数列专题复习
一、等差数列的有关概念：
1、等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。 如设{}n a 是等差数列，求证：以b n =
n
a a a n +++ 21*n N ∈为通项公式的数列{}n
b 为等差数列。 2、等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。
如(1)等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a =（答：210n +）；
（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：833
d <≤） 3、等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=，1(1)2
n n n S na d -=+。 如（1）数列{}n a 中，*11(2,)2n n a a n n N -=+≥∈，32n a =，前n 项和152n S =-，则1a ＝＿，n ＝＿（答：13a =-，10n =）；
（2）已知数列{}n a 的前n 项和212n S n n =-，求数列{||}n a 的前n 项和n T （答：
2*2*12(6,)1272(6,)
n n n n n N T n n n n N ?-≤∈?=?-+>∈??）. 4、等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2a b A +=。 提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）；偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（公差为2d ）
5、等差数列的性质：
（1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222
n n n d d S na d n a n -=+
=+-是关于n 的二次函数且常数项为0.
（2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。
（3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=.
如（1）等差数列{}n a 中，12318,3,1n n n n S a a a S --=++==，则n ＝____（答：27）；
(4)若{}n a 、{}n b 是等差数列，则{}n ka 、{}n n ka pb + (k 、p 是非零常数)、
*{}(,)p nq a p q N +∈、232,,n n n n n S S S S S --，
…也成等差数列，而{}n a a 成等比数列；若{}n a 是等比数列，且0n a >，则{lg }n a 是等差数列.
如等差数列的前n 项和为25，前2n 项和为100，则它的前3n 和为。（答：225）
（5）在等差数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，S S nd =偶奇－；项数为奇数21n -时，S S a -=奇偶中，21(21)n S n a -=-?中（这里a 中即n a ）；()1-n :n S =偶奇：S 。
如（1）在等差数列中，S 11＝22，则6a ＝______（答：2）；
（2）项数为奇数的等差数列{}n a 中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）.
（6）若等差数列{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且()n n
A f n
B =，则2121
(21)(21)(21)n n n n n n a n a A f n b n b B ---===--.如设{n a }与{n b }是两个等差数列，它们的前n 项和分别为n S 和n T ，若3413-+=n n T S n n ，那么=n
n b a ___________（答：6287n n --） (7)“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组???
? ?????≥≤???≤≥++000011n n n n a a a a 或确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前n 项是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*n N ∈。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？
如（1）等差数列{}n a 中，125a =，917S S =，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和最大，最大值为169）；
（2）若{}n a 是等差数列，首项10,a >200320040a a +>，200320040a a ?<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是（答：4006）
（3）在等差数列{}n a 中，10110,0a a <>，且1110||a a >，n S 是其前n 项和，则（）
A 、12
10,S S S 都小于0，1112,S S 都大于0 B 、12
19,S S S 都小于0，2021,S S 都大于0 C 、12
5,S S S 都小于0，67,S S 都大于0 D 、1220,S S S 都小于0，2122,S S 都大于0 （答：B ）
(8)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究n m a b =.
二、等比数列的有关概念：
1、等比数列的判断方法：定义法1(n n
a q q a +=为常数），其中0,0n q a ≠≠或11
n n n n a a a a +-=(2)n ≥。 如（1）一个等比数列{n a }共有21n +项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则1n a +为____（答：56）；（2）数列{}n a 中，n S =41n a -+1 (2n ≥)且1a =1，若n n n a a b 21-=+，求证：数列｛n b ｝是等比数列。
2、等比数列的通项：11n n a a q -=或n m n m a a q -=。
如等比数列{}n a 中，166n a a +=，21128n a a -=，前n 项和n S ＝126，求n 和q .（答：6n =，12
q =或2） 3、等比数列的前n 和：当1q =时，1n S na =；当1q ≠时，1(1)1n n a q S q -=-11n a a q q
-=-。 如（1）等比数列中，q ＝2，S 99=77，求9963a a a +++ （答：44）；
（2）)(1010∑∑==n n k k n C
的值为__________（答：2046）；
特别提醒：等比数列前n 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n 项和时，首先要判断公比q 是否为1，再由q 的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q 是否为1时，要对q 分1q =和1q ≠两种情形讨论求解。
4、等比中项：若,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中项。提醒：不是任何
两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个。如已知两个正数,()a b a b ≠的等差中项为A ，等比中项为B ，则A 与B 的大小关系为______（答：A ＞B ）
提醒：（1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、q 、n 、n a 及n S ，其中1a 、q 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为…，
22,,,,a a a aq aq q q …（公比为q ）；但偶数个数成等比时，不能设为…33,,,aq aq q
a q a ，…，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为2q 。如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）
5.等比数列的性质：
（1）当m n p q +=+时，则有m n p q a a a a =，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a =.
如（1）在等比数列{}n a 中，3847124,512a a a a +==-，公比q 是整数，则10a =___（答：512）；
（2）各项均为正数的等比数列{}n a 中，若569a a ?=，则3132310log log log a a a ++
+=
（答：10）。
(2)若{}n a 是等比数列，则{||}n a 、*{}(,)p nq a p q N +∈、{}n ka 成等比数列；若{}{}n n a b 、成等比数列，则{}n n a b 、{}n n
a b 成等比数列；若{}n a 是等比数列，且公比1q ≠-，则数列232,,n n n n n S S S S S --，…也是等比数列。当1q =-，且n 为偶数时，数列232,,n n n n n S S S S S --，…是常数数列0，它不是等比数列.
如（1）已知0a >且1a ≠，设数列{}n x 满足1log 1log a n a n x x +=+(*)n N ∈，且