 2 ，0的距离|PF|＝x0＋ p 2 . 两种方法 (1)定义法：根据条件确定动点满足的几何特征，从而确定p的值，得到抛物线的标准方程． (2)待定系数法：根据条件设出标准方程，再确定参数p的值，这里要注意抛物线标准方程有四种形式．从简单化角度出发，焦点在x轴的，设为y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴的，设为x2＝by(b≠0)． 双基自测
专题九古代诗歌阅读 考纲展示命题探究 第一讲鉴赏古代诗歌的形象 基础点：诗歌创作的目的是抒情，而诗人的思想感情往往是借助诗中的形象委婉含蓄地表现出来。因此鉴赏古诗词，首先必须把握古诗词的形象。所谓形象是指诗歌作品创造出来的生动具体、寄寓了作者思想感情的艺术形象，可分为人物形象、景物形象、事物形象三类。 (1)人物形象包括抒情主人公形象和诗歌所刻画的人物形象。 (2)景物形象是指诗歌和描绘的自然景物和人文景物，指的是情中景，包括景物描写、场面描写和色彩描写等。 (3)事物形象多指咏物诗或杂诗中的物象。所谓物象，即被诗人人格化了的描写对象，或称为“情中象”。这些物象大多带有诗人的主观色彩，曲折地表现诗人的品格和思想感情。 重难点：1.景物形象的概括分析。 2．意象的含义和作用。 [考法综述] 鉴赏古诗词中的形象，就是把握诗歌中所刻画的艺术形象的内涵。鉴赏艺术形象的内涵，就是要分析、判断诗歌中包含的作者的思想感情和诗歌所蕴含的社会意义。鉴赏古诗词形象题目要求考生概括诗歌中人物、景物、事物的特征，提示主旨所刻画的某一具体形象的意义。从近几年高考命题形式来看，主要从以下几个角度命题：人物形象概括分析、景物形象概括分析、事物形象概括分析。 命题法1 人物形象 典例1 阅读下面这首诗，完成后面的题目。 送邹明府游灵武[注] [唐]贾岛 曾宰西畿县，三年马不肥。 债多凭剑与，官满载书归。 边雪藏行径，林风透卧衣。 灵州听晓角，客馆未开扉。
[注] 明府：对县令的尊称。灵武：即灵州(治所在今宁夏灵武县)。 请概括邹明府这个人物形象的主要特点，并作简要分析。 答：__________________________________________________ [答案]诗中邹明府形象的主要特点是：①清正廉洁。②三年县令任满离去，马依旧瘦弱，随身相伴的还是那些书。如今冒雪远游朔方，前程艰险，单薄的衣衫哪抵得住透骨寒风。 ③正是通过这些细节的刻画，展现了邹明府至清至廉的形象。 [解析]本题考查鉴赏诗歌作品中“人物形象”的能力。要求概括人物形象的主要特点并进行分析，所以概括、分析都是必不可少的，同时要做到有条理，有对特征的分析。 阅读本诗应先抓诗词大意，再细致分析描写对象，关注使用的表达技巧。首先找准形象，通过题目可知本诗描写了一个官员的形象；其次分析形象，本诗从“马不肥”，“债”等词语可以看出作为一个官员的邹明府生活的窘迫，可见其廉洁清正。“马不肥”见出他的清贫；“债”是说不单没有钱财，还有债务；“透卧衣”是说衣服单薄，无钱购置御寒衣物。这些细节描写表现了邹明府为官勤于政务，衣食节俭，清正廉洁的形象。 解题法1 “四角度”把握人物形象－－－－－－－－－－－ 1．抓住背景，知人论世 了解诗人的有关资料是鉴赏诗人形象的前提。诗人的有关资料主要包括生平经历、代表作、所处时代特征、作者的政治主张、诗歌具体的创作背景等。吟咏物象的诗更需关注诗人的生平经历。如赏析陶渊明的诗歌，就必须了解他的一生，抓住隐者、喜爱菊花、向往自然、厌倦官场生活等关键点。 不同时代的作家，其作品所反映的社会内容和寄寓的情感是不同的。同一作者，处于不同的人生阶段，遭遇不同，处境不同，其作品的感情基调也不一样。例如李清照前期生活美满，夫妻恩爱，其词轻快、爽朗，充满生活情趣；后期遭受战乱，国破家亡，自然就比较悲伤、哀怨、凄婉。 2．抓住关键词语，分析人物特点 一般来说，作者在塑造人物时往往综合运用一些描写手法，如语言、动作、细节描写等，所以鉴赏形象时要结合作者对人物的描写，概括人物的特点。 而抓住描绘人物言行情态的关键词语，揣摩诗人心理、概括形象特点更是一条捷径。如赏析《怀天经、智老，因访之》，抓住“诗卷”“纶巾鹤氅”等对人物的描写，就能概括出诗中诗人的形象特点。再如鉴赏朱庆馀《闺意献张水部》“洞房昨夜停红烛，待晓堂前拜舅姑。妆罢低声问夫婿，画眉深浅入时无”，第三句的“问”含蓄而生动地刻画了诗人应试前向主考官打听情况时忐忑不安的心理。 3．抓住景物描写，把握人物形象 景物描写能够对人物的心理起烘托作用，是人物心境的间接流露。古典诗歌经典《梦游天姥吟留别》《登高》《孔雀东南飞》等，都或多或少地运用了景物描写来衬托人物形象。 4．结合形象，明确指出其作用或效果 特别是诗词中的人物形象，是特定主人公，而非作者自身时，一定要明确作者塑造该人物形象的作用，寄寓了自己什么样的情感。 重难点拨[ 常见设问方式]
专题11平面解析几何大题强化训练(省赛试题汇编) 1．【2018年广西预赛】已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，且直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求面积的取值范围． 2．【2018年安徽预赛】设O是坐标原点，双曲线C：上动点M处的切线，交C的两条渐近线于 A、B两点. ⑴求证：△AOB的面积S是定值； ⑵求△AOB的外心P的轨迹方程. 3．【2018年湖南预赛】已知抛物线的顶点，焦点，另一抛物线的方程为 在一个交点处它们的切线互相垂直.试证必过定点，并求该点的坐标. 4．【2018年湖南预赛】如图，在凸四边形ABCD中，M为边AB的中点，且MC=MD.分别过点C、D作边BC、AD的垂线，设两条垂线的交点为P.过点P作与Q.求证：. 5．【2018年湖北预赛】已知为坐标原点，，点为直线上的动点，的平分线与直线 交于点，记点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）过点作斜率为的直线，若直线与曲线恰好有一个公共点，求的取值范围. 6．【2018年甘肃预赛】已知椭圆过点，且右焦点为． （1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于两点，交轴于点．若，求证：为定值；（3）在（2）的条件下，若点不在椭圆的内部，点是点关于原点的对称点，试求三角形面积的最小值． 7．【2018年吉林预赛】如图，已知抛物线过点P（-1，1），过点Q（，0）作斜率大于0的直线l 交抛物线与M、N两点（点M在Q、N之间），过点M作x轴的平行线，交OP于A，交ON于B.△PMA 与△OAB的面积分别记为，比较与3的大小，说明理由. 8．【2018年山东预赛】已知圆与曲线为曲 线上的两点，使得圆上任意一点到点的距离与到点的距离之比为定值，求的值．9．【2018年天津预赛】如图，是双曲线的两个焦点，一条直线与双曲线的右支相切，且分别交两条渐近线于A、B.又设O为坐标原点，求证：（1）；⑵、A、B四点在同一个圆上. 10．【2018年河南预赛】已知方程平面上表示一椭圆．试求它的对称中心及对称轴．
第八章 平面解析几何 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 1．直线的倾斜角 (1)定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)倾斜角的范围为[0，π)． 2．直线的斜率 (1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α，倾斜角是90°的直线没有斜率． (2)过两点的直线的斜率公式： 经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 1－y 2 x 1－x 2. 3．直线方程
1．利用两点式计算斜率时易忽视x 1＝x 2时斜率k 不存在的情况． 2．用直线的点斜式求方程时，在斜率k 不明确的情况下，注意分k 存在与不存在讨论，否则会造成失误． 3．直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式． 4．由一般式Ax ＋By ＋C ＝0确定斜率k 时易忽视判断B 是否为0，当B ＝0时，k 不存在；当B ≠0时，k ＝－A B . [试一试] 1．若直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m 是( ) A ．1 B ．2 C ．－12 D ．2或－1 2 解析：选D 当2m 2＋m －3≠0时，即m ≠1或m ≠－3 2时，在x 轴上截距为4m －12m 2＋m －3＝ 1，即2m 2－3m －2＝0， 故m ＝2或m ＝－1 2 . 2．过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为________． 解析：∵k MN ＝m －4 －2－m ＝1，∴m ＝1. 答案：1 3．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________． 解析：①若直线过原点，则k ＝－4 3， 所以y ＝－4 3x ，即4x ＋3y ＝0. ②若直线不过原点． 设x a ＋y a ＝1，即x ＋y ＝a . 则a ＝3＋(－4)＝－1， 所以直线的方程为x ＋y ＋1＝0. 答案：4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0 1．求斜率可用k ＝tan α(α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”． 2．求直线方程的一般方法 (1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应
4 13 2 y ? 1 专题九 解析几何 第二十八讲 抛物线 答案部分 2019 年 ? p ?2 1．D 解析 由题意可得： 3 p - p = ? ? ? ，解得 p = 8 ．故选 D ． 2.解析（I ）由抛物线C : x 2 = -2 py 经过点 (2, -1) ，得 p = 2 . 所以抛物线 C 的方程为 x 2 = -4 y ，其准线方程为 y = 1. 3 3.解析 设直线l : y = x + t , A (x 1, y 1 ), B (x 2, y 2 ) ． 2 （1）由题设得 F ? 3 ,0 ? ，故| AF | + | BF |= x + x + 3 ，由题设可得 x + x = 5 ． 4 ? 1 2 2 1 2 2 ? ? ? y = 3 x + t 12(t -1) 由? 2 ，可得9x 2 +12(t -1)x + 4t 2 = 0 ，则 x + x = - ． ? ?? y 2 = 3x 1 2 9 从而- 12(t -1) = 5 ，得t =- 7 ．所以l 的方程为 y = 3 x - 7 ． 9 2 8 2 8 （2）由 AP = 3PB 可得 y 1 = -3y 2 ． ? y = 3 x + t 由? 2 ，可得 y 2 - 2 y + 2t = 0 ． ?? y 2 = 3x 所以 y 1 + y 2 = 2 ．从而-3y 2 + y 2 = 2 ，故 y 2 = -1, y 1 = 3 ． 代入C 的方程得 x = 3, x = 1 ．故| AB |= ． 1 2 3 3 4．解析（1）设 D ? t , - 1 ? , A (x , y )，则 x 2 = 2 y . 2 ? 1 1 1 1 ? ? 由于 y' = x ，所以切线DA 的斜率为 x ，故 1 + 1 2 = x ，整理得2 tx - 2 y +1=0. 1 1 1 x 1 - t
专题55 平面解析几何专题训练 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若2222c b a =+(0≠c )，则直线0=++c by ax 被圆122=+y x 所截得的弦长为( )。 A 、 2 1 B 、22 C 、1 D 、2 【答案】D 【解析】∵圆心)00(，到直线0=++c by ax 的距离2 2 2 2= += b a C d ， 因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于2 2)22( 12=-，∴弦长为2，故选D 。 2．若P 、Q 分别为直线01243=-+y x 与0586=++y x 上任意一点，则||PQ 的最小值为( )。 A 、 59 B 、1029 C 、518 D 、5 29 【答案】B 【解析】∵ 5 12 8463-≠ =，∴两直线平行，将直线01243=-+y x 化为02486=-+y x ， 由题意可知||PQ 的最小值为这两条平行直线间的距离，即 10 29 865242 2= +--，故选B 。 3．若圆4)()(22=-+-a y a x 上有且仅有两个点到原点的距离为2，则实数a 的取值范围为( )。 A 、)022(， - B 、)220()022(，， - C 、)221()122(，， -- D 、)220(， 【答案】B 【解析】由题意已知圆与圆422=+y x 相交，∴222222+<+<-a a ， 解得2222<<-a 且0≠a ，故选B 。 4．双曲线122=-my x 的实轴长是虚轴长的2倍，则=m ( )。 A 、 41 B 、2 1 C 、2 D 、4 【答案】D 【解析】12 2 =-my x 可化为1122 =-m y x ，则12=a ，m b 12=，∵实轴长是虚轴长的2倍， ∴b a 222?=，即b a 2=，即224b a =，∴4=m ，故选D 。
抛物线 【考点梳理】 1．抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程与几何性质 【教材改编】
1．(选修2-1 P 67练习T 2(4)改编)抛物线280x y +=的焦点坐标为( ) A ．()0,2- B ．()0,2 C ．10,32? ?- ?? ? D ．10,32?? ??? [答案] C [解析] 由280x y +=，得21 8 x y =-. 128p =，116 p =， ∴焦点为10,32? ?- ?? ?，故选C. 2．(选修2-1 P 73A 组T 2（1）改编)以1x =为准线的抛物线的标准方程为( ) A ．22y x = B ．22y x =- C ．24y x = D ．24y x =- [答案] D [解析] 由准线1x =知，抛物线方程为：22y px =-（0p >）且12 p =，2p =， ∴方程为24y x =-，故选D. 3．(选修2-1P 73A 组T 3改编)M 是抛物线22y px =（0p >）位于第一象限的点， F 是抛物线的焦点，若5 F 2 p M = ，则直线F M 的斜率为( ) A ．43 B ．53 C ．54 D ．52 [答案] A [解析] 设()00,x y M ，由5 F 2 p M = ，得 05 22 p x p + =，∴02x p =.
∴220024y px p ==，取正根得02y p =. 即M 的坐标为()2,2p p ，又F 的坐标为,02p ?? ??? ， ∴F 204 322 p k p p M -= =- ，故选A. 4．(选修2－1 P 74A 组T 8改编)如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ．水位下降1 m 后，水面宽为( ) A ．2 3 m B ．2 6 m C ．4 2 m D ．4 3 m [答案] B [解析] 建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则A (2，－2)，将其坐标代入x 2＝－2py ，得p ＝ 1. ∴x 2＝－2y . 当水面下降1 m ，得D (x 0，－3)(x 0>0)，将其坐标代入x 2＝－2y ，得x 20＝6，∴x 0＝ 6.∴水面宽|CD |＝2 6 m ．故选B. 5．(选修2－1 P 69例4改编)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( ) A.22 B. 2
第 1 讲化学实验基础 一、单项选择题 1. 下列试剂中, 标签上应标注和的是( ) A. C2H5OH B.HNO3 C.NaOH D.HCl 答案 B C2H5OH不是氧化剂,A项错误；HNQ是强氧化剂，具有强烈的腐蚀性,B项正确；NaOH是强碱，具有强烈的腐蚀性, 但不是氧化剂,C 项错误;HCl 是强酸, 具有腐蚀性,但通常不作氧化剂,D 项错误。 2. 下列实验装置操作图不能用于检查气密性的是( ) 答案 A 用注射器向水中注入空气，导管口一定会有气泡冒出，与检查气密性无关，A 项错误；用手握住试管，使试管内空气受热膨胀，即体积增大，若装置气密性良好，则在导管口有气泡冒出，手拿开后温度降低，导管中形成一段稳定的水柱，可以用来检查气密性，B 项正确；推动注射器，会使瓶内压强增大，若装置气密性良好，在内外压强差的作用下，能把水压入长颈漏斗，且会在长颈漏斗中形成一段稳定的水柱，可以用来检查气密性，C 项正确；关闭止水夹后，往长颈漏斗内加水，若装置气密性良好，则瓶内气体会被压缩而压强增大，长颈漏斗中的液面不会下降，可以用来检查气密性，D 项正确。 3. (2018 南通如皋中学高三上阶段练习)用下列实验装置进行相应实验，能达到实验目的的是( ) A. 用甲装置制备并较长时间观察到Fe(OH)2沉淀 B. 用乙装置配制一定物质的量浓度的NaOH溶液 C. 用丙装置在铁制品表面镀铜 D. 用丁装置制取少量的CO气体 答案 A B项,NaOH固体不能在容量瓶中溶解，故错误;C项，电镀时，镀层金属铜应与电源的正极相连，铁制品应与电源的负极相连，故错误；D 项，应使用块状的碳酸钙，碳酸钠易溶于水，不能用碳酸钠，故错
备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品 第五篇解析几何 专题10 解析几何中两类曲线相结合问题 【典例1】【湖南省湖南师范大学附属中学2020届月考】已知椭圆C ：()22 2210x y a b a b +=>>的右焦点为F ， 离心率为 2 ，P 是椭圆C 上位于第一象限内的任意一点，O 为坐标原点，P 关于O 的对称点为P '，4P F PF '+=，圆O ：222x y b +=. （1）求椭圆C 和圆O 的标准方程； （2）过点P 作PT 与圆O 相切于点T ，使得点F ，点T 在OP 的两侧.求四边形OFPT 面积的最大值. 【思路引导】 （1）设椭圆左焦点为F '，连接PF '，P F ''，易知四边形P FPF ''为平行四边形，则 2PF PF PF P F a ''+=+=，可求得,,a b c ，即可求得椭圆C 和圆O 的标准方程； （2）设()()0000,0,0P x y x y >>，代入椭圆方程可得到00,x y 的关系式，然后分别求得,OFP OTP S S V V 的面积的表达式，即可得到四边形OFPT 面积的表达式，结合00,x y 的关系式，求OFPT 面积的最大值即可. 【详解】
（1）设椭圆左焦点为F '，连接PF '，P F ''， 因为P O PO '=，OF OF '=，所以四边形P FPF ''为平行四边形， 所以24PF PF PF P F a ''+=+==，所以2a =， 又离心率为 2 ，所以c =，1b =. 故所求椭圆C 的标准方程为2 214 x y +=，圆O 的标准方程221x y +=. （2）设()()0000,0,0P x y x y >>，则220014 x y +=，故22 0014x y =-. 所以22 2000222 314TP OP OT x y x =+-= =-，所以0TP x =， 所以0124 OTP S OT TP x = ?=V . 又()0,0O ，) F ，所以0012OFP S OF y y =?=V . 故0022OFP OTP OFPT x y S S S ??==++ ???四边形V V ==. 由220014x y +=，得1≤，即001x y ?≤， 所以22 OFPT S = ≤ 四边形， 当且仅当2 2 00142x y ==，即0x =02 y = 时等号成立. 【典例2】【重庆市2019届高三高考全真模拟】已知点(1,0)F ，直线:1l x =-，P 为直角坐标平面上的动
圆锥曲线第 3 讲抛物线 【知识要点】 一、抛物线的定义 平面内到某一定点 F 的距离与它到定直线l （ F l ）的距离相等的点的轨迹叫抛物线，这 个定点F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。 注 1：在抛物线的定义中，必须强调：定点 F 不在定直线l 上，否则点的轨迹就不是一个抛 物线，而是过点 F 且垂直于直线l 的一条直线。 注 2：抛物线的定义也可以说成是：平面内到某一定点 F 的距离与它到定直线l （ F l ） 的距离之比等于 1 的点的轨迹叫抛物线。 注3：抛物线的定义指明了抛物线上的点到其焦点的距离与到其准线的距离相等这样一个事 实。以后在解决一些相关问题时，这两者可以相互转化，这是利用抛物线的定义解题的关键。 二、抛物线的标准方程 1. 抛物线的标准方程 抛物线的标准方程有以下四种： p ,0) ，准线为 x p （1） y 2 2 px （ p0），其焦点为F ( 2 2 ； （2） y 2 2 px （ p0 ），其焦点为F (p,0) ，准线为x p 2 2 ； F (0, p y p （3）x2 2 py （ p0 ) 2 ），其焦点为2，准线为； F (0, p p （4）x 2 2 py （ p )y ），其焦点为 2 ，准线为 2 . 2. 抛物线的标准方程的特点
抛物线的标准方程 y 2 2 px （ p 0 ）或 x 2 2 py （ p ）的特点在于：等号的一端 是某个变元的完全平方， 等号的另一端是另一个变元的一次项， 抛物线方程的这个形式与其 位置特征相对应：当抛物线的对称轴为 x 轴时，抛物线方程中的一次项就是 x 的一次项，且 一次项 x 的符号指明了抛物线的开口方向； 当抛物线的对称轴为 y 轴时， 抛物线方程中的一 次项就是 y 的一次项，且一次项 y 的符号指明了抛物线的开口方向. 三、抛物线的性质 以标准方程 y 2 2 px （ p 0 ）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。 （1）范围： x ， y R ； （2）顶点：坐标原点 O (0,0) ； （3）对称性：关于 x 轴轴对称，对称轴方程为 y ； （ 4）开口方向：向右； （ 5）焦参数： p ； F ( p ,0) （6）焦点： 2 ； p x （7）准线： 2 ； （ 8）焦准距： p ； （ 9）离心率： e 1； （10）焦半径：若 P(x 0 , y 0 ) 为抛物线 y 2 2 px （ p 0 ）上一点，则由抛物线的定义，有 PF x 0 p 2 ； （11）通径长： 2p . 注 1 ：抛物线的焦准距指的是抛物线的焦点到其相应准线的距离。以抛物线 y 2 2 px
第一讲 选择题解题技法(B) 1．(2013·高考浙江卷)设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |x 2 ＋3x －4≤0}，则(?R S )∪T ＝( ) A ．(－2，1] B ．(－∞，－4] C ．(－∞，1] D ．[1，＋∞) 2．(2013·高考北京卷)设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( ) A ．ac >bc B.1a <1 b C ．a 2 >b 2 D ．a 3>b 3 3．(2013·高考重庆卷)（3－a ）（a ＋6）(－6≤a ≤3)的最大值为( ) A ．9 B.9 2 C ．3 D. 32 2 4．(2013·高考课标全国卷Ⅰ)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1，3]，则输出的s 属于( ) A ．[－3，4] B ．[－5，2] C ．[－4，3] D ．[－2，5] 5．若向量a ＝(x －1，2)，b ＝(4，y )相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A ．12 B ．2 3 C ．3 2 D ．6 6．(2013·高考山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组???? ?2x －y －2≥0， x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0， 所表 示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( ) A ．2 B ．1 C ．－13 D ．－12 7．(2013·湖北省八校高三第二次联考)“00的解集是实数集R ”的( ) A ．充分而非必要条件 B ．必要而非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件 8．(2013·高考安徽卷)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为{x |x <－1或x >1 2 }，则 f (10x )>0的解集为( ) A ．{x |x <－1或x >－lg 2} B ．{x |－1
相关主题
文本预览