1：设函数1() 2 (x) =1-x f ，求：1 (()), () ()f x f x f f 。
2、已知220ln(1)()
lim
2x x ax bx x →+-+=，则常数a = ，b = . 3、设函数()f x 在区间[2,2]-上连续，则2
3
2(
)2
x x
e e x
f dx --+=? . 4、极限01
lim sin
x x x
→= .
5、已知(2)1f '=，则0(2)(2)
lim
x f x f x x
→+--= . 6、设()f x 为连续函数， 22 0
()()()x
x x t f t dt Φ=
-?
，则()x 'Φ= .
7、设121111
2,2,,2n n
x x x x x +==-=-
求： lim n n x →∞
（答案：1）
8、设11
2111,1,,111n n n
x x x x x x x +==+=+++ ，求： lim n n x →∞
（答案：1 2 ） 9、
求极限：0
x →（答案：1）
10、
求极限：1 x →（答案：1
!
n ） 11、求极限：2
2
22
00
23 ()lim
x t x t x e dt e dt
→∞
??
（答案：0）
12、求极限：2
2
20
(1)lim
x
t
x x t e dt
x
-→+∞
+? （答案：
1
2
） 13、求极限：2
2
1lim(
cot )x x x →- （答案：23
） 14、求极限：2
1
lim[ln(1)]x x x x →∞-+ （答案：12
）
15、求极限：2
10 arcsin lim()x x x x
→ （答案：1
6e ）
16
、求极限：0
lim [arctan(x x +
→ （答案：
0）
17、 讨论：
1 , 1()cos
, 12
x x f x x
x π?->?=?≤?? 的连续性。 18
、讨论函数
()n f x =(0)x ≥。
19、设函数：
20(1cos()) , 0() 8 , 0bsin() , 0x
t
a x x x f x x x e dt
x x ?
-?>??
==??+?
?
? 连续，确定常数 , b a 。
（答案：7,16b
a ==）
20、设函数
()f x 有连续的导数，(0)0 , (0) f f b '==
若函数
()sin()
, 0() , 0
f x a x x f x x
A x +?≠?
=??=? 在0 x =处连续，确定常数A 。 （答案：A b a =+）
21、 设2
2
20
ln(1)()
lim
3 x x t x ax bx e dt
→+-+=?
，试确定,a b 的值。
（答案：7
,12
b a =-=） 22 、设0 ()
ln[1]
tan(2)
lim 5 21
x x f x x →+
=-，求：20 ()lim x f x x → （答案：10ln 2） 23
、已知0
lim 1 ax x →=-，求： a 的值（答案：2-）
24 、 设()f x 连续，且(1)1f =，求极限：11
21
()lim
1
x x f xt dt x →-?（答案：1
2
-）
25、计算下列各题：
（1）6x x-11 2lim() 1x x x →+（3
e ） （2）n 1 1lim[ ] 2(12)
n
n k k →∞
=+++∑ （1e -）
（3）1
x
0 (1) -e lim x x x →+（2e -） （4）2
2
x
-t 0
-x 0 e lim 1e
x x dt →-?（1） 26、求极限：2
220
4
(1)lim
(arctan )x
t x e t dt x x →-+? （答案：4
5
）
27
、求极限：2 lim x
（答案：2-）
28、求极限：22 lim
23x x
x x
x e e e e -→+∞++ （答案：
12
） 29
、求极限：32
lim x x →+∞-+ （答案：1
4
-）
30、设：
()f x '连续，(0)0,(0)0f f '=≠，求极限：2
00
20
()lim
()x x
x f t dt
x f t dt
→?
?（答案：1）
31、确定下列各题中的常数,a b ：
① 设
：)0x ax b →∞
-+= （答案：1,0a b =-=）
② 设
：
lim (32x x →+∞
-= （答案：9,12a b ==-）
③ 设 ：5
4lim[(42)]a x x
x x b →∞
+--= （答案：14
,55
a b ==）
32、设
() f x 在(,)-∞+∞上有定义，且(0) =a(a 0)f '≠。又对,(,)x y ?∈-∞+∞有
()()
() 1()()
f x f y f x y f x f y ++=-，求函数() f x 。 （答案： tan()ax ）
33、设
()
f x 在
(0,)
+∞上有定义，且
(1) =a(a 0)
f '≠。又对
,(0,)
x y ?∈+∞有()()() f xy f x f y =+，求函数() f x 。 （答案： ln a x ）
34、设
()f x 在[0,2]上连续，在(0,2)内二阶可导，且1
(0)()02
f f ==，
1
12
2()(2)f x dx f =?，证明：?一个(0,2)ξ∈使()0f ξ''=。
35、设()f x 在[,]a b 上可导，且()()0f a f b +-''< ，则：?一个(,)a b ξ∈使()0f ξ'=。 36、设
()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，其中0a >且()0f a =，证明：至少?一个
(,)a b ξ∈使()()b f f a
ξ
ξξ-'=。 37、设0,b
a >>()f x 在[,]a
b 上连续，在(,)a b 内可导，证明：至少?一个(,)a b ξ∈ 使
2
()()()()
()af b bf a f f ab b a ξξξξ
'--=-。 38、设
()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0f =，当(0,1)x ∈时，()0f x ≠，证明：
对一切自然数n ，在(0,1)内至少?一个ξ使
()(1)
()(1)
nf f f f ξξξξ''-=
-。 39、设
()f x 在[0,)+∞上可导，且2
0()1x
f x x ≤≤
+，
证明：至少?一个(0,)ξ∈+∞，使
2
22
1()(1)
f ξξξ-'=+。 40、求数列32(1)(1)n n ??+??-??
的最小项的项数及该项的数值。27
2
41、 设函数()f x 满足方程11
()4()f x f x x
+-=，求函数()f x 的极大值和极小值。
提示：
11
()(4)15f x x x
=-+，1414()()215215f f =--=极大值 , 极小值
42、设
()f x 在[0,1]上连续，且()1f x <，
证明：方程0
2()1x
x f t dt -=?
在(0,1)内只有一个根。
43、设
()f x 在(,)-∞+∞上正值的连续函数，证明：
()() , [,] (>0) a
a F x x u f u du a a a -=--?在(,)-∞+∞上是凹的。
44、设
()f x 为奇函数，且当0x <时，()0 , ()0 f x f x '<≥，
令1
221
()
()() x
F x f xt dt tf t x dt -=+-??，证明：()F x 在(,)-∞+∞上是凸的。
提示： 因为为奇函数1
2221
()0 ()()2()0f t dt F x f x x f x -''''∴
==---
45、曲线2cos t
t
x e xin t
y e t
?=??=??在点(0,1)处的切线方程为： 112y x =+ 。 46、设对任意实数x 值有()[()1]f x x f x ''-=-，且(0)0f =，求()f x 的极值。(0)0f =为()f x 的极小值，
1(1)ln 2124
f π
-=
+-为()f x 的极大值 47、过抛物线2
y x =上一点2
(,)P a a 作切线，问a 为何值时，所作的切线与抛物线2
41y x x =-+-所围成
的面积最小。（面积=4
3
S =
） 48、设函数()f x 满足方程2
17
3()4()0f x x f x x
+-+
=，求()f x 的极大值和极小值。
f =
` (f =-极大值`
49、证明：当3(0,)2x π∈时，不等式22
sin cos x
x x
>成立。 提示与答案：当13[,]22x ππ∈时，不等式22
sin cos x
x x >显然成立。下面证明：
1(0,)2x π∈ 令22
sin ()cos x
f x x x
=-，两次导数后，就可以看出来。 50若()f x 的一个原函数为arctanx ，则2
(1) xf x dx -=?
（ ）
A 、2(1)arctan x C -+；
B 、2
(1)x arctan x C -+ ； C 、21(1)2arctan x C -
-+ D 、2(1)2
x
arctan x C --+。 提示与答案：作变换2
1 u x =-，答案C 。
51、设2
2
2(1)ln 2
x f x x -=- ，且(())ln f x x ?=，求：()x dx ?? (2ln 1)x x C =+-+
52、设() f x 在[1,)+∞上连续，且() >0f x ，求积分
122
()[(ln )(ln )]() , 1x
F x x t f t dt x x t
=+-+≥?的最小值。()F x 的最小值(2)F 。
53、设() f x 在[,]a b 上连续，[,] x a b ∈，证明：01lim [()()]() ()x
a
h f t h f t dt f x f a h →+-=-?
54、求定积分：
4
22
1
(3) 1x x dx x
--+
+?
55、求定积分：
32
2
(52) x x dx -+-? （答案：1346
） 56、求定积分：2ln 2
2ln 2tan 169x x chx
dx sh x -++? （原式
19arctan()616
=） 57、设函数()f x 在[0,1]上连续，且()f x 非负，证明：存在一个0(0,1)x ∈，使得0
1
00()()x x f x f x dx =
?
58、设函数()f x 在[,]a b 上连续，且()0f x >，证明：在(,)a b 内至少存在一个ξ，使得
1()()()2
b
b
a
a f x dx f x dx f x dx ξ
ξ
==
?
?? 59、设函数()f x 在[,]a b 上连续，且()f x 在关于2
a b
x +=
对称的点处有相同的值， 证明：2()2()a b
b
a
a
f x dx f x dx +=?
?
60
、设8
844444
tan () , N=[sin ln( 1x M x dx x x dx x π
π
ππ--
=+++?? 444
P=[tan (cos )(cos )]x x x e x e x dx π
π--+-?， 则有（ ）
A 、 P N M >>
B 、N P M >>
C 、 N M P >>
D 、P M N >>
61、设函数：
20(1cos()) , 0() 8 , 0bsin() , 0x
t
a x x x f x x x e dt
x x ?
-?>??
==??+?
?
? 连续，确定常数 , b a 。
（答案：7,16b
a ==）
62、设函数
()f x 有连续的导数，(0)0 , (0) f f b '==
若函数
()sin()
, 0() , 0
f x a x x f x x
A x +?≠?=??=? 在0 x =处连续，确定常数A 。 （答案：A b a =+）
63、已知函数2
,0,()(1),0
x x ae x f x x x ?≤?
=??+>? 在0=x 处连续，则常数a =_________. 64、
2002tan x xdx π
π
-
=? .
65、曲线2
ln(1)y x =+（0x ≥）的拐点为 .
66、设()0f a =，()1f a '=，则极限1
lim[()]n nf a n
→∞
-= .
67、若2
x e -是)(x f 的一个原函数, 且()f x '在(+∞∞-,)上连续, 则()xf x dx '=?
___________________．
68、数列极限222lim(
)2n n n n
n n n n πππ
→∞
+++=+++ ______________．
69、当1x +
→
ln x 是关于(1)x -的k 阶无穷小，则k =___________． 70、函数23
()(2)f x x x x x =--- 的不可导点是________________________________．
71、设223()lim 21tx
x x f t t x →∞+??
= ?+??
，则()f t '=____________________． 72、设()f x 为可导函数，且满足0
(1)(1)
lim
12x f f x x
→--=-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为
____________________________________________．
73
、设ln(x
y e =，则22d y
dx
= ．
74、设2cos2y x x =，则(20)
x y ==____________．
75、求 20
11lim(
)sin x x x x
→-． 76、求
220
cos x xdx π
?
.
77、求2
22
(1)(1)x dx x +∞
-∞++?.
78、求曲线2arctan 25t
x t
y ty e =??-+=?
在相应于0t =的点处的切线方程． 79、求微分方程 22
1y x y xy '=+++ 满足初始条件(0)1y =的特解.
80、求极限2
ln(1sin )0lim 4
0x t dt
x x +?→．
81、求曲线57230y y x x ++-=在相应于0x =的点处的切线方程．
82、设()y y x =是由方程2
2
14 , sin 12x t t t y y =+-+=(2)t ≥-所确定的可导函数，求dy
dx
． 83、求不定积分ln x xdx ?
． 84、求定积分
ln30
(2)(4)x x x e e e dx --?
．
85、求微分方程 332()30x y dx xy dy +-= 满足初始条件(1)1y =的特解． 86、求函数3
2
231230y x x x =+--在区间[3,3]-上的最大值与最小值．
87、求曲线22y x x =+（13x ≤≤）与直线0y =，1x =及3x =所围平面图形的面积A ，并求该平面图形
绕y 轴旋转一周而成的旋转体的体积V ． 88、证明：当01x <<时，22(1)ln (1)x x x ++<．
89、设函数()f x 、()g x 在区间[,](0)a a a ->上连续，()g x 为偶函数，且()()f x f x A +-=（A 为常数）．
（1）证明：
()()()a
a
a
f x
g x dx A g x dx -=?
?；
（2） 证明：当0x >时，1arctan arctan
2
x x π+=； （3） 计算积分
2
2
sin arctan x x e dx π
π
-
?
．
90、设函数()f x 在闭区间[0,1]上连续，在开区间()0,1内可导，且满足()110
1()x k f k
xe f x dx
-=?
（1k >）．证明：至少存在一点()0,1ξ∈，使得1
()(1)()f f ξξξ-'=-．
91、设常数1p >，证明：当01x ≤≤时，
1
1(1)12
p p p x x -≤+-≤.
92、求由曲线2
y x =与2
x y =所围成的平面图形的面积A ，并求该平面图形分别绕x 轴及y 轴旋转一周所成
的旋转体的体积x V 与y V .
93、设函数()f x 在区间[0,1]上连续，且满足方程 10
()()x
f x e x
t f t dt =+?
，求()f x ．
94、设函数()f x 在闭区间1[0,
]n 上可导，且当1
0x n
<<时，()f x M '≤．证明： 1
20
11()()n M f x dx f n n n
-
≤?
． 95、设()cos ,0(),0x x
x f x x
a x ?-?≠?
=??=?
，其中()x ?具有二阶导数，且(0)1,(0)0??'==． （1）确定常数a 的值，使()f x 在0x =处连续； （2）求()f x '．
96、设函数(),()f x g x 在闭区间[,]a b 上连续，()()1g b g a ==；又在开区间(,)a b 内，(),()f x g x 都可导，
且()()0g x g x '+≠，()0f x '≠．证明：存在,(,)a b ξη∈，使得
()[()()]
()f e g g f e
ξη
ξξξη''+='.
=============提示与解答================
例1：设函数1() 2 (x) =1-x f ，求：1 (()), () ()f x f x f f 。 答案：22
(1)1
,
2222((2))
((2))
x x x x x ---
1、已知220ln(1)()
lim 2x x ax bx x →+-+=，则常数a = ，b = . 2、设函数()f x 在区间[2,2]-上连续，则2
3
2(
)2
x x
e e x
f dx --+=? . 3、极限01
lim sin
x x x
→= .
4、已知(2)1f '=，则0(2)(2)
lim
x f x f x x
→+--= . 5、设()f x 为连续函数， 22 0
()()()x
x x t f t dt Φ=
-?
，则()x 'Φ= .
1、5
1,2
a b ==-；
2、0；
3、0；
4、2；
5、．0
2()x
x
f t dt ?
例1：设121111
2,2,,2n n
x x x x x +==-=-
求： lim n n x →∞
（答案：1）
提示：1111
11
0 2 , n n n n n n n n n x x x x x x x x x -+---<
≤-=-=
例2：设112111,1,,111n n n
x x x x x x x +==+=+++ ，求： lim n n x →∞ （
答案：1 2 ）
提示：令11 2lim , 1 a 1a 11n n
n n n x a x a x x a
+→∞
==+∴=+∴=++
再证明 lim n n x →∞
存在：
11 =(1) =(1)(1)= 111(1)(1)
n n n n n n n x a x x a
x a a x x a x a ----+-+-++++++
111112 (n )a
a 1+a << ==02(1)2(1)2(1)2(1)
n n n n x a x a a a a a ----→∞--<→++++ 例1：
求极限：0
x →（答案：1）
例2：
求极限：1 x → （答案：1
!
n ）
提示：1111111
23!
x x x n n →→→==
例1： 求极限：2
2
22
00
23 ()lim
x t x t x e dt e dt
→∞
?? （答案：0）
例2： 求极限：2
2
20
(1)lim
x
t
x x t e dt
x
-→+∞
+?
（答案：
1
2
） 例1： 求极限：2
20 1lim(cot )x x x →- （答案：23
）
例2： 求极限：2 1
lim[ln(1)]x x x x
→∞
-+ （答案：
12
） 例1： 求极限：1
0 arcsin lim()x x x x
→ （答案：1
6e ）
例2：
求极限：0
lim [arctan(x x +
→ （答案：0）
例1： 讨论：
1 , 1()cos
, 12
x x f x x
x π?->?=?≤?? 的连续性。 例2：
讨论函数
()n f x →∞
=(0)x ≥。
提示：
211 , 021()2 , 22 , 2 x f x x x x x ?
≤≤??
?
=<
?≤<+∞??
所以，函数()f x 连续
例1：设函数：20(1cos()) , 0() 8 , 0bsin() , 0x
t
a x x x f x x x e dt
x x ?
-?>??==??+?
?
? 连续，确定常数 , b a 。 （答案：7,16b a ==）
例2：设函数
()f x 有连续的导数，(0)0 , (0) f f b '==
若函数
()sin()
, 0() , 0
f x a x x f x x
A x +?≠?=??=? 在0 x =处连续，确定常数A 。 （答案：A b a =+）
1 、 设2
2
20
ln(1)()
lim
3
x x t x ax bx e dt
→+-+=?
，试确定
,a b
的值。（答案：
7
,12
b a =-=）
6 、设0 ()
ln[1]
tan(2)
lim 5 21
x x f x x →+=-，求：20 ()lim x f x x → （答案：10ln 2） 7
、已知0
1ln cos lim 1 ax x e b x
→-+=-，求： a 的值（答案：2-）
8 、 设()f x 连续，且(1)1f =，求极限：11
21
()lim
1
x x f xt dt x →-?（答案：12
-
） 10、计算下列各题：
（1）6x x-11 2lim() 1x x x →+（3
e ） （2）n 1 1lim[ ] 2(12)
n
n k k →∞
=+++∑ （1e -）
（3）1
x
0 (1) -e lim x x x →+（2e
-） （4）2
2
x
-t 0-x 0 e lim 1e
x x dt →-?（1） 31、求极限：2
220
4
(1)lim
(arctan )x
t x e t dt x x →-+? （答案：4
5
）
32
、求极限：2 lim x
（答案：2-）
33、求极限：22 lim
23x x
x x
x e e e e -→+∞++ （答案：
12
） 34
、求极限：32
lim x x →+∞-+ （答案：1
4
-）
36、设：()f x '连续，(0)0,
(0)0f f '=≠，求极限：2
00
20
()lim
()x x
x f t dt
x f t dt
→?
?（答案：1）
41、确定下列各题中的常数,a b ：
① 设
：)0x ax b →∞-+= （答案：1,0a b =-=）
② 设
：lim (32x x →+∞
-= （答案：9,12a b ==-）
③ 设 ：5
4lim[(42)]a x x
x x b →∞
+--= （答案：14
,55
a b ==）
例1：设
()
f x 在
(,)-∞+∞上有定义，且
(0) =a (a f '≠。
又对,(,)x y ?∈-∞+∞有()()
()
1()()
f x f y f x y f x f y ++=-，求函数
()
f x 。
（答案： tan()ax ） 提示：0(0)0y f =→
=
200()()
()
()()1()()
()lim lim (0)[1()]
x x f x f x f x f x x f x f x f x f x f f x x x
?→?→+?-+?--?''===+??
例2：设
() f x 在(0,)+∞上有定义，
且(1) =a(a 0)f '≠。又对,(0,)x y ?∈+∞有()()() f xy f x f y =+，求函数() f x 。 （答案： ln a x ）
例1：设
()f x 在[0,2]上连续，在(0,2)内二阶可导，且1
(0)()02
f f ==，
1
12
2()(2)f x dx f =?，证明：?一个(0,2)ξ∈使()0f ξ''=。
例2：设
()f x 在[,]a b 上可导，且()()0f a f b +-''< ，
则：?一个(,)a b ξ∈使()0f ξ'=。
提
示
：
不
仿
设
(
)
f a f b +-
''<
>()
()
()l i
m
x a f x f a f a f x f a x a
+
+→-'=
→<-
例1：设
()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，其中0a >且()0f a =，
证明：至少?一个(,)a b ξ∈使
()()b f f a
ξ
ξξ-'=
。 提示：
()()()()()()x
b b x f x a f f f x f x a a f x b x
ξξξξ='--''=???→=→=
-令 ()ln ()ln()ln ()()()a f x a f x a b x C b x f x C f x b x
'=???→=--+→-=-积分
作辅助函数()
()()a F x b x f x =-
例2：设0,b a >>()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，证明：至少?一个
(,)a b ξ∈
使2
()()()()()af b bf a f f ab b a ξξξξ
'--=-。 提示：令
()()
()()()()
af b bf a k af b bf a kab b a ab b a -=?-=--
22
22
()()()()f b kb f a ka af b kab bf a ka b b a
--?-=-?=
作辅助函数2()()
()f x kx f x F x kx x x
-==-
例3：设
()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0f =，当(0,1)x ∈时，
()0f x ≠，
证明：对一切自然数n ，在(0,1)内至少?一个ξ使()(1)
()(1)nf f f f ξξξξ''-=
-。 提示：()(1)()(1)
()(1)()(1)
x nf f nf x f x f f f x f x ξξξξξ=''''--=???→=
--令 ln ()ln (1)ln ()(1)n n f x f x C f x f x C ?=--+?-=
作辅助函数()()(1)n F x f x f x =-
例4：设
()f x 在[0,)+∞上可导，且2
0()1x f x x ≤≤
+，
证明：至少?一个(0,)ξ∈+∞，使
2
22
1()(1)
f ξξξ-'=+。 提示：2
222
1() 1(1)x x x x -'=∴++ 作辅助函数2()()1x F x f x x =-+
20(0)(0)0,lim ()0(0)0,lim ()01x x x
f f f x F F x x
→+∞→+∞≤≤
?==?==+ 例1： 求数列32(1)(1)n n ??
+??
-??
的最小项的项数及该项的数值。 提示：作辅助函数3
2
(1)() (2) (1)
x F x x x +=≥-，当=5x 时，()F x 取得最小值。 27(5)2
F =
例2： 设函数
()f x 满足方程11
()4()f x f x x
+-=，求函数()f x 的极大值和极小
值。
提示：11
()(4)
15f
x x x =-+，1414()()215215f f =--=极大值 , 极小值 例2：设
()f x 在[0,1]上连续，且()1f x <，
证明：方程0
2()1x
x f t dt -
=?
在(0,1)内只有一个根。
提示：作辅助函数0
()2() 1 , [0,1]x
F x x f t dt =--?
例1：设
()f x 在(,)-∞+∞上正值的连续函数，证明：
()() , [,] (>0) a a
F x x u f u du a a a -=--?在(,)-∞+∞上是凹的。
提示： ()2()0F x f x ''=> 例2：设
()f x 为奇函数，且当0x <时，()0 , ()0 f x f x '<≥，
令1
221
()()() x
F x f xt dt tf t x dt -=
+-?
?，
证明：()F x 在(,)-∞+∞上是凸的。 提示： 因为为奇函数1
2221
()0 ()()2()0f t dt F x f x x f x -''''∴
==---
36、曲线2cos t
t
x e xin t
y e t
?=??=??在点(0,1)处的切线方程为： 112y x =+ 。 41、设对任意实数x 值有()[()1]f x x f x ''-=-，且(0)0f =，求()f x 的极值。
提示与答案： ()[()1]()[()1]t x
f x x f x f t t f t =-''''-=-???→=---令， 解得，22
22
201
()()(0)ln(1)arctan 112
x x x x x f x f x f dx x x x x x ++'=→-==++-++? 故，(0)0f =为()f x 的极小值，1(1)ln 2124
f π
-=
+-为()f x 的极大值 43、过抛物线2y x =上一点2(,)P a a 作切线，问a 为何值时，所作的切线与抛物线241y x x =-+-所围成的面积最小。
（面积=4
3
S =） 56、设函数()f x 满足方程217
3()4()0f x x f x x
+-+=，求()f x 的极大值和极小值。
提示与答案：
2
3
23
17
3()4()0
3
()4
1
4()3()70
f x x f
x x f x x
x
f x x f x
x
?
+-+=
??
?=+?
?+--=
??
f=
` (f=-极大值`
58、证明：当
3
(0,)
2
xπ
∈时，不等式
2
2
sin
cos
x
x
x
>成立。
提示与答案：当
13
[,]
22
xππ
∈时，不等式
2
2
sin
cos
x
x
x
>显然成立。下面证明：
1
(0,)
2
xπ
∈
令
2
2
sin
()cos
x
f x x
x
=-，两次导数后，就可以看出来。
1、若()
f x的一个原函数为arctanx，则2
(1)
xf x dx
-=
?（）
A、2
(1)
arctan x C
-+； B、2
(1)
x arctan x C
-+
；
C、2
1
(1)
2
arctan x C
--+ D、2
(1)
2
x
arctan x C
--+。
提示与答案：作变换2
1
u x
=-，答案C。
16、设
2
2
2
(1)ln
2
x
f x
x
-=
-
，且(())ln
f x x
?=，求：()x dx
?
?
提示与答案：
2
2
2
1()11
(1)ln()ln(())ln ln()
21()11
x x x x
f x f x f x x x
x x x x
?
??
?
+++ -=?=?==?=
----
()2ln1
x dx x x C
?=+-+
?
例1：设()
f x在[1,)
+∞上连续，且() >0
f x，
求积分
1
22
()[(ln)(ln)]() , 1
x
F x x t f t dt x
x t
=+-+≥
?的最小值。
提示与答案：
21
21
()()()
x
F x f t dt
x x
'=-+?，因为() >0 , 1
f x x≥，所以
1
()0 (1)
x
f t dt x
≥≥
?
所以
2
21
2
x
x x
=?=。2
x=是()
F x的最小值(2)
F。
例1：设()
f x在[,]
a b上连续，[,]
x a b
∈，证明：
1
lim[()()]() ()
x
a
h
f t h f t dt f x f a
h
→
+-=-
?
提示与答案：因为() f x 在[,]a b 上连续，所以()() x
a
F x f t dt =?存在，
变上限积分()() x
a
F x f t dt =?可导，且 ()(),()0F x f x F a '==。
u=t+h
() ()()()()()x
x h
x h
a h
a
a h
a
a
f t h dt f u du f u du f u du F x h F a h +++++???→=-=+-+?
?
?
?
0001()()()()()()()lim [()()]lim lim x a h h h F x h F a h F x F x h F a h F x F a f t h f t dt h h h
→→→+-+-+-+--+-==?00()()()()lim lim ()()() ()h h F x h F x F a h F a F x F a f x f a h h
→→+-+-''=-=-=- 例1： 求定积分：4
221
(3) 1x x dx x
--+
+? 提示与答案：原式= 0
42
22011(3)+(3) =6+ln1511x x dx x x dx x x -++
-+--+?? 例2：求定积分：322(52) x x dx -+-? （答案：1
346
）
例1： 求定积分：2ln 2
2ln 2tan 169x x chx
dx sh x
-++? 提示与答案：22tan 169x x
sh x
+是奇函数，2169chx sh x +是偶函数，所以
原式= 2ln 2
ln 2ln 2222ln 2ln 2ln 2tan 19
+ =arctan()169169169616
x x chx chx dx dx dx sh x sh x sh x ---=+++??? 例2： 设函数()f x 在[0,1]上连续，且()f x 非负，
证明：存在一个0(0,1)x ∈，使得01
00()()x x f x f x dx =?
提示：分析0
1100()()()()x x
x f x f x dx xf x f x dx =?=??，令1
()()()x
F x xf x f t dt =-?
11
1
(0)0()0 , (1)(1)()0 F f t dt F f f t dt =-≤=-≥??，不易验证()F x 在[0,1]上满足零点存在
定理，
于是，改令1()()()x
G x xf x f t dt '=-?，11
()(())()()x
x
G x x f t dt G x x f t dt ''?=?=??
易验证()G x 在[0,1]上满足罗尔定理。
例3： 设函数()f x 在[,]a b 上连续，且()0f x >，证明：在(,)a b 内至少存在一个ξ，使
得
1()()()2
b
b
a
a f x dx f x dx f x dx ξ
ξ
==
?
??
提示：令()()()x b
a
x
F x f t dt f t dt =-??，
()F x 在[,]a b 上满足零点存在定理，()()b
a
f x dx f x dx ξξ
?=??
且()()()b b
a
a
f x dx f x dx f x dx ξξ
=+???
例4： 设函数()f x 在[,]a b 上连续，且()f x 在关于2
a b
x +=
对称的点处有相同的值， 证明：2()2()a b b
a a
f x dx f x dx +=??
提示：分析：只要证明22
()()a b b
a b a
f x dx f x dx ++=?
?，
因为：22
2
2
()()()()()a b b
b
a
t a b x
a b a b a b a
f x dx f a b x dx f t dt f x dx +=+-+++=+-????→-=????
所以，2()2()a b
b
a
a
f x dx f x dx +=??
1
、设8
84
4444
tan () , N=[sin ln( 1x M x dx x x dx x π
π
ππ--
=+++?? 444
P=[tan cos cos ]x x x e x e x dx π
π--+-?， 则有（ ）
A 、 P N M >>
B 、N P M >>
C 、 N M P >>
D 、P M N >> 提示：（1
）4
tan , ln(cos cos 1x x
x x e x e x x
-+-+均为奇函数
例1：设函数：20(1cos()) , 0() 8 , 0bsin() , 0x
t
a x x x f x x x e dt x x ?
-?>??==??+?
?
? 连续，确定常数 , b a 。 （答案：7,16b a ==）
例2：设函数
()f x 有连续的导数，(0)0 , (0) f f b '==
若函数
()sin()
, 0() , 0
f x a x x f x x
A x +?≠?=??=? 在0 x =处连续，确定常数A 。 （答案：A b a =+）
1、已知函数2
,0,()(1),0
x x ae x f x x x ?≤?
=??+>? 在0=x 处连续，则常数a =_________. 2、
2012sin x x dx π
π
-
=? .
3、曲线2
ln(1)y x =+（0x ≥）的拐点为 . 4、设()0f a =，()1f a '=，则极限1
lim[()]n nf a n
→∞
-= .
5、若2
x e
-是)(x f 的一个原函数, 且()f x '在(+∞∞-,)上连续, 则()xf x dx '=?
___________________．
1、 2
e ； 2、 0； 3、(1,ln 2)； 4、 1-； 5、2
2(21)x x e C --++．【少“＋C ”，扣1分】
1、数列极限222lim(
)2n n n n
n n n n πππ
→∞
+++=+++ ______________．
2、当1x +
→
ln x 是关于(1)x -的k 阶无穷小，则k =___________． 3、函数23
()(2)f x x x x x =--- 的不可导点是________________________________．
4、设223()lim 21tx
x x f t t x →∞
+??
= ?+??
，则()f t '=____________________． 5、设()f x 为可导函数，且满足0
(1)(1)
lim
12x f f x x
→--=-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程
为____________________________________________．
6
、设ln(x
y e =，则22d y
dx
= ．
7、设2cos2y x x =，则(20)
x y
==____________．
提示与答案：
第一章 练习题 一、 设()0112>++=?? ? ??x x x x f ，求)(x f 。 二、 求极限： 思路与方法： 1、利用极限的运算法则求极限； 2、利用有界变量与无穷小的乘积仍是无穷小这一性质； 3、利用两个重要极限：1sin lim 0=→x x x ，e x x x =??? ??+∞→11lim ； 4、利用极限存在准则； 5、用等价无穷小替换。注意：用等价无穷小代替时被代替的应是分子、分母或其无穷小因子。如果分子或分母是无穷小的和差，必须将和差化为积后方可用等价无穷小代替积中的因子部分。 6、利用函数的连续性求极限，在求极限时如出现∞-∞∞ ∞,,00等类型的未定式时，总是先对函数进行各种恒等变形，消去不定因素后再求极限。 7、利用洛比达法则求极限。 1、()()()35321lim n n n n n +++∞ → 2、???? ? ?---→311311lim x x x 3、122lim +∞ →x x x 4、x x x arctan lim ∞ →
5、x x x x sin 2cos 1lim 0-→ 6、x x x x 30 sin sin tan lim -→ 7、()x x 3cos 2ln lim 9 π → 8、11232lim +∞→??? ??++x x x x 三、 已知(),0112lim =??? ?????+-++∞→b ax x x x 求常数b a ,。 四、 讨论()nx nx n e e x x x f ++=∞→12lim 的连续性。 五、 设()12212lim +++=-∞→n n n x bx ax x x f 为连续函数，试确定a 和b 的值。 六、 求()x x e x f --=111 的连续区间、间断点并判别其类型。 七、 设函数()x f 在闭区间[]a 2,0上连续，且()()a f f 20=，则在[]a ,0上 至少有一点，使()()a x f x f +=。 八、 设()x f 在[]b a ,上连续，b d c a <<<，试证明：对任意正数p 和q ， 至少有一点[]b a ,∈ξ，使 ()()()()ξf q p d qf c pf +=+
《高数》习题1（上） 一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -?
高等数学第一章测试题 一、单项选择题（20分） 1、当0x x →时，()(),x x αβ都是无穷小，则当0x x →时（ ）不一定是无穷小. (A) ()()x x βα+ (B) ()()x x 22 βα + (C) [])()(1ln x x βα?+ (D) )() (2 x x βα 2、极限a x a x a x -→??? ??1 sin sin lim 的值是（ ）. （A ） 1 （B ） e （C ） a e cot （D ） a e tan 3、 ??? ??=≠-+=0 01sin )(2x a x x e x x f ax 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ） 1 （B ） 0 （C ） e （D ） 1- 4、函数 ??? ?? ? ???<+<≤>-+=0,sin 1 0,2tan 1,1) 1ln()(x x x x x x x x x f π 的全体连续点的集合是 （ ） (A) (-∞,+∞) (B) (-∞,1) (1,+ ∞) (C) (-∞,0) (0, +∞) (D) (-∞,0) (0,1) (1,+ ∞) 5、 设 )1 1( lim 2 =--++∞ →b ax x x x ，则常数a ,b 的值所组成的数组（a ,b ）为（ ） （A ） （1，0） （B ） （0，1） （C ） （1，1） （D ） （1，-1） 6、已知函数 231 )(2 2 +--= x x x x f ，下列说法正确的是（ ）。 (A) )(x f 有2个无穷间断点 (B) )(x f 有1个可去间断点，1个无穷间断点 (C) )(x f 有2个第一类间断点 (D) )(x f 有1个无穷间断点，1个跳跃间断
第一章函数、极限、连续 一、单项选择题 1.区间[a,+∞)，表示不等式（） 2.若 3.函数是（）。 （A）偶函数（B）奇函数（C）非奇非偶函数（D）既是奇函数又是偶函数 4.函数y=f(x)与其反函数 y=f-1（x）的图形对称于直线（）。 5.函数 6.函数 7.若数列{x n}有极限a,则在a的ε邻域之外，数列中的点（） （A）必不存在 （B）至多只有有限多个 （C）必定有无穷多个 （D）可以有有限个，也可以有无限多个 8.若数列{ x n }在（a-ε, a+ε）邻域内有无穷多个数列的点，则（），（其中为某一取定的正数） （A）数列{ x n }必有极限，但不一定等于 a （B）数列{ x n }极限存在且一定等于 a （C）数列{ x n }的极限不一定存在 （D）数列{ x n }一定不存在极限
9.数列 （A）以0为极限（B）以1为极限（C）以（n-2）/n为极限（D）不存在极限 10.极限定义中ε与δ的关系是（） （A）先给定ε后唯一确定δ （B）先确定ε后确定δ，但δ的值不唯一 （C）先确定δ后给定ε （D）ε与δ无关 11.任意给定 12.若函数f（x）在某点x0极限存在，则（） （A） f（x）在 x0的函数值必存在且等于极限值 （B） f（x）在x0的函数值必存在，但不一定等于极限值 （C） f（x）在x0的函数值可以不存在 （D）如果f（x0）存在则必等于极限值 13.如果 14.无穷小量是（） （A）比0稍大一点的一个数 （B）一个很小很小的数 （C）以0为极限的一个变量 （D）0数 15.无穷大量与有界量的关系是（） （A）无穷大量可能是有界量
习题1-10 1. 证明方程x 5-3x =1至少有一个根介于1和2之间. 证明 设f (x )=x 5-3x -1, 则f (x )是闭区间[1, 2]上的连续函数. 因为f (1)=-3, f (2)=25, f (1)f (2)<0, 所以由零点定理, 在(1, 2)内至少有一点ξ (1<ξ<2), 使f (ξ)=0, 即x =ξ 是方程x 5-3x =1的介于1和2之间的根. 因此方程x 5-3x =1至少有一个根介于1和2之间. 2. 证明方程x =a sin x +b , 其中a >0, b >0, 至少有一个正根, 并且它不超过a +b . 证明 设f (x )=a sin x +b -x , 则f (x )是[0, a +b ]上的连续函数. f (0)=b , f (a +b )=a sin (a +b )+b -(a +b )=a [sin(a +b )-1]≤0. 若f (a +b )=0, 则说明x =a +b 就是方程x =a sin x +b 的一个不超过a +b 的根; 若f (a +b )<0, 则f (0)f (a +b )<0, 由零点定理, 至少存在一点ξ∈(0, a +b ), 使f (ξ)=0, 这说明x =ξ 也是方程x =a sin x +b 的一个不超过a +b 的根. 总之, 方程x =a sin x +b 至少有一个正根, 并且它不超过a +b . 3. 设函数f (x )对于闭区间[a , b ]上的任意两点x 、y , 恒有|f (x )-f (y )|≤L |x -y |, 其中L 为正常数, 且f (a )?f (b )<0. 证明: 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0. 证明 设x 0为(a , b )内任意一点. 因为 0||l i m |)()(|l i m 0000 0=-≤-≤→→x x L x f x f x x x x , 所以 0|)()(|lim 00 =-→x f x f x x , 即 )()(l i m 00 x f x f x x =→. 因此f (x )在(a , b )内连续. 同理可证f (x )在点a 处左连续, 在点b 处右连续, 所以f (x )在[a , b ]上连续. 因为f (x )在[a , b ]上连续, 且f (a )?f (b )<0, 由零点定理, 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0. 4. 若f (x )在[a , b ]上连续, a 高等数学第六版上册课后习题答案及解析 第一章 习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A ?B =(-∞, 3)?(5, +∞), A ? B =[-10, -5), A \ B =(-∞, -10)?(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5). 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B )C =A C ?B C . 证明 因为 x ∈(A ?B )C ?x ?A ?B ? x ?A 或x ?B ? x ∈A C 或x ∈B C ? x ∈A C ?B C , 所以 (A ?B )C =A C ?B C . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f (A ?B )=f (A )?f (B ); (2)f (A ?B )?f (A )?f (B ). 证明 因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B ) ? y ∈f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )=f (A )?f (B ). (2)因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )? y ∈ f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )?f (A )?f (B ). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g =ο, Y I g f =ο, 其中I X 、 I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中 高等数学上册复习要点及解题技巧 第一章：1、极限（夹逼准则） 2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型） 第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续 2、求导法则（背） 3、求导公式也可以是微分公式 第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节） 2、洛必达法则 3、泰勒公式拉格朗日中值定理 4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习） 5、曲率公式曲率半径 第四章、第五章：积分 不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ） 定积分： 1、定义 2、反常积分 第六章：定积分的应用 主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长 第七章：向量问题不会有很难 1、方向余弦 2、向量积 3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 3、空间平面 4、空间旋转面（柱面） 高数解题技巧 高数解题的四种思维定势 ●第一句话：在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。 ●第二句话：在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。 ●第三句话：在题设条件中函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)＝f(b)=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。 ●第四句话：对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说。 线性代数解题的八种思维定势 ●第一句话：题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行(列)展开定理以及AA*=A*A=|A|E。 ●第二句话：若涉及到A、B是否可交换，即AB＝BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。 ●第三句话：若题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解因子aA+bE再说。 ●第四句话：若要证明一组向量α1,α2,…,αS线性无关，先考虑用定义再说。 ●第五句话：若已知AB＝0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理 ●第六句话：若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。 ●第七句话：若已知A的特征向量ξ0，则先用定义Aξ0＝λ0ξ0处理一下再说。 ●第八句话：若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。 概率解题的九种思维定势 ●第一句话：如果要求的是若干事件中“至少”有一个发生的概率，则马上联想到概率加法公式；当事件组相互独立时，用对立事件的概率公式 ●第二句话：若给出的试验可分解成（0－1）的n重独立重复试验，则马上联想到Bernoulli试验，及其概率计算公式 ●第三句话：若某事件是伴随着一个完备事件组的发生而发生，则马上联想到该事件的发 生概率是用全概率公式计算。关键：寻找完备事件组 ●第四句话：若题设中给出随机变量X ~ N 则马上联想到标准化 ~ N(0,1)来处理有关问题。 ●第五句话：求二维随机变量（X，Y）的边缘分布密度的问题，应该马上联想到先画出使 联合分布密度的区域，然后定出X的变化区间，再在该区间内画一条//y轴的直线，先与区域边界相交的为y的下限，后者为上限，而的求法类似。 ●第六句话：欲求二维随机变量（X，Y）满足条件Y≥g(X)或(Y≤g(X))的概率，应该马上联 想到二重积分的计算，其积分域D是由联合密度的平面区域及满足Y≥g(X)或(Y≤g(X))的 区域的公共部分。 ●第七句话：涉及n次试验某事件发生的次数X的数字特征的问题，马上要联想到对X作 （0－1）分解。即令 高等数学第一章测试卷（B ） 一、选择题。（每题4分，共20分） 1.假设对任意的∈x R ，都有)()()(x g x f x ≤≤?，且0)]()([lim =-∞→x x g x ?，则)(lim x f x ∞ →（ ） A.存在且等于零 B.存在但不一定为零 C.一定不存在 D.不一定存在 2.设函数n n x x x f 211lim )(++=∞→，讨论函数)(x f 的间断点，其结论为（ ） A.不存在间断点 B.存在间断点1=x C.存在间断点0=x D. 存在间断点1-=x 3.函数222111)(x x x x x f +--=的无穷间断点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4.设函数)(x f 在),(+∞-∞内单调有界，}{n x 为数列，下列命题正确的是（ ） A.若}{n x 收敛，则｛)(n x f ｝收敛 B.若}{n x 单调，则｛)(n x f ｝收敛 C.若｛)(n x f ｝收敛，则}{n x 收敛 D.若｛)(n x f ｝单调，则}{n x 收敛 5.设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且∞===∞ →∞→∞→n n n n n n c b a lim ,1lim ,0lim ，则（ ） A. n n b a <对任意n 成立 B. n n c b <对任意n 成立 C. 极限n n n c a ∞→lim 不存在 D. 极限n n n c b ∞ →lim 不存在 二、填空题（每题4分，共20分） 6.设x x x f x f x 2)1(2)(,2-=-+?，则=)(x f ____________。 7.][x 表示取小于等于x 的最大整数，则=??????→x x x 2lim 0__________。 8.若1])1(1[lim 0=--→x x e a x x ，则实数=a ___________。 9.极限=???? ??+-∞→x x b x a x x ))((lim 2 ___________。 10.设)(x f 在0=x 处可导，b f f ='=)0(,0)0(且，若函数?????=≠+=00sin )()(x A x x x a x f x F 在0=x 处连续，则常数=A ___________。 高数练习题 一、选择题。 4、1 1lim 1 --→x x x （ ）。 a 、1-= b 、1= c 、=0 d 、不存在 5、当0→x 时，下列变量中是无穷小量的有（ ）。 a 、x 1sin b 、x x sin c 、12--x d 、x ln 7、()=--→1 1sin lim 21x x x （ ）。 a 、1 b 、2 c 、0 d 、2 1 9、下列等式中成立的是（ ）。 a 、e n n n =??? ??+∞ →21lim b 、e n n n =? ?? ??++∞→2 11lim c 、e n n n =??? ??+∞→211lim d 、e n n n =?? ? ??+∞ →211lim 10、当0→x 时，x cos 1-与x x sin 相比较（ ）。 a 、是低阶无穷小量 b 、是同阶无穷小量 c 、是等阶无穷小量 d 、是高阶无穷小量 11、函数()x f 在点0x 处有定义，是()x f 在该点处连续的（ ）。 a 、充要条件 b 、充分条件 c 、必要条件 d 、无关的条件 12、 数列｛y n ｝有界是数列收敛的 ( ) . （A ）必要条件 (B) 充分条件 (C) 充要条件 (D)无关条件 13、当x —>0 时，( )是与sin x 等价的无穷小量. (A) tan2 x (B) x (C)1 ln(12)2x + (D) x (x +2) 14、若函数()f x 在某点0x 极限存在，则（ ）. （A ）()f x 在0x 的函数值必存在且等于极限值 （B ）()f x 在0x 的函数值必存在，但不一定等于极限值 （C ）()f x 在0x 的函数值可以不存在 （D ）如果0()f x 存在则必等于极限值 15、如果0 lim ()x x f x →+ 与0 lim ()x x f x →- 存在，则（ ）. （A ）0 lim ()x x f x →存在且00 lim ()()x x f x f x →= 2018年湖南省怀化市中考物理试卷 一、选择区 1. 下图中符合安全用电原则的是（） A. 雷雨时在大树下躲雨 B. 在高压线下钓鱼 C. 在同一插座上同时使用多个大功率用电器 D. 发现有人触电时立即切断电源 【答案】D 【解析】A、雷雨时，不可以在大树下避雨，要注意防雷电，故A错误； B、高压线下钓鱼，鱼线很容易接触到高压线，容易发生触电事故，故B错误； C、在同一个插座上同时使用了多个大功率的用电器，由可得，会使干路中的电流过大，容易发生电路火灾，故C错误； D、当发现有人触电时，应该立即采取的措施是：迅速切断电源或用绝缘体挑开电线，因为人体是导体，不能用手拉开电线和触电的人，故D正确。 故选：D。 点睛：本题考查日常安全用电常识，关键是了解安全用电的基本原则“不接触低压带电体，不靠近高压带电体。” 2. 在北京8分钟的节目中，憨态可掬的大熊猫令人忍俊不禁。这只大熊猫是用一种特制的铝合金材料制成的，它的高度为2.35m，质量却只有10kg，它利用了铝合金的哪一种性质（） A. 质量小 B. 密度小 C. 比热容小 D. 导热性能好 【答案】B 【解析】解：由题知，大熊猫是用一种特殊的铝合金材料制成的，它的高为2.35m，质量却只有10kg，也就是说它的体积很大，质量很小，根据ρ=可知，材料的体积相同时，质量越小，密度越小。所以它利用 了铝合金密度小的性质。故ACD错误，B正确。 故选：B。 点睛：密度是物质的一种特性，不同物质密度一般不同，常用密度来鉴别物质。解答本题时，要紧扣大熊猫高度大，质量小的特点进行分析。 3. 下列事例中不是利用大气压工作的是（） A. 用塑料吸管吸饮料 B. 用抽水机抽水 C. 用注射器将药液注入病人体内 D. 钢笔吸墨水 【答案】C 【解析】解：A、用吸管吸饮料时，吸管内的气压小于外界大气压，饮料在外界大气压的作用下，被压入口腔内。利用了大气压。故A不合题意； B、抽水机抽水，通过活塞上移或叶轮转动使抽水机内水面上方的气压减小，水在外界大气压的作用下，被压上来，利用了大气压，故B不合题意。 C、用注射器将药液注入病人体内是利用人的压力将药液注入人体肌肉的，不是利用大气压来工作的，故C 符合题意。 D、用力一按橡皮囊，排出了里面的空气，当其恢复原状时，橡皮囊内部气压小于外界大气压，在外界大气压的作用下，墨水被压入钢笔内，利用了大气压。故D不合题意。 故选：C。 点睛：本题考查了大气压的应用，此类问题有一个共性：通过某种方法，使设备内部的气压小于外界大气压，在外界大气压的作用下出现了这种现象。 4. 自然界中有些能源一旦消耗就很难再生，因此我们要节约能源。在下列能源中，属于不可再生的能源的是 A. 水能 B. 风能 C. 太阳能 D. 煤炭 【答案】D D、煤炭属于化石燃料，不能短时期内从自然界得到补充，属于不可再生能源，故D符合题意。 高等数学第七版课后练 习题 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998 第一章、函数、极限与连续 1、已知函数2,02()2,24x f x x ≤≤?=?-<≤? ，试求函数g()(2)(5)x f x f x =+-的定义域。 2、设函数()y f x =的定义域是[]0,8，试求3()f x 的定义域。 3、已知函数[]()12f x 的定义域，，试求下列函数的定义域。 4、要使下列式子有意义，函数()f x 应满足什么条件 5、求下列函数的定义域。 6、在下列各对函数中，哪对函数是相同的函数。 7、设函数()2,()55x f x g x x ==+，求1(1),(),(()),(())f x g f g x g f x x x +-的表达式。 8、设2()23,()45f x x g x x =+=-，求(()),(()),(())f g x g f x f f x 的表达式。 9、设2211(),()f x x f x x x +=+求。 10、设(1)(1),()f x x x f x -=-求。 11、下列函数中，那哪些是奇函数，哪些是偶函数哪些是非奇非偶函数。 12、判断下列函数的奇偶性。 13、求下列函数的周期。 14、下列函数能够复合成一个函数。 15、函数13ln sin y y x ==，由哪些较简单的函数复合而成。 16、设()1x f x e =+，函数2(2)()1x x x φ+=+，求1(())f x φ-。 17、下列函数的极限。 18、求下列函数的极限。 19、求下列函数的极限。 20、求下列极限。 21、求下列函数的极限。 上册练习题 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()() x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt = -? ，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ()( , )(2)( )(1 =+=? x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且 设 （A ）2 2x （B ）2 2 2 x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 )31(lim . 6. , )(cos 的一个原函数 是已知 x f x x = ? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++= 22 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 121 2 2 11 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. . d ) 1(17 7x x x x ? +-求 283 高等数学上（修订版）（复旦出版社） 习题六 无穷数级 答案详解 1．写出下列级数的一般项： (1)111135 7 ++++ ； (2)2 2242462468x x x x x ++++?????? ； (3)3579 3579 a a a a -+-+ ； 解：(1)1 21 n U n =-； (2)()2 !! 2n n x U n = ； (3)() 21 1 121 n n n a U n ++=-+； 2．求下列级数的和： (1)()()() 11 11n x n x n x n ∞ =+-+++∑ ； (2) ( )1 221n n n n ∞ =+-++∑； (3)23 111 5 55+ ++ ； 解：(1)()()() ()()()()1 11111211n u x n x n x n x n x n x n x n = +-+++?? -= ?+-++++?? 284 从而()()()()()()() ()()()()()()()1111 1211212231111111211n S x x x x x x x x x n x n x n x n x x x n x n ?-+-= +++++++?? ++ - ?+-++++? ?? -= ?++++?? 因此() 1lim 21n n S x x →∞ =+，故级数的和为 () 121x x + (2)因为()()211n U n n n n =-+-++- 从而()()()() ()()()()3243322154432112112 1 12 21 n S n n n n n n n n =-+-----+-++---+-++-=+-++-=+-+++ 所以lim 12n n S →∞ =-，即级数的和为12-． (3)因为2111 5551115511511145n n n n S =+ ++????-?? ???? ?=-????=-?? ????? 从而1lim 4 n n S →∞ =，即级数的和为14 ． 3．判定下列级数的敛散性： (1) ( )1 1n n n ∞ =+-∑； (2) ()() 11111661111165451n n +++++???-+ ； (3) ()23133222213333 n n n --+-++- ； 理科A 班第一章综合测试题 一、填空题 1 、函数1()arccos(1) f x x =-的定义域为 . 2、设()2ln f x x =,[()]ln(1ln )f g x x =-, 则()g x = . 3、已知1tan ,0,()ln(1) , 0ax x e e x f x x a x +?+-≠?=+??=? 在0x =连续，则a = . 4、若lim 25n n n c n c →∞+??= ?-?? ，则c = . 5 、函数y =的连续区间为 . 二、选择题 1、 设()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， 则（ ）为奇函数. （A ）[()]g g x （B ）[()]g f x （C ）[()]f f x （D ）[()]f g x 2、 设)(x f 在(,)-∞+∞内单调有界， {}n x 为数列，则下列命题正确的是（ ）. （A ）若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛 （B ）若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛 （C ）若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛 （D ）若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛 3、 设21(2)cos ,2,()4 0, 2, x x f x x x ?+≠±?=-??=±? 则()f x （ ）. （A ）在点2x =，2x =-都连续 （B ）在点2x =，2x =-都间断 （C ）在点2x =连续，在点2x =-间断 （D ）在点2x =间断，在点2x =-连续 4、 设lim 0n n n x y →∞ =，则下列断言正确的是（ ）. （A ）若{}n x 发散，则{}n y 必发散 （B ）若{}n x 无界，则{}n y 必有界 （C ）若{}n x 有界，则{}n y 必为无穷小 （D ）若1n x ?????? 收敛 ，则{}n y 必为无穷 习题6?2 1? 求图6?21 中各画斜线部分的面积? (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 6 1]2132[)(10 22310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A ? 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1? e ]? 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e ? (3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?3? 1]? 所求的面积为 3 32]2)3[(1 32=--=?-dx x x A ? (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?1? 3]? 所求的面积为 3 32 |)313()32(31323 12= -+=-+=--?x x x dx x x A ? 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积? (1) 22 1x y =与x 2?y 2?8(两部分都要计算)? 解? 3 423 8cos 16402+=-=?ππ tdt ? 3 46)22(122-=-=ππS A ? (2)x y 1=与直线y ?x 及x ?2? 解? 所求的面积为 ?-=-= 2 12ln 2 3)1(dx x x A ? (3) y ?e x ? y ?e ?x 与直线x ?1? 解? 所求的面积为 ?-+=-=-1 021)(e e dx e e A x x ? (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 3? 求抛物线y ??x 2?4x ?3及其在点(0? ?3)和(3? 0)处的切线所围成的图形的面积? 解? y ???2 x ?4? 高等数学（上）第一章练习题 一．填空题 1． 12sin lim sin _________.x x x x x →∞??+= ??? 2． lim 9x x x a x a →∞+??= ?-?? ， 则__________.a = 3． 若21lim 51x x ax b x →++=-，则___________,___________.a b == 4． 02lim __________.2x x x e e x -→+-= 5． 1(12)0()ln(1)0 x x x f x x k x ?-<=?++≥?在0x =连续，则k = 6． 已知当0x →时，()1 2311ax +-与cos 1x -是等价无穷小，则常数________.a = 7． 设21()cos 1 x k x f x x x π?+≥=??? 在0x =处间断,则常数a 和b 应满足关系____________. 9．()1lim 123n n n n →∞++= 10 ．lim x →+∞?=? 11 ．lim x ax b →+∞?-=? 0 ，则a = b = 12．已知111()23x x e f x e +=+ ，则0x =是第 类间断点 二．单项选择题 13． 当0x →时, 变量211sin x x 是____________. A. 无穷小量 B. 无穷大量 C. 有界变量但不是无穷小, D. 无界变量但不是无穷大. 14．. 如果0 lim ()x x f x →存在，则0()f x ____________. A. 不一定存在, B. 无定义, C. 有定义, D. 0=. 15． 如果0lim ()x x f x -→和0 lim ()x x f x +→存在, 则_____________. t x 1+ ln x x 1 ? ?? 1 x x x = ? 第六章 定积分 练习题 1． F (x ) = ? 1 (2 - 1 )dt (x > 0) 的单调增加区间为 . ( , +∞) 4 2. 函数 F (x ) = x te -t dt 在点 x = 处有极值. 3. 设 f (x ) = 1 ? sin x sin t 2dt , g (x ) = x - sin x ，则当 x → 0 时有( A ). 2 0 (A) f (x ) ~ g (x ) (B) f (x ) 与 g (x ) 同阶，但 f (x ) 不等价于 g (x ) (C) f (x ) = o (g (x )) (D) g (x ) = o ( f (x )) sin 3 x sin 5 x 2 4. 计算 2 sin 2 x ? c os 3 xdx . [ - 0 3 5 2 0 15 2 5. 计算 ? 1 dx . 2( -1) x t (1 1 - ln t )dt 在[1, e ] 上的最大值与最小值. 最大值 1 (e 2 - 3) ，最小值 0 4 ? xe x 2 x ≥ 0 4 7.设 函 数 1 (tan1+ e 4 -1) 2 f (x ) = ? ?1+cos2x -1 < x < 0 ， 计 算 ? 1 f (x - 2)dx . 8. ? x (sin t )'dt = ( C ) (其中 x > ). 2 (A) (C) t sin x x sin x - 2 x 2 (B) (D) sin x + C x sin x - 2 + C x 3 1 9. 设 f (x ) 是连续函数,且 f (t )dt = x ,则 f (8) = . 12 ?0 ln(1 + sin t )dt 2 ?0 cos tdt 10. lim x →0 1 - cos x = 1 ； lim x →0 ln(1 + x = 1 . ) 3 ? ] e 6.求函数 I (x ) = ? 2 第一部分： 1．下面函数与y x =为同一函数的是（） 2 .A y= .B y=ln .x C y e =.ln x D y e = 解：ln ln x y e x e x === Q，且定义域() , -∞+∞，∴选D 2．已知?是f的反函数，则()2 f x的反函数是（） () 1 . 2 A y x ? =() .2 B y x ? =() 1 .2 2 C y x ? =() .22 D y x ? = 解:令() 2, y f x =反解出x：() 1 , 2 x y =?互换x，y位置得反函数() 1 2 y x =?，选A 3．设() f x在() , -∞+∞有定义，则下列函数为奇函数的是（） ()() .A y f x f x =+-()() .B y x f x f x =-- ?? ?? () 32 .C y x f x =()() .D y f x f x =-? 解：() 32 y x f x = Q的定义域() , -∞+∞且()()()()() 3232 y x x f x x f x y x -=-=-=-∴选C 4．下列函数在() , -∞+∞内无界的是（） 2 1 . 1 A y x = + .arctan B y x =.sin cos C y x x =+.sin D y x x = 解: 排除法：A 2 1 122 x x x x ≤= + 有界，B arctan 2 x π <有界， C sin cos x x +≤，故选D 5．数列{}n x有界是lim n n x →∞ 存在的（） A 必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 无关条件 解：Q{}n x收敛时，数列n x有界（即n x M ≤），反之不成立，（如() {}11n--有界，但不收敛，选A. 6．当n→∞时，2 1 sin n 与 1 k n 为等价无穷小，则k= （） A 1 2 B 1 C 2 D -2 解：Q 2 2 11 sin lim lim1 11 n n k k n n n n →∞→∞ ==，2 k=选C 高 数练习 题 一、选择题。 4、1 1lim 1 --→x x x （ ）。 a 、1-= b 、1= c 、=0 d 、不存在 5、当0→x 时，下列变量中是无穷小量的有（ ）。 a 、x 1sin b 、 x x sin c 、12--x d 、x ln 7、()=--→1 1sin lim 21x x x （ ）。 a 、1 b 、2 c 、0 d 、2 1 9、下列等式中成立的是（ ）。 a 、e n n n =??? ??+∞→21lim b 、e n n n =? ?? ??++∞ →2 11lim c 、e n n n =??? ??+∞→211lim d 、 e n n n =? ? ? ??+∞ →211lim 10、当0→x 时，x cos 1-与x x sin 相比较（ ）。 a 、是低阶无穷小量 b 、是同阶无穷小量 c 、是等阶无穷小量 d 、是高阶无穷小量 11、函数()x f 在点0x 处有定义，是()x f 在该点处连续的（ ）。 a 、充要条件 b 、充分条件 c 、必要条件 d 、无关的条件 12、 数列｛y n ｝有界是数列收敛的 ( ) . （A ）必要条件 (B) 充分条件 (C) 充要条件 (D)无关条件 13、当x —>0 时，( )是与sin x 等价的无穷小量. (A) tan2 x (B) x (C)1 ln(12)2x + (D) x (x +2) 14、若函数()f x 在某点0x 极限存在，则（ ）. （A ）()f x 在0x 的函数值必存在且等于极限值 （B ）()f x 在0x 的函数值必存在，但不一定等于极限值 （C ）()f x 在0x 的函数值可以不存在 （D ）如果0()f x 存在则必等于极限值 15、如果0 lim ()x x f x →+与0 lim ()x x f x →-存在，则（ ）. （A ）0 lim ()x x f x →存在且00 lim ()()x x f x f x →= （B ）0 lim ()x x f x →存在但不一定有00 lim ()()x x f x f x →= （C ）0 lim ()x x f x →不一定存在 （D ）0 lim ()x x f x →一定不存在 16、下列变量中（ ）是无穷小量。 17、=∞→x x x 2sin lim （ ） 2 18、下列极限计算正确的是（ ） 19、下列极限计算正确的是（ ） A. f(x)在x=0处连续 B. f(x)在x=0处不连续，但有极限 C. f(x)在x=0处无极限 D. f(x)在x=0处连续，但无极限 23、1lim sin x x x →∞ =（ ）. （A ）∞ （B ）不存在 （C ）1 （D ）0 24、221sin (1) lim (1)(2) x x x x →-=++（ ）. （A ）13 （B ）13- （C ）0 （D ）23 25、设1sin 0()3 0x x f x x a x ?≠? =??=?，要使()f x 在(,)-∞+∞处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 （C ）1/3 （D ）3 ) ( , 0 x 1 x 2 0 x 1 x ) x ( f . 20、 2 则下列结论正确的是 设高等数学第六版(同济大学)上册课后习题答案解析
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