初三数学相似三角形知 识点归纳 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
初三数学《相似三角形》知识提纲 (何老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：c d a b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:bc ad d c b a =?= 2. 合比：若 ，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 4、黄金分割： 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的 比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC= 2 1 5-≈， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ， = ， n m b a =
2019年中考几何相似三角形怎么证明 各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢 初中几何相似三角形怎么证明?很多同学一接触证明题就不会，教育网针对这个问题，给大家具体解答一下。 数学：相似三角形怎么证明 相似三角形定理 ：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 相似三角形判定定理1：两角对应相等，两三角形相似 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似
相似直角三角形定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似 性质定理1：相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比 性质定理3：相似三角形面积的比等于相似比的平方 证两个相似三角形应该把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。如果是文字语言的“△ABC与△DEF相似”，那么就说明这两个三角形的对应顶点可能没有写在对应的位置上，而如果是符号语言的“△ABC∽△DE F”，那么就说明这两个三角形的对应顶点写在了对应的位置上。 方法一 平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角
形相似。 方法二 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。 方法三 如果两个三角形的两组对应边成比例，并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似 方法四 如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似 方法五 对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形 三个基本型 Z型A型反A型 方法六 两个直角三角形中，斜边与直角边对应成比例，那么两三角形相似。一定相似的三角形 1.两个全等的三角形
2 初三数学相似三角形 （一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是： 1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。 2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。 3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。 4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题 本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。 相似三角形是平面几何的主要内容之一， 在中考试题中时常与四边形、 圆的知识相结合 构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在 10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。 （二）重要知识点介绍： 1. 比例线段的有关概念： 在比例式 a b c (a ： bc ：d )中， a 、 d 叫外项， d b 、 c 叫内项， a 、c 叫前项， b 、 d 叫后项， d 叫第四比例项，如果 b=c ，那么 b 叫做 a 、 d 的比例中项。 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ，使 AC=AB BC ，叫做把线段 AB 黄金分割， C 叫做线段 AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质： a c b d ②合比性质： a c b d ad bc a b c d b d ③等比性质： a c ? b d m (b d ? n n ≠ 0) a c ? m a b d ? n b 3. 平行线分线段成比例定理： ①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图： l 1∥ l 2∥ l 3 。 AB 则 BC DE ， AB EF AC DE ， BC DF AC EF ，? DF
相似三角形的判定和应用 一、判定相似三角形的基本思路: 1.找准对应关系：两个三角形的三个对应顶点、三个对应角、三条对应边不能随便写，一般说来，相等的角所对的边是对应边，对应边所对的角是对应角。 2.记住五个判定定理：判定相似三角形依据是五个定理，即预备定理、判定定理一、判定定理二、判定定理三、直角三角形相似的判定定理。 二、相似形的应用： 1.证比例式； 2.证等积式； 3.证直线平行； 4.证直线垂直； 5.证面积相等； 三、经典例题： 例1.如图，在ΔABC 中，D 是BC 的中点，E 是AC 延长线上任意一点，连接DE 与AB 交于F ，与过A 平行于BC 的直线交于G 。 求证： CE AE BF AF = . 变式1：如图，在ΔABC 中，A ∠与B ∠互余，CD ⊥AB ，DE//BC ，交AC 于点E ，求证： AD:AC=CE:BD. 例2：如图：已知梯形ABCD 中，AD//BC ，?=∠90ABC ，且BD ⊥CD 于D 。 求证：①DCB ABD ??~ ；②BC AD BD ?=2
例3.如图，在ΔABC 中，?=∠90BAC ，M 是BC 的中点，DM ⊥BC 交BA 的延长线于D ，交AC 于E 。 求证：ME MD MA ?=2 例4.已知：在ΔABC 中，AD 是BAC ∠的平分线，点E 在AD 上，点F 在AD 的延长线 上，且 AC AB DF ED = 求证：BE//FC 。 例5.如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为AB 、AC 上一点，切BE=BF ，BP ⊥CE ，垂足为P 。 求证：PD ⊥PF.
相似三角形的判定练习 例题分析： 例1：已知如图，在△ABC 中，D 是AB 上的一点，连结CD ，∠ACD=∠B,求证：2 AE AD AC = 例2：如图，在Rt ΔABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ， (1)求证：△ACD ∽△ABC ∽△CBD (2)求证：222(1) (2) (3)AC AD AB CD AD DB BC BD AB === 例3：已知如图，点D 是AB 上的一点，CA ⊥AB,EB ⊥AB,CD ⊥DE,求证：△ACD ∽△BDE 例4：在△ABC 中，AB=6，AC=9，D 为AC 上的一点，AD=3，在AB 上找一点E ，使得△ADE 与△ABC 相似？并求出AE 的长。
两个三角形相似的六种图形： 1. 如图在△ABC中，D是BC边的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，交AB于点E，EC交AD于点F． 求证：△ABC∽△FCD； A E F B D C 2、已知：如图，△ABC中，∠ACB=900，AB的垂直平分线交AB于D，交BC延长线于F。 求证：CD2=DE·DF 3. 如图3，△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E．求证：DE2＝BE·CE． 4.如图，已知△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，CF∥BA，BF交AD于P点，交AC于E点。求证：BP2=PE·PF。
5.如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB 6.如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于点F． 求证：AB DF AC AF ． 7.已知如图，在平行四边形ABCD中，,求证：△AOB∽△ABC 8. 已知:如图,ΔABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.求证:(1)△AEC∽△AFB (2) △AEF∽△ACB
相似三角形判定定理的证明 预习导学： 1．相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似． 2．证明相似三角形判定定理时，先作辅助线，再根据条件选择适当的判定定理。 教学目标： 1．了解相似三角形判定定理,会证明相似三角形判定定理 2．掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力 教学重点：会证明相似三角形判定定理 教学难点：掌握推理证明的方法，并提供应用能力 教学过程： 判定定理的证明： 定理1：两角分别相等的两个三角形相似 如果∠A =∠A ′，∠B =∠B ′， 那么，△ABC ∽△A′B′C′. 证明：在△ABC 的边AB （或延长线）上截取AD=A’B’,过点D 作BC 的平行线， 交AC 于点E,则∠ADE=∠B, ∠AED=∠C, AD AE AB AC =(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例). 过点D 作AC 的平行线，交BC 于点F,则 AD CF AB CB =(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例). ∴ AE CF AC CB =
∵DE ∥BC ，DF ∥AC ∴四边形DFCE 是平行四边形. ∴DE=CF ∴AE DE AC CB = ∴AD AE DE AB AC BC == 而∠ADE=∠B, ∠DAE=∠BAC, ∠AED=∠C, ∴△ADE ∽△ABC. ∵∠A=∠A’, ∠ADE=∠B’, AD=A’B’, ∴△ADE ≌△A’B’C’ ∴△ABC ∽△A’B’C’. 定理2：两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似. 探究2 如果∠B =∠B1， 那么，△ABC ∽△A1B1C1. 自己思考，与同学交流 定理3：三边对应成比例,两三角形相似. 如果 1111 ,AB BC k A B B C ==, AB BC AC A B B C A C ==''''''
经典练习题相似三角形 一．解答题（共30小题） 1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC． 2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF； （2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD 的长． 3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．
求证：△ABC∽△FDE． 4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD． 5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点． （1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形； （2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立； （3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．
6．如图，E是?ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明． 7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． （1）填空：∠ABC=_________ °，BC= _________ ； （2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．
8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB 方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问： （1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的 （2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．
相似三角形的比例关系及相似三角形证明的变式 【知识疏理】 一， 相似三角形边长比，和周长比以及面积比的关系！ 若两个相似三角形的对应角的平分线之比是1∶2，则这两个三角形的对应高线之比是---------，对应中线之比是------------，周长之比是---------，面积之比是-------------，若两个相似三角形的面积之比是1∶2，则这两个三角形的对应的角平分线之比是----------，对应边上的高线之比是-------- 对应边上的中线之比是----------，周长之比是--------------。 二， 相似三角形证明的变式 1，相似三角形当中常以乘积的形式出现，如： 例1、 已知：如图1，BE 、DC 交于点A ，∠E=∠C 。求证：DA ·AC=BA ·AE 图2 题目比较简单，学生独立完成，启发学生总结：①本题找对应角的特殊方法是对顶角相等；②要想证明乘积式或比例式，应先证明三角形相似。 2，对特殊图形的认识 例2、已知：如图3，Rt △ABC 中，∠ABC=90o，BD ⊥AC 于点D 。 图3 （1） 图中有几个直角三角形？它们相似吗？为什么？ （2） 用语言叙述第（1）题的结论。 （3） 写出相似三角形对应边成比例的表达式。 总结： （1） 有一对锐角相等的两个直角三角形相似； （2） 本题找对应角的方法是公共角及同角的余角相等； A B C A'B'C'图（4）图1 B A C
双垂直图形中的BD 2=AD ·CD ，AB 2=AD ·AC ，BC 2=CD ·CA ，BC ·AB=AC ·BD 等结论很重要，它们在计算、证明中应用很普遍，但需先证明两个三角形相似得到结论，再加以应用。在此基础上，将双垂直图形转化 为“公边共角”，讨论、探究， A B C 得到结论：由公边共角的两个相似三角形中，公边是两个三角形中落在一条直线上的两边的比例中项，即若△ABD ∽△ACB ，则AB 2=AD ·AC 。 【课堂检测】 一选择题 1、一个三角形的三边长为5，5，6，与它相似的三角形最长边为10，则后一个三角形的面积为（ ） A 、3100 B 、20 C 、54 D 、25 108 2、如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，如果S △ODC ：S △BDC =1：3，那么S △ODC ：S △ABC 的值是（ ） A 、 51 B 、61 C 、71 D 、9 1 D C Ａ Ｄ O Ｐ A B Ｂ Ｃ （第2题图） （第4题图） 3、已知一个梯形被一条对角线分成两个相似三角形，如果两腰的比是1：4，则两底的比是（ ） A 、1：2 B 、1：4 C 、1：8 D 、1：16 4、已知，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=900，对角线AC ⊥BD ，垂足为P ，已知AD ：BC=3：4，则BD ：AC 的值是 （ ） Ａ、3：２ Ｂ、２：３ Ｃ、3：３ Ｄ、３：４ 5、如图，已知：∠BAO=∠CAE=∠DCB ，则下列关系式中正确的是（ ） A 、AE BC AD A B = B 、AD B C AE AC = C 、AE BC DE AB = D 、AD AB AE AC =
- 1 - / 4 相似三角形（三） 知识点（一）：相似三角形的证明技巧 1.相似三角形的基本图形 2.相似三角形判定定理（3条） 3.相似三角形的具体解题方法 1.“三点定形法”：即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。 例1、已知:如图△ABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.求证:AE?AB=AC?AF.（判断“横定”还是“竖定”？） 例2、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB吗？说明理由。 分析方法： 1）先将积式______________ 2）______________（“横定”还是“竖定”？） 练习1.已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC延长线于F。 求证：CD2=DE·DF。
A D E F B C
2.过渡法（或叫代换法） 有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明． (1)等量过渡法（等线段代换法） 遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。然后再应用三点定形法确定相似三角形。只要代换得当，问题往往可以得到解决。当然，还要注意最后将代换的线段再代换回来。 例1：如图3，△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线FE交BC的 延长线于E．求证：DE2＝BE·CE． - 2 - / 4 (2)等比过渡法（等比代换法） 当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代
初三数学《相似三角形》知识提纲 (何老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：c d a b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:b c a d d c b a =?= 2. 合比：若 ，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 4、黄金分割： 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=2 1 5-AB ≈0.618AB ， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ， = ， 语言描述如下： = ， = ， = . （4）上述结论也适合下列情况的图形： n m b a =
相似三角形6大证明技巧 相似三角形证明方法 相似三角形的判定方法总结： 1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 2. 三边成比例的两个三角形相似.（SSS） 3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS) 4. 两角分别相等的两个三角形相似.(AA) 5.斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL) 相似三角形的模型方法总结： “反A”型与“反X”型.
“旋转相似”与“一线三等角” 反A 型与反X 型 已知△ABC 中，∠AEF=∠ACB ，求证：（1）AE AB AF AC ?=?（2）∠BEO=∠CFO ， ∠EBO=∠FCO （3）∠OEF=∠OBC ，∠OFE=∠OCB O F E C B A 类射影 如图，已知2AB AC AD =?，求证： BD AB BC AC = A B C D 射影定理 已知△ABC ，∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ，求证：2AC AH AB =?，2BC BH BA =?，2HC HA HB =?
通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型”（A 型，X 型，线束型），也离不开上述的6种“相似模型”. 但是，王老师认为，“模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具，怎样用好工具，取决于我们如何思考问题. 合理的思维方法，能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。 在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧. 技巧一：三点定型法 技巧二：等线段代换 技巧三：等比代换 技巧四：等积代换 技巧五：证等量先证等比 技巧六：几何计算 【例1】 如图，平行四边形ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F ，求证： DC CF AE AD =． A B C F D E 【例2】 如图，ABC △中，90BAC ∠=?，M 为BC 的中点，DM BC ⊥交CA 的延长线于 D ，交AB 于 E ．求证：2AM MD ME =? C B A E D M 【例3】 如图，在Rt ABC △中，AD 是斜边BC 上的高，ABC ∠的平分线BE 交AC 于E ， 交AD 于F ．求证： BF AB BE BC =． D B A C F E 技巧一：三点定型 比例式的证明方法
相似三角形 一、知识概述 (一)相似三角形 1、对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形． 温馨提示： ①当且仅当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可； ②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等； ③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例，其应用广泛． 2、相似三角形对应边的比叫做相似比． 温馨提示： ①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例． ②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当且仅当它们全等时，才有k=k′=1． ③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出． 3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形． 4、相似三角形的预备定理：如果一条直线平行于三角形的一条边，且这条直线与原三角形的两条边(或其延长线)分别相交，那么所构成的三角形与原三角形相似．
①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言： ∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE； ②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明下节相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”； ③有了预备定理后，在解题时不但要想到上一节“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”． (二)相似三角形的判定 1、相似三角形的判定： 判定定理(1)：两角对应相等，两三角形相似． 判定定理(2)：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 判定定理(3)：三边对应成比例，两三角形相似． 温馨提示： ①有平行线时，用上节学习的预备定理； ②已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定定理（1）或判定定理（2）； ③已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理2或判定定理3．但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等． 2、直角三角形相似的判定：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．
相似三角形判定定理的证明(基础) 【学习目标】 1.熟记三个判定定理的内容. 2.三个判定定理的证明过程. 3.学选会用适当的方法证明结论的成立性. 【要点梳理】 要点一、两角分别相等的两个三角形相似 已知：如图,在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′.求证：△ABC∽△A′B′C′. 证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A′B′,过点D作BC的平行线，交AC于点E,则 ∠ADE=∠B，∠AED=∠C, ADAE?(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）. ABAC过点D作AC的平行线，交BC与点F,则 ADCF?(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）. ABCBAECF?∴ACCB∵DE∥BC,DF∥AC, ∴四边形DFCE是平行四边形. ∴DE=CF. ∴AE:AC=DE:CB ADAEDE??. ∴ABACBC而∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC,∠AED=∠C, ∴△ADE∽△ABC. ∵∠A=∠A′,∠ADE=∠B=∠B′,AD=A′B′, ∴△ADE∽△A′B′C′. ∴△ABC∽△A′B′C′. 要点诠释：证明这个定理的正确性，是把它转化为平行线分线段成比例来证明的，注意转化时辅助线的做法.
【典型例题】类型一、两角分别相等的两个三角形相似，求证：△ADE∽△ABC．D， CE⊥AB，垂足为E1、在△ABC中，∠A=60°，BD⊥AC，垂足为 断可判∠AEC=∠ADB=90°，利用∠EAC=∠DAB路点拨】由BD⊥AC，CE⊥AB得到【思 ，加上∠EAD=∠CAB，根据三角形相似的==，利用比例性质得△AEC∽△ADB，则判定方法即可得到结论．【答案与解析】证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠AEC=∠ADB=90°，而∠EAC= ∠DAB，∴△AEC∽△ADB，∴，=∴，= ∵∠EAD=∠CAB，∴△ADE∽△ABC．有两组有两组角对应相等的两三角形相似；【总结升华】考查了相似三角形的判定与性质：对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边的比相等．举一反三°，ADE=60，且∠在BC、AC上，点是等边三角形D，E分别ABC【变式】如图，△CE. CD=AC?证求：BD? 【答案】证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠C=60°，AB=AC， ∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，∠B=∠ADE=60°， ∴∠BAD=∠CDE， ，DCE△∽ABD△∴．ABBDCC BCD=AC BCD=AC 2、已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点H在AC上，且线段HD⊥AB于D，BC的延长线与DH的延
相似三角形的判定(基础） 一、选择题 1. 下列判断中正确的是( ) A. 全等三角形不一定是相似三角形 B. 不全等的三角形一定不是相似三角形 C. 不相似的三角形一定不全等 D. 相似三角形一定不是全等三角形 2．已知△ABC的三边长分别为、、2, △A′B′C′的两边长分别是1和, 如果△ABC 与△A′B′C′相似, 那么△A′B′C′的第三边长应该是( ) A. B. C. D. 3．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（）． ①②③④ A．①和②B．②和③C．①和③D．②和④ 4. 在△ABC和△DEF中，①∠A=35°，∠B=100°，∠D=35°，∠F=45°；②AB=3cm，BC=5cm，∠B=50°，DE=6cm，DF=10cm，∠D=50°；其中能使△ABC与以D、E、F为顶点的三角形相似的条件( ) A. 只有① B. 只有② C. ①和②分别都是 D. ①和②都不是 5．在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，若∠AEF＝90°，则一定有（） A．ΔADE∽ΔAEF B．ΔECF∽ΔAEF C．ΔADE∽ΔECF D．ΔAEF∽ΔABF 6. 如图所示在平行四边形ABCD中，EF∥AB，DE：EA=2：3，EF=4，则CD的长为( ) A. B. 8 C. 10 D. 16 二、填空题 7. 如图所示，D、E两点分别在AB、AC上且DE和BC不平行，请你填上一个你认为合适的条件___使△ADE∽△ACB.
8. 如图所示，∠C=∠E=90°，AD=10，DE=8，AB=5，则AC=________. 9. 如图所示，在直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2)，如果点C在x轴上(C与A不重合)， 当点C的坐标为________或________时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似(至少找出两个满足条件的点的坐标). 10. 如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么AB=__________. 11. 如图，CD∥AB，AC、BD相交于点O,点E、F分别在AC、BD上，且EF∥AB,则图中与△OEF 相似的三角形为____. 12．如图，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE交CD于点F,则图中相似三角形共有_________对. 三．解答题
相似三角形的判定方法总结： 1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 2. 三边成比例的两个三角形相似.（SSS ） 3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS) 4. 两角分别相等的两个三角形相似.(AA) 5.斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL) 相似三角形的模型方法总结： “反A ”型与“反X ”型. 示意图 结论 E D C B A 反A 型： 如图，已知△ABC ，∠ADE =∠C ，则△ADE ∽△ACB （AA ），∴AE · AC =AD ·AB. 若连CD 、BE ，进而能证明△ACD ∽△ABE (SAS) O D C B A 反X 型： 如图，已知角∠BAO =∠CDO ，则△AOB ∽△DOC （AA ），∴OA ·OC =OD ·OB . 若连AD ，BC ，进而能证明△AOD ∽△BOC . 示意图 结论 A B C D 类射影： 如图，已知△ABC ，∠ABD =∠C ，则△ABD ∽△ACB （AA ），∴2AB =AD · AC. C A B H 射影定理 如图，已知∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ，则222,,AC AH AB BC BH BA HC HA HB =?=?=? 示意图 结论 相似三角形6大证明技巧 相似三角形证明方法
A B C D E 旋转相似： 如图，已知△ABC ∽△ADE ，则 AB AD AC AE =，∠BAC =∠DAE ，∴∠BAD =∠CAE ， ∴△BAD ∽△CAE （SAS ） C B A E D 一线三等角： 如图，已知∠A =∠C =∠DBE ，则△DAB ∽△BCE （AA ） 反A 型与反X 型 已知△ABC 中，∠AEF=∠ACB ，求证：（1）AE AB AF AC ?=?（2）∠BEO=∠CFO ，∠EBO=∠FCO （3）∠OEF=∠OBC ，∠OFE=∠OCB O F E C B A 类射影 如图，已知2AB AC AD =?，求证： BD AB BC AC = A B C D 射影定理 已知△ABC ，∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ，求证：2AC AH AB =?，2BC BH BA =?，2HC HA HB =? 通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型”（A 型，X 型，线束型），也离不开上述的6种“相似模型”. 但是，王老师认为，“模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具，怎样用好工具，取决于我们如何思考问题. 合理的思维方法，能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。 在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧. 技巧一：三点定型法 比例式的证明方法
初三数学-相似三角形 的判定
【本讲教育信息】 一. 教学内容：相似三角形的判定 二. 重点、难点怎样选择适当的定理判定三角形的相似是学习中的重点和难点。 三. 知识回顾 （一）定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫相似三角形。 相似三角形的对应边的比叫做相似比（也叫相似系数）。 （二）判定： ①平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 ②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 ③有两个角对应相等的两个三角形相似。 ④三条边对应成比例的两个三角形相似。 ⑤一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似。 ⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。 【典型例题】 例1. 如图，△ABC中，∠A= 60，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，求证：△ADE∽△ABC。 例2. 如图，过△ABC的顶点B和C，分别作AB、AC的垂线BD、CD，使交于点D，过C作CE⊥AD交AB于E，交AD于F 求证：△ACE∽△ABC 例3. 如图，△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：△AEF∽△ACB 例4. 如图，点E是正方形ABCD的边AB上一点，且AE：AB=1：4，F为边AD上一点，问：当F在AD上的什么位置时，△AEF∽△CDF。
【模拟试题】（答题时间：30分钟） 1. 判断下列各命题的真假（真命题打“T ”，否则打“F ”） （1）若一条直线截三角形的两边所得的三角形与原三角形相似，则这条直线平行于三角形的第三边（ ） （2）有一个锐角相等的两个等腰三角形必定相似（ ） （3）三组边分别平行的两个三角形必定相似（ ） （4）有一个锐角相等的两个直角三角形必定相似（ ） （5）一个顶角为?40的等腰三角形和一个底角为?70的等腰三角形相似（ ） （6）四个角对应相等的两个梯形必定相似（ ） （7）所有的菱形均相似（ ） （8）所有的正方形均相似（ ） 2. △ABC 中，∠ACB=?90，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，则与△ABC 相似而不全等的三角形的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 已知△ABC ∽△'''C B A ，相似比为4，△'''C B A ∽△''''''C B A ，相似比为3，试问：△ ''''''C B A 与△ABC 是否相似？若它们相似，则相似比为多少？ 4. 如图，若∠EBC=∠ABD ，∠ECB=∠DAB 求证：△ABC ∽△DBE 。 5. 过△ABC 三条角平分线的交点I ，作AI 的垂线与AB 、AC 分别交于D 、E ， 求证：△BID ∽△IEC 。 6. 如图，平行四边形ABCD 中，AD=10，DC=6，E 为AB 中点，F 有BC 上，则BF 长为多少时，使得△DCF ∽△DAE ？
相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析 一、相似三角形 (1)三角形相似的条件： ① ；② ；③ . 二、两个三角形相似的六种图形： 只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决. 三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路： 1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例； 找另一角 两角对应相等，两三角形相似 找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似 找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似 找另一角 两角对应相等，两三角形相似 找两边对应成比例 判定定理2 找顶角对应相等 判定定理1 找底角对应相等 判定定理1 找底和腰对应成比例 判定定理3 e)相似形的传递性 若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3 四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。 有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。 例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC. 求证: BA AC AF AE （判断“横定”还是“竖定”？ ） a)已知一对等 b)己知两边对应成比c)己知一个直 d)有等腰关
相似三角形判定定理的证明一、教学目标 1．知识目标： ①了解相似三角形判定定理 ②会证明相似三角形判定定理 2．能力目标： 掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力 二、教学过程分析 1.复习提问 相似三角形的判定方法有哪些？ 答：（1）两角对应相等，两三角形相似. （2）三边对应成比例,两三角形相似. （3）两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似. 2.探究学习，得出新知 探究1 如果∠A =∠A ′，∠B =∠B ′， 那么，△ABC ∽△ A′B′C′. 如何证明呢？ 应用1 已知：如图,∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求AB.
学 解：∵∠ A= ∠ A,∠ABD=∠C, ∴△ABD ∽△ACB , ∴ AB : AC=AD : AB, ∴ AB2 = AD · AC. ∵ AD=2, AC=8, ∴ AB =4. 探究2 如果∠B =∠B 1 ， 那么，△ABC∽△A 1 B 1 C 1 . 应用2 已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD= 7 ，求AD的长. 1 1111 , AB BC k A B B C == 2
探究3 如果 那么，△ABC ∽△A ′B ′C ′. 应用3 画一画 任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k 倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与同桌交流一下，看看是否有同样的结论. 3： 例题学习 例1. 弦AB 和CD 相交于⊙O 内一点P. 求证:PA ·PB=PC ·PD. ,AB BC AC A B B C A C ==''''''
第五讲：相似三角形证明的方法与技巧 A 字形，斜A 形，8字形（X 型），蝴蝶形，双垂直型, 旋转形 双垂直结论:射影定理：①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．②每一条直角边是这条直 角边在斜边上的射影和斜边的比例中项 ⑴△ACD ∽△CDB →AD:CD=CD:BD →CD2=AD ?BD ⑵△ACD ∽△ABC →AC:AB=AD:AC →AC2=AD ?AB ⑶△CDB ∽△ABC →BC:AC=BD:BC →BC2=BD ?AB 结论：⑵÷⑶得AC2:BC2=AD:BD ；结论：面积法得AB ?CD=AC ?BC →比例式 证明等积式(比例式)策略 1、直接法：找同一三角形两条边，变化：等号同侧两边同一三角形 三点定形法 2、间接法： ⑴3种代换 ①等线段代换； ②等比代换； ③等积代换； ⑵创造条件 ①添加平行线——创造“A ”字型、“8”字型 ②先证其它三角形相似——创造边、角条件 相似判定条件：两边成比夹角等、两角对应三边比 相似终极策略： 遇等积，化比例，同侧三点找相似； 四共线，无等边，射影平行用等比； 四共线，有等边，必有一条可转换；两共线，上下比，过端平行条件边。 彼相似，我角等，两边成比边代换。 （3）等比代换：若d c b a ,,,是四条线段，欲证d c b a =，可先证得f e b a =（f e ,是两条线段）然后证 d c f e =，这里把 f e 叫做中间比。 方法一：遇等积，化比例，同侧三点找相似 1．∠ABC=∠ADE ．求证：AB ·AE=AC ·AD 2.△ABC 中，AB=AC ，△DEF 是等边三角形，求证：BD?CN=BM?CE ． 3.等边三角形ABC 中，P 为BC 上任一点，AP 的垂直平分线交AB 、AC 于M 、N 两点。 求证：BP ?PC=BM ?CN E A B D E A B B A D E C
相似三角形常见模型一 【知识清单】 【典例剖析】 知识点一：A 字型的相似三角形 A 字型、反A 字型（斜A 字型） B （平行） B （不平行） （1）如图，若BC DE ∥，则ABC ADE ∽△△
（2）如图，如果B AED ∠=∠，或C ADE ∠=∠，则ACB ADE ∽△△ 1、如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证： 111c a b =+. 2、已知在ABC △中，D 是AB 上的点，E 是AC 上的点，连 接 DE ，可得?=∠+∠180C BDE ，线段BC DE 21= ，AE AD 3 2 =，求AC AB 的值。 变式练习： 1、如图，111EE FF MM ∥∥，若AE EF FM MB ===，则 111111:::_________AEE EE F F FF M M MM CB S S S S ?=四边形四边形四边形 2、如图，AD EF MN BC ∥∥∥，若9AD =，18BC =， ::2:3:4AE EM MB =,则_____EF =，_____MN = 3、（2014?乌鲁木齐）如图，AD∥BC，∠D=90°，AD=2，BC=5，DC=8．若在边DC 上有点P ，使△PAD 与△PBC 相似，则这样的点P 有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 F E D C B A C B D E M 1F 1E 1M E F A B C M N A B C D E F
知识点二：8字型相似三角形 B C C （蝴蝶型） （平行）（不平行） （1）如图，若CD AB∥，则DOC AOB∽△ △ （2）如图，若C A∠ = ∠，则CDJ ABJ∽△ △ 1、已知，P为平行四边形ABCD对角线，AC上一点，过点P的直线与AD，BC，CD的延长线，AB的延长线分别相交于点E，F，G，H 求证： PE PH PF PG = 2、如图，设 AB BC CA AD DE EA ==，求证：12 ∠=∠ 变式练习： 1、（2010?威海）如图①，将一张矩形纸片对折，然后沿虚线剪切，得到两个（不等边）三角形纸片△ABC，△A1B1C1． P H G F E D C B A E