万有引力与航天
5.1 从托勒密到开普勒
题组一对两种学说的认识及开普勒定律的理解
1．探索宇宙的奥秘，一直是人类孜孜不倦的追求．下列关于宇宙及星体运动的说法正确的是()
A．地球是宇宙的中心，太阳、月亮及其他行星都绕地球运动
B．太阳是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳运动
C．地球是绕太阳运动的一颗行星
D．地心说是正确的，日心说是错误的
答案 C
解析开普勒定律可知，所有行星绕太阳做椭圆运动，太阳不是宇宙的中心，太阳围绕银河系中心旋转而银河系不过是宇宙中千亿个星系中微不足道的一个，故A、B、D错误，C正确．2．发现“所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等”的科学家是()
A．牛顿B．第谷C．开普勒D．哥白尼
答案 C
解析所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，也就是开普勒第三定律，是开普勒发现的．
3．根据开普勒定律，我们可以推出的正确结论有()
A．人造地球卫星的轨道都是椭圆，地球在椭圆的一个焦点上
B．卫星离地球越远，速率越小
C．卫星离地球越远，周期越大
D．同一卫星绕不同的行星运行，a3
T2的值都相同
答案ABC
解析由开普勒三定律知A、B、C均正确，注意开普勒第三定律成立的条件是对同一行星的
不同卫星，有a3
T2＝常量．
4．关于开普勒对行星运动规律的认识，下列说法正确的是()
A．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆
B．所有行星绕太阳运动的轨道都是圆
C．所有行星的轨道半长轴的二次方跟公转周期的三次方的比值都相同
D．所有行星的公转周期与行星的轨道半径成正比
答案 A
解析由开普勒第一定律知所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点
上．选项A 正确，B 错误；由开普勒第三定律知所有行星的轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，选项C 、D 错误． 5．关于开普勒第二定律，正确的理解是( ) A ．行星绕太阳运动时，一定是匀速曲线运动 B ．行星绕太阳运动时，一定是变速曲线运动
C ．行星绕太阳运动时，由于角速度相等，故在近日点处的线速度小于它在远日点处的线速度
D ．行星绕太阳运动时，由于它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等，故它在近日点的线速度大于它在远日点的线速度 答案 BD
解析 行星的运动轨道是椭圆形的，故做变速曲线运动，A 错误，B 正确；根据开普勒第二定律可知，在近日点时的线速度大，C 错误，D 正确． 题组二 开普勒三定律的应用
6.如图1所示是行星m 绕恒星M 运动情况的示意图，下列说法正确的是( )
图1
A ．速度最大点是
B 点 B ．速度最小点是
C 点 C ．m 从A 到B 做减速运动
D ．m 从B 到A 做减速运动 答案 C
解析 由开普勒第二定律可知，行星m 在近恒星点时运行速度最大，因此，A 、B 错误；行星由A 向B 运动的过程中，行星与恒星的连线变长，其速度减小，故C 正确；行星由B 向A 运动的过程中，速度增大，D 错误．
7．已知两个行星的质量m 1＝2m 2，公转周期T 1＝2T 2，则它们绕太阳运转轨道的半长轴之比
a 1
a 2为( )
A.12 B ．2 C.3
4 D.13
4 答案 C
解析 由开普勒第三定律知a 3T 2＝k 和行星的质量无关，由a 31T 21＝a 32T 22
，得a 1a 2＝ 3????T 1T 22＝ 3????212
＝
34
1
，所以C 正确． 8．某人造地球卫星运行时，其轨道半径为月球轨道半径的1/3，已知月球环绕地球的运行周
期为27天，则此卫星运行周期大约是( ) A ．3～5天 B ．5～7天 C ．7～9天 D ．大于9天 答案 B
解析 月球绕地球运行的周期约为27天，根据开普勒第三定律a 3T 2＝k ，得r 3T 2＝r 3
月T
2月，则T ＝1
3×
27× 1
3
(天)≈5.2(天)．
9.某行星绕太阳沿椭圆轨道运行，如图2所示，在这颗行星的轨道上有a 、b 、c 、d 四个对称点，若行星运动周期为T ，则该行星( )
图2
A ．从a 到b 的运动时间等于从c 到d 的运动时间
B ．从d 经a 到b 的运动时间等于从b 经c 到d 的运动时间
C ．a 到b 的时间t ab D ．c 到d 的时间t cd >T /4 答案 CD 解析 根据开普勒第二定律知行星在近日点速度最大，远日点速度最小．行星由a 到b 运动时的平均速度大于由c 到d 运动时的平均速度，而弧长ab 等于弧长cd ，故A 错误；同理可知 B 错误；在整个椭圆轨道上t ab ＝t ad 4，故C 、D 正确． 10．月球环绕地球运动的轨道半径约为地球半径的60倍，运行周期约为27天．应用开普勒定律计算：在赤道平面内离地多高时，人造地球卫星随地球一起转动，就像停留在天空中不动一样？(结果保留三位有效数字，取R 地＝6 400 km) 答案 3.63×104 km 解析 月球和人造地球卫星都环绕地球运动，故可用开普勒第三定律求解．当人造地球卫星相对地球不动时，则人造地球卫星的周期与地球自转周期相同． 设人造地球卫星轨道半径为R 、周期为T . 根据题意知月球轨道半径为60R 地，周期为T 0＝27天，则有：R 3T 2＝(60R 地) 3 T 2 .整理得 R ＝ 3T 2T 20 ×60R 地＝ 3(127)2 ×60R 地≈6.67R 地． 卫星离地高度H ＝R －R 地＝5.67R 地＝5.67×6 400 km ≈3.63×104 km. 11．天文观测发现某小行星绕太阳的周期是27年，它离太阳的最小距离是地球轨道半径的2倍，求该小行星离太阳的最大距离是地球轨道半径的几倍？ 答案 16倍 解析 设该小行星离太阳的最大距离为s ，由开普勒第三定律有 ????2R ＋s 23 T ′2 ＝R 3 T 2 得：s ＝16R ，即该小行星离太阳的最大距离是地球轨道半径的16倍． 5.2 万有引力定律是怎样发现的 题组一 万有引力的发现过程 1．牛顿发现万有引力定律的思维过程是下列的( ) A ．理想实验——理论推导——实验检验 B ．假想——理论推导——实验检验 C ．假想——理论推导——规律形成 D ．实验事实——假想——理论推导 答案 B 解析 牛顿发现万有引力定律的思维过程是先假想维持月球绕地球运动的力与使苹果下落的力是同一种力，同样遵从“平方反比”定律，然后通过理论推导得到理论上的结果，最后通过实验测得的数据计算实际结果，并将两种结果加以对比，从而得出结论，故B 正确． 2．“月—地检验”的结果说明( ) A ．地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力是同一种性质的力 B ．地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力不是同一种性质的力 C ．地面物体所受地球的引力只与物体的质量有关，即G ＝mg D ．月球所受地球的引力只与月球质量有关 答案 A 解析 通过完全独立的途径得出相同的结果，证明地球表面上的物体所受地球的引力和月球所受地球的引力是同一种性质的力． 3．把行星运动近似看做匀速圆周运动以后，开普勒第三定律可写为T 2＝r 3/k ，m 为行星质量，则可推得( ) A ．行星受太阳的引力为F ＝k m r 2 B ．行星受太阳的引力都相同 C ．行星受太阳的引力为F ＝k 4π2m r 2 D ．质量越大的行星受太阳的引力一定越大 答案 C 解析 行星受到的太阳的引力提供行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力，则有F ＝m v 2 r ，又因 为v ＝2πr T ，代入上式得F ＝4π2mr T 2.由开普勒第三定律r 3T 2＝k ，得T 2 ＝r 3k ，代入上式得F ＝k 4π2m r 2. 太阳与行星间的引力与太阳、行星的质量及太阳与行星间的距离有关．故选C. 题组二 对万有引力的理解 4．对于万有引力定律的表达式F ＝G m 1m 2 r 2，下列说法中正确的是( ) A ．公式中的G 为比例常数，无单位 B ．m 1与m 2之间的相互作用力，总是大小相等、方向相反，是一对作用力和反作用力 C ．当r 趋近于0时，F 趋向无穷大 D ．当r 趋近于0时，公式不成立 答案 BD 解析 万有引力公式中的G 为引力常量，不但有大小而且有单位，单位是N·m 2/kg 2，故A 错误；m 1与m 2之间万有引力是一对作用力和反作用力，B 正确；当r 趋于0时，无论是球体还是其他形状的两个物体，都不能看成质点，故公式不成立，C 错误，D 正确． 5．关于引力常量G ，下列说法中正确的是( ) A ．G 值的测出使万有引力定律有了真正的实用价值 B ．引力常量G 的大小与两物体质量的乘积成反比，与两物体间距离的平方成正比 C ．引力常量G 在数值上等于两个质量都是1 kg 的可视为质点的物体相距1 m 时的相互吸引力 D ．引力常量G 是不变的，其值大小与单位制的选择无关 答案 AC 解析 引力常量G 是一个普遍适用的常量，其物理意义是两个质量都是1 kg 的质点相距1 m 时的万有引力为6.67×10 －11 N ，它的大小与所选的单位制有关． 6．关于万有引力，下列说法中正确的是( ) A ．万有引力只有在研究天体与天体之间的作用时才有价值 B ．由于一个苹果的质量很小，所以地球对它的万有引力几乎可以忽略 C ．地球对人造卫星的万有引力远大于卫星对地球的万有引力 D ．地球表面的大气层是因为万有引力的约束而存在于地球表面附近 答案 D 解析 由万有引力定律知D 正确．万有引力定律不但在天体之间有价值，在天体与物体间也有价值，如重力，故A 、B 错误；由牛顿第三定律知C 错误． 7．万有引力定律首次揭示了自然界中物体间一种基本相互作用规律，以下说法正确的是( ) A ．物体的重力不是地球对物体的万有引力引起的 B ．人造地球卫星离地球越远，受到地球的万有引力越大 C ．人造地球卫星绕地球运动的向心力由地球对它的万有引力提供 D ．宇宙飞船内的宇航员处于失重状态是由于没有受到万有引力的作用 答案 C 解析 物体的重力是地球对物体的万有引力引起的，A 选项错误；人造地球卫星离地球越远，受到地球的万有引力越小，B 选项错误；宇宙飞船内的宇航员处于失重状态是由于受到的万有引力提供了圆周运动的向心力，D 选项错误；只有C 选项正确． 题组三 万有引力定律的应用 8．地球质量大约是月球质量的81倍，一飞行器位于地球与月球之间，当地球对它的引力和月球对它的引力大小相等时，飞行器距月球球心的距离与月球球心距地球球心之间的距离之比为( ) A ．1∶9 B ．9∶1 C ．1∶10 D ．10∶1 答案 C 解析 设月球质量为m ，则地球质量为81m ，地月间距离为r ，飞行器质量为m 0，当飞行器距 月球为r ′时，地球对它的引力等于月球对它的引力，则G mm 0r ′2＝G 81mm 0 (r －r ′)2，所以r －r ′r ′＝9，r ＝10r ′，r ′∶r ＝1∶10，故选项C 正确． 9．要使两个物体之间的万有引力减小到原来的1 4，可采用的方法是( ) A ．使两物体之间的距离增至原来的2倍，质量不变 B ．使两物体的质量各减少一半，距离保持不变 C ．使其中一个物体的质量减为原来的1 4 ，距离保持不变 D ．使两物体的质量及它们之间的距离都减为原来的1 4 答案 ABC 解析 根据F ＝G m 1m 2 r 2可知，当两物体质量不变，距离增至原来的2倍时，两物体间的万有引 力F ′＝Gm 1m 2(2r )2＝14·Gm 1m 2r 2＝1 4F ，A 正确；当两物体的距离保持不变，质量各减少一半时，万 有引力F ′＝G ·12m 1×12m 2 r 2 ＝14·Gm 1m 2r 2＝14F ，B 正确；当只有一个物体的质量减为原来的1 4时，万有引力F ′＝G ·1 4m 1m 2 r 2 ＝14·Gm 1m 2r 2＝1 4 F ，C 正确；当两物体的质量及它们之间的距离都减为原来的14时，万有引力F ′＝ G ·14m 1×14m 2 ????14r 2 ＝Gm 1m 2 r 2＝F ，D 错误． 10．假设地球是一半径为R 、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d (矿井宽度很小)．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( ) A ．1－d R B ．1＋d R C.????R －d R 2 D.????R R －d 2 答案 A 解析 设地球的密度为ρ，地球的质量为M ，根据万有引力定律可知，地球表面的重力加速度g ＝GM R 2.地球质量可表示为M ＝4 3 πR 3ρ.因质量分布均匀的球壳对球壳内物体的引力为零，所以 矿井下以(R －d )为半径的地球的质量为M ′＝4 3π(R －d )3ρ，解得M ′＝????R －d R 3M ，则矿井底部 处的重力加速度g ′＝GM ′ (R －d )2 ，则矿井底部处的重力加速度和地球表面的重力加速度之比为 g ′g ＝1－d R ，选项A 正确，选项B 、C 、D 错误． 11.有一质量为M 、半径为R 、密度均匀的球体，在距离球心O 为2R 的地方有一质量为m 的 质点．现从M 中挖去半径为1 2 R 的球体，如图1所示，则剩余部分对m 的万有引力F 为多少？ 图1 答案 7GMm 36R 2 解析 质量为M 的球体对质点m 的万有引力 F 1＝ G Mm (2R ) 2＝G Mm 4R 2 挖去的球体的质量M ′＝43π(R 2)343πR 3M ＝M 8 质量为M ′的球体对质点m 的万有引力 F 2＝ G M ′m (R ＋R 2) 2＝G Mm 18R 2 则剩余部分对质点m 的万有引力 F ＝F 1－F 2＝ G Mm 4R 2－G Mm 18R 2＝7GMm 36R 2 . 5.3 万有引力定律与天文学的新发现 题组一 天体质量和密度的计算 1．地球表面的平均重力加速度为g ，地球半径为R ，引力常量为G ，可估算地球的平均密度为( ) A.3g 4πRG B.3g 4πR 2G C.g RG D.g RG 2 答案 A 解析 忽略地球自转的影响，对处于地球表面的物体，有mg ＝G Mm R 2，又地球质量M ＝ρV ＝ 43 πR 3ρ，代入上式化简可得地球的平均密度ρ＝3g 4πRG . 2．火星直径约为地球直径的一半，质量约为地球质量的十分之一，它绕太阳公转的轨道半径约为地球绕太阳公转半径的1.5倍．根据以上数据，下列说法中正确的是( ) A ．火星表面重力加速度的数值比地球表面的小 B ．火星公转的周期比地球的长 C ．火星公转的线速度比地球的大 D ．火星公转的向心加速度比地球的大 答案 AB 解析 由G Mm R 2＝mg 得g ＝G M R 2，计算得火星表面的重力加速度约为地球表面的2 5 ，A 正确；由 G Mm r 2＝m (2πT )2r 得T ＝2π r 3 GM ，公转轨道半径大的周期长，B 正确；周期长的线速度小(或由v ＝ GM r 判断轨道半径大的线速度小)，C 错误；公转向心加速度a ＝G M r 2，轨道半径大的 向心加速度小，D 错误．故选A 、B. 3．一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v .假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m 的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N .已知引力常量为G ，则这颗行星的质量为( ) A.m v 2GN B.m v 4GN C.N v 2Gm D.N v 4Gm 答案 B 解析 设卫星的质量为m ′ 由万有引力提供向心力，得G Mm ′R 2＝m ′v 2 R ① m ′v 2R ＝m ′g ② 由已知条件：m 的重力为N 得 N ＝mg ③ 由③得g ＝N m ，代入②得：R ＝m v 2N 代入①得M ＝m v 4 GN ，故A 、C 、D 三项均错误，B 项正确． 题组二 天体运动的分析与计算 4．科学家们推测，太阳系除八大行星之外的另一颗行星就在地球的轨道上，从地球上看，它永远在太阳的背面，人类一直未能发现它，可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”．由以上信息可以确定( ) A ．这颗行星的公转周期与地球相等 B ．这颗行星的半径等于地球的半径 C ．这颗行星的密度等于地球的密度 D ．这颗行星的质量 答案 A 解析 因为只知道这颗行星的轨道半径，所以只能判断出其公转周期与地球的公转周期相等． 由G Mm r 2＝m v 2r 可知，行星的质量在方程两边可以消去，因此无法知道其质量及密度． 5．把太阳系各行星的运动近似看成匀速圆周运动，则离太阳越远的行星( ) A ．周期越小 B ．线速度越小 C ．角速度越小 D ．加速度越小 答案 BCD 解析 行星绕太阳做匀速圆周运动，所需的向心力由太阳对行星的引力提供，由G Mm r 2＝m v 2 r 得 v ＝ GM r ，可知r 越大，线速度越小，B 正确．由G Mm r 2＝mω2r 得ω＝ GM r 3 ，可知r 越大， 角速度越小，C 正确．又由T ＝2πω知，ω越小，周期T 越大，A 错误．由G Mm r 2＝ma 得a ＝GM r 2， 可知r 越大，a 越小，D 正确． 6．若地球绕太阳公转周期及其公转轨道半径分别为T 和R ，月球绕地球公转周期和公转半径 分别为t 和r ，则太阳质量与地球质量之比M 日 M 地 为( ) A.R 3t 2r 3T 2 B.R 3T 2r 3t 2 C.R 3t 2r 2T 3 D.R 2T 3r 2t 3 答案 A 解析 无论地球绕太阳公转还是月球绕地球公转，统一表示为GMm r 2＝m 4π2T 2r ，即M ∝r 3 T 2，所以 M 日M 地＝R 3t 2 r 3T 2，选项A 正确． 7．土星外层有一个环，为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中各层的线速度v 与该层到土星中心的距离R 之间的关系，则下列判断正确的是( ) A ．若v 2∝R 则该层是土星的卫星群 B ．若v ∝R 则该层是土星的一部分 C ．若v ∝1 R 则该层是土星的一部分 D ．若v 2∝1 R 则该层是土星的卫星群 答案 BD 解析 若外层的环为土星的一部分，则它们各部分转动的角速度ω相等，由v ＝ωR 知v ∝R ， A 错误， B 正确；若是土星的卫星群，则由GMm R 2＝m v 2R ，得v 2∝1 R ，故C 错误，D 正确． 题组三 万有引力和重力的关系 8．设地球表面重力加速度为g 0，物体在距离地心4R (R 是地球的半径)处，由于地球的作用而 产生的加速度为g ，则g g 0 为( ) A ．1 B.19 C.14 D.1 16 答案 D 解析 地球表面上的重力加速度和在离地心4R 处的加速度均由地球对物体的万有引力产生，忽略自转所以有 在地面上，G mM R 2＝mg 0， ① 离地心4R 处，G mM (4R )2 ＝mg ， ② 由①②两式得g g 0＝????R 4R 2＝116 . 9．一物体在地球表面重16 N ，地面上重力加速度为10 m/s 2.它在以5 m/s 2的加速度加速上升的火箭中的视重为9 N ，则此火箭离地球表面的距离为地球半径的(忽略地球自转)( ) A ．2倍 B ．3倍 C ．4倍 D ．一半 答案 B 解析 设此时火箭上升到离地球表面高度为h 处，火箭上物体的视重等于物体受到的支持力N ，物体受到的重力为mg ′，g ′是h 高处的重力加速度，由牛顿第二定律得 N －mg ′＝ma ① 其中m ＝G g ，代入①式得 mg ′＝N －G g a ＝????9－1610×5 N ＝1 N 在距离地面为h 处，物体的重力为1 N ，忽略自转，物体的重力等于万有引力． 在地球表面：mg ＝G Mm R 2地 ② 在距地面h 高处，mg ′＝G Mm (R 地＋h )2 ③ ②与③相除可得mg mg ′＝(R 地＋h ) 2 R 2 地 ， 所以R 地＋h ＝ mg mg ′R 地＝16 1R 地＝4R 地 所以h ＝3R 地，故选B. 10．火星半径约为地球半径的一半，火星质量约为地球质量的1 9.一位宇航员连同宇航服在地球 上的质量为 50 kg.求： (1)在火星上宇航员所受的重力为多少？ (2)宇航员在地球上可跳1.5 m 高，他以相同初速度在火星上可跳多高？(取地球表面的重力加速度g ＝10 m/s 2) 答案 (1)222.2 N (2)3.375 m 解析 (1)由mg ＝G Mm R 2，得g ＝GM R 2. 在地球上有g ＝GM R 2，在火星上有g ′＝G ·19M ??? ? 12R 2， 所以g ′＝40 9 m/s 2， 那么宇航员在火星上所受的重力 mg ′＝50×40 9 N ≈222.2 N. (2)在地球上，宇航员跳起的高度为h ＝v 2 02g 即1.5 m ＝v 20 2×10 m/s 2 在火星上，宇航员跳起的高度h ′＝v 202g ′＝v 20 2×409 m/s 2， 联立解得h ′＝3.375 m ． 5.4 宇宙航行（一） 题组一 对三个宇宙速度的理解 1．关于地球的第一宇宙速度，下列表述正确的是( ) A ．第一宇宙速度是物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度 B ．第一宇宙速度又叫脱离速度 C ．第一宇宙速度跟地球的质量无关 D ．第一宇宙速度跟地球的半径无关 答案 A 解析 第一宇宙速度是物体在地面附近做匀速圆周运动的速度，A 正确，B 错误；根据G Mm R 2＝ m v 2R 得v ＝ GM R ，可见第一宇宙速度与地球的质量和半径有关，C 、D 错误． 2．下列关于三种宇宙速度的说法中正确的是( ) A ．第一宇宙速度v 1＝7.9 km/s ，第二宇宙速度v 2＝11.2 km/s ，则人造卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度大于等于v 1，小于v 2 B ．美国发射的“凤凰号”火星探测卫星，其发射速度大于第三宇宙速度 C ．第二宇宙速度是在地面附近使物体可以挣脱地球引力束缚，成为绕太阳运行的人造行星的最小发射速度 D ．第一宇宙速度7.9 km/s 是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度 答案 CD 解析 根据v ＝ GM r 可知，卫星的轨道半径r 越大，即距离地面越远，卫星的环绕速度越小，v 1＝7.9 km/s 是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度，选项D 正确；实际上，由于人造卫星的轨道半径都大于地球半径，故卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度都小于第 一宇宙速度，选项A 错误；美国发射的“凤凰号”火星探测卫星，仍在太阳系内，所以其发射速度小于第三宇宙速度，选项B 错误；第二宇宙速度是在地面附近使物体挣脱地球束缚而成为太阳的一颗人造行星的最小发射速度，选项C 正确． 3．若取地球的第一宇宙速度为8 km/s ，某行星的质量是地球质量的6倍，半径是地球半径的1.5倍，此行星的第一宇宙速度约为( ) A ．16 km/s B ．32 km/s C ．4 km/s D ．2 km/s 答案 A 解析 第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，对于近地卫星，其轨道半径近似等于星球半径， 所受万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力，根据万有引力定律和牛顿第二定律得G Mm r 2＝ m v 2r ，解得v ＝GM r .因为行星的质量M ′是地球质量M 的6倍，半径R ′是地球半径R 的1.5倍，则v ′v ＝ GM ′R ′GM R ＝ M ′R MR ′＝2，故v ′＝2v ＝2×8 km/s ＝16 km/s ，A 正确． 4．美国“新地平线”号探测器，已于美国东部时间2006年1月17日13时(北京时间18日1时)借助“宇宙神5”火箭，从佛罗里达州卡纳维拉尔角肯尼迪航天中心发射升空，开始长达九年的飞向冥王星的太空之旅．拥有3级发动机的“宇宙神5”重型火箭将以每小时5.76万千米的惊人速度把“新地平线”号送离地球，这个冥王星探测器因此将成为人类有史以来发射的速度最高的飞行器，此速度( ) A ．大于第一宇宙速度 B ．大于第二宇宙速度 C ．大于第三宇宙速度 D ．小于并接近第三宇宙速度 答案 ABD 解析 由题中已知条件：5.76×104 km/h ＝16 km/s 以及第一宇宙速度是7.9 km/s ，第二宇宙速度是11.2 km/s ，第三宇宙速度是16.7 km/s ，可以判断A 、B 、D 正确． 5．一颗人造地球卫星以初速度v 发射后，可绕地球做匀速圆周运动，若使发射速度增为2v ，则该卫星可能( ) A ．绕地球做匀速圆周运动 B ．绕地球运动，轨道变为椭圆 C ．不绕地球运动，成为太阳的人造行星 D ．挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙去了 答案 CD 解析 以初速度v 发射后能成为人造地球卫星，可知发射速度v 一定大于第一宇宙速度7.9 km/s ；当以2v 速度发射时，发射速度一定大于15.8 km/s ，已超过了第二宇宙速度11.2 km/s ，也可能超过第三宇宙速度16.7 km/s ，所以此卫星不再绕地球运行，可能绕太阳运行，或者飞到太阳系以外的空间去了，故选项C 、D 正确． 题组二 人造卫星运动的规律 6．可以发射一颗这样的人造卫星，使其圆轨道( ) A ．与地球表面上某一纬线(非赤道)是共面同心圆 B ．与地球表面上某一经线所决定的圆是共面同心圆 C ．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面是静止的 D ．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，但卫星相对地球表面是运动的 答案 CD 解析 人造卫星运行时，由于地球对卫星的引力是它做圆周运动的向心力，而这个力的方向必定指向圆心，即指向地心，也就是说人造卫星所在轨道圆的圆心一定要和地球的中心重合，故A 错误；由于地球自转，所以卫星的轨道平面也不可能和经线所决定的平面共面，所以B 错误；相对地球表面静止的就是同步卫星，它必须在赤道线平面内，且距地面有确定的高度，这个高度约为三万六千千米，而低于或高于这个轨道的卫星也可以在赤道平面内运动，不过由于它们自转的周期和地球自转周期不同，就会相对于地面运动． 7．假如一做圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍，仍做圆周运动，则( ) A ．根据公式v ＝ωr ，可知卫星运动的线速度将增大到原来的2倍 B ．根据公式F ＝m v 2r ，可知卫星所需的向心力将减少到原来的1 2 C ．根据公式F ＝G Mm r 2，可知地球提供的向心力将减小到原来的1 4 D ．根据上述B 和C 中给出的公式，可知卫星运动的线速度将减小到原来的22 答案 CD 解析 从v ＝ GM r 看出，离地球越远的卫星速度越小，当半径加倍时，地球对卫星的万有引力变为原来的14，即地球提供的向心力减小到原来的14，速度变为原来的2 2倍． 8．2013年6月11日17时38分，“神舟十号”飞船在酒泉卫星发射中心发射升空，航天员王亚平进行了首次太空授课．在飞船进入圆形轨道环绕地球飞行时，它的线速度大小( ) A ．等于7.9 km/s B ．介于7.9 km/s 和11.2 km/s 之间 C ．小于7.9 km/s D ．介于7.9 km/s 和16.7 km/s 之间 答案 C 解析 卫星在圆形轨道上运动的速度v ＝ G M r .由于轨道半径r ＞地球半径R ，所以v ＜ G M R ＝7.9 km/s ，C 正确． 9．如图1，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M 和2M 的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的是( ) 图1 A ．甲的向心加速度比乙的小 B ．甲的运行周期比乙的小 C ．甲的角速度比乙的大 D ．甲的线速度比乙的大 答案 A 解析 甲、乙两卫星分别绕质量为M 和2M 的行星做匀速圆周运动，万有引力提供各自做匀 速圆周运动的向心力．由牛顿第二定律G Mm r 2＝ma ＝m 4π2T 2r ＝mω2 r ＝m v 2r ，可得a ＝GM r 2，T ＝2π r 3GM ，ω＝ GM r 3，v ＝ GM r .由已知条件可得a 甲＜a 乙，T 甲＞T 乙，ω甲＜ω乙，v 甲＜v 乙，故正确选项为A. 题组三 对同步卫星规律的理解及应用 10．下面关于同步通信卫星的说法中，正确的是( ) A ．同步通信卫星的高度和速率都是确定的 B ．同步通信卫星的高度、速度、周期中，有的能确定，有的不能确定，可以调节 C ．我国发射第一颗人造地球卫星的周期是114 min ，比同步通信卫星的周期短，所以第一颗人造卫星离地面的高度比同步通信卫星的低 D ．同步通信卫星的速率比我国发射的第一颗人造地球卫星的速率小 答案 ACD 解析 同步通信卫星的周期与角速度跟地球自转的周期与角速度分别相同，由ω＝ GM r 3和h ＝r －R 可知，卫星高度确定，由v ＝ωr 知速率也确定，选项A 正确，B 错误；由T ＝2π r 3 GM 知，第一颗人造地球卫星的高度比同步通信卫星的低，选项C 正确；由v ＝ GM r 知，同步 通信卫星比第一颗人造地球卫星的速率小，故选项D 正确． 11．关于我国发射的“亚洲一号”地球同步通讯卫星的说法，正确的是( ) A ．若其质量加倍，则轨道半径也要加倍 B ．它在北京上空运行，故可用于我国的电视广播 C ．它以第一宇宙速度运行 D ．它运行的角速度与地球自转角速度相同 答案 D 解析 由G Mm r 2＝m v 2r 得r ＝GM v 2，可知轨道半径与卫星质量无关，A 错误．同步卫星的轨道平 面必须与赤道平面重合，即在赤道上空运行，不能在北京上空运行，B 错误．第一宇宙速度是卫星在最低圆轨道上运行的速度，而同步卫星在高轨道上运行，其运行速度小于第一宇宙速度，C 错误．所谓“同步”就是卫星保持与地面赤道上某一点相对静止，所以同步卫星的角速度与地球自转角速度相同，D 正确． 12．“北斗”卫星导航定位系统由地球静止轨道卫星(同步卫星)、中轨道卫星和倾斜同步卫星组成．地球静止轨道卫星和中轨道卫星都在圆轨道上运行，它们距地面的高度分别约为地球半径的6倍和3.4倍．下列说法正确的是( ) A ．静止轨道卫星的周期约为中轨道卫星的2倍 B ．静止轨道卫星的线速度大小约为中轨道卫星的2倍 C ．静止轨道卫星的角速度大小约为中轨道卫星的1 7 D ．静止轨道卫星的向心加速度大小约为中轨道卫星的1 7 答案 A 解析 根据G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，可得T ＝2π r 3GM ，代入数据，A 正确；根据G Mm r 2＝m v 2r ，可得 v ＝ GM r ，代入数据，B 错误；根据G Mm r 2＝mω2r ，可得ω＝ GM r 3，代入数据，C 错误； 根据G Mm r 2＝ma ，可得a ＝GM r 2，代入数据，D 错误． 题组四 综合应用 13．已知地球的半径是6.4×106 m ，地球的自转周期是24 h ，地球的质量是5.98×1024 kg ，引力常量G ＝6.67×10 －11 N·m 2/kg 2，若要发射一颗地球同步卫星，试求： (1)地球同步卫星的轨道半径r ； (2)地球同步卫星的环绕速度v 的大小，并与第一宇宙速度比较大小关系． 答案 (1)4.2×107 m (2)3.1×103 m/s 小于第一宇宙速度 解析 (1)根据万有引力提供向心力得 GMm r 2＝mω2 r ，ω＝2πT ， 则r ＝ 3GMT 24π2 ＝ 3 6.67×10－11×5.98×1024×(24×3 600)24×3.142 m ≈4.2×107 m. (2)根据GMm r 2＝m v 2r 得： v ＝ GM r ＝ 6.67×10－ 11×5.98×10244.2×10 7 m/s ≈3.1×103 m/s ＝3.1 km/s<7.9 km/s. 14．据报载：某国发射了一颗质量为100 kg ，周期为1 h 的人造环月卫星，一位同学记不住引 力常量G 的数值，且手边没有可查找的资料，但他记得月球半径为地球半径的1 4 ，月球表面重 力加速度为地球表面重力加速度的1 6，经过推理，他认定该报道是则假新闻，试写出他的论证 方案．(地球半径约为6.4×103 km ，g 地取9.8 m/s 2) 答案 见解析 解析 对环月卫星，根据万有引力定律和牛顿第二定律得GMm r 2＝m 4π2 T 2r ，解得T ＝2π r 3 GM 则r ＝R 月时，T 有最小值，又GM R 2月＝g 月 故T min ＝2π R 月g 月＝2π 14R 地16g 地＝2π 3R 地 2g 地 代入数据解得T min ≈1.73 h 环月卫星最小周期为1.73 h ，故该报道是则假新闻． 5.4 宇宙航行（二） 题组一 赤道物体、同步卫星和近地卫星的区别 1．关于近地卫星、同步卫星、赤道上的物体，以下说法正确的是( ) A ．都是万有引力等于向心力 B ．赤道上的物体和同步卫星的周期、线速度、角速度都相等 C ．赤道上的物体和近地卫星的轨道半径相同但线速度、周期不同 D ．同步卫星的周期大于近地卫星的周期 答案 CD 解析 赤道上的物体是由万有引力的一个分力提供向心力，A 项错误；赤道上的物体和同步卫星有相同的周期和角速度，但线速度不同，B 项错误；同步卫星和近地卫星有相同的中心天体， 根据GMm r 2＝m v 2r ＝m 4π2T 2r 得v ＝ GM r ，T ＝2π r 3 GM ，由于r 同>r 近，故v 同 D 正确；赤道上的物体、近地卫星、同步卫星三者间的周期关系为T 物＝T 同>T 近，根据v ＝ωr 可知v 物 2．a 是地球赤道上一栋建筑，b 是在赤道平面内做匀速圆周运动的卫星，c 是地球同步卫星，已知c 到地心距离是b 的二倍，某一时刻b 、c 刚好位于a 的正上方(如图1所示)，经48 h ，a 、b 、c 的大致位置是图中的( ) 图1 答案 B 解析 b 、c 都是地球的卫星，由地球对它们的万有引力提供向心力，是可以比较的．a 、c 是在同一平面内以相同角速度转动的，也是可以比较的．在某时刻c 在a 的正上方，则以后永远 在a 的正上方，对b 和c ，根据G Mm r 2＝m 4π2 T 2r ，r c ＝2r b ，推知T c ＝22T b ，又由2T c ＝n b T b 得：n b ＝2×22≈5.66圈，所以B 正确． 3．有a 、b 、c 、d 四颗地球卫星，a 还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，b 处于地面附近的近地轨道上做圆周运动，c 是地球同步卫星，d 是高空探测卫星，各卫星排列位置如图2所示，则有( ) 图2 A ．a 的向心加速度等于重力加速度g B ．b 在相同时间内转过的弧长最长 C ．c 在4 h 内转过的圆心角是π 3 D ．d 的运动周期可能是30 h 答案 BCD 解析 a 受到万有引力和地面的支持力，由于支持力等于重力，与万有引力大小接近，所以向 心加速度远小于重力加速度，选项A 错误；由v ＝ GM r 知b 的线速度最大，则在相同时间 内b 转过的弧长最长，选项B 正确；c 为同步卫星，周期T c ＝24 h ，在4 h 内转过的圆心角θ＝4 h T c ·2π＝π3，选项C 正确；由T ＝ 4π2r 3GM 知d 的周期最大，所以T d >T c ＝24 h ，则d 的周期可能是30 h ，选项D 正确． 题组二 卫星发射和变轨问题 4．探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则变轨后与变轨前相比( ) A ．轨道半径变小 B ．向心加速度变小 C ．线速度变小 D ．角速度变小 答案 A 解析 由G Mm r 2＝m 4π2r T 2知T ＝2π r 3GM ，变轨后T 减小，则r 减小，故选项A 正确；由G Mm r 2＝ma ，知r 减小，a 变大，故选项B 错误；由G Mm r 2＝m v 2r 知v ＝ GM r ，r 减小，v 变大，故 选项C 错误；由ω＝2π T 知T 减小，ω变大，故选项D 错误． 5．如图3所示，a 、b 、c 是在地球大气层外圆形轨道上运行的3颗人造卫星，下列说法正确的是( ) 图3 A ．b 、c 的线速度大小相等，且大于a 的线速度 B ．a 加速可能会追上b C ．c 加速可追上同一轨道上的b ，b 减速可等到同一轨道上的c D ．a 卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，仍做匀速圆周运动，则其线速度将变大 答案 BD 解析 因为b 、c 在同一轨道上运行，故其线速度大小、加速度大小均相等．又由b 、c 轨道半 径大于a 轨道半径，由v ＝ GM r 可知，v b ＝v c ＜v a ，故选项A 错误；当a 加速后，会做离心 运动，轨道会变成椭圆，若椭圆与b 所在轨道相切(或相交)，且a 、b 同时来到切(或交)点时， a 就追上了 b ，故B 正确；当 c 加速时，c 受的万有引力F ＜m v 2c r c ，故它将偏离原轨道，做离心 运动；当b 减速时，b 受的万有引力F ＞m v 2b r b ，它将偏离原轨道，做向心运动．所以无论如何c 也追不上b ，b 也等不到c ，故选项C 错误(对这一选项，不能用v ＝ GM r 来分析b 、c 轨道 半径的变化情况)；对a 卫星，当它的轨道半径缓慢减小时，由v ＝ GM r 可知，r 减小时，v 逐渐增大，故选项D 正确． 6．图4是“嫦娥一号”奔月示意图，卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星，并开展对月球的探测．下列说法正确的是( ) 图4 A ．发射“嫦娥一号”的速度必须达到第三宇宙速度 B ．在绕月圆轨道上，卫星周期与卫星质量有关 C ．卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比 D ．在绕月轨道上，卫星受地球的引力大于受月球的引力 答案 C 解析 “嫦娥一号”发射时因通过自带的火箭加速多次变轨，所以其发射速度应达到第一宇 宙速度，而它未离开太阳系，故发射速度小于第三宇宙速度，A 错误；在绕月圆轨道上，由Gmm 0 R 2 ＝m 04π2T 2R 得T ＝ 4π2R 3Gm 与卫星质量无关，B 错误；在绕月轨道上，卫星受月球的引力大于 地球对它的引力，D 错误；由万有引力F ＝G mm 0 R 2得C 正确． 题组三 双星及三星问题 7．天文学家如果观察到一个星球独自做圆周运动，那么就想到在这个星球附近存在着一个看不见的星体——黑洞．若星球与黑洞由万有引力的作用组成双星，以两者连线上某点为圆心做匀速圆周运动，那么( ) A ．它们做圆周运动的角速度与其质量成反比 B ．它们做圆周运动的周期与其质量成反比 C ．它们做圆周运动的半径与其质量成反比 D ．它们所需的向心力与其质量成反比 答案 C 解析 由于该双星和它们的轨道中心总保持三点共线，所以在相同时间内转过的角度必相等，即它们做匀速圆周运动的角速度必相等，因此周期也必然相同，A 、B 错误；因为它们所需的向心力都是由它们之间的万有引力来提供，所以大小必然相等，D 错误；由F ＝mω2r 可得r ∝1 m ，C 正确． 8．某双星由质量不等的星体S 1和S 2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C 做匀速圆周运动．由天文观察测得其运动周期为T ，S 1到C 点的距离为r 1，S 1和S 2的距离为r ，已知引力常量为G ，由此可求出S 2的质量为( ) A.4π2r 2(r －r 1)GT 2 B.4π2r 3 1GT 2 C.4π2r 3GT 2 D.4π2r 2r 1GT 2 答案 D 解析 设S 1和S 2的质量分别为m 1、m 2，对于S 1有 G m 1m 2r 2＝m 1????2πT 2r 1，得m 2＝4π2r 2r 1GT 2 . 9．双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可 能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T ，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k 倍，双星之间的距离变为原来的n 倍，则此时圆周运动的周期为( ) A. n 3k 2T B.n 3k T C.n 2k T D.n k T 答案 B 解析 设m 1的轨道半径为R 1，m 2的轨道半径为R 2.两星之间的距离为l . 由于它们之间的距离恒定，因此双星在空间的绕向一定相同，同时角速度和周期也都相同．由向心力公式可得： 对m 1：G m 1m 2l 2＝m 14π2 T 2R 1 ① 对m 2：G m 1m 2l 2＝m 24π2 T 2R 2 ② 又因为R 1＋R 2＝l ，m 1＋m 2＝M 由①②式可得T 2 ＝4π2l 3G (m 1＋m 2) 所以当两星总质量变为kM ，两星之间的距离变为原来的n 倍时， 圆周运动的周期T ′2 ＝4π2(nl )3G (m 1′＋m 2′)＝4π2n 3l 3GkM ＝n 3k T 2 即T ′＝n 3 k T ，故A 、C 、D 错误，B 正确． 故选B. 10．宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统．其中有一种三星系统如图5所示，三颗质量均为m 的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R .忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O 做匀速圆周运动，引力常量为G .则( ) 图5 A ．每颗星做圆周运动的线速度为 Gm R B ．每颗星做圆周运动的角速度为 3Gm R C ．每颗星做圆周运动的周期为2π R 3 3Gm D ．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关 答案 AC 解析 任意两个星体之间的万有引力F ＝Gmm R 2，每一颗星体受到的合力F 1＝3F 由几何关系知：它们的轨道半径r ＝3 3R ① 合力提供它们的向心力：3Gmm R 2＝m v 2 r ② 联立①②，解得：v ＝ Gm R ，故A 正确； 高考物理万有引力与航天专题训练答案 一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天 1．一名宇航员到达半径为R 、密度均匀的某星球表面，做如下实验：用不可伸长的轻绳拴一个质量为m 的小球，上端固定在O 点，如图甲所示，在最低点给小球某一初速度，使其绕O 点在竖直面内做圆周运动，测得绳的拉力大小F 随时间t 的变化规律如图乙所示．F 1、F 2已知，引力常量为G ，忽略各种阻力．求： （1）星球表面的重力加速度； （2）卫星绕该星的第一宇宙速度； （3）星球的密度． 【答案】（1）126F F g m -=（212()6F F R m -(3) 128F F GmR ρπ-= 【解析】 【分析】 【详解】 （1）由图知：小球做圆周运动在最高点拉力为F 2，在最低点拉力为F 1 设最高点速度为2v ，最低点速度为1v ，绳长为l 在最高点：2 22mv F mg l += ① 在最低点：2 11mv F mg l -= ② 由机械能守恒定律，得 221211222 mv mg l mv =?+ ③ 由①②③，解得1 2 6F F g m -= （2） 2 GMm mg R = 2GMm R =2 mv R 两式联立得：12()6F F R m - （3）在星球表面：2 GMm mg R = ④ 星球密度：M V ρ= ⑤ 由④⑤，解得12 8F F GmR ρπ-= 点睛：小球在竖直平面内做圆周运动，在最高点与最低点绳子的拉力与重力的合力提供向心力，由牛顿第二定律可以求出重力加速度；万有引力等于重力，等于在星球表面飞行的卫星的向心力，求出星球的第一宇宙速度；然后由密度公式求出星球的密度． 2．a 、b 两颗卫星均在赤道正上方绕地球做匀速圆周运动，a 为近地卫星，b 卫星离地面高度为3R ，己知地球半径为R ，表面的重力加速度为g ，试求： （1）a 、b 两颗卫星周期分别是多少？ （2） a 、b 两颗卫星速度之比是多少？ （3）若某吋刻两卫星正好同时通过赤道同--点的正上方，则至少经过多长时间两卫星相距最远？ 【答案】（1 ）2 ，16（2）速度之比为2 【解析】 【分析】根据近地卫星重力等于万有引力求得地球质量，然后根据万有引力做向心力求得运动周期；卫星做匀速圆周运动，根据万有引力做向心力求得两颗卫星速度之比；由根据相距最远时相差半个圆周求解； 解：（1）卫星做匀速圆周运动，F F =引向， 对地面上的物体由黄金代换式2 Mm G mg R = a 卫星 2 224a GMm m R R T π= 解得2a T =b 卫星2 2 24·4(4)b GMm m R R T π= 解得16b T = （2）卫星做匀速圆周运动，F F =引向， a 卫星2 2a mv GMm R R = 万有引力与航天重点规律方法总结 一.三种模型 1．匀速圆周运动模型： 无论是自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可看成质点，围绕中心天体（视为静止）做匀速圆周运动 2．双星模型： 将两颗彼此距离较近的恒星称为双星,它们相互之间的万有引力提供各自 转动的向心力。 3.“天体相遇”模型： 两天体相遇，实际上是指两天体相距最近。 二.两种学说 1.地心说：代表人物是古希腊科学家托勒密 2/日心说：代表人物是波兰天文学家哥白尼 三.两个定律 1.开普勒定律： 第一定律（又叫椭圆定律）：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆 的一个焦点上 第二定律（又叫面积定律）：对每一个行星而言，太阳和行星的连线，在相等时间内扫 过相同的面积。 第三定律（又叫周期定律）：所有行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴R 的三次方跟公 转周期T 的二次方的比值都相等。 表达式为：)4(2 23 π GM K K T R == k 只与中心天体质量有关的 定值与行星无关 2.牛顿万有引力定律 1687年在《自然哲学的数学原理》正式提出万有引力定律 ⑴.内容:宇宙间的一切物体都是相互吸引的.两个物体间引力的方向在它们的连线上,引力的大小跟它们的质量的乘积成正比,跟它们之间的距离的二次方成反比. ⑵.数学表达式: r F Mm G 2 =万 ⑶.适用条件: a.适用于两个质点或者两个均匀球体之间的相互作用。（两物体为均匀球体时，r 为两球心间的距离） b. 当0→r 时，物体不可以处理为质点，不能直接用万有引力公式计算 c. 认为当0→r 时，引力∞→F 的说法是错误的 ⑷．对定律的理解 a.普遍性：任何客观存在的有质量的物体之间都有这种相互作用力 b.相互性：两个物体间的万有引力是一对作用力和反作用力，而不是平衡力关系。 c.宏观性：在通常情况下万有引力非常小，只有在质量巨大的星球间或天体与天体附 近的物体间,它的存在才有实际意义. d.特殊性:两个物体间的万有引力只与它们本身的质量、它们之间的距离有关.与所在 空间的性质无关,与周期及有无其它物体无关. （5）引力常数G ： 第五讲 万有引力定律重点归纳讲练 知识梳理 考点一、万有引力定律 1. 开普勒行星运动定律 （1） 第一定律（轨道定律）：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 （2） 第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。 （3） 第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期二次方的比值都相等，表达式： k T a =23 。其中k 值与太阳有关，与行星无关。 （4） 推广：开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳运转，也适用于卫星绕地球运转。当卫星绕行星旋转时，k T a =2 3 ，但k 值不同，k 与行星有关，与卫星无关。 （5） 中学阶段对天体运动的处理办法： ①把椭圆近似为园，太阳在圆心；②认为v 与ω不变，行星或卫星做匀速圆周运动； ③k T R =2 3 ，R ——轨道半径。 2. 万有引力定律 （1） 内容：万有引力F 与m 1m 2成正比，与r 2成反比。 （2） 公式：2 21r m m G F =，G 叫万有引力常量，2211 /10 67.6kg m N G ??=-。 （3） 适用条件：①严格条件为两个质点；②两个质量分布均匀的球体，r 指两球心间的距离；③一个均匀球体和球外一个质点，r 指质点到球心间的距离。 （4） 两个物体间的万有引力也遵循牛顿第三定律。 3. 万有引力与重力的关系 (1) 万有引力对物体的作用效果可以等效为两个力的作用，一个是重力mg ，另一个是物体随地球自转所需的向心力f ，如图所示。 ①在赤道上，F=F 向+mg ，即R m R Mm G mg 22 ω-=； ②在两极F=mg ，即mg R Mm G =2 ；故纬度越大，重力加速度越大。 由以上分析可知，重力和重力加速度都随纬度的增加而增大。 (2) 物体受到的重力随地面高度的变化而变化。在地面上，2 2 R GM g mg R Mm G =?=；在地球表面高度为h 处： 22)()(h R GM g mg h R Mm G h h +=?=+，所以g h R R g h 2 2 ) (+=，随高度的增加，重力加速度减小。 考点二、万有引力定律的应用——求天体质量及密度 1．T 、r 法：2 3 2224)2(GT r M T mr r Mm G ππ=?=，再根据3 23 33,34R GT r V M R V πρρπ=?== ，当r=R 时，2 3GT πρ= 2．g 、R 法：G g R M mg R Mm G 22 = ?=，再根据GR g V M R V πρρπ43,3 43=?== 3．v 、r 法：G rv M r v m r Mm G 2 22 =?= 万有引力与航天单元测试题 一、选择题 1．关于日心说被人们接受的原因是( ) A．太阳总是从东面升起，从西面落下 B．若以地球为中心来研究的运动有很多无法解决的问题 C．若以太阳为中心许多问题都可以解决，对行星的描述也变得简单 D．地球是围绕太阳运转的 2．有关开普勒关于行星运动的描述，下列说法中正确的是( ) A．所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 B．所有的行星绕太阳运动的轨道都是圆，太阳处在圆心上 C．所有的行星轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等 D．不同的行星绕太阳运动的椭圆轨道是不同的 3．关于万有引力定律的适用范围，下列说法中正确的是( ) A．只适用于天体，不适用于地面物体 B．只适用于球形物体，不适用于其他形状的物体 C．只适用于质点，不适用于实际物体D．适用于自然界中任意两个物体之间 4．已知万有引力常量G，要计算地球的质量还需要知道某些数据，现在给出下列各组数据,可以计算出地球质量的是( ) A．地球公转的周期及半径B．月球绕地球运行的周期和运行的半径 C．人造卫星绕地球运行的周期和速率D．地球半径和同步卫星离地面的高度 5．人造地球卫星由于受大气阻力，轨道半径逐渐变小，则线速度和周期变化情况是( ) A．速度减小，周期增大，动能减小B．速度减小，周期减小，动能减小 C．速度增大，周期增大，动能增大D．速度增大，周期减小，动能增大 6．一个行星，其半径比地球的半径大2倍，质量是地球的25倍，则它表面的重力加速度是地球表面重力加速度的( ) A．6倍B．4倍C．25/9倍D．12倍 7．假如一个做圆周运动的人造卫星的轨道半径增大到原来的2倍仍做圆周运动，则( ) 高中物理万有引力与航天专题训练答案及解析 一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天 1．如图所示，质量分别为m 和M 的两个星球A 和B 在引力作用下都绕O 点做匀速圆周运动，星球A 和B 两者中心之间距离为L ．已知A 、B 的中心和O 三点始终共线，A 和B 分别在O 的两侧，引力常量为G ．求： (1)A 星球做圆周运动的半径R 和B 星球做圆周运动的半径r ； (2)两星球做圆周运动的周期． 【答案】（1） R=m M M +L, r=m M m +L,（2）()3L G M m + 【解析】 （1）令A 星的轨道半径为R ，B 星的轨道半径为r ，则由题意有L r R =+ 两星做圆周运动时的向心力由万有引力提供，则有：22 22244mM G mR Mr L T T ππ== 可得 R M r m ＝ ，又因为L R r =+ 所以可以解得：M R L M m = +,m r L M m =+； （2）根据（1）可以得到：2222244mM M G m R m L L T T M m ππ==?+ 则：()()233 42L L T M m G G m M π= =++ 点睛：该题属于双星问题，要注意的是它们两颗星的轨道半径的和等于它们之间的距离，不能把它们的距离当成轨道半径． 2．载人登月计划是我国的“探月工程”计划中实质性的目标．假设宇航员登上月球后，以初速度v 0竖直向上抛出一小球，测出小球从抛出到落回原处所需的时间为t.已知引力常量为G ，月球的半径为R ，不考虑月球自转的影响，求： (1)月球表面的重力加速度大小g 月； (2)月球的质量M ； (3)飞船贴近月球表面绕月球做匀速圆周运动的周期T . 注释： M 中心天体质量 m 中心天体上的物体质量或者围绕中心天体做匀速圆周运动的物体质量 R 中心天体半径（地球半径约为6400km ） r 两球心间距离或轨道半径 h 距离中心天体高度 R r h -=（同步卫星轨道半径约为36000km ） g 星球表面重力加速度 ρ中心天体密度 一、地面公式 当忽略中心天体自转影响时： 二、围绕中心天体做匀速圆周运动的卫星公式 结论：越远周期越大，剩下都小 三、万有引力与重力的关系 在南北极：万有引力等于重力极mg R GMm =2 在赤道：万有引力一小部分充当向心力?????????=-22224自自赤T R m R m ma mg R GMm n πω 四、宇宙速度 第一宇宙速度（环绕速度）s km gR R GM v /9.7≈==（最大的环绕速度，最小的发射速度） 第二宇宙速度（脱离速度）s km v /2.11=（使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度） 第三宇宙速度（逃逸速度）s km v /7.16=（使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度） 五、双星 1)双星系统的周期、角速度相同． 2)轨道半径之比与线速度成正比与质量成反比． 3)双星系统的周期与双星间距离的三次方之比只与双星的总质量有关. 六、卫星变轨 速度：B ⅡB Ⅲv v > ⅡB ⅡA v v > A ⅠⅡA v v > ⅢB ⅠA v v > 加速度：ⅡA ⅠA a a = ⅢB ⅡB a a = B A a a > 周期：123T T T >> 机械能：123E E E >> 结论：低轨道变高轨道→加速，高轨道变低轨道→减速； 同一点加速度相等，越近加速度越大 越远周期越大，能量越高,一直在一个轨道上环绕时机械能守恒 七、开普勒行星定律 ①（轨道定律）所有行星绕太阳运动都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 ②（面积定律）对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积 ③（周期定律）所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等 即：k T a 23 （圆轨道半长轴用R ，k 的大小与中心天体质量有关） 万有引力定律与航天 练习题 Revised on November 25, 2020 万有引力定律与航天章节练习题 一、选择题 1．如图所示，火星和地球都在围绕太阳旋转，其运行轨道是椭圆，根据开普 勒行星运动定律可知( ) A. 火星绕太阳运动过程中，速率不变 B. 火星绕太阳运行一周的时间比地球的长 C. 地球靠近太阳的过程中，运行速率将减小 D. 火星远离太阳的过程中，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积逐渐增大 2．经国际小行星命名委员会命名的“神舟星”和“杨利伟星”的轨道均处在 火星和木星轨道之间，它们绕太阳沿椭圆轨道运行，其轨道参数如下表。 注：AU 是天文学中的长度单位，1AU=149 597 870 700m （大约是地球到太阳的平均距离）。“神舟星”和“杨利伟星”绕太阳运行的周期分别为T 1和T 2，它们在近日点的加速度分别为a 1和a 2。则下列说法正确的是( ) A. 1212,T T a a >< B. 1212,T T a a << C. 1212,T T a a >> D. 1212,T T a a 3．过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“31peg b” 的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“31peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运 动，周期大约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的1 20，该中心恒星 与太阳的质量比约为( ) A. 1 10 B. 1 C. 5 D. 10 4．2013年6月13日，“神舟十号”与“天空一号”成功实施手控交会对接，下列关于“神舟十号”与“天空一号”的分析错误的是（ ） A ．“天空一号”的发射速度应介于第一宇宙速度与第二宇宙速度之间 第4章曲线运动万有引力与航天 一、选择题(本大题共15小题) 1．一个物体受到恒定的合力作用而做曲线运动，则下列说法正确的是 A．物体的速率可能不变 B．物体一定做匀变速曲线运动，且速率一定增大 C．物体可能做匀速圆周运动 D．物体受到的合力与速度的夹角一定越来越小，但总不可能为零 2．一物体在光滑的水平桌面上运动，在相互垂直的x方向和y方向上的分运动速度随时间变化的规律如图1所示．关于物体的运动，下列说法正确的是 图1 A．物体做曲线运动 B．物体做直线运动 C．物体运动的初速度大小是50 m/s D．物体运动的初速度大小是10 m/s 3．小船过河时，船头偏向上游与水流方向成α角，船相对静水的速度为v，其航线恰好垂直于河岸．现水流速度稍有增大，为保持航线不变，且准时到达对岸，下列措施中可行的是 A．增大α角，增大船速v B．减小α角，增大船速v C．减小α角，保持船速v不变 D．增大α角，保持船速v不变 4．(2011·上海市闸北调研)质量为2 kg的质点在x－y平面上做曲线运动，在x方向的速度图象和y方向的位移图象如图2所示，下列说法正确的是 图2 A ．质点的初速度为5 m/s B ．质点所受的合外力为3 N C ．质点初速度的方向与合外力方向垂直 D ．2 s 末质点速度大小为6 m/s 5．如图3所示，甲、乙、丙三个轮子依靠摩擦转动，相互之间不打滑，其半径分别为r 1、r 2、r 3.若甲轮的角速度为ω1，则丙轮的角速度为 图3 A.r 1ω1r 3 B.r 3ω1 r 1 C. r 3ω1r 2 D.r 1ω1 r 2 6．如图4所示，轻杆的一端有一个小球，另一端有光滑的固定轴O.现给球一初速度，使球和杆一起绕O 轴在竖直面内转动，不计空气阻力，用F 表示球到达最高点时杆对小球的作用力．则F 图4 A ．一定是拉力 B ．一定是推力 C ．一定等于0 D ．可能是拉力，可能是推力，也可能等于0 备战2021新高考物理-重点专题-万有引力与航天（三） 一、单选题 1.三颗人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，运行方向如图所示.已知 ，则关于三颗卫星，下列说法错误的是（） A.卫星运行线速度关系为 B.卫星轨道半径与运行周期关系为 C.已知万有引力常量G，现测得卫星A的运行周期T A和轨道半径R A，可求地球的平均密度 D.为使A 与B同向对接，可对A适当加速 2.如图所示，A、B、C是在地球大气层外的圆形轨道上运行的三颗人造地球卫星，下列说法中正确的是() A.B，C的角速度相等，且小于A的角速度 B.B，C的线速度大小相等，且大于A的线速度 C.B，C的向心加速度相等，且大于A的向心加速度 D.B，C的周期相等，且小于A的周期 3.2020年4月24日，国家航天局宣布，我国行星探测任务命名为“天问”，首次火星探测任务命名为“天问一号”。已知万有引力常量，为计算火星的质量，需要测量的数据是（） A.火星表面的重力加速度和火星绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径 B.火星绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径和火星的公转周期 C.某卫星绕火星做匀速圆周运动的周期和火星的半径 D.某卫星绕火星做匀速圆周运动的轨道半径和公转周期 4.一宇宙飞船绕地心做半径为r的匀速圆周运动，飞船舱内有一质量为m的人站在可称体重的台秤上．用R表示地球的半径，g表示地球表面处的重力加速度，g′表示宇宙飞船所在处的地球引力加速度，F N表示人对秤的压力，下面说法中正确的是（） A.g′=0 B.g′= C.F N=0 D.F N= 5.2019年11月23日8时55分，我国在西昌卫星发射中心用“长征三号“乙运载火箭，以“一箭双星”方式成功发射第50、51颗北斗导航卫星。两颗卫星均属于中圆轨道（MEO）卫星，是我国的“北斗三号”系统的组网卫星。这两颗卫星的中圆轨道（MEO）是一种周期为12小时，轨道面与赤道平面夹角为60°的圆轨道。是经过GPS和GLONASS运行证明性能优良的全球导航卫星轨道。关于这两颗卫星，下列说法正确的是（） A.这两颗卫星的动能一定相同 B.这两颗卫星绕地心运动的角速度是长城随地球自转角速度的4倍 C.这两颗卫星的轨道半径是同步卫星轨道半径的 D.其中一颗卫星每天会经过赤道正上方2次 6.如图所示，a、b、c是地球大气层外圆形轨道上运行的三颗人造地球卫星，a、b质量相等且小于c的质量，则下列判断错误的是（） A.b所需向心力最小 B.b、c周期相等，且大于a的周期 C.b、c向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度 D.b、c线速度大小相等，且小于a的线速度 7.将地球看成质量均匀的球体，假如地球自转速度增大，下列说法中正确的是() A.放在赤道地面上的物体所受的万有引力增大 B.放在两极地面上的物体所受的重力增大 C.放在赤道地面上的物体随地球自转所需的向心力增大 D.放在赤道地面上的物体所受的重力增大 8.太阳系中有一颗绕太阳公转的行星，距太阳的平均距离是地球到太阳平均距离的4倍，则该行星绕太阳公转的周期是（） A.2年 B.4年 C.8年 D.10年 9.若将八大行星绕太阳运行的轨迹可粗略地认为是圆，各星球半径和轨道半径如下表所示：从表中所列数据可以估算出海王星的公转周期最接近( ) 《万有引力与航天》测试题 一、选择题（每小题4分，全对得4分，部分对的得2分，有错的得0分，共48分。） 1.第一次通过实验比较准确的测出引力常量的科学家是（ ） A ． 牛顿 B ． 伽利略 C ．胡克 D ． 卡文迪许 2.如图1所示a 、b 、c 是在地球大气层外圆形轨道上运动的3颗卫星，下列说法正确的是（ ） A ．b 、c 的线速度大小相等，且大于a 的线速度； B ．b 、c 的向心加速度大小相等，且大于a 的向心加速度； C ．c 加速可追上同一轨道上的b ，b 减速可等候同一轨道上的c ； D ．a 卫星由于某种原因，轨道半径变小，其线速度将变大 3.宇宙飞船为了要与“和平号“轨道空间站对接，应该：（ ） A.在离地球较低的轨道上加速 B.在离地球较高的轨道上加速 C.在与空间站同一高度轨道上加速 D.不论什么轨道，只要加速就行 4、 发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火， 使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3，轨道1、2相切于Q 点，轨道2、3相切于P 点，如图2所示。则在卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是：（ ） A ．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率。 B ．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度。 C ．卫星在轨道1上经过Q 点时的速度大于它在轨道2 上经过Q 点时的速度。 D ．卫星在轨道2上经过P 点时的加速度等于它在轨道3 b a c 地球 图1 上经过P 点时的加速度 5、 宇航员在围绕地球做匀速圆周运动的空间站中会处于完全失重中，下列说法中正确的是 （ ） A.宇航员仍受重力的作用 B.宇航员受力平衡 C.宇航员受的重力正好充当向心力 D.宇航员不受任何作用力 6.某星球质量为地球质量的9倍，半径为地球半径的一半，在该星球表面从某一高度以10 m/s 的初 速度竖直向上抛出一物体，从抛出到落回原地需要的时间为（g 地=10 m/s 2 ）（ ） A ．1s B ． 91s C ．18 1 s D ． 36 1 s 7.假如地球自转速度增大，关于物体重力，下列说法正确的是（ ） A 放在赤道地面上的万有引力不变 B 放在两极地面上的物体的重力不变 C 放在赤道地面上物体的重力减小 D 放在两极地面上的物体的重力增加 8、设想把质量为m 的物体放在地球的中心，地球的质量为M ，半径为R ，则物体与地球间的万有引力是（ ） A.零 B.无穷大 C.2 GMm R D.无法确定 9.对于质量m 1和质量为m 2的两个物体间的万有引力的表达式12 2m m F G r ，下列说法正确的是 （ ） 和m 2所受引力总是大小相等的 B 当两物体间的距离r 趋于零时，万有引力无穷大 C.当有第三个物体m 3放入之间时，m 1和m 2间的万有引力将增大 D.所受的引力性质可能相同，也可能不同 10地球赤道上的重力加速度为g ，物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a ，要使赤道上物 体“飘” 起来，则地球的转速应为原来转速的（ ） A O 万有引力与航天专题 1．【2012?湖北联考】经长期观测发现，A 行星运行的轨道半径为R 0，周期为T 0但其实际运行的轨道与圆轨道总存在一些偏离，且周期性地每隔t 0时间发生一次最大的偏离．如图所示，天文学家认为形成这种现象的原因可能是A 行星外侧 还存在着一颗未知行星B ，则行星B 运动轨道半径为（ ） A ． 030002()2t R R t T =- B ．T t t R R -=000 C ． 3 20000)(T t t R R -= D ．300200T t t R R -= 2．【2012?北京朝阳期末】2011年12月美国宇航局发布声明宣布，通过开普勒太空望远镜项目证实了太阳系外第一颗类似地球的、可适合居住的行星。该行星被命名为开普勒一22b （Kepler 一22b ），距离地球约600光年之遥，体积是地球的2．4倍。这是目前被证实的从大小和运行轨道来说最接近地球形态的行星，它每290天环绕着一颗类似于太阳的恒星运转一圈。若行星开普勒一22b 绕恒星做圆运动的轨道半径可测量，万有引力常量G 已知。根据以上数据可以估算的物理量有（ ） A.行星的质量 B ．行星的密度 C ．恒星的质量 D ．恒星的密度 3．【2012?江西联考】如右图，三个质点a 、b 、c 质量分别为m 1、m 2、 M （M>> m 1，M>> m 2）。在c 的万有引力作用下，a 、b 在同一平面内 绕c 沿逆时针方向做匀速圆周运动，它们的周期之比T a ∶T b =1∶k ； 从图示位置开始，在b 运动一周的过程中，则 （ ） A ．a 、b 距离最近的次数为k 次 B ．a 、b 距离最近的次数为k+1次 C ．a 、b 、c 共线的次数为2k D ．a 、b 、c 共线的次数为2k-2 4．【2012?安徽期末】2011年8月26日消息，英国曼彻斯特大学的天文学家认为，他们已经在银河系里发现一颗由曾经的庞大恒星转变而成的体积较小的行星，这颗行星完全 第六章 万有引力与航天知识点总结 一. 万有引力定律： ①内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量1m 和2m 的乘积成正比，与它们 之间的距离r 的二次方成反比。即： 其中G =6. 67×10 －11N ·m 2/kg 2 ②适用条件 （Ⅰ）可看成质点的两物体间，r 为两个物体质心间的距离。 （Ⅱ）质量分布均匀的两球体间，r 为两个球体球心间的距离。 ③运用 （1）万有引力与重力的关系： 重力是万有引力的一个分力，一般情况下，可认为重力和万有引力相等。 忽略地球自转可得： 二. 重力和地球的万有引力： 1. 地球对其表面物体的万有引力产生两个效果： （1）物体随地球自转的向心力： F 向=m ·R ·（2π/T 0）2，很小。 由于纬度的变化，物体做圆周运动的向心力不断变化，因而表面物体的重力随纬度的变化而变化。 （2）重力约等于万有引力： 在赤道处：mg F F +=向，所以R m R GMm F F mg 22自向ω-=-=，因地球自转角速度很小，R m R GMm 22自ω>>，所以2R GM g =。 地球表面的物体所受到的向心力f 的大小不超过重力的0. 35%，因此在计算中可以认为万有引力和重 力大小相等。如果有些星球的自转角速度非常大，那么万有引力的向心力分力就会很大，重力就相应减小， 就不能再认为重力等于万有引力了。如果星球自转速度相当大，使得在它赤道上的物体所受的万有引力恰 好等于该物体随星球自转所需要的向心力，那么这个星球就处于自行崩溃的临界状态了。 在地球的同一纬度处，g 随物体离地面高度的增大而减小，即21)('h R Gm g += 。 强调：g =G ·M /R 2不仅适用于地球表面，还适用于其它星球表面。 2. 绕地球运动的物体所受地球的万有引力充当圆周运动的向心力，万有引力、向心力、重力三力合一。 即：G ·M ·m /R 2=m ·a 向=mg ∴g =a 向=G ·M /R 2 122 m m F G r =2 R Mm G mg = r G Mm = mg ? g = GM ；在地球表面高度为 h 处： (R + h) 2 (R + h) 2 Mm = mg ? g = = 4 , r 万有引力与航天重点知识归纳 考点一、万有引力定律 1. 开普勒行星运动定律 （1）第一定律（轨道定律）：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 （2）第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。 （3）第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期二次方的比值都相等，表达式： a 3 T 2 = k 。其中 k 值与太阳有关，与行星无关。 （4）推广：开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳运转，也适用于卫星绕地球运转。当卫星绕行星 旋转时， a 3 = k ，但 k 值不同，k 与行星有关，与卫星无关。 T 2 （5） 中学阶段对天体运动的处理办法： ①把椭圆近似为园，太阳在圆心；②认为 v 与ω不变，行星或卫星做匀速圆周运动； ③ R 3 = k ，R ——轨道半径。 T 2 2. 万有引力定律 （1）内容：万有引力 F 与 m 1m 2 成正比，与 r 2 成反比。 （2）公式： F = G m 1m 2 ，G 叫万有引力常量， G = 6.67 ? 10 -11 N ? m 2 / k g 2 。 r 2 （3）适用条件：①严格条件为两个质点；②两个质量分布均匀的球体， 指两球心间的距离；③一个均匀 球体和球外一个质点，r 指质点到球心间的距离。 （4）两个物体间的万有引力也遵循牛顿第三定律。 3. 万有引力与重力的关系 (1) 万有引力对物体的作用效果可以等效为两个力的作用，一个是重力 mg ，另一个是 物体随地球自转所需的向心力 f ，如图所示。 ①在赤道上，F=F 向+mg ，即 mg = G Mm - m ω 2 R ； R 2 ②在两极 F=mg ，即 G Mm = mg ；故纬度越大，重力加速度越大。 R 2 由以上分析可知，重力和重力加速度都随纬度的增加而增大。 (2) 物体受到的重力随地面高度的变化而变化。在地面上， R 2 R 2 G GM ，所以 g = h h h R 2 (R + h ) 2 g ，随高度的增加，重力加速度减小。 考点二、万有引力定律的应用——求天体质量及密度 1．T 、r 法： G Mm = mr ( 2π ) 2 ? M = 4π 2 r 3 ，再根据 r 2 T GT 2 V M 3πr 3 π R 3 , ρ = ? ρ = 3 V GT 2 R 3 ，当 r=R 时， ρ = 3π GT 2 2．g 、R 法： G Mm = mg ? M = R 2 g R 2 G ，再根据V = 4 πR 3 ρ = M ? ρ = 3g 3 V 4πGR 3．v 、r 法： G Mm = m v 2 ? M = rv 2 r 2 r G 4．v 、T 法： G Mm = m v 2 , G Mm = mr ( 2π ) 2 ? M = v 3 T r 2 r 2 T 2πG 《万有引力与航天》单元测试 一、选择题 1．星球上的物体脱离星球引力所需的最小速度称为第二宇宙速度．星球的第二宇宙速度v 2与第一宇宙速度v 1的关系是v 2＝2v 1.已知某星球的半径为r ，它表面的重力加速度为地球表面重力加速度g 的1 6 ，不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为( ) A.gr B. 16 gr C. 1 3 gr D.13 gr 解析：由题意v 1＝g ′r ＝ 1 6 gr ，v 2＝2v 1＝ 1 3 gr ，所以C 项正确． 答案：C 2．太阳能电池是将太阳能通过特殊的半导体材料转化为电能，在能量的利用中，它有许多优点，但也存在着一些问题，如受到季节、昼夜及阴晴等气象条件的限制．为了能尽量地解决这些问题，可设想把太阳能电池送到太空中并通过一定的方式让地面上的固定接收站接收电能，太阳能电池应该置于( ) A ．地球的同步卫星轨道 B ．地球大气层上的任一处 C ．地球与月亮的引力平衡点 D ．地球与太阳的引力平衡点 解析：太阳能电池必须与地面固定接收站相对静止，即与地球的自转同步． 答案：A 3．据媒体报道，“嫦娥”一号卫星绕月工作轨道为圆轨道，轨道距月球表面的高度为200 km ，运行周期为127 min.若要求出月球的质量，除上述信息外，只需要再知道( ) A ．引力常量和“嫦娥”一号的质量 B ．引力常量和月球对“嫦娥”一号的吸引力 C ．引力常量和地球表面的重力加速度 D ．引力常量和月球表面的重力加速度 解析：对“嫦娥”一号有G Mm (R ＋h )2＝m 4π2T 2(R ＋h )，月球的质量为M ＝4π2GT 2(R ＋h )3，在月球表面g ＝G M R 2，故选项D 正确． 答案：D 4．地球同步卫星轨道半径约为地球半径的6.6倍，设月球密度与地球相同，则绕月心在月球表面附近做圆周运动的探月探测器的运行周期约为( ) A ．1 h B ．1.4 h C ．6.6 h D ．24 h 解析：因月球密度与地球的相同，根据ρ＝m 4πR 3/3，可知m 地m 月＝R 3 地R 3月 ， 又Gm 地m 卫(6.6R 地)2 ＝m 卫4π2T 2卫×6.6R 地，Gm 月m 探R 2月＝m 探4π2 T 2探R 月，已知T 卫＝24 h ，联立解得T 探≈1.4 h. 答案：B 5. 万有引力与航天专题 复习 Revised on November 25, 2020 万有引力与航天 一、行星的运动 1、 开普勒行星运动三大定律 ①第一定律（轨道定律）：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 ②第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。 推论：近日点速度比较快，远日点速度比较慢。 ③第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比 值都相等。 即： 其中k 是只与中心天体的质量有关，与做圆周运动的天体的质量无关。 推广：对围绕同一中心天体运动的行星或卫星，上式均成立。K 取决于中心天体的质量 例1. 据报道，美国计划从2021年开始每年送15 000名游客上太空旅游．如图所示，当航天器围绕地球沿椭圆轨道运行时，在近地点A 的速率 (填“大于”“小于”或“等于”)在远地点B 的速率。 例2、宇宙飞船进入一个围绕太阳运动的近乎圆形的轨道上运动，如果轨道半径是地球轨道半径的9倍，那么宇宙飞船绕太阳运行的周期是（ ） 年 年 年 年 二、万有引力定律 1、万有引力定律的建立 ①太阳与行星间引力公式 ②卡文迪许的扭秤实验——测定引力常量G 2、万有引力定律 ①内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量1m 和2m 的乘积成正 比，与它们之间的距离r 的二次方成反比。即： ②适用条件 （Ⅰ）可看成质点的两物体间，r 为两个物体质心间的距离。 （Ⅱ）质量分布均匀的两球体间，r 为两个球体球心间的距离。 ③运用 （1）万有引力与重力的关系： 重力是万有引力的一个分力，一般情况下，可认为重力和万有引力相等。 忽略地球自转可得： 例3.设地球的质量为M ，赤道半径R ，自转周期T ，则地球赤道上质量为m 的物体所受重力的大小为（式中G 为万有引力恒量） （2）计算重力加速度 3 2a k T =2Mm F G r =1122 6.6710/G N m kg -=??12 2m m F G r =2R Mm G mg = 万有引力与航天重点规律方法总结 一. 三种模型 1匀速圆周运动模型： 无论是自然天体（如地球、月亮）还是人造天体（如宇宙飞船、人造卫星）都可看成质点, 围绕中心天体（视为静止）做匀速圆周运动 2. 双星模型： 将两颗彼此距离较近的恒星称为双星 ，它们相互之间的万有引力提供各自 转动的向心力。 3. 天体相遇”模型： 两天体相遇，实际上是指两天体相距最近。 二. 两种学说 1. 地心说：代表人物是古希腊科学家托勒密 2/日心说：代表人物是波兰天文学家哥白尼 三. 两个定律 1. 开普勒定律： 第一定律 2. 牛顿万有引力定律 1687年在《自然哲学的数学原理》正式提出万有引力定律 ⑴.内容:宇宙间的一切物体都是相互吸引的 .两个物体间引力的方向在它们的连线上 力的大小跟它们的质量的乘积成正比 ，跟它们之间的距离的二次方成反比 . ⑵.数学表达式： F 万=G 导 r ⑶.适用条件： a.适用于两个质点或者两个均匀球体之间的相互作用。（两物体为均匀球体时, 两球心间的距离） b.当r T 0时，物体不可以处理为质点，不能直接用万有引力公式计算 C.认为当r T 0时，引力F T 处的说法是错误的 任何客观存在的有质量的物体之间都有这种相互作用力 两个物体间的万有引力是一对作用力和反作用力，而不是平衡力关系。 在通常情况下万有引力非常小，只有在质量巨大的星球间或天体与天体附 近的物体间，它的存在才有实际意义. d.特殊性:两个物体间的万有引力只与它们本身的质量、它们之间的距离有关 空间的性质无关，与周期及有无其它物体无关. （5）引力常数G : :所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆 的一个焦 点上 :对每一个行星而言，太阳和行星的连线，在相等时间内扫 过相同的 面积。 :所有行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴 R 的三次方跟公 转周期T 的二次方的比值都相等。 3 表达式为： R = K （K =単）k 只与中心天体质量有关的 T 4兀 第二定律 （又叫面积定律） 第三定律 （又叫周期定律） ⑷.对定律的理解 a. 普遍性： b. 相互性： C.宏观性： ，引 ?与所在 （又叫椭圆定律） 7.1行星的运动 知识与技能 1．知道地心说和日心说的基本内容。 2．知道所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 3．知道所有行星的轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，且这个比值与行星的质量无关，但与太阳的质量有关。 4．理解人们对行星运动的认识过程是漫长复杂的，真理是来之不易的。 过程与方法 1．通过托勒密、哥白尼、第谷、开普勒等几位科学家对行星运动的不同认识，了解人类认识事物本质的曲折性并加深对行星运动的理解。 情感态度与价值观 1．澄清对天体运动神秘、模糊的认识，掌握人类认识自然规律的科学方法。 2．感悟科学是人类进步不竭的动力。 教学重点 1．理解和掌握开普勒行星运动定律，认识行星的运动。学好本节有利于对宇宙中行星的运动规律的认识，掌握人类认识自然规律的科学方法，并有利于对人造卫星的学习。 教学难点 1．对开普勒行星运动定律的理解和应用，通过本节的学习可以澄清人们对天体运动神秘、模糊的认识。 教学过程：略 新课教学 引入： 7．2太阳与行星间的引力 7．3万有引力定律 知识与技能 １．理解太阳与行星间存在引力 ２．能根据开普勒行星运动定律和牛顿第三定律推导出太阳与行星间的引力表达式2r Mm G F ３．理解万有引力定律的含义并会推导万有引力定律 ４．理解地面上物体所受的重力与天体间的引力是同一性质的力，即服从平方反比定律的万有引力 过程与方法 １．通过推导太阳与行星间的引力公式，体会逻辑推理在物理学中的重要性 ２．体会推导过程中的数量关系 情感态度与价值观 １．感受太阳与行星间的引力关系，从而体会大自然的奥秘 ２．通过学习认识和借鉴科学的实验方法，充实自己的头脑，更好地去认识世界，建立科学的价值观 教学重点 １．根据开普勒行星运动定律和牛顿第三定律推导出太阳与行星间的引力公式，记住推导出的引力公式 ２．在研究具体问题时，如何选取参考系 ３．质点概念的理解 教学难点 １．太阳与行星间的引力公式推导过程 ２．什么情况下可以把物体看作质点 教具 多媒体视频 课时安排 １课时 教学过程 开普勒定律发现之后，人们便开始更深入的思考：行星为什么这样运动？ 这节课我们“追寻着牛顿的足迹”，用自己的手和脑，重新“发现”万有引力定律。 一． 太阳对行星的引力 为了简化问题，行星的轨道按圆来处理，请猜想太阳与行星的引力与什么因数有关 研究的问题中，只有太阳、行星，那么他们之间的引力可能与太阳的质量、行星的质量、他们之间的距离以及行星与太阳之间的媒介物有关，还可能与太阳与行星的形状、大小有关。太阳与行星的是否可以看作质点？太阳与行星之间是真空，对太阳与行星的引力有无影响？ 讨论小结：太阳与行星之间的引力应该与行星到太阳的距离、太阳的质量、行星的质量有关。我们先研究太阳对行星的引力，这样只研究引力与行星的质量以及太阳与行星之间的距离的关系。那么，F 与r 的定量关系是什么？ 万有引力与航天知识点复习 ☆知识梳理 1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积 成 ，与它们之间的距离r 的 成反比． 2．公式：2 21r m m G F =，其中G ＝ N·m 2/kg 2叫引力常量． 3．适用条件：公式适用于 间的相互作用．也适用于两个质量分布均匀的球体间的 相互作用，但此时r 是 间的距离，一个均匀球体与球外一个质点的万有引力 也适用，其中r 为球心到 间的距离． ☆要点深化 1．万有引力和重力的关系 万有引力对物体的作用效果可以等效为两个力的作用，一个是重力mg ， 另一个是物体随地球自转需要的向心力F 向，如图4－4－1所示，可知： (1)地面上的物体的重力随纬度的增大而增大．故重力加速度g 从赤道 到两极逐渐增加． (2)在两极：重力等于万有引力，重力加速度最大． (3)在赤道：F 万＝F 向＋mg 故22ωmR r Mm G mg -= (4)由于地球的自转角速度很小，地球的自转带来的影响很小，一般情况下认为： mg R Mm G =2，故GM ＝gR 2，这是万有引力定律应用中经常用到的“黄金代换”． (5)距地面越高，物体的重力加速度越小，距地面高度为h 处的重力加速度为： g h R R g 2/ )(+= 其中R 为地球半径，g 为地球表面的重力加速度． 2．万有引力定律的基本应用 (1)基本方法：把天体(或人造卫星)的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由 提供． (2)“万能”连等式 ?????????===ω πωmv T mr mr r v m ma mg r Mm G r 2 22 2)2( 其中g r 为距天体中心r 处的重力加速度． 万有引力与航天知识点总结 一、人类认识天体运动的历史 1、“地心说”的内容及代表人物： 托勒密 （欧多克斯、亚里士多德） 2、“日心说”的内容及代表人物： 哥白尼 （布鲁诺被烧死、伽利略） 二、开普勒行星运动定律的内容 开普勒第二定律：v v >远近 开普勒第三定律：K —与中心天体质量有关，与环绕星体无关的物理量；必须是同一中心天体的星体 才可以列比例，太阳系： 333222 ===......a a a T T T 水火地地水火 三、万有引力定律 1、内容及其推导：应用了开普勒第三定律、牛顿第二定律、牛顿第三定律。 K T R =23 ① r T m F 224π= ② 22π4=r m K F 2m F r ∝ F F '= ③ 2r M F ∝' 2r Mm F ∝ 2r Mm G F = 2、表达式：221r m m G F = 3、内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量 m1,m2的乘积成正比，与它们之间的距离r 的二次方成反比。 4.引力常量：G=6.67×10-11N/m 2/kg 2，牛顿发现万有引力定律后的100多年里，卡文迪许在实验室里用扭 秤实验测出。 5、适用条件：①适用于两个质点间的万有引力大小的计算。 ②对于质量分布均匀的球体，公式中的r 就是它们球心之间的距离。 ③一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也适用，其中r 为球心到质点间的距离。 ④两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也近似的适用，其中r 为两物体质 心间的距离。 6、推导：2224mM G m R R T π= ? 3224R GM T π =高考物理万有引力与航天专题训练答案
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