等腰三角形的性质PPT课件

复习回顾
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
已知：如图,∠A=∠D,∠B=∠E,BC =EF. 求证：△ABC ≌ △DEF.
证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，
A
D
∠D+∠E+∠F=180°，
∴∠C=180°－(∠A+∠B)，
∠F=180°－(∠D+∠E). B
CE
F
∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知），
在△BAD和△CAD中 AB=AC ( 已知 ), ∠BAD=∠CAD ( 已作 ),
AD=AD (公共边),
∴ ∴
∠△BB=AD∠≌C (△全C等AD三(角SA形S的). 对应角相等)B.
D
C
等腰三角形的“三线合一”
AB=AC AD平分∠BAC AD⊥BC
几何语言： ∵
BD=CD∴Biblioteka D学以致用A
求证：∠B=∠C
方法一：作底边上的中线 证明：取BC的中点D，连结AD
∴BD=CD
∵AB=AC,BD=CD,AD=AD
B
D
C
∴△ABD≌△ACD (SSS)
∴∠B=∠C
你还有其他方法吗？请同学交流
方法二：作顶角的平分线
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC. 求证： ∠B= ∠C.
证明：作顶角的平分线AD，则∠BAD=∠CAD. A
例1.如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,且BD=AD,DC=AC,求∠B的度数.
分析:根据题目中给出的相等线段,你发现图中有几个的等腰三角形呢？
解:设∠B的度数为x. ∵AB=AC,∴∠C=∠B=x. ∵AD=BD,∴∠B=∠DAB=x. ∴∠ADC=∠B+∠DAB=2x. ∵AC=CD,∴∠ADC=∠CAD=2x. 在△ACD中, ∠CAD+∠ADC+∠C=180°,

B
得∠B＝∠C
A
DC
退出
A 分析:作△ABC 的高线AD
则∠ADB＝∠ADC ＝90º
由Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）
BD C
得∠B＝∠C
等腰三角形性质
A
性质： 等腰三角形两个底角相等， 简称“等边对等角”
数学语言
在△ABC中，∵ AB=AC
B
C
∴ ∠B = ∠C ，
想一想:
刚才的证明除了能得到∠B＝∠C
D
x
2x
2x
2x
B
C
解得x=36°，
∴∠A=36°，∠ABC=∠C=72°
例4
如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上 的中点，∠B=30。.求∠１和∠ADC的度数．
∵ AB=AC，D是BC边上的中点
1

1 2
BAC
∠B＝ ∠C
∠ADC＝ 90（° 三线合一）
A
∵ ∠B＝30°
1
∴ ∠BAC=180°-30°-30°=120°
分析：1.如何证明两个角相等？
2.如何构造两个全等的
B
C 三角形？
如何构造两个全等的三角形?
作顶角的角平分线 作底边的中线 作底边的高
A 分析: 作顶角的平分线AD，
12
则有∠1＝∠2
由△ABD≌ △ACD （ SAS ）
得∠B＝∠C
BD C
退出
分析:作△ABC 的中线AD
则有 BD＝CD
由△ABD≌ △ACD （ SSS ）
(3) 等腰三角形一个角为110°,它的另外两 个角为__3_5_°__, 35_°_。
例3
如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上， 且 BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。

形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线 互相重合. 2．思想方法：转化思想的应用，等腰三角形的性质是 证明角相等、边相等的重要方法.
易错点拨
已知等腰三角形的一个外角等于110°，这个等腰三
角形的一个底角的度数为( D )
A．40°
B．55°
C．70°
D．55°或70°
易错点：求等腰三角形的角时易出现漏解的错误
易错点拨
本题应用分类讨论思想，分顶角为70°和 底角为70°两种情况，解题时易丢掉一种情况 而漏解．
课堂小结
1．知识方面： （1）等腰三角形的性质：等边对等角. （2）等腰三角形性质的推论：三线合一，即等腰三角
EF⊥AB，垂足为F.
(1)若∠BAD＝25°，求∠C的度数；
(2)求证：EF＝ED.
(1)解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴∠BAD＝∠CAD.∴∠BAC＝2∠BAD＝50°.
∵AB＝AC，
∴ ∠C＝∠ABC ＝ 1 (180°－∠BAC)
＝
1
2
(180°－50°)＝65°.
2
例题精析
(2)求证：EF＝ED. 证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴ED⊥BC. 又∵BG平分∠ABC，EF⊥AB， ∴EF＝ED.
导引：利用全等三角形的判定方法，当∠D＝∠B时， 两个三角形符合“边角边等腰三角形的相关概念回顾：
顶
腰
角
腰
底角 底角 底边
探究新知
2．议一议 (1)还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？ (2)请你选择等腰三角形的一条性质进行证明，并与
同伴交流. 定理 等腰三角形的两底角相等. 这一定理可以简述为：等边对等角.
课堂精练

2
∴三角形的各角度数为36°，72°，72°。
例2：已知：如图，点D、E在△ABC的边 上，AB=AC，AD=AE.求证：BD=CE.
证明：作AF⊥BC,垂足为F,则AF⊥DE ∵AB=AC，AD=AE. AF⊥BC, AF⊥DE ∴BF=CF, DF=EF(等腰三角形底边上 的高与底边上的中线互相重合.) ∴BD=CE
x
By
又∵ ∠ABC=90°得∠ A=+∠C=90° ∴ 180°-2x+180°-2y=90° ∴ x+y=135° ∴ ∠EBD= ∠ABD +∠EBC- ∠ABC
=x+y- ∠ABC
=135°-90°=45°
D
C 反思：引导学 生应用性质计 算时要注意分 解基本图形， 利用图形中隐 藏的相等关系 列方程或算式。
∵AB＝AC（已知） ∴∠C＝∠B＝80°（等边对等角）．
实验2 （1）画出等腰三角形底边上的中线、底边上的高、 顶角平分线，同时也画出非等腰三角形一边上的中 线和的高以及这边所对的角的平分线。
A
A
B
D CB
等腰三角形
F ED
任意三角形
C 演示
结论:
等腰三角形的顶角平分线，底边上的高和底边上的 中线互相重合 (简称“三线合一”)。 在△ABC中，AB＝AC，D在BC上， ①如果AD⊥BC，那么∠BAD＝∠_C__A_D__，BD＝_D__C____ ②如果∠BAD＝∠CAD，那么AD⊥_B_C___，BD＝__D_C___ ③如果BD＝CD，那么∠BAD＝∠_C__A_D___，AD⊥_B_C____
A B DFE C
小结：在等腰三角形中，作顶角的平分线或作底边上 的高或作底边上的中线是常作辅助线的方法。

∵AB=AC, BD=CD (已知)， ∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.
∵AB=AC, AD⊥BC(已知)， ∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）.
A
12
B
C D
画出任意一个等腰A三角形的底
角平分线、这个底角所对的腰 上的中线和高，看看它们是否 重合？
B
C
D
A
E
D
F
B
C
∠1=70°，则∠BAC的大小为（ A ）
A．40° B．30°
C．70° D．50°
3.(1)等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为_7_5_°_ , 30_°_；
(2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为 __7_2_°__,7_2_°__或__3_6_°__,_1_0_8_°； (3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为_30_°__，30_°_.
如图,在△ABC中,
A
∵AB=AC(已知),
∴∠B=∠C(等边对等角).
B
C
性质2:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互 相重合(三线合一）.
证明后的结论,以后可以直接运用.
综上可得：如图,在△ABC中, ∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)， ∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.
A
解：∵AB=AC，D是BC边上的中点，
∴ ∠C= ∠ B=30°，
∠BAD = ∠ DAC，∠ADC = 90°.
B
D
C
∴∠ BAC =180° - 30°-30° = 120°.
∴ BAD 1 BAC = 60°. 2
6.如图，已知△ABC为等腰三角形，BD、CE为底角的平分线，且

7如图，△ABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC、
AB于D，E两点，并连接BD，DE.若∠A＝30°，AB＝AC，则
∠BDE的度Байду номын сангаас是 (
A.45°
B.52.5°
C.67.5°
D.75°
C )
分层作业
8如图，△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝
102°，则∠ADC＝
52 度.
称轴过哪个顶点，哪条边？
是.对称轴过两条腰相交的顶点，过底边.
预习导学
2.通过上述的“操作”，试视察右图，AD为折痕(即对称轴)，
思考:
(1)底角∠B与底角∠C能完全重合吗？说明了什么？
能，两底角相等.
(2)BD与CD能完全重合吗？说明AD是△ABC的什
么特殊线段？
能，是底边上的中线.
预习导学
(3)∠CAD与∠BAD能完全重合吗？说明了AD是△ABC的什
36°，则∠1的度数为
A.36°
B.60°
C.72°
D.108°
( C
)
5等腰三角形中有一个角是50°，那么其他两个角的度数是
50°，80°或65°，65° .
分层作业
6腰长与底边长不相等的等腰三角形中，三角形的中线、角平分
线和高共有(重合的算一条)
A.9条
B.3条
C.7条
D.3条或7条
(
C
)
分层作业
等腰三角形底边中线、 顶角平分线
、 底
，三线合一，在证明或计算中，一定要记得使用，
因为不需要再添辅助线，这条线本身就具有多重“身份”.
合作探究
·方法点拨·
等腰三角形性质定理的常用运用方法:由两边相等推导出两角