洞口四中高三第一次月考文科数学试题
(时间：120分钟；满分：150分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填在答卷上)
1．函数y ＝log 2x －2的定义域是( )
A ．(3，＋∞)
B ．[3，＋∞)
C ．(4，＋∞)
D ．[4，＋∞)
2．设集合A ＝{(x ，y ) | 22
134
x y +=}，B ＝{(x ，y )|y ＝2x }，则A ∩B 的子集的个数是( ) A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
3．已知全集I ＝R ，若函数f (x )＝x 2
－3x ＋2，集合M ＝{x |f (x )≤0}，N ＝{x |()f x '<0}，
则M ∩?I N ＝( )
A ．[32，2]
B ．[3
2，2)
C ．(32，2]
D ．(3
2
，2)
4．设f (x )是R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝2x
＋x ，则当x <0时，f (x )＝( )
A ．－(－12)x －x
B ．－(12)x
＋x
C ．－2x －x
D ．－2x
＋x
5．下列命题①?x ∈R ，x 2≥x ；②?x ∈R ，x 2≥x ；③4≥3；④“x 2
≠1”的充要条件是“x ≠1或x ≠－1”．
其中正确命题的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
6． 已知下图（1）中的图像对应的函数为，则下图（2）中的图像对应的函数在下列给出的四个式子中，只可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．在用二分法求方程x 3
－2x －1＝0的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该根所在的区间为( )
A ．(1.4,2)
B ．(1.1,4)
C ．(1，32)
D ．(3
2
，2)
8．点M (a ，b )在函数y ＝1
x
的图象上，点N 与点M 关于y 轴对称且在直线x －y ＋3＝0上，
则函数f (x )＝abx 2
＋(a ＋b )x －1在区间[－2,2)上( )
A ．既没有最大值也没有最小值
B ．最小值为－3，无最大值
()x f y =()
x f y =()x f y =()x f y -=()
x f y -=
C ．最小值为－3，最大值为9
D ．最小值为－13
4，无最大值
二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分．请把正确答案填在答卷对应的横线上) 9．若全集U ＝R ，A ＝{x ∈N |1≤x ≤10}， B ＝{x ∈R |x 2＋x －6＝0}，
则如图中阴影部分表示的集合为________．
10．若lg a ＋lg b ＝0(a ≠1)，则函数f (x )＝a x 与g (x )＝－b x
的图象关于________对称．
11．设n N +∈,一元二次方程有正数根的充要条件是= .
12．若函数f (x )在定义域R 内可导，f (2＋x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，2)时，(x －2)()f x '>0.设a ＝f (1)，52b f ??
=
???
，c ＝f (4)，则a,b,c 的大小为 . 13.已知函数()2x
f x e x a =-+有零点，则的取值范围是___________．
14、已知2
:,cos ;:,10p x R x m q x R x mx ?∈>?∈++<。若q p ∨为真，q p ∧为假，则实数m 的取值范围是 。
15．给出定义：若m －12 2 (其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x } ＝m .在此基础上给出下列关于函数f (x )＝|x －{x }|的四个命题： ①函数y ＝f (x )的定义域为R ，值域为[0，1 2]； ②函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝k 2 (k ∈Z )对称； ③函数y ＝f (x )是周期函数，最小正周期为1； ④函数y ＝f (x )在[－12，1 2 ]上是增函数． 其中正确的命题的序号是________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)设集合A ＝{x |x 2 ＜4}，B ＝{x |1＜4x ＋3 }． (1)求集合A ∩B ； (2)若不等式2x 2 ＋ax ＋b ＜0的解集为B ，求a ，b 的值． 2 40x x n -+=n a 17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝kx3－3(k＋1)x2－2k2＋4，若f(x)的单调减区间为(0,4)． (1)求k的值； (2)对任意的t∈[－1,1]，关于x的方程2x2＋5x＋a＝f(t)总有实根，求实数a的取值范围． 18．(本小题满分12分) 已知函数f(x)＝log3(ax＋b)的部分图象如图所示． (1)求f(x)的解析式与定义域； (2)函数f(x)能否由y＝log3x的图象平移变换得到； (3)求f(x)在[4,6]上的最大值、最小值． 19.(本小题满分12分)已知以函数f(x)＝mx3－x的图象上一点N(1，n)为切点的切线倾斜角 为π4 . (1)求m、n的值； (2)是否存在最小的正整数k，使得不等式f(x)≤k－1995，对于x∈[－1,3]恒成立？若存在，求出最小的正整数k，否则请说明理由． 20．(本小题满分12分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20200x ≤≤时，车流速度是车流密度的一次函数． （Ⅰ）当0200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式； （Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()f x x v x =?可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时） 21．(本小题满分15分)已知函数f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，a ∈R . (1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )相交，且在交点处有相同的切线，求a 的值及该切线的方程； (2)设函数h (x )＝f (x )－g (x )，当h (x )存在最小值时，求其最小值φ(a )的解析式； (3)对(2)中的φ(a )，证明：当a ∈(0，＋∞)时，φ(a )≤1. 参考答案 v x x 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．) 1．【解析】选D.y ＝log 2x －2的定义域满足? ?? ?? log 2x －2≥0， x >0，解这个不等式得x ≥4. 2．【解析】 选D.集合A 中的元素是焦点在y 轴上的椭圆上的所有点，集合B 中的元素是指数函数y ＝2x 图象上的所有点，作图可知A ∩B 中有两个元素，∴A ∩B 的子集的个数是22 ＝4个，故选D. 3．【解析】选A.由f (x )≤0解得1≤x ≤2，故M ＝[1,2]；()f x '<0，即2x －3<0，即x <3 2 ， 故N ＝(－∞，32)，?I N ＝[32，＋∞)．故M ∩?I N ＝[3 2 ，2]． 4．【解析】选B.当x <0时，则－x >0， ∴f (－x )＝2－x －x .又f (x )为奇函数， ∴f (x )＝－f (－x )＝－(12)x ＋x .故选B. 5．【解析】选C.①当x ＝12 时，x 2 ②解x 2 ≥x 得x ≤0或x ≥1，故该命题正确； ③为真命题； ④“x 2 ≠1”的充要条件是“x ≠1且x ≠－1”． 6．选D 7．【解析】选D.令f (x )＝x 3 －2x －1， 则f (1)＝－2<0，f (2)＝3>0，f (32)＝－5 8<0. 故下一步可断定该根所在区间为(3 2，2)． 8．【解析】选D.由已知b ＝1 a ，即ab ＝1， 又N 点(－a ，b )在x －y ＋3＝0上， ∴－a －b ＋3＝0，即a ＋b ＝3. ∴f (x )＝abx 2＋(a ＋b )x －1＝x 2 ＋3x －1＝(x ＋32)2－134. 又x ∈[－2,2)，由图象知：f (x )min ＝－13 4 ，但无最大值． 二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分．) 9．【解析】∵A ＝{1,2,3,4,5，…，10}， B ＝{－3,2}，∴A ∩B ＝{2}． 即阴影部分表示的集合为{2}． 【答案】{2} 10．【解析】由lg a ＋lg b ＝0?ab ＝1?b ＝1a ，所以g (x )＝－a －x ，故f (x )与g (x )关于原点 对称． 【答案】原点 11【答案】3或4 12．【解析】选D.由f (2＋x )＝f (2－x )可得函数f (x )的对称轴为x ＝2，故a ＝f (1)＝f (3)， c ＝f (4),52b f ?? = ??? ． 又由x ∈(－∞，2)时，(x －2)f ′(x )>0，可知f ′(x )<0，即f (x )在(－∞，2)上是减函数，所以f (x )在(2，+∞)上是增函数于是f (4)>f (3)>f (5 2 )，即c >a >b .故选D. 13．【答案】(],2ln 22-∞- 14．【答案】21, 2.m m -≤<->或 15．【解析】①由定义知：－12 ， ∴0≤|x －{x }|≤1 2 ∴f (x )的值域为[0，1 2 ]， ∴①对，②对，③对，④错． 【答案】①②③ 三、解答题(本大题共6小题，共70分) 16．(本小题满分12分) 【解】(1)A ＝{x |x 2 ＜4}＝{x |－2＜x ＜2}， B ＝{x |1＜4x ＋3}＝{x |x －1 x ＋3 ＜0} ＝{x |－3＜x ＜1}， A ∩B ＝{x |－2＜x ＜1}． (2)因为2x 2 ＋ax ＋b ＜0的解集为B ＝{x |－3＜x ＜1}， 所以－3和1为2x 2 ＋ax ＋b ＝0的两根． 故????? －a 2＝－3＋1b 2＝－3×1 ，所以a ＝4，b ＝－6. 17．(本小题满分12分) 【解】(1)f ′(x )＝3kx 2 －6(k ＋1)x ， 又∵f ′(4)＝0，∴k ＝1. (2)由(1)得f (x )＝x 3－6x 2 ＋2， ∴f ′(t )＝3t 2 －12t . ∵当－1 ∵2x 2 ＋5x ＋a ≥8a －258 ， ∴8a －258≤－5，解得a ≤－158. 18．(本小题满分12分) 【解】(1)由图象中A 、B 两点坐标得????? 2a ＋b ＝35a ＋b ＝9，解得? ??? ? a ＝2 b ＝－1.故f (x )＝log 3(2x －1)，定义域为(1 2 ，＋∞)． (2)可以．由f (x )＝log 3(2x －1)＝log 3[2(x －1 2 )] ＝log 3(x －1 2 )＋log 32， ∴f (x )的图象是由y ＝log 3x 的图象向右平移1 2 个单位，再向上平移log 32个单位得到的． (3)最大值为f (6)＝log 311，最小值为f (4)＝log 37. 19．(本小题满分12分) 【解】(1)f ′(x )＝3mx 2 －1， f ′(1)＝tan π 4 ＝1， ∴3m －1＝1，∴m ＝2 3. 从而由f (1)＝23－1＝n ，得n ＝－1 3 ， ∴m ＝23，n ＝－13. (2)存在． f ′(x )＝2x 2－1＝2(x ＋22)(x －2 2)， 令f ′(x )＝0得x ＝± 22 . 在[－1,3]中，当x ∈[－1，－ 2 2 ]时， f ′(x )＞0，f (x )为增函数， 当x ∈[－ 22，2 2 ]时， f ′(x )＜0，f (x )为减函数， 此时f (x )在x ＝－2 2时取得极大值． 当x ∈[ 2 2 ，3]时， 此时f ′(x )＞0，f (x )为增函数， 比较f (－2 2 )，f (3)知f (x )max ＝f (3)＝15. ∴由f (x )≤k －1995，知15≤k －1995， ∴k ≥，即存在最小的正整数k ＝， 使不等式在x ∈[－1,3]上恒成立． 20．(本小题满分12分)本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力. 解析：（Ⅰ）由题意：当020x ≤≤时，()60v x =；当20200x ≤≤时，设()v x ax b =+， 显然()v x ax b =+在[]20,200是减函数，由已知得2000,2060a b a b +=??+=?，解得13 200,3a b ? =-??? ?=?? 故函数()v x 的表达式为()v x =()60, 0201200,20200,3 x x x ≤ ?-≤≤?? （Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得()()60, 0201200,20200,3 x x f x x x x ≤ =?-≤≤?? 当020x ≤≤时，()f x 为增函数，故当20x =时，其最大值为60201200?=； 当20200x <≤时，()()()2 2001110000 2003323x x f x x x +-??=-≤= ???? ， 当且仅当200x x =-，即100x =时，等号成立． 所以，当100x =时，()f x 在区间[]20,200上取得最大值 10000 3． 综上，当100x =时，()f x 在区间[]0,200上取得最大值10000 3333.3 ≈， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时． 21．(本小题满分15分) 【解】(1)f ′(x )＝12x ，g ′(x )＝a x (x >0)， 由已知得? ??? ? x ＝a ln x ， 12x ＝a x ，解得????? a ＝e 2 ， x ＝e 2， ∴两条曲线交点的坐标为(e 2，e)．切线的斜率为k ＝f ′(e 2 )＝12e ， ∴切线的方程为y －e ＝12e (x －e 2 )． (2)由条件知h (x )＝x －a ln x (x >0)， ∴h ′(x )＝12x －a x ＝x －2a 2x ， ①当a >0时，令h ′(x )＝0，解得x ＝4a 2 . ∴当0 )上单调递减； 当x >4a 2时，h ′(x )>0，h (x )在(4a 2 ，＋∞)上单调递增． ∴x ＝4a 2 是h (x )在(0，＋∞)上的惟一极值点，且是极小值点，从而也是h (x )的最小值点． ∴最小值φ(a )＝h (4a 2)＝2a －a ln(4a 2 )＝2a [1－ln (2a )]． ②当a ≤0时，h ′(x )＝x －2a 2x >0，h (x )在(0，＋∞)上单调递增，无最小值． 故h (x )的最小值φ(a )的解析式为φ(a )＝2a [1－ln (2a )](a >0)． (3)证明：由(2)知φ(a )＝2a (1－ln 2－ln a )， 则φ′(a )＝－2ln (2a )．令φ′(a )＝0，解得a ＝1 2 . 2)上单调递增； 当a >12时，φ′(a )<0，∴φ(a )在(1 2 ，＋∞)上单调递减． ∴φ(a )在a ＝12处取得极大值φ(1 2 )＝1. ∵φ(a )在(0，＋∞)上有且只有一个极值点，∴φ(1 2 )＝1也是φ(a )的最大值． ∴当a ∈(0，＋∞)时，总有φ(a )≤1.
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