Wold 分解定理：任何协方差平稳过程x t ，都可以被表示为
x t - μ- d t = u t + ψ1 u t -1+ ψ2 u t -2 + … + =
其中μ表示x t 的期望。d t 表示x t 的线性确定性成分，如周期性成分、时间t 的多项式和指数形式等，可以直接用x t 的滞后值预测。ψ0= 1，∑
∞
=0
2j j ψ< ∞。u t 为白噪声过程。u t 表示用x t 的滞后项预测x t 时的误差。
u t = x t - E(x t |x t -1,x t -2 , …)
∑
∞=-0
j j t j u ψ称为x t 的线性非确定性成分。当d t = 0时，称x t 为纯线性非确定性过程。
Wold 分解定理由Wold 在1938年提出。Wold 分解定理只要求过程2阶平稳即可。从原理上
讲，要得到过程的Wold 分解，就必须知道无限个ψj 参数，这对于一个有限样本来说是不可能的。实际中可以对ψj 做另一种假定，即可以把ψ(L )看作是2个有限特征多项式的比，
ψ(L )=∑
∞
=0
j j j L ψ=)()(L L ΦΘ=p
p q
q
L L L L L L φφφθθθ++++++++...1...1221221 注意，无论原序列中含有何种确定性成分，在前面介绍的模型种类中，还是后面介绍的
自相关函数、偏自相关函数中都假设在原序列中已经剔除了所有确定性成分，是一个纯的随机过程（过程中不含有任何确定性成分）。如果一个序列如上式， x t =μ+ d t + u t + ψ1 u t -1+ ψ2 u t -2 + … +
则所有研究都是在y t = x t - μ- d t 的基础上进行。例如前面给出的各类模型中都不含有均值项、时间趋势项就是这个道理。
2.3 自相关函数
以上介绍了随机过程的几种模型。实际中单凭对时间序列的观察很难确定其属于哪一种模型，而自相关函数和偏自相关函数是分析随机过程和识别模型的有力工具。
1. 自相关函数定义
在给出自相关函数定义之前先介绍自协方差函数概念。由第一节知随机过程{x t }中的每
一个元素x t ，t = 1, 2, … 都是随机变量。对于平稳的随机过程，其期望为常数，用μ表示，即
E(x t ) = μ, t = 1, 2, … (2.25) 随机过程的取值将以μ为中心上下变动。平稳随机过程的方差也是一个常量
Var(x t ) = E [(x t - E(x t ))2 ] = E [(x t - μ)2 ] = σx 2 , t = 1, 2, … (2.26)
σx 2用来度量随机过程取值对其均值μ的离散程度。
相隔k 期的两个随机变量x t 与x t - k 的协方差即滞后k 期的自协方差，定义为
γk = Cov(x t , x t - k ) = E[(x t - μ)(x t -k - μ)] (2.27)
自协方差序列
γk ,k = 0, 1, …, K ,
称为随机过程 {x t } 的自协方差函数。当k = 0 时
γ0 = Var (x t ) = σx 2
自相关系数定义
ρk =
)
()(),(k t t k t t x Var x ar V x x Cov -- （2.28）
因为对于一个平稳过程有
Var (x t ) = Var (x t - k ) = σx 2 (2.29) 所以（2.28）可以改写为
ρk =
2
)
,(x k t t x x Cov σ- =
2
x k σγ=
γγk
（2.30） 当 k = 0 时，有 ρ0 = 1。
以滞后期k 为变量的自相关系数列
ρk ,k = 0, 1, …, K (2.31)
称为自相关函数。因为ρk = ρ-k 即Cov(x t - k , x t ) = Cov(x t , x t +k )，自相关函数是零对称的，所以实际研究中只给出自相关函数的正半部分即可。
2.自回归过程的自相关函数
(1) 平稳AR(1)过程的自相关函数 AR(1) 过程如下 x t = φ1x t -1 + u t , |φ1|< 1 用x t- k 同乘上式两侧 x t x t- k = φ1x t -1 x t- k + u t x t- k 两侧同取期望，
γk = φ1 γk -1
其中E(x t- k u t ) = 0（u t 与其t - k 期及以前各项都不相关）。两侧同除γ0 得,
ρk = φ1 ρk -1 = φ1 φ1 ρk -2 = … = φ1k ρ0
因为 ρo = 1。所以有
ρk = φ1k , （k ≥ 0）
对于平稳序列有 |φ1|<1。所以当φ1为正时，自相关函数按指数衰减至零（过阻尼情形），当φ1为负时，自相关函数正负交错地指数衰减至零。见图2.6。因为对于经济时间序列，φ1一般为正，所以第一种情形常见。指数衰减至零的表现形式说明随着时间间隔的加长，变量之间的关系变得越来越弱。
φ1>0 （经济问题中常见） φ1< 0 （经济问题中少见）
图2.6AR(1) 过程的自相关函数
（2）AR(p ) 过程的自相关函数
用x t - k , (k >0)同乘平稳的 p 阶自回归过程
x t = φ 1 x t -1 + φ2 x t -2 +…+φ p x t -p + u t (2.32) 的两侧，得
x t - k x t = φ1x t - k x t -1 + φ2x t - k x t -2 +…+φp x t - k x t -p +x t - k u t (2.33) 对上式两侧分别求期望得
γk = φ1 γk -1+φ2 γk -2+ … +φp γk -p ， k > 0 (2.34)
上式中对于k > 0，有E(x t - k u t ) = 0。因为当k > 0时，x t - k 发生在u t 之前，所以x t - k 与u t 不相关。
用γ0分别除（2.34）式的两侧得
ρk = φ1ρk -1+φ2ρk -2+ … +φp ρk -p ， k > 0 (2.35)
令Φ(L ) = (1 - φ1 L - φ2L 2 -… - φp L p ）其中L 为k 的滞后算子，则上式可表达为
Φ(L ) ρk = 0
因 Φ(L ) 可因式分解为，
Φ(L ) =∏=p
i i L G 1
) -(1,
则（2.35）式的通解（证明见附录）是
ρk =A 1G 1k + A 2G 2k + …+ A p G p k . (2.36)
其中A i , i = 1, … p 为待定常数。这里G i -1, i = 1, 2, …, p 是特征方程
Φ(L )= (1 - φ1 L - φ2L 2 - … - φp L p ) = 0
的根。为保证随机过程的平稳性，要求 |G i | < 1, i = 1, 2, …, p 。这会遇到如下两种情形。 ①当G i 为实数时，(2.36) 式中的A i G i k 将随着k 的增加而几何衰减至零，称为指数衰减（过阻尼情形）。
②当G i 和G j 表示一对共轭复根时，设G i =a + bi , G j =a – bi ,
22b a += R ，则G i , G j 的
极座标形式是G i =R (Cos θ + i Sin θ)，G j = R (Cos θ - i Sin θ)。若AR(p )过程平稳，则|G i | <1，所以必有R <1。那么随着k 的增加，G i k =R k (Cosk θ + i Sink θ)，G j k =R k (Cosk θ-i Sink θ)，自相关函数（2.36）式中的相应项G i k , G j k 将按正弦振荡形式衰减（欠阻尼情形）。实际中的平稳自回归过程的自相关函数常是由指数衰减和正弦衰减两部分混合而成。
③从（2.36）式可以看出，当特征方程的根取值远离单位圆时，k 不必很大，自相关函数就会衰减至零。
④有一个实数根接近1时，自相关函数将衰减的很慢，近似于线性衰减。当有两个以上的根取值接近1时，自相关函数同样会衰减的很慢。
0.00.20.40.60.8
a. 两个特征根为实根
b.两个特征根为共轭复根
图2.6AR(2) 过程的自相关函数
3. 移动平均过程的自相关函数 (1) MA(1) 过程的自相关函数。 对于MA(1)过程x t = u t + θ1 u t -1 有
γk = E(x t x t - k ) = E [(u t + θ1 u t -1) (u t - k + θ1 u t -k -1)]
当k = 0时，
γ0 = E(x t x t ) = E [(u t + θ1 u t -1) (u t + θ1 u t -1)]
= E (u t 2 + θ1u t u t -1+ θ1u t u t -1+ θ12u t -12 ) = (1 + θ12 )σ2 当k = 1时
γ1 = E(x t x t - 1) = E [(u t + θ1 u t -1) (u t – 1 + θ1 u t – 2 )]
=E (u t u t -1 + θ1u t -12 + θ1u t u t -2+ θ12 u t -1u t -2) = θ1E (u t -1) 2 = θ1σ2 当 k > 1 时，
γk = E [(u t + θ1 u t -1) (u t – k + θ1 u t – k -1)] = 0
综合以上三种情形，MA(1)过程自相关函数为
ρk =
0γγk = 211
1θθ+ , k = 1
0 , k > 1，
见图2.7。
θ1> 0 θ1< 0
图2.7MA(1)过程的自相关函数
可见MA(1) 过程的自相关函数具有截尾特征。当k > 1时，ρk = 0。 (2) MA(q ) 过程的自相关函数 MA(q ) 过程的自相关函数是
ρk =
2
22
21
2211...1...q
q
k q k k k θθθθθθθθθθ++++++++-++,k = 1, 2, …, q ,
0k >q ,
当k >q 时，ρk = 0，说明ρk , k = 0, 1, … 具有截尾特征。 （注意：模型移动平均项的符号以及这里
ρk 的符号正好与Box-Jenkins 书中的符号相反，这样表示的好处是保持与计算机输出结果一
致。）
4. ARMA(1, 1)过程的自相关函数
ARMA(1, 1) 过程的自相关函数ρk 从 ρ1开始指数衰减。ρ1的大小取决于 φ1和 θ1,
ρ1的符号取决于
(φ1 - θ1)。若 φ1
>0，指数衰减是平滑的，或正或负。若 φ1
<0，相关函数为正负交替式指数衰减。
对于ARMA(p , q ) 过程，p , q ≥2时，自相关函数是指数衰减或正弦衰减的。 5. 相关图（correlogram ）
对于一个有限时间序列（x 1, x 2, …, x T ）用样本平均数
x =
T
1∑=T
t t
x
1
估计总体均值μ，用样本方差 s 2 =
21
)(1∑=-T
t t
x x
T
估计总体方差σx 2。
当用样本矩估计随机过程的自相关函数，则称其为相关图或估计的自相关函数，记为 r k = 0C C
k , k = 0,1 ,2,…, K , ( K < T ) . (2.41)
r k 是对ρk 的估计。其中
C k =
T
1∑-=---k T t k t t
x x x x
1
),)((k = 0,1,2,…, K , (2.42)
是对γk 的估计
C 0=
21
)(1∑=-T
t t
x x
T
(2.43)
是对γ0的估计，T 是时间序列数据的样本容量。实际中T 不应太小，最好能大于60。
注意：(2.42)式分母为T ，不是T -k 。C k 为有偏估计量。但在小样本条件下更有效。
注：2个规范差 = 2 T -1/2 = 2（1/7）= 0.286。图中虚线表示到中心线2个规范差宽度。
相关图是对自相关函数的估计。由于MA 过程和ARMA 过程中的MA 分量的自相关函数具有截尾特性，所以通过相关图可以估计MA 过程的阶数q 。相关图是识别MA 过程阶数和A RMA 过程中MA 分量阶数的一个重要方法。实际应用中相关图一般取k = 15就足够了。
r k 的方差近似为T -1。所以在观察相关图时，若r k 的绝对值超过2 T -1/2（2个规范差），就被认为是显著地不为零。当T 充分大时，近似有 (r k -0) / T -1/2 = r k T 1/2~ N (0, 1)
2.4 偏自相关函数
偏自相关函数是描述随机过程结构特征的另一种方法。用φkj 表示k 阶自回归式中第j 个回归系数，则k 阶自回归模型表示为
x t = φk 1 x t -1 + φk 2 x t -2 + … + φkk x t -k + u t
其中φkk 是最后一个回归系数。若把k = 1,
2…的一系列回归式φkk 看作是滞后期k 的函数，则称
φkk , k = 1, 2 … (2.45) 为偏自相关函数。它由下式中的红项组成。
x t = φ11 x t -1 + u t
x t = φ21 x t -1 + φ22 x t -2 + u t
。。。
x t = φk 1 x t -1 + φk 2 x t -2 + … + φkk x t -k + u t
因偏自相关函数中每一个回归系数φkk 恰好表示x t 与x t-k 在排除了其中间变量x t -1, x t -2, …, x t -k +1影响之后的相关系数，
x t - φk 1 x t -1 - φk 2 x t -2 - … - φkk -1x t -k +1 = φkk x t -k + u t 所以偏自相关函数由此得名。
对于AR(1)过程，x t = φ11 x t -1 + u t ，当k = 1时，φ11 ≠ 0，当k > 1时，φkk =
0，所以AR(1)过程的偏自相关函数特征是在k = 1出现峰值（φ11 = ρ1）然后截尾。
φ11 > 0 φ11 < 0
AR(1) 过程的偏相关图
对于AR(2)过程，当k ≤2时，φkk ≠
0，当k >2时，φkk =
0。偏自相关函数在滞后期2以后有截尾特性。
对于AR(p )过程，当k ≤p 时，φkk ≠ 0，当k > p 时，φkk = 0。偏自相关函数在滞后期p 以后有截尾特性，因此可用此特征识别AR(p )过程的阶数。
MA(1) 过程的偏自相关函数呈指数衰减特征。若θ1>0,偏自相关函数呈交替改变符号式指数衰减；若θ1<0，偏自相关函数呈负数的指数衰减。
因为任何一个可逆的MA(q )
过程都可以转换成一个无限阶的系数按几何递减的AR 过程，所以MA(q ) 过程的偏自相关函数呈缓慢衰减特征。
θ1> 0θ1< 0
MA(1) 过程的偏自相关函数
例5：对于x t = u t + θ1 u t -1过程，有[1/ (1+ θ1L )] x t = u t , 当θ1>0，
(1- θ1L + θ12L 2 - … ) x t = u t ,
x t = θ1x t -1- θ12x t -2 + θ13x t -3 -… + u t ,
对于x t = u t -θ1 u t -1过程，有 [1/ (1- θ1L )] x t = u t ，当θ1>0, (1+ θ1L + θ12L 2 + … ) x t = u t ,
x t = - θ1x t -1- θ12x t -2 - θ13x t -3 -… + u t ,
对于MA(2) 过程，若Θ (L )=0的根是实数，偏自相关函数由两个指数衰减形式叠加而成。若Θ (L )=0的根是虚数，偏自相关函数呈正弦衰减形式。
ARMA(p , q ) 过程的偏自相关函数也是无限延长的，其表现形式与MA(q )过程的偏自相关函数相类似。根据模型中移动平均部分的阶数q 以及参数θi 的不同，偏自相关函数呈指数衰减和（或）正弦衰减混合形式。
对于时间序列数据，偏自相关函数通常是未知的。可用样本计算 φ11, φ22, … 的估计量 11?φ, 22
?φ, …。估计的偏自相关函数 kk
φ?, k = 1, 2, …, K , (2.48) 称为偏相关
图。因为AR过程和ARMA过程中AR分量的偏自相关函数具有截尾特性，所以可利用偏相关图估计自回归过程的阶数p。实际中对于偏相关图取k = 15就足可以了。
φ?的方差近似为T-1。当T充分大时，近似有
kk
(kk
φ?~N (0, 1)
φ?-0) / T-1/2 = T1/2kk
所以在观察偏相关图时，若
φ?的绝对值超过2
kk
T-1/2（2个规范差），就被认为是显著地不为零。
2.5时间序列模型的建立与预测
ARIMA过程y t用
Φ (L)Δd y t = θ0 +Θ(L) u t(2.51)
表示，其中Φ(L)和Θ(L)分别是p, q阶的以L为变数的多项式，它们的根都在单位圆之外。θ0为位移项，Δd y t表示对y t 进行d次差分之后可以表达为一个平稳的可逆的ARMA过程。这是随机过程的一般表达式。它既包括了AR，MA 和ARMA过程，也包括了单整的AR，MA和ARMA过程。
建立时间序列模型通常包括三个步骤。（1）模型的识别，（2）模型参数的估计，（3）诊断与检验。
模型的识别就是通过对相关图的分析，初步确定适合于给定样本的ARIMA模型形式，即确定d,p,q的取值。
模型参数的估计就是待初步确定模型形式后对模型参数进行估计。
诊断与检验就是以样本为基础检验拟合的模型，以求发现某些不妥之处。如果模型的某些参数估计值不能通过显著性检验，或者残差序列不能近似为一个白噪声过程，应返回第一步再次对模型进行识别。如果上述两个问题都不存在，就可接受所建立的模型。建摸过程用图2.8表示。下面对建摸过程做详细论述。
1.模型的识别
模型的识别主要依赖于对相关图与偏相关图的分析。在对经济时间序列进行分析之前，首先应对样本数据取对数，目的是消除数据中可能存在的异方差，然后分析其相关图。
识别的第1步是判断随机过程是否平稳。由2.2节知，如果一个随机过程是平稳的，其特征方程的根都应在单位圆之外。由2.7节知，如果Φ(L) = 0的根接近单位圆，自相关函数将衰减的很慢。所以在分析相关图时，如果发现其衰减很慢，即可认为该时间序列是非平稳的。这时应对该时间序列进行差分，同时分析差分序列的相关图以判断差分序列的平稳性，直至得到一个平稳的序列。对于经济时间序列，差分次数，即模型（2.51）中的参数d通常只取0，1或2。
图2.8 建立时间序列模型程序图
实际中也要防止过度差分。一般来说平稳序列差分得到的仍然是平稳序列，但当差分次数过多时存在两个缺点，（1）序列的样本容量减小；（2）方差变大；所以建模过程中要防止差分过度。对于一个序列，差分后若数据的极差变大，说明差分过度。
第2步是在平稳时间序列基础上识别ARMA模型阶数p, q。表2.3给出了不同ARMA 模型的自相关函数和偏自相关函数。当然一个过程的自相关函数和偏自相关函数通常是未知的。用样本得到的只是估计的自相关函数和偏自相关函数，即相关图和偏相关图。建立ARMA模型，时间序列的相关图与偏相关图可为识别模型参数p, q提供信息。相关图和偏相关图（估计的自相关系数和偏自相关系数）通常比真实的自相关系数和偏自相关系数的方差要大，并表现为更高的自相关。实际中相关图，偏相关图的特征不会像自相关函数与偏自相关函数那样“规范”，所以应该善于从相关图，偏相关图中识别出模型的真实参数p, q。另外，估计的模型形式不是唯一的，所以在模型识别阶段应多选择几种模型形式，以供进一步选择。
表2.3 ARIMA过程与其自相关函数偏自相关函数特征
下面通过一些相关图和偏相关图识别模型结构。
2. 模型参数的估计
对于时间序列模型，一般采用极大似然法估计参数。对于一组相互独立的随机变量x t,（t= 1, 2, …, T），当得到一个样本 (x1, x2, …, x T) 时，似然函数可表示为
L (γ|x 1, x 2, …, x T ) = f (x 1|γ) f (x 2|γ) … f (x T |γ) =
∏=T
t t
x
f 1
(|γ) (2.52)
其中γ=（γ1, γ2, …, γk ）是一组未知参数。对数似然函数是
log L = ∑=T
t log 1
f (x t
|γ)
通过选择
γ使上式达到最大，从而求得极大似然估计值
γ?。具体步骤是用上述对数似然函数对每个未知参数求偏导数并令其为零，即 1log γ??L
= 0 … k
L
γ??log = 0, （k 个方程联立） 一般来说似然函数是非线性的，必须采用迭代计算的方法求参数的极大似然估计值。极大似然估计量 (MLE) 具有一致性和渐近有效性。
首先讨论怎样对如下线性回归模型 y t = β0 + β1 x t 1 +β2 x t 2 +…+ β k -1x t k -1+ u t , t = 1, 2, …, T , (2.53) 进行极大似然估计。假定u t ~ N(0,σ 2), 则y t 也服从正态分布。 y t ~N(E(y t ),σ 2)，
其中E(y t ) = β0 + β1 x t 1 +β2 x t 2+ … + βk -1x t k -1。若y t 是相互独立的，则对于样本 (y 1, y 2, …, y T )，似然函数是
L (β, σ 2 |y 1, ,y 2, …, y T ) = f ( y 1) f ( y 2) … f ( y T )
其中β表示未知参数β0, β1, …, β k -1的集合。由（2.53）式每个y t 的概率密度函数为 f (y t )=
2
/12)
2(1πσexp[2
2
2))(E (σ
t t y y --
].
对于样本(y 1, y 2, …, y T )，对数似然函数为
logL =
∑
=T
t log 1
f (y t )= -2T lo
g 2π -2T log σ 2 -∑=T
t t y 1
2[21
σ- E( y t ) ]2 (2.54)
上式右侧前两项是常量。第三项的符号为负，所以对logL 极大化等同于选择β~
值从而使平方和∑=T
t t y 1[- E( y t )]2 极小化，即选择β~
使
∑=T
t t y 1(-0~
β -1~βx t 1 -2~βx t 2 - (1)
-k βx tk -1) 2 =
∑=T
t t u
1
2~ 极小化。上式中t
u ~表示残差。这种估计方法恰好与OLS 法相同，所以在这个例子中β的ML E 估计量β~与OLS 估计量β
?完全相同，即β~
=β?。与OLS 法不同的是极大似然估计法在估计β~
的同时，还得到u t 方差的估计量。对（2.54）式求σ 2 的偏导数并令其为零。
2
σ
??L log = -
2
2σ
T +
4
21σ
∑=T
t t y 1
[- E( y t ) ]2 = 0(2.55)
用β~
代替上式中E(y t ) 中的β得
2~σ
= T -1∑=T
t t u
12~ 现在讨论怎样对时间序列模型的参数进行极大似然估计。
对于非平稳过程y t ，假定经过d 次差分之后可以表达为一个平稳、可逆的自回归移动平均过程x t ，
Φ(L ) ?d y t = Φ (L ) x t = Θ (L ) u t . (2.56)
对于y t 假定可以观测到T +d 个观测值，即y - d +1, …, y 0, y 1,…, y T ，则经过d 次差分之后， x t 的样本容量为T 。 以 {x 1, …, x T }为样本估计ARMA (p , q ) 模型参数 (φ1, …, φp , θ1, …, θq )。
对随机过程{x t }的参数估计就如对回归模型的参数估计一样，目的是使x t 与其拟合值t x ?的残差平方和
∑-t
t t
x
x
2)?(= ∑t
t
u 2
?
最小。把 (2.56) 式改写为
u t = t x L L )
()(ΘΦ . (2.57)
若用i φ?，i
θ?和t u ?分别表示对φi ,θi 和u t 的估计，则使下式最小。 ∑t
t
u 2
?
= S (1?φ, …, p φ?, 1?θ, …, q
θ?) (2.58) 假定u t ~N (0, σu 2), t = 1, … T ，且不存在自相关，则条件对数似然函数为
logL = -T log σu -
2
2
2?
u
t
t
u σ∑ (2.59)
之所以称之为条件对数似然函数是因为∑2
?
t
u 依赖于过去的不可知观测值x 0, x -1, …, x - p +1和
u 0, u -1, …, u - q +1。比如
u 1 = x 1 - φ1 x 0 - φ2 x -1 - … - φp x -p +1 - θ1u 0 - …- θq u - q +1 (2.60) 对（2.59）式求极大即等同于对
∑2
?
t
u 求极小。对
∑2
?
t
u 求极小时需要先确定x 0, x –1, …, x -p +1
和u 0, u -1, …, u -q +1的值。此问题的一般处理方法是取这些变量等于他们的无条件期望值。u 0, u -1, …, u -q +1的无条件期望值为零。若模型（2.56）中不含有漂移项，则x 0, x -1, …, x -p +1的无条件期望值也为零。当样本容量T 与滞后长度p , q 值相比充分大，且φ1,…, φp 的值不接近1时，这种近似非常理想。
若 (2.56) 式中不含有移动平均项，对于自回归参数来说 (2.57) 式是一个线性函数。可以用OLS 法估计参数。如果 (2.56) 式中含有移动平均项，那么对于移动平均参数来说， (2.57) 式是一个非线性函数。对 (2.57) 式必须采用非线性估计方法。
首先假定模型为纯自回归形式，
Φ (L ) x t = u t (2.61)
或
x t = φ1 x t-1 + … + φp x t -p + u t . (2.62)
这是一个线性回归模型，极大似然估计与OLS 估计结果近似相同。
当模型中含有移动平均成分时
u t = Θ-1(L )Φ (L ) x t (2.63) 对于参数来说，模型是非线性的。对于非线性模型，通常由三种估计方法。
⑴直接搜索法。通过改变参数的取值，反复计算残差平方和
∑2
?
t
u 的值。然后从中选择
最小的那个值所对应的参数值作为对参数的估计值。这种方法只有在参数个数较少时才是可行的。当参数个数较多时，计算量将非常大。例如当含有四个被估参数，每个参数需选择20个计算值时，则需要计算 (20) 4= 160000次。
⑵直接优化法。求误差平方和函数对每一个参数的偏导数并令其为零，从而求得正规方程
i
t
t
u γ??∑)
?
(
2
= 0, i =1, …, p + q (2.64)
其中（γ1, …, γp +q ）=（φ1, …, φp , θ1, …, θq ）。因为p + q 个方程中都含有p + q 个参数，所以必须联立求解。由于计算上的困难，这种方法很少直接采用。
⑶线性迭代法。对任何非线性函数通常都可以按泰勒级数展开。
f (x ) = f (x 0) + f ‘(x 0) (x – x 0) + … = f (x 0) - f ‘(x 0) x 0 + f ‘(x 0) x + …
首先为参数选一组初始值（γ1, 0, …, γp +q , 0）（下标零表示初始值。怎样确定初始值并不重要。）， 然后将x t = f (x t-1, …, x t -p ) 按泰勒级数在（γ1, 0, …, γp +q , 0）点展开。 x t = f (x t-1, …, x t -p , γ1, 0, …, γp +q , 0 ) +
)(0,0
1i i q
p i i f
γγγ
-????
????∑
+= +
))((2
1
0,0,0
1
12j j i i q p i q p j j i f γγγγγγ--????
?
???∑∑
+=+=
+ … (2.65)
其中偏导数的下标写为零表示偏导数在 γ1 = γ1, 0, …, γp +q = γ p +q , 0时的值。取上式右侧的前两项对原非线性函数x t 进行近似。去掉右侧第三项及以后各项得
x t -f (x t-1, …, x t -p , γ1, 0, …, γp +q , 0 ) + 0
1
0,∑
+=????
????q
p i i i f γγ= 0
1
∑
+=????
????q
p i i
i f γγ+ u t . (2.66) 上式为线性回归方程形式。左侧为已知量，右侧含有一组未知量γi , i = 1, …, p + q 。利用OLS 法对上式进行估计。设所得估计值用（γ1, 1, …, γp +q , 1）表示。以此作为第二组估计值，对非线性函数再一次线性化，从而得到一个新的线性方程。
x t -f (x t-1, …, x t -p , γ1, 1 , …, γp +q , 1 ) + 1
1
1,∑
+=????
????q
p i i i f γγ= 1
1
∑
+=????
????q
p i i
i f γγ+ u t (2.67) 对上式再次应用OLS 法估计参数，并把 (γ1, 2, …, γp +q , 2) 作为待估参数的第三组估计值。重复上述过程，直至满足如下要求为止。 ij
ij
j i γγγ-+1, < δ, i = 1, …, p +q , (2.68)
其中i 表示参数序号，j 表示迭代次数。δ是预先给定的精度规范。
如果最后一次的参数估计值用 (γ1, k , …, γp +q , k ) 表示，并且 (γ1, k , …, γp +q , k ) 接近真值 (γ1 , …, γp +q ) ，则必有，
k q
p i i k i f ∑
+=???? ????1
,γ
γ≈k
q
p i i
i f ∑
+=???? ????1γγ 所以有
x t = f (x t-1, …, x t -p , γ1, k , …, γp +q , k )+ t u
? (γ1, k , …, γp +q , k ) 是对 (γ1, …, γp +q ) 的最终估计。这种迭代计算一般都是通过计算机完成。 评价线性模型的一些统计量例F , t 等都不能直接用于评价非线性模型。原因是尽管u t
是正态分布的且均值为零，但残差 t u
? = x t - t x ?= x t - f (x t-1, …, x t -p , γ1, k , …, γp +q , k ) (2.69) 不服从正态分布，则
∑2
?
t
u 不服从 χ2 分布，参数估计量不服从正态分布。所以不能使用
F 和t 检验。然而对迭代中的最后一步可以进行F , t 检验。如果估计量i γ?= γi , k , （i = 1, …, p + q ），接近真值γi ，那么F , t 检验将会对非线性模型有很满意的解释作用。
3. 诊断与检验
完成模型的识别与参数估计后，应对估计结果进行诊断与检验，以求发现所选用的模型是否合适。若不合适，应该知道下一步作何种修改。
这一阶段主要检验拟合的模型是否合理。一是检验模型参数的估计值是否具有显著性；二是检验模型的残差序列是否为白噪声。参数估计值的显著性检验是通过t 检验完成的，而模型的残差序列是否为白噪声的检验是用Box-Pierce (1970) 提出的Q 统计量完成的。Q 检验的零假设是
H ：ρ1 = ρ2 = … = ρK = 0
即模型的误差项是一个白噪声过程。Q 统计量定义为
Q = T
∑=K
k k
r
1
2
(2.70)
近似服从χ2( K -p -q )分布，其中T 表示样本容量，r k 表示用残差序列计算的自相关系数值，K 表示自相关系数的个数，p 表示模型自回归部分的最大滞后值，q 表示移动平均部分的最大滞后值。 Ljung 和Box 认为(2.70)式定义的Q 统计量的分布与χ2(
K -p -q )分布存在差异（相应值偏小）
，于是提出修正的Q 统计量。
Q = T (T +2)∑
=-K
k k
k T r 1
2
(2.71)
其中r k ，K ，p ，q 的定义如(2.70)式。修正的Q 统计量(2.71)
近似服从χ2( K -p -q )分布。且它的近似性比原Q 统计量的近似性更好。（EViews 中给出的Q 统计量就是按(2.71)式定义的。）
用残差序列计算Q 统计量的值。显然若残差序列不是白噪声，残差序列中必含有其他成份，自相关系数不等于零。则Q 值将很大，反之Q 值将很小。判别规则是：
若Q < χ2α ( K -p -q ) ，则接受H 0。 若Q > χ2α ( K -p -q ) ，则拒绝H 0。 其中α 表示检验水平。
4. 时间序列模型预测 下面以ARMA(1,
1)
模型为例具体介绍预测方法。其他形式时间序列模型的预测方法与此类似。
设对时间序列样本{x t },t =1,2,…,T ，所拟合的模型是
x t = φ1 x t -1 + u t + θ1 u t -1 (2.72) 则理论上T + 1期x t 的值应按下式计算
x T +1 = φ1 x T + u T +1 + θ1 u T (2.73)
用估计的参数1?φ,1?θ和T u
?分别代替上式中的φ1,θ1和u T 。上式中的u T +1是未知的，但知E(u T +1) = 0，所以取u T +1 = 0。x T 是已知的（样本值）。对x T +1的预测按下式进行
1?+T x
=1?φx T +1?θT u ? (2.74) 由(2.73)式，理论上x T +2的预测式是
x T +2 = φ1 x T +1 + u T +2 + θ1 u T +1
仍取u T +1 = 0，u T +2 = 0，则x T +2的实际预测式是
2?+T x
=1?φ1?+T x (2.75) 其中1?+T x
是上一步得到的预测值，与此类推x T +3的预测式是 3?+T x
= 1?φ2?+T x (2.76) 由上可见，随着预测期的加长，预测式 (2.73)
中移动平均项逐步淡出预测模型，预测式变成了纯自回归形式。
若上面所用的x t 是一个差分变量，设? y t = x t ，则得到的预测值相当于?t y ?, (t = T +1, T +2 , … )。因为
y t = y t-1+?y t
所以原序列 T +1期预测值应按下式计算
1?+T y
=y T +?1?+T y (2.77) 对于t >T +1，预测式是
t y
?=1?-t y +?t y ?,t = T +2, T +3, … (2.78) 其中1?-t y
是相应上一步的预测结果。
用EViews计算相关图和偏相关图。
附录：对(2.36)式（自相关函数通解表达式）的证明对于AR(p) 过程
x t = φ 1 x t -1 + φ2 x t -2+…+ φ p x t - p + u t(1)
它的自相关函数满足下式，
ρk = φ1 ρk -1 + φ2ρk -2+ … + φpρk –p, k> 0 (2)
（见《计量经济分析》第77页）即有
(1 - φ1 L - φ2 L2 - … - φp L p ) ρk = 0 (3) 则（2）式的自相关函数有如下形式通解，
ρk = A1 G1k + A2 G2k+ … + A p G p k. (4)
其中A i, i = 1, … p 为待定系数。G i-1, i= 1, 2, …, p是（3）式特征方程
(1 - φ1 L - φ2 L2 - … - φp L p ) = 0
的根。
证明（1）：首先以AR(2) 过程为例
x t = φ 1 x t -1 + φ2 x t -2 + u t(5)
由上式可知
ρk = φ1 ρk -1 + φ2ρk -2 , k> 0 (6)
即有
(1 - G1 L ) (1 –G2 L ) ρk = 0 (7)其中，G i-1, i = 1, 2是方程(1 - φ1 L - φ2 L2 ) = 0 的根。令
(1 –G2 L ) ρk = y k(8)
由(7)式，可得
(1 - G1 L ) y k = 0 (9)将上式展开并进行迭代，可得
y k = G1y k－1 = G1 (G1 y k－2) = G12 y k－2= … = G1k y0
其中y0是由初始值确定的常数。由(8)式可得
ρk = G2 ρk－1 + y k = G2 ρk－1 + y0 G1k(10)
对上式进行迭代，
ρk = G2 (G2 ρk－2 + y0 G1k-1) + y0 G1k
= G 22ρk －2 + y 0 G 2 G 1k -1 + y 0 G 1k ….
= G 2k ρ0 + y 0 (G 1k + G 2 G 1k -1 + … + G 2 k -1G 1) (11) 当（3）式有相同的根（G 1 = G 2）时，
ρk = G 1k + y 0 k G 1k = G 1k (1+ y 0 k )
当（3）式的根不相等（G 1≠G 2）时，因为
G 1k - G 2k = (G 1 - G 2) (G 1 k -1 + G 1 k -2G 21 +…+ G 11G 2 k -2 + G 2 k -1)， 所以（11）式
ρk = G 2k ρ0 + y 0 G 1 (G 1k -1 + G 2 G 1k -2 + … + G 2 k -1)
= G 2k ρ0 + y 0 G 12
12
1G G G G k
k --= G 2k ρ0 +120/1G G y -(G 1k –G 2 k )
= G 2k +
120/1G G y -G 1k –120/1G G y -G 2 k =120/1G G y -G 1k – (1–1
20/1G G y -) G 2 k
= A 1G 1k – A 2G 2 k (12) 其中
A 1 =
120/1G G y -,A 2 = 1-1
20
/1G G y - 同理可以证明（2）式的通解是（4）式。（A i 是一个权数，所以它应该与系数以及系数方程的特征根有关系的。）
证明（2）：下面用归纳法证明。假定对于AR(p -1) 过程，
x t = φ 1 x t -1 + φ2 x t -2 +…+ φ p -1 x t – p +1 + u t (13)
则它的自相关函数有如下形式通解
ρk = A 1,p-1G 1k + A 2,p-1G 2k + … + A p -1,p-1 G p -1k . (14)
其中，G i -1, i = 1, 2, …, p -1是方程(1 - φ1 L - φ2 L 2 - … - φp -1L p -1) = 0 的根；A i,p -1, i = 1, … p -1为待定系数。
对于AR(p ) 过程，
x t = φ 1 x t -1 + φ2 x t -2 +…+ φ p x t - p + u t (15) 则它的自相关函数满足下面方程
ρk = φ1 ρk -1 + φ2ρk -2 + … + φp ρk –p , k > 0 (16)
即有
(1 - G 1 L ) (1 – G 2 L ) … (1 – G p L )ρk = 0 (17) 其中，G i -1, i = 1, 2是方程(1 - φ1 L - φ2 L 2 - … - φp L p ) = 0 的根。令
(1 – G p L ) ρk = y k (18)
由(17)式，可得
(1 - G 1 L ) (1 – G 2 L ) … (1 – G p -1L )y k = 0 (19) 即y k 满足AR(p -1) 过程的自相关函数方程，从而可得
y k = A 1 G 1k + A 2 G 2k + … + A p -1G p -1k . (20) 由(18)式可得
ρk = G p ρk -1 + y k = G p ρk -1 +
∑-=1
1
p i k i i G A (21) 对上式进行迭代，
ρk = G p (G p ρk -2 +
∑-=-1
1
1,p i k i
p
i G
A
) +
∑-=1
1
,p i k
i p
i G A
= G p 2ρk -2 +
∑-=+
1
1
,)1(p i k i i
p p i G G G A =….
= G p k ρ0 +
∑-=--+
++1
1
1
1)1(p i k i p i
p p
i
p
i G G G G
G A Λ (22) 证毕
第二章习题答案 2.1 （1）非平稳 （2）0.0173 0.700 0.412 0.148 -0.079 -0.258 -0.376 （3）典型的具有单调趋势的时间序列样本自相关图 2.2 （1）非平稳，时序图如下 （2）-（3）样本自相关系数及自相关图如下：典型的同时具有周期和趋势序列的样本自相关图
2.3 （1）自相关系数为：0.2023 0.013 0.042 -0.043 -0.179 -0.251 -0.094 0.0248 -0.068 -0.072 0.014 0.109 0.217 0.316 0.0070 -0.025 0.075 -0.141 -0.204 -0.245 0.066 0.0062 -0.139 -0.034 0.206 -0.010 0.080 0.118 （2）平稳序列 （3）白噪声序列 2.4 ，序列 LB=4.83，LB统计量对应的分位点为0.9634，P值为0.0363。显著性水平=0.05 不能视为纯随机序列。 2.5 （1）时序图与样本自相关图如下
（2） 非平稳 （3）非纯随机 2.6 （1）平稳，非纯随机序列（拟合模型参考：ARMA(1,2)） （2）差分序列平稳，非纯随机 第三章习题答案 3.1 解：1()0.7()()t t t E x E x E ε-=?+ 0)()7.01(=-t x E 0)(=t x E t t x ε=-）B 7.01( t t t B B B x εε)7.07.01()7.01(221Λ+++=-=- 229608.149 .011 )(εεσσ=-= t x Var 49.00212==ρφρ 022=φ 3.2 解：对于AR （2）模型： ?? ?=+=+==+=+=-3.05 .02110211212112011φρφρφρφρρφφρφρφρ 解得：???==15/115 /72 1φφ 3.3 解：根据该AR(2)模型的形式，易得：0)(=t x E 原模型可变为：t t t t x x x ε+-=--2115.08.0 2212122 ) 1)(1)(1(1)(σφφφφφφ-+--+-= t x Var 2) 15.08.01)(15.08.01)(15.01() 15.01(σ+++--+= =1.98232σ ?????=+==+==-=2209.04066.06957.0)1/(1221302112211ρφρφρρφρφρφφρ ?? ? ??=-====015.06957.033222111φφφρφ
应用时间序列分析实验报告
单位根检验输出结果如下：序列x的单位根检验结果：
1967 58.8 53.4 1968 57.6 50.9 1969 59.8 47.2 1970 56.8 56.1 1971 68.5 52.4 1972 82.9 64.0 1973 116.9 103.6 1974 139.4 152.8 1975 143.0 147.4 1976 134.8 129.3 1977 139.7 132.8 1978 167.6 187.4 1979 211.7 242.9 1980 271.2 298.8 1981 367.6 367.7 1982 413.8 357.5 1983 438.3 421.8 1984 580.5 620.5 1985 808.9 1257.8 1986 1082.1 1498.3 1987 1470.0 1614.2 1988 1766.7 2055.1 1989 1956.0 2199.9 1990 2985.8 2574.3 1991 3827.1 3398.7 1992 4676.3 4443.3 1993 5284.8 5986.2 1994 10421.8 9960.1 1995 12451.8 11048.1 1996 12576.4 11557.4 1997 15160.7 11806.5 1998 15223.6 11626.1 1999 16159.8 13736.5 2000 20634.4 18638.8 2001 22024.4 20159.2 2002 26947.9 24430.3 2003 36287.9 34195.6 2004 49103.3 46435.8 2005 62648.1 54273.7 2006 77594.6 63376.9 2007 93455.6 73284.6 2008 100394.9 79526.5 run; proc gplot; plot x*t=1 y*t=2/overlay; symbol1c=black i=join v=none; symbol2c=red i=join v=none w=2l=2; run; proc arima data=example6_4; identify var=x stationarity=(adf=1); identify var=y stationarity=(adf=1); run; proc arima; identify var=y crrosscorr=x; estimate methed=ml input=x plot; forecast lead=0id=t out=out; proc aima data=out; identify varresidual stationarity=(adf=2); run;
《时间序列分析》案例案例名 称：时间序列分析在经济预测中的应用内容要 求：确定性与随机性时间序列之比较设计作 者：许启发，王艳明 设计时 间：2003年8月
案例四：时间序列分析在经济预测中的应用 一、案例简介 为了配合《统计学》课程时间序列分析部分的课堂教学，提高学生运用统计分析方法解决实际问题的能力，我们组织了一次案例教学，其内容是：对烟台市的未来经济发展状况作一预测分析，数据取烟台市1949—1998年国内生产总值（GDP）的年度数据，并以此为依据建立预测模型，对1999年和2000年的国内生产总值作出预测并检验其预测效果。国内生产总值是指一个国家或地区所有常住单位在一定时期内生产活动的最终成果，是反映国民经济活动最重要的经济指标之一，科学地预测该指标，对制定经济发展目标以及与之相配套的方针政策具有重要的理论与实际意义。在组织实施时，我们首先将数据资料印发给学生，并讲清本案例的教学目的与要求，明确案例所涉及的教学内容；然后给学生一段时间，由学生根据资料，运用不同的方法进行预测分析，并确定具体的讨论日期；在课堂讨论时让学生自由发言，阐述自己的观点；最后，由主持教师作点评发言，取得了良好的教学效果。 经济预测是研究客观经济过程未来一定时期的发展变化趋势，其目的在于通过对客观经济现象历史规律的探讨和现状的研究，求得对未来经济活动的了解，以确定社会经济活动的发展水平，为决策提供依据。 时间序列分析预测法，首先将预测目标的历史数据按照时间的先后顺序排列，然后分析它随时间的变化趋势及自身的统计规律，外推得到预测目标的未来取值。它与回归分析预测法的最大区别在于：该方法可以根据单个变量的取值对其自身的变动进行预测，无须添加任何的辅助信息。 本案例的最大特色在于：它汇集了统计学原理中的时间序列分析这一章节的所有知识点，通过本案例的教学，可以把不同的时间序列分析方法进行综合的比较，便于学生更好地掌握本章的内容。 二、案例的目的与要求 （一）教学目的 1．通过本案例的教学，使学生认识到时间序列分析方法在实际工作中应用的必要性和可能性； 2．本案例将时间序列分析中的水平指标、速度指标、长期趋势的测定等内容有机的结合在一起，以巩固学生所学的课本知识，深化学生对课本知识的理解； 3．本案例是对烟台市的国内生产总值数据进行预测，通过对实证结果的比较和分析，使学生认识到对同一问题的解决，可以采取不同的方法，根据约束条件，从中选择一种合适的预测方法； 4．通过本案例的教学，让学生掌握EXCEL软件在时间序列分析中的应用，对统计、计量分析软件SPSS或Eviews等有一个初步的了解； 5．通过本案例的教学，有助于提高学生运用所学知识和方法分析解决问题的能力、合作共事的能力和沟通交流的能力。 （二）教学要求 1．学生必须具备相应的时间序列分析的基本理论知识； 2．学生必须熟悉相应的预测方法和具备一定的数据处理能力； 3．学生以主角身份积极地参与到案例分析中来，主动地分析和解决案例中的问题； 4．在提出解决问题的方案之前，学生可以根据提供的样本数据，自己选择不同的统计分析方法，对这一案例进行预测，比较不同预测方法的异同，提出若干可供选择的方案； 5．学生必须提交完整的分析报告。分析报告的内容应包括：选题的目的及意义、使用数据的特征及其说明、采用的预测方法及其优劣、预测结果及其评价、有待于进一步改进的思路或需要进一步研究的问题。 三、数据搜集与处理 时间序列数据按照不同的分类标准可以划分为不同的类型，最常见的有：年度数据、季度数据、月度数据。本案例主要讨论对年度数据如何进行预测分析。考虑到案例设计时的侧重点，本案例只是对烟
《时间简史》主要内容简介及读后感500 字 导读：读书笔记《时间简史》主要内容简介及读后感500字，仅供参考，如果觉得很不错，欢迎点评和分享。 《时间简史》主要内容简介及读后感500字，欢迎阅读点评！ 时间简史主要内容100字： 本书为史蒂芬·霍金和列纳德·蒙洛迪诺合著,作者用崭新的物理理论回答了有关宇宙的基本问题,将纷繁复杂的宇宙物理学首次用极通俗易懂的语言介绍给一般读者.本书延续了霍金一贯清晰、机智的著述风格,为读者呈现了探索。 时间简史读后感500字： 1970年霍金认为大爆炸是由奇点开始的，当时人们并不接受，而现在几乎每个人都假定宇宙是从一个大爆炸奇点开始的，霍金反而坚持大爆炸没有奇点并试图说服别人。似乎可以说，如果量子效应存在，那么霍金曾经“欺骗”了所有人，并且让人们深信不疑。科学就是这么令人无奈而又充满魅力，某一时刻费力得出的结论可能在若干年后就成了谬误，真理悬挂在天边，到达之前有些云彩遮挡了我们的视线，能否摘到真正的果实现在谁都无法知道。 宇宙是在膨胀的，虽然现在不需要担心这一点——太阳会在膨胀失控之前熄灭。但从爱因斯坦广义相对论可推断出，宇宙必须有个开
端，并可能有个终结。这一切似乎显得那么的无情：人之一生有着开端，也有着终结，宇宙也是这样。似乎世间不存在一成不变的事物，这一点[]牛顿已经证明绝对静止并不存在。难怪之前的人们一直坚持绝对时间的存在，也许这是心里的信仰所致，而现在这所有的一切都不存在了，时间都是可以塌陷的又有什么是永恒的呢？ 突然有点儿不真实的感觉。脑海中浮现出不知人类灭绝多少年后的画面——地外生物走下飞船，测了测地质年代，挖掘出被封存起来的光缆，感叹着：原来他们当时还处在电力时代啊……作者：李明哲感谢阅读，希望能帮助您！
《时间简史》简介 《时间简史》是由英国伟大的物理学家、黑洞理论和“大爆炸”理论的创立人史蒂芬·威廉·霍金撰写的一本有关宇宙学的经典著作，是一部将高深的理论物理通俗化的科普范本宇宙论是一门既古老又年轻的学科。作为宇宙里高等生物的人类不会满足于自身的生存和种族的绵延，还一代代不懈地探索着存在和生命的意义。但是，人类理念的进化是极其缓慢和艰苦的。从“亚里士多德”到“托勒密的地心说”到“哥白尼－伽利略的日心说”的演化就花了2000年的时间。令人吃惊的是，尽管人们知道世间的一切都在运动，只是到了20世纪20年代因哈勃发现了红移定律后，宇宙演化的观念才进入人类的意识。人们甚至从来没有想到过宇宙还会演化。牛顿的万有引力定律表明，宇宙的物质在引力作用下不可能处于稳定的状态。即使在爱因斯坦的广义相对论中，情况也好不到哪儿去，为了得到一个稳定的宇宙模型，他曾将宇宙常数引进理论中。他们都希望在自己的理论中找到稳定的宇宙模型。可见，宇宙演化的观念并不是产生于这些天才的头脑之中。 将哈勃的发现当成现代宇宙论的诞生是公平的。哈勃发现，从星系光谱的红移可以推断，越远的星系以越快的速度离开我们而去，这表明整个宇宙处于膨胀的状态。从时间上倒溯到过去，估计在100亿到200亿年前，曾经发生过一桩开天辟地的大事件，即宇宙从一个极其紧致、极热的状态中大爆炸而产生。伽莫夫在1948年发表的一篇关于热大爆炸模型的文章中作出了一个惊人的预言，早期大爆炸的辐射仍残存在我们周围，不过由于宇宙膨胀引起的红移，其绝对温度只余下几度左右，在这种温度下，辐射是处于微波的波段。但在1965年彭齐亚斯和威尔逊观测到宇宙微波背景辐射之前，人们并不认真对待此预言。 一般认为，爱因斯坦的广义相对论是用于描述宇宙演化的正确的理论。在经典广义相对论的框架里，霍金和彭罗斯证明了，在很一般的条件下，空间－时间一定存在奇点，最著名的奇点即是黑洞里的奇点以及宇宙大爆炸处的奇点。在奇点处，所有定律以及可预见性都失效。奇点可以看成空间时间的边缘或边界。只有给定了奇点处的边界条件，才能由爱因斯坦方程得到宇宙的演化。由于边界条件只能由宇宙外的造物主所给定，所以宇宙的命运就操纵在造物主的手中。这
实验1典型时间序列模型分析 1、实验目的 熟悉三种典型的时间序列模型： AR 模型，MA 模型与ARMA 模型，学会运用Matlab 工具对 对上述三种模型进行统计特性分析，通过对2阶模型的仿真分析，探讨几种模型的适用范围， 并且通过实验分析理论分析与实验结果之间的差异。 2、实验原理 AR 模型分析： 设有AR(2)模型, X( n)=-0.3X( n-1)-0.5X( n-2)+W( n) 其中：W(n)是零均值正态白噪声，方差为 4。 (1 )用MATLAB 模拟产生X(n)的500观测点的样本函数，并绘出波形 (2) 用产生的500个观测点估计X(n)的均值和方差 (3) 画出理论的功率谱 (4) 估计X(n)的相关函数和功率谱 【分析】给定二阶的 AR 过程，可以用递推公式得出最终的输出序列。或者按照一个白噪声 通过线性系统的方式得到，这个系统的传递函数为： 这是一个全极点的滤波器，具有无限长的冲激响应。 对于功率谱，可以这样得到， 可以看出， FX w 完全由两个极点位置决定。 对于AR 模型的自相关函数，有下面的公式: \(0) 打⑴ 匚⑴… ^(0) ■ 1' G 2 W 0 JAP) 人9-1)… 凉0) _ 这称为Yule-Walker 方程，当相关长度大于 p 时，由递推式求出: r (r) + -1) + -■ + (7r - JJ )= 0 这样，就可以求出理论的 AR 模型的自相关序列。 H(z) 二 1 1 0.3z ， P x w +W 1 1 a 才 a 2z^
1. 产生样本函数，并画出波形 2. 题目中的AR过程相当于一个零均值正态白噪声通过线性系统后的输出，可以按照上面的方法进行描述。 clear all; b=[1]; a=[1 0.3 0.5]; % 由描述的差分方程，得到系统传递函数 h=impz(b,a,20); % 得到系统的单位冲激函数，在20点处已经可以认为值是0 randn('state',0); w=normrnd(0,2,1,500); % 产生题设的白噪声随机序列，标准差为 2 x=filter(b,a,w); % 通过线形系统，得到输出就是题目中要求的2阶AR过程 plot(x,'r'); ylabel('x(n)'); title(' 邹先雄——产生的AR随机序列'); grid on; 得到的输出序列波形为： 邹先雄——产生的AR随机序列 2. 估计均值和方差 可以首先计算出理论输出的均值和方差，得到m x =0 ，对于方差可以先求出理论自相 关输出，然后取零点的值。
Eviews 时间序列分析实例 时间序列是市场预测中经常涉及的一类数据形式， 绍。通过第七章的学习，读者了解了什么是时间序列, 、指数平滑法实例 所谓指数平滑实际就是对历史数据的加权平均。它可以用于任何一种没有明显函数规 律，但确实存在某种前后关联的时间序列的短期预测。 由于其他很多分析方法都不具有这种 特点，指数平滑法在时间序列预测中仍然占据着相当重要的位置。 (―)一次指数平滑 一次指数平滑又称单指数平滑。它最突出的优点是方法非常简单， 甚至只要样本末期的 平滑值，就可以得到预测结果。 一次指数平滑的特点是： 能够跟踪数据变化。 这一特点所有指数都具有。 预测过程中添 加最新的样本数据后， 新数据应取代老数据的地位， 老数据会逐渐居于次要的地位， 直至被 淘汰。这样，预测值总是反映最新的数据结构。 一次指数平滑有局限性。第一，预测值不能反映趋势变动、季节波动等有规律的变动； 第二，这种方法多适用于短期预测， 而不适合作中长期的预测；第三， 由于预测值是历史数 据的均值，因此与实际序列的变化相比有滞后现象。 指数平滑预测是否理想，很大程度上取决于平滑系数。 Eviews 提供两种确定指数平滑 系数的方法：自动给定和人工确定。 选择自动给定，系统将按照预测误差平方和最小原则自 动确定系数。如果系数接近 1，说明该序列近似纯随机序列，这时最新的观测值就是最理想 的预测值。 出于预测的考虑，有时系统给定的系数不是很理想， 用户需要自己指定平滑系数值。平 滑系数取什么值比较合适呢？ 一般来说，如果序列变化比较平缓，平滑系数值应该比较小， 比如小于0.1; 如果序列变化比较剧烈， 平滑系数值可以取得大一些， 如0.3?0.5。若平滑系 数值大于0.5才能跟上序列的变化，表明序列有很强的趋势，不能采用一次指数平滑进行预 测。 ［例1］某企业食盐销售量预测。现在拥有最近连续 30个月份的历史资料(见表 I ), 试预测下一月份销售量。 表 某企业食盐销售量 单位：吨 解：使用对数据进行分析，第一步是建立工作文件和录入数据。有关操作在本 理和一些分析实例。本节的主要内容是说明如何使用 Eviews 软件进行分析。 本书第七章对它进行了比较详细的介 并接触到有关时间序列分析方法的原
《时间简史》读书笔记4篇 时间有初始吗？它又将在何地终结呢？宇宙是无限的，还是有限的我带着疑问，随着霍金的《时间简史》，畅游知识海洋，感受科学魅力，探寻科技之光！下面是我收集的《时间简史》读书笔记，欢迎阅读。 时间简史读书笔记（一）： 有位名人这样说：“时间究竟是什么？没有人问我，我清楚，有人问我，我想给他解释，却茫然不解了。”有一群科学家，就是冲着空间和时间的神秘，不断地奋斗。其中，最著名的就是霍金，我想他的著名更是因为他是个身残志坚的睿智者。 霍金在二十多岁的时候得了卢伽雷氏症病，从此被禁锢在轮椅上，到后来他得了肺炎，做了穿气管手术，剥夺了他说话的功能。但是他并没有因此就一蹶不振，虽然他全身只有三根手指能动，但他却用惊世骇俗、天马行空般的想象力，大胆提出了目前最伟大的宇宙学说，解开了许多宇宙之谜。 《时间简史》是霍金的著作。书中霍金对时间本质、宇宙由来作出了权威性的总结，他的理论和构想已经成为科学领域的里程碑。由于过于深奥，我选择了一种谁都能看懂的版本略探一下霍金的著作。 《时间简史》中，有很多内容仅仅是假说，但这又不同于生活中的那个假说，这是有一定的科学依据才能大胆提出来的假说。不过我读得依然很吃力，每一章只有小小一页纸，但其中看懂它需要的知识储备绝不止一座山。原本我想着这篇读后感应该是一行一个问题，满页纸都是问号，虽然足以证明我读过《时间简史》，但我还是决定简洁为好，挑一个自己喜欢、有自己的见解的内容谈一谈。 有关宇宙的起源，书上说宇宙曾经是一个体积很小、密度很大、很烫的点，爆炸后，温度逐渐降低，直到今天的状态，然而目前宇宙仍然在不断地扩大，书中还说这是一个空间有限但没有边界，就像地球一样的封闭宇宙。书中还讲到科学家们对大爆炸的过程的一个猜测，提到什么中子、质子一些我仅仅听人提到过的科学名词。我勉强能看完，能懂多少又是另一回事了，我没法质疑这些我听不懂的东西。但是之中还提到温度在十亿摄氏度以上，大爆炸后温度又迅速下降了一百万摄氏度左右。我只知道温度是用温度计来测量的，温度计又是利用液体热
【时间简“识”】 说明：本文摘自于经管之家(原人大经济论坛) 作者：胖胖小龟宝。原版请到经管之家(原人大经济论坛) 查看。 1.带你看看时间序列的简史 现在前面的话—— 时间序列作为一门统计学，经济学相结合的学科，在我们论坛，特别是五区计量经济学中是热门讨论话题。本月楼主推出新的系列专题——时间简“识”，旨在对时间序列方面进行知识扫盲（扫盲，仅仅扫盲而已……），同时也想借此吸引一些专业人士能够协助讨论和帮助大家解疑答惑。 在统计学的必修课里，时间序列估计是遭吐槽的重点科目了，其理论性强，虽然应用领域十分广泛，但往往在实际操作中会遇到很多“令人发指”的问题。所以本帖就从基础开始，为大家絮叨絮叨那些关于“时间”的故事！ Long long ago，有多long估计大概7000年前吧，古埃及人把尼罗河涨落的情况逐天记录下来，这一记录也就被我们称作所谓的时间序列。记录这个河流涨落有什么意义当时的人们并不是随手一记，而是对这个时间序列进行了长期的观察。结果，他们发现尼罗河的涨落非常有规律。掌握了尼罗河泛滥的规律，这帮助了古埃及对农耕和居所有了规划，使农业迅速发展，从而创建了埃及灿烂的史前文明。
好~~从上面那个故事我们看到了 1、时间序列的定义——按照时间的顺序把随机事件变化发展的过程记录下来就构成了一个时间序列。 2、时间序列分析的定义——对时间序列进行观察、研究，找寻它变化发展的规律，预测它将来的走势就是时间序列分析。 既然有了序列，那怎么拿来分析呢 时间序列分析方法分为描述性时序分析和统计时序分析。 1、描述性时序分析——通过直观的数据比较或绘图观测，寻找序列中蕴含的发展规律，这种分析方法就称为描述性时序分析 描述性时序分析方法具有操作简单、直观有效的特点，它通常是人们进行统计时序分析的第一步。 2、统计时序分析 （1）频域分析方法 原理：假设任何一种无趋势的时间序列都可以分解成若干不同频率的周期波动 发展过程： 1）早期的频域分析方法借助富里埃分析从频率的角度揭示时间序列的规律 2）后来借助了傅里叶变换，用正弦、余弦项之和来逼近某个函数 3）20世纪60年代，引入最大熵谱估计理论，进入现代谱分析阶段 特点：非常有用的动态数据分析方法，但是由于分析方法复杂，结果抽象，有一定的使用局限性 （2）时域分析方法
Wold 分解定理：任何协方差平稳过程x t ，都可以被表示为 x t - - d t = u t + 1 u t -1+ 2 u t -2 + … + = 其中 表示x t 的期望。d t 表示x t 的线性确定性成分，如周期性成分、时间t 的多项式和指数形式等，可以直接用x t 的滞后值预测。 = 1， ∑∞ =0 2 j j ψ< ∞。u t 为白噪声过程。u t 表示用x t 的滞后项预测x t 时的误差。 u t = x t - E(x t x t -1, x t -2 , …) ∑ ∞=-0 j j t j u ψ称为x t 的线性非确定性成分。当d t = 0时，称x t 为纯线性非确定性过程。 Wold 分解定理由Wold 在1938年提出。Wold 分解定理只要求过程2阶平稳即可。从原理上讲，要得到过程的Wold 分解，就必须知道无限个j 参数，这对于一个有限样本来说是不可能的。实际中可以对 j 做另一种假定，即可以把 (L )看作是2个有限特征多项式的比， (L ) =∑ ∞ =0 j j j L ψ=)()(L L ΦΘ=p p q q L L L L L L φφφθθθ++++++++...1 (1221221) 注意，无论原序列中含有何种确定性成分，在前面介绍的模型种类中，还是后面介绍的自相关函数、偏自相关函数中都假设在原序列中已经剔除了所有确定性成分，是一个纯的随机过程（过程中不含有任何确定性成分）。如果一个序列如上式， x t = + d t + u t + 1 u t -1+ 2 u t -2 + … + 则所有研究都是在y t = x t - - d t 的基础上进行。例如前面给出的各类模型中都不含有均值项、时间趋势项就是这个道理。 2.3 自相关函数 以上介绍了随机过程的几种模型。实际中单凭对时间序列的观察很难确定其属于哪一种模型，而自相关函数和偏自相关函数是分析随机过程和识别模型的有力工具。 1. 自相关函数定义 在给出自相关函数定义之前先介绍自协方差函数概念。由第一节知随机过程{x t }中的每一个元素x t ，t = 1, 2, … 都是随机变量。对于平稳的随机过程，其期望为常数，用 表示，即 E(x t ) = , t = 1, 2, … (2.25)
名著《时间简史》读后感优秀范文 一本好书不仅能教给别人知识，更主要的是能让读者有所思有所感。下面就是小编给大家带来的名著《时间简史》读后感优秀范文，希望能帮助到大家! 《时间简史》读书心得精选范文一 昨天晚上终于把它看完了，云里雾里，很多地方不知所云，正如霍金所说的那样：“在牛顿时代，一个受教育的人至少能够在梗概上掌握人类知识。但从那以后，科学发展的节奏使之不再可能。因为理论总是被改变以解释新的观察结果，它们从未被消化或者简化到使常人能够理解。”嘿嘿，由此得出，自己只不过是个常人罢了～～～拿到这本书已经两个月了，说实话，我不太愿意翻开它，虽说是普及版，但过于深奥的内容，作为一位科学专职的我来说，实在有点惭愧。 本书的作者是史蒂芬?霍金，我们知道霍金他一生的经历和他的科学贡献同样是一个奇迹，他20岁时即被诊断出患有渐冻症，医生甚至预言他当时还只有两年的寿命，然而他却创造了奇迹。的俗称，主要类型是肌萎缩性脊髓侧索硬化症，因为特征性表现是肌肉逐渐萎缩和无力，身体如同被逐渐冻住一样，故俗称“渐冻症”。由于目前没有特效药，而与癌症、艾滋病等疾病并列为世界五大顽症。 正如霍金所说，这是一本不仅让青少年，而且让所有人都能理解的书。他删去了《时间简史》中过于高深的部分，重写了相对论和弯曲空间这两章，但是由于自己认知水平有限，不得不一字一句地慢慢理解，可仍然还是有不少地方弄不明白。 我们都知道这是一本普及科学知识为目的的科学著作，看了这本书后，这本书教会我们如何正确的看待这个世界和生活中形形色色的事情。我们可以用科学的眼光看待事物，而不是遇到难懂的事物就盲目的相信迷信之类的邪说。任何事情的存在都有其存在的意义.看待事物要用科学的眼光，同样对待学习我们也要用科学的方法.怎么说呢，科学史上的每一个重大发现无不都是科学家们大胆假设小心论证而发现的，因此在学习方面我们也应该贯彻这种思想方法，不仅是在学习计划的制定上而且也应该在学习方法的应用上.我们要把霍金的这种精神用到自己工作学习上，作为一名学生，要不断地充实自己的知识。一个周全的严密的学习计划对于学习的时间安排是十分合理的，能达到事半功倍的效果，不是有句谚语，"凡事预则立不预则废".而好的学习方法，将有助你的听课，自学，以及课后的复习，预习，这些对于大学生而言是相当重要的.更重要的是，如果我们能养成这样一种好的习惯，对于将来工作会有相当大的帮助.今后的社会是一个快速发展，信息广泛交流的人才展示平台，而严密的思维逻辑以及科学的做事方法便是其中的两件法宝，可以帮你在茫茫人海中脱颖而出，在人生的舞台上尽情地展现自我，实现自我的人生价值。 霍金，这样一位终年坐在轮椅上的人，依靠一个电脑发声合成器，以正常人十分之一的速度与人“交谈”，但他却同其他科学家一样，用自己的经历告诉他人：执著的探索精神是生命的最大动力。在我心中，除了这本著作所带来的洗涤与震撼外，剩下的只是对这颗伟大心灵的崇拜与敬仰! 《时间简史》读书心得精选范文二 在茫茫宇宙中，蕴含着神秘的不为人知的秘密。这些藏在宇宙深处的事物，像磁铁般吸引着人们，激励人们的好奇心。在学校开展的科普书阅读活动中，我有幸读到了时间简史这部科学巨著，它是英国伟大的物理学家霍金写的。书中介绍了遥远星系、黑洞、夸克、“带味”粒子和“自旋”粒子、反物质、“时间箭头”等，以及宇宙是什么样的、空间和时间以及相对论等古老问题，这些神奇的宇宙奥秘在这本书中有了深入浅出的阐述。读完后，我对神秘的宇宙有了新的认识和发现，甚至让我对世俗改变了看法。 一开始，我对科学不感兴趣，对于我来说，地球、宇宙实在太遥远了。可是看完这本书，我对千里之外的宇宙充满了兴趣，神秘莫测的黑洞，宇宙大爆炸，一个个字眼在我脑海中刻
Eviews时间序列分析实例 时间序列是市场预测中经常涉及的一类数据形式，本书第七章对它进行了比较详细的介绍。通过第七章的学习，读者了解了什么是时间序列，并接触到有关时间序列分析方法的原理和一些分析实例。本节的主要内容是说明如何使用Eviews软件进行分析。 一、指数平滑法实例 所谓指数平滑实际就是对历史数据的加权平均。它可以用于任何一种没有明显函数规律，但确实存在某种前后关联的时间序列的短期预测。由于其他很多分析方法都不具有这种特点，指数平滑法在时间序列预测中仍然占据着相当重要的位置。 （－）一次指数平滑 一次指数平滑又称单指数平滑。它最突出的优点是方法非常简单，甚至只要样本末期的平滑值，就可以得到预测结果。 一次指数平滑的特点是：能够跟踪数据变化。这一特点所有指数都具有。预测过程中添加最新的样本数据后，新数据应取代老数据的地位，老数据会逐渐居于次要的地位，直至被淘汰。这样，预测值总是反映最新的数据结构。 一次指数平滑有局限性。第一，预测值不能反映趋势变动、季节波动等有规律的变动；第二，这种方法多适用于短期预测，而不适合作中长期的预测；第三，由于预测值是历史数据的均值，因此与实际序列的变化相比有滞后现象。 指数平滑预测是否理想，很大程度上取决于平滑系数。Eviews提供两种确定指数平滑系数的方法：自动给定和人工确定。选择自动给定，系统将按照预测误差平方和最小原则自动确定系数。如果系数接近1，说明该序列近似纯随机序列，这时最新的观测值就是最理想的预测值。 出于预测的考虑，有时系统给定的系数不是很理想，用户需要自己指定平滑系数值。平滑系数取什么值比较合适呢？一般来说，如果序列变化比较平缓，平滑系数值应该比较小，比如小于0.l；如果序列变化比较剧烈，平滑系数值可以取得大一些，如0.3～0.5。若平滑系数值大于0.5才能跟上序列的变化，表明序列有很强的趋势，不能采用一次指数平滑进行预测。 ［例1］某企业食盐销售量预测。现在拥有最近连续30个月份的历史资料（见表l），试预测下一月份销售量。 表1 某企业食盐销售量单位：吨 解：使用Eviews对数据进行分析，第一步是建立工作文件和录入数据。有关操作在本
3.3时间序列分析 3.3.1时间序列概述 1.基本概念 (1)一般概念：系统中某一变量的观测值按时间顺序（时间间隔相同）排列成一 个数值序列，展示研究对象在一定时期内的变动过程，从中寻找 和分析事物的变化特征、发展趋势和规律。它是系统中某一变量 受其它各种因素影响的总结果。 (2)研究实质：通过处理预测目标本身的时间序列数据，获得事物随时间过程的 演变特性与规律，进而预测事物的未来发展。它不研究事物之间 相互依存的因果关系。 (3)假设基础：惯性原则。即在一定条件下，被预测事物的过去变化趋势会延续 到未来。暗示着历史数据存在着某些信息，利用它们可以解释与 预测时间序列的现在和未来。 近大远小原理（时间越近的数据影响力越大）和无季节性、无趋 势性、线性、常数方差等。 (4)研究意义：许多经济、金融、商业等方面的数据都是时间序列数据。 时间序列的预测和评估技术相对完善，其预测情景相对明确。 尤其关注预测目标可用数据的数量和质量，即时间序列的长度和 预测的频率。 2.变动特点 (1)趋势性：某个变量随着时间进展或自变量变化，呈现一种比较缓慢而长期的 持续上升、下降、停留的同性质变动趋向，但变动幅度可能不等。 (2)周期性：某因素由于外部影响随着自然季节的交替出现高峰与低谷的规律。 (3)随机性：个别为随机变动，整体呈统计规律。 (4)综合性：实际变化情况一般是几种变动的叠加或组合。预测时一般设法过滤 除去不规则变动，突出反映趋势性和周期性变动。 3.特征识别 认识时间序列所具有的变动特征，以便在系统预测时选择采用不同的方法。(1)随机性：均匀分布、无规则分布，可能符合某统计分布。(用因变量的散点图 和直方图及其包含的正态分布检验随机性，大多数服从正态分布。) (2)平稳性：样本序列的自相关函数在某一固定水平线附近摆动，即方差和数学 期望稳定为常数。 样本序列的自相关函数只是时间间隔的函数，与时间起点无关。其 具有对称性，能反映平稳序列的周期性变化。 特征识别利用自相关函数ACF：ρ k =γ k /γ 其中γ k 是y t的k阶自协方差，且ρ =1、-1<ρ k <1。 平稳过程的自相关系数和偏自相关系数都会以某种方式衰减趋 近于0，前者测度当前序列与先前序列之间简单和常规的相关程度， 后者是在控制其它先前序列的影响后，测度当前序列与某一先前序 列之间的相关程度。 实际上，预测模型大都难以满足这些条件，现实的经济、金融、商业等序列
推荐书一：《时间简史》 作者：史蒂芬·霍金/著；许明贤、吴忠超/译。 出版社：湖南科学技术出版社 出版时间：2010年4月第1版 推荐理由： 1.深入浅出，历久睨新的书。《时间简史》和史蒂芬霍金家喻户晓，此书的知名度不亚于作者本人，但我想真正读过此书或读懂此书的人或许远比知道此书的人要少的多。我在读高中的时候就听说过此书，也从别的同学那里借过此书来读，但当时只感觉书中的插图十分精美引人联想，至于此书的主要思想当时确实不是很明白。这么多年过去，学了不少有关经典物理学和量子物理学的知识，再回过头来翻阅此书，才发现诸多奥秘。霍金能够将如此高深的天体物理学、关于时间和空间、关于宇宙是什么的永恒命题通过简单的图片和文字展现在人们面前实属不易。此书，经得起时间的考验，经得起读者的反复阅读的一本好书。 2.从宇宙时空的角度思考人类世界发展。关于宇宙是什么，书中并没有给出这个问题的答案，因为科学并不能保证所有问题都有一个答案。虽然我们不能找到一套解释整个宇宙的理论，但我们可以把这个问题分成很多小块，并发明许多部分的理论，每一部分理论解释有限的范围，同时忽略其他影响。这种方法获得了极大的成功，例如，牛顿的万有引力定律，只要知道星球的质量就能精确的计算出他们的轨道，而对于星球的结构，上面有没有智慧生物等等完全可以忽略。宇宙并不是任意的，它是由确定的规律所制约的。因此，科学的终极目标就是：把所有的部分理论合并为能描述宇宙中任何东西的完整统一理论。随之而来的问题是，这个完整统一的理论必定包含我们人类自身，也就是说制约了我们的行为，作为这个理论中一小部分的人类，是否有能力去了解整个理论呢。也就是说，对于人类而言根本不可能找到一个终极的结论，或者只能找到一个错误的结论。 3.空间和时间以及相对论。书中提到，在爱因斯坦以前，几乎所有人都认为时间和空间是绝对的。爱因斯坦所创立的相对论则告诉人们，没有绝对的事物，一切都是相对的。让我们来考虑一个特殊的情况：假设有一个宇宙，其中什么东西都没有，有的只是虚空。对于这样的宇宙，时间和空间就毫无意义，因为实在没有方法来度量它们。可见时间和空间都是依附于“物”来存在的。相对论最大的贡献是告诉了人们，光是有速度的，而且没有任何东西的速度能超过光速。正由于此，对于同一件事的发生，不同的观察者所测得的时间是不同的。最简单的例子是通过望远镜观察极远处的星球。假设某个星球不幸遇到了彗星碰撞，大爆炸后毁灭了，同时发出的光通过10亿光年到达了地球，并被某个天文学家看到。对于这个天文学家来说星球毁灭这一事件正在发生，而其实这个星球早在10亿年前就已经不存在了。
时间序列分析法原理及步骤 ----目标变量随决策变量随时间序列变化系统 一、认识时间序列变动特征 认识时间序列所具有的变动特征, 以便在系统预测时选择采用不同的方法 1》随机性:均匀分布、无规则分布,可能符合某统计分布(用因变量的散点图和直方图及其包含的正态分布检验随机性, 大多服从正态分布 2》平稳性:样本序列的自相关函数在某一固定水平线附近摆动, 即方差和数学期望稳定为常数 识别序列特征可利用函数 ACF :其中是的 k 阶自 协方差,且 平稳过程的自相关系数和偏自相关系数都会以某种方式衰减趋于 0, 前者测度当前序列与先前序列之间简单和常规的相关程度, 后者是在控制其它先前序列的影响后,测度当前序列与某一先前序列之间的相关程度。实际上, 预测模型大都难以满足这些条件, 现实的经济、金融、商业等序列都是非稳定的,但通过数据处理可以变换为平稳的。 二、选择模型形式和参数检验 1》自回归 AR(p模型
模型意义仅通过时间序列变量的自身历史观测值来反映有关因素对预测目标的影响和作用,不受模型变量互相独立的假设条件约束,所构成的模型可以消除普通回归预测方法中由于自变量选择、多重共线性的比你更造成的困难用 PACF 函数判别 (从 p 阶开始的所有偏自相关系数均为 0 2》移动平均 MA(q模型 识别条件
平稳时间序列的偏相关系数和自相关系数均不截尾,但较快收敛到 0, 则该时间序列可能是 ARMA(p,q模型。实际问题中,多数要用此模型。因此建模解模的主要工作时求解 p,q 和φ、θ的值,检验和的值。 模型阶数 实际应用中 p,q 一般不超过 2. 3》自回归综合移动平均 ARIMA(p,d,q模型 模型含义 模型形式类似 ARMA(p,q模型, 但数据必须经过特殊处理。特别当线性时间序列非平稳时,不能直接利用 ARMA(p,q模型,但可以利用有限阶差分使非平稳时间序列平稳化,实际应用中 d (差分次数一般不超过 2. 模型识别 平稳时间序列的偏相关系数和自相关系数均不截尾,且缓慢衰减收敛,则该时间序列可能是 ARIMA(p,d,q模型。若时间序列存在周期性波动, 则可按时间周期进
[课程]Eviews时间序列分析实例 Eviews时间序列分析实例 时间序列是市场预测中经常涉及的一类数据形式，本书第七章对它进行了比较详细的介绍。通过第七章的学习，读者了解了什么是时间序列，并接触到有关时间序列分析方法的原理和一些分析实例。本节的主要内容是说明如何使用Eviews软件进行分析。 一、指数平滑法实例 所谓指数平滑实际就是对历史数据的加权平均。它可以用于任何一种没有明显函数规律，但确实存在某种前后关联的时间序列的短期预测。由于其他很多分析方法都不具有这种特点，指数平滑法在时间序列预测中仍然占据着相当重要的位置。 (,)一次指数平滑 一次指数平滑又称单指数平滑。它最突出的优点是方法非常简单，甚至只要样本末期的平滑值，就可以得到预测结果。 一次指数平滑的特点是:能够跟踪数据变化。这一特点所有指数都具有。预测过程中添加最新的样本数据后，新数据应取代老数据的地位，老数据会逐渐居于次要的地位，直至被淘汰。这样，预测值总是反映最新的数据结构。 一次指数平滑有局限性。第一，预测值不能反映趋势变动、季节波动等有规律的变动;第二，这种方法多适用于短期预测，而不适合作中长期的预测;第三，由于预测值是历史数据的均值，因此与实际序列的变化相比有滞后现象。 指数平滑预测是否理想，很大程度上取决于平滑系数。Eviews提供两种确定指数平滑系数的方法:自动给定和人工确定。选择自动给定，系统将按照预测误差平方和最小原则自动确定系数。如果系数接近1，说明该序列近似纯随机序列，这时最新的观测值就是最理想的预测
值。 出于预测的考虑，有时系统给定的系数不是很理想，用户需要自己指定平滑系数值。平滑系数取什么值比较合适呢,一般来说，如果序列变化比较平缓，平滑系数值应该比较小，比如小于0.l;如果序列变化比较剧烈，平滑系数值可以取得大一些，如0.3,0.5。若平滑系数值大于0.5才能跟上序列的变化，表明序列有很强的趋势，不能采用一次指数平滑进行预测。 〔例1〕某企业食盐销售量预测。现在拥有最近连续30个月份的历史资料(见表l)，试预测下一月份销售量。 表1 某企业食盐销售量单位:吨 解:使用Eviews对数据进行分析，第一步是建立工作文件和录入数据。有关操作在本章第一节中已经阐明，这里不再赘述。假设已经建立工作文件，并生成了一个样本期为l,30的序列，命名为SALES。序列SALES中包含例1中需要分析的数据。 第二步，绘制序列图形。在序列对象窗口中，点击View?Line Graph。 屏幕显示图1所示图形。 图1 某企业近30个月的销售量动态图 从图1中可以看出，这个企业近30个月的销售量并不存在明显的趋势，并且没有明显的季节趋势。因此，从直观上判断可以采用一次指数平滑法对企业下个月的销售量进行预测。 第三步，扩大样本期。本例要求对下一个月的销售量进行预测，而工作文件的样本期是1,30，在Eviews中要求先更改样本期。更改样本期的操作在本章第一节已经讲过，这里将样本期改为l,31。
时间序列分析在SPSS中的应用 学院：数学与信息科学学院 专业：信息与计算科学 姓名：胡** 学号：000000000
时间序列分析概述---SPSS的时间序列分析 1.1 时间序列的相关概念 通常研究时间序列问题时会涉及到以下记号和概念： 1.指标集T 指标集T可直观理解为时间t的取值范围。 2.采样间隔△t 采样间隔△t可直观理解为时间序列中相邻两个数的时间间隔。 3.平稳随机过程和平稳时间序列 平稳随机过程定义如下：如果对≮t1，t2，…，t n，h∈T和任意整数n，都使（y t1，y t2…，y tn）与（y t1+h，y t2+h，…，y tn+h）同分布，则概率空间（W，F，P）上随机过程｛y（t），t∈T｝称为平稳过程。具有时间上的平稳不变性。实践当中是非常困难甚至是不可能的。因此这种平稳性一般被称为“严平稳”或者“完全平稳”。 实际中一般要求的平稳性称作“宽平稳”，它没有“严平稳”那样苛刻的条件，而只要求某阶矩的平稳性。二阶宽平稳随机过程定义为：如果E（y t）为常数，且对≮t，t+h∈T 都使协方差E［y t- E（y t）］E［y t+h- E（y t+h）］存在且与t无关（只依赖于h），则概率空间（W，F，P）上的随机过程｛y（t），t∈T｝称为“宽平稳过程”。也被称为“协方差平稳” 4.白噪声序列 白噪声序列是一种特殊的平稳序列。它定义为若随机序列｛y t｝由互不相关的随机变量构成，即对所有s≠t，Cov(y s，y t)=0，则称其为白噪声序列。白噪声序列是一种平稳序列，在不同时点上的随机变量的协方差为0。该特性通常被称为“无记忆性”，意味着人们无法根据其过去的特点推测其未来的走向，其变化没有规律可循。当模型的残差序列成为白噪声序列时，可认为模型达到了较好的效果，剩余残差中已经没有可以识别的信息。因此，白噪声序列对模型检验也是很有用处的。 5.时点序列和时期序列 1.2 时间序列分析的一般步骤 数据的准备阶段 数据的观察及检验阶段 数据的预处理阶段 数据分析和建模阶段 模型的评价阶段 模型的实施阶段 1.3 SPSS时间序列分析的特点 SPSS的时间序列分析没有自成一体的单独模块，而是分散在Data、Transform、Analyze、