历年考研微积分（高数）填空题汇总（2004—2013年）
（含答案和解析）
（2013Ⅰ，9）设函数()y f x =由方程(1)x y y x e --=确定，则1lim 1n n f n →∞
?
?
??-=
? ????
?
． 【答案】1
【详解】当0x =时，(0)1y f ==，利用隐函数求导法则知'(0)1f =．
1(0)
1lim 1lim '(0)11n n f f n n f f n n
→∞
→∞??
- ???????-=== ? ????
?
． （2013Ⅰ，10）已知3222123,,x x x x x y e xe y e xe y xe =-=-=-是某个二阶常系数线性微分方程三个解，则该方程的通解为．
【答案】3212x x x y C e C e xe =+-
【详解】显然313x y y e -=和23x y y e -=是对应的二阶常系数线性齐次微分方程两个线性无关的解，由解的结构定理，该方程的通解为3212x x x y C e C e xe =+-，其中12,C C 为任意常数．
（2013Ⅰ，11）设sin sin cos x t y t t t =??=+?
t 为参数，则224|t d y dx π==．
【详解】cos ,cos ,dy
dx tdt dy t tdt t dx
===，221sec cos d y t dx t =
=，
所以224
|t d y
dx π==
（2013Ⅰ12，Ⅲ11）2
1
ln (1)x
dx x +∞
=+?．
【答案】ln2 【详解】1121
11ln 1ln 1ln |ln |ln 2(1)11(1)1
x x x dx xd dx x x x x x x +∞
+∞+∞+∞+∞
=-=-+==+++++?
?? （2013Ⅱ，9）1ln(1)lim 2x
x x x →∞
+??
-= ???
．
（2013Ⅱ，10
）设函数()x
f x -=?，则()y f x =的反函数1()x f y -=在0y =处
的导数
y dx dy
==．
（2013Ⅱ，11）设封闭曲线L 的极坐标方程为cos36
6r π
πθθ??=-≤≤ ???，则L 所围成的
平面图形的面积为．
【答案】
12
π
+
（2013Ⅱ，12
）曲线arctan x t
y =???=??1t =的点处的法线方程为．
【答案】04
y x π
+-
-=
（2013Ⅱ，13）已知3222123,,x x x x x y e xe y e xe y xe =-=-=-是某个二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程满足条件00|0,|1x x y y =='==的解为y =．
【答案】32x x x e e xe --
（2013Ⅲ，9）设曲线()y f x =和2y x x =-在点(0,1)处
有公共的切线，则lim 2n n nf n →∞
??
= ?+??
． 【答案】2-
（2013Ⅲ，10）设函数(,)z z x y =由方程()x z y xy +=确定，则(1,2)
z
x ?=?． 【答案】2ln2-
（2013Ⅲ，12）微分方程1
04
y y y '''-+=的通解为y =． 【答案】12
12()x e C x C +
（2012Ⅰ，9）若函数()f x 满足方程'''()()2()0f x f x f x +-=及'()()2x f x f x e +=，则
()f x =．
【答案】x e
【解析】特征方程为220r r +-=，特征根为121,2r r ==-，齐次微分方程
'''()()2()0f x f x f x +-=的通解为212()x x f x C e C e -=+．再由'()()
2x
f x f x e
+=得21222x x x C e C e e --=，可知121,0C C ==．故()x f x e =．
（2012Ⅰ，10
）2
0=?．
【答案】
2
π
【解析】令1t x =-
得
2
1
1
1
(2
t π
--=+==
?
??
．
（2012Ⅰ，11）(2,1,1)grad z xy y ??
+= ?
?
?． 【答案】{1,1,1} 【解析】2(2,1,1)(2,1,1)
1grad ,,{1,1,1}z z xy y x y y y ????+
=-=?? ?
?
???． （2012Ⅰ，12）设(){},,1,0,0,0x y z x y z x y z ∑=++=≥≥≥，则2y ds ∑
=??．
【解析】
由曲面积分的计算公式可知22D
D
y ds y y dxdy ∑
=????，其中{}
(,)0,0,1D x y x y x y =≥≥+≤
．故原式111
2
20
(1)y
dy y dx y y dy -==-=
?
． （2012Ⅱ，9）设()y y x =是由方程2
1y
x y e -+=所确定的隐函数，则20
2
x d y
dx
==．
【答案】1
【解析】将0x =代入原方程可得0y =，方程21y x y e -+=两端对()22,2x y f x y xe +=-求导，有2y dy dy
x e dx dx
-=，
将0x =、0y =代入可得，所以0
0x dy dx ==．
再次求导得2
22
222y y d y dy d y e e dx dx dx ??-=+ ???
，再将0x =、0y =、0
0x dy dx ==代入可得
22
1x d y
dx ==．
（2012Ⅱ，10）22222111lim 12n n n
n n n →∞??
+++= ?+++??
． 【答案】
4
π
【解析】原式1
1
2
201
11lim arctan 14
1n
n i dx x n x i n π0→∞=====+??
+ ???
∑?
． （2012Ⅱ，11）设1ln z f x y ??
=+ ???
，其中函数()f u 可微，则2
z z x y x y ??+=??． 【答案】0 【解析】因为
211,z z
f f x x y y ????''=?=?- ?????
，所以2
0z z x y x y ??+=??． （2012Ⅱ，12）微分方程2d (3)d 0y x x y y +-=满足条件1
1x y ==的解为．
【答案】2x y =
【解析】21(3)03dx ydx x y dy y x dy y +-=?
=-1
3dx x y dy y
?+=为一阶线性微分方程，所以1
1
2133dy dy y y x e y e dy C y dy C y -
??????=?+=+??????
??31()y C y =+． 又因为1y =时1x =，解得0C =，故2x y =． （2012Ⅱ，13）曲线2(0)y x x x =+<
【答案】(1,0)-
【解析】将21,2y x y =+=’”代入曲率计算公式，有
3
23/2
2
2
||
2(1)2
1(21)y K y x ''=
=
=
'+??++??
． 整理有2(21)1x +=，解得01x =-或，又0x <，所以1x =-，这时0y =，故该点坐标为(1,0)-．
（2012Ⅲ，9）1cos sin 4
lim(tan )
x x
x x π
-→
=．
【答案】e
【解析】sin cos 1ln tan tan 11cos cos sin cos sin cos sin cos sin cos 44444
lim(tan )
lim lim lim lim x x x x x x x
x x
x x
x x
x
x x x x x x e
e
e
e
e π
π
π
π
π
-------→
→
→
→
→
===== （2012Ⅲ，10
）设函数1
(),(())21,1
x f x y f f x x x ?≥?==?-
x e
dy dx ==．
【答案】1e
【解析】2222
11ln ln ,22
()1[()]1,1ln 1,12()1,()12(21)1,143,1x x e x e f x y f f x x e x x e f x f x x x x x ????≥≥ ??????≥??====???≤<-≤<-
--
， 所以
11(ln 1)x e x e
x e
dy
x dx
x
e
====-=
=
（2012Ⅲ，11）函数(,)z f x y =
满足0x y →→=，则(0,1)dz =．
【答案】2dx dy - 【解析】
由于0x y →→=，则01
lim((,)22)0x y f x y x y →→-+-=．由于(,)
f x y 连续，则(0,1)0120(0,1)1f f -+-=?=
，则0x y →→=．观察
可知(,)f x y 在(0,1)处可微，且
(0,1)(0,1)
2,1f f
x y ??==-??，故2dz dx dy =-． （2012Ⅲ，12）由曲线4
y x
=和直线y x =及4y x =在第一象限中所围图形的面积为． 【答案】4ln2 【解析】曲线4y x =
和y x =交点为(2,2)，4
y x
=与4y x =交点为(1,4)，
故4
1
42
120101413x
x x x
D
S d dx dy dx dy xdx x dx x σ??
==+=+- ???????????．
（2011Ⅰ9，Ⅱ11）曲线0
tan (0)4
x
y tdt x π
=≤≤?
的弧长为．
【答案】14
π
-
【考点分析】本题考查曲线弧长的计算，直接代公式即可．
【解析】()
2
'2
2
444400
tan sec 1tan 14
s y dx xdx x dx x x π
πππ
π
===-=-=-
?
??．
（2011Ⅰ，10）微分方程cos x y y e x '+=满足条件(0)0y =的解为． 【答案】sin x y xe -=
【考点分析】本题考查一阶线性微分方程的求解．先按一阶线性微分方程的求解步骤求
出其通解，再根据定解条件，确定通解中的任意常数．
【解析】原方程的通解为
11[cos ][cos ][sin ]dx dx
x x x y e e x e dx C e xdx C e x C ----??=?+=+=+??．
由(0)0y =，得0C =，故所求解为sin x y xe -=． （2011Ⅰ，11）设函数2
sin (,)1xy
t F x y dt t
=
+?
，则220
2
x y F
x ==?=?．
【答案】4
【考点分析】本题考查偏导数的计算．
【解析】()()
2223
2222222cos 12sin sin ,11y xy x y xy xy
F y xy F x x y x x y +-??==?+?+，故22
2
4x y F x ==?=?．
（2011Ⅰ，12）设L 是柱面方程221x y +=与平面z x y =+的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分2
2
L
y xzdx xdy dz ++=? ．
【答案】π
【考点分析】本题考查第二类曲线积分的计算．首先将曲线写成参数方程的形式，再代入相应的计算公式计算即可．
【解析】曲线L 的参数方程为cos sin cos sin x t y t z t t =??
=??=+?
，其中t 从0到2π．因此
2
2202322202sin cos (cos sin )(sin )cos cos (cos sin )2sin cos sin sin cos cos 22
L
y xzdx xdy dz t t t t t t t t t dt t t t t t t dt π
π++=+-++-=--+-??? π=．
（2011Ⅱ，9）1
012lim 2x
x
x →??+= ???
．
（2011Ⅱ，10）微分方程'cos x y y e x -+=满足条件(0)0y =的解为y =． 【答案】sin x y e x -=
（2011Ⅱ，12）设函数,()0,
kx e f x λ-?=?
?0,
0,x x >≤(0)λ>，则()xf x dx +∞-∞=?． 【答案】
1
λ
（2011Ⅱ，13）设平面区域D 由直线y x =，圆222x y y +=及y 轴所围成，则二重积分D
xyd σ=??．
【答案】
712
（2011Ⅲ，9）设0
()lim (13)x t
t f x x t →=+，则'()f x =． 【答案】3(13)x x e + 【解析】0
ln(13)
3lim
30
()lim t x t x t x t
t
t f x xe
xe
x e →+?→===?，故'333()3(13)x x x f x e xe x e =+=+
（2011Ⅲ，10）设函数(1)x
y x
z y =+，则(1,1)|dz =．
【答案】112ln 22ln 222dx dy ???
?+-+ ? ????
?
【解析】
ln(1)ln(1)1
1(1,1)1
1
(1)()()
ln(1)1x x x x x x x x x z d x x e e x x dx x ++====?+?
?'
===+++ ??+?? 12ln 22?
?=+ ??
?，
2
111ln 1ln 12
(1,1)
1
1
1
11ln 111112ln 22y
y y y y y y y y y y d y z
y e e y
dy
y ????++ ? ?????
===-??
?????-+?
? ?'????????++ ?
?????-??
?
?
====-???? ????????
????
????????， 故112ln 22ln 222dz dx dy ???
?=+-+ ? ????
?．
（2011Ⅲ，11）曲线tan()4
y x y e π
++=在点(0,0)处的切线方程为．
【答案】2y x =-
【解析】
2
1
(1)cos 4y y e y x y π''?+=????
?++ ? ?
???
?，
当0,0x y ==
时，
2
1(1)y y ''?+=??
，所以2(1)2y y y '''+=?=-．故切线方程为
2y x =-．
（2011Ⅲ，12
）曲线y 2x =及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积．
【答案】4
3
π 【解析】232
22
11
174(1)1333x V x dx x ππππ??????=-=-=-= ???????
?
．
（2010Ⅰ，9）设2
0,ln(1)t
t
x e y u du -==+?，则22
t d y
dx ==． 【答案】0 【解析】
2ln(1)t dy dy dt
e t dx dt dx =?=-+， 222222222ln(1)()ln(1)11t t t t dy d d y dt t t dx e t e e e t dx dt dx t t ?? ???????=?=-++-=++????++????
， 于是22
0t d y
dx ==． （2010Ⅰ，10
）2
π?=．
【答案】4π-
【解析】2
2
2220
2cos 2(sin )2sin 4sin x t
t tdt t d t t t t tdt ππππ
π=???→==-?
???
20
4sin 2sin 4sin 4t tdt tdt tdt π
π
π
πππ=-=-=-=-???
（2010Ⅰ，11）已知曲线L 的方程为1||([1,1])y x x =-∈-，起点是(1,0)-，终点是(1,0)，则曲线积分2L
xydx x dy +=?．
【答案】0
【解法一】补充1:0L y =（起点(1,0)，终点(1,0)-），由格林公式
1
1222L
L L L xydx x dy xydx x dy xydx x dy ++=+-+?
?
? ，
而1
1
120
1
0y L L y D
xydx x dy xdxdy dy xdx -+-+===?????
，
1
1
20L L xydx x dy xydx +==?
?，故原式0=．
【解法二】0
1
2221
[(1)][(1)]0L
xydx x dy x x x dx x x x dx -+=+++--=???．
（2010Ⅰ，12）设22{(,,)|1}x y z x y z Ω=+≤≤，则Ω的形心的竖坐标z =． 【答案】
2
3
【解析】zdv
z dv
Ω
Ω=
??????，
而221
1
20
3
x y z
zdv zdz
dxdy z dz π
πΩ
+≤===
???????，
2
21
1
2
x y z
dv dz
dxdy zdz π
πΩ
+≤===
???????，所以23
z =
． （2010Ⅱ，9）三阶常系数线性齐次微分方程220y y y y ''''''-+-=的通解是y =． 【答案】2123cos sin x C e C x C x ++
（2010Ⅱ，10）曲线3
221
x y x =+的渐近线方程为．
【答案】2y x =
（2010Ⅱ，11）函数ln(12)y x =-在0x =处的n 阶导数()(0)n y =． 【答案】2(1)!n n -?-
（2010Ⅱ，12）当0θπ≤≤时，对数螺线r e θ=的弧长为．
1)e π-
（2010Ⅱ，13）已知一个长方形的长l 以2cm/s 的速率增加，宽w 以3cm/s 的速率增加，则当l =12cm ，w =5cm 时，它的对角线增加的速率为．
【答案】3cm/s
（2010Ⅲ，9）设可导函数()y y x =由方程2
20
sin x y
x
t e dt x t dt +-=??确定，则
x dy dx
==．
【答案】1-
【解析】2
20
sin x y
x
t e dt x t dt +-=?
?两边对x 求导得2
()220
1)sin sin x
x y e y t dt x x -+'+=+?(，代
入0x =得2
0001)0101y x x x e y y y -==='''+=?+=?=-(．
（2010Ⅲ，10）设位于曲线
)y e x =
≤<+∞下方，x 轴上方的无界区域为G ，
则G 绕x 轴旋转一周所得空间区域的体积是．
【答案】2
4
π
【解析】体积22
(1ln )
e
e
V y dx dx x x π
π+∞+∞
==+??
（作变量替换t x e =）
2
211
arctan (1)
4
t
t e dt t e t π
ππ+∞
+∞
===
+?
．
（2010Ⅲ，11）设某商品的收益函数为()R P ，收益弹性为31P +，其中P 为价格，且
(1)1R =，则()R P =．
【答案】313
P Pe
-
【解析】由已知条件有3
1R P P P R
??=+?，即32()11R P P P R P P '+==+（分离变量）． 两边同时积分有31ln ln 3P R P C =++，即，3
1ln 3
R P C P =+， 所以有333
3
P P R
Ce
R CPe
P
=?=，代入(1)1R =，得13
C e -
=，所以313
()P R P Pe
-=
（2010Ⅲ，12）若曲线321y x ax bx =+++有拐点(1,0)-，则b =． 【答案】3
【解析】根据条件得110,0x x y y =-=-'==，其中62y x a ''=+，于是得方程组
110
620a b a -+-+=??
-+=?
，解得3a b ==． （2009Ⅰ，9）设函数(,)f u v 具有二阶连续偏导数，(,)z f x xy =，则
2z
x y
?=??． 【答案】"'"12222xf f xyf ++
【解析】''
12z f f y x
?=+??，
2"'""'"1222212222z xf f yx f xf f xyf x y ?=++?=++??． （2009Ⅰ，10）若二阶常系数线性齐次微分方程0y ay by '''++=的通解为
12()x y C C x e =+，则非齐次方程y ay by x '''++=满足条件(0)2,(0)0y y '==的解为y =．
【答案】2x y xe x =-++
【解析】由12()x y c c x e =+，得121λλ==，故2,1a b =-=． 微分方程为''2'y y y x -+=，设特解*y Ax B =+代入，
',1y A A ==， 220,2
A Ax
B x B B -++=-+==，
∴特解*2y x =+， ∴12()2x y c c x e x =+++．
把(0)2y =，'(0)0y =代入，得120,1c c ==-，故所求2x y xe x =-++．
（2009Ⅰ，11）已知曲线(2:0L y x x =≤≤，则L
xds =?
．
【答案】
13
6
【解析】由题意可知，2,,0x x y x x ==≤，则
ds =
，
所以()20
1113
14886
L
xds x ==+==
?． （2009Ⅰ，12）设(){}
2
22,,1x y z x
y z Ω=++≤，则2z dxdydz Ω
=???．
【答案】
415
π 【解法一】21
22220
sin cos z dxdydz d d d π
πθ?ρ?ρ?ρ=??????
()21
240
cos cos d d d ππθ??ρρ=-???
30cos 14
23515
d π?π?π=?-?=?．
【解法二】由轮换对称性可知2z dxdydz Ω
=
???2x dxdydz Ω
=???2
y dxdydz Ω
???，
所以，()212222
40
0011sin 33z dxdydz x y z dxdydz d d r dr ππ?θ?Ω
Ω=
++=????????? 1
40
02214sin sin 3
3515
d r dr d π
ππ
ππ
????=
??=
?
??． （2009Ⅱ，9）曲线21022
ln(2)
t
u x e du
y t t --?=???=-??在(0,0)处的切线方程为．
【答案】2y x =
【解析】
221
2
22ln(2)22t dy t t t t dt t ==--?=--
2
(1)1(1)1t t dx e dt
--==?-=- 所以2dy dx
=
所以切线方程为2y x =.
（2009Ⅱ，10）已知1k x e dx +∞-∞
=?，则k =．
【答案】2-
【解析】0
1
122lim b
k x
kx
kx b e dx e dx e k +∞
+∞-∞→+∞===??
，
因为极限存在所以0k <，2
10k
=-
，2k =-． （2009Ⅱ，11）1
lim sin x n e nxdx -→∞=?．
【答案】0
【解析】令sin sin cos x x x n I e nxdx e nx n e nxdx ---==-+??
2sin cos x x n e nx ne nx n I --=---，
所以2cos sin 1
x
n n nx nx I e C n -+=-++．
即1110
2220cos sin cos sin lim sin lim()lim()0111
x x n n n n nx nx n n n n
e nxdx e e n n n ---→∞→∞→∞++=-=-+=+++?． （2009Ⅱ，12）设()y y x =是由方程1y
xy e x +=+确定的隐函数，则202x d y dx
==．
【答案】3-
【解析】对方程xy 1y e x +=+两边关于x 求导有''1y y xy y e ++=，得'1y
y
y x e -=+． 对''1y y xy y e ++=再次求导可得''''''22()0y y y xy y e y e +++=，
得''2''
2()y
y
y y e y x e +=-
+(*)．
当0x =时，0y =，'(0)0
10
1y e -=
=，代入(*)得 ''20
''
03
2(0)((0))(0)(21)3(0)y y e y e +=-=-+=-+．
（2009Ⅱ，13）函数2x y x =在区间(]01，上的最小值为． 【答案】2
e
e
-
【解析】因为()22ln 2x y x x '=+，令0y '=得驻点为1x e
=
． 又()2
2222ln 2x
x
y x x x x ''=++?，得21120e y e e -+?
?''=> ???，
故1x e
=为2x
y x =的极小值点，此时2
e y e -=，
又当10,x e ??∈ ???时，()0y x '<；1,1x e ??∈ ???时，()0y x '>，故y 在10,e ?? ???上递减，在1,1e ??
?
??
上递增．
而()11y =，()()
00022ln lim
lim
11lim 222ln 0
0lim lim 1x x x x
x x x x x
x
x x x y x e e e
e ++
→→+
→++
--
+→→======，
所以2x
y x =在区间(]01，上的最小值为2
1e y e e -??= ???
． （2009Ⅲ，9
）cos x x →=．
【答案】32
e
【解析】2
cos cos 1
00221(1cos )3
2lim lim 11233
x
x x x x x e x e x e x x
-→→→→?-====．
（2009Ⅲ，10）设()y x z x e =+，则(1,0)
z
x ?=?． 【答案】2ln21+．
【解析】由()y x z x e =+，故(,0)(1)x z x x =+，
ln(1)ln(1)[(1)]ln(1)1x x x x x dz x x e e x dx x ++??''??=+==++????+??
．
代入1x =得，
ln 2(1,0)1ln 22ln 212z e x ??
?=+=+ ???
?． （2009Ⅲ，11）幂级数2
1
(1)n n n
n e x n ∞
=--∑的收敛半径为． 【答案】1
e
【解析】由题意知，2
(1)0n n
n e a n --=
>， 11
112212211(1)()(1)(1)(1)11n n n n n n n n
n
n e e a e n n e n a n e n e e +++++????--??
???--????=?=?→→∞+--+??
??--?? ???????
． 所以，该幂级数的收敛半径为1e
．
（2009Ⅲ，12）设某产品的需求函数为()Q Q P =，其对应价格P 的弹性0.2P ξ=，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加元．
【答案】8000
【解析】所求即为()QP Q P Q ''=+．
因为0.2P Q P
Q
ξ'=
=-，所以0.2Q P Q '=-， 所以()0.20.8QP Q Q Q '=-+=． 将10000Q =代入有()8000QP '=．
（2009Ⅳ，9）20lim 1sin 3x
x x →??+= ???
．
【答案】23
e
【解析】0
02sin
222
23
3ln 1sin lim
lim 33
00lim(1sin )lim 3
x x x
x x x x
x
x
x x x
e
e e
e →→?
??+ ???
→→+====．
（2009Ⅳ，10）设2()ln(4cos 2)f x x x =+，则8f π??
'= ???
．
【答案】
41
π+
【解析】由2()ln(4cos 2)f x x x =+，21
()[42cos2(sin2)2]4cos 2f x x x x x
'=
+?-?+
，则
12444(42)81122
f ππππ?????
'=+=-=?? ? ++???
?????+． （2009Ⅳ，11）设2(),()ln x f x e x x ?==，则1
0[(())(())]f x f x dx ??+=?．
【答案】
43
【解析】
2ln 2
(())x f x e x ?==，2(())ln 2x f x e x
?==，所以原式
1
31
2
20014(2)133
3x x x dx x ??=+=+=+= ????． （2009Ⅳ，12）设(,)f u v 为二元可微函数，(sin(),)xy z f x y e =+，则z
x
??=． 【答案】12cos()xy f x y yf e ''++ 【解析】根据复合函数求导法得
12cos()xy z
f x y yf e x
?''=++?． （2008Ⅰ9，Ⅲ12）微分方程0xy y '+=满足条件(1)1y =的解是y =． 【答案】
1x
【详解】由
dy y
dx x
-=
，两端积分得1ln ln y x C -=+，所以1x C y =+，又(1)1y =，所以1
y x
=
． （ⅢⅠ10，Ⅱ11）曲线sin()ln()xy y x x +-=在点(0,1)处的切线方程为． 【答案】1y x =+
【详解】设(,)sin()ln()F x y xy y x x =+--，则1
cos()1
1cos()x y y xy F dy y x
dx F x xy y x
-
-'-=-=-
'+
-， 将(0)1y =代入得
1x dy dx
==，所以切线方程为10y x -=-，即1y x =+．
（2008Ⅰ，11）已知幂级数0
(2)n n n a x ∞
=+∑在0x =处收敛，在4x =-处发散，则幂级数
(3)
n
n n a x ∞
=-∑的收敛域为．
【答案】(1,5]
【详解】幂级数0
(2)n n n a x ∞
=+∑的收敛区间以2x =-为中心，因为该级数在0x =处收敛，
在4x =-处发散，所以其收敛半径为2，收敛域为(4,0]-，即222x -<+≤时级数收敛，亦即0
n
n n a t ∞
=∑的收敛半径为2，收敛域为(2,2]-．则0
(3)n n n a x ∞
=-∑的收敛半径为2，由
232x -<-≤得15x <≤，即幂级数0
(3)n n n a x ∞
=-∑的收敛域为(1,5]．
（2008Ⅰ，12）设曲面Σ
是z =2xydydz xdzdx x dxdy ∑
++=??．
【答案】4π
【详解】加221:0(4)z x y ∑=+≤的下侧，记∑与1∑所围空间区域为Ω，则
2
xydydz xdzdx x dxdy ∑
++??
1
1
22
xydydz xdzdx x dxdy xydydz xdzdx x dxdy ∑+∑∑=
++-++????
2222
222
4
4
1()0()2x y x y ydxdydz x dxdy x y dxdy Ω
+≤+
≤=--=+
+?????
?? 2230
0142d r dr πθπ=
=??． （2008Ⅱ，9）已知函数()f x 连续，且2
1cos[()]lim
1(1)()
x x xf x e f x →-=-，则(0)f =．
【答案】2
【详解】222220001cos[()]
2sin [()2]2sin [()2]()
lim lim lim ()[()2]4(1)()
x x x x xf x xf x xf x f x x f x xf x e f x →→→-?==?- 011
lim ()(0)122x f x f →===． 所以(0)2f =．
（2008Ⅱ10，Ⅳ12）微分方程2()0x y x e dx xdy -+-=的通解是y =． 【答案】()x x e C --+
【详解】微分方程()
20x y x e dx xdy -+-=可变形为
x dy y
xe dx x
--=， 所以111()dx dx x
x x x x y e xe e dx C x xe dx C x e C x ----??????=+=?+=-+?? ?????
??．
（2008Ⅱ，12）曲线2
3
(5)y x x =-的拐点坐标为． 【答案】(1,6)--
【详解】53235y x x =-?2113
51010(2)
333x y x x x -+'=-
=
?134343
101010(1)
999x y x x x
--+''=+=， 1x =-时，0y ''=；0x =时，y ''不存在．
在1x =-左右近旁y ''异号，在0x =左右近旁0y ''>，且(1)6y -=-， 故曲线的拐点为(1,6)--．
（2008Ⅱ，13）设x
y y z x ?
?=
??
?，则(1,2)
z x
?=?．
21)- 【详解】设,y x
u v x y
=
=，则v z u =． 所以
121
()ln v v z z u z v y vu u u x u x v x x y
-?????=?+?=-+?????? 2ln 11ln x y
v
vy u y y u ux y x y x ??????
=-+=?-+ ? ?
???
??
??．
所以
(1,2)21)2
z x ?=-?． （2008ⅢⅣ，9）设函数21,()2,
x x c
f x x c x ?+≤?
=?>??
在(,)-∞+∞内连续，则c =．
【答案】1
【详解】由题设知0||x c ≤≤，所以2
2
,()1,2,x c x f x x c x c x c
x ?>??=+-≤≤??
?-<-?
．
因为22
lim ()lim (1)1x c
x c
f x x c --→→=+=+，22
lim ()lim x c x c
f x x c
++
→→==， 又因为()f x 在(,)-∞+∞内连续，()f x 必在x c =处连续． 所以lim ()lim ()()x c
x c
f x f x f c +-
→→==，即22
11c c c
+=?=． （2008Ⅲ，10）设34
1()1x x f x x x ++=+
，则2
()f x dx =?．
【答案】1ln32
【详解】222111112x x
x x f x x x x x x ++??+== ?????++- ???
，令1t x x =+，得2
()2t f t t =-，所以
2
2222111()ln(2)(ln6ln2)ln32222
x f x dx dx x x ==-=-=-??． （2008Ⅲ，11）设22{(,)1}D x y x y =+≤，则2()D
x y dxdy -=??．
【答案】
【详解】2122
222
0011()()224D
D
D
x y dxdy x dxdy x y dxdy d r rdr ππθ-????→=
+==????????利用奇偶性． （2008Ⅳ，10）已知函数()f x 连续，且0
()
lim
2x f x x
→=，则曲线()y f x =上对应0x =处的切线方程是．
【答案】2y x =
【考点】考查利用导数定义求某点处的导数． 【解析】由0
()lim
2x f x x →=且()f x 连续，则(0)0f =，0()(0)
(0)lim 2x f x f f x
→-'==，所以
切线方程为2y x =．
（2008Ⅳ，11）2
1
1
ln y dx x xdy =??．
【答案】
1
2
【考点】考查二重积分的计算．
【解析】2
221
21
2
1
1
1
1(1)1
ln (1)22
y
y
x dx x xdy dx dx x dx -==-==?????
．
【易错辨析】ln y y x xdy dx =．
4
π
（2007Ⅰ，11）1
2
31
1x e dx x
=?
． 【答案】1
212
e
【分析】先作变量代换，再分部积分．
【详解】1
111
2
13221321
12
111()2t t t x
x e dx t e dt te dt e x t =???→=-==?
??． （2007Ⅰ，12）设(,)f u v 为二元可微函数，(,)y x z f x y =，则z
x
?=?． 【答案】112ln y x f yx f y y -''?+? 【详解】利用复合函数求偏导公式，有
112ln y x z
f yx f y y x
-?''=?+??． （2007Ⅰ13，Ⅱ14）二阶常系数非齐次线性方程2432x y y y e '''-+=的通解为y =． 【答案】3212e e 2e x x x C C +-
【分析】本题求解二阶常系数非齐次微分方程的通解，利用二阶常系数非齐次微分方程解的结构求解，即先求出对应齐次方程的通解Y ，然后求出非齐次微分方程的一个特解*y ，则其通解为*y Y y =+．
【详解】对应齐次方程的特征方程为
2124301,3λλλλ-+=?==，
则对应齐次方程的通解为312e e x x y C C =+． 设原方程的特解为2*e x y A =，代入原方程可得
22224e 8e 3e 2e 2x x x x A A A A -+=?=-，
所以原方程的特解为2*2e x y =-，
故原方程的通解为3212e e 2e x x x y C C =+-，其中12,C C 为任意常数． 【评注】本题为基础题型.
（2007Ⅰ，14）设曲面:||||||1x y z ∑++=，则(||)x y dS ∑
+=?? ．
【解析】由于曲面Σ关于平面0x =对称，因此0xdS ∑
=?? ．又曲面:||||||1x y z ∑++=具有轮换对称性，于是
1
(||)||||||(||||||)3x y dS y dS x dS z dS x y z dS ∑
∑
∑
∑
∑
+====
++??????????
11833dS ∑=
=?=?? （2007Ⅱ，11）30arctan sin lim x x x
x
→-=． 【答案】1
6
-
【分析】本题为
未定式极限的求解，利用洛必达法则即可． 【详解】232
001
cos arctan sin 1lim lim
3x x x x x x x x →→--+=2201cos (1)lim 3x x x x →-+= 202cos sin (1)111
lim 6366
x x x x x x →-++==-+=-． 【评注】本题利用了洛必达法则．本题还可用泰勒级数展开计算．
因为333311
arctan (), sin ()3
6
x x x o x x x x o x =-+=++，
所以30arctan sin 1
lim 6
x x x x →-=-． （2007Ⅱ，12）曲线2cos cos 1sin x t t y t
?=+?=+?上对应于4t π
=的点处的法线斜率为．
【分析】本题考查参数方程的导数及导数的几何意义．
【详解】因为
4
4
d cos d sin 2cos sin t t y t
x
t t t
π
π
=
=
=
=--，
所以曲线在对应于4
t π
=
的点的切线斜率为，
故曲线在对应于4
t π
=
【评注】本题为基础题型．
（2007ⅢⅣ，11）323
1
lim
(sin cos )2x x x x x x x →+∞+++=+． 【分析】本题求类未定式，可利用“抓大头法”和无穷小乘以有界量仍为无穷小的结论．
【详解】因为3232331
10222lim lim
0,|sin cos |221
12
x x x x
x x x x x x x x →+∞→+∞++++===+<++，