分式不等式的解法：与二次不等式的解法相同。注：分母不能为0.
第三章 函数
1. 函数
（1）定义：设A 、B 是两个非空数集,如果按照某种对应法则f ,对A 内任一个元素x,在B 中总有一个且只
有一个值y 与它对应,则称f 是集合A 到B 的函数,可记为:f :A →B,或f :x →y.其中A 叫做函数f 的定义域.函数f 在a x =的函数值,记作)(a f ,函数值的全体构成的集合C(C ?B),叫做函数的值域.
（2）函数的表示方法：列表法、图像法、解析法。
注：在解函数题时可以画出图像，运用数形结合的方法可以使大部分题目变得更简单。 2. 函数的三要素：定义域、值域、对应法则
（1） 定义域的求法：使函数（的解析式）有意义的x 的取值范围
主要依据：①分母不能为0，②偶次根式的被开方式≥0，
③特殊函数定义域：0,0
≠=x x y R x a a a y x
∈≠>=),10(,且 0),10(,log >≠>=x a a x y a 且 （2） 值域的求法：
y 的取值范围
① 正比例函数：kx y = 和 一次函数：b kx y
+=的值域为R
② 二次函数：c bx ax y ++=2
的值域求法：配方法。如果x 的取值范围不是R 则还需画图像 ③ 反比例函数：x
y 1
=
的值域为}0|{≠y y ④ 另求值域的方法：换元法、不等式法、数形结合法、函数的单调性等等。 （3） 解析式求法：在求函数解析式时可用换元法、构造法、待定系数法等。 3. 函数图像的变换 （1） 平移
)()
(a x f y a x f y +=→=个单位
向左平移
)()
(a x f y a x f y -=→=个单位向右平移 a x f y a x f y +=→=)()
(个单位向上平移 a x f y a x f y -=→=)()(个单位
向下平移
（2） 翻折
)()
(x f y x x f y -=→=上、下对折轴沿 |)(|)(x f y x x f y =→=下方翻折到上方
轴上方图像
保留
4. 函数的奇偶性
（1） 定义域关于原点对称 （2） 若
)()(x f x f -=-→奇 若)()(x f x f =-→偶
注：①若奇函数在0=x 处有意义，则0)0(=f
②常值函数a x f =)(（0≠a ）为偶函数
③
0)(=x f 既是奇函数又是偶函数
5. 函数的单调性
对于],[21b a x x ∈?、且21x x <，若??
?><上为减函数
在称上为增函数
在称],[)(),()(],[)(),()(2121b a x f x f x f b a x f x f x f
增函数：x 值越大，函数值越大；x 值越小，函数值越小。
减函数：x 值越大，函数值反而越小；x 值越小，函数值反而越大。 6. 二次函数
（1）二次函数的三种解析式
①一般式：c bx ax x f ++=2
)(（0≠a
）
②顶点式：h k x a x f +-=2
)()( （0≠a
）
，其中),(h k 为顶点 ③两根式：))(()(21x x x x a x f --= （0≠a ）
，其中21x x 、是0)(=x f 的两根 （2）图像与性质
二次函数的图像是一条抛物线，有如下特征与性质： ① 开口
→>0a 开口向上 →<0a 开口向下
② 对称轴：a
b
x 2-= 顶点坐标：)44,2(2a b ac a b -- ③ ?与x 轴的交点：?????→?无交点交点有有两交点0100 ④ 根与系数的关系：（韦达定理）??
??
?=?-=+a c
x x a b x x 2121 ⑤c bx ax x f ++=2
)(为偶函数的充要条件为0=b ⑥二次函数（二次函数恒大（小）于0）
?>0)(x f ????轴上方图像位于x a 00 轴下方图像位于x a x f ????
0)(
⑦若二次函数对任意x 都有)()(x t f x t f +=-，则其对称轴是t x =。
第四章 指数函数与对数函数
1. 指数幂的性质与运算
（1）根式的性质：
①n 为任意正整数，n n
a )(a = ②当n 为奇数时，a a n n =；当n 为偶数时，||a a n n =
③零的任何正整数次方根为零；负数没有偶次方根。 （2） 零次幂：10
=a )0(≠a （3） 负数指数幂：n
n
a
a 1=
- ),0(*
N n a ∈≠ （4） 分数指数幂：n m n
m a a
= )1,,0(>∈>+n N n m a 且
（5） 实数指数幂的运算法则：),,0(R n m a
∈>
①n
m n
m
a
a a +=? ②mn
n
m a a =)( ③n
n n b a b a ?=?)(
2. 幂运算时，注意将小数指数、根式都统一化为分数指数；一般将每个数都化为最小的一个数的n 次方。
3. 幂函数?
??∞+=<∞+=>=）上单调递减，在（时，当）上单调递增
，在（时，当0000a
a a
x y a x y a x y 4. 指数与对数的互化：b N N a
a b
=?=log )10(≠>a a 且 、 )0(>N
5. 对数基本性质： ①1log =a a ②01log =a ③N a N
a =log ④N a N a =log ⑤互为倒数与a
b b a log log a
b a b b a b a log 1
log 1log log =
?=??
⑥b m
n
b a n a m
log log =
6. 对数的基本运算：
N M N M a a a log log )(log +=? N M N
M
a a a
log log log -= 7. 换底公式：a
N
N b b a
log log log =
)10(≠>b b 且
8. 指数函数
对数函数
定 义 )1,0(的常数≠>=a a a y x )1,0(log 的常数≠>=a a x y a
图 像
9. 利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性比较两个数的大小，将其变为同底、同幂（次）或用换底公式或是利用
中间值0，1来过渡。
10. 指数方程和对数方程：①指数式和对数式互化 ②同底法 ③换元法 ④取对数法
注：解完方程要记得验证根是否是增根，是否失根。
1. 已知前n 项和n S 的解析式，求通项n a
???-=-11
n n
n S S S a )2()1(≥=n n
2. 弄懂等差、等比数通项公式和前n 项和公式的证明方法。（见教材）
第六章 三角函数
1.
弧度和角度的互换
π=o 180弧度 180
1π
=
o 弧度01745.0≈弧度 1弧度'1857)180
(
o o ≈=π
2.
扇形弧长公式和面积公式
r ||?=α扇L 2||2121r Lr S ?==
α扇 （记忆法：与ah S ABC 2
1
=?类似） 3.
任意三角函数的定义：
斜边对边=
αsin =r y 斜边邻边=αcos =r x
邻边对边=αtan =x
y 4.
α
000=
0306
=π
0454
=π
0603
=π
0902
=π
αsin
20
21 22 23 24 αcos
2
4 23 22 2
1 2
0 αtan
3
3 1
3
不存在
5.
三角函数的符号判定
（1） 口诀：一全二正弦，三切四余弦。（三角函数中为正的，其余的为负） （2） 图像记忆法
6.
三角函数基本公式
α
α
αcos sin tan =
（可用于化简、证明等） 1cos sin 22=+αα （可用于已知αsin 求αcos ；或者反过来运用）
7. 诱导公式：口诀：奇变偶不变，符号看象限。 解释：指)(2
Z k k ∈+?
απ
，若k 为奇数，则函数名要改变，若k 为偶数函数名不变。
7. 已知三角函数值求角α:
(1) 确定角α所在的象限; (2) 求出函数值的绝对值对应的锐角'α; (3) 写出满足条件的π2~0的角; (4) 加上周期（同
终边的角的集合） 8. 和角、倍角公式
⑴ 和角公式：βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± 注意正负号相同
βαβαβαsin sin cos cos )cos(
μ=± 注意正负号相反 β
αβ
αβαtan tan 1tan tan )tan(μ±=
±
⑵ 二倍角公式：
αααcos sin 22sin = ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=
α
α
α2
tan 1tan 22tan -=
⑶ 半角公式：
2cos 12
sin
αα
-±
= 2
cos 12cos α
α+±= 9. 三角函数的图像与性质
函数
图像
性 质
定义域
值域
同期
奇偶性
单调性
x y sin =
R x ∈
]1,1[-
π
2=T
奇
↑+
-
]2
2,2
2[π
ππ
πk k
↓
++]2
32,22[ππππk k
x
y cos =
R x ∈
]1,1[-
π
2=T
偶
↑-]2,2[πππk k
↓+]2,2[πππk k
9. 正弦型函数)sin(?ω+=x A y )0,0(>>ωA (1)定义域R ，值域],[A A - （2）周期：ω
π
2=
T
（3）注意平移的问题：一要注意函数名称是否相同，二要注意将x 的系数提出来，再看是怎样平移的。 （4）x b x a y cos sin +=)sin(22?++=x b a
10. 正弦定理
R C c
B b A a 2sin sin sin === （R 为AB
C ?的外接圆半径） 其他形式：（1）A R a sin 2= B R b sin 2= C R c sin 2=（注意理解记忆，可只记一个） （2）C B A c b a sin :sin :sin ::=
11. 余弦定理
A bc c b a cos 22
2
2
-+= ? bc
a c
b A 2cos 2
22-+= （注意理解记忆，可只记一个）
12. 三角形面积公式
B ac A bc
C ab S ABC sin 2
1
sin 21sin 21===
? （注意理解记忆，可只记一个）
13. 海伦公式：))()((c P b P a P P S ABC
---=?（其中P 为ABC ?的半周长，2
c
b a P ++=
） 第七章 平面向量
1. 向量的概念
（1） 定义：既有大小又有方向的量。
（2） 向量的表示：书写时一定要加箭头！另起点为A ，终点为B 的向量表示为AB 。 （3） 向量的模（长度）：||||
a AB 或
（4） 零向量：长度为0，方向任意。
单位向量：长度为1的向量。
向量相等：大小相等，方向相同的两个向量。 反（负）向量：大小相等，方向相反的两个向量。
2. 向量的运算 （1） 图形法则
三角形法则 平形四边形法则
（2）计算法则
加法：AC BC AB =+ 减法：CA AC AB =-
（3）运算律：加法交换律、结合律 注：乘法（内积）不具有结合律
3. 数乘向量：a λ （1）模为：||||a λ （2）方向：λ为正与a 相同；λ为负与a 相反。
4.
的坐标：终点B 的坐标减去起点A 的坐标。 ),(A B A B y y x x AB --=
5. 向量共线（平行）：?唯一实数λ，使得b a λ=。 （可证平行、三点共线问题等）
6. 平面向量分解定理：如果21,e e 是同一平面上的两个不共线的向量，那么对该平面上的任一向量，都存在唯一的
一对实数21,x x ，使得2211e x e x +=
。
7. 注意ABC ?中，重心(三条中线交点)、外心（外接圆圆心：三边垂直平分线交点）、内心（内切圆圆心：三角平分
线交点）、垂心（三高线的交点） 8. 向量的内积（数量积）
（1） 向量之间的夹角：图像上起点在同一位置；范围],0[π。 （2） 内积公式：><=?b a b a b a ,cos |||| 9. 向量内积的性质：
（1）,cos b a >=
< （夹角公式） （2）a ⊥b 0=??b a
（3）a a a
a ==?||||2或 （长度公式）
10. 向量的直角坐标运算： （1）),(A B A B y y x x --=
（2）设),(),,(2211y x y x ==，则 ),(2121y y x x ±
±=± ),(11y x λλλ= 2121y y x x +=?
11.中点坐标公式：若A 11(,)x y ,B 22(,)x y ,点M(x,y)是线段AB 的中点,则1212
,22
x x y y x y ++=
= 12.向量平行、垂直的充要条件：设),(),,(2211y x b y x a ==，则
∥2
121y y
x x =?
（相对应坐标比值相等） a ⊥b ?=??0b a 02121=+y y x x （两个向量垂直则它们的内积为0）
11. 长度公式
（1） 向量长度公式：设),(y x =，则22||y x +=
（2） 两点间距离公式：设点),(),,(2211y x B y x A ，则 212212)()(||y y x x AB -+-=
12. 向量平移
（1） 平移公式：点),(y x P 平移向量)','('),(21y x P a a a 到=，则??
?+=+=2
1
''a y y a x x 记忆法：“新=旧+向量”
（2）图像平移：)(x f y =的图像平移向量),(21a a =后得到的函数解析式为：)(12a x f a y -=-
第八章 平面解析几何
1. 曲线C 上的点与方程0)
,(=y x F 之间的关系：
（1） 曲线C 上点的坐标都是方程0),(=y x F 的解；
（2） 以方程0)
,(=y x F 的解),(y x 为坐标的点都在曲线C 上。
则曲线C 叫做方程0)
,(=y x F 的曲线，方程0),(=y x F 叫做曲线C 的方程。
2. 求曲线方程的方法及步骤： (1) 设动点的坐标为（x ，y ）；(2) 写出动点在曲线上的充要条件；(3) 用y x ,的关系式
表示这个条件列出的方程；（4） 化简方程（不需要的全部约掉）；（5）证明化简后的方程是所求曲线的方程。如果方程化简过程是同解变形的话第五步可省略。 3. 两曲线的交点：联立方程组求解即可。 4. 直线：
(1) 倾斜角α：一条直线l 向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角叫这条直线的倾斜角。其范围是),0[π
(2) 斜率：①倾斜角为0
90的直线没有斜率；②αtan =k
（倾斜角的正切）
③经过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线的斜率1
21
2x x y y K --=
)(21x x ≠
(3) 直线的方程 ① 两点式：
1
21
121x x x x y y y y --=
-- ② 斜截式：b kx y += ③ 点斜式：)(00x x k y y -=- ④ 一般式：0=++C By Ax
注：1.若直线l 方程为3x+4y+5=0，则与l 平行的直线可设为3x+4y+C=0；与l 垂直的直线可设为4X-3Y+C=0
2.求直线的方程最后要化成一般式。 (4) 两条直线的位置关系
注：系数为0的情况可画图像来判定。
(5)点到直线的距离
①点),(00y x P 到直线0=++C By Ax 的距离：2
2
00|
|B
A C By Ax d +++=
5. 圆的方程
（1） 标准方程：2
2
2
)()(r b y a x =-+-（0>r
）其中圆心),(b a ，半径r 。
（2） 一般方程：022
=++++F Ey Dx y x （042
2
>-+F E D ）
圆心（2
,2E
D --） 半径：2
422F
E D r -+=
（4）直线和圆的位置关系：主要用几何法，利用圆心到直线的距离d 和半径r 比较。
相交?r d
6.
标准方程
122
22=+b y a x （焦点在x 轴上） 12
2
22=+a y b x （焦点在y 轴上） 图像
c b a ,,的关系
222c b a += 注意：通常题目会隐藏这个条件
对称轴与对称中心 x 轴：长轴长a 2；y 轴：短轴长b 2；)0,0(O
顶点坐标 )0,(a ± ),0(b ±
焦点坐标
)0,(c ± 焦距c 2 注：要特别注意焦点在哪个轴上
离心率
1122
<-==a
b a
c e
7. 几何定义
动点与两定点（焦点）的距离之差的绝对值等于常数a 2
a PF PF 2||||||21=-
标准方程
122
22=-b
y a x （焦点在x 轴上） 122
22=-b
x a y （焦点在y 轴上） 图像
c b a ,,的关系
222b a c += 注意：通常题目会隐藏这个条件
对称轴与对称中心 x 轴：实轴长a 2；y 轴：虚轴长b 2；)0,0(O
顶点坐标
)0,(a ±
焦点坐标
)0,(c ± 焦距c 2 注：要特别注意焦点在哪个轴上
离心率
1122
>+==a
b a
c e
渐近线
x a
b
y ±
=（焦点在x 轴上） x b
a
y ±
=（焦点在y 轴上） 注：等轴双曲线：（1）实轴长和虚轴长相等?b a =（2）离心率2=e （3）渐近线x y ±=
8. 几何定义 到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹
d MF =||（d 为抛物线上一点M 到准线的距离）
焦点位置
x 轴正半轴 x 轴负半轴
y 轴正半轴 y 轴负半轴
图像
标准方程 px y 22=)0(>p px y 22-=)0(>p py x 22=)0(>p py x 22-=)0(>p
焦点坐标 )0,2(p
F )0,2(p F -
)2,0(p F
)2,0(p F -
准线方程 2
p x -=
2p x =
2p y -=
2
p y =
顶点 )0,0(O
对称轴 x 轴
y 轴
离心率
1=e
注：（1p （2） 掌握焦点在哪个轴上的判断方法
（3）圆锥曲线中凡涉及到弦长，都可用联立直线和曲线的方程求解再用弦长公式：
2122124)(1||x x x x k AB -++=
（4）圆锥曲线中最重要的是它本身的定义！！做题时应注意圆锥曲线上的点是满足圆锥曲线的定义的！
第九章 立体几何
1. 空间的基本要素：点、线、面
注：用集合符号表示空间中点（元素）、线（集合）、面（集合）的关系 2. 平面的基本性质
（1） 三个公理：
① 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。
② 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们的所有公共点组成的集合是过该点的一条直线。 ③ 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 （2） 三个推论：
① 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。 ② 经过两条相交直线，有且只有一个平面。 ③ 经过两条平行直线，有且只有一个平面。 3. 两条直线的位置关系：
（1） 相交：有且只有一个公共点，记作“A b a =I
”
（2） 平行：.a 过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行。 .b 平行于同一条直线的两条直线平行 （3） 异面：
① 定义：不同在任何一个平面内的两条直线
② 异面直线的夹角：对于两条异面直线，平移一条与另一条相交所成的不大于
2
π
的角。注意在找异面直线之间的夹角时可作其中一条的平行线，让它们相交。 4. 直线和平面的位置关系：
（1） 直线在平面内：α?l
（2） 直线与平面相交：A l =αI
（3） 直线与平面平行
① 定义：没有公共点，记作：l ∥α
② 判定：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与平面平行。
③ 性质：如果一条直线与一平面平行，且过直线的另一平面与该平面相交，则该直线与交线平行。 5. 两个平面的位置关系 （1） 相交：l =βαI
（2） 平行：
① 定义：没有公共点，记作：“α∥β”
② 判定：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面都平行，则两平面平行 ③ 性质：
.a 两个平行平面与第三个平面都相交，则交线互相平行
.b 平行于同一平面的两个平面平行 .c 夹在两平行平面间的平行线段相等
.d 两条直线被三个平行平面所截得的对应线段成比例
6. 直线与平面所成的角：
（1） 定义：直线与它在平面内的射影所成的角 （2） 范围：]2
,
0[π
7. 直线与平面垂直
（1） 判定：如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，则该直线与平面垂直 （2） 性质：
① 如果一条直线垂直于一平面，则它垂直于该平面内任何直线； ② 垂直于同一平面的两直线平行；
③ 垂直于同一直线的两平面平行。 8. 两个平面垂直
（1） 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则两个平面互相垂直。
（2） 性质定理：如果两个平面垂直，则一个平面内垂直于它们的交线的直线与另一个平面垂直。 9. 二面角
（1） 定义：过二面角βα
--l 的棱上一点O ，分别在两半平面内引棱l 的垂线OB OA 、，则AOB ∠为二面角的
平面角
（2） 范围：],0[π
（3） 二面角的平面角构造：
① 按定义，在棱上取一点O ，分别在两半平面内引棱的垂线OB OA 、，则AOB ∠即是 ② 作一平面与二面角的棱垂直，与两半平面分别交于OB OA 、，AOB ∠即是
第十章 排列、组合与二项式定理
1.分类用加法：n m m m N +??++=21 分步用乘法：n m m m N ??=21
2.有序为排列：)!
(!
)1()2)(1(m n n m n n n n P m
n -=
+-??--=
无序为组合：)!(!!
!)1()2)(1(m n m n m m n n n n P P C m m
m n m
n
-=
+-??--== 阶乘：123)2)(1(!?????--==n n n n P n
n 规定：1!0=
10=n C
注：（1）做排列组合题的原则：先特殊，后一般！
（2）在一起，用捆绑法；不在一起，用插空法；另外的思考方法：一般法、排除法、分类讨论法、机会均等法等等。 3.组合数的两个性质：（1）m n n
m
n C C -= （2）1
1-++=m n m n m n C C C 4.二项式定理：
n
n n n n n r r n r n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a C b a 011111100)(+??++??++=+----
通项：r
r n r n r b a C T -+=1
，其中r n
C 叫做第1+r 项的二项式系数。 注：（1）二项展开式中第1+r 项的系数与第1+r 项的二项式系数r
n C 是两个不同的概念。 （2）杨辉三角 1. 二项式系数的性质
（1） 除每行两端的1以外，每个数字都等于它肩上两数之和，即1
1-++=r n
r n r
n C C C （2） 与首末两端等距离的两项的二项式系数相等，即r
n n
r
n
C C -=
（3）
n 为偶数，展开式有奇数项，中间项的二项式系数最大；
（第12
+n
项） n 为奇数，展开式有偶数项，中间两项的二项式系数最大。（第2
1
+n 项和后一项）
7. n
n
n n n C C C 2C m
n 1
=??+??++ 1
5
3
1
4
2
2
-=??+++=??+++n n n n n n n C C C C C C
第十一章 概率与统计
一、概率.
1. 概率：随机事件A 的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.
2. 等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有年n 个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每
一个基本事件的概率都是
n 1，如果某个事件A 包含的结果有m 个，那么事件A 的概率n
m
P(A)=. 3. ①互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件A 、B 互斥，那么事件A+B 发生(即A 、B 中
有一个发生)的概率，等于事件A 、B 分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)。
②对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件．．．．．．．．．．．．．．．
叫对立事件. 注意：i.对立事件的概率和等于1：1)A P(A )A P(P(A)=+=+.
ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件.
③相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件.
如果两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A·B)=P(A)·P(B). 由此，当两个事件同时发生的概率P （AB ）等于这两个事件发生概率之积，这时我们也可称这两个事件为独立事件.
④独立重复试验：若n 次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n 次试验
是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率：
k
n k k n n P)
(1P C (k)P --=. 二、随机变量.
1. 随机试验的结果应该是不确定的.试验如果满足下述条件：
①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是
恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.
它就被称为一个随机试验.
2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随
机变量。
设离散型随机变量ξ可能取的值为：ΛΛ,,,,21i x x x
ξ取每一个值),2,1(Λ=i x 的概率p x P ==)(ξ，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.
121i 注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：]5,0[∈ξ即ξ可以取0～
5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.
3. ⑴离散型随机变量的二项分布：在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试
验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是
k
n k k n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．
由于n q
p C 恰好是二项展开式
11100)(q p C q p C q p C q p C p q n n n k n k k n n n n n n +++++=+--ΛΛ
中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数，并记
k n k
k
n
q p C -＝b (k ；n ，p )．
⑵二项分布的判断与应用.
①二项分布，实际是对n 次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n 次独立重复，且每次试验只有两种结
果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.
②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此
时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.
三、数学期望与方差.
n n 2211随机变量取值的平均水平.
2. 二项分布的数学期望：np E =ξ 其分布列为ξ～),(p n B .（P 为发生ξ的概率）
3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为),2,1()(Λ===k p x P k k ξ时，则称
ΛΛ+-++-+-=n n p E x p E x p E x D 2222121)()()(ξξξξ为ξ的方差。 显然0≥ξ
D ，故σξξσξ.D =为ξ的根方差或标准差。随机
变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.ξD 越小，稳定性越高，波动越小．．．．．．．．．．．．．.．
4.二项分布的方差：npq D =ξ
5. 期望与方差的关系：22)(ξξξE E D -= 四、正态分布.（基本不列入考试范围）
1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x 轴上方，ξ落在任一区间),[b a 内的概率等于它与x 轴.
直线a x =与直线b x =所围成的曲边梯形的面积
（如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为
图像的函数)(x f 叫做ξ的密度函数，由于“),(+∞-∞∈x ” 是必然事件，故密度曲线与x 轴所夹部分面积等于1.
2. ⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：2
221)(σσ
π-
=
e
x f . （σμ,,R x ∈为常数，且0φσ），
称ξ服从参数为σμ,的正态分布，用ξ～),(2σμN 表示.)(x f 的表达式可简记为),(2σμN ，它的密度曲线简称为正态曲线.
⑵正态分布的期望与方差：若ξ～),(2σμN ，则ξ的期望与方差分别为：μξ=E ，2σξ=D ⑶正态曲线的性质.
①曲线在x 轴上方，与x 轴不相交. ②曲线关于直线μ=x 对称.
③当μ=x 时曲线处于最高点，当x 向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线. ④当x ＜μ时，曲线上升；当x ＞μ时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，
向x 轴无限的靠近.
⑤当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
3. ⑴标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为)(21)(2
2+∞-∞=
-ππx e
x x π?，则称ξ服从标准正态分布. 即
ξ～)1,0(N 有)()(x P x ≤=ξ?，)(1)(x x --=??求出，而P （a ＜ξ≤b ）的计算则是)()()(a b b a P ??ξ-=≤π.
注意：当标准正态分布的)(x Φ的X 取0时，有5.0)0(=Φ，当)(x Φ的X
如图.
⑵正态分布与标准正态分布间的关系：若ξ～),(2σμN 则ξ的分布函数通 常用)(x F 表示，且有)σ
μ
x (
F(x)x)P(ξ-==≤?.
4.⑴“3σ”原则.
假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量服从正
态分布),(2σμN .②确定一次试验中的取值a 是否落入范围)3,3(σμσμ+-.③做出判断：如果)3,3(σμσμ+-∈a ，接受统计假设. 如果)3,3(σμσμ+-?a ，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.
⑵“3σ”原则的应用：若随机变量ξ服从正态分布),(2σμN 则 ξ落在)3,3(σμσμ+-内的概率为99.7％
亦即落在)3,3(σμσμ+-之外的概率为0.3％，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态分布）。 知识
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S 阴=0.5S a =0.5+S
职高数学基础模块下册第八章和第九章
数学竞赛二年级试卷 分值：120分 时间：120分 姓名： 班级： 一、选择题 1. 在正方体ABCD-A ’B’C’D’中,与棱AA ’异面的直线共有几条（ ） A.4 B.6 C.8 D.10 2.已知直线()021:1=-++y x a l 与直线()0122:2=+++y a ax l 互相垂直，则实数 a 的值为（ ） A. -1或2 B. -1或-2 C. 1或2 D. 1或-2 6．如果直线ax +2y+2=0与直线3x －y －2=0平行，则a 等于 （ ） A ．－3 B ．－6 C ．2 3- D ．3 2 3． 4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( ) A.13 B.12 C.23 D.34 3.. 正方体ABCD-A ’B’C’D’中,异面直线CD ’和BC ’所成的角的度数是（ ） A.45° B.60° C.90° D.120°
C C' D D'B' A' A B 、已知直线ax+by+c=0)0(≠abc 与圆x 2+y 2=1相切，则三条边长分别为|a|、|b|、|c|的三角形是 （ ） A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、 钝角三角形 D 、不存在 67. 直线a 是平面α的斜线，b 在平α内，已知a 与b 成60°的角，且b 与a 在平α内的射影成45°角时，a 与α所成的角是（ ） A.45° B.60° C.90° D.135° 5. 长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．25π B ．50π C ．125π D ．都不对 8. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E F G H ，，， 分别为1AA ，AB ，1BB ，11B C 的中点，则异面直线EF 与 GH 所成的角等于（ ） Ａ．45° Ｂ．60° Ｃ．90° Ｄ．120° 9. 已知两个平面垂直，下列命题 ①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面； ④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是（ ） A.3 B.2 C.1 D. αb a O C B A A F D B C G E 1B H 1 C 1D 1A
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人教版中职数学教材基础模块上册全册教案 目录 第三章函数 (1) 3.1.1 函数的概念 (1) 3.1.2 函数的表示方法 (5) 3.1.3 函数的单调性 (8) 3.1.4 函数的奇偶性 (13) 3.2.1 一次、二次问题 (17) 3.2.2 一次函数模型 (20) 3.2.3 二次函数模型 (24) 3.3 函数的应用 (29) 第四章指数函数与对数函数 (32) 4.1.1 有理指数(一) (32) 4.1.1 有理指数(二) (36) 4.1.2 幂函数举例 (40) 4.1.3 指数函数 (43) 4.2.1 对数 (48) 4.2.2 积、商、幂的对数 (51) 4.2.3 换底公式与自然对数 (55) 4.2.4 对数函数 (57) 4.3 指数、对数函数的应用 (60) 第五章三角函数 (63) 5.1.1 角的概念的推广 (63) 5.1.2 弧度制 (67) 5.2.1 任意角三角函数的定义 (71) 5.2.2 同角三角函数的基本关系式 (76) 5.2.3 诱导公式 (80) 5.3.1 正弦函数的图象和性质 (85) 5.3.2 余弦函数的图象和性质 (89) 5.3.3 已知三角函数值求角 (92)
第三章函数 3.1.1函数的概念 【教学目标】 1. 理解函数的概念，会求简单函数的定义域． 2. 理解函数符号y＝f (x)的意义，会求函数在x＝a处的函数值． 3. 通过教学，渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点． 【教学重点】 函数的概念及两要素，会求函数在x＝a处的函数值，求简单函数的定义域． 【教学难点】 用集合的观点理解函数的概念． 【教学方法】 这节课主要采用问题解决法和分组教学法．运用现代化教学手段，通过两个实例，分析抽象出函数概念，使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素．然后通过求函数值与定义域的两类题目，深化对函数概念的理解．
中职数学基础模块上册
【引课】
师生共同欣赏图片“中国所有的大熊猫”、“我们班的所有同学” 师：“物以类聚”；“人以群分”；这些都给我们以集合的印象 引入课题 【新授】 课件展示引例： (1) 某学校数控班学生的全体；(2) 正数的全体； (3) 平行四边形的全体；(4) 数轴上所有点的坐标的全体。 1. 集合的概念 (1) 一般地，把一些能够确定的对象看成一个整体，我们就说，这个整体是由这些对象的全体构成的集合(简称为集)； (2) 构成集合的每个对象都叫做集合的元素； (3) 集合与元素的表示方法：一个集合，通常用大写英文字母A，B，C，…表示，它的元素通常用小写英文字母a，b，c，…表示。 2. 元素与集合的关系 (1) 如果a 是集合A 的元素，就说a属于A，记作a∈A，读作“a属于A” (2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a?A读作“a不属于A” 3. 集合中元素的特性 (1)确定性：作为集合的元素，必须是能够确定的这就是说，不能确定的对象，就不能构成集合 (2) 互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素是互异的这就是说，集合中的任何两个元素都是不同的对象 4. 集合的分类
(1) 有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集 (2) 无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集 5. 常用数集及其记法 (1) 自然数集：非负整数全体构成的集合，记作N； (2) 正整数集：非负整数集内排除0的集合，记作N＋或N*； (3) 整数集：整数全体构成的集合，记作Z； (4) 有理数集：有理数全体构成的集合，记作Q； (5) 实数集：实数全体构成的集合，记作R。 【巩固】 例1判断下列语句能否构成一个集合，并说明理由 (1) 小于10 的自然数的全体；(2) 某校高一(2)班所有性格开朗的男生； (3) 英文的26 个大写字母；(4) 非常接近1 的实数。 练习1判断下列语句是否正确： (1) 由2，2，3，3构成一个集合，此集合共有4个元素； (2) 所有三角形构成的集合是无限集； (3) 周长为20 cm 的三角形构成的集合是有限集； (4) 如果a ∈Q，b ∈Q，则a＋b ∈Q。 例2用符号“∈”或“?”填空： (1) 1N，0N，－4N，0.3N；(2) 1Z，0Z，－4Z，0.3Z； (3) 1Q，0Q，－4Q，0.3Q；(4) 1R，0R，－4R，0.3R。 练习2用符号“∈”或“?”填空：
中职数学基础模块上册教案
中职数学（基础模块）教案 1．1集合的概念 知识目标：（1）理解集合、元素及其关系；（2）掌握集合的列举法与描述法，会用适当的方法表示集合． 能力目标：通过集合语言的学习与运用，培养学生的数学思维能力.教学重点：集合的表示法． 教学难点：集合表示法的选择与规范书写． 课时安排：2课时． 1.2集合之间的关系 知识目标：（1）掌握子集、真子集的概念；（2）掌握两个集合相等的概念；（3）会判断集合之间的关系. 能力目标：通过集合语言的学习与运用，培养学生的数学思维能力.教学重点：集合与集合间的关系及其相关符号表示． 教学难点：真子集的概念． 课时安排：2课时． 1.3集合的运算（1） 知识目标：（1）理解并集与交集的概念；（2）会求出两个集合的并集与交集．能力目标：（1）通过数形结合的方法处理问题，培养学生的观察能力；（2）通过交集与并集问题的研究，培养学生的数学思维能力． 教学重点：交集与并集． 教学难点：用描述法表示集合的交集与并集． 课时安排：2课时． 1.3集合的运算（2）
知识目标：（1）理解全集与补集的概念；（2）会求集合的补集． 能力目标：（1）通过数形结合的方法处理问题，培养学生的观察能力；（2）通过全集与补集问题的研究，培养学生的数学思维能力． 教学重点：集合的补运算． 教学难点：集合并、交、补的综合运算． 课时安排：2课时． 1.4充要条件 知识目标：了解“充分条件”、“必要条件”及“充要条件”． 能力目标：通过对条件与结论的研究与判断，培养思维能力． 教学重点：（1）对“充分条件”、“必要条件”及“充要条件”的理解．（2）符号“”，“”，“”的正确使用． 教学难点：“充分条件”、“必要条件”、“充要条件”的判定． 课时安排：2课时． 2.1不等式的基本性质 知识目标：⑴理解不等式的基本性质；⑵了解不等式基本性质的应用．能力目标：⑴了解比较两个实数大小的方法；⑵培养学生的数学思维能力和计算技能． 教学重点：⑴比较两个实数大小的方法；⑵不等式的基本性质． 教学难点：比较两个实数大小的方法． 课时安排：1课时． 2．2区间 知识目标：⑴掌握区间的概念；⑵用区间表示相关的集合．
(完整word版)职高数学基础模块下册复习题
第六章：数列 1. 选择题： （1） 已知数列{a n }的通项公式为a n =2n-5，那么a 2n =（ ）。 A 2n-5 B 4n-5 C 2n-10 D 4n-10 （2）等差数列-7/2，-3，-5/2，-2，··第n+1项为（ ） A )7(21-n B )4(21-n C 42-n D 72 -n （3）在等差数列{ a n }中，已知S 3=36，则a 2=（ ） A 18 B 12 C 9 D 6 （4）在等比数列{a n }中，已知a 2=2，a 5=6，则a 8=（ ） A 10 B 12 C 18 D 24 2．填空题： （1）数列0，3，8，15，24，…的一个通项公式为_________________. （2）数列的通项公式为a n =（-1）n+1?2+n,则a 10=_________________. （3）等差数列-1，2，5，…的一个通项公式为________________. （4）等比数列10，1， 10 1，…的一个通项公式为______________. 3.数列的通项公式为a n =sin ,4πn 写出数列的前5项。 4.在等差数列{ a n }中，a 1=2，a 7=20，求S 1 5. 5.在等比数列{ a n }中，a 5=43，q=2 1-,求S 7. 6. 已知本金p=1000元，每期利i=2%，期数n=5,按复利计息，求到期后的本利和 7. 在同一根轴上安装五个滑轮，它们的直径成等差数，最小与最大的滑轮直径分别为 120厘米与216厘米，求中间三个滑轮的直径.
第七章：向量 1. 选择题： （1）平面向量定义的要素是（ ） A 大小和起点 B 方向和起点 C 大小和方向 D 大小、方向和起点 （2）--等于（ ） A 2 B 2 C D 0 （3）下列说法不正确的是（ ）. A 零向量和任何向量平行 B 平面上任意三点A 、B 、 C ，一定有AC BC AB =+ C 若)(R m m ∈=，则// D 若2211,e x e x ==，当21x x =时，= （4）设点A （a 1,a 2 ）及点B （b 1,b 2），则的坐标是（ ） A （2211,b a b a --） B （2121,b b a a --） C （2211,a b a b --） D （1212,b b a a --） （5）若?=-4，||=2，||=22，则<,>是（ ） A ο0 B ο90 C ο180 D ο 270 （6）下列各对向量中互相垂直的是（ ） A )5,3(),2,4(-== B )3,4(),4,3(=-= C )5,2(),2,5(--== D )2,3(),3,2(-=-= 2. 填空题： （1）BC CD AB ++=______________. （2）已知2（+）=3（-），则=_____________. （3）向量,的坐标分别为（2，-1），（-1，3），则b a +的坐标_______， 23+的坐标为__________. （4）已知A （-3，6），B （3，-6），则=__________,||=____________. （5）已知三点A （3+1，1），B （1，1），C （1，2），则<,>=_________.
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集合测试题 一 选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求，把正确选项写在表格中。 1.给出 四个结论： ①｛1，2，3，1｝是由4个元素组成的集合 ② 集合｛1｝表示仅由一个“1”组成的集合 ③｛2，4，6｝与｛6，4，2｝是两个不同的集合 ④ 集合｛大于3的无理数｝是一个有限集 其中正确的是 ( ); A.只有③④ B.只有②③④ C.只有①② D.只有② 2.下列对象能组成集合的是( ); A.最大的正数 B.最小的整数 C. 平方等于1的数 D.最接近1的数 3.I =｛0,1,2,3,4｝,M =｛0,1,2,3｝ ,N =｛0,3,4｝,)(N C M I =( ); A.｛2,4｝ B.｛1,2｝ C.｛0,1｝ D.｛0,1,2,3｝ 4.I =｛a,b,c,d,e ｝ ,M=｛a,b,d ｝,N=｛b ｝,则N M C I )(=( ); A.｛b ｝ B.｛a,d ｝ C.｛a,b,d ｝ D.｛b,c,e ｝ 5.A =｛0,3｝ ,B=｛0,3,4｝,C=｛1,2,3｝则=A C B )(( ); A.｛0,1,2,3,4｝ B.φ C.｛0,3｝ D.｛0｝ 6．设集合M =｛-2,0,2｝,N =｛0｝,则( ); A.φ=N B.M N ∈ C.M N ? D.N M ? 7.设集合{}0),(>=xy y x A ，{} ,00),(>>=y x y x B 且则正确的是( ); A.B B A = B.φ=B A C.B A ? D.B A ? 8.设集合{}{} ,52,41<≤=≤<=x x N x x M 则=B A ( ); A.{}51<中职数学基础模块上册(人教版)全套教案
中职数学基础模块上册（人教版）全套教案 目录 第一章集合 (3) 1.1.1 集合的概念 (3) 1.1.2 集合的表示方法 (7) 1.1.3 集合之间的关系(一) (11) 1.1.3 集合之间的关系(二) (15) 1.1.4 集合的运算(一) (18) 1.1.4 集合的运算（二) (23) 1.2.1 充要条件 (26) 1.2.2 子集与推出的关系 (30) 第二章不等式 (33) 2.1.1 实数的大小 (33) 2.1.2 不等式的性质 (37) 2.2.1 区间的概念 (41) 2.2.2 一元一次不等式(组)的解法 (45) 2.2.3 一元二次不等式的解法(一) (49) 2.2.3 一元二次不等式的解法(二) (52) 2.2.4 含有绝对值的不等式 (56) 2.3 不等式的应用 (59) 第三章函数 (62) 3.1.1 函数的概念 (62) 3.1.2 函数的表示方法 (67) 3.1.3 函数的单调性 (71) 3.1.4 函数的奇偶性 (75) 3.2.1 一次、二次问题 (80) 3.2.2 一次函数模型 (83) 3.2.3 二次函数模型 (87) 3.3 函数的应用 (92) 第四章指数函数与对数函数 (95) 4.1.1 有理指数(一) (95) 4.1.1 有理指数(二) (99) 4.1.2 幂函数举例 (104) 4.1.3 指数函数 (108) 4.2.1 对数 (113) 4.2.2 积、商、幂的对数 (116) 4.2.3 换底公式与自然对数 (120) 4.2.4 对数函数 (123) 4.3 指数、对数函数的应用 (127) 第五章三角函数 (130) 5.1.1 角的概念的推广 (130) 5.1.2 弧度制 (134)
人教版中职数学基础模块上册 -第一章集合教案
1.1.1 集合的概念 【教学目标】 1. 初步理解集合的概念；理解集合中元素的性质． 2. 初步理解“属于”关系的意义；知道常用数集的概念及其记法． 3. 引导学生发现问题和提出问题，培养独立思考和创造性地解决问题的意识． 【教学重点】 集合的基本概念，元素与集合的关系． 【教学难点】 正确理解集合的概念． 【教学方法】 本节课采用问题教学和讲练结合的教学方法，运用现代化教学手段，通过创设情景，引导学生自己独立地去发现、分析、归纳，形成概念． 【教学过程】 环节教学内容师生互动设计意图 导入 师生共同欣赏图片“中国所有的大 熊猫”、“我们班的所有同学”． 师：“物以类聚”；“人以 群分”；这些都给我们以集合的 印象． 引入课题． 联系实际； 激发兴趣． 新课课件展示引例： (1) 某学校数控班学生的全体； (2) 正数的全体； (3) 平行四边形的全体； (4) 数轴上所有点的坐标的全体． 师：每个例子中的“全体” 是由哪些对象构成的？这些对 象是否确定？ 你能举出类似的几个例子 吗？ 学生回答． 教师引导学生阅读教材，提 出问题如下： (1) 集合、元素的概念是如 何定义的？ (2) 集合与元素之间的关 系为何？是用什么符号表示 的？ (3) 集合中元素的特性是 什么？ (4) 集合的分类有哪些？ (5) 常用数集如何表示？ 教师检查学生自学情况，梳 从具体事例直观 感知集合，为给出集 合的定义做好准备． 老师提出问题， 放手让学生自学，培 养自学能力，提高学 生的学习能力． 检查自学、梳理 知识阶段，穿插讲解 1
新课1. 集合的概念． (1) 一般地，把一些能够确定的对 象看成一个整体，我们就说，这个整体 是由这些对象的全体构成的集合(简称 为集)． (2) 构成集合的每个对象都叫做集 合的元素． (3) 集合与元素的表示方法：一个 集合，通常用大写英文字母A，B，C，… 表示，它的元素通常用小写英文字母 a，b，c，…表示． 2. 元素与集合的关系． (1) 如果a 是集合A 的元素，就 说a属于A，记作a∈A，读作“a属于A”． (2)如果a不是集合A的元素，就说 a不属于A，记作a?A．读作“a不属 于A”． 3. 集合中元素的特性． (1) 确定性：作为集合的元素，必 须是能够确定的．这就是说，不能确定 的对象，就不能构成集合． (2) 互异性：对于一个给定的集合， 集合中的元素是互异的．这就是说，集 合中的任何两个元素都是不同的对象． 4. 集合的分类． (1) 有限集：含有有限个元素的集 合叫做有限集． (2) 无限集：含有无限个元素的集 合叫做无限集． 5. 常用数集及其记法． (1) 自然数集：非负整数全体构成 的集合，记作N； (2) 正整数集：非负整数集内排除0 的集合，记作N＋或N*； 理本节课知识，并强调要注意的 问题． 教师要把集合与元素的定 义分析透彻． 请同学举出一些集合的例 子，并说出所举例子中的元素． 教师强调：“∈”的开口方 向，不能把a∈A颠倒过来写． 教师强调集合元素的确定 性．师：高一(1)班高个子同学 的全体能否构成集合？ 生：不能构成集合．这是由 于没有规定多高才算是高个子， 因而“高个子同学”不能确定． 教师强调：相同的对象归入 同一个集合时只能算作集合的 一个元素． 请学生试举有限集和无限 集的例子． 师：说出自然数集与非负整 数集的关系． 生：自然数集与非负整数集 是相同的． 师：也就是说，自然数集包 括数0． 解难点、强调重点、 举例说明疑点等环 节，使学生真正掌握 所学知识． 2
职高数学基础模块下册复习题及答案
复习题6 1. 选择题： （1） 已知数列{a n }的通项公式为a n =2n-5，那么a 2n =（ B ）。 A 2n-5 B 4n-5 C 2n-10 D 4n-10 （2）等差数列-7/2，-3，-5/2，-2，··第n+1项为（ A ） A )7(21-n B )4(21-n C 42-n D 72 -n （3）在等差数列{ a n }中，已知S 3=36，则a 2=（ B ） A 18 B 12 C 9 D 6 （4）在等比数列{a n }中，已知a 2=2，a 5=6，则a 8=（ C ） A 10 B 12 C 18 D 24 2．填空题： （1）数列0，3，8，15，24，…的一个通项公式为an=n^2-1. （2）数列的通项公式为a n =（-1）n+1?2+n,则a 10=8. （3）等差数列-1，2，5，…的一个通项公式为an=3n-4. （4）等比数列10，1， 10 1，…的一个通项公式为an=10^(2-n) 3.数列的通项公式为a n =sin ,4πn 写出数列的前5项。 解：sin π/4=根号2/2 sin π/2=1 sin 3π/4=根号2/2 sin π =0 sin 5π/4=-根号2/2 4.在等差数列{ a n }中，a 1=2，a 7=20，求S 1 5. 解：an=a1+(n-1)d a1=2 a7=a1+(7-1)d 20=2+6d 所以d=3 sn=na1+n(n-1)/2*d 所以s15=15*2+15*14/2*3=345 5.在等比数列{ a n }中，a 5=43，q=2 1-,求S 7. 解：a5=a1*q^(5-1),∴a1=12
中职数学基础模块下册概率与统计初步练习题及答案
概率与统计初步 例1、某商场有4个大门，若从一个门进去，购买商品后再从另一个门出去，不同的走法共有多少种 解：4×3=12 例2.指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件 ①某乒乓球运动员在某运动会上获得冠军。 ②掷一颗骰子出现8点。 ③如果0 a=。 a，则b -b = ④某人买某一期的体育彩票中奖。 解：①④为随机事件，②是不可能事件，③是必然事件。 例3.某活动小组有20名同学，其中男生15人，女生5人，现从中任选3人组成代表队参加比赛， A表示“至少有1名女生代表”，求) P。 (A 解：) P=15×14×13/20×19×18=273/584 (A 例4.在50件产品中，有5件次品，现从中任取2件。以下四对事件哪些是互斥事件哪些是对立事件哪些不是互斥事件 ①恰有1件次品和恰有2件次品互斥事件 ②至少有1件次品和至少有1件正品不是互斥事件 ③最多有1件次品和至少有1件正品不是互斥事件 ④至少有1件次品和全是正品对立事件 例5.从1,2,3,4,5,6六个数字中任取两个数，计算它们都是偶数的概率。 解：P(A)=3×2/6×5=1/5
例6.抛掷两颗骰子，求：①总点数出现5点的概率；②出现两个相同点数的概率。 解：容易看出基本事件的总数是6×6=36(个),所以基本事件总数n=36. (1)记“点数之和出现5点”的事件为A,事件A 包含的基本事件共6个：(1,4)、(2,3)、(3,2)、 (4,1)、,所以P(A)=.4/36=1/9 (2)记“出现两个相同的点”的事件为B,则事件B 包含的基本事件有6个：（1，1）、（2，2）、（3，3）、(4,4)、（5，5）、（6，6）.所以P(B)=6/36=1/6 例7.甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是，计算： ①两人都未击中目标的概率； ②两人都击中目标的概率； ③其中恰有1人击中目标的概率； ④至少有1人击中目标的概率。 解：A={甲射击一次，击中目标}，B={乙射击一次，击中目标} （1）16 .04.04.0)()()(=?==B P A P B A P （2） 36.06.06.0)()()(=?==B P A P AB P （3）48.04.06.06.04.0)()(=?+?=+B A P B A P (4)84.016.01)(1=-=-B A P 例8.种植某种树苗成活率为，现种植5棵。试求： ①全部成活的概率； ②全部死亡的概率； ③恰好成活4棵的概率； ④至少成活3棵的概率。 解：（1）××××=
中职数学基础模块集合测试.doc
百度文库- 让每个人平等地提升自我 集合单元测试 姓名：评分： 一．选择题：（答案填在表格内，每题 5 分，共 75 分） 题 123456789101112131415 号 答 案 1. 下列选项能组成集合的是（） A. 学校篮球水平较高的学生 B. 校园中长的高大的树木 年所有的欧盟国家 D. 中国经济发达的城市 2. 已知集合 P={1，2} ，那么满足 Q P 的集合 Q的个数为（） A． 4 D. 1 3．下列表述正确的是（） A. { 0} B. { 0} C. { 0} D. { 0} 4. 已知集合 {= x / x 4n, n N } 则下列各数属于集合M的是（ ） 5、集合 {a ，b，c } 的真子集共有个。（） A．7B．8C．9D．10 6、设集合M1,0,1 , N1,1 ，则（） A.M N B.M N C. M N D.N M 7、已知 A x x 2 ，则下列写法正确的是（） A.0 A B.0A C.A D.0 A 8、设全集U0,1,2,3,4,5,6 ，集合 A3,4,5,6 ，则 C U A（） A．0,1,2,6 B. C.3,4,5 D.0,1,2
9、已知集合 A 1,2,3 ，集合 B 1,3,5,7 ，则 A B （ ） A ． 1,3,5 B. 1,2,3 C. 1,3 D. 10、已知集合 A x 0 x 2，集合B x1 x 3，则A B （ ） A ． A x 0 x 3 B. B x 0 x 3 C. B x1 x 2 D. B x1 x 2 11、已知集合 A 1,2,3 ，集合 B 4,5，6，7 ，则 A B （ ） A ． 2,3 B. 1,2,3 C. 1,2,3,4,5，6，7 D. 12、设集合 M = {x │x+1＞ 0} ，N = {x │－ x+3＞0} ，则 M ∩N =（ ） A 、 {x │x ＞－ 1} B 、 {x │x ＜－ 3} C 、 {x │－ 1＜x ＜3} D 、 {x │x ＞－ 1 或 x ＜3} 13. 设 1,2 M 1,2,3,4 , 则满足条件的集合 M 共有 ( ). 个 个 个 个 14. 设全集为 N ，集合 { x N / x 8} M ） M= ，则集合 C N 中元素的个数为（ 个 个 个 D. 无数多个 x y 1 15、方程组x y 1 的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0 或 y=1} 二．填空题：（第一题 5 分，其余每题 3 分，共 32 分） 1、用符号（ ， ， ， ,= ）填空： （ 1） {0}_____ ； （2）{ x| x< 6}_____{ x| x< 0} （ 3） R_____Q ； （ 4） 2 _____{x| x 2 4 0 } ； （ ） ， }_____{ ， 5 {1,3,5 x| x=2k+1 k N }
中职数学基础模块(上册)
师生共同欣赏图片“中国所有的大熊猫”、“我们班的所有同学” 师：“物以类聚”；“人以群分”；这些都给我们以集合的印象 引入课题 【新授】 课件展示引例： (1) 某学校数控班学生的全体； (2) 正数的全体； (3) 平行四边形的全体； (4) 数轴上所有点的坐标的全体。 1. 集合的概念 (1) 一般地，把一些能够确定的对象看成一个整体，我们就说，这个整体是由这些对象的全体构成的集合(简称为集)； (2) 构成集合的每个对象都叫做集合的元素；
(3) 集合与元素的表示方法：一个集合，通常用大写英文字母 A ，B ，C ，…表示，它的元素通常用小写英文字母 a ，b ，c ，… 表示。 2. 元素与集合的关系 (1) 如果 a 是集合 A 的元素，就说a 属于A ，记作a ?A ，读作“a 属于A ” (2)如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a ? A 读作“a 不属于A ” 3. 集合中元素的特性 (1) 确定性：作为集合的元素，必须是能够确定的这就是说，不能确定的对象，就不能构成集合 (2) 互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素是互异的这就是说，集合中的任何两个元素都是不同的对象 4. 集合的分类 (1) 有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集 (2) 无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集 5. 常用数集及其记法 (1) 自然数集：非负整数全体构成的集合，记作 N ； (2) 正整数集：非负整数集内排除0的集合，记作 N ＋或 N*； (3) 整数集：整数全体构成的集合，记作 Z ； (4) 有理数集：有理数全体构成的集合，记作 Q ； (5) 实数集：实数全体构成的集合，记作 R 。 【巩固】 例1 判断下列语句能否构成一个集合，并说明理由 (1) 小于 10 的自然数的全体；(2) 某校高一(2)班所有性格开朗的男生； (3) 英文的 26 个大写字母； (4) 非常接近 1 的实数。 练习1 判断下列语句是否正确： (1) 由2，2，3，3构成一个集合，此集合共有4个元素； (2) 所有三角形构成的集合是无限集； (3) 周长为20 cm 的三角形构成的集合是有限集； (4) 如果a ? Q ，b ? Q ，则 a ＋b ? Q 。 例2 用符号“?”或“?”填空： (1) 1 N ，0 N ，－4 N ，0.3 N ；(2) 1 Z ，0 Z ，－4 Z ，0.3 Z ； (3) 1 Q ，0 Q ，－4 Q ，0.3 Q ；(4) 1 R ，0 R ，－4 R ，0.3 R 。 练习2 用符号“?”或“?”填空： (1) －3 N ；(2) 3.14 Q ；(3) 13 Z ； (4) －12 R ；； (6) 0 Z 。 【小结】 1. 集合的有关概念：集合、元素 2. 元素与集合的关系：属于、不属于 3. 集合中元素的特性 4. 集合的分类：有限集、无限集 5. 常用数集的定义及记法 【作业】 教材P4，练习A 组第1~3题
(完整)职高基础模块数学上1~4章复习
基础模块数学上基础知识汇总 预备知识： 1.完全平方和（差）公式：(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 2.平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b) 3.立方和（差）公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 第一章集合 一．集合 1.集合的有关概念和运算 （1）集合的特性：确定性、互异性和无序性； （2）元素a和集合A之间的关系：a∈A，或a A； 2.集合的两种表示方法：列举法、描述法。 3.常用数集：N（自然数集）、Z（整数集）、Q（有理数集）、R（实数集）、N+（正整数集） 4.集合与集合之间的关系：
子集定义：A 中的任何元素都属于B ，则A 叫B 的 ； 记作：A ?B ， 注意：A ?B 时，A 有两种情况：A ＝φ与A ≠φ 真子集定义：A 是B 的子集 ，且B 中至少有一个元素不属于A ；记作：B A ?； 注：（1）空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集。（做题时多考虑Ф是否满足题意） （2）一个集合含有n 个元素，则它的子集有2n 个，真子集有2n -1个，非空真子集有2n -2个。 5.集合的基本运算（用描述法表示的集合的运算尽量用画数轴的方法） （1）}{B x A x x B A ∈∈=?且：A 与B 的公共元素组成的集合 （2）}{B x A x x B A ∈∈=?或：A 与B 的所有元素组成的集合（相同元素只写一次）。 （3）A C U ：U 中元素去掉A 中元素剩下的元素组成的集合。 注：=I U ()U U U C A B C A C B ()U U U C A B C A C B =U I 6.充分必要条件:p 是q 的……条件 p 是条件，q 是结论 如果p ?q ，那么p 是q 的充分条件; 如果p ?q, 那么q 是p 的必要条件.
中职数学基础模块下册-概率与统计初步练习题及答案
概率与统计初步 例1、某商场有4个大门，若从一个门进去，购买商品后再从另一个门出去，不同的走法共有多少 种？ 解：4×3=12 例2.指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件？ ①某乒乓球运动员在某运动会上获得冠军。 ②掷一颗骰子出现8点。 ③如果0=-b a ，则b a =。 ④某人买某一期的体育彩票中奖。 解：①④为随机事件，②是不可能事件，③是必然事件。 例3.某活动小组有20名同学，其中男生15人，女生5人，现从中任选3人组成代表队参加比赛， A 表示“至少有1名女生代表”，求)(A P 。 解：)(A P =15×14×13/20×19×18=273/584 例4.在50件产品中，有5件次品，现从中任取2件。以下四对事件哪些是互斥事件？哪些是对立 事件？哪些不是互斥事件？ ①恰有1件次品和恰有2件次品 互斥事件 ②至少有1件次品和至少有1件正品 不是互斥事件 ③最多有1件次品和至少有1件正品 不是互斥事件 ④至少有1件次品和全是正品 对立事件 例5.从1,2,3,4,5,6六个数字中任取两个数，计算它们都是偶数的概率。 解：P(A)=3×2/6×5=1/5 例6.抛掷两颗骰子，求：①总点数出现5点的概率；②出现两个相同点数的概率。 解：容易看出基本事件的总数是6×6=36(个),所以基本事件总数n=36. (1)记“点数之和出现5点”的事件为A,事件A 包含的基本事件共6个：(1,4)、(2,3)、(3,2)、 (4,1)、,所以P(A)=.4/36=1/9 (2)记“出现两个相同的点”的事件为B,则事件B 包含的基本事件有6个：（1，1）、（2，2）、（3，3）、(4,4)、（5，5）、（6，6）.所以P(B)=6/36=1/6 例7.甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.6，计算： ①两人都未击中目标的概率； ②两人都击中目标的概率； ③其中恰有1人击中目标的概率； ④至少有1人击中目标的概率。 解：A={甲射击一次，击中目标}，B={乙射击一次，击中目标} （1）16.04.04.0)()()(=?==B P A P B A P （2） 36.06.06.0)()()(=?==B P A P AB P （3）48.04.06.06.04.0)()(=?+?=+B A P B A P
高教版中职数学(基础模块)下册7.1《平面向量的概念及线性运算》word教案
【课题】7.1 平面向量的概念及线性运算 【教学目标】 知识目标： （1）了解向量的概念； （2）理解平面向量的线性运算； （3）了解共线向量的充要条件 能力目标： （1）能将生活中的一些简单问题抽象为向量问题； （2）正确进行平面向量的线性运算，并作出相应的图形； （3）应用共线向量的充要条件判断两个向量是否共线； （4）通过相关问题的解决，培养计算技能和数学思维能力 情感目标： （1）经历利用有向线段研究向量的过程，发展“数形结合”的思维习惯． （2）经历合作学习的过程，树立团队合作意识． 【教学重点】 向量的线性运算． 【教学难点】 已知两个向量，求这两个向量的差向量以及非零向量平行的充要条件． 【教学设计】 从“不同方向的力作用于小车，产生运动的效果不同”的实际问题引入概念． 向量不同于数量，数量是只有大小的量，而向量既有大小、又有方向．教材中用有向线段来直观的表示向量，有向线段的长度叫做向量的模，有向线段的方向表示向量的方向．数量可以比较大小，而向量不能比较大小，记号“a ＞b ”没有意义，而“︱a ︱＞︱b ︱”才是有意义的. 教材通过生活实例，借助于位移来引入向量的加法运算．向量的加法有三角形法则与平行四边形法则. 向量的减法是在负向量的基础上，通过向量的加法来定义的.即a -b =a +(-b )，它可以通过几何作图的方法得到，即a -b 可表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.作向量减法时，必须将两个向量平移至同一起点. 实数λ乘以非零向量a ，是数乘运算，其结果记作λa ，它是一个向量，其方向与向量a 相同，其模为a 的λ倍．由此得到λ?=a b a b ∥．对向量共线的充要条件，要特别注意“非零向量a 、b ”与“0λ≠ ”等条件. 【教学备品】
中职数学基础模块上册集合的表示法word练习题.doc
百度文库- 让每个人平等地提升自我 1. 1. 1 集合练习题（ 1） 1．用适当的方法表示以下集合： (1) 大于 10 而小于 20 的合数所组成的集合； (2) x y 1 方程组 y2 的解集。 x2 9 （ 3）第一、三象限内的点组成的集合。 a b (4) 设a, b为非零实数，可能表示的数的取值集合； a b （5）直角坐标平面内X 轴上的点的集合； (6) 抛物线 y x2 2x 2 的点组成的集合； (7) 使 y 1 有意义的实数x 的集合。 x2 x 6 2. 设 a、 b、 c 为非 0 实数，则M a b c abc ）a b c 的所有值组成的集合为（ abc A、 {4}B 、 {-4} C 、 {0} D 、 {0 ， 4， -4} 3. 已知集合Ax | ax 2 3x 4 0 （1）若A中有两个元素，求实数 a 的取值范围， (2) 若A中至多只有一个元素，求实数 a 的取值范围。 1.1. 1 集合练习题（ 2） 1. 含两个元素的数集a, a 2 a 中，实数 a 满足的条件是。 2. 若Bx | x2 x 6 0 ，则 3 B ；若D x Z | 2 x 3 ，则D 。 3. 下列关系中表述正确的是（） A. 0 x2 0 B. 0 0,0 C. 0 D.0 N
4. 下列表示同一集合的是（ ） A ． M （2，1），（ 3， 2） N （1，2），（ 2， 3） B ． M 1，2 N 2，1 C ． M y | y x 2 1，x R N y | y x 2 1， x N D ． M （x ，y ）| y x 2 1， x R N y | y x 2 1，x N 5．已知集合 S a, b, c 中的三个元素是 ABC 的三边长，那么 ABC 一定不是 （ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 6. 已知 x | x 2 mx n 0, m, n R 1, 2 ，求 m ， n 的值 . 7. 已知集合 A= 12 ，试用列举法表示集合 A. x N N 6 x 8. 含有三个实数的集合可表示为 a, b ,1 ，也可表示为 a 2 , a b,0 ，求 a 2006 b 2007 的值。 a 9．已知集合 A x | ax b 1 ， B x | ax b 4 ，其中 a 0 ，若 A 中元素都是 B 中 元素，求实数 b 的取值范围。 集合间的基本关系 1. 已知集合 A 1,0,1 , A 的子集中，含有元素 0 的子集共有（ ） A ．2 个 个 个 D. 8 个 2. 已知集合 P={1 ， 2} ，那么满足 Q P 的集合 Q 的个数为（ ） A ． 4 D. 1 3. 满足 {1 ，2} A 1,2,3,4,5 条件的集合 A 的个数为（ ） B. ６ C. ８ D.１０ 4．集合 Ax | x 2 2x 1 0, x R 的所有子集的个数为（ ） 5. 在下列各式中错误的个数是 ( ) ① 1 0,1,2 ; ② 10,1,2 ; ③ 0,1,20,1,2 ; ④ 0,1,2 ; ⑤ 0,1,2 2,0,1 D. 4 6．下列六个关系式中正确的有（ ） ① a,b b,a ；② a,b b,a ；③ a,b b, a ；④ 0 ；⑤ 0 ；⑥ 0 0 ．
中职数学基础模块1.1.1集合的概念教学设计教案人教版.docx
课时教学流程 课题 1.1.1 集合的概念课型新授第几 1～2课时 1.初步理解集合的概念；理解集合中元素的性质． 课 时 2.初步理解“属于”关系的意义；知道常用数集的概念及其教 学记法． 目 标 3.引导学生发现问题和提出问题，培养独立思考和创造性地（三维） 解决问题的意识． 教学重点与难点 教学方法与手段 使用教材的构想 教学重点： 集合的基本概念，元素与集合的关系． 教学难点： 正确理解集合的概念． 本节课采用问题教学和讲练结合的教学方法，运用现代化教学手段，通过创设情景，引导学生自己独立地去发现、分析、归纳，形成概念．
课时教学流程 教学内容 生共同欣片“中国所有的大 入熊猫”、“我班的所有同学” ． 件展示引例： (1)某学校数控班学生的全体； (2)正数的全体； (3)平行四形的全体； (4)数上所有点的坐的全体． 新 1. 集合的概念． (1)一般地，把一些能确定的象 看成一个整体，我就，个整体 是由些象的全体构成的集合 (称集 ) ． (2)构成集合的每个象都叫做集 合的元素． (3)集合与元素的表示方法：一个集合， 通常用大写英文字母 A，B，C，?表示，它的 元素通常用小写英文字母 a， b， c，?表示． 2.元素与集合的关系． (1)如果 a 是集合 A 的元素，就 a 属于 A，作 a A，作“ a 属于 A”． (2)如果 a 不是集合 A 的元素，就 a 不属于 A，作 a A．作“ a 不属 于 A”． 3.集合中元素的特性． (1)确定性：作集合的元素，必是 能确定的．就是，不能确定的象，就 不能构成集合． (2)互异性：于一个定的集合， ☆补充设计☆生互意 ：“物以聚”；“人以 群分”；些都我以集合的系； 印象．激趣． 引入． ：每个例子中的“全体”从具体事 是由哪些象构成的？些例直感知集 象是否确定？合，出集合 你能出似的几个例子的定做好准 ？． 学生回答． 教引学生教材，提 出如下：老提出 (1)集合、元素的概念是如，放手学 何定的？生自学，培养自 (2)集合与元素之的关学能力，提高学 系何？是用什么符号表示生的学能力． 的？ (3)集合中元素的特性是 什么？ (4)集合的分有哪些？ (5)常用数集如何表示？ 教学生自学情况，梳 理本知，并要注意的 ．自学、 教要把集合与元素的定梳理知段， 分析透．穿插解 解点、重 同学出一些集合的例点、例明疑 子，并出所例子中的元素．点等，使学 生真正掌握所 学知． 集合中的元素是互异的．就是，集教：“ ”的开口方合中的任何两个元素都是不同的象．向，不能把 a A 倒来写．
