生产函数模型
第一节生产函数及其性质
一、 生产函数
生产函数是经济学研究的一个重要函数， 它表示在一定技术条件下，生产要 素的某种组合同它可能生产的最大产出量之间的数量关系。 生产函数可以代表一 个企业的生产过程，也可以代表一个部门的生产过程， 在宏观经济模型中，它可 以代表将整个经济系统看作是一个总合企业时的生产过程。
假定有n 种生产要素，其投入量 分别为X i ,X 2，…,X n ，生产处于最佳状态 时，
最大产出（生产）量为 Q ，生产函数可表示为
Q = f X i ,X 2, ,X n （ 3.1.1）
生产函数表示了生产要素的投入与产出之间的技术关系， 这里的“技术关系” 是指在一定的时间内，技术水平不变的情况下，生产中的要素投入与最大产出量 之间的关系。
二、 关于生产函数的几个基本概念
（一）平均产量和边际产量
总产量被某一投入要素量除就是该要素的平均产量。如投入要素
X i 的平均 产量记AP
一种投入要素量增加一个单位，其它投入要素量不变时，产出的增加量称作 边
际产量。边际产量可用导数表示，如投入要素 X i
的边际产量记作MP j (3.1.2)
（二）边际替代率
在技术水平不变的情况下，保持总产量不变，投入要素之间存在着替代性，
研究第i 种投入要素增加一个单位，可以减少第j 种投入要素的投入量，称作第i 种投入要素对第j 种投入要素的边际替代率，也称技术替代率。用 MRS j 表示要
AR Q X i
素i对要素j的边际替代率
用增量形式表示：MRS j=—凶（这里X, X异号）①
△X i
dX-
用微分形式表示：MRS j=—j（323）
j dX i
对（3.1.1）式全微分，只考虑第i种投入要素和第j种投入要素的变动，其它投入要素不变，则有
cf a
dQ dX i dX-
「X i 「X j
保持总产量不变，即dQ=O,得出
dX- ；：f/；：Xj MP i
即MRS-二空（3.1.4）
j MP j
第i种投入要素对第j种投入要素的边际替代率是它们边际产量的比率。
（三）生产弹性与替代弹性
生产弹性是指生产量对某一种投入要素的弹性，定义生产量对第i种投入要素的生产弹性为
―西 0 二込（3.1.5）
dX i Q d lnX i
它解释为第i种投入要素增加百分之一时，产出量增加的百分比。
替代弹性是衡量投入要素间替代的难易程度。替代弹性定义为：当要素比率（如X j/XJ和边际替代率（MRS j ）的变化都很小时，要素比率的变化幅度与边际替代率的变化幅度之比。用微分表示
_ d X j /X i MRS j
-一 d MRS j X j/X i
dX j/X j MR/MP j
dMP j/MP j X j/X j
d In X j /X i
（3.1.6）
d In MP i/MP j
这里MP i/MP j是第i种投入要素与第j种投入要素的边际生产率之比。因此第i
①MRS j是X i对X j的边际替代率，X j对人的边际替代率，记作MRS i=—A Xj △ X j 种投入要素对第j种投入要素的替代弹性可定义为投入要素比率(X j/XJ的变化幅度与边际际生产率比率(MR/MP j)的变化幅度之比。替代弹性越小，表示投入要素之间替代越困难；替代弹性为零，表示投入要素之间没有替代的可能性，以固定的比例相结合。
(四)规模收益
所谓规模收益就是在一定技术条件下，生产规模的变动(即投入要素投入量的变动)所引起产出量的变动。
设生产函数为Q = f X i,X2，…，X n，给定■ -1 o
(1 )如果f訣1,咲2,…,「X n _ f X i,X2，…,X n，即规模扩大，倍后，生产者的收益f X i, X2^ , X n大于原来收益f X i,X2，…，X n的■倍，此时，称规模收益递增。
(2)如果f X i, X2,IH, X n = f X i,X2,川,X n，此时称规模收益不变。
(3)如果f X i, X2,IH，X n「f X i,X2,|||,X n，此时称规模收益递减
现在考虑一种特殊的生产函数
Q = f X i,X2, ,X n
若对于任意的-0均有
f X i, X2, , X n = r f X i, X2/ , X n
其中，》0为固定的数，此时称生产函数为r阶齐次生产函数，不难看出：当r> i
时，为规模收益递增；r =i时为规模收益不变；r < i时为规模收益递减。
第二节几种常见的生产函数
一、柯布一道格拉斯生产函数
美国经济学家保罗?道格拉斯(Paul Douglas ) i927年发现，资本创造的国民收入与劳动创造的国民收入间的比率在相当长的时间内基本保持不变。这种现象促使他思考是什么条件导致了这种固定比率。道格拉斯求教于数学家查尔斯?柯布(Charles cobb),发现下列生产函数具有这一性质：
Y =AK : 1心，0 乞a^i (3.2.i)这里丫表示国民收入；A为一正数，表示技术水平；K表示资本；L表示劳
动；〉表示资本对国民收入的贡献率（国民收入中的资本份额） ，1-〉表示劳动 对国民收入的贡献率（国民收入中的劳动份额）。根据该函数，资本创造的国民 收入为：
要素对产出量的贡献率，即该要素的生产弹性
g X i a i X i Q 对于生产函数（3.2.4），由于f X ，伙2,…「Xn …X 「X 2，…，X n ,
匕2川为齐次性的次数，如果：叱2
川…：：；S > 1，此时为规模收益递 增；如果>1 ?恥…心n=1，此时为规模收益不变；如果 *2*」几二讣V 1,
此时为规模收益递减。
一般C - D 生产函数常采用如下形式
Q =A K L （3.2.5）
这里〉和1分别为资本弹性和劳动弹性。二5■为齐次性的次数。当二■ ■■-'>1时,
规模收益递增;-1时，规模收益不变；二5V 1时，规模收益递减。 对于（3.2.5）
式，资本和劳动的边际生产率为
^Q a 二 0 Q
MP k
aAK L : k ；:K K
MP L =色=0AK a L^ =
Mp k K“Y (322) 这里的MP k 为资本的边际生产。同样，劳动创造的国民收入为:
a a
MP L L L =A1 -a K L L = 1 -a Y ct 这里MP L 为劳动的边际生产。
(323)
对于柯布一道格拉斯生产函数（简称C - D 生产函数），很容易证明〉和1-: 分别为资本弹性和劳动弹性。
虽然柯布一道格拉斯生产函数最初发现于宏观经济领域，但它在微观经济领 域也得到了广泛应用，其形式为：
Q = f X !,X 2, ,X n
=AX /X 22 X n n (3.2.4) 这里Q 为产出量; X i 为第i 种投入要素；可以证明
a i i =1,2…，n 为第i 种投入
：：L L
根据（3.1.4）式，资本对劳动的边际替代率
由（3.1.6）式，资本对劳动的替代弹性
d In L/K d In dln
(L/K )
d In :厂 In L/K 1 d In (L/ K ) d
d I n L / K -
由此可见，柯布一道格拉斯生产函数的替代弹性为 1
要素替代弹性为1是柯布一道格拉斯生产函数的一个显著的特点。因此分析 某一生产问题，建立柯布一道格拉斯生产函数必须假定要素（资本 K 、劳动L ） 的替代弹性为1。事实上，不同的行业，要素之间的替代弹性是不同的，而且更 不可能都等于1。这就是柯布一道格拉斯生产函数应用上的一个缺陷。
C —
D 生产函数的估计：将 C — D 生产函数（3.2.5）写成对数线性形式
In Q = b 心 In K 亠，In L u （ 3.2.6）
式中b =1 nA ，对（3.2.6）可直接利用OLS 估计。但是由于K 和L 往往是相关的， 因此（3.2.6）中InK 和InL 会出现共线性。假定生产处在规模收益不变阶段，即 :,止七-1，则（3.2.6）式可写作
In Q = b ： In K u （ 3.2.7）
L L （3.2.7）式是C —D 生产函数的相对变量形式，对（3.2.7）式应用OLS 估计出 参数［，进而求得:的估计量。
二、固定替代弹性（CES ）生产函数
上面柯布一道格拉斯生产函数是固定替代弹性（CES ）生产函数的一种特 例。以两种投入要素为例，CES 生产函数形式为：
1
Q = A ： 1X 1° ： 2X 2」= （3.2.8）
这里，A >0，O v a i v 1, i =1,2, a 1+ a 2=1。
MRS KL
MP K MP L
d In L/ K d In MP K / MR
可以证明（328）式给出的CES生产函数具有不变规模收益。因为
1
Q = A[:r X j y 2 x2一丁'
1
='A（為X j * 工2X2r）”
在实际应用中取消了这一假定，将（3.2.8）式改写作
m
Q = （： 1X1= ：-2XrK （3.2.9）对于（3.2.9）式有
m
A[：1 X J ： 2 X2 〒
m
=m[A（：梯1一‘ ：2X2"）']
当m=1为规模收益不变，m> 1为规模收益递增，m v 1为规模收益递减。（3.2.9）式为实际应用的CES生产函数的理论模型。
投入要素的边际生产率：
对于X1
次1 I P丿
/Q计
=%-卩2 （3.2.10）
l X1」
同样，对于X2
MR2=?2^ —（3.2.11）
l X2」
由（3.2.10）和（3.2.11）可以看出当1?>0时，要素的边际生产率递减。
r 1
由于 f X1, X2 二A L「一檢「?■ 一‘丸"*
=■ A^X^ - -2X2_:?^
此说明，CES生产函数具有不变规模收益
CES生产函数的边际替代率:
f、护
MR 些X2
MRS12
MR2?2 当1 ?> 0时，随着X1的增加，X2逐渐减少，CES生产函数的边际替代率呈递
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