实验五符号计算
一．实验目的
掌握符号运算基本用法，重点掌握使用符号解法求解带代数方程组，以及常微分方程解析解及数值解。
二实验原理与方法
与一般的数值计算不同，符号计算是对字符串符号进行分析和运算，为了便于理解，大家可以将符号计算看作“由计算机实现的数学公式推导”。进行符号计算时，MATLAB负责将计算请求提交给其内置的MAPLE组件并返回MAPLE的计算结果。MATLAB的符号计算历经多次的改进和完善，其功能已经非常强大，尤其是在大规模的简单公式推导、逻辑推导等应用中有重要应用。Matlab的符号数学工具箱可以完成几乎所有得符号运算功能。这些功能主要包括：符号表达式的运算，符号表达式的复合、化简，符号矩阵的运算，符号微积分、符号函数画图，符号代数方程求解，符号微分方程求解等。此外，工具箱还支持可变精度运算，既支持符号运算并以指定的精度返回结果。
符号对象的创建
MATLAB符号运算工具箱处理的对象主要是符号常量、符号变量【注：符号变量即为由字母（除了i与j）与数字构成的、字母打头的字符串】以及符号表达式。要实现符号运算，首先需要将处理对象定义为符号变量或符号表达式。
命令1：sym
功能：定义一个符号常量、符号变量或符号表达式。
格式（1）：s=sym（A） %如果输入参数A为一串，则生成的s为一符号常量或者符号变量；如果输入参数A为数值标量或者矩阵（包括符号矩阵），则所得s为所给数值标量或者矩阵的符号表达式；
格式（2）：x = sym('x') %创建以x命名的符号变量并保存为x
格式（3）：x=sym('x','real') %创建以x命名的符号变量,并限定该符号变量为‘实’符号变量，也即conj(x)等于x。
格式（4）：x = sym('x','positive') %创建以x命名的符号变量,并限定该符号变量为“正、实”符号变量。
格式（5）：x = sym('x','unreal') %创建以x命名的一般的符号变量,并限定该符号变量为“非实”符号变量。
格式（6）：S = sym(A,flag) % flag可为：'r', 'd', 'e', 'f' 将数值标量或者矩阵A转换为符号形式，转换浮点数方法
由可选参数flag指定，flag可取'f', 'r', 'e' or 'd'
默认为'r'。
例：
a=[1 2 2/3;4 5 pi]
b=sym([1 2 2/3;4 5 pi])
输出结果为：a =
1.0000
2.0000 0.6667
4.0000
5.0000 3.1416
b =[ 1, 2, 2/3]
[ 4, 5, pi]
例：c = sqrt(sym(2))
输出结果为：c=2^(1/2) %注意sqrt(2)得到的是浮点十进制小数例：d=sym(2)/sym(5)
输出结果为：d=2/5 %注意2/5结果是0.4000
例：e=sym(2)/sym(5) + sym(1)/sym(3)
输出结果为：e=11/15
例：f=sym('sin(2)')
输出结果为：f=sin(2)
例：g=sym(2*sqrt(5)+pi,'d')
输出结果为：7.6137286085893727261009189533070
例：h = sym('a*x^2 + b*x + c')
输出结果为：h =a*x^2 + b*x + c
例：I=sym('[a,b;c,d]')
输出结果为：I=[ a, b]
[ c, d]
命令2：syms
功能：创建多个符号对象
格式：（1）syms arg1 arg2 ...argN ,
或者syms（‘arg1’，‘arg2’，...，‘argN’）
说明：该用法与下面语句实现相同的功能
arg1 = sym('arg1')；arg2 = sym('arg2');...argN=sym('argN') （2）syms arg1 arg2 ...,argn, real
或者syms（‘arg1’，‘arg2’，...，‘argN’，real）
说明：该用法与下面语句实现相同的功能
arg1 = sym('arg1','real');
arg2= sym('arg2','real'); ...
argN= sym('argN','real')
(3）syms arg1 arg2 ... argN, unreal
或者syms（‘arg1’，‘arg2’，...，‘argN’，’unreal’）
(4) syms arg1 arg2 ... argN,positive
或者syms（‘arg1’，‘arg2’，...，‘argN’，‘positive’）
例：
syms a b x t % 定义a,b, x,t 均为符号变量
例：比较符号矩阵与字符串矩阵的不同。
A=sym('[a,b;c,d]')；% A为符号矩阵
B='[a,b;c,d]' % B为字符串矩阵
结果为：A =
[ a, b]
[ c, d]
B =
[a,b;c,d]
C=sym(B) %转换为符号矩阵
观察三个变量的区别：
Name Size Bytes Class
A 2x2 312 sym object
B 1x9 18 char array
C 2x2 312 sym object
命令3 r = findsym(S)
功能：从一符号表达式中或符号矩阵中找出符号变量
格式： r = findsym(S) %以字母表的顺序返回表达式S中的所有符号变量,若S中没有任何的符号变量，则findsym返回一空
字符串。
r = findsym(S,n) %返回字母表中接近x的n个符号变量
例
syms a x y z t alpha beta
S1 = findsym(sin(pi*t*alpha+beta))
S2 = findsym(x+i*y-j*z+eps-nan)
S3 = findsym(a+y,pi)
计算结果为；
S1 = alpha, beta, t
S2 = NaN, x, y, z
S3 =a,y
算术符号操作
命令： +、-、*、.*、\、.\、/、./、^、.^、’、.’
功能：符号矩阵的算术操作
用法如下：
A+B、A-B ：符号阵列的加法与减法。若A与B为同型阵列时，A+B、A-B分别对对应分量进行加减；若A与B中至少有一个
为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按
对应的分量进行加减。
A*B ：符号矩阵乘法。A*B为线性代数中定义的矩阵乘法。按乘法定义要求必须有矩阵A的列数等于矩阵B的行数。
或者至少有一个为标量时，方可进行乘法操作，否则将
返回一出错信息。
A.*B：符号数组的乘法。A.*B为按参量A与B对应的分量进行
相乘。A与B必须为同型阵列，或至少有一个为标量。
即：An*m.*Bn*m=(aij)n*m.*(bij)n*m=Cn*m=(cij)n*m，
则cij= aij* bij，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。
A\B 矩阵的左除法。X=A\B为符号线性方程组A*X=B的解。我们指出的是，A\B近似地等于inv(A)*B。若X不存在或
者不唯一，则产生一警告信息。矩阵A可以是矩形矩阵
（即非正方形矩阵），但此时要求方程组必须是相容的。
A.\B 数组的左除法。A.\B为按对应的分量进行相除。若A与B
为同型阵列时，
An*m.\Bn*m=(aij)n*m.\(bij)n*m=Cn*m=(cij)n*m，
则cij= aij\ bij，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。若若A与
B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型
的阵列，再按对应的分量进行操作。
A/B 矩阵的右除法。X=B/A为符号线性方程组X*A=B的解。我们指出的是，B/A粗略地等于B*inv(A)。若X不存在或者
不唯一，则产生一警告信息。矩阵A可以是矩形矩阵（即
非正方形矩阵），但此时要求方程组必须是相容的。
A./B 数组的右除法。A./B为按对应的分量进行相除。若A与B
为同型阵列时，
An*m./Bn*m=(aij)n*m./(bij)n*m=Cn*m=(cij)n*m，则
cij= aij/bij，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。若A与B中至
少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵
列，再按对应的分量进行操作。
A^B 矩阵的方幂。计算矩阵A的整数B次方幂。若A为标量而B 为方阵，A^B用方阵B的特征值与特征向量计算数值。若A
与B同时为矩阵，则返回一错误信息。
A.^B 数组的方幂。A.^B为按A与B对应的分量进行方幂计算。
若A与B为同型阵列时，
An*m..^Bn*m=(aij)n*m..^(bij)n*m=Cn*m=(cij)n*m ，则
cij= aij^bij ，i =1,2,…,n；j=1,2,…,m。若A 与B 中
至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的
阵列，再按对应的分量进行操作。
A' 矩阵的Hermition 转置。若A 为复数矩阵，则A'为复数矩
阵的共轭转置。即，若A=(aij)=(xij+i*yij)，则
)y i x ()a ()a (A ij ij ij '
ji *-==='。
A.' 数组转置。A.'为真正的矩阵转置，其没有进行共轭转置。 >>syms a b c d e f g h; >>A = [a b; c d]; >>B = [e f; g h]; >>C1 = A.*B >>C2 = A.^B >>C3 = A*B/A >>C4 = A.*A-A^2 >>syms a11 a12 a21 a22 b1 b2; >>A = [a11 a12; a21 a22]; >>B = [b1 b2]; >>X = B/A; % 求解符号线性方程组X*A=B 的解 >>x1 = X(1) >>x2 = X(2)
计算结果为：
C1 = [ a*e, b*f] [ c*g, d*h] C2 = [ a^e, b^f] [ c^g, d^h] C3 = [ -(a*c*f+c*b*h-a*e*d-b*d*g)/(a*d-b*c), (a*b*h-b^2*g+a^2*f-b*a*e)/(a*d-b*c)] [ -(-c*e*d+c*d*h+c^2*f-d^2*g)/(a*d-b*c), (a*d*h+a*c*f-b*c*e-b*d*g)/(a*d-b*c)] C4 = [ -b*c, b^2-a*b-b*d] [ c^2-a*c-d*c, -b*c] x1 = (-a22*b1+b2*a21)/(a12*a21-a11*a22) x2 = -(-a12*b1+a11*b2)/(a12*a21-a11*a22)
2 符号微积分运算
（1）极限
格式： limit(F,x,a) %计算符号表达式F=F(x) 当x→a时的极
%限值
limit(F,a) %用命令findsym(F)确定F中的自变量，
设为变量x，再计算当x→a时F的极限
值。
limit(F)： %用命令findsym(F)确定F中的自变量，
设为变量x，再计算当x→0时F的极限
值。
limit(F,x,a,'right')或limit(F,x,a,'left') %计算符号函数F
的单侧极限：左极限x→a- 或右极限x
→a+。
例
syms x a t h n;
L1 = limit((cos(x)-1)/x)
L2 = limit(1/x^2,x,0,'right')
L3 = limit(1/x,x,0,'left')
L4 = limit((log(x+h)-log(x))/h,h,0)
v = [(1+a/x)^x, exp(-x)];
L5 = limit(v,x,inf,'left')
L6 = limit((1+2/n)^(3*n),n,inf)
计算结果为：
L1 = 0
L2 = inf
L3 = -inf
L4 = 1/x
L5 = [ exp(a), 0]
L6 = exp(6)
（2）、导数
格式 diff(S,'v')、diff(S,sym('v')) %对表达式S中指定符号变量v计算S的1阶导数。
diff(S) %对表达式S中的符号变量v计算S的1阶导数，其中v=findsym(S)。
diff(S,n) %对表达式S中的符号变量v计算S的n阶导数，其中v=findsym(S)。
diff(S,'v',n) %对表达式S中指定的符号变量v计算S的n阶导数。
例：
syms x y t
D1 = diff(sin(x^2)*y^2,2) %计算
2
2
2
2
x
sin
y
x?
?
D2 = diff(D1,y) %计算
?
?
?
?
?
?
?
?
?2
2
2
2
x
sin
y
x
y
D3 = diff(t^6,6)
计算结果为：
D1 = -4*sin(x^2)*x^2*y^2+2*cos(x^2)*y^2
D2 = -8*sin(x^2)*x^2*y+4*cos(x^2)*y
D3 = 720
（3）、积分
格式 R = int(S,v) %对符号表达式S中指定的符号变量v计算不
定积分。注意的是，表达式R只是函数S的一
个原函数，后面没有带任意常数C。
R = int(S) %对符号表达式S中的符号变量v计算不定积
分，其中v=findsym(S)。
R = int(S,v,a,b) %对表达式s中指定的符号变量v计算
从a到b的定积分
R = int(S,a,b) %对符号表达式s中的符号变量v计算
从a到b的定积分，其中v=findsym(S)。例：
syms x z t alpha
INT1 = int(-2*x/(1+x^3)^2)
INT2 = int(x/(1+z^2),z)
INT3 = int(INT2,x)
INT4 = int(x*log(1+x),0,1)
INT5 = int(2*x, sin(t), 1)
INT6 = int([exp(t),exp(alpha*t)])
计算结果为：
INT1=-2/9/(x+1)+2/9*log(x+1)-1/9*log(x^2-x+1)-2/9*3^(1/2)*a tan(1/3*(2*x-1)*… 3^(1/2))-2/9*(2*x-1)/(x^2-x+1)
INT2 = x*atan(z)
INT3 =1/2*x^2*atan(z)
INT4 =1/4
INT5 = 1-sin(t)^2
INT6 = [ exp(t), 1/alpha*exp(alpha*t)]
（4）、级数求和
格式 r = symsum(s) %对符号表达式s中的符号变量k（由命令findsym(s)确定的）从0到k-1求和
r = symsum(s,v) %对符号表达式s中指定的符号变量v从0到v-1求和
r = symsum(s,a,b) %对符号表达式s中的符号变量k（由命令findsym(s)确定的）从a到b求和
r = symsum(s,v,a,b) %对符号表达式s中指定的符号变量v从a 到b求和
例：syms k n x
r1 = symsum(k^3)
r2 = symsum(k^2-k)
r3 = symsum(sin(k*pi)/k,0,n)
r4 = symsum(k^2,0,10)
r5 = symsum(x^k/sym('k!'), k, 0,inf)
运行结果为：
r1 =1/4*k^4-1/2*k^3+1/4*k^2
r2 =1/3*k^3-k^2+2/3*k
r3 =－1/2*sin(k)/k/(cos(k)-1)*cos(k*(n+1))-1/2*sin(k)/k/(cos(k)-1 )
r4 =385
r5 = exp(x)
5．化简和代换
MATLAB符号运算工具箱中，包括了较多的代数式化简和代换功能，下面仅举出部分常见运算。
simplify 利用各种恒等式化简代数式
expand 将乘积展开为和式
factor 把多项式转换为乘积形式
collect 合并同类项
horner 把多项式转换为嵌套表示形式
例：syms x a b c
R1 = simplify(sin(x)^4 + cos(x)^4)
R2 = simplify(exp(c*log(sqrt(a+b)))) S = [(x^2+5*x+6)/(x+2),sqrt(16)];
R3 = simplify(S)
计算结果为：
R1 =
2*cos(x)^4+1-2*cos(x)^2
R2 =
(a+b)^(1/2*c)
R3 =
[ x+3, 4]
例：进行合并同类项执行
syms x
collect(3*x^3-0.5*x^3+3*x^2)
ans=5/2*x^3+3*x^2)
进行因式分解执行
factor(3*x^3-0.5*x^3+3*x^2)
ans=1/2*x^2*(5*x+6)
6．解方程
（1）、代数方程
函数 solve
格式 g = solve(eq) %输入参量eq可以是符号表达式或字符串。若eq是一符号表达式x^2 -2*x-1或一没有等号的字符串’x^2-2*x-1’，则solve(eq)对方程eq中的缺省变量(由命令findsym(eq)确定的变量)求解方程eq=0。
g = solve(eq,var) %对符号表达式或没有等号的字符串eq中指定的变量var求解方程eq(var)=0。
g = solve(eq1,eq2,…,eqn) %输入参量eq1,eq2,…,eqn可以是符号表达式或字符串。该命令对方程组eq1,eq2,…,eqn中由命令findsym确定的n个变量如x1,x2,…,xn求解。若g为一单个变量，则g为一包含n个解的结构；若g为有n个变量的向量，则分别返回结果给相应的变量。
g = solve(eq1,eq2,…,eqn,var1,var2,…,varn) %对方程组eq1,eq2,…,eqn中指定的n个变量如var1,var2,…,varn求解。
注意：对于单个的方程或方程组，若不存在符号解，则返回方程（组）的数值解。
例：求解一元二次方程f=a*x^2+b*x+c的实根，
syms a b c x
f=a*x^2+b*x+c;
solve (f,x)
ans=
[1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^ (1/2))]
[1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^ (1/2))]
例
solve('a*x^2 + b*x + c','b')
solve('x + y = 1','x - 11*y = 5')
A = solve('a*u^2 + v^2', 'u - v = 1', 'a^2 - 5*a +6')
计算结果为：
ans =
-(a*x^2+c)/x
ans =
x: [1x1 sym]
y: [1x1 sym]
A =
a: [4x1 sym]
u: [4x1 sym]
v: [4x1 sym]
（2）、微分方程
格式 r = dsolve('eq1,eq2,…','cond1,cond2,…','v')
说明对给定的常微分方程（组）eq1,eq2,…中指定的符号自变量v，与给定的边界条件和初始条件cond1,cond2,….求符号解（即解析解）r；若没有指定变量v，则缺省变量为t；在微分方程（组）的表达式
eq 中，大写字母D 表示对自变量(设为x)的微分算子：D=d/dx ，D2=d2/dx2，…。微分算子D 后面的字母则表示为因变量，即待求解的未知函数。初始和边界条件由字符串表示：y(a)=b ，Dy(c)=d ，D2y(e)=f ，等等，分别表示b x y a x ==)(，d x y c x ='=)(，f x y e x =''=)(；若边界条件少于方程（组）的阶数，则返回的结果r 中会出现任意常数C1，C2，…；dsolve 命令最多可以接受12个输入参量（包括方程组与定解条件个数，当然我们可以做到输入的方程个数多于12个，只要将多个方程置于一字符串内即可）。若没有给定输出参量，则在命令窗口显示解列表。若该命令找不到解析解，则返回一警告信息，同时返回一空的sym 对象。
例
D1 = dsolve('D2y – Dy =exp(x)')
D2 = dsolve('t*D2f = Df*log((Dy)/t)')
D3 = dsolve('(Dy)^2 + y^2 = 1','s')
D4 = dsolve('Dy = a*y', 'y(0) = b') % 带一个定解条件
D5 = dsolve('D2y = -a^2*y', 'y(0) = 1', 'Dy(pi/a) = 0') % 带两个定解条件
[x,y] = dsolve('Dx = y', 'Dy = -x') % 求解线性微分方程组
[u,v] = dsolve(‘Du=u+v,Dv =u-v’)
计算结果为：
D1 =
-exp(x)*t+C1+C2*exp(t)
D2 =
y(t)=Int(exp(t*diff(f(t),`$`(t,2))/diff(f(t),t))*t,t)+C1
D3 =
[ -1]
[ 1]
[ sin(s-C1)]
[ -sin(s-C1)]
D4 =
b*exp(a*t)
D5 =
cos(a*t)
x =
cos(t)*C1+sin(t)*C2
y =
-sin(t)*C1+cos(t)*C2
u =
1/2*C1*exp(2^(1/2)*t) - 1/4*C1*2^(1/2)*exp(-2^(1/2)*t) + 1/4*C1*2^(1/2) *exp (2^(1/2)*t) + 1/2*C1*exp(-2^(1/2)*t) - 1/4*C2*2^(1/2)*exp(-2^(1/2)*t) + 1/4*C2 *2^(1/2)*exp(2^(1/2)*t)
v =
-1/4*C1*2^(1/2)*exp(-2^(1/2)*t)+1/4*C1*2^(1/2)*exp(2^(1/2)* t)+1/2*C2*exp
(2^(1/2)*t)+1/4*C2*2^(1/2)*exp(-2^(1/2)*t)-1/4*C2*2^(1/2)*e xp(2^(1/2)*t)+1/2*C2*exp(-2^(1/2)*t)
7．Taylor级数
格式 r = taylor(f,n,v) %返回符号表达式f中的、指定的符号自变量v（若表达式f中有多个变量时）的n-1阶的Maclaurin多项式（即在零点附近v=0）近似式，其中v可以是字符串或符号变量。r = taylor(f) %返回符号表达式f中的、符号变量v的6阶的Maclaurin多项式（即在零点附近v=0）近似式，其中v=findsym(f)。r = taylor(f,n,v,a) %返回符号表达式f中的、指定的符号自变量v的n-1阶的Taylor级数（在指定的a点附近v=a）的展开式。其中a可以是一数值、符号、代表一数字值的字符串或未知变量。我们指出的是，用户可以以任意的次序输入参量n、v与a，命令taylor 能从它们的位置与类型确定它们的目的。解析函数f(x)在点x=a的
Taylor级数定义为：
n
n
)n(
)a
x(
!n
)a(
f
)x(f-=∑∞
=
例
syms x y a pi m m1 m2 f = sin(x+pi/3);
T1 = taylor(f)
T2 = taylor(f,9)
T3 = taylor(f,a)
T4 = taylor(f,m1,m2)
T5 = taylor(f,m,a)
T6 = taylor(f,y)
T7 = taylor(f,y,m) % 或taylor(f,m,y)
T8 = taylor(f,m,y,a)
T9 = taylor(f,y,a)
计算结果为：
T1 =
1/2*3^(1/2)+1/2*x-1/4*3^(1/2)*x^2-1/12*x^3+1/48*3^(1/2)*x^4 +1/240*x^5
T2 =
1/2*3^(1/2)+1/2*x-1/4*3^(1/2)*x^2-1/12*x^3+1/48*3^(1/2)*x^4 +1/240*x^5-1/1440*3^(1/2)*
x^6-1/10080*x^7+1/80640*3^(1/2)*x^8
T3 =
sin(a+1/3*pi)+cos(a+1/3*pi)*(x-a)-1/2*sin(a+1/3*pi)*(x-a)^2 -1/6*cos(a+1/3*pi)*
(x-a)^3+1/24*sin(a+1/3*pi)*(x-a)^4+1/120*cos(a+1/3*pi)*(x-a )^5
T4 =
sin(m2+1/3*pi)+cos(m2+1/3*pi)*(x-m2)-1/2*sin(m2+1/3*pi)*(x-m2)^2-1/6*
第9章 MATLAB符号计算 习题9 一、选择题 1．设有a=sym(4)。则1/a+1/a的值是（）。B A． B．1/2 C．1/4+1/4 D．2/a 2．函数factor(sym(15))的值是（）。D A．'15' B．15 C．[ 1, 3, 5] D．[ 3, 5] 3．在命令行窗口输入下列命令： >> f=sym(1); >> eval(int(f,1,4)) 则命令执行后的输出结果是（）。A A．3 B．4 C．5 D．1 4．MATLAB将函数展开为幂级数，所使用的函数是（）。D A．tailor B．tayler C．diff D．taylor 5．MATLAB用于符号常微分方程求解的函数是（）。C
A．solve B．solver C．dsolve D．dsolver 二、填空题 1．在进行符号运算之前首先要建立，所使用的函数或命令有 和。符号对象，sym，syms 2．对于“没有定义”的极限，MATLAB给出的结果为；对于 极限值为无穷大的极限，MATLAB给出的结果为。NaN，Inf 3．在命令行窗口输入下列命令： >> syms n; >> s=symsum(n,1,10) 命令执行后s的值是。55 4．在MATLAB中，函数solve(s,v)用于代数方程符号求解，其中s 代表，v代表。符号代数方程，求解变量 5．在MATLAB符号计算中y的二阶导数表示为。D2y 三、应用题 1．分解因式。 （1）x9-1 （2）x4+x3+2x2+x+1 （3）125x6+75x4+15x2+1 （4）x2+y2+z2+2(xy+yz+zx) (1):
实验四 MATLAB 符号运算 一、实验目的 掌握符号变量和符号表达式的创建，掌握MATLAB 的symbol 工具箱的一些基本应用。 二、实验内容 (1) 符号变量、表达式、方程及函数的表示。 (2) 符号微积分运算。 (3) 符号表达式的操作和转换。 (4) 符号微分方程求解。 三、实验步骤 1. 符号运算的引入 在数值运算中如果求x x x πsin lim 0→，则可以不断地让x 接近于0，以求得表达式接近什么数，但是终究不能令0=x ，因为在数值运算中0是不能作除数的。MATLAB 的符号运算能解决这类问题。输入如下命令： >>f=sym('sin(pi*x)/x') >>limit(f,'x',0) >> f=sym('sin(pi*x)/x') f = sin(pi*x)/x >> limit(f,'x',0) ans = Pi 2. 符号常量、符号变量、符号表达式的创建 1) 使用sym( )创建 输入以下命令，观察Workspace 中A 、B 、f 是什么类型的数据，占用多少字节的内存空间。 >> A=sym('1') >> B=sym('x') >> f=sym('2*x^2+3*y-1') >> clear >> f1=sym('1+2') >> f2=sym(1+2) >> f3=sym('2*x+3') >> f4=sym(2*x+3) >> x=1 >> f4=sym(2*x+3) > A=sym('1') A = 1
>> B=sym('x') B = x >> f=sym('2*x^2+3*y-1') f = 2*x^2+3*y-1 >> clear >> f1=sym('1+2') f1 = 1+2 >> f2=sym(1+2) f2 = 3 >> f3=sym('2*x+3') f3 = 2*x+3 >> f4=sym(2*x+3) ??? Undefined function or variable 'x'. >> x=1 x = >> f4=sym(2*x+3) f4 =
第3讲 MATLAB 符号计算符号计算则是可以对未赋值的符号对象(可以是常数、变量、表达式)进行运算和处理。MATLAB 具有符号数学工具箱(Symbolic Math Toolbox)，将符号运算结合到MATLAB 的数值运算环境。符号数学工具箱是建立在Maple 软件基础上的。 1、求矩阵的行列式值、非共轭转置和特征值。??????=22211211a a a a A 解: >> A=sym('[a11,a12;a21,a22]') A = [ a11, a12][ a21, a22] >> B=det(A) B = a11*a22-a12*a21 >> C=A.' C = [ a11, a21][ a12, a22] >> D=eig(A) D = 1/2*a11+1/2*a22+1/2*(a11^2-2*a11*a22+a22^2+4*a12*a21)^(1/2) 1/2*a11+1/2*a22-1/2*(a11^2-2*a11*a22+a22^2+4*a12*a21)^(1/2)2\符号表达式f=2x 2+3x+4与g=5x+6的代数运算（f+g ，f*g ）。
解: 2、将g=x3-6x2+11x-6用两种形式的符号表达式的表示。（因 式和嵌套式） 解:>> f=sym('x^3-6*x^2+11*x-6') f = x^3-6*x^2+11*x-6 >> g=sym('(x-1)*(x-2)*(x-3)') g = (x-1)*(x-2)*(x-3) >> g1=sym('x*(x*(x-6)+11)-6') g1 = x*(x*(x-6)+11)-6
分子标记 3分（内容丰富） 编辑词条 分子标记技术在搜搜百科中为本词条的同义词，已为您做自动跳转。 摘要 Molecular Markers 【分子标记的概念】 分子标记是以个体间遗传物质内核苷酸序列变异为基础的遗传标记，是DNA 水平遗传多态性的直接的反映。与其他几种遗传标记——形态学标记、生物化学标记、细胞学标记相比，DNA分子标记具有的优越性有：大多数分子标记为共显性，对隐性的性状的选择十分便利；基因组变异极其丰富，分子标记的数量几乎是无限的；在生物发育的不同阶段，不同组织的DNA都可用于标记分析；分子标记揭示来自DNA的变异；表现为中性，不影响目标性状的表达，与不良性状无连锁；检测手段简单、迅速。随着分子生物学技术的发展，现在DNA分子标记技术已有数十种，广泛应用于遗传育种、基因组作图、基因定位、物种亲缘关系鉴别、基因库构建、基因克隆等方面。 分子标记的概念有广义和狭义之分。广义的分子标记是指可遗传的并可检测的DNA序列或蛋白质。狭义分子标记是指能反映生物个体或种群间基因组中某种差异的特异性DNA片段。 理想的分子标记必须达以下几个要求：(1) 具有高的多态性；(2) 共显性遗传，即利用分子标记可鉴别二倍体中杂合和纯合基因型；(3) 能明确辨别等位基因；(4) 遍布整个基因组；(5) 除特殊位点的标记外，要求分子标记均匀分布于整个基因组；(6) 选择中性(即无基因多效性)；(7) 检测手段简单、快速(如实验程序易自动化)；(8) 开发成本和使用成本尽量低廉；(9) 在实验室内和实验室间重复性好(便于数据交换)。但是，目前发现的任何一种分子标记均不能满足以所有要求。 【分子标记的种类】 一、基于分子杂交技术的分子标记技术 此类标记技术是利用限制性内切酶解及凝胶电泳分离不同的生物 DNA 分子，然后用经标记的特异 DNA 探针与之进行杂交，通过放射自显影或非同位素显色技术来揭示 DNA 的多态性。 ①限制性片段长度多态性(Restriction Fragment Length Polymorphism，RFLP) 1974年Grodzicker等创立了限制性片段长度多态性(RFLP)技术，它是一种以DNA—DNA杂交为基础的第一代遗传标记。RFLP基本原理：利用特定的限制性内切酶识别并切割不同生物个体的基因组DNA，得到大小不等的DNA片段，所产生的DNA数目和各个片段的长度反映了DNA分子上不同酶切位点的分布情况。通过凝胶电泳分析这些片段，就形成不同带，然后与克隆DNA探针进行Southern
第五章符合运算练习题 1.求符号函数f=ax3+by2+cx+d分别对x,y进行三次微分；对 y进行定积分和不定积分，对y 的定积分区间为（0，1）；对y趋向于1求极限。
2. 已知f=1/(1+x^2),g=sin(y),求复合函数f(g(y)). >> syms x y; >> f=1/(1+x^2); >> g=sin(y); >> compose(f,g) ans = 1/(1+sin(y)^2) 3.求三元非线性方程组?? ???-==+=++1z *y 43z x 012x x 2的解。 >> syms x y z; >> f1=sym('x^2+2*x+1'); >> f2=sym('x+3*z-4'); >> f3=sym('y*z+1'); >> solve(f1,f2,f3); >> [x,y,z]=solve(f1,f2,f3) x = -1 y = -3/5 z = 5/3
解方程组??? ????=+=-1 cos y dx dz x z dx dy 当y(0)=1,z(0)=0时，求微分方程组的解。 >> [y,z]=dsolve('Dy-z=cos(x)','Dz+y=1','y(0)=1','z(0)=0','x') y = 1+1/2*sin(x)+1/2*cos(x)*x z = -1/2*sin(x)*x 5.求级数 +++++222k 131211和1+x+x 2+…+x k +…的和。 >> syms k; >> symsum(1/k^2,k,1,inf) ans = 1/6*pi^2 >> syms x k; >> symsum(x^k,k,0,inf) ans = -1/(x-1) 6计算积分21x dx 1x +∞?（+） >> syms x ; >> f=sym('sqrt(x)/((1+x)^2)'); >> int(f,x,1,+inf) ans =
. 巧算“24”点练习卷（一） 1.你能将2、4、5、8利用“+、-、×、÷”和括号组成一个结果为24的算式吗？有几种解法？ ()()()8524382424583824582420424 -??=?=?-?=?=?÷+=+= 2.四张牌上的数是3、4、6、10，怎样用这四个不同的数组成得数是24 的算式? （写出三种解法） ()()()3104638243610418624 1043618624 ?+-=?=?+-=+=-?+=+= 3. 用1、2、5、8、这四个数组成得数是24的算式。（写出三 种解法） ()()()()()8215462452813824851212224 ÷?+=?=-??=?=+-?=?= 巧算“24”点练习卷（二） 1.怎样用下面四张牌上的数进行计算，使最后得数等于24？（写出三种解法） ()()()() ()2634121224 63423824 46322412434263824 ?+?=+=-??=?=??-=?=?÷+=?= 2. 怎样用3、3，8，9四个数进行计算，使最后得数等 于24？（写出三种解法） ()()()93383824 833915924833933924 --?=?=-?+=+=+?-=-= 3.用两个5和两个6计算，使最后得数等于24。（写出三 种解法） ()()55664624 556625124 65656424 +-?=?=?-÷=-=?--=?=????
. 巧算“24”点练习卷（三） 1.小华从一副扑克牌中摸出四张，请你进行计算，使最后得数等于24。 （写出三种解法） ()()()()6293462493623824396227324 -?-=?=÷?+=?=?-÷=-= 2.有四个数: 1、3、5、9，请你进行计算，使最后得数等于24。 （写出三种解法） ()()()135915924 51934624359124124 ??+=+=-?-=?=?+?=?= 3.你会用2、6、6、7这四个数进行计算，使最后的得数等于24吗? （写出三种解法） ()()()72663062467624822476264624 -?-=-=?+÷=÷=-÷?=?= 巧算“24”点练习卷（四） 1. 你会用两个4和两个5进行计算，使最后的得数是24吗? （写出三种解法） ()()554425124 4554462454546424 ?-÷=-=?+-=?=-+?=?= 2.有四个数: 2、4、8、10，请你进行计算，使最后得数等于 24。 （写出三种解法） ()()()()()82104462410284122244108248224 ÷?-=?=+?÷=?=?+÷=÷= 3.你会用3、4、7、10这四个数进行计算，使最后的得数等于24吗? （写出三种解法）
分子标记技术 摘要：分子标记技术就是利用现代分子生物学基础分析DNA分子特性，并借助 一些统计工具，将不同物种或同一物种的不同类群区分开来，或者将生物体的某些性状与DNA分子特性建立起来的关联关系，已广泛应用于植物遗传与育种研究的众多领域，包括遗传图谱的构建、遗传多样性分析、物种起源与进化、品种资源与纯度鉴定、分子辅助育种等多个方面，具有重大作用。 关键词：分子标记技术原理RFLP RAPD SSR AFLP EST SNP TRAP 分子标记技术应用 引言 分子标记是以个体间遗传物质内核苷酸序列变异为基础的遗传标记，是DNA 水平遗传多态性的直接的反映。与其他几种遗传标记——形态学标记、生物化学标记、细胞学标记相比，DNA分子标记具有的优越性有：大多数分子标记为共显性，对隐性的性状的选择十分便利；基因组变异极其丰富，分子标记的数量几乎是无限的；在生物发育的不同阶段，不同组织的DNA都可用于标记分析；分子标记揭示来自DNA的变异；表现为中性，不影响目标性状的表达，与不良性状无连锁；检测手段简单、迅速。随着分子生物学技术的发展，DNA分子标记技术已有数十种，广泛应用于遗传育种、基因组作图、基因定位、物种亲缘关系鉴别、基因库构建、基因克隆等方面。 一．常用分子标记原理 分子标记技术的种类根据不同的核心技术基础，DNA分子标记技术大致可分为三类: 第一类以Southern杂交为核心, 其代表性技术为RFLP；第二类以PCR 技术为核心，如RAPD、SSR、AFLP、STS、SRAP、TRAP等；第三类以DNA序列(mRNA 或单核苷酸多态性)为核心，其代表性技术为EST标记、SNP标记等。理想的分子标记应达到以下的要求：①具有高的多态性；②共显性遗传；③能够明确辨别等位基因；④分布于整个基因组中；⑤选择中性(即无基因多效性)；⑥检测手段简单、快速；⑦开发成本和使用成本尽量低廉；⑧在实验室内和实验室间重复性好。目前，没有任何一种分子标记均满足以上的要求，它们均具有各自的优点和不足。其特点比较见表一。 1．限制性内切酶片段长度多态性标记（Restriction Fragment Length Polymorphism，RFLP） 1974年，Grozdicker 等人鉴定温度敏感表型的腺病毒DNA突变体时，发现了经限制性内切酶酶解后得到的DNA片段产生了差异，由此首创了第一代DNA 分子标记技术——限制性内切酶片段长度多态性标记(RFLP)。其原理是由于不同个体基因型中内切酶位点序列不同(可能由碱基插入、缺失、重组或突变等造成)，利用限制性内切酶酶解基因组DNA时，会产生长度不同的DNA酶切片段，通过凝
实验四符号计算 符号计算的特点：一，运算以推理解析的方式进行，因此不受计算误差积累问题困扰；二，符号计算，或给出完全正确的封闭解，或给出任意精度的数值解（当封闭解不存在时）；三，符号计算指令的调用比较简单，经典教科书公式相近；四，计算所需时间较长，有时难以忍受。 在MATLAB中，符号计算虽以数值计算的补充身份出现，但涉及符号计算的指令使用、运算符操作、计算结果可视化、程序编制以及在线帮助系统都是十分完整、便捷的。 MATLAB的升级和符号计算内核Maple的升级，决定着符号计算工具包的升级。但从用户使用角度看，这些升级所引起的变化相当细微。即使这样，本章还是及时作了相应的更新和说明。如MATLAB 6.5+ 版开始启用Maple VIII的计算引擎，从而克服了Maple V计算“广义Fourier变换”时的错误（详见第5.4.1节）。 5.1符号对象和符号表达式 5.1.1符号对象的生成和使用 【例5.1.1-1】符号常数形成中的差异 a1=[1/3,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5)] % <1> a2=sym([1/3,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5)]) % <2> a3=sym([1/3,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5)],'e') % <3> a4=sym('[1/3,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5)]') % <4> a24=a2-a4 a1 = 0.3333 0.4488 2.2361 5.3777 a2 = [ 1/3, pi/7, sqrt(5), 6054707603575008*2^(-50)] a3 = [ 1/3-eps/12, pi/7-13*eps/165, sqrt(5)+137*eps/280, 6054707603575008*2^(-50)] a4 = [ 1/3, pi/7, sqrt(5), pi+sqrt(5)] a24 = [ 0, 0, 0, 189209612611719/35184372088832-pi-5^(1/2)] 【例5.1.1-2】演示：几种输入下产生矩阵的异同。 a1=sym([1/3,0.2+sqrt(2),pi]) % <1> a2=sym('[1/3,0.2+sqrt(2),pi]') % <2> a3=sym('[1/3 0.2+sqrt(2) pi]') % <3> a1_a2=a1-a2 % a1 = [ 1/3, 7269771597999872*2^(-52), pi] a2 = [ 1/3, 0.2+sqrt(2), pi] a3 = [ 1/3, 0.2+sqrt(2), pi] a1_a2 = [ 0, 1.4142135623730951010657008737326-2^(1/2), 0]
第2章符号化、计算化与自动化 1、易经是用0和1符号化自然现象及其变化规律的典型案例。下列说法不正确的是_____。 (A)易经既是用0和1来抽象自然现象，同时又不单纯是0和1，起始即将0和1与语义“阴”和“阳”绑定在一起； (B)易经本质上是关于0和1、0和1的三画(或六画)组合、以及这些组合之间相互变化规律的一门学问； (C)易经仅仅是以自然现象为依托，对人事及未来进行占卜或算卦的一种学说； (D)易经通过“阴”“阳”(即0和1)符号化，既反映了自然现象及其变化规律，又能将其映射到不同的空间，反映不同空间事务的变化规律，例如人事现象及其变化规律。 答案：C 解释： 本题考核内容：考核0和1与易经 A．A的描述完全正确； B．B的叙述也完全正确； C．不正确，易经不仅仅以自然现象为依托，对事及未来进行占卜或算卦的一种学说，他还是将现象抽象为符号，进行符号组合，利用符号组合表达自然现象； D．D的表述完全正确，易经既反映了自然现象及其变化规律，还反映不同空间事物的变化规律； 具体内容请参考第二章视频“2. 0和1与易经”的“1.1～1.4”视频。 2、易经的乾卦是从“天”这种自然现象抽象出来的，为什么称其为“乾”而不称其为“天”呢？_____。 (A)易经创作者故弄玄虚，引入一个新的名词，其实没有必要； (B)易经的“乾”和“天”是不同的，“乾”是一种比“天”具有更丰富语义的事物； (C)“天”是一种具体事物，只能在自然空间中应用，若变换到不同空间应用，可能会引起混淆；而“乾”是抽象空间中的概念，是指具有“天”这种事务的性质，应用于不同的空间时不会产生这种问题； (D)易经创作者依据阴阳组合的符号特征，选择了更符合该符号的名字“乾”。 答案：C 解释： 本题考核内容：考核0和1与易经 A不正确，易经并不是故弄玄虚的； B不正确，易经中“乾”为“天”，“乾”是抽象空间中的概念，是指具有“天”这种事务的性质所以B并不正确； C完全正确，“天”是具体事物，“乾”是抽象概念； D不正确，“乾”并不是因为阴阳组合而命名的；
实验六符号计算 学院：数计学院班级：1003班姓名：黄晓丹学号：1051020144 一、实验目的 1、了解富符号对象和数值对象之间的差别，以及它们之间的互相转换 2、了解符号运算和数值运算的特点、区别和优缺点 3、掌握符号对象的基本操作和运算，以及符号运算的基本运用 二、实验内容 1、符号常数形成和使用 （1）符号常数形成中的差异 >> a1=[1/3,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5)] a1 = 0.3333 0.4488 2.2361 5.3777 >> a2=sym([1/3,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5)]) a2 = [ 1/3, pi/7, sqrt(5),
6054707603575008*2^(-50)] >> a3=sym('[1/3,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5)]') a3 = [ 1/3, pi/7, sqrt(5), pi+sqrt(5)] >> a24=a2-a3 a24 = [ 0, 0, 0, 189209612611719/35184372088832-pi-5^(1/2)] （2）把字符表达式转化为符号变量 >> y=sym('2*sin(x)*cos(x)') y = 2*sin(x)*cos(x) >> y=simple(y)
y = sin(2*x) （3）用符号计算验证三角等式 >> syms fai1 fai2;y=simple(sin(fai1)*cos(fai2)-cos(fai1)*sin(fai2)) y = sin(fai1-fai2) （4）求矩阵的行列式值、逆和特征值 >> syms a11 a12 a21 a22;A=[a11,a12;a21,a22] A = [ a11, a12] [ a21, a22] >> DA=det(A),IA=inv(A),EA=eig(A) DA =
1.4( )5=9 21.7( )0=7 41.3( )1=2 61.7( )1=6 81.9( )8=1 2.4( )1=5 22.10( )4=6 42.5( )3=2 62.4( )6=10 82.9( )3=6 3.10( )3=7 23.10( )9=1 43.10( )8=2 63.4( )0=4 83.6( )0=6 4.3( )1=4 24.8( )1=9 44.4( )0=4 64.7( )1=8 84.7( )1=6 5.4( )0=4 25.6( )0=6 45.0( )3=3 65.10( )9=1 85.6( )0=6 6.10( )0=10 26.2( )1=1 46.2( )1=1 66.9( )9=0 86.10( )0=10 7.7( )0=7 27.5( )3=8 47.9( )0=9 67.4( )2=2 87.10( )9=1 8.6( )2=4 28.4( )4=0 48.0( )7=7 68.9( )5=4 88.10( )3=7 9.2( )2=0 29.2( )0=2 49.1( )2=3 69.10( )7=3 89.4( )4=0 10.3( )3=6 30.4( )2=2 50.5( )2=3 70.5( )4=1 90.7( )3=10 11.10( )7=3 31.4( )1=5 51.0( )3=3 71.5( )0=5 91.8( )6=2 12.3( )0=3 32.10( )10=0 52.0( )9=9 72.5( )3=2 92.10( )1=9 13.6( )5=1 33.1( )4=5 53.3( )2=1 73.5( )4=1 93.5( )0=5 14.5( )4=1 34.2( )0=2 54.9( )3=6 74.3( )5=8 94.3( )7=10 15.4( )5=9 35.9( )6=3 55.10( )2=8 75.3( )1=4 95.8( )3=5 16.6( )1=5 36.9( )0=9 56.3( )0=3 76.4( )4=8 96.6( )5=1 17.7( )3=10 37.8( )6=2 57.7( )5=2 77.2( )4=6 97.9( )0=9 18.3( )5=8 38.6( )4=2 58.7( )7=0 78.4( )1=5 98.2( )7=9 19.8( )2=6 39.9( )0=9 59.0( )7=7 79.0( )9=9 99.9( )3=6 20.8( )3=5 40.2( )1=3 60.3( )0=3 80.2( )0=2 100.4( )3=1
实验3 MATLAB符号运算功能 一、实验目的：掌握MATLAB符号运算功能的基本使用方法 1．符号矩阵的建立及符号矩阵的运算； 2．符号矩阵的简化； 3．符号矩阵的极限和微积分； 4．代数方程求解； 5．一元函数图象简易画法． 二、实验内容： 1.设)1 e x g x x - =x ( ) (- 1) 将) g写成MATLAB符号表达式； (x 2) 求出符号表达式) g； ('x 3) 利用"subs"命令求出)4(g和)4('g； 4) 利用"plot"命令画出函数) g在区间[-3，3]上的光滑图象； (x 5) 利用"ezplot"命令画出函数) g在区间[-3，3]上的图象并与4）所得结果进行 (x 比较. 运行命令： syms x; g=[x*(exp(x)-x-1)] diff(g) G=subs(g,[4]) G1=subs(diff(g),4) x=-3:0.01:3; y=x.*(exp(x)-x-1); plot(x,y) ezplot(g,[-3,3]) 程序运行结果： g = x*(exp(x)-x-1) ans = exp(x)-x-1+x*(exp(x)-1) G = 198.3926 G1 = 263.9908
-3-2-10123 -100 10 20 30 40 50 -3-2-10 123-5 5 10 15 20 25 30 x x (exp(x)-x-1) 用ezplot 作图较精确。 2. 设)1()(1--=x e x x g x ，1)(22+=x x g 1）利用"ezplot "命令画图估计函数)(1x g 与)(2x g 图象交点的x 值； 2) 利用"solve "命令求出函数)(1x g 与)(2x g 图象交点处x 的精确值.
分子标记 遗传标记作为识别基因型的表现形式，在生物基因研究方面起到了重要作用，目前通过遗传标记的方法定位基因位置已成为基因定位的常用方法。遗传标记主要有形态标记（morphological marker）、细胞标记（cytological markers）、生化标记（Biochemical marker）和分子标记（molecular marker）四种类型。形态标记、细胞标记因其自身局限性的原因，目前鲜有使用。虽然以同工酶标记为代表的生化标记得到了广泛的发展，但由于其检测的范围狭窄、统计难度大等缺陷，目前仅在少数方面有所应用。从20世纪70年代分子标记出现至今的40年，分子标记因其无比的优越性，使得其成为目前应用最广泛的遗传标记方法。 一、分子标记的概念 分子标记是指以生物大分子的多态性为基础的一种遗传标记。广义的分子标记是指可遗传并能检测的蛋白质或DNA序列。而狭义的分子标记仅仅是指基于DNA分子多态性构建的标记方法。 二、分子标记的特点 理想的分子标记一定要达到以下标准：1、具有高的多态性；2、共显性遗传即利用分子标记可鉴别二倍体中杂合和纯合基因型；3、能明确辨别等位基因；4、遍布整个基因组；5、除特殊位点的标记外要求分子标记均匀分布于整个基因组；6、选择中性即无基因多效性；7、检测手段简单、快速如实验程序易自动化；8、开发成本和使用成本尽量低廉；9、在实验室内和实验空间重复性好便于数据交换。 目前，在现实条件下并没有这种绝对理想的分子标记，但相比形态标记、细胞标记、生化标记，分子标记依旧有着明显的优越性：1、直接以DNA形式表现，在生物体各组织、各时期均可检测，不受环境限制；2、数量多，遍布全基因组，有近乎无限的检测座位；3、多态性高；4、表现为中性，不影响目标性状的表达；5、许多标记为共显性，能区别纯合体与杂合体。 三、分子标记的分类 分子标记技术通常被分为基于分子杂交的分子标记技术（RFLP）（或叫做非PCR基础上的分子标记技术）、基于PCR技术的分子标记技术和同时基于分子杂交和PCR两种技术的分子标记技术三大类型。基于PCR技术的分子标记技术又可分为基于随机引物的PCR分子标记技术（或叫非特异PCR分子标记技术）和基于特异引物的PCR分子标记技术（或叫特异PCR分子标记技术）。随着分子标记技术的不断发展，许多新兴分子标记技术的出现，人们又根据分子标记的基因组来源将分子标记技术分为随机DNA分子标记（Random DNA Markers，RDM）、目的基因分子标记（Gene Targeted Markers，GTM）和功能性分子标记(Functional Markers，FM)。 1、限制性片段长度多态性标记 限制性片段长度多态性（restriction fragment length polymorphism，RFLP）由Grodzicker等人于1974年基于DNA被限制性内切酶酶切后形成特定大小的片段。其优点在于：1、广泛存在；2、共显性，可区分纯合与杂合；3、结果稳定可靠，重复性好。正是有了这些优点，RFLP作为最早出现的分子标记方式，曾被广泛应用。但由于其在使用时需要用放射性同位素标记、酶切时对DNA质量要求高、标记的多态性变异程度偏低等原因，使得RFLP很快就被新的分子标记所替代。 2、随机扩增多态性DNA标记 随机扩增多态性DNA标记（random amplified polymorphic DNA，RAPD）是以基因组DNA 为模板，以人工合成的随机引物，通过PCR 扩增反映扩增片段的DNA片段导入、缺失以及引物结合位点上的碱基突变。RAPD只需合成一套引物，就可可用于不同生物基因组的分析；RAPD技术简便易行，省力省时，并且检测灵敏方便；RAPD分析所需样品DNA量极
AFLP分子标记实验 扩增片段长度多态性 Amplified fragment length polymorphism（AFLP 是在随机扩增多态性（RAPD和限制性片段长度多态性（RFLP技术上发展起来的DNA多态性检测技术,具有RFLP技术高重复性和RAPD技术简便快捷的特点,不需象RFLP 分析一样必须制备探针，且与RAPD标记一样对基因组多态性的检测不需要知道其基因组的序列特征，同时弥补了 RAPD技术重复性差的缺陷。同其他以PCR为基础的标记技术相比，AFLP技术能同时检测到大量的位点和多态性标记。此技术已经成功地用于遗传多样性研究，种质资源鉴定方面的研究，构建遗传图谱等。 其基本原理是：以PCR（聚合酶链式反应为基础,结合了 RFLP、RAPD的分子标记技术。把DNA进行限制性内切酶酶切，然后选择特定的片段进行PCR扩增（在所有的限制性片段两端加上带有特定序列的’接头”用与接头互补的但3-端有几个随机选择的核苷酸的引物进行特异PCR扩增,只有那些与3-端严格配对的片段才能得到扩增，再在有高分辨力的测序胶上分开这些扩增产物，用放射性法、荧光法或银染染色法均可检测之。 一、实验材料 采用青稞叶片提取总DNA 实验设备 1. 美国贝克曼库尔特CEQ8000毛细管电泳系统, 2. 美国贝克曼库尔特台式冷冻离心机， 3. 美国MJ公司PCR仪,
4. 安玛西亚电泳仪等。 三、实验试剂 1. 试剂:请使用高质量产品，推荐日本东洋坊TOYOBO公司的相关产品 DNA提取试剂盒； EcoRI酶,Msel酶,T4连接酶试剂盒； Taq 酶,dNTP, PCR reactio n buffer; 琼脂糖电泳试剂：琼脂糖，无毒GeneFinder核酸染料替代传统EB染料;超纯水（18.2M ? ? cm 2. 其他实验需要物品 微量移液枪（一套及相应尺寸Tip头,PCR管，冰浴等。 四、实验流程 1、总DNA提取 使用DNA提取试剂盒提取植物基因组DNA,通过紫外分光光度计检测或用标准品跑胶检测。一般来说，100ng的基因组DNA作为反应模板是足够的。 2、EcoR1酶消化（20ul体系/样品 EcoR1 1ul
实验五：Matlab多项式和符号运算 一、实验目的 1．掌握Matlab多项式的运算。 2．了解符号运算。 二、实验内容 1．将多项式()(2)(3)(7)(1) =-+-+化为x的降幂排列。 P x x x x x syms x; y=(x-2)*(x+3)*(x-7)*(x+1); expand(y) ans = x^4-5*x^3-19*x^2+29*x+42 2．求一元高次方程的根。 98765432 --++--++= 53015027313658204100576-28800 x x x x x x x x x syms x y; y=x^9-5*x^8-30*x^7+150*x^6-1365*x^4-820*x^3+410 0*x^2+576*x-2880; solve(y,x) ans = 6.81947687944124431946 1.42761488953013276419+.8192491831*i 2.865487219+2.49263348244446271927*i
-1.887673354+1.812452594*i -.9583509633 -5.922730991 -1.887673354-1.812452594*i 2.865487219-2.49263348244446271927*i 1.42761488953013276419-.8192491831*i 3．求一元高次方程的根，并画出左边多项式函数在[2,2] x∈-区间内的曲线。 42 -+= x x 210 a=[1 0 -2 0 1]; r=roots(a) syms x; x=-2:2; y=[1 0 -2 0 1]; plot(x,y) r = 1.0000 + 0.0000i 1.0000 - 0.0000i -1.0000 -1.0000
第2章0和1-语义符号化、符号计算化与计算自动化练习题答案解析
第2章符号化、计算化与自动化 1、易经是用0和1符号化自然现象及其变化规律的典型案例。下列说法不正确的是_____。(A)易经既是用0和1来抽象自然现象，同时又不单纯是0和1，起始即将0和1与语义“阴”和“阳”绑定在一起； (B)易经本质上是关于0和1、0和1的三画(或六画)组合、以及这些组合之间相互变化规律的一门学问； (C)易经仅仅是以自然现象为依托，对人事及未来进行占卜或算卦的一种学说； (D)易经通过“阴”“阳”(即0和1)符号化，既反映了自然现象及其变化规律，又能将其映射到不同的空间，反映不同空间事务的变化规律，例如人事现象及其变化规律。 答案：C 解释： 本题考核内容：考核0和1与易经
A．A的描述完全正确； B．B的叙述也完全正确； C．不正确，易经不仅仅以自然现象为依托，对事及未来进行占卜或算卦的一种学说，他 还是将现象抽象为符号，进行符号组合，利 用符号组合表达自然现象； D．D的表述完全正确，易经既反映了自然现象及其变化规律，还反映不同空间事物的变化规律； 具体内容请参考第二章视频“2. 0和1与易经”的“1.1～1.4”视频。 2、易经的乾卦是从“天”这种自然现象抽象出来的，为什么称其为“乾”而不称其为“天”呢？_____。 (A)易经创作者故弄玄虚，引入一个新的名词，其实没有必要； (B)易经的“乾”和“天”是不同的，“乾”是一种比“天”具有更丰富语义的事物； (C)“天”是一种具体事物，只能在自然空间中应用，若变换到不同空间应用，可能会引起混淆；而“乾”是抽象空间中的概念，是指具有“天”
1. 已知x=6,y=5, 利用符号表达式求z =>> syms x >> z=(x+1)/(sqrt(x+3)-sqrt(y)); >> subs(z,x,5) ans =6/(8^(1/2)-y^(1/2)) >> subs(ans,6) ans = 15.8338 2. 分解因式。 （1）x y -44； >> syms x y >> factor(x^4-y^4) ans =(x-y)*(x+y)*(x^2+y^2) （2）x x x +++642 12575151 >> syms x >> factor(125*x^6+75*x^4+15*x^2+1) ans =(5*x^2+1)^3 3. 化简表达式 （1）sin cos cos sin ββββ-1212； >> syms x y >> f=sin(x).*cos(y)-cos(x).*sin(y)； >> sfy1=simple(f) 结果：sfy1 =sin(x-y) （2）x x x +++248321 >> syms x >> f=(4*x^2+8*x+3)/(2*x+1);sfy1=simplify(f) sfy1 =2*x+3 4、求下列极限，将完成实验的程序写到文件sy1.m 中： （1） （2） （3） （4） （5） （1）>> syms x >> F1=atan(x)/(x); >> w=limit(F1) w =1 （2）>> syms x F2=((1+x)/(1-x))^(1/x); >> w=limit(F2) w =exp(2) （3）>> syms x F3=(x.*log(1+x))/(sin(x^2)); >> w=limit(F3) w =1 （4）>> syms x F4=atan(x)/(x); >> w=limit(F4,x,inf) w =0 （5）>> syms x F5=(1/(1-x)-1/(1-x^3)); >> w=limit(F5,x,1) w =NaN 5、求下列函数的导数，将完成实验的程序写到文件sy2.m 中： 1、 >> x = sym('x'); >> y1=(cos(x))^3-cos(3*x); >> diff(y1)ans =-3*cos(x)^2*sin(x)+3*sin(3*x) 2、 >> x = sym('x'); >> y2=x.*sin(x).*(log(x)); >> diff(y2)ans =sin(x)*log(x)+x*cos(x)*log(x)+sin(x) 3、 >> x = sym('x'); >> y3=(x.*exp(x)-1)/sin(x); >> diff(y3) ans =(exp(x)+x*exp(x))/sin(x)-(x*exp(x)-1)/sin(x)^2*cos(x) 4、 x x x x F 1011lim 2??? ??-+=→3 1115lim()11x F x x →=---20sin )1ln(lim 3x x x F x +=→x x F x arctan lim 10→=arctan 4lim x x F x →∞=x x y 3cos cos 13-=x x x y ln sin 2=x xe y x sin 13-=cos x y e x =
第四章符号计算 1、选择题 1）运行命令a=sym('pi','d')，则对于变量a的描述 A 是正确的。 A. A是符号变量 B.a显示为10位的数值 C. a显示为32位的数值 D. A不存在 2）运行下列命令，则变量a的类型是 A 。 Syms a a=sin(2) A. sym B. double C. char D. int 3）运行下列命令，则 D 是正确的描述。 Syms a b c a A=[a b;c d] A. A占用的内存小于100B B. 创建了5个符号变量 C. A占用的内存是a、b、c、d之和 D. A不存在 4）运行下列命令后变量C的值是 A 。 A=sym([5 5;6 6]); B=sym([1 2;3 4]); C=A.*B [5,10] [5 10] [5*1,5*2] A.[18,24] B. [18 24] C. [6*3,6*4] D. 出错 5）运行命令“a=double(sym('sin(pi/2)'))”，则变量a是 C 。 A. 符号变量 B. 字符串'1' C. Double型1 D. 出错 6）符号表达式g=sym('sin(a*z)+cos(w*v)')中的自由变量是 C 。A. a B. z C. w D. v 7）将符号表达式化简为嵌套形式，使用 D 函数。 A.collect B.expand C. factor D. hornor 8）积分表达式 2 0cos()x dtdx π ??的实现使用下面的 B 命令。 A. int(int(cos(x)),0,pi/2) B. int(int(cos(x),'t'),0,pi/2) C. int(int(cos(x)),'t',0,pi/2) D. int(int(cos(x),'t',0,pi/2)) 9）运行命令y=dsovle('x*D2y-3Dy=x^2','t')求解微分方程，则 B 。 A. Dy是指dy/dx B. 得出y的通解有一个常数C1 C. D2y是指d2y/dx D. 得出y的通解有两个常数C1和C2 10）运行命令f=solve('x^2+1')，则 B 。 A. f是有两个数值元素的行向量 B. f是有两个数值元素的列向量 C. f是符号对象 D. F只有一个元素 2. 分别使用sym 和syms创建符号表达式“sin(x)+cos(y)”。
分子标记方法：AFLP原理和操作步骤 AFLP原理： AFLP也是通过限制性内切酶片段的不同长度检测DNA多态性的一种DNA分子标记技术。但AFLP是通过PCR反应先把酶切片段扩增，然后把扩增的酶切片段在高分辨率的顺序分析胶上进行电泳，多态性即以扩增片段的长度不同被检测出来。实验中酶切片段首先与含有与其共同粘末端的人工接头连接，连接后的粘末端顺序和接头顺序就作为以后PCR反应的引物结合位点。实验中，根据需要通过选择在末端上分别填加了1～3个选择性核苷的不同引物，可以达到选择性扩增的目的。这些选择性核苷酸使得引物能选择性地识别具有特异配对顺序的内切酶片段，进行结合，导致特异性扩增。 实验试剂 Taq酶、EcoRI/ MseIEcoRI/ MseI接头、E+A引物M+C引物、T4DNALigaseE和M引物、琼脂、过硫酸胺、丙烯酰胺、尿素、硝酸银、甲酰胺、dNTPs、二甲苯青、冰醋酸、玻璃硅烷、50bpMark 操作步骤 （一）基因组DNA提取和纯化 参考大量提取DNA实验方法提取基因组DNA。 DNA的纯化：用0.8%琼脂糖凝胶（含EB0.5μg/ml）电泳检测片段大小，取出其中的1/3已提取的基因组DNA进行纯化，首先用TE缓冲液补满至总体积50ul，再等体积苯酚/氯仿/异戊醇（25：24：1）、氯仿/异戊醇（24∶1）各抽提一次，离心吸上清液于Eppendorf 管中，加入1/10体积的NaAC和二倍体积预冷的无水乙醇，－20℃放置2h以上，10000g 离心10min，用70%的乙醇漂洗DNA沉淀2次，风干后溶于30μlTE缓冲液中，UV-2401PC 紫外分光光度计检测A260、A280值并定量，再用0.8%琼脂糖凝胶（含EB0.5μg/ml）电泳检测片段大小。 注：0.1-0.2g组织可用100ul溶液E溶，0.5g组织，溶液E可增加至300ul，此时DNA 浓度大约为100ng/ul。 （二）限制性酶切及连接 在0.2ml离心管中加入：模板量约为250ng，2.5μl 10×酶切缓冲液，2.5μl 10×T4DNA 连接酶切缓冲液，5U EcoRⅠ，5U MseⅠ，2U T4连接酶，50pmol MseⅠ接头，双蒸水补至25μl。用PCR扩增仪设定37℃过夜反应后，于65℃20min灭酶活，－20℃保存，作为预扩增模板。 （三）预扩增 取3μl酶切连接产物，加入75ng E+A，75ng M+C引物，15mmol/L Mg2+，25mmol/L dNTPs，1U Tag酶，3μl 10×PCR缓冲液，加双蒸水补至30μl。 反应参数为：94℃90s；94℃30s，56℃1min，72℃1min，30循环；72℃10min（PCR仪）。反应结束后，用0.8%琼脂糖凝胶（含EB0.5μg/ml）电泳检测扩增产物，取3μl产物释稀50倍，用作选择性扩增模板。 （四）选择性PCR扩增 取释稀后的产物3μl，加入EcoRⅠ选择性引物、MseⅠ选择性引物各75ng，15mmol/L Mg2+，25mmol/L dNTPs，1UTag酶，3μl 10×PCR缓冲液，加双蒸水补至30μl。 反应参数为：94℃90s；94℃30s，65℃1min，72℃1min，13循环（每循环降0.7℃）；94℃30s，56℃1min，72℃1min，25循环；72℃5min（PCR仪），先用0.8%琼脂糖凝胶（含