第一章 集合与常用逻辑用语知识结构
【知识概要】
一、集合的概念、关系与运算
1. 集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性. 在应用集合的概念求解集合问题时,要特别注意这三个性质在解题中的应用,元素的互异性往往就是检验的重要依椐。
2． 集合的表示方法:列举法、描述法. 有的集合还可用V ｅnn 图表示，用专用符号表示，如,,,,,,N N N Z R Q φ*+等。
３. 元素与集合的关系：我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，若元素x 是集合A 的元素,则x A ∈，否则x A ?。 ４. 集合与集合之间的关系：
①子集:若x A ∈，则x B ∈,此时称集合A 是集合Ｂ的子集，记作A B ?。
②真子集:若A B ?，且存在元素x B ∈,且x A ?,则称Ａ是Ｂ的真子集，记作：A B ． ③相等:若A B ?,且A B ?,则称集合A 与B 相等，记作A =B .。
5. 集合的基本运算:?
①交集：{}A B x x A x B =∈∈且 ②并集：{}A B x x A x B =∈∈或 ③补集:{|,}U C A x x U x A =∈?且,其中U 为全集,A U ?。 6. 集合运算中常用结论：
①,,A A A A A B B A φφ===，A B A A B =??。 ②,,A A A A A A B B A φ===，A B A B A =??。
③()U A C A U =,()U C A A ?=，
()()()U U U C A B C A C B =，()()()U U U C A B C A C B =。 ④由n 个元素所组成的集合,其子集个数为2n 个。 ⑤空集是任何集合的子集,即A ??。
在解题中要特别留意空集的特殊性，它往往就是导致我们在解题中出现错误的一个对象，避免因忽视空集而出现错误。
●7．含参数的集合问题是本部分的一个重要题型,应多根据集合元素的互异性挖掘题目的隐含条件，并注意分类讨论思想、数形结合思想在解题中的运用。
二、命题及其关系
●１.命题的概念：用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题。
若p ，则q 若q ，则p
? ≠
●2.四种命题的相互关系：
●3.“若p则q”是真命题,即p q
?；“若p则q”是假命题,则p q
?/。
●４.在判断命题真假的问题中,一方面可以直接写出命题进行判断，也可以通过命题的等价性进行判断,即原命题与逆否命题等价,否命题与逆命题等价。
●５．充分必要条件的判断是本部分的一个重要题型，在解题中应注意:
（1）注意问题的设问方式,我们知道，①p是q的充分不必要条件是指p q
?且p q
?/；
②p的必要不充分条件是q是指p q
?且q p
?/。这两种说法是在充分必要条件推理判断中经常出现且容易混淆的说法,在解题中一定要注意问题的设问方式，弄清它们的区别,以免出现判断错误。
(2）要善于举出恰当的反例来说明一个命题是错误的。
（3)恰当地进行转化,由原命题与逆否命题等价可知：若p是q的充分不必要条件,则p
?是q
?的充分不必要条件。
?的必要不充分条件；若p是q的必要不充分条件,则p
?是q
●6. 证明p是q的充要条件
(1）充分性：把p当作已知条件,结合命题的前提条件，推出q;
(2）必要性:把q当作已知条件,结合命题的前提条件，推出p。
三、逻辑联结词与量词
,用符号“?”表示,“存在”、“至少有一个”等短语叫做存在量词,用符号“?”表示。
含有全称量词的命题叫做全称命题,全称命题：“对M中任意一个x,有()
p x成立”可用符号简记为,()
?∈。
x M p x
含有存在量词的命题叫做特称命题,特称命题：“存在M中任意一个x，使()
p x成立”可用符号简记为,()
?∈。
x M p x
第二章函数知识结构
一..函数的概念及其表示
（1)函数的概念
①设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个数x,在集合B
f x和它对应,那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f)
中都有唯一确定的数()
叫做集合
A 到
B 的一个函数,记作:f A B →．
②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．
③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. （2）区间的概念及表示法
①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤
≤的实数x 的集合叫做闭区间,记做[,]a b ；满足
a x
b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ;满足a x b ≤<,或a x b <≤的实数x 的集合
叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ,(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别
记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞. 注意：对于集合{|}x a x b <
<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须
a b <．
(3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则:
①()f x 是整式时，定义域是全体实数．
②()f x 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数.
③
()f x 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．
④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1. ⑤
tan y x =中,()2
x k k Z π
π≠+
∈．
⑥零(负)指数幂的底数不能为零. ⑦若
()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数
的定义域的交集.
⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知()f x 的定义域为[,]a b ，
其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤
≤解出．
⑨对于含字母参数的函数,求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义. (4）求函数的值域或最值
求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：
①观察法:对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值.
②配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值.
③判别式法:若函数
()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程
2()()()0a y x b y x c y ++=,则在()0a y ≠时,由于,x y 为实数,故必须有2()4()()0b y a y c y ?=-?≥，从而确定函数的值域或最值.
④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．
⑤换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角
函数的最值问题．
⑥反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值. ⑧函数的单调性法 （5）函数的表示方法
表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种.
解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间
的对应关系.图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系. （6)映射的概念
①设
A 、
B 是两个集合,如果按照某种对应法则f
，对于集合
A 中任何一个元素,在集合
B 中都有
唯一的元素和它对应,那么这样的对应（包括集合
A ,
B 以及A 到B 的对应法则f )叫做集合
A 到
B 的映射,记作:f A B →.
②给定一个集合
A 到集合
B 的映射，
且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应,那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象． 二．函数的基本性质
1．单调性
函数的单调性是研究函数在定义域内某一范围的图象整体上升或下降的变化趋势，是研究函数图象在定义域内的局部变化性质。 ⑴函数单调性的定义
一般地,设函数()y f x =的定义域为A ，区间I A ?．如果对于区间I 内的＿_____两个值1x ,2x ，当1x <2x 时，都有1()f x _＿_＿＿2()f x ，那么()y f x =在区间I 上是单调增函数,I 称为()y f x =的单调_____区间. 如果对于区间I 内的______两个值1x ，2x ，当
1x <2x 时，都有1()f x _____2()f x ,那么()y f x =在区间I 上是单调减函数,I 称为
()y f x =的单调_＿＿＿_区间.如果函数()y f x =在区间I 上是单调增函数或单调减函数,那么函数()y f x =在区间I 上具有__＿＿___＿．
点评 单调性的等价定义：
①)(x f 在区间M 上是增函数,,21M x x ∈??当21x x <时,有0)()(21<-x f x f
0)]()([)(2121>-?-?x f x f x x 00)()(2121>???>--?
x
y
x x x f x f ；
②)(x f 在区间M 上是减函数,,21M x x ∈??当21x x <时,有0)()(21>-x f x f
0)]()([)(2121<-?-?x f x f x x 00)()(2121
x
y
x x x f x f ;
⑵函数单调性的判定方法
①定义法;②图像法;③复合函数法;④导数法；⑤特值法（用于小题),⑥结论法等. 注意:
①定义法(取值——作差——变形——定号——结论)：设12[]x x a b ∈，，且12x x ≠,那么
0)]()([)(2121>-?-x f x f x x 0)
()(2
121>--?
x x x f x f )(x f ?在区间],[b a 上是增函数；
0)]()([)(2121<-?-x f x f x x 0)
()(2
121<--?x x x f x f )(x f ?在区间],[b a 上是减函数。
②导数法（选修):在()f x 区间()a b ，内处处可导,若总有'()0f x >('
()0f x <)，则()f x 在区间()a b ，内为增（减）函数；反之,()f x 在区间()a b ，内为增(减）函数，且处
处可导，则'()0f x ≥（'
()0f x ≤）。请注意两者之间的区别，可以“数形结合法”研究。 点评 判定函数的单调性一般要将式子)()(21x f x f -进行因式分解、配方、通分、分子(分母）有理化处理，以利于判断符号;证明函数的单调性主要用定义法和导数法。
提醒 求单调区间时,不忘定义域;多个单调性相同的区间不一定能用符号“”连接；单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示。判定函数不具有单调性时，可举反例。 ⑶与函数单调性有关的一些结论
①若()f x 与()g x 同增(减)，则()f x ＋()g x 为增(减)函数，(())f g x 为增函数； ②若()f x 增,()g x 为减,则()f x －()g x 为增函数,()g x -()f x 为减函数，(())f g x 为减函数;
③若函数()y f x =在某一范围内恒为正值或恒为负值，则()y f x =与1
()
y f x =
在相同的单调区间上的单调性相反;
④函数()y f x =与函数()(0)y f x k k =+≠具有相同的单调性和单调区间;
⑤函数()y f x =与函数()(0)y kf x k =>具有相同的单调性和单调区间，函数()y f x =与函数()(0)y kf x k =<具有相同单调区间上的单调性相反。 2.奇偶性
函数的奇偶性是研究函数在定义域内的图象是否关于原点中心对称，还是关于y 轴成轴对称，是研究函数图象的结构特点； ⑴函数奇偶性的定义
一般地,设函数()y f x =的定义域为A ．如果对于_＿＿__的x A ∈,都有()f x -=____＿，那么函数()y f x =是偶函数. 一般地,设函数()y f x =的定义域为A .如果对于_＿___的x A ∈,都有()f x -=____＿,那么函数()y f x =是奇函数. 如果函数()y f x =是奇函数或偶函数,那么函数()y f x =具有_____＿__.
注意 具有奇偶性的函数的定义域一定关于原点对称,因此,确定函数奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。 ⑵图象特征
函数()y f x =为奇（偶）函数?函数()y f x =的图象关于原点（y 轴)成中心(轴)对称图形。
注意 定义域含0的偶函数图象不一定过原点；定义域含0的奇函数图象一定过原点；利用函数的奇偶性可以把研究整个函数问题转化到一半区间上，简化问题。 点评
①函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．．
．
②)(x f 是奇函数()
()()()()01()f x f x f x f x f x f x -?-=-?-+=?
=-. ③)(x f 是偶函数()
()()()()01()
f x f x f x f x f x f x -?-=?--=?
=. ④奇函数)(x f 在原点有定义，则0)0(=f ．
⑤在关于原点对称的单调区间内:
（ⅰ）奇函数有相同的单调性,偶函数有相反的单调性; (ⅱ）奇函数有相反的最值（极值），偶函数有相同的最值(极值)。 ⑥)(x f 是偶函数?(||)()f x f x =. ⑶奇偶性的判定方法
若所给函数的解析式较为复杂,应先考虑其定义域并等价变形化简后,再判断其奇偶性.
如判断函数()|2|2
f x x =-+的奇偶性。判定函数奇偶性方法如下：①定义(等价定义）法;
②图像法；③结论法等．
点评 定义法判定函数的奇偶性先求定义域,看其是否关于原点对称,若对称，再求()f x -,接着考察()f x -与()f x 的关系,最后得结论.判断函数不具有奇偶性时，可用反例。
⑷与函数的奇偶性有关的一些结论 ①若()f x 与()g x 同奇（偶），则()f x ±()g x 为奇(偶)函数,()f x ()g x 和()
()
f x
g x 为偶函数，(())f g x 为奇（偶）函数;
②若()f x 与()g x 一奇一偶，则()f x ()g x 和
()
()
f x
g x 为奇函数,(())f g x 为偶函数; ③定义域关于原点对称的函数可以表示为一个奇函数与一个偶函数和的形式。 ⑸函数按奇偶性分类
①奇函数非偶函数，②偶函数非奇函数,③既是奇函数又是偶函数,④非奇非偶函数。 点评既奇又偶的函数有无数个。如()0f x =定义域关于原点对称即可。如函数()f x ＝
。
3.周期性
函数的周期性是研究一些函数图象在定义域内具有某种一定的周期变化规律； ⑴函数周期性的定义
一般地，对于函数()f x ，如果存在一个__＿__＿_＿的常数T ,使得定义域内的＿__＿__＿_
x 值,都满足()________f x T +=，那么函数()f x 称为周期函数，＿_＿_____常数T 叫做这个函数的周期。如果一个周期函数()f x 的所有的周期中存在一个_____＿__的_＿＿＿数，那么这个数叫做函数()f x 的最小周期正周期。如没有特别说明,遇到的周期都指最小正周期。
点评 ①非零常数T 是周期函数本身固有的性质,与自变量x 的取值无关；②若非零常数T 是函数()f x 的周期,则非零常数T 的非零整数倍（nT n Z ∈，,且0)n ≠也是函数
()f x 的周期;③若函数()f x 的周期为T ,则函数()y Af x ω?=+(其中A ,ω，?为常数，
且0A ≠,0ω≠）的周期为||
T
ω;④定义中的等式()f x T +=()f x 是恒等式;⑤函数()
f x 的周期是T ?()f x T +=()f x 。
⑵三角函数的周期
①π2:sin ==T x y ;②π2:cos ==T x y ;③π==T x y :tan ；
④|
|2:)cos(),sin(ωπ
?ω?ω=
+=+=T x A y x A y ；⑤||:tan ωπω==T x y ;
⑶函数周期的判定
①定义法（试值) ②图像法 ③公式法(利用（2）中结论)④结论法。 ⑷与周期有关的一些结论
①)()(a x f a x f -=+或)0)(()2(>=-a x f a x f ?)(x f 的周期为a 2； ②()f x 是偶函数,其图像又关于直线x a =对称?()f x 的周期为2||a ; ③()f x 奇函数,其图像又关于直线x a =对称?()f x 的周期为4||a ;
④()f x 关于点(,0)a ,(,0)b ()a b ≠对称?()f x 的周期为2||a b -;
⑤()f x 的图象关于直线x a =，()x b a b =≠对称?函数()f x 的周期为2||a b -; ⑥()f x 的图象关于点)0,(a 中心对称,直线b x =轴对称?)(x f 周期为4b a -; ⑦()f x 对x R ∈时，()()f x a f x +=-或1()
()f x f x a +=-?()f x 的周期为2||a ;
⑧函数()f x 满足1()
()1()
f x f x a f x ++=
-，且a 为非零常数?()f x 的周期为4||a ;
⑨函数()f x 满足()()()2f x a f x a f x +=+-（a 为非零常数）?()f x 的周期6||a 。 点评 注意对称性与周期性的关系。 4.对称性
函数的对称性是研究函数图象的结构特点(即函数图象关于某一点成中心对称图形或关于某一条直线成轴对称图形)； ⑴函数对称性的定义
如果函数()y f x =的图象关于直线x a =成___＿对称或点()a b ，成______对称，那么
()y f x =具有对称性。
注意 利用函数的对称性可以把研究整个函数问题转化到一半区间上,简化问题。 ⑵函数图象对称性的证明
证明函数()y f x =图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴)的对称点仍在图像上;
⑶与对称性性有关的一些结论
①函数()y f x =的图象关于直线x a =成轴对称?()()f a x f a x -=+。特别地,当
0a =时，函数()y f x =为偶函数。
②函数()y f x =的图象关于点()a b ，成中心对称?()()2f a x f a x b -++=。特别地,当0a =且0b =时，函数()y f x =为奇函数。
点评 函数奇偶性是函数对称性的特殊情况。
③若()y f x =对x R ∈时,()()f a x f b x +=-恒成立,则()y f x =图像关于直线
2
a b x +=
对称;
④函数()0k
y b k x a
=+
≠-的图象关于点()a b ，中心对称。 ５.有界性
函数的有界性是研究函数图象在平面直角坐标系中的上下界情况,重点是通过研究函数的最大（小）值(值域)来研究有界性问题。 ⑴函数最大（小)值的定义
一般地，设函数()y f x =的定义域为A ．如果存在0x A ∈,使得对于____的x A ∈，都有()f x ____0()f x ，那么称0()f x 为()y f x =的最大值,记为_______＿__;如果存在
0x A ∈,使得对于___＿的x A ∈，都有()f x __＿_0()f x ，那么称0()f x 为()y f x =的最
小值，记为＿＿___＿____． 注意 ①函数最大(小）值应该是某一个函数值；②函数最大(小)值应该是所有函数值中最大（小)的，最大(小）值不同于极大（小)值。 ⑵值域与最值
注意函数的最值与函数的值域的区别和联系,理解值域和最值是考察函数的有界性问题。 ⑶与函数最值有关的几个结论
①若函数()y f x =在区间[]a b ，上为单调增函数,则min ()y f a =,max ()y f b =； ②若函数()y f x =在区间[]a b ，上为单调减函数,则min ()y f b =，max ()y f a =； ③若函数()y f x =在区间[]a c ，上为单调增函数，在区间[]c b ，上为单调减函数，则
max ()y f c =；
④若函数()y f x =在区间[]a c ，上为单调减函数，在区间[]c b ，上为单调增函数,则min ()y f c =。
⑷恒成立问题的处理方法
恒成立问题的处理方法:⑴分离参数法（最值法）; ⑵转化为一元二次方程根的分布问题。如:①方程()k f x =有解k D ?∈（D 为()f x 的值域)；②不等式()a f x ≥恒成立?a ≥
[()]f x 最大值,不等式()a f x ≤恒成立[()]a f x ?≤最小值。
6.极值
函数的极值是研究函数在其定义域内的某一局部上的性质。这与函数的最值所研究的问题角度有所不同。 ⑴极值的定义
设函数()y f x =在0x x =及其附近有定义,如果0()f x 的值比0x 附近的所有各点的函数值都大（小）,则称0()f x 是函数()y f x =的一个极大(小）值。极大值和极小值统称为极值。取得极值的点称为函数的极值点,极值点是自变量的取值,极值是指函数值。 ⑵极值的求法
①图像法；②导数法。 7.零点与不动点 7．1函数的零点
⑴定义 一般地，我们把使函数()y f x =的值为__＿__的实数x 称为函数()y f x =的零点.
点评
函数()y f x =的零点就是方程()0f x =的实数根。从图象上看,函数()y f x =的零点,就是它的图象与x 轴交点的横坐标。利用函数的零点、方程的根、函数的图象与x 轴交点的横坐标这三者之间的联系，可以解决很多函数与方程的问题。这就是高考的热点内容——函数与方程的思想运用。 ⑵函数零点的存在性
一般地,若函数()y f x =在区间[]a b ，上的图象是一条连续不间断的曲线，且()f a ?
()f b ﹤＿＿＿＿__，则至少存在一个实数()c a b ∈，,使得()0f c =,此时实数c 为函数
()y f x =的零点. 点评
若函数()y f x =在区间[]a b ，上的图象是一条连续不间断的单调曲线，且()f a ()f b ﹤０，则有惟一的实数()c a b ∈，,使得()0f c =。 7.２不动点
方程()f x x =的根叫做函数()y f x =的不动点,也是函数()y f x x =-的零点。 7.3函数、方程与不等式三者之间的关系
一般地,不等式()0f x >的解集为函数()y f x =的图象在x 轴上方部分的点的横坐标组成的集合;不等式()0f x <的解集为函数()y f x =的图象在x 轴下方部分的点的横坐标
组成的集合； 点评
利用函数图象并结合函数的零点,可求不等式()0f x <或()0f x >的解集；利用函数图象并结合相应方程的解，可求不等式()()f x g x <或()()f x g x >的解集等; ７．4基本方法
求函数零点和不动点的方法 ⑴直接法(通过解方程（组)）；⑵图像法;⑶二分法。
点评 注意函数上述几大性质相互之间的联系。 三．基本初等函数的图像与性质
1.指数函数
（１)根式的概念
,这里n 叫做根指数,a 叫做被开方数.
②当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥. ③根式的性质
：
n a
=；当
n
为奇数时
，
a
=;当
n
为偶数时，
(0)
|| (0) a a a a a ≥?==?
-
. (２）分数指数幂的概念
①正数的正分数指数幂的意义是
:0,,,m
n
a
a m n N +=>∈且1)n >.０的正分数指数幂等于0.
②正数的负分数指数幂的意义是
:
1()0,,,m m n
n a
a m n N a -+==>∈且1)n >.0
的负分数指
数幂没有意义. 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质
①
(0,,)
r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②
()(0,,)
r s rs a a a r s R =>∈ ③
()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈
(4)指数函数
2．对数函数
(1）对数的定义 ①若(0,1)x
a
N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x
N =,其中a 叫做底数，
N 叫做真数．
②对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x
N a N a a N =?=>≠>.
(2)常用对数与自然对数：常用对数:
lg N
，即
10log N
；自然对数:
ln N
,即
log e N
（其中
2.71828e =…）
． （３)几个重要的对数恒等式: log 10a =,log 1a a =,log b a a b =．
（4)对数的运算性质 如果0,1,0,0a
a M N >≠>>,那么
①加法：log log log ()a a a M N MN +=
②减法:log log log a
a a
M
M N N
-=
③数乘：log log ()n
a a n M M n R =∈
④
log a N
a
N =
⑤
log log (0,)b n a a n
M M b n R b
=
≠∈
⑥
换
底
公