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量子物理学

第十二章

量子物理学

§12-1 实物粒子的波粒二象性

【基本内容】

一、实物粒子的波粒二象性

（1）德布罗意物质波假设

λh

P =

（2）德布罗意物质波假设的实验证明：戴维森——革未实验。

二、测不准关系

1、坐标动量测不准关系

测不准关系不仅适用于电子和光子。也适用于其它粒子，其起因于微观粒子的波粒二象性。

h P x x ≥???，或 ≥???x P x ，精确式为

21≥

???x P x

表示在x 方向，粒子的坐标和动量不能同时确定。 2、能量时间测不准关系

h t E ≥???

三、波函数薛定谔方程

经典力学：粒子的运动由坐标和动量描述，状态随时间的变化由牛顿定律确定。量子力学：微观粒子的运动状态用波函数描述，状态的变化用定薛谔方程描述。 1、波函数

（1）量子力学基本假设之一

微观粒子的运动状态（量子态）用波函数ψ（r ，t ）描述。（2）函数的物理意义——统计解释

),(),(*t r t r

ψψ=ρ表示粒子在t 时刻在（x ，y ，z ）处出现的几率密度。（3）函数的归一化条件

???∞

=ψ1

dxdydz

相差一个常数因子的波函数ψ与c ψ描述同一微观态。（4）波函数的标准条件

波函数),(t r

ψ是空间和时间的单值、有限、连续函数。（5）物质波波函数与经典波函数的区别

德布罗意波是几率波，波函数不表示实在物理量在空间的波动，其振幅无实在的物理意义。

2、薛定谔方程

量子力学基本假设之二：波函数随时间的变化满足薛定谔方程。（1）含时薛定谔方程

若粒在势场),(t r V V

=中运动，则：

ψ=?ψ

?H t i

其中：),(t r

ψ=ψ。

)

,(222t r V m H

+?-=，称为哈密顿算符，

22222

z y x ??+

??+??=?叫拉普拉斯算符。

（2）定态薛定谔方程

对于定态（能量不随时间变化的状态）)(r V V

=。

ψ=ψE H

其中：)(r

ψ=ψ，称为定态波函数。E 称能量本征值，即定态能级。

四、势阱和势垒中的粒子

1、一维无限深势阱

势函数：设质量为m 的粒子在一维无限深势阱中运动，其势函数为： 0 0≤x ≤a

∞ x<0，x>a 2、薛定谔方程求解结果

在一维无限深势阱中运动的粒子的波函数为：

),0.(0)(a x x x ><=ψ

)0(,sin 2)(a x a x n a x ≤≤=

ψπ

一维无限深势阱中运动的粒子的能量为：

)

,2,1(,822

2 ==n ma h n E n

可见，能量是量子化的，它是定谔方程求解的自然结果。

3、隧道效应

一个粒子能穿移按经典观点看来是绝对不透明的势垒，这种现象称为隧道效应。

【典型题例】

【例12-1】（1）已知氢原子的运动速度等于它在300K 时方均根速率，求：（1）（1）它的德布罗意波长；

（2）（2）求质量M=1Kg ，以速率v=1cm/s 运动的小球的德布罗意波长。【解】（1）

m kT

v 32=

45.13A kTm h

h p h ==

==λ

（2）

0191063.6A Mv h p h -?===

【讨论】本题中，由于速度比较小，计算德布罗意波长时用经典动量。

【例12-2】若电子的动能等于其静止能量，则其德布罗意波长是康普顿波长的几倍？

【解】电子的康谱顿波长为c m h e c =

λ，罗意波长为p h

由题知：

c v c m c m E k 23

2)1(2020=

?=?=-=γγ

)232/(c m h v m h p h e e ===

γλ，故

31=c λλ

【讨论】本题中，由于速度比较大，计算德布罗意波长时用相对论动量。 2、测不准关系的应用

【例12-3】对动能为1KeV 的电子,若位置的不准定量值在100Pm 内,求动量的相对不确定值ΔP/P 为何值?(电子的质量m e =9.11×10-31Kg 。)

【解】

231071.12--???==

s m kg mE P k

由h P x x ≥???得

%39=?=???=

?xP h P P x h P

【例12-4】光子的波长λ=3000A 0。确定此波长的精度Δλ/λ=10-6

。求光子位置的不确定量。

【解】

||2

λλλ

=??=

P h

P x P x x 48222=??=?=?≥??≥???λλ

πλλπλ

【例12-5】粒子在一维无限深势阱中运动，其波函数为： a

x a

x n a x n <<=ψ0),sin(2

)(π

若粒子处在n=1的状态，求：

（1）（1）粒子在x=a/4处出现的几率密度；（2）（2）在区间[0，a/4]内找到粒子的几率；（3）在何处找到粒子的几率最大，为何值？

【解】（1）: a

a x

a a

x a x a x /1sin 2)sin(/2)(4/2*=?=ψψ=?=ψ=ρπρπ

（2）091

.0sin 24/024/0*==ψψ=??a a dx a x

a dx W π

（3）

a x a πρ2*sin 2=ψψ=，当2)

12(π

π+=k a x 时ρ最大=2/a 此时，

,3,2,1,0,2)

12(=+=k a

k x 而0

【分类习题】

【12-1】若α粒子在均匀磁场B 中沿半径为R 的圆轨道运动，求粒子的德布罗意波长。【12-2】一束动量为P 的电子，垂直于宽为a 的单缝入射，如图12-2。在距缝为R 的荧光屏上，求衍射图样中央最大的宽度d 。

电子的德布罗意波长为10

【12-6】波长为50000

A 的光沿x 轴传播，若光的波长不确定量为0

310A -=?λ，求坐

标的不确定量x ?至少多少？

提示：

λλ

?h P 。

【12-7】设粒子运动的波函数曲线如图12-7所示。则确定粒子动量的精确度最高的

≥??x p x 的意义

)a x a ≤≤-，求：

6/处出现的几率密

3/2a 区域的几率。

【12-12】设粒子的波函数为

t r ,ψ。则*ψψ表示；波函数必须满足；波函数的归一化条件为；德布罗

意波函数与经典波函数的本质区别为。

§12-2 氢原子

【基本内容】

一、氢原子光谱的实验规律

1、氢原子的线状光谱

光谱学家在大量氢原子光谱数据的基础上，得到一些光谱线的经验公式：

紫外线： 4,3,2),1

11(1

22=-==

n n R H λν赖曼系可见光：

5,4,3),1

21(122=-==n n R H λν巴耳未系

6,5,4),1

31(122=-==n n R H λν帕邢系红外线

7,6,5),1

41(122=-==n n R H λν布拉开系

8,7,6),1

51(122=-==n n R H λν普丰特系

其中：

λν1

=称为波数，1

710096776.1-?=m R H 是氢原子的里德堡常数。统写为：)11(

22n k R H -==

2、里兹并合原则

原子的各谱项可表示为两光谱项之差：

)

()(1

n T k T -==

λνk ，n 为正整数。

K 一定，对应着一个谱系，n 一定，对应着谱系中的一条谱线。极限波长：某谱线的最短波长（n →∞）

二、原子核型结构

1、原子模型

原子中的全部正电荷和几乎全部质量集中在远小于原子体积的核中（称为原子核），原子中的电子在核周围绕核运动。

2、经典电磁理论在原子结构问题上的困难：原子系统的稳定性、原子光谱是线状光谱。

三、玻尔理论

1、玻尔理论的三条基本假设

a 定态：原子中存在的一系列能量不连续的状态,处在定态中的电子在相应的轨道上绕核作圆周运动，但不辐射能量;

b 定态跃迁决定谱线能级：m n E E hv -=)(m n >;

c 角动量量子化：电子绕核作圆周运动的角动量L ，只能是h/2π的整数倍。

3,2,1,2==n h

L π

2、氢原子的轨道半径和能级

氢原子的轨道半径：

20n a r n =

00053.0A a =称为氢原子的波耳半径。

氢原子的能级：

,3,2,1,21

n n E E n

eV E 6.131-=叫基态能级。基态：是能量最低的状态（n=1）。

激发态：是能量大于基态的状态（n=2，3，…）。

电离能：把基态电子移到无穷远处所需要的能量。11E E E E -=-=?∞

激发能：由基态被激发到某激发态n 所需要的能量。1E E E n -=? 3、玻尔理论的局限性

玻尔理论对复杂原子的光谱及谱线的强度无法说明，该理论在经典理论的基础上，加上神秘色彩的量子化条件假设，理论系统本身是不自洽的。

四、氢原子量子力学处理

1、氢原子的量子力学解法

势函数：

r e r v 024)(πε-

定态薛定谔方程：0

)4(202

=ψ++ψ?r e E m πε

薛定谔方程的求解结果：

)

()(),,()(φθφθl l m lm nl R r r ΦΘ=ψ=ψ

,2,1,1

)4(2

2204

=n n me E n πε

π2)

1(h

l l L += π2h

m L l

z =

2、描写氢原子微观运动状态（量子态）的四个量子数

氢原子微观运动状态可用能量E 、角动量L ，角动量分量L z 、自旋角动量S 这四个物理量完全确定，每一物理量有一相应的量子数，即四个量子数完全确定氢原子的量子态。

>=ψs l m m l n ,,,|

主量子数n ——能量量子化（大体上确定原子中电子的能量），能量量子化由弗朗克—

—赫兹实验证明。

,2,1,6

.131)2()4(22

2204=-=-=n eV n n me E n πε

角量子数l ——角动量量子化，又称轨道量子化（确定电子轨道角量）描写电子轨道角量，l 的数目为n

1,1,0,)1(-=+=n l l l L

磁量子数l m ——角动量的空间取向量子化（确定轨道角动量在外磁场方向上的分量），

l m 的数目为12+l 。空间量子化由塞曼效应证明。

l m m L l l z ±±±== ,2,1.0,

自旋磁量子数s m ——自旋的空间取向量子化（确定自旋角动量在外磁场方向上的分

量），史特恩——盖拉赫实验证明了电子自旋的存在。

)1(+=s s S ，其中21

s 称自旋量子数。

s z m S =，其中21

,21-=s m 称自旋磁量子数。

【典型例题】

【例12-6】氢原子处于n=3的激发态，则该原子（填能、不能）（填吸

收、发射）一个红外光子。

【解】处于n=3的激发态在氢原子，能发射：E 3→E 1（紫外）、E 3→E 2（可见光）。能吸收：E 3→E 4（E 5、E 6…）（红外）。

【例12-7】要使处于基态的氢原子受激发后能发射赖曼系（由激发态跃迁到基态发射的各谱线组成的谱线系）的最长波长的谱线，至少应向基态氢原子提供的能量是: 【C 】（A ）1.5ｅＶ．（B ）3.4ｅＶ．

（C ）10.2ｅＶ．（D ）13.6ｅＶ．

【分析】最长波长的谱线是由E 2跃迁到E 1能级产生。故至少应向基态氢原子提供能使其跃迁至E 2的能量：ΔE= E 2- E 1=13.6-13.6/4=10.2(eV)

【例12-8】以动能为12.5eV 的电子通过碰撞使氢原子激发，最高能激发到哪一级?当

回到基态时能产生哪些谱线?

【解】设氢原子全部吸收12.5eV 的能量后最高能激发到第n 个能级，则

16.136.13n E E n -

把eV E E n 5.121=-代入上式得

5.31.1/

6.132=?=n n

因为n 只能取整数，所以氢原子最高能激发到n ＝３的能级，当然也能激发到n=2的能

级。于是能产生3条谱线：

n 从3→1 R

R 98

)3111(~2

=-=ν 0

1102689

A R ==

λ n 从2→1

R 43)2

111(~222=-=ν 0

2121634

A R ==λ n 从3→2

R 365)3121(~223

=-=ν

36563536A R ==λ

【例12-9】处于基态的氢原子被外来单色光激发后发出巴尔末线系中只有两条谱线，试求这两条谱线的波长及外来光的频率。

【解】巴尔末线系是由n ＞2的高能级跃迁到m ＝２的能级时发出的谱线，只有两条谱线说明激发后的最高能态是n ＝４的激发态，发出的巴尔末线系的谱线为：H α和H β

E 85.04/6.1324-=-=

eV E 51.13/6.132

3-=-= eV E 4.32/6.1322-=-=

由 m

n E E hc

hv -==

得

)/(m n E E hc -=λ

所以

0236573)/(A E E hc =-=αλ

0244872)/(A E E hc =-=βλ

基态氢原子吸收一个光子νh 后被激发到n=4的能态，所以

λν/14hc E E h =-=

Hz E E 5141008.3/)(?≈-=λν

【例12-10】（1）当n 、l 、m l 一定时；（2）当n 、l 一定时；（3）当n 一定时，可能的量子态有几个？【解】（1）当n 、l 、m l 一定时，m s 取±1/2，故可能的量子态有2个。

（2）当n 、l 、一定时，m s 可能取2个值，m l 可能取（2l+1）个值，故可能的量子态有2（2l+1）个。

（3）当n 一定时，m l 可能取（2l+1）个值，m s 可能取2个值，故可能的量子态有：

2)12(2n

l n l l =+∑-==个。

【例12-11】 n=2的氢原子有哪些可能的量子态？【解】当n=2，l 取值0，1。

当l=0时，m l =0，m s =-1/2，1/2可能的量子态有： |2 0 0 –1/2>，|2 0 0 1/2>。

当l=1时，m l =-1，0，1，m s =-1/2，1/2可能的量子态有： |2 1 -1 –1/2>，|2 1 -1 1/2>。m l =-1 |2 1 0 –1/2>，|2 1 0 1/2>。m l =0 |2 1 1 –1/2>，|2 1 1 –1/2>。m l =1 共有8个可能的量子态。

【例12-12】 3d 的氢原子有哪些可能的量子态？

【解】对3d 态的电子，n=3，l=2，则m l =0，±1，±2。

当m l =-2时：|3 2 -2 –1/2>、|3 2 -2 1/2> 当m l =-1时：|3 2 -1 –1/2>、|3 2 -1 1/2> 当m l =0时：|3 2 0 –1/2>、 |3 2 0 1/2> 当m l =1时：|3 2 1 –1/2>、 |3 2 1 1/2> 当m l =2时：|3 2 2 –1/2>、 |3 2 2 1/2>

【例12-13】氢原子处于第二激发态，求轨道角动量的可能取值有哪些？

【解】处于第二激发态的氢原子，n=3，l=0，1，2，由 )1(+=l l L 得，轨道角动量的可能取值有：

0=L

【分类习题】

【12-13】玻尔理论的三条假设是；量子化定态的内容是；玻尔理论中，两个概念在近代量子理论中，仍然是两个重要的基本概念。

【12-14】按玻尔理论，求氢原子中的电子在4=n 的轨道上运动的动能与1=n 轨道上的动能之比。

【12-15】按玻尔理论，移去处于基态的+

He 中电子所需能量为多少？【12-16】按玻尔理论，求基态氢原子中电子绕核的速率。

【12-17】5=n 状态电子的平均寿命为s 8

10-，求电子在此状态跃迁前绕核运动圈。【12-18】按玻尔理论,计算：

（1）（1）计算氢原子中电子在量子数为n 的轨道上作圆周运动的频率；（2）（2）当该电子跃迁到)1(-n 轨道所发出光子的频率；（3）（3）证明当n 很大时，（1）和（2）的结果近似相等。

【12-19】氢原子中电子由3=n 轨道上被电离，需能量多少eV ？

【12-20】若用加热方法使处于基态的氢原子大量激发，那么最少要使氢原子气体温度升高多少K ？

【12-21】设大量氢原子处于4=n 的激发态，它们跃迁时发出一簇光谱线。这簇光谱线最多有条，其中可见光有条。

【12-22】氢原子巴尔末系中，有一光谱线波长为43400

A 。求（1）这一光谱线的能量为多少电子伏特？（2）该光谱线是由n 态到k 态的跃迁所产生，求n 和k 。

【12-23】用光照方法使处于基态的氢原子电离，可用最长波长为9130

A ，求氢原子由n 态跃迁到基态的赖曼系光谱波长。

【12-24】已知氢光谱某线系极限波长为36470

A ，其中有一光谱线波长为65650

A 。求与该波长相应始态和终态的能级的能量。

【12-25】直接证实电子自旋的最早实验之一是实验；直接证实电子具有波动性的最早实验之一是实验。

【12-26】主量子数4=n 的量子态中，角量子数l 的可能取值为；磁量子数l m 的可能取值为。

【12-27】当主量子数3=n 时，电子角动量的可能取值为。

§12-3原子的壳层结构

【基本内容】

一、泡利不相容原理、能量最小原理

1、泡利不相容原理

在一个原子中，不可能有两个或两个以上的电子处于完全相同的量子态，即在一个原子中，不可能有两个或两个以上的电子具有完全相同的四个量子数。 2、能量最小原理原子处于正常状态时，应处于能量最低的状态。能级的高低由n+0.7l 确定, n+0.7l 越大,能级越高.

二、电子的壳层结构

多电子原子体系中，电子的排布应遵循泡利不相容原理、能量最小原理。 1、壳层：n 相同的电子组成一个壳层。

n=1，2，3，4，…等壳层用K ，L ，M ，N …表示。 2、分壳层（支壳层）：l 相同的电子组成一个壳层。

l =0，1，2， 3，…等壳层用s ，p ，d ，f …表示。

3、原子态的表示：原子中电子体系的状态叫原子态。

10610262622443433221d p d s p s p s s

【典型题例】

【例12-14】处于基态的钠原子，其价电子可能的量子态数为多少？

【分析】钠原子外有11个的电子，n=1层有2个电子，n=2层有8个电子，n=3层有18个可能的量子态。由于处于基态，从而其价电子处于n=3层中能量最低的状态：

（3，0，0，1/2）或（3，0，0，-1/2）。

【分类习题】

【12-28】氩原子)18(=z 基态的电子组态为。【12-29】多电子原子中，电子排列增从原理和原理。【12-30】基态锂原子)3(=z 中，一个电子的量子态为（1，0，0，1/2），写出其余两个电子的组态。

这个世界其实是你想象出来地恐怖地量子力学正彻底颠覆人类地物理世界观

这个世界其实是你想象出来的——恐怖的量子力学正彻底颠覆人类的物理世界观朱清时，中国科学技术大学前校长、中国科学院院士、国务院学位委员会委员、第三世界科学院院士、中国绿色化学的主要倡导者和组织者、南方科技大学创校校长、1994年获海外华人物理学会亚洲成就奖和汤普逊纪念奖。量子力学的诡异现象量子力学也是自然科学史上被实验证明最精确的一个理论，但是量子的观念，没有人能够理解。我说的没有人能够理解，绝不是指像我们这个层次的人，而是说连量子力学的创始人都不能理解。那么量子力学最不好懂的是些什么问题呢？我先把量子力学中人们最不好懂的东西介绍给大家，而最不好懂的东西最后恰好是证明了：意识不能被排除在客观世界之外。一定要把意识加进去你才能够认识搞懂它。 - 1 - 态叠加与坍缩量子力学的第一个诡异现象叫做态叠加原理和坍缩。为了解释量子力学观念，我先说说普通人的日常经验。一般人认为客观物体一定要有一个确定的空间位置，这种存在，是不以人的意志为转移的、是客观的。比如说，我的女儿现在在客厅里面，或者说我的女儿现在不在客厅里面，两者必居其一。

【女儿可以既在又不在客厅里吗？】但在量子力学里就不一样了。量子力学就像说你的女儿既在客厅又不在客厅，你要去看这个女儿在不在，你就实施了观察的动作。你一观察，这个女儿的存在状态就坍缩了，她就从原来的，在客厅又不在客厅的叠加状态，一下子变成在客厅或者不在客厅的唯一的状态了。所以量子力学怪就怪在这儿：你不观察它，它就处于叠加态，也就是一个电子既在A点又不在A点。你一观察，它这种叠加状态就崩溃了，它就真的只在A点或者真的只在B点了，只出现一个。那有人就会说了：这是诡辩，你怎么知道电子不观察它的时候，它既在A点又不在A点呢？好，这就是量子力学发展过程中，很多实验确证的事情，其中一个最著名最重要的实验，就是干涉实验证实。【电子同时在两处】电子在没有观测的时候，没有确定的状态。所以这件事是量子力学最诡异的事情。懂了这个，就懂了量子力学最诡异的东西，而且随后我们就能来证明：量子力学离不开意识，意识是量子力学的基础。 - 2 -单体的叠加态：薛定谔的猫刚才说的是量子力学第一个诡异之点，现在我们来看看这个诡异之点往下推论，能够推出什么结果。最后结果会使大家认识到，意识是量子力学的基础，物质世界和意识不可分开。这个实验是量子力学的

第十三章量子力学基础2作业答案

(薛定谔方程、一维无限深势阱、隧道效应、能量和角动量量子化、电子自旋、多电子原子) 一. 选择题 [ C ]1. （基础训练 10）氢原子中处于2p 状态的电子，描述其量子态的四个量子数(n ，l ，m l ，m s )可能取的值为 (A) (2，2，1，2 1 -)． (B) (2，0，0，21)． (C) (2，1，-1，2 1 -)． (D) (2，0，1，21)． ★提示：2p 电子对应的量子数n = 2; l = 1，只有答案（C ）满足。 [ C ]2. （基础训练11）在激光器中利用光学谐振腔 (A) 可提高激光束的方向性，而不能提高激光束的单色性． (B) 可提高激光束的单色性，而不能提高激光束的方向性． (C) 可同时提高激光束的方向性和单色性. (D) 既不能提高激光束的方向性也不能提高其单色性． [ D ]3. （自测提高7）直接证实了电子自旋存在的最早的实验之一是 (A) 康普顿实验． (B) 卢瑟福实验． (C) 戴维孙－革末实验． (D) 斯特恩－革拉赫实验． [ C ]4. （自测提高9）粒子在外力场中沿x 轴运动，如果它在力场中的势能分布如图19-6所示，对于能量为 E < U 0从左向右运动的粒子，若用 ρ1、ρ2、ρ3分别表示在x < 0，0 < x a 三个区域发现粒子的概率，则有 (A) ρ1 ≠ 0，ρ2 = ρ3 = 0． (B) ρ1 ≠ 0，ρ2 ≠ 0，ρ3 = 0． (C) ρ1 ≠ 0，ρ2 ≠ 0，ρ3 ≠ 0． (D) ρ1 = 0，ρ2 ≠ 0，ρ3 ≠ 0． ★提示：隧道效应。二. 填空题 1. （基础训练17）在主量子数n =2，自旋磁量子数2 1 =s m 的量子态中，能够填充的最大电子数是___4___． ★提示：主量子数n =2的L 壳层上最多可容纳228n =个电子（电子组态为2622s p ），如仅考虑自旋磁量子数2 1 =s m 的量子态，则能够填充的电子数为上述值的一半。图 19-6