直线的的倾斜角和斜率(第一课时)
教学目标
知识目标
1.正确理解直线的倾斜角和斜率的概念
2.理解倾斜角的唯一性及斜率的唯一性
3.理解倾斜角与斜率间的关系,能进行两者间的初步转换
4.掌握过两点的直线的斜率公式,能初步运用
能力目标
1.培养学生观察、比较、分析、抽象、综合、概括等思维能力，以及分析问题、解决
问题的能力
2．渗透坐标法，数形结合，分类及化归等基本数学思想方法
情感目标
1．让学生体验数学学习过程的成功与快乐，激发学生学习数学的兴趣，培养严谨求实的学习态度.
2．渗透运动与静止的辩证唯物主义观念，培养学生学习过程中的协作精神
教学重、难点
重点是直线倾斜角及斜率的概念，及过两点的直线斜率公式的掌握；
难点是直线倾斜角及斜率概念的建立，相互关系及公式的一般性的理解.
教学过程
一．导入新课
由平面几何中所研究的两点确定一条直线引入课题，导出直线倾斜角的概念.
二．新课教学
1．倾斜角
①概念引出
师生共同操作
（平面上有任一点P，可以作多少条直线？只有一个点是否可以确定一条直线的位置？）
设问：已知平面上一点，怎样才能确定直线的位置？
（学生易答需另一点，师可说明如果不利用除P外另一点是否可有别的办法？）
向生说明我们今天用另外一种方法确定直线的位置.
引导学生观察过P点的直线束，思考：直线间有哪些不同之处？
指出直线的倾斜程度不同，怎样统一标准，描述这种差异？得出结论.
当直线l与世隔绝x轴相交时，取x轴作基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫直线l的倾斜角.
当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它们的倾斜角是?0.（指出这里是“规定”）（注：得出定义时，先讲直线l与x x轴平行或重合的情况.让学生由此体会?0倾斜角补充定义的必要性与完美.）
②倾斜角的范围
引导学生观察图形，师利用直尺或圆规（此时让圆规的两脚成平角）演示，从动态的角度理解倾斜角的范围.
ⅰ.由平面几何的知识，使学生理解直线的倾斜程度与倾斜角的大小有严格的对应关系.
倾斜程度相同 ? 倾斜角相等
倾斜程度不同 ? 倾斜角不等
由以上可以得出结论：
可以用直线的倾斜角表示直线的倾斜程度.
ⅱ.引导学生由观察得出倾斜角的范围
（??180,0）的倾斜角补充?0[??180,0）
说明?≠180α的原因.
ⅲ.确定直线坐标平面内一点与直线倾斜角缺一不可.
设问：倾斜角是否可以确定直线位置？一点是否可以？
演示过一点或只有直线倾斜角时直线的位置情况，得出结论.
（注：倾斜角内容虽然简单，学生理解起来也不太难，但由于是理解斜率的基础，而且学生是第一次接触，所以实际上课不能太过草率，不能在基本概念上太过吝惜时间.）
2．斜率
①概念
过渡：上面由图形的角度刻画了直线的倾斜程度，反映在数上除了角的大小外，可否由其它确切的数据与之相对应呢？
回顾坡度的知识：
坡度坡底
坡高=i
利用坡度的知识引导学生思考坡面的倾斜程度，可以由坡度的大小来做比较.
（注：此处不宜纠缠，若学生懂则不需花过多的时间；若学生不懂，理解起来难度也不大，只起过渡作用，非本节重、难点，在此上面花时间不值得.）
引导学生发现：坡度在数值上等于坡角α的正切值.设想：是否可以用倾斜角的正切来刻画直线的倾斜程度？
由坡度的计算原理及实际的取值范围可知当倾斜角α是?0或锐角时是不存在问题的，那么如果角度是?90或钝角时可否也用正切来刻画直线的倾斜程度呢？
作正切函数在[??180,0）的图象，引导学生看图，在[??180,0）区间中，除?
90倾斜角的斜率不存在之外，其它情况下直线的倾斜角与其正切之间存在着一一对应的关系，实际上?90倾斜角斜率不存在之间也是一种一一对应的关系.可由图象得到以下结论： 坡
高 坡底 α
倾斜角为?0 0tan =α
倾斜角为?0～?90 0tan >α
倾斜角为?90 αtan 不存在
倾斜角为?90～?180 0tan <α 有这种一一对应关系，所以可以用αtan 来刻画直线的倾斜程度，实际上是建立了直线的倾斜程度与αtan 的对应关系.得出定义： 一条直线的倾斜角α的正切值叫这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即 αtan =k
倾斜角是?90的直线没有斜率.
（注：此处与教材安排有出入，个人认为教材直接给出定义不够严谨.坡角范围
[??90,0），而这里的倾斜角范围是[??180,0），直接得出有点牵强.另外，在讨论利用αtan 表示倾斜程度是否可行的时候由函数图象得出了倾斜角大小与斜率取值间的对应关系，可谓一举两得.）
另由前面对α取值范围的分析，不难有以下对应关系：
00=?=?k α 0)90,0(>?∈??k α
k ?=?90α不存在
0)180,90(
另由图象可知：R k ∈.
这样就建立了倾斜角与斜率的对应关系，如：3
3150,145-=?==?=??k k αα等. 也可由.的范围的取值知αk 如.90,;,2
1等不存在是锐角?==ααk k 一句话：斜率与倾斜角一样，反映了直线的倾斜程度，这样平面上的一个点与这条直线的斜率也可以确定直线的位置.
②过两点的直线的斜率的计算：
设问：斜率的得来是否纯粹依靠已知倾斜角的大小呢？
如果已知直线上的两个点是否可以呢？
当倾斜角为锐角时：
x
1
212tan tan x x y y k --====βαβ
α 当倾斜角为钝角时
121
22
11
2tan tan tan tan tan x x y y k x x y y k --=
-=--=-=-===γγγβαγ
β 当.,90;0,0不存在时时k k ?
?===αα
综上所述： 过两点))(,(),,(21222111x x y x P y x P =的直线的斜率公式 1
212x x y y k --= 提醒：①21x x ≠的原因：保证式子有意义；
②;,,,2121式子成立轴平行或重合时
与y y x P P = ③同时调整上式中.,,,22,11值无影响的位置时k y x y x
（注：本处斜率公式的得来是本节课的难点之一，课本上采用的是向量的方法，这样的证明是严谨而规范的，但尽管向量的知识并不难，得学生还是在上学期偿的，时间较长，可能有遗忘的现象，另外，此处虽是难点，但不是本节重点，而且公式在今后经常使用的过程中也可以让学生慢慢体会，2
1211212x x y y x x y y k --=--=本身也证明了21P P 的方向可变，所以在本处采取折衷的办法，只说明两种情况，不讨论21P P
的方向，先得出结论，确保本节的
2
y
2
y
重点突出，避免陷入传统几何学公理化方法烦琐的推理论证之中，舍本而逐末，个人以为此处不宜占用过多的时间.）
三．教学例题：
例1 已知点的斜率求直线AB B A )3,2(),4,5(--，判断直线的倾斜角是锐角还是钝角.
解：直线AB 的斜率 2135)3(4-=----=
k ∵02
1<-=k ∴直线AB 的倾斜角是钝角. （本题简单，但应给学生留下规范完整的解题过程.解完后作出草图验证，让学生体会解析几何的魅力。）
例2 在平面直角坐标系中画出过（3，2）且斜率为3的直线l .
解：设),(y x P 是直线l 上一点，根据公式有 33
2=--=x y k 可取.)5,2(),2,3(,)5,2(,5,2的直线即可作过上一点是即l P y x ==
（这两个例题是课本安排的样式，课本例1中要求三条直线斜率并判断倾斜角是锐角还是钝角，有重复之嫌，减之以提高效率；
课本例2要作四条直线，亦有重复之嫌，减之；而课本上是过（0，0），过于简单，改变点的位置，增加一点难度，避免重复，方法未变而又提高了效率，何乐而不为.）
例3（补） ),1(),6,(,m B m A m -经过两点为何值时的直线斜率是12？
分析：本题是教材九十八页习题3.1A 组第4题的第一小题，这里作为课堂例题的形式提供给学生，一方面是题型与前两题目不同，另一方面它的解题目思路与前面两个题目相反，避免了学生受前两个题目的影响，解题思路单一化，同时也为学生课后做作业扫清了障碍，充实了本节课的内容.
（如果前面能如愿突出重点，学生理解并掌握了倾斜角与斜率的概念，相互关系以及斜率的计算方法的话，虽有三个例题，但实际解决起来是很快的.）
三．课堂练习：
课本九十五页练习
（第1题生口答；第2题两生板演；第3题视时间情况生板演或口答；第四题只需学生答出在直线所找到的另一个特殊点即可.）
四．课堂小结
①倾斜角与斜率的概念
②倾斜角、斜率范围及相互间的对应关系
③过两点的直线的斜率的计算方法.
（总结时利用课堂上在黑板上留下的板书.让学生一目了然.）
五．学生作业
教材九十八页 习题3.1 A.2.3.4（2）
六．板书设计
七．思考： 1．已知)1,1()0,4(),5,2(--P B A 过点 的直线l 与线段AB 有公共点，求直线l 的斜率k 的范围；
2．已知)1,1()2,3(),3,2(P B A 过点--- 的直线l 与线段AB 有公共点，求直线l 的斜率k 的范围；
（本题的设计有两个目的，根据学生的接受情况，如果学生学有余力，把这两个题目做为例题，否则作为课外思考题，本题看起来简单且两个题目极为相似，但实际解题时有较大区别，可以培养学生数形结合的意识和习惯.）
“教无定法，大体须有”.教育的最终目的是让受教育者掌握知识，形成技能，最终成为对社会有用的人.
教学本身虽没有什么固定的规律可循，然而怎样合理运用教学手段与方法达到教育目的却是每一个教育工作者都必须要思考的问题，具体到这两年来的新教材试验来看，感触颇多.现就针对这节“直线的倾斜角与斜率”的教学实践粗浅谈一下在新课程改革的理念下对数学起始课教学的几点思考：
首先，我想讲的是针对于起始课的教学，要正确定位教材所教授内容在知识体系中的地位，注意知识间的衔接.既注意教材与前面已学内容的联系，又要注意教材为后序学习的铺垫.
例如在本节课的教学中，尽管直线是最常见的简单图形，初中几何对直线的基本性质也作了比较系统的研究.而且还利用对一次函数的学习较为细致的研究了直线的性质特征.高一又研究了三角函数和平面向量.这都为我们现在要教授的直线的方程埋下了伏笔.这节课是在以上所有铺垫基础上的知识的进一步提升了升华.而与此同时，直线又属于解析几何的基础知识.不但是进一步学习圆锥曲线及其它曲线方程的基础，又是今后学习导数、微分、积分等的首要前提,是开启今后的知识的钥匙，在许多实际问题的解决中有广泛的应用.我想我们这样定位了这部分内容的地位之后，我们对教材的处理就有了依据，比如我在处理这部分内容时，就考虑了一方面渺视它，另一方面又重视它.对直线确定的内容作了适当处理同时又根据这节课的重难点的关系对斜率的导出作了淡化.尽管我也知道它是难点，但是我想上一节课也和写一篇文章一样，不可能面面面俱到，必须抓住主要矛盾才行.
我想谈的第二点感受是：要用教材去教，而不是教教材.新课程改革带来了许多新的理念，在原有老教材的基础上进行了许多有益的
探索和尝试，反映在教材中就是出现了一些新的提法及教材顺序处理、难易处理的变化.我们先不要说这些改变是否一定是正确的.但是我想无论是成功还是失败，无疑为今后的数学教学提供了最宝贵的经验.从而使教材不断完善.在这么长时间新教材的试验过程中，我经常听到两个问题：一是反映教材的次序乱，另一个是反映有些倒题目、习题过于简单，学生听懂例题，会做习题，但在考试中却不能有较好的成绩，首先我要说的是在教材的使用中，我个人也感觉教材的编排顺序有一些不尽如人意的地方，但是从教材的总体脉络来看是清晰的.我们的老教材讲究的步步为营，稳步推进，强调知识严格的过渡衔接以及严谨的逻辑推理.体现知识分层推进的思想；而新教材则从人们认识规律出发，认为人认识客观世界遵循螺旋上升的原则，即重严谨规范的演绎推理，又提倡在特定条件下的合情推理.体现知识间平行推进的思想.这两者难免会有冲突！但如果说哪一种方式是绝对的好或不好，显然是比较草率的.另外，反映学生听懂课而不会解题的问题，我认为这本身并不是问题.听懂题目只要求学生掌握了知识，在老师的引导下由前提得到结论，学生不需要有解决问题的思维过程.虽然也是解题，但仍然是被动接受知识层面的，而做题是要学生自主探索，利用知识解决问题，是在掌握知识的层面的基础上，运用所学知识形成能力层面上的，对思维的要求是如此不同，又怎么可以归咎于教材呢？另外作为数学教育工作者，我认为不能简单把课本上的东西搬给学生完事，更重要的是要向学生展现思维的过程，不能被动的教教材.离了教材就没办法教书了.而是合理利用教材，把握教材。例如在本节课的教学中，在对斜率概念的导出、范围的讲解涉及过两点的直线斜率公式的导出以及例题的难易、个数等均做出了调整.这样无疑丰富了教学内容，提高了课堂教学的效率.让学生有了更大的收益.我想只有这样，才能从更高的层面把握教材，灵活运用教材，由
一个教学者成为一个教学研究者，而不是纯粹的教书匠.
第三，建构主义认为，尽管世界是客观的，但对这个世界的理解并赋予意义是每个人自己决定的，每个人都是利用自己头脑中已有的知识和经验来解释和解决现实生活中的问题.认为学生不是被动的信息的接受吸收者，而是积极主动的建构者.对于这一点我深有同感，我也认为个人对所接受的信息有一个主动处理的过程，从而构建自己的知识体系，因而在本节课的教学中，我着重于知识的展现过程，致力于知识形成过程的呈现.用知识作为载体，展示思维的始终.通过学生的主动吸收消化变为自己的知识与经验，最终实现由知识到技能的转变.形成分析问题、解决问题的能力.我反对把一些问题简单归类，让学生硬行记忆解题方法的教法.
总之，通过这一年多来利用新教材进行教学，特别是对这样的起始课的教学，感受颇多，由于时间关系不能畅谈，以上只是有关这个问题我个人最突出的几点感受，希各位领导同仁批评指正.
课件1 直线的倾斜角与斜率的关系 课件编号：ABⅡ－3－1－1． 课件名称：直线的倾斜角与斜率的关系． 课件运行环境：几何画板4.0以上版本． 课件主要功能：配合教科书“3.1.1倾斜角与斜率”的教学，探究倾斜角的范围以及直线的倾斜角与斜率的关系． 课件制作过程： （1）新建画板窗口．单击【Graph】（图表）菜单中的【Define Coordinate System】（建立直角坐标系），建立直角坐标系．选中原点，按Ctrl＋K，给原点加注标签，并用【Text Tool】（文本工具）把标签改为O． （2）单击【Graph】菜单的【Plot Points…】（绘制点），弹出“Plot Points”对话框，如图1，绘制固定点A（3，0），B（0，3），C（－3，0）． 图1 （3）依次选中点A，B，C，单击【Construct】（作图）菜单中的【Arc Though 3 Points】（过三点的弧），绘制半圆（图2）． 图2 （4）选中半圆，单击【Construct】菜单中的【Point on Arc】(弧上的点)在半圆上取一点，按Ctrl＋K，加注标签，并用【Text Tool】把标签改为P.
（5）选中半圆，单击【Display】（显示）菜单中的【Hide Art】（隐藏弧）隐藏半圆. （6）依次选中点O，A，P，单击【Construct】菜单中的【Arc On Circle】（圆上的弧），绘制圆弧，并单击【Display】菜单中的【Line Width】（线型）菜单中的【Thick】（粗线），单击【Display】菜单中的【Color】（颜色）菜单中的蓝色（图3）． 图3 （7）选中点O，P，单击【Construct】菜单中的【Line】(直线)绘制直线OP，并单击【Display】菜单中的【Line Width】菜单中的【Thick】，单击【Display】菜单中的【Color】菜单中的蓝色． （8）选中点P，单击【Edit】（编辑）菜单的【Action Buttons】（操作类按钮）中的【Animation】（动画），弹出对话框，如图4，单击【确定】，出现一个控制按钮，将按钮标签改为“移动点P”． 图4
课题8.2.2直线的倾斜角与斜率课型新授第几 课时 1 课 时 教 学 目 标（三维） 教学重点与 难点 1.掌握直线的倾斜角的概念，知道直线的倾斜角的范围． 2.理解直线的斜率，掌握过两点的直线的斜率公式，了解倾斜角与斜率之间的关系． 3.让学生从学习中体会到用代数方法解决几何问题的优点，能够从不同角度去分析问题，体会代数与几何结合的数学魅力． 教学重点： 直线的倾斜角和斜率． 教学难点： 直线的斜率 教学这节课主要采用讲练结合的教学法．本节首先通过观察同一坐标系中的两条直线引入了直 方法线倾斜角的定义，在明确了倾斜角范围后，定义了直线的斜率，最后讨论了直线斜率与直线上与两个不同点坐标之间的关系．直线的倾斜角和斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，手段是研究两条直线位置关系的重要依据，要引导学生正确理解概念． 使 用 教 材 的 构 想
α y ☆补充设计☆ 教师行为 学生行为 设计意图 导入; 教师提出问题，学生讨论回 引入本节 1．由一点能确定一条直线吗？ 2．观察并回答问题： y A 答． 课题． 由直观图 形引入问题，激 发学生学习兴 师：从图中可以看出，直线 趣． B C 1 AC 比直线 AB 更陡一些．在数学 －1 O 1 x 中，我们用倾斜角和斜率来衡量 在图中，直线 AB ，AC 都经过哪一点？ 直线相对于 x 轴的倾斜程度． 它们相对于 x 轴的倾斜程度相同吗？ 新课： 1．直线倾斜角的定义 一般地，平面直角坐标系内，直线向 上的方向与 x 轴正方向所成的最小正角α叫 做这条直线的倾斜角． y l α x O 特别地，当直线与 y 轴垂直时，规定 这条直线的倾斜角为 0?． 2．倾斜角的范围 0?≤ <180?． 3．直线斜率的定义 倾斜角不是 90?的直线，它的倾斜角的 教师对定义进行三方面的诠 释： （1）直线向上的方向； （2）x 轴的正方向； （3）最小的正角． 学生结合图形理解倾斜角的 概念． 教师强调与 y 轴垂直的直线 （包括 x 轴）的倾斜角． 教师强调倾斜角是 90?的直 明确直线 倾斜角的定义． 倾斜角与 正切值叫做这条直线的斜率，通常用 k 表 线的斜率不存在．应当使学生明 斜率的关系． 示，即 k ＝tan α． 练习一 已知直线的倾斜角，求对应的斜率 k ： （1）α＝0?； （2）α＝30?； （3）α＝135?；（4）α＝120?． 探究一 （1）由不同的两点 P 1(x 1， 1)和 P 2(x 2， y 2)能否确定一条直线？ 确所有的直线都有倾斜角，但与 x 轴垂直的直线的斜率不存在． 学生练习，教师巡视点评． 教师指明，当倾斜角是锐角 时，斜率 k 为正值；当倾斜角是 钝角时，斜率 k 为负值． 教师投影探究问题，学生分 使学生通 过练习感悟倾 斜角的变化对 斜率的影响．
直线的倾斜角与斜率说课 稿优质课 Prepared on 24 November 2020
《直线的倾斜角与斜率》教学设计 赵元超 尊敬的各位评委各位老师，大家好，今天我说课的题目是《直线的倾斜角与斜率》，我主要从以下六个方面进行分析，希望大家喜欢。 一：教材分析： 本节课是新人教版高一数学必修（2）的第三章第一节的内容，根据实际教学的安排，这是第一课时的内容。 1.内容分析：本节课主要有两个概念（直线的倾斜角、直线的斜率）及一个公式（斜率计算公式）。直线的倾斜角是从形的角度描述直线的倾斜程度，而斜率从数的角度描述直线的倾斜程度。这也是数形结合思想的体现。 我们都知道两点一线的事实，那么，如何用坐标法来描述这一过程呢因此，斜率公式的推出就是很自然的一件事情了。这也体现了我们的数学具有自然美这一特性。 2.作用分析 通过本节课的学习，初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法，培养学生对数形结合、分类讨论思想的应用知识，为后继判断两条直线的位置关系以及建立直线的方程等内容起着铺垫的作用。 二：学情分析 1.学生在初中阶段已经学习过了平面直角坐标系，学习过了一次函数、二次函数、反 比例函数等。 2.同学们已经知道了两点可以确定一条直线的基本事实。 3.同学们刚刚学完立体几何，对空间点线面的关系已经有了比较深入的了解。 三：目标分析 1.知识与技能 探索确定直线位置的几何要素，感受倾斜角这个几何量的形成过程，体会由生活中的坡度的概念抽象成数学中的斜率的过程经历直线斜率公式的推导过程，并会用斜率公式解决简单的问题。 2.方法与过程
本节课设计3个大问题23个小问题，层层深入，环环相扣，步步紧逼、使学生学会用探究式的方法来研究数学问题。 3.情感态度与价值观 通过斜率概念的构建和斜率公式的探究渗透数形结合、分类讨论的思想方法，体会数学的自然之美，和谐之美，有用之美；通过学生之间师生之间的交流合作，实现共同探究的目标，培养学生的合作意识。同时也是响应国家社会主义核心价值观进课堂的重要体现。 四：重难点分析 重点：直线的倾斜角和斜率概念，过两点的直线的斜率公式 难点：倾斜角为钝角时，斜率公式的推导。 五：教学过程分析： 1.故事引入，激发兴趣 本环节讲一个讲关于法国数学家、解析几何创始人笛卡尔的一个爱情故事。 笛卡尔穷困潦倒之际与一个瑞典的公主相爱了，就像所有的爱情故事一样，他不被丈母娘看好，所以只能以悲剧结束，或许，唯有如此才能流传千古吧。但是，故事的亮点并不在此，而是他在弥留之际写给心爱姑娘的最后一封情书竟然是一个数学公式。 P=a（1-sinb）。大家想知道这封情书的含义吗那么就学好解析几何吧。今天我们就来学习解析几何的初始内容，直线的倾斜角与斜率。 设计意图：以故事吸引学生，激发学生兴趣，引爆学习数学的小宇宙。 2.设计问题层层探究 本环节我设计了三个大问题，23个小问题，把本节课的所有内容串了起来。 思考1 在平面直角坐标系内如何确定一条直线 设计意图：通过前3个问题，引出倾斜角的概念，再用后五个问题，加深同学们对倾斜角概念的理解。让学生体会到几何问题的本质就是用代数的方法来研究几何问题。 思考2 生活中，还有没有其它表示倾斜程度的量 设计意图：本环节通过前两个问题生成斜率的概念，再用后面的6个问题加深对概念的理解。本环节通过把生活中的坡度转化为数学中的斜率，让学生体会数学源于生活，高于生活，数学是自然而然产生的。 思考3：已知直线上两点的坐标如何计算直线的斜率 设计意图：本环节设计7个子问题，引导学生自己探索，指导学生注意分类讨论时思维的严谨性，培养学生思维的严谨性，完备性。 就这样通过以上23个如此简单的问题在悄无声息中完成了知识的生成，思想的渗透，以及合作意识的培养。 3.例题分析加深理解
2014年全国中职学校“创新杯”教师信息化教学设计和说课大赛 8.2.1 直线的倾斜角与斜率 教学设计方案 2014年11月
《8.2.1 直线的倾斜角与斜率》教学设计方案 【授课对象】计算机网络专业二年级学生 【教材】《数学》（基础模块）下册（主编：李广全李尚志高等教育出版社出版）【教学内容】直线的方程——直线的倾斜角与斜率 【授课类型】课堂教学 【授课时间】1课时 【教材分析】 直线的倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是以坐标化（解析化）的方式来研究直线的相关性质的重要基础。直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要的作用。因此，正确理解直线斜率的概念，熟练掌握直线的斜率公式是学好这一章的关键。 【学情分析】 教学对象是计算机网络专业二年级的学生。他们思维活跃，勇于挑战，且具有一定的网络知识，但数学基础相对薄弱。在教学中，我力求将数学与专业相结合，充分利用《几何画板》等信息化手段去帮助学生理解、掌握本节课内容。 【教学目标】 根据中职数学新大纲的要求，结合学生的实际情况，确立了如下的教学目标： （一）知识目标 1. 理解直线的倾斜角和斜率的概念。 2. 掌握直线的斜率公式及应用。 （二）能力目标 通过经历从具体实例抽象出数学概念的过程，培养学生观察、分析和概括的能力。 （三）情感目标 通过合作探索，互相交流，增强团队意识，培养协作能力。 【教学重难点】 重点：直线的倾斜角和斜率的概念， 直线斜率公式及其应用； 难点：斜率公式的推导。
突破难点的关键：充分利用数形结合，并引导学生分类讨论问题。 【教学策略】 1．教学方法：问题探究法 课前下发导学提纲，学生预习提出问题，课上通过任务展示、问题交流、小组竞赛的形式引导学生自主学习。 2．学习方法：小组合作、自主探究 按照强弱搭配的原则将学生分为5个小组，通过讨论交流共同完成学习任务。 3．评价方法：综合评价 尊重学生个体差异，关注学习过程中学生的表现和变化，通过自评、互评和师评对学生进行全面动态的评价，使合作学习更加富有成效。 【教学设备】 多媒体投影仪，电脑，素描纸，展示板，自制教具。 【设计思路】 首先，通过生活实例，把数学植根于生活。教具的制作，锻炼了学生的动手能力和学习热情。通过课前导学及微课引导学生自主探究是完成教学任务的主要环节，课上再通过ppt、《几何画板》等信息化手段化解难点。
直线的倾斜角与斜率的教学设计 一、教学目标 1、探索确定直线位置的几何要素，感受倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过程。 2、通过教学，使学生从生活中的坡度，自然迁移到数学中直线的斜率，感受数学概念来源于生活实际，数学概念的形成是自然的，从而渗透辩证唯物主义思想。 3、充分利用倾斜角和斜率是从数与形两方面，刻画直线相对于x轴倾斜程度的两个量这一事实，渗透数形结合思想。 4、经历用代数方法刻画直线斜率的过程，初步掌握过已知两点的直线的斜率计算公式，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想。 二、教学重点与难点 重点：1、感悟并形成倾斜角与斜率两个概念； 2、推导并初步掌握过两点的直线斜率公式； 3、体会数形结合及分类讨论思想在概念形成及公式推导中的作用。 难点：用代数方法推导斜率的过程。 三、教学方法 计算机辅助教学与发现法相结合。即在多媒体课件支持下，让学生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现与形成过程，体验公式的推导过程，主动建构自己的认知结构。 四、教学过程 （一）创设情境，揭示课题 问题1、（出示幻灯片）给出的两点P、Q相同吗？ 从形的角度看，它们有位置之分，但无大小与形状之分。 从数的角度看，如何区分两个点？（用坐标区分） 问题2、过这两点可作什么图形？唯一吗？只经过其中一点（如点P）可作多少条直线？若只想定出其中的一条直线，除了再用一点外，还有其他方法吗？可以增加一个什么样的几何量？（估计不少学生能意识到需要有一个角） 由此引导学生归纳，确定直线位置可有两种方式 （1）已知直线上两点 （2）已知直线上一点和直线的倾斜程度 问题3、角的形成还需一条线，也就是说要有刻画倾斜程度的角，就必须还有一条形成角的参
课题：§3.1.1 倾斜角与斜率 一、课题介绍 内容选自人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修（二）第三章第1小节，教学课共分三个课时，本节课是第一课时，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、板书设计四个部分进行我的说课． 二、教材分析 1、地位及作用： 该节是继学了空间几何后学习用代数方法研究解析几何问题的第一堂课，直线的倾斜角与斜率是解析几何的入门课，担负着开启全章的重任．倾斜角是几何概念，它主要起过渡作用，是联系新旧知识的纽带；斜率不但是本节课的核心内容，更是整个解析几何的重要概念之一，也为后续学习微积分奠定了基础． 2、教学目标： 基于上述分析，结合数学课程标准的要求，考虑到学生已有的认知结构、心理特征，制定如下的三维目标： （1）知识目标：理解倾斜角和斜率的概念，掌握两点斜率公式及应用． （2）能力目标：通过坐标法的引入，培养学生观察归纳、对比、转化等辩证思维，初步感悟用代数方法解决几何问题的思想方法，提高抽象概括能力．（3）情感目标：通过主动探索、合作交流来感受数学学习的乐趣．鼓励学生积极、主动的参与教学过程，激发求知的欲望． 3、教学重难点： （4）重点：直线倾斜角和斜率的概念，两点斜率公式及其应用． （5）难点：斜率概念的理解，两点斜率公式的推导． 三、教学方法 本节课作为直线与方程的第一节起始课，需要建立概念模型．考虑到高一学生的认知结构，我以讲解法为主.为提高学生的参与度，让学生亲身体验知识的形成过程，以探究式教学法为辅．在教学过程中师生互动，小组讨论，借助多媒体，积极开展探究活动． 三、教学过程 教学过程中主要分为复习思考、探究新知、讲练结合、总结归纳、分层练习五个环节. 1、复习思考
直线的倾斜角与斜率的教学设计 进贤一中龚祝鹏 一、教学目标 1、探索确定直线位置的几何要素，感受倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过程。 2、通过教学，使学生从生活中的坡度，自然迁移到数学中直线的斜率，感受数学概念来源于生活实际，数学概念的形成是自然的，从而渗透辩证唯物主义思想。 3、充分利用倾斜角和斜率是从数与形两方面，刻画直线相对于x轴倾斜程度的两个量这一事实，渗透数形结合思想。 4、经历用代数方法刻画直线斜率的过程，初步掌握过已知两点的直线的斜率计算公式，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想。二、教学重点与难点 重点：1、感悟并形成倾斜角与斜率两个概念； 2、推导并初步掌握过两点的直线斜率公式； 3、体会数形结合及分类讨论思想在概念形成及公式推导中的 作用。 难点：用代数方法推导斜率的过程。 三、教学方法 计算机辅助教学与发现法相结合。即在多媒体课件支持下，让学生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现与形成过程，体验
公式的推导过程，主动建构自己的认知结构。 四、教学过程 （一）创设情境，揭示课题 问题1、（出示幻灯片）给出的两点P、Q相同吗？ 从形的角度看，它们有位置之分，但无大小与形状之分。 从数的角度看，如何区分两个点？（用坐标区分） 问题2、过这两点可作什么图形？唯一吗？只经过其中一点（如点P）可作多少条直线？若只想定出其中的一条直线，除了再用一点外，还有其他方法吗？可以增加一个什么样的几何量？（估计不少学生能意识到需要有一个角） 由此引导学生归纳，确定直线位置可有两种方式 （1）已知直线上两点 （2）已知直线上一点和直线的倾斜程度 问题3、角的形成还需一条线，也就是说要有刻画倾斜程度的角，就必须还有一条形成角的参照的直线。在平面直角坐标系下，以哪条轴线为基准形成刻画倾斜程度的角？（学生可能回答x轴或y轴）以x轴或y轴为基准都可以，习惯上我们用x轴。
“直线的倾斜角和斜率”说课稿 我说课的题目是人教版数学必修2第三章第一节直线的倾斜角与斜率，我把说课内容分成教材分析、教法学法分析、学情分析、教学过程分析和课堂意外预案五个部分。 一．教材分析 1．教材的地位： 直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是在平面直角坐标系内以坐标法（解析法）的方式来研究直线及其几何性质（如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等）的基础。 通过该内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程，初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。本课有着开启全章，承前启后，奠定基调，渗透方法的作用。 2、教学目标 （1）知识目标 理解直线的倾斜角和斜率的定义，用代数方法刻画直线斜率的过程及掌握过两点的直线的斜率计算公式 （2）能力目标 引导学生观察探索发现，培养学生的探索创新能力 （3）德育目标 通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究的目标。并体验认识事物的一般规律：从特殊到一般的过程
3、教学重点与难点分析 重点：理解直线的倾斜角和斜率的概念， 经历用代数方法刻画直线斜率的过程， 掌握过两点的直线的斜率的计算公式 难点：斜率公式的推导 关键：借助几何画板演示和对斜率公式的形成过程的讨论，来突破难点二、教法学法分析 （1）教学方法 观察发现、启发引导、演示实验、探索交流相结合的教学方法 （2）教学手段 通过操作运用几何画板绘制直线（形），并测算相关的角度，来探求刻画直线的要素，通过猜想、证明斜率与倾斜角的关系，充分发挥学生的主体地位。 （3）学法分析 类比、联想，产生知识迁移；观察、实验，体验知识的形成过程；猜想、求证，达到知识的延展.为了有效实现教学目标，考虑到学生的知识水平和理解能力，借助计算机工具和现实生活中的相关实物图片，从激励学生探究入手，讲练结合，直观演示，使教学更富趣味性和生动性。 三、学情分析
课题：§3.1.1直线的倾斜角与斜率 夏春艳 各位老师大家好！ 我说课的内容是必修2第三章第一节直线的倾斜角与斜率。下面我分别从教材分析、学情分析与目标设置、教法和学法以及教学过程四个环节谈一谈我对本节课的理解和处理。 （一）教材分析 在欧氏几何中，我们用点、线、面的关系研究图形的性质。解析几何是借助坐标系用代数方法研究几何问题，通过代数运算的结果反馈几何图形的性质。直线的倾斜角和斜率是解析几何的第一课，担负着为全章开篇的重任。本节课有两个概念――倾斜角和斜率。倾斜角是几何概念，把这个几何特征代数化，引出斜率，完成数到形的过渡，为后续的用方程表示直线，并借助方程研究直线的位置关系奠定基础。也为整个解析几何奠基。 （二）学情分析与目标设置 高一学生通过初中的学习，已经具备了直角坐标系的相关知识，也具备一定的数形结合的能力，因此有些问题可以大胆的放手让他们自己去探究。但概念的形成、发展和应用过程，要过渡自然，让学生感受而不是接受。 结合高中数学课程标准和教材，考虑到学生的认知规律，将制定学习目标及重点和难点如下 【知识与技能目标】 理解倾斜角和斜率的概念，掌握两点的斜率公式，初步体会用代数方法解决几何问题的思想方法，提高抽象概括能力。 【过程与方法目标】 通过经历从具体实例抽象出数学概念的过程，培养学生观察、分析和概括的能力，体会几何问题代数化的思想方法。 【情感态度与价值观目标】 通过合作探索，互相交流来感受数学学习的乐趣。通过斜率的小故事培养学生顺境不盲目乐观，逆境不绝望放弃的意志品质。 【重点】直线的倾斜角和斜率概念的理解，掌握过两点的直线斜率公式。 【难点】两点斜率公式的推导，斜率与倾斜角的关系。 （三）教法和学法 【教法】应用多媒体设备和几何画板软件直观演示法，引导发现法，设疑讨论法等教学方法。 【学法】以促进学生发展为出发点，着眼于知识的形成和发展，多给学生操作与思考的空间。（四）教学过程 1.整体思路 新课程的基本理念指出，教师应该是教学的引导者。所以要让学生成为课堂的主角，通过预习指导和小组合作学习，我相信本课大多数内容学生能够自主掌握，所以主要由学生自己展示探究的成果，师生共同总结。 2.小组活动安排 一组：（针对学案上如下问题完成展示） 1、过点P作直线束，这些直线的区别在哪？ 2、我们用什么表示直线的倾斜程度？你能给出它的定义和范围吗？请加以解释。 3、平面直角坐标系中，哪些条件能确定一条直线？本质上一样吗？ 师生共同总结：平面直角坐标系中，一条直线位置的几何要素是直线上一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可。 二组：（针对学案上如下问题完成展示） 1、生活中用什么表示倾斜程度？请结合图例加以说明。
直线的倾斜角和斜率讲义 复习引入： 在初中，我们已经学习过一次函数，并接触过一次函数的图象，现在，请同学们作一下问顾： 1.一次函数的图象特点：一次函数形如y = kx + b,它的图象是一条直线. 2.对于一给定函数y = 2x + l,作出它的图象的方法：由于两点确定一条直线，所以在直线上 任找两点即可. 3.这两点与函数式的关系：这两点就是满足函数式的两对值. 因此，我们可以得到这样一个结论：一般地，一次函数y = /a + b的图象是一条直线，它是 以满足y = kx + b的每一对的值为坐标的点构成的. 由于函数式y =奴+。也可以看作二元一次方程.所以我们可以说，这个方程的解和直线上的 点也存在这样的对应关系. 有了上述基础，我们也就不难理解“直线的方程”和“方程的直线”的基本概念， 知识要点： 一、直线方程的概念：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线， 在平面直角坐标系中研究直线时，就是利用直线与方程的这种关系，建立直线的方程的概念，并通过方程来研究直线的有关问题.为此，我们先研究直线的倾斜角和斜率， 二、直线的倾斜角与斜率： 1、倾斜角的定义：在平面直角坐标系中，对于-?条与x轴相交的直线，如果把工轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为Q ,那么Q就叫做直线的倾斜角. 2、倾斜角的范围：当直线和尤轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0° . 因此，根据定义，我们可以得到倾斜角的取值范围是0° WQV180。， 3、斜率的定义：倾斜角不是90。的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用化表示.倾斜角是90。的直线没有斜率. 关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的： A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率； B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大； C.平行于尤轴的直线的倾斜角是0或兀； D.两直线的倾斜角和等，它们的斜率也和等. E.直线斜率的范围是（一8, +8）. 辨析：上述说法中，E正确，其余均错误，原因是：A.与x轴垂直的直线倾斜角为兰，但斜2率不存在；B.举反例说明，120。>30°，但tanl20（,=-V3 倾斜角与斜率 （一）教学目标 1．知识与技能 （1）正确理解直线的倾斜角和斜率的概念. （2）理解直线倾斜角的唯一性. （3）理解直线斜率的存在性. （4）斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式. 2．过程与方法 引导帮助学生将直线的位置问题（几何问题）转化为倾斜角问题，进而转化为倾斜角的正切即斜率问题（代数问题）进行解决，使学生不断体会“数形结合”的思想方法. 3．情感、态度与价值观 （1）通过直线倾斜角的概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力. （2）通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合的思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神. （二）教学重点与难点 直线的倾斜角、斜率的概念和公式. （三）教学方法 备选例题 例1 求下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角. （1）(1，1)，(2，4)； （2）(–3，5)，(0，2)； （3）(2，3)，(2，5)； （4）(3，–2)，(6，–2) 【解析】（1）41 3021 k -==>-，所以倾斜角是锐角； （2）25 100(3) k -= =-<--，所以倾斜角是钝角； （3）由x 1 = x 2 = 2得：k 不存在，倾斜角是90° （4）2(2) 063 k ---= =-，所以倾斜角为0° 例2 已知点P (点Q 在y 轴上，直线PQ 的倾斜角为120°，则Q 点的坐标为 . 【解析】因为点Q 在y 轴上，则可设其坐标为(0，6) 直线PQ 的斜率k = tan120°= ∴ k == ∴b = –2，即Q 点坐标为(0, 课题：直线的倾斜角和斜率 教材：普通高中课程标准实验教科书（人教版）数学第3章第1节 一、教学目标： 1、知识与能力： (1)理解直线的倾斜角和斜率的概念. (2)掌握过两点的直线的斜率公式，会求直线的斜率和倾斜角. (3)理解直线的倾斜角和斜率之间的相互关系. 2、过程与方法： (1)经历直线倾斜角概念的形成过程，理解直线倾斜角和斜率之间的关系. (2)从数与形两方面让学生明白，倾斜角和斜率都是刻画直线相对于x轴的倾斜程度.渗透数形结合思想. (3)通过问题，层层设疑，提高学生分析、比较、概括、化归的数学思维能力,使学生初步了解用代数方程研究几何问题的思路. 3、情感态度与价值观： 1．从生活中的坡度，自然迁移到数学中直线的斜率，让学生感受数学来源于生活，渗透辩证唯物主义世界观. 2．帮助学生进一步了解分类思想、数形结合思想，在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体现数、形的统一，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、勇于创新的精神. 二、教学重点： 直线的倾斜角和斜率的概念，直线的斜率公式推导和应用. 三、教学难点： 倾斜角概念的形成，斜率公式的推导 四、教学方法与手段： 计算机辅助教学与发现法相结合.即在多媒体课件支持下，创设情境问题，层层设疑，制造认知冲突，引发争论，让学生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现与形成过程，体验公式的推导过程，主动建构自己的认知结构. 【教学过程】 一、知识导入 在初中，我们学过了函数的图象，知道在直角坐标系中，点可以用有 序实数对) x来表示和确定.那么直线呢？在平面直角坐标系中， (y , 问题：经过一点P的直线L的位置能确定吗? 预案：不能.如图, 过一点P就可以作无数多条直线.那么， 问题：这些直线之间又有什么联系和区别呢? 短暂思考和讨论后，学生可以回答 预案：(1)它们都经过点P.(2)它们的“倾斜程度”不同. 那么，我们应该怎样描述这种不同直线的“倾斜程度”呢？ 〖设计意图〗学生刚刚学完立体几何，对解析几何已经有些陌生.所以从简单问题入手，便于 激发学生学习热情，同时又能引入倾斜角的概念，起到承上启下的作用. 二、知识探索 直线的倾斜角和斜率教案 1 教学内容分析 1.1教学内容 本节课讲的是北师大版必修二第二章的第一节第一课时的内容，主要学习直线的倾斜角和斜率的概念以及过两点的斜率公式. 1.2教材所处地位及前后的联系 本节内容是高中解析几何内容的重点，涉及的直线倾斜角，斜率是解析几何中的重要概念。这些概念的学习初步渗透了解析几何的基本思想和基本研究方法。本节内容的学习，为进一步学习圆锥曲线方程、导数等知识做好了铺垫；为最终通过解决代数问题来解决几何问题打下基础。 2教学目标 2.1知识目标 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式。 2.2能力目标 通过学习直线的倾斜角和斜率有关的概念，培养学生的数学理解能力；通过对斜率公式的推导，增强学生运用坐标法解决几何问题的能力；通过练习增强学生分类讨论的意识。 2.3情感、态度与价值观 学生通过主动探究，合作学习，相互交流，增强学生的数学应用意识，提高学生数学思维的情趣，给学生成功的体验，强化学生参与意识与主体作用. 3学情分析 3.1认识结构 经过半年多时间的学习，学生对数学概念及思维方法的认识水平有了较大提高.但不同层次的学生之间仍存在着较大的差距，尤其表现在对知识的探究、联想、迁移能力上.在新课中，运用了生活中的实例，多媒体动画效果，引导学生思维的“上路”，让学生主动参与探究过程. 3.2情感结构 随着年龄的增大，阅历的丰富，高中学生自主意识的增强，有独立思考问题、发现问题的能力.在学生的探索活动中，主动通过设疑、质疑、提示等启发示手段，帮助他们分析问题，激发学生的学习的兴趣. 4 教学重点、难点分析 4.1教学重点 直线的倾斜角和斜率的概念。 4.2教学难点 斜率概念的理解和过两点的直线斜率计算公式的推导。 5教学方法 本节课主要是教给学生“动手、动眼、动脑、动口”的研究式学习方法，增加学生自主参与，合作交流的机会，教给学生获取知识的途径，思考问题的方法，使学生真正成为教学的主体。 6 教学手段 多媒体教学 7 教学过程 7.1创设情境引入新课 带领学生欣赏李白《蜀道难》中的诗句“蜀道之难难于上青天”，“黄鹤之飞尚不得，猿 普通高中课程标准实验教科书（北师大版） 数学必修2第二章第二节 直 线 的 倾 斜 角 和 斜 率 尝 试 探 究 形 成 概 念 问题：怎样才能确定直线的问置？ 一点＋倾斜角（直线的方向）确定一条直线（两都缺一不可） 思考:在日常生活中，有没有表示倾斜程度的量？ （让学生举例） 如图:在日常生活中，我们常用坡面的铅直高度与水平长度（升高量与前进量）的比，表示倾斜面的坡度（倾斜程度）。 坡面与地平面所成的角不变的情况下，升高量和前进量都在 变化，那么你认为这个角的变化与升高量和前进量之间究竟 是怎样的关系？能不能用一个数学式子来表示它们之间的 关系？ 前进量 坡度比＝前进量 升高量 例如:进2升3与进2升2比较 2、 直线斜率的概念 一条直线倾斜角 的正切值叫这条直线的斜率（slope ）,通常用小写字母k 表示。 090tan k 给出生活中的实例,给学生感性认识，点燃学生的思维火花，观察分析并抽象概括出直线位置如何确定. 确定直线位置几何要素转化为代数化 升 高 量 尝 试探究形成概念对 取不同的范围进行分析k的取值情况。 3、直线的倾斜角与斜率之间的关系 直线情况 平行于 情况 由左向 右上升 垂直于x 轴 由右向左 上升 的大小 k的情况 k的增减性 4、两点确定直线的斜率 已知两点), )( , ( ), , ( 2 1 2 2 2 1 1 1 x x y x p y x p 则由这两点确定直 线的线率? k 课本上是用坐标法推导的，分两种情况: 让学生课前预习，这里用向量法推导 ① 2 1 p p方向向上② 1 2 p p方向向上 1 2 1 2 x x y y k 让学生掌握公式记忆 注意：①当直线与x轴平行或重合时，0 k ②当直线与y轴平行或重合时，k不存在 为有利于调动学 生学习的积极 性，加深对两者 关系理解，通过 用几何画板演示 倾斜角与斜率之 间关系，给学生 直观认识，降低 学习的难度 课本中是用坐标 法去推导两点直 线的斜率,学生课 前预习易掌握,在 证明过程中用向 量法来推导两点 确定直线的斜率, 比较两种方法解 题思路不同. 0 x y 直线的倾斜角和斜率(3.1.1) 教学目标: 知识与技能 (1)正确理解直线的倾斜角和斜率的概念． (2)理解直线的倾斜角的唯一性. (3)理解直线的斜率的存在性. (4)斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式． 情感态度与价值观 (1)通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭 示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流 与评价能力． (2) 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形 结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科 学态度和求简的数学精神． 重点与难点:直线的倾斜角、斜率的概念和公式. 教学用具：计算机 教学方法：启发、引导、讨论. 教学过程： （一）直线的倾斜角的概念 我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点P的直线l的位置能确定吗? 如图, 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢? (1)它们都经过点P. (2)它们的‘倾斜程度’不同. 怎样描述这种‘倾斜程度’ 的不同? 引入直线的倾斜角的概念: 当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角 ．．．.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°. 问: 倾斜角α的取值范围是什么? 0 °≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°. 因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度,引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度. 如图, 直线a∥b∥c, 那么它们Y X c b a O 的倾斜角α相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线. 确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点 ．．．P．和一个倾斜 ．．．．． 角α ．．. (二)直线的斜率: 一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tanα ⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在. 例如, α=45°时, k = tan45°= 1; α=135°时, k = tan135°= tan(180°－45°) = - tan45°= - 1. 学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度. (三)直线的斜率公式: 给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率? 可用计算机作动画演示: 直线P1P2的四种情况, 并引导学生如何作辅助线, 共同完成斜率公式的推导.(略) 斜率公式: 3.1.1倾斜角和斜率 一、教学目标： ⒈知识与技能目标： (1)正确理解直线的倾斜角的概念与它的取值范围及直线的倾斜角的唯一性； (2)理解直线的斜率的概念与倾斜角与斜率的关系； (3)理解直线的斜率的存在性； ⒉过程与能力目标： ⑴经历倾斜角与斜率的形成过程，感受分类讨论的思想； ⑵经历代数的方法刻画直线斜率的过程，感受解析几何的基本方法； ⑶初步体验坐标法，感受数形结合的思想。 通过直线倾斜角概念的引入和直线的倾斜角与斜率的关系的揭示，培养学生的观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力。 ⒊情感、态度与价值观目标： (1) 通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生 观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力； (2) 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想， 培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精 神． 二、教学重难点： 教学重点：直线的倾斜角与斜率的概念； 教学难点：斜率概念的学习。 三、教学用具：多媒体教学设备、黑板． 四、教学方法：启发、引导、讨论.教学过程中，在教师的引导与组织下，鼓励学生自主探索与合作交流，通过教师创设适当的问题情境，使学生发现教学的规律和问题解决的途径，让他们经历知识形成的过程。 五、教学过程： （一）导入新课： 我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线．那么, 经过一点P作直线能作出多少条直线? 如图, 过一点P可以作无数多条直线，显而易见,答案是否定的.这些直线区别 在哪呢? x （二）讲授新课： 引导学生观察得到它们的“倾斜程度”不同．那么怎样描述这种“倾斜程度”的不同?从而引入直线的倾斜角的概念. ⒈直线的倾斜角： 当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的 角α叫做直线l的倾斜角 ．．．.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定 = 0°. 《直线的倾斜角与斜率》说课稿· 我说课的内容是人教A版必修2第三章第一节直线的倾斜角与斜率第一课时。下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学方法、教学过程以及反思六个环节谈一谈我对本节课的理解和处理。 一、教材分析 1．教材的地位 直线的倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，也是直线的重要的几何要素。学生在原有的对直线的有关性质及平面向量的相关知识理解的基础上，重新以坐标化的方式来研究直线相关性质，而本节直线的倾斜角和斜率，是直线的重要的几何性质，是研究直线的方程形式，直线的位置关系等的思维的起点;另外，本节也初步向学生渗透解析几何的基本思想和基本方法。这节知识是之后学习直线与直线、直线与圆，直线与圆锥曲线位置关系的基础，也是后续学习微积分的基础。因此，本节课的有着开启全章，奠定基调，渗透方法，承上启下的作用。2．教材的布局 教材首先是以一个探究在平面直角坐标系一条直线如何确定的思考题引入的，过一点有无数条直线，让学生发现这些直线之间的区别。然后引出直线的倾斜角的概念以及倾斜角的取值范围。然后利用日常生活中的坡度概念，自然引出直线斜率的概念。然后是探究如何由直线上两点的坐标求直线的斜率，讨论两点的位置情况，最后推导出斜率公式。最后是直线的倾斜角与斜率的应用。 3．教学重点 根据以上分析，我觉得教学的重点是斜率的概念，公式推导以及应用。 二、学情分析 在初中时，学生已经学过一次函数是一条直线，知道找到直线的两个点，然后连线就可以得到这条直线的图像。对解析几何已经有了初步的认识，这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础，但是他们的动手操作能力不强，抽象概括能力，推理能力还不够，所以接下来要引导学生思考问题，深入浅出地分析。 根据以上分析教学难点为：斜率公式的推导 三、教学目标 1.通过探究知直线上一点如何确定一条直线，理解倾斜角的概念。让他们经历发现问题和解决问题的过程。 2.通过工程领域坡度的概念，并结合三角函数正切的定义，理解斜率的定义。让他们感受类比的思想方法在解决问题的作用。 3.通过分组探究知一条直线两个点求斜率，推导斜率公式，掌握斜率公式。让学生感受公式的发生、发展和结果，体验获得成功的喜悦。 四、教学方法 观察发现、启发引导、探索实验相结合的教学方法。启发引导学生积极的思考并对学生的思维进行调控，使学生优化思维过程；在此基础上，通过学生交流与合作，从而扩展他们自已的数学知识和使用数学知识及数学工具的能力，实现自觉地、主动地、积极地学习。 五、教学过程 根据本节课的内容，我把本节课的内容分为以下四个环节：创设情境、概念引入、深入研究、小节归纳。 直线的倾斜角与斜率讲义 一引入直线的倾斜角的概念: 当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角 ．．．.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°. 问: 倾斜角α的取值范围是什么? 0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°. 因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度. 如图, 直线a∥b∥c, 那么它们 的倾斜角α相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线. 确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点 ．．．．．．．. ．．．P．和一个倾斜角α (二)直线的斜率: 一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tanα ⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在. 例如, α=45°时, k = tan45°= 1; α=135°时, k = tan135°= tan(180°－ 45°) = - tan45°= - 1. 学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度. (三) 直线的斜率公式: 给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率? 可用计算机作动画演示: 直线P1P2的四种情况, 并引导学生如何作辅助线, 共同完成斜率公式的推导.(略) 斜率公式: 对于上面的斜率公式要注意下面四点： 直线的倾斜角和斜率 一、教学目标 知道一次函数的图象是直线，了解直线方程的概念，掌握直线的倾斜角和斜率的概念以及直线的斜率公式．通过对研究直线方程的必要性的分析，培养学生分析、提出问题的能力；通过建立直线上的点与直线的方程的解的一一对应关系、方程和直线的对应关系，培养学生的知识转化、迁移能力． 二、教学重点、难点 1．重点：直线的倾斜角和斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，是研究两条直线位置关系的重要依据，要正确理解概念。 2．难点：一次函数与其图象的对应关系、直线方程与直线的对应关系是难点。斜率的概念和公式。 三、教学方法 启发、思考、问答、讨论、练习。 四、教学过程安排 (一)复习一次函数及其图象 已知一次函数y=2x+1，试判断点A(1，2)和点B(2，1)是否在函数图象上． 初中我们是这样解答的： ∵A(1，2)的坐标满足函数式， ∴点A在函数图象上． ∵B(2，1)的坐标不满足函数式， ∴点B不在函数图象上． 现在我们问：这样解答的理论依据是什么？(这个问题是本课的难点，要给足够的时间让学生思考、体会．) 讨论作答：判断点A在函数图象上的理论依据是：满足函数关系式的点都在函数的图象上；判断点B不在函数图象上的理论依据是：函数图象上的点的坐标应满足函数关系式．简言之，就是函数图象上的点与满足函数式的有序数对具有一一对应关系． (二)直线的方程 引导学生思考：直角坐标平面内，一次函数的图象都是直线吗？直线都是一次函数的图象吗？ 一次函数的图象是直线，直线不一定是一次函数的图象，如直线x=a连函数都不是．一次函数y=kx+b，x=a都可以看作二元一次方程，这个方程的解和它所表示的直线上的点一一对应． 以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解．这时，这个方程就叫做这条直线的方程；这条直线就叫做这个方程的直线．上面的定义可简言之：(方程)有一个解(直线上)就有一个点；(直线上)有一个点(方程)就有一个解，即方程的解与直线上的点是一一对应的． 显然，直线的方程是比一次函数包含对象更广泛的一个概念． (三)进一步研究直线方程的必要性 通过研究一次函数，我们对直线的方程已有了一些了解，但有些问题还没有完全解决，如y=kx+b中k的几何含意、已知直线上一点和直线的方向怎样求直线的方程、怎样通过直线的方程来研究两条直线的位置关系等都有待于我们继续研究． (四)直线的倾斜角《倾斜角与斜率》教学设计(优质课)
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