第一章 绪论
1、 试举例说明信号与信息这两个概念的区别与联系。
信息反映了一个物理系统的状态或特性，是自然界、人类社会和人类思维活动中普遍存在的物质和事物的属性。
信号是传载信息的物理量是信息的表现形式，如文字、语言、图像等。
如人们常用qq 聊天，即是用文字形式的信号将所要表达的信息传递给别人。
2、 什么是信号的正交分解？如何理解正交分解在机械故障诊断中的重要价值？
P9正交函数的定义
信号的正交分解如傅里叶变换、小波分解等，即将信号分解成多个独立的相互正交的信号的叠加。从而将信号独立的分解到不同空间中去，通常指滤波器频域内正交以便于故障分析和故障特征的提取。
傅里叶变换将信号分解成各个正交的傅里叶级数，将信号从时域转换到频域从而得到信号中的各个信号的频率。正交小波变换能够将任意信号（平稳或非平稳）分解到各自独立的频带中；正交性保证了这些独立频带中状态信息无冗余、无疏漏，排除了干扰，浓缩了了动态分析与监测诊断的信息。
3、 为什么要从内积变换的角度来认识常见的几种信号处理方法？如何选择合适的信号处理方法？ 在信号处理各种运算中内积变换发挥了重要作用。内积变换可视为信号与基函数关系紧密程度或相似性的一种度量。对于平稳信号，是利用傅里叶变换将信号从时域变为频域函数实现的方式是信号函数x （t ）与基函数i t e ω 通过内积运算。匹配出信号x （t ）中圆频率为w 的正弦波.而非平稳信号一般会用快速傅里叶变换、离散小波变换、连续小波变换等这些小波变换的内积变换内积运算旨在探求信号x （t ）中包含与小波基函数最相关或最相似的分量。
“特征波形基函数信号分解”旨在灵活运用小波基函数 去更好地处理信号、提取故障特征。用特定的基函数分解信号是为了获得具有不同物理意义的分类信息。
不同类型的机械故障会在动态信号中反应出不同的特征波形，如旋转机械失衡振动的波形与正弦波形有关，内燃机爆燃振动波形是具有钟形包络的高频波；齿轮轴承等机械零部件出现剥落。裂纹等王府机械活塞连杆、气阀磨损缺陷在运行过程中产生的冲击振动呈现出接近单边震荡衰减波形，等等充分利用基函数的各种性质，根据研究对象的特点和需求，选用针对性强的小波基函数，才能合理地解决工程实际问题，融合表征各种不同类型机械状态特征波形的混合基函数，是现代信号处理进行机械动态分析和检测诊断的一个新的研究方向。
4、 对于基函数的各种性质的物理意义如何理解？
1、 正交性——是小波基函数一个非常优良的性质，他保证信号处理时将信息独立化的提取出来。
2、 正则性——在数学上表现为小波函数的光滑性或可微性。
3、 消失矩——小波基函数的消失矩必须具有足够高的阶数，一个小波消失矩为N ，则它的滤波器长
度不能少于2R 。在信号奇异性检测中要求有足够高的消失矩，但不能过高否则会将奇异的信号平滑掉。表示基函数必行光滑性的程度，R 越大越光滑。
4、 紧支性——函数在区间[a ，b]以外恒为零，支撑区间越小，小波局部化能力越强，越有利于信号)( ,t b a ψ
点的检测。例如谐波小波，它在频域进制具有完全的盒形频谱。
5、对称性——具有偶对称或奇对称的尺度函数和小波函数在小波变换信号处理时可得到线性相位
和零相移的分析结果。可进行实时性处理。例如谐波小波，其实属部分为偶对称其负数部分为奇对称，可对信号进行实时性处理。
6、相似性——这是利用小波分型技术分析信号非平稳性和复杂性的理论基础。
7、冗余度——表示信号通过某种变换后，由逆变换重建原来信号过程中，基函数所包含重建信息
的过剩量。对信号的重构和图像的恢复有意义。
上述性质应用：
傅里叶基函数：时域无紧支性，但频域有优良的对称性、正交性和紧支性，可得到准确的相位幅值频率。
小波函数：1、haar小波时间局部化能力强，频率弱。
2、shannon相反。
3、daubechise紧支性正交小波，应用广泛但没有解析式，只有离散形式，计算量大。不具备严格的对称性。
4、调频高斯小波：可进行连续小波变换。非正交冗余小波。
5、谐波小波：有解析表达式、频域紧支的正交小波，频域有很好的盒性适合旋转机械的监测诊断
6、laplace单边衰减震荡，对齿轮轴承等因缺陷在运行中产生的冲击响应以及旋转机械碰磨、蒸汽激振等故障特征的提取以及模态分析很有效。
7、hermitian敏感的识别信号的奇异性。
8、第二代小波：获得与信号更好拼配的期望小波基函数。
第二章信号的时域分析
1、解释理想滤波器的特点。
信号滤波处理是消除或减弱干扰噪声，保留有用信号的过程。理想的滤波器具有以下四个特点（1）理想低通滤波器能使信号中低于频率wc的各频率分量以同样的放大倍数通过，使高于wc 的频率成分减小为0.高通相反。
（2）理想的低通滤波器具有矩形幅频特性和线性相位特性。
（3） 理想低通滤波器物理上是不可实现的。
（4） Wc 越小时，信号失真大。
2、描述实际滤波器的参数有哪些？其物理含义是什么？
1、截止频率wc ——当滤波器幅值等于
0.707时对应的
频率，也称半功率点。
2、通带边缘频率wp 、阻带边缘频率ws
——划分通
带、过渡带和租代的两个指标。
3、允许的波动量
4、衰减——波动的大小。 3、图示说明采样定理的基本原理。实际测试时如何确定采样频率和数据长度？p29
离散信号的频谱相当于将原信号频谱依次平移ws=2*pi/△t 至各采样脉冲函数对应的频域序列点上然后叠加而成，当△t 太大时ws 过小，移至各采样脉冲函数对应的频域序列点上的频谱会有一部分重叠，导致信号与原信号不一致，称为混叠。因此采样频率ws 必须不小于原信号中的最大频率的2倍。从而t πω?≤或max
12t f ?≤。实际采样中，一般去ws 为最高频率的2.5~4倍。由于测量信号中高频信号往往是由干扰引起的噪声信号或我们不关注的频谱，因此采样前先需对信号进行低通滤波再定采样频率和时间间隔。
数字信号的分辨率包括时间分辨率和频率分辨率。数字信号的时间分辨率即采样间隔?t ，它反映了数字信号在时域中取值点之间的细密程度。数字信号的频率分辨率为?ω =2π / T ，其中T =N ?t 为数字信号的时间跨度，N 为数字信号的长度。频率分辨率表示了数字信号的频谱在频域中取值点之间的细密程度。因此，当采样频率或采样间隔确定后，增大采样点数就可增加信号的时间长度和频率分辨率。
4、 窗函数为什么会导致频谱泄露？试讨论检测两个频率相近幅度不同的信号 ，选择哪种窗函数比
较合适？p30图
理论上任何信号的长度都是无限的，但任何观测信号的长度都是在有限的时间段内进行的。因此，信号采样过程必须使用窗函数，将无限长信号截断成为有限长度的信号。从理论上看，截断过程是在时域将无限长信号乘以有限时间宽度的窗函数。由卷积定理知在频域内则为信号的频谱与窗函数频谱的卷积。由于窗函数的幅频曲线是一个无线带宽的函数，所以即使原信号为有限带宽信号，截断后信号的频谱也必然是无线带宽的。这就说明信号的能量截断后被扩展了。由此可见信号截断必然会带来一定的误差。泄露取决于窗函数的旁瓣，旁瓣越小，相应的泄露越少。
窗函数选择：1、仅要求获得主瓣的频率——矩形窗。
1、 要求幅值精度高，泄露量小——汉宁窗。
这里由于两个信号频率相近但幅值不同，因此在检测过程中要求幅度进度高，应选择汉宁窗。
5、有量纲指标与无量纲指标各有什么优缺点？试举例说明。
有量纲参数指标：平均幅值、方根幅值、均方幅值、峰值四种。
优缺点：不但与机器的状态有关，且与机器的运动参数如转速、载荷等有关。
无量纲参数指标：波形指标、峰值指标、脉冲指标、裕度指标、偏斜度指标、峭度指标。
优缺点：具有对信号幅值和变化率均不敏感的特点，它们与机械的运动条件无关，只依赖
于概率密度函数的形状，是一种较好的机械状态监测诊断参数。
例如，偏斜度指标表示信号概率密度函数的中心偏离正态分布的程度，反应信号的幅值分布和相对其均值的不对称性。峭度指标，表示信号概率密度函数封顶的陡峭程度，反应信号波形中冲击分量的大小。
6.结合你自己的研究方向，谈谈如何应用自相关函数与互相关函数。自己设计一个并解释。 相关是指变量之间的线性联系或相互依赖关系。通过反应信号之间的内积或投影大小来刻画。 自相关函数反应了信号自身取值随自变量时间前后变化的相似性。——可从被噪声干扰的信号中找出周期成分。正常机械噪声是由大量无序、大小近似相等的随机成分叠加的结果，因此正常机器噪声具有较宽而均匀的频谱。当机械状态异常时，随机噪声中将出现有规则、周期性的信号，其幅值要大得多。特别对于早期故障，周期信号不明显是尤为重要。Eg 车床变速箱运行状态识别。 互相关函数完整的描述了两信号之间的相关情况或取值依赖关系。P43例子。
第三章 信号的频域分析
1. 谈谈你对信号频谱的物理本质是如何理解的？结合傅里叶变换的性质，试举例说明其重要作用。 在整个时间轴上的非周期信号()x t 是由频率为ω的谐波()d jwt
X e ωω沿频率从-∞到+∞，通过积分叠加得到的。由于对不同的ω，d ω是一样的，所以只需()X ω就能真实地反映不同高频率谐波的振幅和位移变化。
频谱是信号在频域上的重要特征，反映了信号的频率成分以及分布情况。
7个性质（线性叠加（可分离）、时移性质、频移性质、时间伸缩性、时间微分、时间积分性、卷积定理）。
2. 解释机械信号在离散化过程中产生频率混叠现象及其原因？在工程实践中如何避免频率混叠现象？
机械信号离散化过程中，若采样间隔t ?太大，使得平移距离2t π?过小。移至各采样脉冲函数对应频域序列点上的频谱()X ω就会有一部分重叠，由此造成离散信号的频谱与原信号的频谱不一致，这就导致频率混叠现象。
如果信号中的最高频率（截止频率）为max ω，则在选择采样间隔t ?时应保证max t πω?≤，或max 12t f ?≤，其中max f 是信号中的最高频率（Hz ）。在工程实际中选取采样频率时往往留有余地，一般选取采样频率s ω为处理信号最高频率的2.5~4倍。
3. 在进行信号频谱分析时，为何要加窗函数？如果要求频谱分析结果的幅值精度高，泄漏量小，应该选择什么窗函数？为什么？
理论上信号的长度是无限的，但是任何观测信号都是在有限时间段内进行观测的。因此，信号采样过程中须使用窗函数，将无限长信号截断为有线长度的信号。
如果要求幅值精度高，泄漏量小，应选择汉宁窗函数。因为，汉宁窗函数的旁瓣小，因而相应的泄漏量也较小，采样过程中导致的能量泄露小，能获得较高幅值精度。
要求精确获得主瓣的频率则应选择矩形窗函数。
4. 什么是倒频谱？倒频谱的量纲单位是什么？你如何利用倒频谱原理将时域中两个卷积信号转换为倒频域中相应的两个线性相加的倒频谱？
倒频谱就是对功率谱()x S f 的对数值进行傅里叶逆变换。()()()1log p x
C q F S f -= 其中，q 是倒频率，具有与时间自相关函数()x R τ中的自变量τ相同的时间量纲。q 值大者为高倒频率，表示频谱上的低速波动，q 值小者为低倒频谱，表示频谱上的快速波动。
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0111d log log log log log log y x h y x h y x h y x h y t x t h t x h t S f S f S f S f S f S f F S f F S f F S f
C q C q C q τττ∞
---=*=-?=??=+?=+?=+? 工程应用：
（1） 机械中齿轮、滚动轴承等出现故障时信号的频谱上会出现难以识别的多簇调制边频带。采
用到频谱分析可以分解和识别故障频率、原因和部位。
（2） 语音和回声分析及解卷积。有利于问题本质的研究
5. 请说明旋转机械故障诊断中二维全息谱的原理。工频全息谱椭圆较扁说明转子系统存在什么状态现象？
全息谱：将机组的振动信号在完成频域转换后，进一步讲频谱上的谱线加以集成而形成的谱图或轴心轨迹。
将转子测量截面上水平和垂直两方向的振动信号作傅里叶变换，从中提取各主要频率分量的频率、幅值和相位。然后按照各主要频率分量分别进行合成，并将合成结果按频率顺序排列在一张谱图上，就得到了二维全息谱。
工频椭圆扁：支承刚度不对称或受力不均；
椭圆较大、较园则说明转子存在不平衡、轴瓦间隙大或转子永久弯曲等。
工频的二倍频圆比较大、较扁，且工频的四倍频椭圆扁，说明转子存在对中不良、受力不均、基础变形等。
工频的二倍频椭圆较大、较园，说转子存在裂纹或其它故障。
第四章循环平稳信号分析
1.给出循环平稳信号的定义，并解释机械设备循环平稳信号的特点。
某阶统计量随时间变化的信号称为非平稳信号，非平稳信号中的一个重要的子类，其统计量随时间按照周期或多周期规律变化，称这类信号为循环平稳信号。机械设备循环平稳信号的特点：（1）正常无故障的机械信号一般是平稳随机信号，统计量基本不随时间变化。（2）故障信号产生周期成分或调制现象，其统计量呈现周期性变化，此时信号成为循环平稳信号。（3）统计量中的某些周期信息反映机械故障的发生。
2.为什么齿轮、轴承等机械设备在故障发生时，其振动信号往往具有循环平稳性？
由于齿轮、轴承等机械设备零件的结构具有对称性，其运动方式为旋转或往复，因此产生的信号中含有大量的周期成分，其以及统计量出现周期性。此外，当轴承、齿轮等复杂机械零部件出现故障时，振动信号是典型的调制信号，及故障特征频率调制机械系统某阶共振频率，其二阶统计量出现周期性。可见，由于机械结构和工作特点，其产生的非平稳信号具有循环平稳性，因此将机械信号视为循环平稳信号是基于客观实际，是对特定的非平稳信号的一种合理化的假设。
3.对于时间序列为整数，试给出其循环自相关函数的算法步骤。（答案见书本86-88页）
4.如何通过循环谱识别调幅信号的调制频率和载波频率？
根据循环自相关函数三维图和循环自相关函数切片图（τ），可见循环自相关函数将载波信息和调制信息划分到了循环频率高低两个不同的频段，循环频率的高频段的信息既含载波信息又含调制信息，循环频率的低频段只含调制信息，根据这两个频段的信息，可以准确的判别载波信息和调制信息。对于调频信号：根据循环自相关函数三维图和循环自相关函数切片图（τ），可见循环自相关函数将载波信息和调制信息划分到了循环频率高低两个不同的频段，循环频率的高频段的信息既含载波信息又含调制信息，循环频率的低频段只含调制信息，根据这两个频段的信息，可以准确的判别载波信息和调制信息。
对于调福信号，载波信息在频域内的值与其自身相等，而在循环频域内的频率信息是其载波频率的2倍。而调制频率在频率域和循环频率域内的值没有变化。利用循环频率与频率之间的相关性，用切片图可以将有用的信息提取出来并进而分析频率信息特征。
第五章非平稳信号处理方法
1. 请结合时频平面划分的不同，对比说明短时傅里叶变换与小波变换时频分辨率的区别？
（1）受到Heisenberg不确定性原理的约束（公式），短时傅里叶变换的时域分辨率与频域分辨率不可能同时任意小，要提高时间分辨率，只能降低频率分辨率，反之要提高频率分辨率，只能降低时间分辨率。时间分辨率和频率分辨率一旦确定，则STFT在整个时频平面上的时频分辨率保持不变。（2）小波变换则相当于通过小波尺度因子和时移因子变化去观测信号。当a减小时，小波函数的时宽减小，频宽增大；反之亦然。因此，小波变换的局部化是变化的，在高频处时间分辨率高，频率分辨率低，而在低频处，时间分辨率低，频率分辨率高，即具有“变焦”的性质，也就是自适应窗的性质。用大尺度可观察信号的总体，用小尺度可观察信号的细节。
1、请结合时频平面划分的不同，对比说明短时傅里叶变换与小波变换时频分辨率的区别？
小波变换和短时傅立叶变换都是线性时频分析方法。
短时傅立叶变换：用一个在时间上可滑移的时窗来进行傅里叶变换，从而实现时间域和频率域上都具有较好的局部性的分析方法。（STFT是一种时窗大小及形状都固定不变的时频局部化分析）其时间和频率分辨率一旦确定，则在整个时频平面上的时频分辨率保持不变。因为信号的频率与其时间周期成反比，因此反映高频成分需要窄时窗，而反映信号低频成分需要寛时窗，短时傅立叶不能同时满足这些要求。短时傅立叶变换只具有单一分辨率的分析，窗函数一旦确定，其窗口的大小和形状便固定，即窗口只能在同一频率中平移而不能伸缩，因而只能实现一定程度的时频局部化，对信号无法做出仔细的分辨。
小波变换的时频窗口在相平面上不是均匀分布的。其窗口是可调时频窗，在高频时使用窄窗口，在低频时则用宽窗口，即以不同的尺度观察信号，以不同的分辨率分析信号。这充分体现了自适应分辨分析的思想，小波变换能够把任何信号映射到由一个母小波伸缩（变换频率）、平移（刻划时间）而形成的一组基函数上去，实现信号在不同频带、不同时刻的合理分离。在时域和频域都具有很好地局部化特性。小波变换较好地解决了时间和频率分辨率的矛盾，被称为“数学显微镜”
2、解释尺度函数和小波函数的功能，并给出小波分解三层和小波包分解三层的频带划分示意图。
小波函数由基本小波经过伸缩和平移形成的函数（a尺度因子，b时移因子）。一般为双窗函数，具有带通性质。小波函数的时移因子决定了它窗口的时频位置，而他的尺度因子不仅影响窗口在频域的位置也影响了窗口的形状。当尺度减小时，小波函数在时域变窄，而在频域不仅窗口增加，而且中心位置也向高频移动。
尺度函数：通常每个基本小波都与一个尺度函数相对应，甚至有许多小波函数是通过尺度函数而生成。与小波函数相反，尺度函数是一个低通滤波器。由于尺度函数的正交性，小波函数的正交性以及尺度函数和小波函数之间的正交性，通过小波函数（带通）和尺度函数（低通）使信号中的低频信号和高频信号分解到相互独立的频带中，信息无冗余、无疏漏的独立化地提取出来。
频带划分见教材128页
3、解释什么是小波基函数的双尺度关系？为什么小波变换能够对信号进行时间-尺度（时-频）分
析？
双尺度关系：教材122页。V
j 中的尺度函数()
j
t
?和
j
W中的小波函数()
j
t
φ均可由
1
V
j+
中的尺
度函数
1()
j t
?
+
给出。尺度函数可以由比它小一级的尺度函数和函数h离散卷积得到。
4、简述Mallat塔形算法的基本原理和特点。
参见教材127页
它是一种无冗余的迭代算法，计算快，占用存储空间少，同时保存了信号原有的全部信息，因而可以通过逆变换恢复全部信号。
基本原理：
算法过程：在分解计算中，进行隔二抽取，将输入序列每隔一个输出一次（例如只取偶数），组成长度缩短一般的新序列。这样每次分解等获得到的逼近信号和细节信号的数据长度是上一次逼近信号数据长度的一半。当J次分解后，逼近信号和细节信号的数据长度缩减为原始信号长度的2j 。在重构计算的每一步中，先在数据之间插零后在参与同低通、带通滤波器系数的运算，结果重构数据长度加倍。
5、简述小波包频带能量监测的基本原理。教材132页
小波包信号分解是正交分解，各个分解频带的信号互相独立，他们无冗余，不疏漏，小波包信号分解遵循能量守恒原理。小波包信号分解是将包括正弦信号在内的任意信号划归到相应的频带中，用每个频带里的能量来反映机械设备的状态。小波包频带能量监测更具有合理性，通过相应频带里能量比例的变化，可对机械设备进行有效的动态分析与监测诊断。
第六章连续小波变换及其工程应用
1.连续小波变换和离散小波变换的各有哪些优点和缺点？
对于离散小波变换：
三种连续小波分别是谐波小波、Laplace小波和Hermitian小波，它们都具有明确的解析表达式。
谐波小波是复小波，在频域紧支，且具有完全“盒形”的频谱。谐波小波分解算法是通过信号的FFT以及IFFT实现的，算法速度快，精度高，因而具有很好的工程应用价值。随着小波层（即j）的变大，谐波小波的频谱宽度倍增而幅值降低。处于不同层的谐波小波总是正交的，同一层内的小波也是正交的。分析频宽从高频到低频是以1/2关系逐渐减小的，对信号的低频部分划分比较细，而高频部分划分比较粗，这说明谐波小波分解是一种小波分解。小波小波具有“锁定”信号相位的能力。
缺点：谐波小波分解系数，低频频带内的数据点数少，高频频带内的数据点数多。
对于离散小波变换：
小波分析中广泛使用的Daubechies类小波与样条小波都是实小波，它们没有明确的解析
表达式，对信号的小波分解是通过构造相应的正交滤波器系数运用Mallat 快速算法实现的。
小波分解可以完全表征函数f(t)的全部信息(提供了一个数学上完备的描述)；
小波变换通过选取合适的滤波器，可以极大的减小或去除所提取得不同特征之间的相关性；
小波变换具有“变焦”特性，在低频段可用高频率分辨率和低时间分辨率(宽分析窗口)，在高频段，可用低频率分辨率和高时间分辨率(窄分析窗口)。
小波变换实现上有快速算法(Mallat 小波分解算法)
小波包技术将信号无冗余、无疏漏、正交地分解到独立的频带内，每个频带里信号的能量对于机械动态分析与监测诊断都是十分有用的信息。
2.以谐波小波变换为例，说明如何实现连续小波变换的快速算法？
Newland 快速算法是指谐波小波的分解算法，通过信号的快速傅里叶变换FFT 和快速傅里叶逆变换IFFT 实现。设有离散信号x (r)，r = 0,…, N-1,其中N =n 2 ，其谐波小波分解为s a , s= 0,…, N – 1。令s FFT(x(r))=F ，s a 由s F 经分段、对每一段作IFFT 得到，下两式为其表达式： j j j 1s s N s s a IFFT F s 2,21,,21a a +-=()
=[][]+???[]-=
其中2j 1,0,,log (N/4)=-???.下图表示一数据长度为16的实序列的谐波小波分解示意图。
系数s a 为一复序列，包含信号时频两方面的信息。s a 某一段对应谐波小波分解的一层，
也就是信号特定频段的成分。s a 与j 的关系如下图所示： (N/2)1023456712a ,a a ,a a ,a ,a ,a ,,a ,,,j 1j 0j 1j 2j log (N/4)
-?????????=-==== 图： s a 的分段与j 的关系
3.为什么小波分析与分形理论可以相结合构成小波分形技术？除了谐波小波轴心轨迹的盒维数应用外，请提出其它的振动信号小波分形应用方法。
分形是一门以不规则事物为研究对象、探索复杂性的科学，因此，很自然地被用来描述设备振动信号的不规则形和复杂性。事实上，分形理论和小波分析在自相似性的本质上和认识事物由粗到细的过程中是一致的。小波分形技术原理是通过比较小波分解后不同频带内信号分形维数的大小及其变化来反映信号的不规则形和复杂性，刻画信号的非平稳性。
小波变换、小波包分析是一种基于事物认识过程的多分辨分析方法，如同人们从远到近逐步深化得观测事物那样，首先看到的是总体轮廓，然后注意到结构线条，最后才聚焦于纹理细节。在振动信号处理中，小波变换、小波包分析可以由粗到细逐步给出振动信号在不同尺度下的波形。这种从低分辨到高分辨的过渡原则与分形过程中的从总体到局部、从宏观到微观深化是一致的。
分形：H (t)r (rt)
r,H 0ββ-=> 小波：1
2a,b t b (t)a ()a,b R,a 0a
ψψ--=∈≠ 分形的自相似仿射算子r 与小波变换的伸缩因子a 是作用相同，因而可以说小波和分形都具有自相似性，上述小波变换、小波包分析与分形在认识事物的过程的一致性和都具备的自相似性保证了两者结合的可行性和必然性。
4.自学Laplace 小波和Hermitian 小波，简要说明其特点与工程应用价值。
Laplace 小波：
该小波在复数空间内为螺旋衰减曲线，其实部和虚部与单自由度结构系统的自由衰减响应函数非常相似。紧支性是显而易见，不具备正交性，其频域盒形不好，故滤波特性较差。
Laplace 小波搜寻信号中的单边衰减波形发生的时刻，振荡频率和阻尼比，实现被测对象的模态参数识别。Laplace 小波相关滤波法能够在强大噪声或其它干扰中准确捕捉到脉冲响应信号，识别出响应波形的参数。可以预测，Laplace 小波相关滤波法在模态识别和设备故障诊断中具有良好的应用前景
Hermitian 小波：
从Hermitian 小波实部和虚部时域波形可以看出，实部实际上就是Mexico-Hat 小波，它是偶函数，在支撑区域内振荡2次。虚部为奇函数，在支撑区域内振荡1.5次，可见只需要少量离散点即可表达Hermitian 小波，因此，它具有很强的时域局部化能力，这恰好是奇异性检测所需要的。Hermitian 小波的傅里叶变换也是实数，对信号进行卷积变换时不会影响信号的相位。
第七章 基于第二代小波变换的信号处理
1. 与经典小波相比，第二代小波的优势哪些？
它不依赖于傅里叶变换，在时域中完成对双正交小波的构造，具有结构化设计和自适应构造的优点； 构造方法灵活，可以通过提升(lifting scheme)改善小波函数的特性，从而构造出具有期望特性的小波； 不再是某一给定小波函数的伸缩和平移，它适合于不等间隔采样问题的小波构造；
算法简单，运算速度快，占用内存少，执行效率高，可以分析任意长度的信号。
2. 图示说明第二代小波分解的基本原理。
具体细节详见教材196-198
3. 简要说明第二代小波尺度函数和小波函数特性。
图202页，从图中可以看出第二代尺度函数和小波函数都具有紧支性和对称性。小波函数的形状与冲击信号的波形非常相似，可有效提取振动波形中的特征分量。当更新器系数与预测器系数不同时，尺度函数和小波函数的支撑区间和光滑性都发生变化，但形状相似。在工程中可根据这一特点灵活选择与喜好特征匹配的预测器和更新器。
4. 简要说明基于第二代小波包分解的滚动轴承损伤定量识别方法。
s d
7.3.2 滚动轴承损伤定量识别方法
滚动轴承和齿轮发生损伤时，在其缺陷部位产生的冲击脉冲激励下，会出现振荡衰减的脉冲响应信号。理想的方法是利用包络解调技术获取故障特征频率对应的幅值，再利用冲击脉冲法（Shock Pulse Method ，SPM ）对解调结果进行定量处理。可定量识别轴承等部件的损伤程度。SPM 给出dB （分贝）的故障等级经验计算公式：
0.6200020log
SV B N D
?=? 根据n dB 的如下值判断轴承的运行状态：
[0,21)——正常状态，轴承工作状态良好；
[21,35]——轻微故障，轴承有早期损伤；
(35,60]——严重故障，轴承已有明显损伤。 （1） 将原始振动信号按第二代小波算法进行分解和重构。
（2） 将重构得到的各频带信号进行希尔伯特包络解调然后对信号进行STFT ，得到各频带重构信号
的包络谱。
（3） 计算各个频带重构信号的包络谱分贝值
（4） 计算滚动轴承保持架、滚动体、外圈、内圈的故障特征频率。提取各个故障特征频率在第二
代小波包各个频带中对应包络谱幅值的分贝值。
（5） 选取各频带中同一故障频率对应分贝值得最大值，对滚动轴承的损伤进行定量识别。
5. 为什么要进行冗余第二代小波变换？简述其工程应用。
在机电设备运行过程中，故障特征信息往往被淹没在噪声中，因此降噪是故障诊断领域的重要课题。小波阈值降噪是一种常用的降噪方法，该方法采用下抽样运算，会造成重构后信号失真，且计算量大。为了克服上述缺陷，对信号进行冗余第二代小波变换；该方法，先根据被分析信号的特点，选择相应的更新器和预测器；在每次信号分解前对预测器和更新器进行差值补零语段，获得每层小波分解新的冗余预测器和冗余更新器，该方法去掉了剖分部分直接利用新的冗余预测器和更新器对信号进行分解和重构，能够有效的去除信号中的噪声，较好地保留信号的时域特征；（分解信号具有时移不变性，信息冗余性，重构失真小）
去除振动信号中的噪声，提取被噪声淹没的信号故障特征——降噪
第八章 基于EMD 的时频分析方法及其应用
1. 为什么在EMD 分解时会出现端点效应？试给出三种消除或减弱端点效应的措施。
在应用EMD 方法对非平稳信号进行分解时，在数据的两端会产生发散现象，并且这种发散的结果会逐渐向内“污染”整个数据序列而使所得分解结果严重失真，这就是所谓EMD 分解过程中产生的端点效应问题。
包括直接对原始数据进行简单延托的方法、采用神经网络对数据延托法、在端点出按照端点数据变化的“平衡位置”附加两条平行线段的方法、边界波形匹配预测法、极值点延托法、基于AR 模型的
时间序列线性预测方法、神经网络、支持向量机等
2. 瞬时频率的定义和物理意义是什么？如何理由瞬时频率进行转子摩擦故障的诊断？
瞬时频率：相位的微分
物理意义：
转子摩擦故障：此时IMF 的瞬时频率在工频上下波动，也就是说工频的分量出现了频率调制现象。对瞬时频率作傅里叶变换即可得到工频和二倍工频。
这可以解释为转子发生周期性碰磨故障，导致转子转动的线速度发生周期性的变化：转子每转动一周，摩擦一次，线速度都将减小一次，摩擦结束以后又回复到正常速度，因此工频振动分量就发生了上述频率调制现象。
摩擦力可以分解为法向力和切向力，正是这个切向力使转子在1号瓦的波动速度在转动一周的过程中变化一次，从而造成了前文所述1号瓦信号的EMD 分解工频分量的调制现象；
3. 与小波分解相比较，试说明EMD 方法的完备性和正交性。
完备性：就是把分解后的各个分量相加就能获得原信号的性质。根据EMD 的基本原理可知，原信号x(t)为若干基本模式分量与剩余分量的和，可见EMD 方法是完备的。
正交性：到目前为止，经验模式分解的正交性在理论上还难以严格地进行证明，只能在分解后在数值上进行检验。
文献[2] 和[11]分别用某一齿轮箱的振动信号和某一风波信号模式分解的正交性进行了检验，结果证明EMD 方法基本上是正交的，或者称是近似正交的。
整体正交性指标：
两个基本模式分量之间的正交性：
HHT 在傅里叶变换表达式中，在某一频率ω处能量的存在，代表一个正弦或余弦在整个时间长度上都存在。而HHT 中，在某一频率ω处能量的存在，仅代表在数据的整个事件长度上，很可能有这样一个频率的振动在局部出现过。
提高局部均值计算精度和速度的方法有：自适应时变滤波发，极值域均值模式分解法，改进的极值域均值模式分解法。
历年题目答案：
2、 对信号处理这本书你学的方法，这些方法的共同点一级各自的特点。
（1） 时域分析法：滤波、放大、统计特征计算、相关性分析等处理。
特点：可有效的提高信噪比，求取信号波形在不同时刻的相似性和相关性，获得反应机械设112011IO (()()/())
T n n i k t i k c t c t x t ++====∑∑∑,220()()IO ()()T
i k i k t i k c t c t c t c t ==+∑
备运行状态的特征菜蔬，为机械系统动态分析和故障诊断提供有效的信息。
（2）频域分析法：
1）传统的分析方法：
a相干分析：确定输出信号中分量多大程度的来自输入信号x（他）
b离散傅里叶变换：可真实的反映不同频率谐波的振幅和位移的变化情况，但工作量大，
计算时间长。
C复调细化：可将一部分需要重点研究的信号细化放大，提高分辨率。
D倒频谱：将两个卷积信号变成两个倒频谱的线性叠加，从而得到清晰的分析结果。
传统分析方法的缺点：分辨率低、频谱能量泄露、需要较长的原始数据。。并且将幅值和相位信息分离，将相位信息完全的忽略。
2）现代的分析方法：AR、MA/ARMA
优点：谱精度高、适合于短数据、适合分析非平稳信号。
缺点：p阶次难确定。大——峰值发生分叉产生虚假峰值。小——对噪声敏感，要求高。
3）全息谱：将信号各频率分量的频率相位和幅值均反映到谱图上更加全面的反映了转子的振动情况。
实验6 数字滤波器的网络结构 一、实验目的： 1、加深对数字滤波器分类与结构的了解。 2、明确数字滤波器的基本结构及其相互间的转换方法。 3、掌握用MA TLAB 语言进行数字滤波器结构间相互转换的子函数及程序编写方法。 二、实验原理： 1、数字滤波器的分类 离散LSI 系统对信号的响应过程实际上就是对信号进行滤波的过程。因此，离散LSI 系统又称为数字滤波器。 数字滤波器从滤波功能上可以分为低通、高通、带通、带阻以及全通滤波器；根据单位脉冲响应的特性，又可以分为有限长单位脉冲响应滤波器（FIR ）和无限长单位脉冲响应滤波器（IIR ）。 一个离散LSI 系统可以用系统函数来表示： M -m -1-2-m m m=0 012m N -1-2-k -k 12k k k=1 b z b +b z +b z ++b z Y(z)b(z)H(z)=== =X(z)a(z) 1+a z +a z ++a z 1+a z ∑∑ 也可以用差分方程来表示： N M k m k=1 m=0 y(n)+a y(n-k)=b x(n-m)∑∑ 以上两个公式中，当a k 至少有一个不为0时，则在有限Z 平面上存在极点，表达的是以一个IIR 数字滤波器；当a k 全都为0时，系统不存在极点，表达的是一个FIR 数字滤波器。FIR 数字滤波器可以看成是IIR 数字滤波器的a k 全都为0时的一个特例。 IIR 数字滤波器的基本结构分为直接Ⅰ型、直接Ⅱ型、直接Ⅲ型、级联型和并联型。 FIR 数字滤波器的基本结构分为横截型（又称直接型或卷积型）、级联型、线性相位型及频率采样型等。本实验对线性相位型及频率采样型不做讨论，见实验10、12。 另外，滤波器的一种新型结构——格型结构也逐步投入应用，有全零点FIR 系统格型结构、全极点IIR 系统格型结构以及全零极点IIR 系统格型结构。 2、IIR 数字滤波器的基本结构与实现 （1）直接型与级联型、并联型的转换 例6-1 已知一个系统的传递函数为 -1-2-3 -1-2-3 8-4z +11z -2z H(z)=1-1.25z +0.75z -0.125z 将其从直接型（其信号流图如图6-1所示）转换为级联型和并联型。
数字信号处理作业
DFT 习题 1. 如果)(~n x 是一个周期为N 的周期序列，那么它也是周期为N 2的周期序列。把)(~ n x 看作周期为N 的周期序列，令)(~1k X 表示)(~n x 的离散傅里叶级数之系数，再把)(~ n x 看作周期为N 2的周期序列，再令)(~2k X 表示)(~n x 的离散傅里叶级数之系数。当然，)(~1k X 是周期性的，周期为N ，而)(~2k X 也是周期性的，周期为N 2。试利用)(~1k X 确定)(~2k X 。（76-4）
2. 研究两个周期序列)(~n x 和)(~n y 。)(~n x 具有周期N ,而)(~ n y 具有周期M 。序列)(~n w 定义为)()()(~ ~~n y n x n w +=。 a. 证明)(~n w 是周期性的，周期为MN 。 b. 由于)(~n x 的周期为N ，其离散傅里叶级数之系数)(~k X 的周期也是N 。类似地， 由于)(~n y 的周期为M ，其离散傅里叶级数之系数)(~k Y 的周期也是M 。)(~n w 的离散傅里叶级数之系数)(~k W 的周期为MN 。试利用)(~k X 和)(~k Y 求)(~k W 。（76-5）
3. 计算下列各有限长度序列DFT （假设长度为N ）: a. )()(n n x δ= b ．N n n n n x <<-=000) ()(δ c ．10)(-≤≤=N n a n x n （78-7） 4. 欲作频谱分析的模拟数据以10千赫速率被取样，且计算了1024个取样的离散傅里叶变换。试求频谱取样之间的频率间隔，并证明你的回答。（79 -10）
现代数字信号处理复习题 一、填空题 1、平稳随机信号是指：概率分布不随时间推移而变化的随机信号，也就是说，平稳随机信号的统计特性与起始 时间无关，只与时间间隔有关。 判断随机信号是否广义平稳的三个条件是： （1）x(t)的均值为与时间无关的常数：C t m x =)( （C 为常数） ； （2）x(t)的自相关函数与起始时间无关，即：)(),(),(ττx i i x j i x R t t R t t R =+=； （3）信号的瞬时功率有限，即：∞<=)0(x x R D 。 高斯白噪声信号是指：噪声的概率密度函数满足正态分布统计特性，同时其功率谱密度函数是常数的一类噪 声信号。 信号的遍历性是指：从随机过程中得到的任一样本函数,好象经历了随机过程的所有可能状态,因此,用一个 样本函数的时间平均就可以代替它的集合平均 。 广义遍历信号x(n)的时间均值的定义为： ，其时间自相关函数的定义为： 。 2、连续随机信号f(t)在区间上的能量E 定义为： 其功率P 定义为： 离散随机信号f(n)在区间 上的能量E 定义为： 其功率P 定义为： 注意:(1)如果信号的能量0 信号时频分析技术及matlab仿真 电路与系统王冠军 201128013926153 摘要:本文介绍了时频分析的一些基础理论,对短时傅里叶变换Wigner-Ville分布做了简单介绍，运用MATLAB语言实现了旨在构造一种时间和频率的密度函数,以揭示信号中所包含的频率分量及其演化特性的wigner-ville分布。并对时频分析方法的优缺点进行了分析。 关键词:时频分析短时傅里叶变换wigner-ville分布 1 引言 基于Fourier变换的传统信号处理技术从信号频域表示及能量的频域分布的角度揭示了信号在频域的特征。但Fourier变换是一种整体变换，只能为人们提供信号在时域或频域的全局特性而无法了解信号频谱随时间变化的情况。因此，需要使用一种时间和频率的联合函数来表示信号，这种表示简称为信号，也就是信号的时频分析。 2 时频分析方法 信号时频分析主要研究非平稳信号或时变信号的频谱含量是怎样随时间变化的。时频分析是当今信号处理领域的一个主要研究热点，目前常用时频分析方法主要有短时傅里叶变换、Gabor展开、小波变换、Wigner-Ville分布。本文主要介绍了短时傅里叶变换和Wigner-Ville分布两种分析方法。 2．1 短时傅立叶变换STFT 从历史上看,信号的时频分析用的最多的是短时傅立叶变换,这种变换的基本思想是用一个窗函数乘时间信号,该窗函数的时宽足够窄,使取出的信号可以被看成是平稳的,然后进行的傅立叶变换可以反映该时宽中的频谱变化规律,如果让窗随时间轴移动,可以得到信号频谱随时间变化的规律。对于时变信号,了解不同时刻附近的频域特征是至关重要的。因此,人们采用时间—频率描述时变信号,将一维的时域信号映射到一个二维的时域平面,全面反映观测信号的时频联合特征。短时傅立叶变换反映了这一思想,对于时变信号,采用某一滑动窗函数截取信号,并认为这些信号是准平稳的,然后,再分别对其进行傅立叶变换,构成时变信号的时变谱。短时傅立叶变换是一种常用的时—频域分析方法,其基本思想 1.3 时频分布及其性质 1.3.1 单分量信号与多分量信号 从物理学的角度看，信号可以分为单分量信号和多分量信号两类，而时－频分布的一个主要优点就是能够确定一个信号是单分量的还是多分量的。所谓单分量信号就是在任一时间只有一个频率或一个频率窄带的信号。一般地，单分量信号看上去只有一个山峰（如图 1.2.2），图中所示的是信号)()()(t j e t A t s ?=的时－频表示，在每一个时间，山峰的峰值有明显的不同。如果它是充分局部化的，那么峰值就是瞬时频率；山峰的宽度就是瞬时带宽。一般地，如果)(t z 是信号)(cos )()(t t a t s φ=的解析信号，)(f Z 是)(t z 对应的频谱， 图1.2.2 单分量信号时－频表示及其特征 则其瞬时频率定义如下： )]([arg 21)(t z dt d t f i π= （1.2.1） 与瞬时频率对偶的物理量叫做群延迟，定义如下： )]([arg 21)(f Z dt d f g πτ= （1.2.2） 而多分量信号是由两个（或多个）山峰构成, 每一个山峰都有它自己不同的瞬时 频率和瞬时带宽。（如图1.2.3所示）。 图1.2.3 多分量信号时－频表示及特征 1.3.2 时－频分布定义 Fourier 变换的另一种形式 ?∞ ∞ --=dt e t s f S ft j π2)()( ?∞ ∞ -=df e f S t s tf j π2)()( Cohen 指出，尽管信号)(t z 的时－频分布有许多形式，但不同的时－频分布只是体现 在积分变换核的函数形式上，而对于时－频分布各种性质的要求则反映在对核函数的约束条件上，因此它可以用一个统一形式来表示，通常把它叫做Cohen 类时－频分布，连续时间信号)(t z （)(t z 为连续时间信号)(t s 的解析信号）的Cohen 类时－频分布定义为 ττφτττπdudvd e v u z u z f t P vu f vt j ) (2*),()2 1()21(),(-+-∞ ∞ -∞ ∞ -∞ ∞ --+=?? ? （1.3.1） 式中),(v τφ称为核函数。原则上，核函数可以是时间和频率两者的函数，但常用的核函数与时间和频率无关，只是时延τ和频偏v 的函数，即核函数具有时、频移不变性。这个定义提供了全面理解任何一种时－频分析方法的通用工具，而且能够在信号分析中将信号的一种时－频表示及其性质同另一种时－频表示及其性质联系在一起。进一步可将（1.3.1）简记为 ττφττπdvd e v v A f t P f vt j z )(2),(),(),(+-∞ ∞ -∞ ∞ -? ? = （1.3.2） 式中),(v A z τ是双线性变换（双时间信号）)2 ()2(),(*τ τ τ-+ =t z t z t k z 关于时间t 作 Fourier 反变换得到的一种二维时－频分布函数，称为模糊函数，即 dt e t z t z v A tv j z πτ ττ2*)2 ()2(),(-+=?∞ ∞- （1.3.3） 因为Cohen 类时－频分布是以核函数加权的模糊函数的二维Fourier 变换，所以Cohen 类 时－频分布又称为广义双线性时－频分布。 两个连续信号)(t x ，)(t y 的互时－频分布定义为： ???∞ ∞-∞ ∞--+-∞ ∞ --+= ττφτττπdudvd e v u y u x f t P vu f vt j xy ) (2*),()2 1()21(),( ? ? ∞ ∞-∞ ∞ -+-=dv d e v v A f tv j xy ττφττπ)(2),(),( （1.3.4） 式中 du e u y u x v A vu j xy πτ ττ2*)2 ()2(),(?∞ ∞--+= （1.3.5） 是)(t x 和)(t y 的互模函数。 现代信号处理大作业 姓名：潘晓丹 学号：0140349045 班级：A1403492 作业1 LD 算法实现AR 过程估计 1.1 AR 模型 p 阶AR 模型的差分方程为： )()()(1 n w i n x a n x p i i =-+ ∑=，其中)(n w 是均值为0的白噪声。 AR 过程的线性预测方法为：先求得观测数据的自相关函数，然后利用Yule-Walker 方程递推求得模型参数，再根据公式求得功率谱的估计。 Yule-Walker 方程可写成矩阵形式： ??????? ? ????????= ??????? ? ?? ???? ????????????? ??? ??--+-+--000)()2()1(1) 0() 2()1()()2()0()1()2()1()1()0() 1()() 2()1()0(2 σp a a a r p r p r p r p r r r r p r r r r p r r r r p p p xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx 1.2 LD 算法介绍 Levinson-Durbin 算法可求解上述问题，其一般步骤为： 1) 计算观测值各自相关系数p j j r xx ,,1, 0),( =；)0(0xx r =ρ；i=1； 2) 利用以下递推公式运算： ) 1(1,...,2,1),()()()() ()()(2 1111 1 1 1 i i i i i i i i i i i j xx i xx i k i j j i a k j a j a k i a j i r j a i r k -=-=--==-?+ -=-----=-∑ρρρ 3) i=i+1，若i>p ，则算法结束；否则，返回(2)。 1.3 matlab 编程实现 以AR 模型：xn=12xn-1-12xn-2+w(n)为例，Matlab 程序代码如下： clear; clc; 数字信号处理上机作业 学院：电子工程学院 班级：021215 组员： 实验一：信号、系统及系统响应 1、实验目的 (1) 熟悉连续信号经理想采样前后的频谱变化关系，加深对时域采样定理的理解。 (2) 熟悉时域离散系统的时域特性。 (3) 利用卷积方法观察分析系统的时域特性。 (4) 掌握序列傅里叶变换的计算机实现方法，利用序列的傅里叶变换对连续信号、离散信号及系统响应进行频域分析。 2、实验原理与方法 (1) 时域采样。 (2) LTI系统的输入输出关系。 3、实验内容及步骤 (1) 认真复习采样理论、离散信号与系统、线性卷积、序列的傅里叶变换及性质等有关内容，阅读本实验原理与方法。 (2) 编制实验用主程序及相应子程序。 ①信号产生子程序，用于产生实验中要用到的下列信号序列： a. xa(t)=A*e^-at *sin(Ω0t)u(t) b. 单位脉冲序列：xb(n)=δ(n) c. 矩形序列： xc(n)=RN(n), N=10 ②系统单位脉冲响应序列产生子程序。本实验要用到两种FIR系统。 a. ha(n)=R10(n); b. hb(n)=δ(n)+2.5δ(n-1)+2.5δ(n-2)+δ(n-3) ③有限长序列线性卷积子程序 用于完成两个给定长度的序列的卷积。可以直接调用MATLAB语言中的卷积函数conv。 conv 用于两个有限长度序列的卷积，它假定两个序列都从n=0 开始。调用格式如下： y=conv (x, h) 4、实验结果分析 ①分析采样序列的特性。 a. 取采样频率fs=1 kHz,，即T=1 ms。 b. 改变采样频率，fs=300 Hz，观察|X(e^jω)|的变化，并做记录(打印曲线)；进一步降低采样频率，fs=200 Hz，观察频谱混叠是否明显存在，说明原因，并记录(打印)这时的|X(e^j ω)|曲线。 程序代码如下： close all;clear all;clc; A=50; a=50*sqrt(2)*pi; m=50*sqrt(2)*pi; fs1=1000; fs2=300; fs3=200; T1=1/fs1; T2=1/fs2; T3=1/fs3; N=100; 数字信号处理作业 哈尔滨工业大学 2006.10 DFT 习题 1. 如果)(~n x 是一个周期为N 的周期序列，那么它也是周期为N 2的周期序列。把)(~ n x 看作周期为N 的周期序列，令)(~ 1k X 表示)(~n x 的离散傅里叶级数之系数，再把)(~ n x 看作周期为N 2的周期序列，再令)(~ 2k X 表示)(~n x 的离散傅里叶级数之系数。当然，)(~ 1k X 是周期性的，周期为N ，而)(~ 2k X 也是周期性的，周期为N 2。试利用)(~ 1k X 确定)(~ 2k X 。（76-4） 2. 研究两个周期序列)(~ n x 和)(~ n y 。)(~ n x 具有周期N ,而)(~ n y 具有周期M 。序列 )(~n w 定义为)()()(~ ~~n y n x n w +=。 a. 证明)(~ n w 是周期性的，周期为MN 。 b. 由于)(~n x 的周期为N ，其离散傅里叶级数之系数)(~ k X 的周期也是N 。类似地， 由于)(~n y 的周期为M ，其离散傅里叶级数之系数)(~k Y 的周期也是M 。)(~ n w 的离散傅里叶级数之系数)(~ k W 的周期为MN 。试利用)(~ k X 和)(~ k Y 求)(~ k W 。（76-5） 3. 计算下列各有限长度序列DFT （假设长度为N ）: a. )()(n n x δ= b ．N n n n n x <<-=000)()(δ c ．10)(-≤≤=N n a n x n （78-7） 4. 欲作频谱分析的模拟数据以10千赫速率被取样，且计算了1024个取样的离散傅里叶变换。试求频谱取样之间的频率间隔，并证明你的回答。（79 -10） 研究生“现代信号处理”课程大型作业 （以下四个题目任选三题做） 1. 请用多层感知器（MLP ）神经网络误差反向传播（BP ）算法实现异或问题（输入为[00;01;10;11]X T =，要求可以判别输出为0或1），并画出学习曲线。其中，非线性函数采用S 型Logistic 函数。 2. 试用奇阶互补法设计两带滤波器组(高、低通互补)，进而实现四带滤波器组；并画出其频响。滤波器设计参数为：F p ＝1.7KHz , F r ＝2.3KHz , F s ＝8KHz , A rmin ≥70dB 。 3. 根据《现代数字信号处理》（姚天任等，华中理工大学出版社，2001）第四章附录提供的数据(pp.352-353)，试用如下方法估计其功率谱，并画出不同参数情况下的功率谱曲线： 1） Levinson 算法 2） Burg 算法 3） ARMA 模型法 4） MUSIC 算法 4. 图1为均衡带限信号所引起失真的横向或格型自适应均衡器(其中横向FIR 系统长M =11), 系统输入是取值为±1的随机序列)(n x ，其均值为零；参考信号)7()(-=n x n d ；信道具有脉冲响应： 1 2(2)[1cos( )]1,2,3()20 n n h n W π-?+=?=???其它 式中W 用来控制信道的幅度失真(W = 2～4, 如取W = 2.9,3.1,3.3,3.5等)，且信道受到均 值为零、方差001.02 =v σ(相当于信噪比为30dB)的高斯白噪声)(n v 的干扰。试比较基 于下列几种算法的自适应均衡器在不同信道失真、不同噪声干扰下的收敛情况(对应于每一种情况,在同一坐标下画出其学习曲线): 1） 横向/格-梯型结构LMS 算法 2） 横向/格-梯型结构RLS 算法 并分析其结果。 数字信号处理作业-答案 数字信号处理作业 DFT 习题 1. 如果)(~ n x 是一个周期为N 的周期序列，那么它也是周期为N 2的周期序列。把)(~ n x 看作周期为N 的周期序列，令)(~ 1 k X 表示)(~ n x 的离散傅里叶级数之系数，再把)(~ n x 看作周期为N 2的周期序列，再令)(~2 k X 表示)(~ n x 的离散傅里叶级数之系数。当然，)(~ 1 k X 是周期性的，周期为N ，而)(~ 2 k X 也是周期性的，周期为N 2。试利用)(~ 1k X 确定)(~ 2 k X 。（76-4） 2. 研究两个周期序列)(~ n x 和)(~ n y 。)(~ n x 具有周期N ,而)(~ n y 具有周期M 。序列)(~ n w 定义为)()()(~~ ~ n y n x n w +=。 a. 证明)(~ n w 是周期性的，周期为MN 。 b. 由于)(~ n x 的周期为N ，其离散傅里叶级数之系数)(~k X 的周期也是N 。类似地，由于)(~ n y 的周期为M ，其离散傅里叶级数之系数)(~ k Y 的周期也是M 。)(~n w 的离散傅里叶级数之系数)(~ k W 的周期为MN 。试利用)(~k X 和)(~k Y 求)(~ k W 。（76-5） 3. 计算下列各有限长度序列DFT （假设长度为N ）: a. )()(n n x δ= b ．N n n n n x <<-=0 0)()(δ c ．10)(-≤≤=N n a n x n （78-7） 4. 欲作频谱分析的模拟数据以10千赫速率被取样，且计算了1024个取样的离散傅里叶变换。试求频谱取样之间的频率间隔，并证明你的回答。（79 -10） 1.设()u n 是离散时间平稳随机过程，证明其功率谱()w 0S ≥。 证明：将()u n 通过冲激响应为()h n 的LTI 离散时间系统，设其频率响应()w H 为 ()001,w -w w 0, w -w w H w ???? 输出随机过程()y n 的功率谱为()()()2y S w H w S w = 输出随机过程()y n 的平均功率为()()()00201 1r 022w w y y w w S w dw S w dw π π π+?-?= =?? 当频率宽度w 0???→时，上式可表示为()()()01 r 00y S w w π =?≥ 由于频率0w 是任意的，所以有()w 0 S ≥ 3、已知：状态方程 )()1,()1()1,()(1n n n n x n n F n x ν-Γ+--=观测方程 )()()()(2n n x n C n z ν+= )()]()([111n Q n n E H =νν )()]()([222n Q n n E H =νν 滤波初值 )]0([)|0(0x E x =ξ } )]]0([)0()]][0([)0({[)0(H x E x x E x E P --= 请简述在此已知条件下卡尔曼滤波算法的递推步骤。 解：步骤1 状态一步预测，即 1 *11)|1(?)1,()|(N n n C n x n n F n x ∈--=--∧ ξξ 步骤2 由观测信号z(n)计算新息过程，即 1*11)|(?)()()|(?)()(M n n C n x n C n z n z n z n ∈-=-=--ξξα 步骤3 一步预测误差自相关矩阵 N N H H C n n n Q n n n n F n P n n F n n P *1)1,()1()1,() 1,()1()1,()1,(∈-Γ--Γ+---=- 步骤4 新息过程自相关矩阵M M H C n Q n C n n P n C n A *2)()()1,()()(∈+-= 步骤5 卡尔曼增益M N H C n A n C n n P n K *1)()()1,()(∈-=- 或 )()()()(1 2n Q n C n P n K H -= 步骤6 状态估计 1*1)()()|(?)|(?N n n C n n K n x n x ∈+=-αξξ 步骤7 状态估计自相关矩阵 N N C n n P n C n K I n P *)1,()]()([)(∈--= 或 )()()()]()()[1,()]()([)(2n K n Q n K n C n K I n n P n C n K I n P H H +---= 步骤8 重复步骤1-7，进行递推滤波计算 4、经典谱估计方法： 1.总结学过的滤波器设计方法，用matlab 仿真例子分析不同设计方法的滤波器的性能及适应场合。 答： 1.1模拟低通滤波器的设计方法 1.1.1 Butterworth 滤波器设计步骤： ⑴.确定阶次N ① 已知Ωc 、Ωs 和As 求Butterworth DF 阶数N ② 已知Ωc 、Ωs 和Ω=Ωp()的衰减 Ap 求Butterworth DF 阶数N ③ 已知Ωp 、Ωs 和 Ω=Ωp 的衰减Ap 和As 求Butterworth DF 阶数N 3dB p Ω≠-/10 /1022(/)10 1,(/)101p s A A N N p c s c ΩΩ=-ΩΩ=-则： ⑵.用阶次N 确定 根据公式： 在左半平面的极点即为的极点，因而 1.1.2 切比雪夫低通滤波器设计步骤： ⑴.确定技术指标 归一化： ⑵.根据技术指标求出滤波器阶数N 及： ⑶.求出归一化系统函数 其中极点由下式求出： ()a H s 2,2N ()()a a H s H s -()a H s ,2,,N p Ωp αs Ωs α/1p p p λ=ΩΩ=/s s p λ=ΩΩε0.12 10 1δε=-p δα= 或者由和S 直接查表得 2.数字低通滤波器的设计步骤： （1） 确定数字低通滤波器的技术指标：通带截止频率p ω、通带最大衰减系数 p α、 阻带截止频率ω、阻带最小衰减系数s α。 （2）将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标。 巴特沃斯： 切比雪夫： N ()a H p /s s p λ=ΩΩ0.1210 1δ ε=-p δα= 《数字信号处理Ⅰ》作业 姓名： 学号： 学院： 2012 年春季学期 第一章 时域离散信号和时域离散系统 月 日 一 、判断： 1、数字信号处理和模拟信号处理在方法上是一样的。（ ） 2、如果信号的取值和自变量都离散，则称其为模拟信号。（ ） 3、如果信号的取值和自变量都离散，则称其为数字信号。（ ） 4、时域离散信号就是数字信号。（ ） 5、正弦序列都是周期的。（ ） 6、序列)n (h )n (x 和的长度分别为N 和M 时，则)n (h )n (x *的长度为N+M 。（ ） 7、如果离散系统的单位取样响应绝对可和，则该系统稳定。（ ） 8、若满足采样定理，则理想采样信号的频谱是原模拟信号频谱以s Ω（采样频率）为周期进行周期延拓的结果。（ ） 9、序列)n (h )n (x 和的元素个数分别为21n n 和，则)n (h )n (x *有（1n n 21-+）个元素。（ ） 二、选择 1、R N (n)和u(n)的关系为（ ）： A. R N (n)=u(n)-u(n-N) B. R N (n)=u(n)+u(n-N) C. R N (n)=u(n)-u(n-N-1) D. R N (n)=u(n)-u(n-N+1) 2、若f(n)和h(n)的长度为别为N 、M ，则f(n)*h(n)的长度为 （ ）： A.N+M B.N+M-1 C.N-M D.N-M+1 3、若模拟信号的频率范围为[0，1kHz],对其采样，则奈奎斯特速率为（ ）： A.4kHz B. 3kHz C.2kHz D.1kHz 4、LTIS 的零状态响应等于激励信号和单位序列响应的（ ）： A.相乘 B. 相加 C.相减 D.卷积 5、线性系统需满足的条件是（ ）： A.因果性 B.稳定性 C.齐次性和叠加性 D.时不变性 6、系统y(n)=f(n)+2f(n-1)(初始状态为0)是（ ）： A. 线性时不变系统 B. 非线性时不变系统 C. 线性时变系统 D. 非线性时变系统 “现代数字信号处理”复习思考题 变换 1.给出DFT的定义和主要性质。 2.DTFT与DFT之间有什么关系？ 3.写出FT、DTFT、DFT的数学表达式。 离散时间系统分析 1.说明IIR滤波器的直接型、级联型和并联型结构的主要特点。 2.全通数字滤波器、最小相位滤波器有何特点？ 3.线性相位FIR滤波器的h(n)应满足什么条件？其幅度特性如何？ 4.简述FIR离散时间系统的Lattice结构的特点。 5.简述IIR离散时间系统的Lattice结构的特点。 采样 1．抽取过程为什么要先进行滤波，此滤波器应逼近什么样的指标？ 维纳滤波 1．画出Wiener滤波器结构，写出平稳信号下的滤波方程，导出Wiener-Hopf方程。 2．写出最优滤波器的均方误差表示式。 3．试说明最优滤波器满足正交性原理，即输出误差与输入信号正交。 4．试说明Wiener-Hopf方程和Yule-Walker方程的主要区别。 5．试说明随机信号的自相关阵与白噪声的自相关阵的主要区别。 6．维纳滤波理论对信号和系统作了哪些假设和限制？ 自适应信号处理 1．如何确定LMS算法的μ值，μ值与算法收敛的关系如何？ 2．什么是失调量？它与哪些因素有关？ 3．RLS算法如何实现？它与LMS算法有何区别？ 4．什么是遗忘因子，它在RLS算法中有何作用，取值范围是多少？ 5．怎样理解参考信号d(n)在自适应信号处理处理中的作用？既然他是滤波器的期望响应，一般在滤波前是不知道的，那么在实际应用中d(n)是怎样获得的，试举两个应用例子来加以说明。 功率谱估计 1.为什么偏差为零的估计不一定是正确的估计？ 2.什么叫一致估计？它要满足哪些条件？ 3.什么叫维拉－辛钦(Wiener-Khinteche)定理？ 4.功率谱的两种定义。 5.功率谱有哪些重要性质？ 6.平稳随机信号通过线性系统时输入和输出之间的关系。 7.AR模型的正则方程(Yule-Walker方程)的导出。 8.用有限长数据估计自相关函数的估计质量如何？ 9.周期图法谱估计的缺点是什么？为什么会产生这些缺点？ 10.改进的周期图法谱估计有哪些方法？它们的根据是什么？ 11.既然隐含加窗有不利作用，为什么改进周期图法谱估计是还要引用各种窗？ 12.经典谱估计和现代谱估计的主要差别在哪里？ 13.为什么AR模型谱估计应用比较普遍？ 14.对于高斯随机过程最大熵谱估计可归结为什么样的模型？ 15.为什么Levison-Durbin快速算法的反射系数的模小于１？ 16.什么是前向预测？什么是后向预测？ 17.AR模型谱估计自相关法的主要缺点是什么？ 18.Burg算法与Levison-Durbin算法的区别有哪些？ 南邮研究生“现代信号处理”期末课程大作业 （四个题目任选三题做） 1. 请用多层感知器（MLP ）神经网络误差反向传播（BP ）算法实现异或问题（输入为[00;01;10;11]X T =，要求可以判别输出为0或1），并画出学习曲线。其中，非线性函数采用S 型Logistic 函数。 2. 试用奇阶互补法设计两带滤波器组(高、低通互补)，进而实现四带滤波器组；并画出其频响。滤波器设计参数为：F p ＝1.7KHz , F r ＝2.3KHz , F s ＝8KHz , A rmin ≥70dB 。 3. 根据《现代数字信号处理》（姚天任等，华中理工大学出版社，2001）第四章附录提供的数据(pp.352-353)，试用如下方法估计其功率谱，并画出不同参数情况下的功率谱曲线： 1） Levinson 算法 2） Burg 算法 3） ARMA 模型法 4） MUSIC 算法 4. 图1为均衡带限信号所引起失真的横向或格型自适应均衡器(其中横向FIR 系统长M =11), 系统输入是取值为±1的随机序列)(n x ，其均值为零；参考信号)7()(-=n x n d ；信道具有脉冲响应： 1 2(2)[1cos( )]1,2,3()20 n n h n W π-?+=?=???其它 式中W 用来控制信道的幅度失真(W = 2～4, 如取W = 2.9,3.1,3.3,3.5等)，且信道受到均 值为零、方差001.02 =v σ(相当于信噪比为30dB)的高斯白噪声)(n v 的干扰。试比较基 于下列几种算法的自适应均衡器在不同信道失真、不同噪声干扰下的收敛情况(对应于每一种情况,在同一坐标下画出其学习曲线): 1） 横向/格-梯型结构LMS 算法 2） 横向/格-梯型结构RLS 算法 并分析其结果。 数字信号处理第三章作业 1．(第三章习题3)在图P3-2中表示了两个周期都为6的周期性序列，确定这个两个序列的周期卷积的结果3()x n ，并画出草图。 2．(第三章习题5)如果()x n 是一个具有周期为N 的周期性序列，它也是具有周期为2N 的周期性序列。令~1()X k 表示当()x n 看做是具有周期为N 的周期性序列的DFS 系数。而~2()X k 表示当()x n 看作是具有周期为2N 的周期性序列的DFS 系数。当然~1()X k 是具有周期为N 的周期性序列，而~2()X k 是具有周期为2N 的周期性序列，试根据~1()X k 确定~2()X k 。 3．(第三章习题6) （a ）试证明下面列出的周期性序列离散傅里叶级数的对称特性。在证明中，可以利用离散傅里叶级数的定义及任何前面的性质，例如在证明性质③时可以利用性质①和②。 序列 离散傅里叶级数 ① *()x n ~*()X k - ②*()x n - ~*()X k ③Re ()x n ???? ~ e ()X k ④Im ()j x n ???? ~()o X k （b ）根据已在（a ）部分证明的性质，证明对于实数周期序列()x n ，离散傅里叶级数的下列对称性质成立。 ①~~Re ()Re ()X k X k ????=-???????? ②~~Im ()Im ()X k X k ????=--???????? ③~~()()X k X k =- ④~~arg ()arg ()X k X k ????=--???????? 4．(第三章习题7)求下列序列的DFT (a) {}11 1-，，，-1 (b) {}1 j 1j -，，，- (c) ()cn 0n 1x n N =≤≤-， (d) 2n ()sin 0n 1x n N N π??=≤≤- ??? ， 5．(第三章习题8)计算下列各有限长序列的离散傅立叶变换（假设长度为N ） 1 0)()(0) ()()() ()()(00-≤≤=<<-==N n a n x c N n n n n x b n n x a n δδ 6．(第三章习题9)在图P3-4中表示了一有限长序列)(n x ，画出序列)(1n x 和)(2n x 的草图。（注意：)(1n x 是)(n x 圆周移位两个点） )())(()() ())2(()(442441n R n x n x n R n x n x -=-= AR 模型的功率谱估计BURG 算法的分析与仿真 钱平 （信号与信息处理 S101904010） 一．引言 现代谱估计法主要以随机过程的参数模型为基础，也可以称其为参数模型方法或简称模型方法。现代谱估计技术的研究和应用主要起始于20世纪60年代，在分辨率的可靠性和滤波性能方面有较大进步。目前，现代谱估计研究侧重于一维谱分析，其他如多维谱估计、多通道谱估计、高阶谱估计等的研究正在兴起，特别是双谱和三谱估计的研究受到重视，人们希望这些新方法能在提取信息、估计相位和描述非线性等方面获得更多的应用。 现代谱估计从方法上大致可分为参数模型谱估计和非参数模型谱估计两种。基于参数建摸的功率谱估计是现代功率谱估计的重要内容，其目的就是为了改善功率谱估计的频率分辨率，它主要包括AR 模型、MA 模型、ARMA 模型，其中基于AR 模型的功率谱估计是现代功率谱估计中最常用的一种方法，这是因为AR 模型参数的精确估计可以通过解一组线性方程求得，而对于MA 和ARMA 模型功率谱估计来说，其参数的精确估计需要解一组高阶的非线性方程。在利用AR 模型进行功率谱估计时，必须计算出AR 模型的参数和激励白噪声序列的方差。这些参数的提取算法主要包括自相关法、Burg 算法、协方差法、 改进的协方差法，以及最大似然估计法。本章主要针对采用AR 模型的两种方法：Levinson-Durbin 递推算法、Burg 递推算法。 实际中，数字信号的功率谱只能用所得的有限次记录的有限长数据来予以估计，这就产生了功率谱估计这一研究领域。功率谱的估计大致可分为经典功率谱估计和现代功率谱估计，针对经典谱估计的分辨率低和方差性能不好等问题提出了现代谱估计，AR 模型谱估计就是现代谱估计常用的方法之一。 信号的频谱分析是研究信号特性的重要手段之一，通常是求其功率谱来进行频谱分析。功率谱反映了随机信号各频率成份功率能量的分布情况，可以揭示信号中隐含的周期性及靠得很近的谱峰等有用信息，在许多领域都发挥了重要作用。然而，实际应用中的平稳随机信号通常是有限长的，只能根据有限长信号估计原信号的真实功率谱，这就是功率谱估计。 二．AR 模型的构建 假定u(n)、x(n)都是实平稳的随机信号，u(n)为白噪声，方差为 ，现在，我们希望建立AR 模型 的参数和x(n)的自相关函数的关系，也即AR 模型的正则方程(normal equation)。 由 )}()]()({[)}()({)(1 n x m n u k m n x E m n x n x E m p k k x a r ++-+-=+=∑= )()()(1 m k m m r r a r xu x p k k x +--=∑= (1) 由于u(n)是方差为 的白噪声，有 ?? ?=≠=-0 00)}()({2 m m m n x n u E σ （2） 由Z 变换的定义， ，当 时，有h(0)=1。综合（1）及（2）两式， ???????=-≥--=∑∑==0)(1)()(1 2 1 m k m k m m p k x k p k x k x r a r a r σ （3） 在上面的推导中，应用了自相关函数的偶对称性。上式可写成矩阵式： 研究生“现代信号处理”课程大型作业 (以下四个题目任选三题做 1. 请用多层感知器(MLP 神经网络误差反向传播(BP 算法实现异或问题(输入为 [00;01;10;11]X T =,要求可以判别输出为0或1 ,并画出学习曲线。其中,非线性函数采用S 型Logistic 函数。 2. 试用奇阶互补法设计两带滤波器组(高、低通互补,进而实现四带滤波器组;并画出其频响。滤波器设计参数为:F p =1.7KHz , F r =2.3KHz , F s =8KHz , A rmin ≥70dB 。 3. 根据《现代数字信号处理》(姚天任等,华中理工大学出版社,2001第四章附录提供的数据(pp.352-353,试用如下方法估计其功率谱,并画出不同参数情况下的功率谱曲线: 1 Levinson 算法 2 Burg 算法 3 ARMA 模型法 4 MUSIC 算法 4. 图1为均衡带限信号所引起失真的横向或格型自适应均衡器(其中横向FIR 系统长M =11, 系统输入是取值为±1的随机序列(n x ,其均值为零;参考信号7((-=n x n d ;信道具有脉冲响应: 12(2[1cos(]1,2,3(20 n n h n W π-?+=?=???其它 式中W 用来控制信道的幅度失真(W = 2~4, 如取W = 2.9,3.1,3.3,3.5等,且信道受到均 值为零、方差001.02=v σ(相当于信噪比为30dB的高斯白噪声(n v 的干扰。试比较基 于下列几种算法的自适应均衡器在不同信道失真、不同噪声干扰下的收敛情况(对应于每一种情况,在同一坐标下画出其学习曲线: 1 横向/格-梯型结构LMS 算法 2 横向/格-梯型结构RLS 算法 并分析其结果。 图1 横向或格-梯型自适应均衡器 参考文献 [1] 姚天任, 孙洪. 现代数字信号处理[M]. 武汉: 华中理工大学出版社, 2001 [2] 杨绿溪. 现代数字信号处理[M]. 北京: 科学出版社, 2007 [3] S. K. Mitra. 孙洪等译. 数字信号处理——基于计算机的方法(第三版[M]. 北京: 电子工 1、什么是DSP？简述DSPs的特点？简述DSPs与MCU、FPGA、ARM的区别？学习DSP开发需要哪些知识？学习DSP开发需要构建什么开发环境？(15分) 答：（1）DSP是Digital Signal Processing(数字信号处理的理论和方法）的缩写，同时也是Digital Signal Processor（数字信号处理的可编程微处理器）的缩写。通常流过器件的电压、电流信号都是时间上连续的模拟信号，可以通过A/D器件对连续的模拟信号进行采样，转换成时间上离散的脉冲信号，然后对这些脉冲信号量化、编码，转化成由0和1构成的二进制编码，也就是常说的数字信号。DSP能够对这些数字信号进行变换、滤波等处理，还可以进行各种各样复杂的运算，来实现预期的目标。 （2）DSP既然是特别适合于数学信号处理运算的微处理器，那么根据数字信号处理的要求，DSP芯片一般具有下面所述的主要特点：1）程序空间和数据空间分开，CPU可以同时访问指令和数据； 2）在一个指令周期内可以完成一次乘法和一次加法运算； 3）片内具有快速RAM，通常可以通过独立的数据总线在程序空间和数据空间同时访问； 4）具有低开销和无开销循环及跳转的硬件支持； 5）具有快速的中断处理和硬件I/O支持； 6）可以并行执行多个操作； 7）支持流水线操作，使得取址、译码和执行等操作可以重复执行。（3）DSP采用的是哈佛结构，数据空间和存储空间是分开的，通过 独立的数据总线在数据空间和程序空间同时访问。而MCU采用的是冯·诺依曼结构，数据空间和存储空间共用一个存储器空间，通过一组总线（地址总线和数据总线）连接到CPU）。很显然，在运算处理能力上，MCU不如DSP；但是MCU价格便宜，在对性能要求不是很高的情况下，还是很具有优势的。 ARM是Advanced RISC（精简指令集）Machines的缩写是面向低运算市场的RISC微处理器。ARM具有比较强的事务管理功能，适合用来跑跑界面、操作系统等，其优势主要体现在控制方面，像手持设备90%左右的市场份额均被其占有。而DSP的优势是其强大的数据处理能力和较高的运算速度，例如加密/解密、调制/解调等。 FPGA是Field Programmable Gate Array（现场可编程门阵列）的缩写，它是在PAL、GAL、PLD等可编程器件的基础上进一步发展的产物，是专用集成电路中集成度最高的一种。FPGA采用了逻辑单元阵列LCA（Logical Cell Array）的概念，内部包括了可配置逻辑模块CLB、输入/输出模块IOB、内部连线三个部分。用户可以对FPGA内部的逻辑模块和I/O模块进行重置配置，已实现用户自己的逻辑。它还具有静态可重复编程和动态在系统重构的特性，使得硬件的功能可以像软件一样通过编程来修改。使用FPGA来开发数字电路，可以大大缩短设计时间，减少PCB面积，提高系统的可靠性；同时FPGA可以用VHDL或Verilog HDL来编程，灵活性强。由于FPGA能够进行编程、除错、再编程和重复操作，因此可以充分地进行设计开发和验证。当电路有少量改动时，更能显示出FPGA的优势，其现场编程能力可现代信号处理作业
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