初中数学教学疑难问题
问题一：关于计算器的使用
数学能力的培养很重要的一个方面就是运算能力的培养。但在七上就开始学习了计算器的使用，很多同学对有理数的运算和后面的实数的运算就都使用计算器来进行，这对学生运算能力的培养有很大的负面影响，很多学生有的连简单的加减乘除都使用计算器，但是实数的很多运算不使用计算器，又得不出答案，那么在什么情况下使用计算器，什么情况下不准使用计算器呢？这一点老师很难把握。计算器的使用给学生运算能力的提高产生很大的负面影响，而在七上就使用计算器，是不是学生手头的运算能力有小学的水平就可以了？(潘树峰提供
问题二：关于合作学习
合作学习是新课标倡导的学习方式之一，能充分体现教学民主，培养学生的合作意识和交流能力，因此被越来越多的老师引入课堂。但是，有些内容过于简单，不需要合作学习学生也能回答，书本把它作为合作学习的内容，那么合作学习还有必要吗？还有合作学习跟小组讨论有什么区别呢？另外，在“小组学习”中还会遇到一些问题，如：有些学生就是不配合，合作讨论时乘机讲话，提不出什么问题，解决不了问题，形式上几个同学围在一起讨论很热闹，但实际上课堂中缺乏有效的交往和互动。教师该如何调动他们参与的积极性呢？教师对活动如何进行有效的监控和及时引导呢？在汇报讨论结果时，优秀学生的想法和意见往往代替了组内其他同学的意见，而那些性格内向、胆子较小或学习落后的学生发言的机会较少，这样会造成两极分化。还有在合作的时间上也很难把握，有的问题展开讨论需要很长时间，草草收场，达不到所需要的效果，时间过长又怕影响上课内容与任务完不成，那么该怎样来控制合作讨论的时间呢？(潘树峰提供
问题三：课本例题怎么用？
课本例题一般没有思路分析过程，解题步骤也是比较精练的，需要教师作进一步的剖析，所以我会让学生自己先阅读，同时把题目抄到黑板上，再进行深入分析。但遗憾的是我发现，有很多学生并没有认真听我的思路分析并回答我的提问，而是有口无心的照搬照读课本，甚至答非所问。还有些学生因为能看懂，索性不听。所以难以达到《数学教学建议》中提到例题教学要求。（关注过程，促进内化：在例题教学中，让学生
参与分析题意寻求解体题思路的过程，体验分析解决问题的方法。）(潘树峰提供
问题四：如何解决教学内容增多与课时不足的矛盾？
浙教版新教材有些章节教学内容偏多，老师一节课讲不完、学生掌握不了．有时一节课概念过于集中, 学生难于一下子接受, 容易混淆；例如“单项式的乘法”中单项式乘单项式、单项式乘多项式安排在同一节；“二元一次方程组解应用题”一节，既要掌握待定系数法，又要解决浓度应用题，后面还有扇形统计图应用题．再如书中探究活动，课堂教学中基本没时间让学生合作探究．（赵立新提供）问题五：关于定理的使用和补充
1. 对定理的界限不够明确。许多老师都上过浙教版老教材，两套教材有些定理是不统一的，如果用了算不算对？比如直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的逆命题，浙教版没有作为定理，而浙教版老教材是定理。再比如初三的相交弦定理、圆幂定理、弦切角定理以及切割线定理，浙教版新教材全部删去，如果学生用了，对不对？老师在上课可以补充吗？
2. 有些定理可不可以直接运用，在教学中该如何把握？（1）因式分解中的十字相乘法；（2）简单的分母有理化；（3）韦达定理；（4）射影定理；（5）二次函数的交点式；（6）比例式变换：更比定理，合比定理，等比定理；（7）平行线间线段成比例；（8）三角形中位线的另一定理——过一边中点且平行于另一边的直线经过第三边的中点；（9）梯形的中位线定理等。(潘树峰提供
问题六：有关教材的编排
1. 节前语中的有些问题，不能起到引课的作用。比如：七下5.1节前语，数据多且烦琐，增加学生的学习难度。
2. 各章节的编排排列不是很合理。比如七下第4、5、6、7章安排在一块授课，学生接受有一定的难度。
3. 目标与评定中的题型不够完善，且体现不了阶梯性，典型性。(潘树峰提供
4．全等三角形的知识放在七年级，学生很难接受，好像太难了，我们老师很难教会学生这方面的知识，学生掌握情况较差，而相似三角形放在九上的最后一章，这两章间隔太大，我们老师认为还是老教材编的合理。(闾炜提供
5. 在教学八年级上册第二章第六节探索勾股定理时，常常会遇到如下情况：在等腰直角三角形ABC 中，
∠C=90°，AC=BC=2，求AB 的长。解：由勾股定理得：AB
2=AC2+BC2=22+22=8，AB=8，显然8不是最简结果，然而二次根式的化简要等到八年级下册才能学习。此时我们感到：如果不化简，不是准确答案，认为它准确会给学生产生负面影响，若要化简，二次根式内容没有学。笔者认为把二次根式一章放到特殊三角形这一章前面，那么上面的问题会迎刃而解。
6. 新教材过早地出现几何论证推理，只不过把“证明”换成“说明理由”罢了。
对初一学生来说，要求其规范缜密推理难度太大，但若不要求其规范缜密推理，会给后续学习造成隐患，因为习惯一旦养成很难改正。另外，七下教材对于尺规作图要求也太高，不但要求画图，还要求学生写出作法。而作法的叙述即使由初三学生书写也存在较大难度，何况是初一刚刚接触尺规作图的学生。笔者建议把七下的《认识三角形》这一章放到八上年级，而把八上的《一元一次不等式》放到七下，这样关于几何图形的推理论证就可以在八年级充分展开，还有，建议尺规作图的要求还是像原来那样，只需保留作图痕迹，不需要写出作法，降低作图的难度。
7. 七年级下册在“三角形全等的条件”一节时，教材安排了充分的实践、探索和交流的活动，要求学生分别作出符合条件的三角形后，经过比较分析，再归纳出三角形全等的条件，这就需要“作三角形”的知识，才能进行一系列的实践活动，而“作三角形”的知识则是下一节的内容，如果按照教材的教学思路去教学时，学生显得茫然，不知所措。本节课的重点则发生迁移，转移到如何画三角形。这样学生对
知识的理解呈现出一种“杂乱”的感觉，效果欠佳。此外例2是学生第一次遇到的规范尺规作图题，等学生画好图后，也不知道这就是尺规作图法。因为尺规作图法的概念却在下一节“作三角形”才予以阐述，其编排顺序有点乱。还有“相似变换”一节在作业题第2、4两题，一再出现已知比例尺大小，求已知图形经相似变换后的面积。现将第4题摘录如下：“某地块的形状是长方形，如图，在比例尺1：10000的地图上量得所表示的长方形的长为5cm ，宽为3cm, 则这个地块的面积有多大？”当然图形是正方形还好解释，但第2题的图形是平行四边形，如果是其它不规则图形又该如何解释。显然这个知识点是学习了相似形的性质后才可迎刃而解，而过早地出现学生难以接受，若教师解释得不当（暂且不考虑解释时所花费的时间），学生只知其然，不知其所以然。
8. 在八下《命题与证明》中，举反例在4.3中才提出，但是在4.1.2中判断一个命题是假命题时，已经需要举反例。建议将举反例在4.1.2中提出。（王鑫娟提供）
9. 在七年级下册因式分解中删去了十字相乘法，不太利于学生的继续学习。众所周知，在学习一元二次方程解法时，在本教材之前因式分解法特别是十字相乘法当是首先方法，如八年级（下）解一元二次方程x 2-5x-6=0，现在学生只能用配方法或公式法来求解，运算过程繁杂而容易产生运算中的错误，费时费力，而用十字相乘法只要几秒钟可得正确答案x 1=6，x 2= -1。
10. 二次根式的运算删减了分母有理化。在进行化简和运算时，师生的选题局限性很大，影响了这部分内容的落实，而且对解一元二次方程带来很大影响，例如八年级下册有一道习题：解一元二次方程2x 2-x-22=0时，用公式法求解得
x=221，怎样化简，学生不知所措，成为难点。（赵峰提供）
问题七：几个细节问题
1. 对于命题的改写重在分析命题的条件和结论，一般的命题的条件和结论比较明显，可是对于有些命题，比如：矩形的对角线相等，是不是既可写成“如果有一个四边形（图形）是矩形，那么它的两条对角线相等。”也可写成“如果有两条线段是矩形的两条对角线，那么它们相等。”呢？类似的例子还有很多，到底该如何把握呢？
2. 对三角形中的尺规画图里，要求学生写出作法的要求比较高，是不是可以降低要求还是从严要求？
3. 全等三角形的条件（2）、（3）节中间穿插了线段的中垂线性质与角平分线性质，内容过多，学生对这两个性质达不到熟练掌握的程度，课时设置如何更能合理些？
4. 二元一次方程的概念与一元一次方程的概念叙述是否可以统一下，让学生更容易理解掌握？
5. 分式的写法值得探讨，如（2—x ）÷x ，算不算分式？
6. 二次根式的概念，表示算术平方根且根号内含有字母的代数式中二次根式，为方便起见，
的身份矛盾，既是整式也是根式。
7. 当频率取近似值时，取值用近似值无限循环小数表示还是分数表示，或者是百分数表示或其它。(潘树峰提供
8．七年级下册认识三角形第二课时合作学习中内角和定理的探索情景不符合学生思考习惯，学生不易明白为什么能够折成矩形，期间的一些角为什么能够重合，在教学中有些教师放弃了这个设计，而改为撕角拼接的方法，显得较为直观。
9．七年级下册 P106-110 5.1 同底数幂的乘法的第2课时和第3课时不应与5.1的第1课时合并为一节，标题应独立分开，分别为幂的乘方和积的乘方。
10．八年级下册 1.2 二次根式的性质:
这个公式的给出方式易引起学生的漏解；我们认为这个公式的给出还是如下处理比较妥当：
11．九年级上第一章《反比例函数》的第1节中的做一做或作业题的第2题：“下列函数中，哪些是反比例函数？……1）12y x = 2）3y x -= 3）13y x = 4）23 y x =- ”这里“哪些是反比例函数？”是否应该确切地写成“哪些是关于x 的反比例函数”因为像第3）或第4）题不是可以说成是“关于y 关于3x 或x-3的反比例函数呢？
12．九年级上第二章《二次函数》的2.4“二次函数的应用”（1）中有一小结“运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值，首先应当求出函数解析式和自变量的取值范围。然后通过配方变形或利用公式求它的最大值或最小值。值得注意的是，由此求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内。”但在这一节中却没给出当顶点横坐标不在“自变量的取值范围内”时求最值的例题或习题。这样一来，学生对这一小结内容没有直观的感觉，所以也就很难内化。（寿宝良提供） a = | a | = a －a
( a＞0 ; ( a＜0. ( a＝0 ;
13. 在“有理数的乘方”一节中把科学记数法定义为：“把一个数表示成a （1≤a ＜10）与10的幂相乘的形式，叫做科学记数法。”我们认为不够准确，老教材第一册对科学记数法的概念作如下叙述：“这种把一个数表示成带一位整数的数与10的幂相乘的形式，通常称为科学记数法。”且在第三册还作如下补充说明：“用科学记数法表示数的一般形式是a × , 其中n 是整数，a 是大于或等于1而小于10的数”。既然负数已学，而且七年级上学期的重点就是有理数，为何把a 的范围局限在1≤a ＜10中呢？这个定义是否缺乏准确性、严谨性呢？教学建议中尽管作如下说明：“对于负数的科学记数法表示，只需将绝对值用科学记数法表示，符号不变。”那又何必回避负数的出现。况且课内练习及作业题中一再出现诸如“用科学记数法表示8.56×102-2.1×103”。我想，既然绝对值已学就该把绝对值引入到科学记数法的表述中。是否可修正为：“把一个绝对值大于或等于10的数表示成a ×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，称为科学记数法”。
14. 在七年级下册“认识事件的可能性”中，其情景导入设计为“每天早晨，太阳有可能从西方升起吗？”接下来“合作学习”中判断“抛掷一石块，石块终将落下”发生的可能性，笔者听完两位授课教师的课后，他们的答案竟截然相反，一位教师判断为必然事件，一位教师判断为随机事件。当然缘于学生的不同思考，一些思维敏捷、知识面宽广的同学就提出：“从金星上看太阳从西边升起”、“离开地球抛掷一石块，石块一定落下吗”？显然离开地球之后两事件均属不确定事件。我们认为对于这种容易产生歧义的例子不必作引例导入，或对“一定条件下”再作进一步的区域限制和界定，避免答案模棱两可。另外在八年级上册“特殊三角形”一章中“探索勾股定理”一节，先前的知识没有给出“定理”这一概念的界定，突然出现这专业名词，知识的越位使学生无所适从。
15. 八下二次根式一章中，对二次根式的定义是：表示算术平方根，且根号内含有字母的代数式叫做二次根式。我们把一个数的算术平方根也叫做二次根式。对于这个定义，我们思考：2是4的算术平方根，那么2也是二次根式吗？建议将二次根式的定义改成：形如a (a≥0 的代数式叫做二次根式。（王鑫娟提供）
16. P73 新教材中到底哪几个是公理？哪几个是定理? 老师不明确，碰到具体题目时很难讲清楚。
如：作业中“对顶角相等”这个语句是公理还是定理，讲不清楚。老教材中好像有规定的，哪几个是公
理，那样比较清楚。
17. 课本P59频数分布折线图中，虚设的两点，什么时候要画，什么时候不要画，不明确？
虚设的两点有时候出现负数，有时候出现无意义，到底要不要画？（闾炜提供）
如：课本中是都画的
18. 新人教版和浙教版教材对“位似”的定义不同
新人教版教材对“位似”的定义：图中的两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
浙教版教材对“位似”的定义：如果两幅图形不仅形状相同，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
比较这两种定义，发现有如下两个不同点：①所指范畴不同．新人教版是指“两个多边形”，而浙教版则泛指“两个图形”．②定义量化不同．新人教版不但要求对应顶点交于一点，还要求对应边互相平行，而浙教版仅需要“每组对应点所在的直线都经过同一点”．新人教版为什么要加上这个条件，有何目的？（徐晓红提供）
19. 在讲授一元二次方程时，根据定义：只含一个未知数，未知数的次数是一次的整式方程是一元一次方程，那么 2
1(212+=+x x 应该是一元一次方程。可化解整理后是1=1的恒等式，如此情形在学习一元二次方程式、二元一次方程等概念时也会碰到。在教学中时常会产生歧义，引发讨论和争辩。
20. 如在学习多项式的因式分解时，七年级学生已经能在实数范围内对22-x 进行分解，结果是 2(2(-+x x 。如此一来，学生在碰到如22
1x -等多项式时动辄以根号的形式出现如 22
1(221(2212x x x -+=-。我们知道在实数范围内该多项式完全可以按下面的方法分解： 21(21(21 41(2122122x x x x -+=-=-，而学生对 22
1(221(x x -+的变形在七年级尚无能力，如何解决此类问题?
21. 在求等可能事件概率时，我们会碰到如下问题：同时抛掷两枚硬币，问有几种情况发生？当然生活常
识告诉我们有（正，反）（反，正）（反，反）三种情况。如按等可能事件画树状图反反
反
正正
则有四种情况。这是为了确保等可能事件而产生的冲突。在问题“从1，2，3，4，5中任选两个数和恰好为6，有几种可能？”则同样会发生冲突。
又在问题“有5条线段长度分别为2，3，4，5，7中任取三条，构成三角形的概率有多大？”（徐卫云提供）
22. 内容：“估计概率”下册P38
例：在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数分布表。
（1）计算表中各频率；
（2）估计麦种的发芽概率；
（3）略
对于例题的第2问，教材中给出概率是0.95，即取自发芽频率的最后一个数据，理由教材上没有分析，可能是源于教材中“通过大量重复实验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生地概率”的解释。在此学生的困惑是为什么取发芽频率的最后一个数据，实验种子取3000就比前面的2000就准确吗？那么如果实验种子有5000，50000呢，就一定要取数据最多的吗？这显然是不对的，因为事件发生存在着偶然性。事实上，一个事件发生地频率随着实验次数的增多，其摆动幅度会越来越小。所以把事件发生的频率稳定值，作为事件发生地概率更为妥当。（林旭亮提供）
问题八：统计表的制表日期到底要不要写？
七（上）上新课时课本规定要写的，但后来课本中统计表的制表日期又不写了。
如：上册P136 例2 某摩托车厂2005年第四、四季度各月产量如表6-8。
表6-8
请根据表6-8绘制折线统计图，并回答下面的问题：
（1）相邻的两个月中，哪两个月的月产量增长最快？这两个月月产量的增长率是多少？
（2）第四季节第三季节的产量增加百分之多少？(闾炜提供
问题九：体系编排科学合理吗？
《数学课程标准》将内容标准分为四个领域，分别是“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”、“实践与综合应用”．按照这个标准设计编写的新教材，可谓面貌全新．
笔者对浙教版教材的前三块领域的分布情况作了统计，如下表：
这里需要说明的是有的章节可能涉及多个领域，如：九年级下册的第一章解直角三角形内容，数与代数及空间与图形这两块领域的成分都存在，笔者这里将其归为数与代数。但不管怎样，从上表可以说明一个结论，那就是教材在设计编排体系时，似乎将各块领域的代表性及教材的调和性优先考虑，以避免某册教材某块知识偏重或缺少某块知识。这一点尤以统计与概率领域的意图更加明显。
试问：将知识的内在的科学的联系代之以人为的分割，这样做合理吗？
有实例为证，八年级下册第三章频数及其分布，内容比较浅显，学生测试情况来看也支持了这一结论。把这块知识放在这里确实有些太奢侈，而七上的实数内容又太提前，不如将两者对调。然后如前面所述，按照现在的编写惯例是无法实现这一点了。笔者认为，按这几个领域来组织安排每册教材的内容，正如“戴着镣铐跳舞”，其科学性与合理性更值得质疑！（郑飞海提供）
问题十：与其他学科联系时，进度不同步
七下课本P122 第6题有两块底面呈正方形的长方体金块，它们的高都为h ，较大一块的底面边长比0.5cm 大a(cm，较小一块的底面边长比0.5cm 小a(cm。已知金块的密度为19.3g/cm3，问两块金块的质量相有效期多少？若h=0.8cm，
a=0.2cm呢？
m=PV，科学中没有教过，数学在做时要补充公式才能做。(闾炜提供
问题十一：“名”与“实”不相符
新教材过早地出现几何论证推理，只不过把“证明”换成“说明理由”罢了，人为地增加学生的学习负担，在七年级上册第七章和下册第一章中的课内学习和作业题就大量出现几何说理题，有的习题还有一定难度，如七年级上册第七章第五节作业题第5题：
如图，E 是直线 AC 上的一点，EF、EG 分别是∠AEB、∠BEC 的平分线，求∠GEF 的度数。然而证明要在八年级下册才能学习证明的方法、步骤和推理过程，现却要求刚开始接触几何的七年级学生来说理会不会过高一点呢？所以这一点上讲，说理过程成了七年级学生的难点。（赵峰提供） G B F C E A 问题十二：学生对知识的理解、构建、应用过程中生成的疑难问题如：浙教版七下第二章《图形和变换》教学中，学生对“轴对称图形、两个图形成轴对称、轴对称变换” 三个概念的理解；又如：第三章《事件的可能性》教学中，学生对于“等可能性事件发生的可能性种数”的理解；再如：《第五章整式的乘法》教学中，学生对于“平方差公式和完全平方公式”的理解与辨别应用。(潘树峰提供问题十三：适当调整教材设置的问题情境教材中有些问题情境与学生现有生活经验脱节，学生难以理解。如讲“同底数幂的除法”设置的问题情景是细胞每分裂问题，学生从未亲眼目睹，也没有学过相关知识，所创设的情境与学生的知识基础脱节；有些问题情境复杂一下讲不清楚，讲解时易偏离教学重点，九上 P52 例 3 台风影响问题；还有就是数学与科学的参插太多，两门学科前后进度不一样，编排有点不太恰当，如科学计数法，科学中早就要用了，但数学还没有教，而光学、物体的平衡、电功率等科学还未教，数学中却涉及了，学生摸不着头脑了．（赵立新提供）问题十三：课本作业题与配套作业本的取舍浙教版新教材既有配套作业本，学校对教
师教学常规的检查，也是以作业本为准，同时课本中又安排有“作业题”，教师主观上也比较重视，但布置给学生做到空白练习簿上，学生往往不够重视，书写马虎，做题不规范，效果很不如意，并且两样作业都给学生课后去做，似乎学生课后负担过重，而教师试图在课堂上
解决这些作业题，时间又不够．（赵立新提供）注：疑难问题的收集的内容只限于教材，且要注意研究方法。即问题入口要小，要作微观的分析。