专题28 抛 物 而抛物的焦点坐标为
．
故选D ．
考点96 抛物线的几何性质
3．【
2020全国Ⅰ理4】已知A 为抛物线()2
:20C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y
轴的距离为9，则p = （ ）
A ．2
B ．3
C ．6
D ．9
【答案】C
【思路导引】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案． 【解析】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知122
A p AF x =+=，即1292p
=+，解得6p
，故选
C ．
4．（2020·北京）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ） A ．经过点O B ．经过点P C ．平行于直线OP D ．垂直于直线OP
【答案】B
【解析】如图所示，因为线段FQ 的垂直平分线上的点到,F Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，PQ PF =，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P ．
5．【2020天津7】设双曲线C 的方程为22
221(0,0)x y a b a b
-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直
线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为（ ）
22:2(0)C x py p =>(0,),2p |
|
28p p =?=
A ．22
144
x y -=
B ．2
214
y x -=
C ．2
214
x y -=
D ．221x y -=
【答案】D
【解析】由题可知，抛物线的焦点为()1,0，所以直线l 的方程为1y
x b
+=，即直线的斜率为b -， 又双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，所以b b a -=-，1b b a
-?=-，因为0,0a b >>，解得1,1a b ==． 故选D ．
6．【2019全国Ⅱ文】若抛物线y 2=2px （p>0）的焦点是椭圆
22
13x y p p
+=的一个焦点，则p= A ．2 B ．3
C ．4
D ．8
【答案】D
【解析】因为抛物线2
2(0)y px p =>的焦点(,0)2p 是椭圆
2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2
p p p -=，解得8p =，故选D ．
7．(2016全国I 理)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知||AB
=||DE =C 的焦点到准线的距离为
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
B 【解析】由题意，不妨设抛物线方程为2
2(0)y px p =>，由||AB =，
||25DE =，可取4(,22)A p ，(,5)2
p
D -，设O 为坐标原点，
由||||OA OD =，得2
216854
p p +=
+，得4p =，所以选B ． 8．【2016四川文科】抛物线2
4y x =的焦点坐标是( ) (A)(0，2) (B) (0，1) (C) (2，0) (D) (1，0) 【答案】D
【解析】由题意，2
4y x =的焦点坐标为(1,0)，故选D ．
9．(2016四川理)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线2
2(0)y px p =>上任意一点，M 是线段PF
上的点，且PM =2MF ，则直线OM 的斜率的最大值为
A ．
3
B ．2
3
C
．2 D ．1 C 【解析】设()
()22,2,,P pt pt M x y （不妨设0t >），则22,22p FP pt pt ?
?
=-
???
，∵13FM FP =，∴22,2362,3p p p x t pt y ?-=-???
?=??，∴22,33
2,3p p x t pt y ?
=+????=??∴22112122OM t k t t t ==≤=++，∴max ()2OM k =，故选C ．
10．（2015陕西文）已知抛物线2
2y px =(0p >)的准线经过点(1,1)-，则该抛物线的焦点坐标为 A ．(－1，0) B ．(1，0) C ．(0，－1) D ．(0，1) 【答案】B 【解析】因为抛物线的准线方程为12
p
x =-
=-，∴2p =，∴焦点坐标为(1,0)，故选B ． 11．（2013新课标1文理）为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，
则的面积为 A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C 【解析】∵2OF =，由抛物线的定义可得P 点的坐标()
32,26±，
∴的面积为
11
22
P OF y ==． 12．（2015陕西理）若抛物线2
2(0)y px p =>的准线经过双曲线22
1x y -=的一个焦点，则p = ．
【答案】2
2y px 的准线方程为2p x =-
，又0p ，所以2
p x =-必经过双曲线22
1x y -=的左焦点(0)，所以2
p
-
=p = 13．（2014湖南文理）如图，正方形的边长分别为，原点为的中点，抛物线经过 ． O F 2:C y =P C ||PF =POF ?24POF ?ABCD DEFG 和正方形,()a b a b 2(0)y px p =>,b C F a =两点，则 【答案】1BC= CD ，结合抛物线的定义得点D 为抛物线的焦点，所以 ||AD p a ==，D (,0)2p (,)2p F b b +，将点F 的坐标代入抛物线的方程得222()22 p b p b a ab =+=+，变 形得22()10b b a a --=， 解得1b a = 1b a = ，所以1b a = 14．（2013北京文理）若抛物线的焦点坐标为，则 ，准线方程为 ． 【答案】2，1x =-【解析】 1,22p p ==；准线12 p x =-=-． 15．（2012陕西文理）右图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米 后，水面宽 米． 【答案】【解析】建立直角坐标系，使拱桥的顶点O 的坐标为（0，0），设抛物线的方程为2 2x py =-， 与抛物线的交点为A 、B ，根据题意知A （–2，–2），B （2，–2），则有，∴， ∴抛物线的解析式为，水位下降1米，则y=–3，此时有或，∴此时水面宽为米． 考点97 直线与抛物线的位置关系 16．（2020全国Ⅲ文7理5）设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线()2:20C y px p =>交于,D E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为 （ ） A ．1,04?? ??? B ．1,02?? ??? C ．()1,0 D ．()2,0 【答案】B 2 2y px =(1,0)p =l 62l ()222-?=-a 2 1-=a 2 2 1x y -=6=x 6-=x 6 2 【解析】解法一：∵直线2x =与抛物线2 2(0)y px p =>交于,C D 两点，且OD OE ⊥，根据抛物线的对称性可以确定4 DOx COx π ∠=∠= ，∴(2,2)C ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，∴其焦点坐标为 1 (,0)2 ，故选B ． 解法二：将2=x 代入)0(22 >=p px y 得p y 2±=．由OD ⊥OE 得1-=?OE OD k k ，即 12222-=-?p p ，得1=p ，∴抛物线x y C 2:2=的焦点坐标为)0,2 1 (F ，故选B ． 17．（2018全国Ⅰ理8）设抛物线x y C 4:2=的焦点为F ，过点()2,0-且斜率为3 2 的直线与C 交于,M N 两点，则FM FN ?= （ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【答案】D 【解析】根据题意，过点()2,0-且斜率为23的直线方程为()223y x =+，与抛物线方程联立()2 2 2, 34y x y x ?=+???=?， 消元整理得：2 680y y -+=，解得()()1,2,4,4M N ，又()()()1,0,0,2,3,4F FM FN ∴==，从而可以求得 8FM FN ?=，故选D ． 18．（2017新课标Ⅰ理）已知F 为抛物线C ：2 4y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则||||AB DE +的最小值为（ ） A ．16 B ．14 C ．12 D ．10 【答案】A 【解析】由已知1l 垂直于x 轴是不符合题意，所以1l 的斜率存在设为1k ，2l 的斜率为2k ，由题意有121k k ?=-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)D x y ，44(,)E x y 此时直线1l 方程为1(1)y k x =-， 取方程214(1)y x y k x ?=?=-?，得2222111240k x k x x k --+=， ∴21122124k x x k --+=-212 124 k k += 同理得 22342 2 24 k x x k ++= 由抛物线定义可知1234||||2AB DE x x x x p +=++++ 22 122222121224244448816k k k k k k ++=++=++=≥ 当且仅当121k k =-=（或1-）时，取得等号． 19．（2017全国Ⅱ文）过抛物线2:4C y x =的焦点F ，且斜率为 3的直线交C 于点M （M 在x 的轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥，则M 到直线NF 的距离为 A B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由题知:1)MF y x = -，与抛物线24y x =联立得231030x x -+=，解得121 ,33 x x ==， 所以(3,M ，因为MN l ⊥，所以(1,N -，因为(1,0)F ，所以:1)NF y x =-． 所以M 到直线NF =C ． 20．（2015浙江理）如图，设抛物线2 4y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点,,A B C ，其中点,A B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ?与ACF ?的面积之比是 A ． 11 BF AF -- B ． 2 2 11 BF AF -- C ． 11 BF AF ++ D ． 2 2 11 BF AF ++ 【答案】A 【解析】如图， ，故选A ． 1 1 --===??AF BF x x AC BC S S A B ACF BCF 21．（2015四川文理）设直线l 与抛物线24y x =相交于,A B 两点，与圆222 (5)(0)x y r r -+=>相切于点 M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是 A ．()13， B ．()14， C ．()23， D ．()24， 【答案】D 【解析】当直线l 的斜率不存在时，这样的直线l 恰好有2条，即5x r =±，所以05r <<；所以当直线l 的斜率存在时，这样的直线l 有2条即可．设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 00(,)M x y ，则12012022x x x y y y +=??+=?．又211222 44y x y x ?=?=?， 两式相减得121212()()4()y y y y x x +-=-，1212120 42 AB y y k x x y y y -= ==-+． 设圆心为(5,0)C ，则 05 CM y k x = -，因为直线l 与圆相切， 所以 0002 15 y y x ?=--，解得03x ，于是2204y r =-，2r ，又2004y x <， 即2412r -<，所以04r ，又05r ，2r 所以24r <<，故选D ． 22．（2014新课标1文理）已知抛物线C ：2 8y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与 C 的一个交点，若4FP FQ =，则||QF = A ． 72 B ．5 2 C ．3 D ．2 【答案】C 【解析】过点Q 作QQ l '⊥交l 于点Q '，因为4PF FQ =，所以||:||3:4PQ PF =，又焦点F 到准线l 的距离为4，所以||||3QF QQ '==．故选C ． 23．（2014新课标2文理）设F 为抛物线C ：23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于,A B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为 A B C ．6332 D ．94 【答案】D 【解析】易知抛物线中32p = ，焦点3 (,0)4 F ，直线AB 的斜率k =，故直线AB 的方程为 3)4y x = -，代入抛物线方程23y x =，整理得2219 0216 x x -+=． 设1122(,),(,)A x y B x y ，则1221 2 x x += ，由物线的定义可得弦长 12||12AB x x p =++=，结合图象可得O 到直线AB 的距离3sin 3028 p d = =， 所以OAB ?的面积19 ||24 S AB d = ?=． 24．（2014辽宁文理）已知点(2,3)A -在抛物线C ：2 2y px =的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ） A ． 12 B ．23 C ．34 D ．4 3 25．（2013江西文理）已知点()2,0A ，抛物线2 :4C x y =的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则||:||FM MN = A ．2 B ．1：2 C ．1： D ．1：3 【答案】C 【解析】依题意可得AF 所在直线方程为代入x 2=4y 得， 又|FM|：|MN|=（1-y ）：（1+y ）＝1：√5 ． 26．（2011新课标文理）已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点， ||12AB =，P 为C 的准线上一点，则ABP ?的面积为 A ．18 B ．24 C ．36 D ．48 【答案】C 【解析】设抛物线的方程为2 2y px =，易知||212AB p ==，即6p =， ∵点P 在准线上，∴P 到AB 的距离为6p =，所以ABP ?面积为36，故选C ． 27．（2020山东）C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________． 【答案】 16 3 【解析】∵抛物线的方程为2 4y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ， 又∵直线AB 过焦点F AB 的方程为：1)y x =-， 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=， 12 x y +=32y = 解法一：解得121,33x x = =，所以12116||||3|33 AB x x =-=-=． 解法二：10036640?=-=>，设1122(,),(,)A x y B x y ，则1210 3 x x +=， 过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示． 12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2= 3 x x =+． 28．【2020山东13】2:4C y x =的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =__________． 【答案】 16 3 【解析】由题抛物线 2:4C y x =， 可知其焦点为(1,0)F ，准线为:1l x =-，如图所示．作AA l '⊥，BB l '⊥，直线AB 准线交于点H ，由 AB k =60θ=，∴30A HA '∠=， 由抛物线定义知：||||AA AF '=，||||BB BF '=， 又∵||2||AH AA '=，∴F 为AH 中点，∵||2MF =，∴||||4HF AF ==， ∵1||||||2BB BF HB '== ，∴3||4BF =，∴4||3BF =，∴416 ||||||433 AB AF BF =+=+=． 29．【2019北京文】设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ．则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________． 【答案】2 2 (1)4x y -+= 【解析】抛物线y 2=4x 中，2p=4，p=2，焦点F （1，0），准线l 的方程为x=?1， 以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为(x?1)2+y 2=22，即为2 2 (1)4x y -+=． 30．【2018全国3理16】已知点()11M -,和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ， B 两点．若90AMB =?∠，则k =________． 【答案】2 【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，则2 112 2244,, y x y x ?==????22 121244y y x x -=-∴，1212124y y k x x y y -==-+∴． 取AB 中点00(,)M x y '，分别过点A ,B 作准线1x =-的垂线，垂足分别为,A B ''． 90AMB ∠=?，()()111 222 MM AB AF BF AA BB '''∴= =+=+． M '为中点AB ，MM ∴'平行于x 轴． ()01211,2,2,1,y y y M k =∴+=-∴∴=，故答案为2． 31．【2018北京文】已知直线l 过点（1，0）且垂直于x 轴，若l 被抛物线2 4y ax =截得的线段长为4，则 抛物线的焦点坐标为_________． 【答案】()1,0 【解析】由题意可得，点()1,2P 在抛物线上，将()1,2P 代入2 4y ax =中，解得1a =，2 4y x ∴=，由抛 物线方程可得：24,2, 1 2 p p p ===，∴焦点坐标为()1,0． 32．（2017新课标Ⅱ理）已知F 是抛物线C ：2 8y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点 N ．若M 为FN 的中点，则||FN = ． 【答案】6【解析】如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点F'，作MB l ⊥与点B ，NA l ⊥与点A ，由抛物线的解析式可得准线方程为2x =-，则2,4AN FF'==，在直角梯形ANFF'中，中位线' 32 AN FF BM += =，由抛物线的定义有：3MF MB ==，结合题意，有3MN MF ==， 故336FN FM NM =+=+=． 33．【2019全国Ⅰ理】已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ． （1）若|AF|+|BF|=4，求l 的方程； （2）若，求|AB|． 【答案】（1）3728y x = -；（2 【解析】设直线()()11223 :,,,,2 l y x t A x y B x y =+． （1）由题设得3,04F ?? ??? ，故123||||2AF BF x x +=++，由题设可得1252x x +=． 由232 3y x t y x ? =+???=?，可得22 912(1)40x t x t +-+=，则1212(1)9t x x -+=-． 从而12(1)592t -- =，得78t =-．所以l 的方程为37 28 y x =-． （2）由3AP PB =可得123y y =-． 由232 3y x t y x ?=+???=?，可得2220y y t -+=．所以122y y +=．从而2232y y -+=，故211,3y y =-=． 3 2 3AP PB = 代入C 的方程得1213,3 x x == ，故||AB =． 34．【2018全国I 文20】（本小题满分12分） 设抛物线2 :2C y x =，点()()2,0,2,0A B -，过点A 的直线l 与C 交于,M N 两点． （1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN ∠=∠． 【解析】【基本解法1】（1）当x l ⊥轴时，直线2:=x l 带入抛物线方程得： 2±=y 解得点M ()2,2或M ()2,2-，212202=+-= ∴BM k 或2 1 2202-=+--=BM k ， 所以直线BM 得方程为：()112122y x x =-=-或()11 2122 y x x =--=-+． （2）当斜率不存在时，M N ,关于x 轴对称，ABM ABN ∴∠=∠． 当斜率存在时，可设直线方程为)2(:-=x k y l ，()22222 2, (42)402, y k x k x k x k y x ?=-∴-++=? =?． 设点),(),,(2211y x N y x M 则：4,2 4212221=+=+x x k k x x ， 0) 2)(2(8 22221212211=++-=+++= +x x x x k x y x y k k NB MB ，NB MB k k -=∴，ABN ABM ∠=∠∴． 35．（2018全国II 文20理19）（本小题满分12分） 设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 且斜率为()0k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点．8AB =． （1）求l 的方程； （2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． 【解析】（1）由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->． 设1221(,),(,)A y x y x B ，由()21,4, y k x y x ?=-??=??得2222 (24)0k x k x k -++=． 216160k ?=+>，故122224k x k x ++=．()()12 22 44 11k AB AF x F x B k +∴=+=+++=． 由题设知22 44 8k k +=，解得1k =-（舍去），1k =．因此l 的方程为1y x =-． （2）由（1）得AB 的中点坐标为(3,2)，AB ∴的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+． 设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则0022 0005, (1)(1)16.2 y x y x x =-+???-++= +??解得003,2x y =??=?或0011,6.x y =??=-? 因此所求圆的方程为()()2 2 3216x y -+-=或()()2 2 116144x y -++=． 36．（2017新课标Ⅰ文）设A ，B 为曲线C ：2 4 x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4． (1)求直线AB 的斜率； (2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM BM ⊥，求直线AB 的方程． 【解析】（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12x x ≠，2114x y =，2 224 x y =，x 1+x 2=4， 于是直线AB 的斜率1212 1214 y y x x k x x -+===-． （2）由24x y =，得2 x y'=． 设33(,)M x y ，由题设知312 x =，解得32x =，于是(2,1)M ． 设直线AB 的方程为y x m =+，故线段AB 的中点为(2,2)N m +，|||1|MN m =+． 将y x m =+代入2 4 x y =得2440x x m --=． 当16(1)0m ?=+>，即1m >- 时，1,22x =± 12||AB x x -= 由题设知||2||AB MN = ，即2(1)m =+，解得7m =，所以直线AB 的方程为7y x =+． 37．（2017新课标Ⅲ理）已知抛物线C ：2 2y x =，过点(2,0)的直线l 交C 与A ，B 两点，圆M 是以线段 AB 为直径的圆． (1)证明：坐标原点O 在圆M 上； (2)设圆M 过点(4,2)P -，求直线l 与圆M 的方程． 【解析】（1）设()A x ,y 11，()B x ,y 22，l ：2x ym =+ 由222x my y x =+??=?可得y my --=2240，则y y =-124 又y x 211=2，y x 2 22=2，故()y y x x 2 1212= 4 =4 因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为y y x x ?1212-4 ==-14 ，所以OA OB ⊥． 故坐标原点O 在圆M 上． （2）由（1）可得y y m 12+=2，()x x m y y m +2 1212+=++4=24 故圆心M 的坐标为( ) m m 2 +2，，圆M 的半径 r =由于圆M 过点(4,2)P -，因此0AP BP =， 故()()()()121244++2+2=0x x y y -- 即()()x x x x y y y y -++++=121212124+2200 由（1）可得y y 12=-4，x x 12=4． 所以2m m --=2 10，解得m =1或m =- 12 ． 当1m =时，直线l 的方程为20x y --=，圆心M 的坐标为(3,1) ，圆M M 的方程为 ()() x y -+-=22 3110 当12m =- 时，直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为91 (,)42 -，圆M ，圆M 的 方程为229 185()()4 2 16 x y -++= ． 38．（2017北京理）已知抛物线C ：2 2y px =过点(1,1)P ．过点1(0,)2 作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点． （Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）求证：A 为线段BM 的中点． 【解析】（Ⅰ）由抛物线C ：22y px =过点(1,1)P ，得1 2 p = ．所以抛物线C 的方程为2y x =． 抛物线C 的焦点坐标为1(,0)4 ，准线方程为1 4x =-． （Ⅱ）当直线MN 的斜率不存在或斜率为0时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线MN 的斜率存在且不为0． 设1 (0,)2 为点Q ，过Q 的直线MN 方程为1 2 y kx =+ （0k ≠），设11(,)M x y ，22(,)N x y ，显然，1x ，2x 均 不为0． 由212y kx y x ? =+???=? ， 得224(44)10k x k x +-+=．考虑221(1)4124k k k ?=--??=-，由题意0?>，所以12k <． 则122 1k x x k -+=，① 122 1 4x x k = ． ② 由题意可得A ，B 横坐标相等且同为1x ， 因为点P 的坐标为(1,1)，所以直线OP 的方程为y x =，点A 的坐标为11(,)x x ． 直线ON 的方程为22y y x x = ，点B 的坐标为2112 (,)y x x x ． 若要证明A 为BM 的中点，只需证2A B M y y y =+，即证12 112 2x y y x x +=， 即证1221122x y x y x x +=， 将11221212 y kx y kx ? =+????=+??代入上式， 即证2112121 1()()222 kx x kx x x x +++=， 即证12121 (22)()02 k x x x x -+ +=③ 将①②代入③得2211(22)042k k k k --+=，化简有2 211022k k k k --+=恒成立， 所以2A B M y y y =+恒成立． 故A 为线段BM 的中点． 39．（2015浙江文）如图，已知抛物线1C ：2 14 y x = ，圆2C ：22(1)1x y +-=，过点(,0)(>0)P t t 作不过原点O 的直线PA ，PB 分别与抛物线1C 和圆2C 相切，,A B 为切点． （Ⅰ）求点,A B 的坐标； （Ⅱ）求PAB ?的面积． 注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共点为切点． 【解析】（Ⅰ）由题意可知，直线PA 的斜率存在，故可设直线PA 的方程为()y k x t =-． 所以()2 14 y k x t y x ?=-??=??消去y ．整理得：2440x kx kt -+=． 因为直线PA 与抛物线相切，所以2Δ16160k kt =-=，解得k t =． 所以2x t =，即点2 (2,)A t t ．设圆2C 的圆心为(0,1)D ， 点B 的坐标为00(,)x y ，由题意知，点,B O 关于直线PD 对称， 故有0 00 01220y x t x t y ?=-+? ??-=?，解得．即点． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，， 直线AP 的方程为， 所以点B 到直线PA 的距离为 所以的面积为． 40．（2015福建文）已知点F 为抛物线:E 2 2y px =（0p >）的焦点，点()2,m A 在抛物线E 上，且3ΑF =． 2002222,11t t x y t t ==++222 22(,)11t t B t t ++AP =2 0tx y t --=2d = PAB ?3 122 t S AP d =?= （Ⅰ）求抛物线E 的方程； （Ⅱ）已知点()1,0G -，延长ΑF 交抛物线E 于点Β，证明：以点F 为圆心且与直线G Α相切的圆，必与直线G Β相切． 【解析】解法一：（Ⅰ）由抛物线的定义得||22 p AF ． 因为||3AF ，即，解得， 所以抛物线E 的方程为． （Ⅱ）因为点在抛物线上， 所以，由抛物线的对称性，不妨设． 由，可得直线的方程为． 由，得， 解得或，从而． 又， 232 p + =2p =2 4y x =()2,m A :E 2 4y x =m = ±( A (A ()F 1,0F A )1y x = -)214y x y x ?=-??=??22520x x -+= 2x =12x =1,2?B ?()G 1,0- 所以，， 所以，从而AGF BGF ∠=∠，这表明点F 到直线,GA GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切． 解法二：（Ⅰ）同解法一． （Ⅱ）设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为． 因为点(2,)A m 在抛物线E ：上， 所以，由抛物线的对称性，不妨设． 由，可得直线的方程为． 由，得， 解得或 ，从而1 (,2 B ． 又(1,0)G -，故直线的方程为， 从而． 又直线GB 的方程为，所以点F 到直线GB 的距离． 这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切． 41．（2014陕西文理）如图，曲线C 由上半椭圆22 122:1(0,0)y x C a b y a b +=>>≥ 和部分抛物线 ( )G 0213k A = =- -( )G 01312 k B ==---G G 0k k A B +=r 2 4y x = m = ±(A (A ()F 1,0F A ) 1y x =-)214y x y x ?=-??=??22520x x -+=2x = 12x = G A 30y -+ = r = = 30y ++ =d r == = 22:1(0)C y x y =-+≤连接而成，12,C C 的公共点为,A B ，其中1C （Ⅰ）求,a b 的值； （Ⅱ）过点B 的直线l 与12,C C 分别交于,P Q （均异于点,A B ），若AP AQ ⊥ ，求直线l 的方程． 【解析】（Ⅰ）在1C ，2C 方程中，令0y =，可得b=1，且得(1,0),(1,0)A B -是上半椭圆1C 的左右顶点， 设1C 的半焦距为c ，由 2 c a =及2221a c b -==，解得2a =，所以2a =，1b = （Ⅱ）由（Ⅰ）知，上半椭圆1C 的方程为2 21(0)4 y x y +=≥， 易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为(1)(0)y k x k =-≠ 代入1C 的方程中，整理得：2 2 2 2 (4)240k x k x k +-+-= （*） 设点P 的坐标(,)P P x y ，由韦达定理得2 224P B k x x k +=+ 又(1,0)B ，得2244P k x k -=+，从而求得284P k y k -=+ 所以点P 的坐标为22 248(,)44 k k k k --++． 同理由2(1)(0)1(0)y k x k y x y =-≠?? =-+≤? 得点Q 的坐标为2 (1,2)k k k ----，2 2(,4)4k AP k k ∴=+，(1,2)AQ k k =-+， AP AQ ⊥，0AP AQ ∴?=，即2 2 2[4(2)]04 k k k k --+=+， 0k ≠，4(2)0k k ∴-+=， 解得83k =-，经检验，83k =-符合题意，故直线l 的方程为8 (1)3 y x =--． 42．（2012新课标文理）设抛物线C ：)0(22 >=p py x 的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B 、D 点． （Ⅰ）若o BFD 90=∠，ABD ?的面积为24，求p 的值及圆F 的方程； （Ⅱ）若A 、B 、F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m 、 n 距离的比值． 【解析】（Ⅰ）由对称性知：BFD ?是等腰直角?，斜边2BD p =， 点A 到准线l 的距离d FA FB === ，1 22 ABD S BD d p ?=???=?= ， 圆F 的方程为2 2 (1)8x y +-=． （Ⅱ）由对称性设2 000(,)(0)2x A x x p >，则(0,)2 p F ， 点,A B 关于点F 对称得：222 20000(,)3222 x x p B x p p x p p p --?-=-?=， 得：3,)2p A ，直线3:02p p p m y x x - =+?-=， 22 22x x x py y y x p p p '=?=?==?=? 切点)6p P ， 直线:)06336 p n y x x p - =-?-=， 坐标原点到,m n 3=．
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